इस समय के दौरान घूर्णन कोण φ=2πजेड\u003d 2 * 3.14 * 360 \u003d 2261 रेड

4. 3 मोड़ के लिए काम करें:वू\u003d 1 * 0.02 * 2261 \u003d 45.2 kJ

ग्रन्थसूची

ओलोफिंस्काया, वी.पी. "तकनीकी यांत्रिकी", मास्को "फोरम" 2011

एर्डेदी ए.ए. एर्डेदी एन.ए. सैद्धांतिक यांत्रिकी। सामग्री की ताकत।- आर-एन-डी; फीनिक्स, 2010

सैद्धांतिक यांत्रिकीयांत्रिकी की एक शाखा है जो बुनियादी नियमों को निर्धारित करती है यांत्रिक गतिऔर भौतिक निकायों की यांत्रिक बातचीत।

सैद्धांतिक यांत्रिकी एक ऐसा विज्ञान है जिसमें समय के साथ पिंडों की गति (यांत्रिक गति) का अध्ययन किया जाता है। यह यांत्रिकी के अन्य वर्गों (लोच का सिद्धांत, सामग्री का प्रतिरोध, प्लास्टिसिटी का सिद्धांत, तंत्र और मशीनों का सिद्धांत, जलविद्युत विज्ञान) और कई तकनीकी विषयों के आधार के रूप में कार्य करता है।

यांत्रिक गति- यह भौतिक निकायों के स्थान में सापेक्ष स्थिति में समय के साथ परिवर्तन है।

यांत्रिक संपर्क- यह एक ऐसी बातचीत है, जिसके परिणामस्वरूप यांत्रिक गति बदल जाती है या शरीर के अंगों की सापेक्ष स्थिति बदल जाती है।

कठोर शरीर स्टैटिक्स

स्थिति-विज्ञान- यह सैद्धांतिक यांत्रिकी की एक शाखा है, जो ठोस निकायों के संतुलन की समस्याओं और इसके समतुल्य बलों की एक प्रणाली के दूसरे में परिवर्तन से संबंधित है।

स्टैटिक्स की मूल अवधारणाएँ और नियम
• बिल्कुल कठोर शरीर(ठोस शरीर, शरीर) है भौतिक शरीर, किसी भी बिंदु के बीच की दूरी जिसमें परिवर्तन नहीं होता है।
• सामग्री बिंदुएक ऐसा निकाय है जिसका आयाम, समस्या की स्थितियों के अनुसार, उपेक्षित किया जा सकता है।
• ढीला शरीरएक निकाय है, जिसकी आवाजाही पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया जाता है।
• गैर-मुक्त (बाध्य) शरीरएक शरीर है जिसका आंदोलन प्रतिबंधित है।
• सम्बन्ध- ये वे निकाय हैं जो विचाराधीन वस्तु (एक निकाय या निकायों की एक प्रणाली) की गति को रोकते हैं।
• संचार प्रतिक्रियाएक बल है जो एक कठोर शरीर पर एक बंधन की क्रिया की विशेषता है। यदि हम उस बल पर विचार करें जिसके साथ एक कठोर शरीर एक क्रिया के रूप में एक बंधन पर कार्य करता है, तो बंधन की प्रतिक्रिया एक प्रतिकार है। इस मामले में, बल-क्रिया कनेक्शन पर लागू होती है, और कनेक्शन की प्रतिक्रिया ठोस शरीर पर लागू होती है।
• यांत्रिक प्रणालीपरस्पर जुड़े निकायों या भौतिक बिंदुओं का एक समूह है।
• ठोसएक यांत्रिक प्रणाली के रूप में माना जा सकता है, जिसके बिंदुओं के बीच की स्थिति और दूरी नहीं बदलती है।
• ताकतएक वेक्टर मात्रा है जो एक भौतिक शरीर की दूसरे पर यांत्रिक क्रिया की विशेषता है।
  एक वेक्टर के रूप में बल को आवेदन के बिंदु, कार्रवाई की दिशा और निरपेक्ष मूल्य की विशेषता है। बल मापांक की माप की इकाई न्यूटन है।
• बल की रेखावह सीधी रेखा है जिसके साथ बल वेक्टर निर्देशित होता है।
• केंद्रित शक्तिएक बिंदु पर लगाया गया बल है।
• वितरित बल (वितरित भार)- ये शरीर के आयतन, सतह या लंबाई के सभी बिंदुओं पर कार्य करने वाले बल हैं।
  वितरित भार प्रति इकाई आयतन (सतह, लंबाई) अभिनय करने वाले बल द्वारा दिया जाता है।
  वितरित भार का आयाम एन / एम 3 (एन / एम 2, एन / एम) है।
• बाहरी बलएक शरीर से कार्य करने वाला बल है जो माना यांत्रिक प्रणाली से संबंधित नहीं है।
• अंदरूनी शक्तिएक यांत्रिक प्रणाली के भौतिक बिंदु पर दूसरे से कार्य करने वाला बल है सामग्री बिंदुमाना प्रणाली से संबंधित है।
• बल प्रणालीएक यांत्रिक प्रणाली पर कार्य करने वाले बलों की समग्रता है।
• बलों की सपाट प्रणालीबलों की एक प्रणाली है जिसकी क्रिया रेखा एक ही तल में होती है।
• बलों की स्थानिक प्रणालीबलों की एक प्रणाली है जिसकी क्रिया रेखा एक ही तल में नहीं होती है।
• अभिसरण बल प्रणालीबलों की एक प्रणाली है जिसकी क्रिया रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
• बलों की मनमानी प्रणालीबलों की एक प्रणाली है जिसकी क्रिया रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
• बलों की समतुल्य प्रणाली- ये बलों की प्रणालियां हैं, जिनके प्रतिस्थापन से शरीर की यांत्रिक स्थिति में कोई बदलाव नहीं आता है।
  स्वीकृत पद : .
• संतुलनवह अवस्था जिसमें कोई पिंड स्थिर रहता है या बलों की कार्रवाई के तहत एक समान रूप से एक सीधी रेखा में गति करता है।
• बलों की संतुलित प्रणाली- यह बलों की एक प्रणाली है, जो एक मुक्त ठोस शरीर पर लागू होने पर, अपनी यांत्रिक स्थिति को नहीं बदलता है (इसे असंतुलित नहीं करता है)।
  .
• पारिणामिक शक्तिएक बल है जिसकी किसी पिंड पर कार्रवाई बलों की एक प्रणाली की कार्रवाई के बराबर होती है।
  .
• शक्ति का क्षणएक मान है जो बल की घूर्णन क्षमता को दर्शाता है।
• पावर कपलविपरीत दिशा में निर्देशित बलों के निरपेक्ष मूल्य में दो समानांतर बराबर की एक प्रणाली है।
  स्वीकृत पद : .
  कुछ बलों की कार्रवाई के तहत, शरीर एक घूर्णी गति करेगा।
• अक्ष पर बल का प्रक्षेपण- यह इस अक्ष पर बल वेक्टर की शुरुआत और अंत से खींचे गए लंबवत के बीच संलग्न एक खंड है।
  प्रक्षेपण सकारात्मक है यदि खंड की दिशा अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ मेल खाती है।
• एक विमान पर बल का प्रक्षेपणइस तल पर बल सदिश की शुरुआत और अंत से खींचे गए लंबवत के बीच संलग्न एक विमान पर एक वेक्टर है।
• कानून 1 (जड़ता का कानून)।एक पृथक सामग्री बिंदु आराम पर है या समान रूप से और सीधा चलता है।
  एक भौतिक बिंदु की एकसमान और सीधी गति जड़ता द्वारा एक गति है। एक भौतिक बिंदु और एक कठोर शरीर के संतुलन की स्थिति को न केवल आराम की स्थिति के रूप में समझा जाता है, बल्कि जड़ता द्वारा एक आंदोलन के रूप में भी समझा जाता है। एक कठोर शरीर के लिए, विभिन्न प्रकार की जड़ता गति होती है, उदाहरण के लिए, एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक कठोर शरीर का एक समान घूमना।
• कानून 2.एक दृढ़ पिंड दो बलों की कार्रवाई के तहत संतुलन में तभी होता है जब ये बल परिमाण में समान हों और विपरीत दिशाओं में निर्देशित हों आम लाइनक्रियाएँ।
  इन दोनों बलों को संतुलित कहा जाता है।
  सामान्य तौर पर, बलों को संतुलित कहा जाता है यदि कठोर शरीर जिस पर इन बलों को लगाया जाता है वह आराम पर होता है।
• कानून 3.एक कठोर शरीर की स्थिति (यहां "राज्य" शब्द का अर्थ गति या आराम की स्थिति है) को परेशान किए बिना, कोई भी संतुलन बलों को जोड़ और त्याग सकता है।
  परिणाम। एक कठोर शरीर की स्थिति को परेशान किए बिना, बल को इसकी क्रिया की रेखा के साथ शरीर के किसी भी बिंदु पर स्थानांतरित किया जा सकता है।
  बलों की दो प्रणालियों को समतुल्य कहा जाता है यदि उनमें से एक को कठोर शरीर की स्थिति को परेशान किए बिना दूसरे द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
• कानून 4.एक बिंदु पर लगाए गए दो बलों का परिणाम एक ही बिंदु पर लगाया जाता है, इन बलों पर बने समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के निरपेक्ष मान के बराबर होता है, और इसके साथ निर्देशित होता है
  विकर्ण।
  परिणामी का मापांक है:
  
• कानून 5 (कार्रवाई और प्रतिक्रिया की समानता का कानून). वे बल जिनके साथ दो पिंड एक दूसरे पर कार्य करते हैं, परिमाण में समान होते हैं और एक सीधी रेखा के साथ विपरीत दिशाओं में निर्देशित होते हैं।
  यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि गतिविधि- शरीर पर लागू बल बी, तथा विरोध- शरीर पर लागू बल लेकिनसंतुलित नहीं हैं, क्योंकि वे विभिन्न निकायों से जुड़े हुए हैं।
• नियम 6 (सख्त करने का नियम). एक गैर-ठोस शरीर का संतुलन तब नहीं बिगड़ता जब वह जम जाता है।
  यह नहीं भूलना चाहिए कि संतुलन की शर्तें, जो एक कठोर शरीर के लिए आवश्यक और पर्याप्त हैं, आवश्यक हैं लेकिन संबंधित गैर-कठोर शरीर के लिए अपर्याप्त हैं।
• कानून 7 (बांड से रिहाई का कानून)।एक गैर-मुक्त ठोस को मुक्त माना जा सकता है यदि यह बांड की संबंधित प्रतिक्रियाओं के साथ बांड की क्रिया को बदलकर मानसिक रूप से बांड से मुक्त हो।

कनेक्शन और उनकी प्रतिक्रियाएं
• सौम्य सतहसमर्थन सतह के लिए सामान्य के साथ आंदोलन को प्रतिबंधित करता है। प्रतिक्रिया सतह के लंबवत निर्देशित होती है।
• जोड़ा हुआ चल समर्थनशरीर की गति को सामान्य के साथ संदर्भ विमान तक सीमित करता है। प्रतिक्रिया को सामान्य के साथ समर्थन सतह पर निर्देशित किया जाता है।
• जोड़ा हुआ निश्चित समर्थनरोटेशन की धुरी के लंबवत समतल में किसी भी गति का प्रतिकार करता है।
• जोड़ा हुआ भारहीन छड़रॉड की रेखा के साथ शरीर की गति का प्रतिकार करता है। प्रतिक्रिया रॉड की रेखा के साथ निर्देशित की जाएगी।
• अंधा समाप्तिविमान में किसी भी गति और घुमाव का प्रतिकार करता है। इसकी क्रिया को दो घटकों के रूप में प्रस्तुत बल और एक क्षण के साथ बलों की एक जोड़ी द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

गतिकी

गतिकी- सैद्धांतिक यांत्रिकी का एक खंड, जो यांत्रिक गति के सामान्य ज्यामितीय गुणों को अंतरिक्ष और समय में होने वाली प्रक्रिया के रूप में मानता है। चलती वस्तुओं को ज्यामितीय बिंदु या ज्यामितीय निकाय माना जाता है।

किनेमेटिक्स की बुनियादी अवधारणाएं
• एक बिंदु (शरीर) की गति का नियमसमय पर अंतरिक्ष में एक बिंदु (शरीर) की स्थिति की निर्भरता है।
• बिंदु प्रक्षेपवक्रअपने आंदोलन के दौरान अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति का स्थान है।
• बिंदु (शरीर) गति- यह अंतरिक्ष में एक बिंदु (शरीर) की स्थिति के समय में परिवर्तन की विशेषता है।
• बिंदु (शरीर) त्वरण- यह एक बिंदु (शरीर) की गति के समय में परिवर्तन की विशेषता है।

एक बिंदु की गतिज विशेषताओं का निर्धारण
• बिंदु प्रक्षेपवक्र
  वेक्टर संदर्भ प्रणाली में, प्रक्षेपवक्र को अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित किया गया है: .
  निर्देशांक संदर्भ प्रणाली में, बिंदु गति के नियम के अनुसार प्रक्षेपवक्र निर्धारित किया जाता है और भावों द्वारा वर्णित किया जाता है जेड = एफ (एक्स, वाई)अंतरिक्ष में, या वाई = एफ (एक्स)- प्लेन में।
  एक प्राकृतिक संदर्भ प्रणाली में, प्रक्षेपवक्र पूर्व निर्धारित होता है।
• वेक्टर समन्वय प्रणाली में एक बिंदु की गति का निर्धारण
  एक वेक्टर समन्वय प्रणाली में एक बिंदु के आंदोलन को निर्दिष्ट करते समय, समय अंतराल के आंदोलन के अनुपात को इस समय अंतराल में गति का औसत मूल्य कहा जाता है:।
  समय अंतराल को एक अतिसूक्ष्म मान के रूप में लेते हुए, एक निश्चित समय पर गति का मान प्राप्त करता है ( तात्कालिक मूल्यरफ़्तार): .
  वेक्टर औसत गतिबिंदु गति की दिशा में वेक्टर के साथ निर्देशित किया जाता है, तात्कालिक वेग वेक्टर को बिंदु गति की दिशा में प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा रूप से निर्देशित किया जाता है।
  निष्कर्ष: एक बिंदु की गति समय के संबंध में गति के नियम के व्युत्पन्न के बराबर एक सदिश राशि है।
  व्युत्पन्न संपत्ति: किसी भी मूल्य का समय व्युत्पन्न इस मूल्य के परिवर्तन की दर निर्धारित करता है।
• एक समन्वय संदर्भ प्रणाली में एक बिंदु की गति का निर्धारण
  बिंदु निर्देशांक के परिवर्तन की दर:
  .
  कुल बिंदु गति मापांक at आयताकार प्रणालीनिर्देशांक होंगे:
  .
  वेग वेक्टर की दिशा स्टीयरिंग कोणों के कोसाइन द्वारा निर्धारित की जाती है:
  ,
  वेग वेक्टर और निर्देशांक अक्षों के बीच के कोण कहाँ हैं।
• एक प्राकृतिक संदर्भ प्रणाली में एक बिंदु की गति का निर्धारण
  एक प्राकृतिक संदर्भ प्रणाली में एक बिंदु की गति को एक बिंदु की गति के नियम के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया जाता है: .
  पिछले निष्कर्षों के अनुसार, वेग वेक्टर को बिंदु गति की दिशा में प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा रूप से निर्देशित किया जाता है और कुल्हाड़ियों में केवल एक प्रक्षेपण द्वारा निर्धारित किया जाता है।

कठोर शरीर कीनेमेटीक्स
• कठोर पिंडों के कीनेमेटीक्स में, दो मुख्य समस्याएं हल होती हैं:
  1) समग्र रूप से शरीर की गतिज विशेषताओं की गति और निर्धारण का कार्य;
  2) शरीर के बिंदुओं की गतिज विशेषताओं का निर्धारण।
• एक कठोर शरीर की अनुवादकीय गति
  अनुवाद गति एक गति है जिसमें शरीर के दो बिंदुओं के माध्यम से खींची गई एक सीधी रेखा अपनी मूल स्थिति के समानांतर रहती है।
  प्रमेय: अनुवाद गति में, शरीर के सभी बिंदु एक ही प्रक्षेपवक्र के साथ चलते हैं और समय के प्रत्येक क्षण में परिमाण और दिशा में समान वेग और त्वरण होते हैं.
  निष्कर्ष: एक कठोर पिंड की अनुवाद गति उसके किसी भी बिंदु की गति से निर्धारित होती है, और इसलिए, इसकी गति का कार्य और अध्ययन एक बिंदु के गतिज विज्ञान तक कम हो जाता है.
• एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक कठोर शरीर की घूर्णन गति
  एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक कठोर शरीर की घूर्णी गति एक कठोर शरीर की गति है जिसमें शरीर से संबंधित दो बिंदु गति के पूरे समय में गतिहीन रहते हैं।
  शरीर की स्थिति रोटेशन के कोण से निर्धारित होती है। किसी कोण के मापन की इकाई रेडियन होती है। (एक रेडियन एक वृत्त का केंद्रीय कोण होता है जिसकी चाप की लंबाई त्रिज्या के बराबर होती है, वृत्त के पूर्ण कोण में होता है 2πरेडियन।)
  एक निश्चित अक्ष के चारों ओर किसी पिंड की घूर्णी गति का नियम।
  शरीर के कोणीय वेग और कोणीय त्वरण को विभेदन विधि द्वारा निर्धारित किया जाएगा:
  - कोणीय वेग, रेड/एस;
  — कोणीय त्वरण, rad/s².
  यदि हम पिंड को अक्ष के लंबवत समतल से काटते हैं, तो रोटेशन के अक्ष पर एक बिंदु चुनें सेऔर एक मनमाना बिंदु एम, फिर बिंदु एमबिंदु के आसपास वर्णन करेंगे सेत्रिज्या वृत्त आर. दौरान डीटीकोण के माध्यम से एक प्रारंभिक घूर्णन होता है, जबकि बिंदु एमदूरी के लिए प्रक्षेपवक्र के साथ आगे बढ़ेंगे .
  रैखिक गति मॉड्यूल:
  .
  बिंदु त्वरण एमएक ज्ञात प्रक्षेपवक्र के साथ इसके घटकों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
  ,
  कहाँ पे .
  परिणामस्वरूप, हमें सूत्र मिलते हैं
  स्पर्शरेखा त्वरण: ;
  सामान्य त्वरण: .

गतिकी

गतिकी- यह सैद्धांतिक यांत्रिकी की एक शाखा है, जो भौतिक निकायों के यांत्रिक आंदोलनों का अध्ययन करती है, जो उनके कारणों के आधार पर होती है।

गतिकी की बुनियादी अवधारणाएँ
• जड़ता- जब तक बाहरी ताकतें इस अवस्था को नहीं बदल देतीं, तब तक यह भौतिक निकायों की आराम की स्थिति या एकसमान रेक्टिलाइनियर गति बनाए रखने का गुण है।
• वज़नशरीर की जड़ता का एक मात्रात्मक माप है। द्रव्यमान की इकाई किलोग्राम (किलो) है।
• सामग्री बिंदुएक द्रव्यमान वाला पिंड है, जिसके आयामों को इस समस्या को हल करने में उपेक्षित किया जाता है।
• एक यांत्रिक प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्रएक ज्यामितीय बिंदु है जिसके निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:
  
  कहाँ पे एम के, एक्स के, वाई के, जेड के- द्रव्यमान और निर्देशांक क- यांत्रिक प्रणाली का वह बिंदु, एमप्रणाली का द्रव्यमान है।
  गुरुत्वाकर्षण के एक समान क्षेत्र में, द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति से मेल खाती है।
• धुरी के बारे में एक भौतिक शरीर की जड़ता का क्षणघूर्णी गति के दौरान जड़ता का एक मात्रात्मक माप है।
  अक्ष के बारे में एक भौतिक बिंदु की जड़ता का क्षण बिंदु के द्रव्यमान के गुणनफल और अक्ष से बिंदु की दूरी के वर्ग के बराबर है:
  .
  अक्ष के परितः निकाय (निकाय) का जड़त्व आघूर्ण बराबर होता है अंकगणितीय योगसभी बिंदुओं की जड़ता के क्षण:
  
• एक भौतिक बिंदु की जड़ता का बलएक वेक्टर मात्रा एक बिंदु के द्रव्यमान और त्वरण के मॉड्यूल के उत्पाद के बराबर है और त्वरण वेक्टर के विपरीत निर्देशित है:
• एक भौतिक शरीर की जड़ता का बलएक वेक्टर मात्रा है जो शरीर के द्रव्यमान के उत्पाद और शरीर के द्रव्यमान के केंद्र के त्वरण के मॉड्यूल के बराबर है और द्रव्यमान के केंद्र के त्वरण वेक्टर के विपरीत निर्देशित है:
  शरीर के द्रव्यमान के केंद्र का त्वरण कहाँ है।
• मौलिक बल आवेगएक अनंत समय अंतराल द्वारा बल वेक्टर के उत्पाद के बराबर एक वेक्टर मात्रा है डीटी:
  .
  प्रति t . कुल आवेग बल अभिन्न के बराबर हैप्राथमिक आवेगों से:
  .
• बल का प्राथमिक कार्य- ये है अदिश डीए, अदिश के बराबर

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संक्षिप्त समीक्षा

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• स्थिति-विज्ञान
  • स्टैटिक्स की बुनियादी अवधारणाएँ
  • बल प्रकार
  • स्टैटिक्स के स्वयंसिद्ध
  • कनेक्शन और उनकी प्रतिक्रियाएं
  • अभिसरण बल प्रणाली
    • अभिसारी बलों की परिणामी प्रणाली को निर्धारित करने के तरीके
    • अभिसरण बलों की एक प्रणाली के लिए संतुलन की स्थिति
  • एक वेक्टर के रूप में केंद्र के बारे में बल का क्षण
    • बल आघूर्ण का बीजीय मान
    • केंद्र के बारे में बल के क्षण के गुण (बिंदु)
  • बलों के जोड़े का सिद्धांत
    • एक ही दिशा में दो समानांतर बलों का जोड़
    • विपरीत दिशाओं में निर्देशित दो समानांतर बलों का जोड़
    • पावर जोड़े
    • बलों के प्रमेयों की जोड़ी
    • बलों के जोड़े की एक प्रणाली के संतुलन के लिए शर्तें
  • लीवर आर्म
  • बलों की मनमानी विमान प्रणाली
    • बलों की एक सपाट प्रणाली को सरल रूप में कम करने के मामले
    • विश्लेषणात्मक संतुलन की स्थिति
  • समानांतर बलों का केंद्र। ग्रैविटी केंद्र
    • समानांतर बलों का केंद्र
    • एक कठोर पिंड का गुरुत्वाकर्षण केंद्र और उसके निर्देशांक
    • आयतन, तलों और रेखाओं के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र
    • गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति निर्धारित करने के तरीके
• शक्ति रैकेट की मूल बातें
  • सामग्री के प्रतिरोध की समस्याएं और तरीके
  • भार वर्गीकरण
  • संरचनात्मक तत्वों का वर्गीकरण
  • रॉड विकृतियां
  • मुख्य परिकल्पना और सिद्धांत
  • आंतरिक बल। अनुभाग विधि
  • वोल्टेज
  • तनाव और संपीड़न
  • सामग्री की यांत्रिक विशेषताएं
  • अनुमेय तनाव
  • सामग्री कठोरता
  • अनुदैर्ध्य बलों और तनावों के भूखंड
  • बदलाव
  • वर्गों की ज्यामितीय विशेषताएं
  • टोशन
  • झुकना
    • झुकने में अंतर निर्भरता
    • आनमनी सार्मथ्य
    • सामान्य तनाव। शक्ति गणना
    • कतरनी झुकने में जोर देती है
    • झुकने की कठोरता
  • तत्वों सामान्य सिद्धांततनाव की स्थिति
  • शक्ति सिद्धांत
  • मोड़ के साथ झुकना
• गतिकी
  • बिंदु कीनेमेटीक्स
    • बिंदु प्रक्षेपवक्र
    • एक बिंदु की गति को निर्दिष्ट करने के तरीके
    • बिंदु गति
    • बिंदु त्वरण
  • कठोर शरीर कीनेमेटीक्स
    • एक कठोर शरीर की अनुवादकीय गति
    • कठोर पिंड की घूर्णन गति
    • गियर तंत्र की कीनेमेटीक्स
    • कठोर पिंड की समतल-समानांतर गति
  • जटिल बिंदु आंदोलन
• गतिकी
  • गतिकी के मूल नियम
  • बिंदु गतिकी
    • एक मुक्त सामग्री बिंदु के विभेदक समीकरण
    • बिंदु गतिकी की दो समस्याएं
  • कठोर शारीरिक गतिशीलता
    • यांत्रिक प्रणाली पर कार्य करने वाले बलों का वर्गीकरण
    • एक यांत्रिक प्रणाली की गति के विभेदक समीकरण
  • गतिकी के सामान्य प्रमेय
    • एक यांत्रिक प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र की गति पर प्रमेय
    • संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय
    • कोणीय गति में परिवर्तन पर प्रमेय
    • गतिज ऊर्जा परिवर्तन प्रमेय
• मशीनों में अभिनय करने वाले बल
  • एक प्रेरणा गियर की सगाई में बल
  • तंत्र और मशीनों में घर्षण
    • सर्पी घर्षण
    • रोलिंग घर्षण
  • क्षमता
• मशीन के पुर्ज़े
  • यांत्रिक प्रसारण
    • यांत्रिक गियर के प्रकार
    • यांत्रिक गियर के बुनियादी और व्युत्पन्न पैरामीटर
    • गियर
    • लचीले लिंक वाले गियर्स
  • शाफ्ट
    • उद्देश्य और वर्गीकरण
    • डिजाइन गणना
    • शाफ्ट की गणना की जाँच करें
  • बीयरिंग
    • सादा बीयरिंग
    • रोलिंग बियरिंग्स
  • मशीन भागों का कनेक्शन
    • वियोज्य और स्थायी कनेक्शन के प्रकार
    • बंद कनेक्शन
• मानदंडों का मानकीकरण, विनिमेयता
  • सहिष्णुता और लैंडिंग
  • सहिष्णुता और लैंडिंग की एकीकृत प्रणाली (ईएसडीपी)
  • फॉर्म और स्थिति विचलन

प्रारूप: पीडीएफ

आकार: 4 एमबी

रूसी भाषा

स्पर गियर की गणना का एक उदाहरण
स्पर गियर की गणना का एक उदाहरण। सामग्री की पसंद, अनुमेय तनावों की गणना, संपर्क की गणना और झुकने की ताकत का प्रदर्शन किया गया।

बीम झुकने की समस्या को हल करने का एक उदाहरण
उदाहरण में, अनुप्रस्थ बलों और झुकने वाले क्षणों के आरेखों को प्लॉट किया जाता है, एक खतरनाक खंड पाया जाता है, और एक आई-बीम का चयन किया जाता है। समस्या में, विभेदक निर्भरता का उपयोग करके आरेखों के निर्माण का विश्लेषण किया गया था, विभिन्न बीम क्रॉस सेक्शन का तुलनात्मक विश्लेषण किया गया था।

शाफ्ट मरोड़ की समस्या को हल करने का एक उदाहरण
कार्य किसी दिए गए व्यास, सामग्री और स्वीकार्य तनाव के लिए स्टील शाफ्ट की ताकत का परीक्षण करना है। समाधान के दौरान, टॉर्क, शीयर स्ट्रेस और ट्विस्ट एंगल के आरेख बनाए जाते हैं। शाफ्ट के स्व-वजन को ध्यान में नहीं रखा जाता है

एक छड़ के तनाव-संपीड़न की समस्या को हल करने का एक उदाहरण
कार्य दिए गए स्वीकार्य तनावों पर स्टील रॉड की ताकत का परीक्षण करना है। समाधान के दौरान, अनुदैर्ध्य बलों, सामान्य तनाव और विस्थापन के भूखंडों का निर्माण किया जाता है। बार के स्व वजन को ध्यान में नहीं रखा जाता है

गतिज ऊर्जा संरक्षण प्रमेय का अनुप्रयोग
एक यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा के संरक्षण पर प्रमेय को लागू करने की समस्या को हल करने का एक उदाहरण

गति के दिए गए समीकरणों के अनुसार किसी बिंदु की गति और त्वरण का निर्धारण
एक बिंदु की गति और त्वरण को निर्धारित करने की समस्या को हल करने का एक उदाहरण दिए गए समीकरणआंदोलनों

समतल-समानांतर गति के दौरान एक कठोर शरीर के बिंदुओं के वेग और त्वरण का निर्धारण
समतल-समानांतर गति के दौरान एक कठोर पिंड के बिंदुओं के वेग और त्वरण को निर्धारित करने की समस्या को हल करने का एक उदाहरण

प्लानर ट्रस बार्स में बलों का निर्धारण
रिटर विधि और गाँठ काटने की विधि द्वारा एक फ्लैट ट्रस की सलाखों में बलों को निर्धारित करने की समस्या को हल करने का एक उदाहरण

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सैद्धांतिक यांत्रिकी डायनेमिक्स (I भाग) पर व्याख्यान का कोर्स बोंडारेंको ए.एन. मॉस्को - 2007 इलेक्ट्रॉनिक प्रशिक्षण पाठ्यक्रम NIIZhT और MIIT (1974-2006) में SZhD, PGS और SDM की विशिष्टताओं में पढ़ने वाले छात्रों के लिए लेखक द्वारा दिए गए व्याख्यान के आधार पर लिखा गया है। शैक्षिक सामग्रीमेल खाती है कैलेंडर योजनातीन सेमेस्टर से अधिक। प्रस्तुति के दौरान एनीमेशन प्रभावों के पूर्ण कार्यान्वयन के लिए, आपको एक पावर प्वाइंट व्यूअर का उपयोग करना चाहिए जो कि विंडोज एक्सपी प्रोफेशनल ऑपरेटिंग सिस्टम के माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस में निर्मित एक से कम नहीं है। टिप्पणियाँ और सुझाव ई-मेल द्वारा भेजे जा सकते हैं: [ईमेल संरक्षित]. मास्को स्टेट यूनिवर्सिटीरेलवे (एमआईआईटी) सैद्धांतिक यांत्रिकी विभाग परिवहन प्रौद्योगिकी के वैज्ञानिक और तकनीकी केंद्र

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सामग्री व्याख्यान 1. गतिकी का परिचय। भौतिक बिंदु गतिकी के नियम और स्वयंसिद्ध। गतिकी का मूल समीकरण। गति के विभेदक और प्राकृतिक समीकरण। गतिकी के दो मुख्य कार्य। गतिकी की सीधी समस्या को हल करने के उदाहरण व्याख्यान 2. गतिकी की व्युत्क्रम समस्या को हल करना। गतिकी की व्युत्क्रम समस्या को हल करने के लिए सामान्य निर्देश। गतिकी की व्युत्क्रम समस्या को हल करने के उदाहरण। हवा के प्रतिरोध को ध्यान में रखे बिना, क्षितिज के कोण पर फेंके गए पिंड की गति। व्याख्यान 3. एक भौतिक बिंदु का सीधा दोलन। दोलनों की घटना के लिए स्थिति। कंपन का वर्गीकरण। प्रतिरोध की ताकतों को ध्यान में रखे बिना मुक्त कंपन। नम कंपन। दोलन कमी। व्याख्यान 4. एक भौतिक बिंदु के जबरन दोलन। अनुनाद। मजबूर कंपन के दौरान गति के प्रतिरोध का प्रभाव। व्याख्यान 5. एक भौतिक बिंदु की सापेक्ष गति। जड़ता की ताकतें। विभिन्न प्रकार के पोर्टेबल आंदोलन के लिए आंदोलन के विशेष मामले। पिंडों के संतुलन और गति पर पृथ्वी के घूर्णन का प्रभाव। व्याख्यान 6. एक यांत्रिक प्रणाली की गतिशीलता। यांत्रिक प्रणाली। बाहरी और आंतरिक ताकतें। प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र। द्रव्यमान के केंद्र की गति पर प्रमेय। संरक्षण कानून। द्रव्यमान के केंद्र की गति पर प्रमेय का उपयोग करने की समस्या को हल करने का एक उदाहरण। व्याख्यान 7. बल का आवेग। आंदोलन की मात्रा। संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय। संरक्षण कानून। यूलर का प्रमेय। संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय के उपयोग पर समस्या को हल करने का एक उदाहरण। गति का क्षण। कोणीय गति को बदलने पर प्रमेय व्याख्यान 8. संरक्षण कानून। जड़ता के क्षणों के सिद्धांत के तत्व। कठोर शरीर का गतिज क्षण। अंतर समीकरणएक कठोर शरीर का घूमना। निकाय के कोणीय संवेग को बदलने पर प्रमेय का उपयोग करने की समस्या को हल करने का एक उदाहरण। जाइरोस्कोप का प्राथमिक सिद्धांत। अनुशंसित साहित्य सैद्धांतिक यांत्रिकी का कोर्स। भाग 2। एम।: ग्रेजुएट स्कूल. 1977. 368 पी। 2. मेश्चर्स्की आई.वी. सैद्धांतिक यांत्रिकी में समस्याओं का संग्रह। एम.: विज्ञान। 1986 416 पी। 3. टर्म पेपर / एड के लिए असाइनमेंट का संग्रह। ए.ए. याब्लोंस्की। एम.: हायर स्कूल। 1985. 366 पी। 4. बोंडारेंको ए.एन. "उदाहरणों और कार्यों में सैद्धांतिक यांत्रिकी। गतिकी" (इलेक्ट्रॉनिक मैनुअल www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004

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व्याख्यान 1 गतिशीलता सैद्धांतिक यांत्रिकी का एक खंड है जो सबसे सामान्य दृष्टिकोण से यांत्रिक गति का अध्ययन करता है। आंदोलन को वस्तु पर कार्य करने वाले बलों के संबंध में माना जाता है। इस खंड में तीन खंड होते हैं: एक भौतिक बिंदु की गतिशीलता एक यांत्रिक प्रणाली की गतिशीलता विश्लेषणात्मक यांत्रिकी एक बिंदु की गतिशीलता - इस आंदोलन का कारण बनने वाली ताकतों को ध्यान में रखते हुए, एक भौतिक बिंदु की गति का अध्ययन करती है। मुख्य वस्तु एक भौतिक बिंदु है - एक द्रव्यमान वाला भौतिक शरीर, जिसके आयामों की उपेक्षा की जा सकती है। मूल धारणाएँ: - एक निरपेक्ष स्थान होता है (विशुद्ध रूप से होता है .) ज्यामितीय गुणपदार्थ और उसकी गति से स्वतंत्र। - निरपेक्ष समय है (पदार्थ और उसकी गति पर निर्भर नहीं करता है)। यह यहाँ से इस प्रकार है: - संदर्भ का एक बिल्कुल गतिहीन फ्रेम है। - समय संदर्भ के फ्रेम की गति पर निर्भर नहीं करता है। - गतिमान बिंदुओं का द्रव्यमान संदर्भ के फ्रेम की गति पर निर्भर नहीं करता है। इन मान्यताओं का उपयोग गैलीलियो और न्यूटन द्वारा निर्मित शास्त्रीय यांत्रिकी में किया जाता है। इसमें अभी भी अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला है, क्योंकि अनुप्रयुक्त विज्ञान में मानी जाने वाली यांत्रिक प्रणालियों में इतने बड़े द्रव्यमान और गति की गति नहीं होती है, जिसके लिए अंतरिक्ष, समय, गति की ज्यामिति पर उनके प्रभाव को ध्यान में रखना आवश्यक है। के रूप में किया जाता है सापेक्षतावादी यांत्रिकी(सापेक्षता सिद्धांत)। सबसे पहले गैलीलियो द्वारा खोजे गए और न्यूटन द्वारा तैयार किए गए गतिकी के बुनियादी नियम, यांत्रिक प्रणालियों की गति और विभिन्न बलों की कार्रवाई के तहत उनकी गतिशील बातचीत का वर्णन और विश्लेषण करने के लिए सभी तरीकों का आधार बनाते हैं। जड़ता का नियम (गैलीलियो-न्यूटन का नियम) - किसी पिंड का एक पृथक भौतिक बिंदु अपनी विराम अवस्था या एकसमान रेक्टिलाइनियर गति को तब तक बनाए रखता है जब तक कि लागू बल उसे इस अवस्था को बदलने के लिए मजबूर नहीं करते। इसका तात्पर्य जड़ता (गैलीलियो के सापेक्षता के नियम) द्वारा आराम और गति की स्थिति की समानता है। संदर्भ का वह ढांचा, जिसके संबंध में जड़ता का नियम पूरा होता है, जड़त्वीय कहलाता है। एक भौतिक बिंदु की संपत्ति अपने आंदोलन की गति (इसकी गतिज अवस्था) को अपरिवर्तित रखने का प्रयास करने के लिए जड़ता कहलाती है। बल और त्वरण की आनुपातिकता का नियम (गतिशीलता का मूल समीकरण - न्यूटन का II नियम) - बल द्वारा किसी भौतिक बिंदु पर लगाया गया त्वरण बल के सीधे आनुपातिक होता है और इस बिंदु के द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है: या यहाँ m है बिंदु का द्रव्यमान (जड़ता का एक माप), किलो में मापा जाता है, संख्यात्मक रूप से गुरुत्वाकर्षण के त्वरण से विभाजित वजन के बराबर होता है: एफ अभिनय बल है, जिसे एन में मापा जाता है (1 एन एक बिंदु के लिए 1 मीटर / एस 2 का त्वरण प्रदान करता है) द्रव्यमान 1 किग्रा, 1 एन \u003d 1 / 9.81 किग्रा-एस)। एक यांत्रिक प्रणाली की गतिशीलता - भौतिक बिंदुओं और कठोर निकायों के एक सेट की गति का अध्ययन करती है, संयुक्त सामान्य कानूनबातचीत, इस आंदोलन का कारण बनने वाली ताकतों को ध्यान में रखते हुए। विश्लेषणात्मक यांत्रिकी - सामान्य विश्लेषणात्मक विधियों का उपयोग करके गैर-मुक्त यांत्रिक प्रणालियों की गति का अध्ययन करता है। एक

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व्याख्यान 1 (जारी - 1.2) एक भौतिक बिंदु की गति के विभेदक समीकरण: - वेक्टर रूप में एक बिंदु की गति का अंतर समीकरण। - निर्देशांक रूप में बिंदु गति के अंतर समीकरण। यह परिणाम सदिश अवकल समीकरण (1) के औपचारिक प्रक्षेपण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। समूहीकरण के बाद, वेक्टर संबंध तीन अदिश समीकरणों में विघटित होता है: समन्वय रूप में: हम निर्देशांक के साथ त्रिज्या-वेक्टर के संबंध और अनुमानों के साथ बल वेक्टर का उपयोग करते हैं: प्राकृतिक (चलती) समन्वय अक्षों पर गति के अंतर समीकरण: या: - एक बिंदु की गति के प्राकृतिक समीकरण। गतिकी का मूल समीकरण: - एक बिंदु की गति को निर्दिष्ट करने के वेक्टर तरीके से मेल खाता है। बलों की कार्रवाई की स्वतंत्रता का नियम - कई बलों की कार्रवाई के तहत एक भौतिक बिंदु का त्वरण प्रत्येक बल की अलग-अलग कार्रवाई से एक बिंदु के त्वरण के ज्यामितीय योग के बराबर होता है: या कानून मान्य है निकायों की किसी भी गतिज अवस्था के लिए। विभिन्न बिंदुओं (निकायों) पर लागू होने वाली बातचीत की ताकतें संतुलित नहीं हैं। क्रिया और प्रतिक्रिया की समानता का नियम (न्यूटन का III नियम) - प्रत्येक क्रिया एक समान और विपरीत दिशा में निर्देशित प्रतिक्रिया से मेल खाती है: 2

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गतिकी की दो मुख्य समस्याएँ: 1. प्रत्यक्ष समस्या: गति दी जाती है (गति के समीकरण, प्रक्षेपवक्र)। उन बलों को निर्धारित करना आवश्यक है जिनके तहत कोई आंदोलन होता है। 2. व्युत्क्रम समस्या: जिन बलों की क्रिया के तहत गति होती है, वे दिए गए हैं। गति मापदंडों (गति समीकरण, गति प्रक्षेपवक्र) को खोजना आवश्यक है। दोनों समस्याओं को गतिकी के मूल समीकरण और समन्वय अक्षों पर इसके प्रक्षेपण का उपयोग करके हल किया जाता है। यदि एक गैर-मुक्त बिंदु की गति पर विचार किया जाता है, तो, जैसा कि स्टैटिक्स में होता है, बांड से मुक्त होने के सिद्धांत का उपयोग किया जाता है। प्रतिक्रिया के परिणामस्वरूप, बांड भौतिक बिंदु पर कार्य करने वाले बलों की संरचना में शामिल होते हैं। पहली समस्या का समाधान विभेदन कार्यों से जुड़ा है। व्युत्क्रम समस्या के समाधान के लिए संबंधित अंतर समीकरणों के एकीकरण की आवश्यकता होती है, और यह विभेदन की तुलना में बहुत अधिक कठिन है। उलटा समस्या प्रत्यक्ष समस्या से अधिक कठिन है। गतिकी की प्रत्यक्ष समस्या का समाधान - आइए उदाहरणों को देखें: उदाहरण 1. एक लिफ्ट के भार G वाले केबिन को एक केबल द्वारा त्वरण a के साथ उठाया जाता है। केबल तनाव का निर्धारण करें। 1. एक वस्तु का चयन करें (लिफ्ट कार आगे बढ़ती है और इसे भौतिक बिंदु के रूप में माना जा सकता है)। 2. हम कनेक्शन (केबल) को त्याग देते हैं और इसे प्रतिक्रिया आर से बदल देते हैं। 3. गतिशीलता के मूल समीकरण की रचना करें: केबल की प्रतिक्रिया निर्धारित करें: केबल तनाव निर्धारित करें: कैब के एक समान आंदोलन के साथ = 0 और केबल तनाव वजन के बराबर है: टी = जी। जब केबल टूट जाती है टी = 0 और केबिन का त्वरण मुक्त गिरावट के त्वरण के बराबर होता है: ay = -g। 3 4. हम गतिकी के मूल समीकरण को y-अक्ष पर प्रक्षेपित करते हैं: y उदाहरण 2. द्रव्यमान का एक बिंदु समीकरणों के अनुसार एक क्षैतिज सतह (ऑक्सी तल) के साथ चलता है: x = a coskt, y = b coskt। बिंदु पर अभिनय करने वाले बल का निर्धारण करें। 1. एक वस्तु (भौतिक बिंदु) का चयन करें। 2. हम कनेक्शन (प्लेन) को त्याग देते हैं और इसे प्रतिक्रिया N से बदल देते हैं। 3. बलों की प्रणाली में एक अज्ञात बल F जोड़ें। 4. गतिकी के मूल समीकरण की रचना करें: 5. गतिकी के मूल समीकरण को पर प्रोजेक्ट करें कुल्हाड़ियों एक्स, वाई: बल अनुमानों का निर्धारण करें: बल मापांक: दिशा कोसाइन: इस प्रकार, बल का परिमाण निर्देशांक के केंद्र से बिंदु की दूरी के समानुपाती होता है और बिंदु को केंद्र से जोड़ने वाली रेखा के साथ केंद्र की ओर निर्देशित होता है। बिंदु आंदोलन का प्रक्षेपवक्र मूल पर केंद्रित एक अंडाकार है: ओ आर व्याख्यान 1 (जारी - 1.3)

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व्याख्यान 1 (निरंतरता 1.4) उदाहरण 3: भार G का एक भार l लंबाई के एक केबल पर लटकाया जाता है और एक निश्चित गति के साथ एक क्षैतिज तल में एक वृत्ताकार पथ के साथ चलता है। ऊर्ध्वाधर से केबल के विचलन का कोण बराबर होता है। केबल के तनाव और भार की गति का निर्धारण करें। 1. एक वस्तु (कार्गो) का चयन करें। 2. कनेक्शन (रस्सी) को त्यागें और इसे प्रतिक्रिया आर से बदलें। 3. गतिकी का मुख्य समीकरण लिखें: तीसरे समीकरण से, केबल की प्रतिक्रिया निर्धारित करें: केबल के तनाव का निर्धारण करें: प्रतिक्रिया के मूल्य को प्रतिस्थापित करें केबल की, दूसरे समीकरण में सामान्य त्वरण और लोड की गति निर्धारित करें: 4. मुख्य समीकरण एक्सल डायनेमिक्स को प्रोजेक्ट करें, n, b: उदाहरण 4: भार G की एक कार उत्तल पुल पर चलती है (वक्रता की त्रिज्या R है) ) गति V के साथ। पुल पर कार के दबाव का निर्धारण करें। 1. हम एक वस्तु का चयन करते हैं (एक कार, हम आयामों की उपेक्षा करते हैं और इसे एक बिंदु मानते हैं)। 2. हम कनेक्शन (खुरदरी सतह) को त्याग देते हैं और इसे प्रतिक्रिया N और घर्षण बल Ffr से बदल देते हैं। 3. हम गतिकी के मूल समीकरण की रचना करते हैं: 4. हम गतिकी के मूल समीकरण को n अक्ष पर प्रक्षेपित करते हैं: यहाँ से हम सामान्य प्रतिक्रिया निर्धारित करते हैं: हम पुल पर कार के दबाव को निर्धारित करते हैं: यहाँ से हम गति निर्धारित कर सकते हैं पुल पर शून्य दबाव के अनुरूप (क्यू = 0): 4

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व्याख्यान 2 स्थिरांक के पाए गए मूल्यों को प्रतिस्थापित करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं: इस प्रकार, बलों की एक ही प्रणाली की कार्रवाई के तहत, एक भौतिक बिंदु प्रदर्शन कर सकता है पूरी कक्षाप्रारंभिक स्थितियों द्वारा निर्धारित गति। प्रारंभिक निर्देशांक बिंदु की प्रारंभिक स्थिति को ध्यान में रखते हैं। अनुमानों द्वारा दिया गया प्रारंभिक वेग, इस खंड पर पहुंचने से पहले बिंदु पर कार्य करने वाले बलों के प्रक्षेपवक्र के विचारित खंड के साथ इसके आंदोलन पर प्रभाव को ध्यान में रखता है, अर्थात। प्रारंभिक गतिज अवस्था। गतिकी की व्युत्क्रम समस्या का समाधान - एक बिंदु की गति के सामान्य मामले में, बिंदु पर कार्य करने वाले बल चर होते हैं जो समय, निर्देशांक और गति पर निर्भर करते हैं। एक बिंदु की गति को तीन दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा वर्णित किया गया है: उनमें से प्रत्येक को एकीकृत करने के बाद, छह स्थिरांक होंगे C1, C2,…., C6: स्थिरांक के मान C1, C2,… ।, C6 छह प्रारंभिक स्थितियों से t = 0 पर पाए जाते हैं: समाधान प्रतिलोम समस्या का उदाहरण 1: द्रव्यमान m का एक मुक्त भौतिक बिंदु बल F की क्रिया के तहत चलता है, जो परिमाण और परिमाण में स्थिर है। . प्रारंभिक क्षण में, बिंदु की गति v0 थी और बल के साथ दिशा में मेल खाती थी। किसी बिंदु की गति का समीकरण ज्ञात कीजिए। 1. हम गतिकी के मूल समीकरण की रचना करते हैं: 3. हम व्युत्पन्न के क्रम को कम करते हैं: 2. हम कार्तीय संदर्भ प्रणाली का चयन करते हैं, x अक्ष को बल की दिशा में निर्देशित करते हैं और इस अक्ष पर गतिकी के मुख्य समीकरण को प्रोजेक्ट करते हैं: या x y z 4. चरों को अलग करें: 5. समीकरण के दोनों भागों से समाकलों की गणना करें: 6. आइए निर्देशांक के समय व्युत्पन्न के रूप में वेग प्रक्षेपण का प्रतिनिधित्व करते हैं: 8. समीकरण के दोनों भागों के समाकलों की गणना करें: 7. अलग चर: 9. स्थिरांक C1 और C2 के मूल्यों को निर्धारित करने के लिए, हम प्रारंभिक शर्तों t = 0, vx = v0, x = x0 का उपयोग करते हैं: परिणामस्वरूप, हम समान रूप से चर गति का समीकरण प्राप्त करते हैं (साथ में) एक्स अक्ष): 5

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सीधी और व्युत्क्रम समस्याओं को हल करने के लिए सामान्य निर्देश। समाधान प्रक्रिया: 1. गति के अंतर समीकरण का संकलन: 1.1। एक समन्वय प्रणाली चुनें - एक अज्ञात प्रक्षेपवक्र के साथ आयताकार (निश्चित), एक ज्ञात प्रक्षेपवक्र के साथ प्राकृतिक (चलती), उदाहरण के लिए, एक चक्र या एक सीधी रेखा। बाद के मामले में, एक सीधा समन्वय का उपयोग किया जा सकता है। संदर्भ बिंदु को बिंदु की प्रारंभिक स्थिति (t = 0 पर) या बिंदु की संतुलन स्थिति के साथ जोड़ा जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, जब बिंदु में उतार-चढ़ाव होता है। 6 1.2. समय में एक मनमाना क्षण (t> 0 के लिए) के अनुरूप स्थिति पर एक बिंदु बनाएं ताकि निर्देशांक सकारात्मक हों (s> 0, x> 0)। हम यह भी मानते हैं कि इस स्थिति में वेग प्रक्षेपण भी सकारात्मक है। दोलनों के मामले में, वेग प्रक्षेपण संकेत बदलता है, उदाहरण के लिए, जब संतुलन की स्थिति में लौटते हैं। यहां यह माना जाना चाहिए कि समय के विचारित क्षण में बिंदु संतुलन की स्थिति से दूर चला जाता है। गति पर निर्भर प्रतिरोध बलों के साथ काम करते समय इस सिफारिश का कार्यान्वयन भविष्य में महत्वपूर्ण है। 1.3. भौतिक बिंदु को बांड से मुक्त करें, उनकी क्रिया को प्रतिक्रियाओं से बदलें, सक्रिय बल जोड़ें। 1.4. गतिकी के मूल नियम को वेक्टर रूप में लिखें, चयनित अक्षों पर प्रोजेक्ट करें, समय के संदर्भ में व्यक्त या प्रतिक्रियाशील बल, निर्देशांक या गति चर, यदि वे उन पर निर्भर हैं। 2. अवकल समीकरणों का हल: 2.1। व्युत्पन्न को कम करें यदि समीकरण को विहित (मानक) रूप में कम नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए: या 2.2। अलग चर, उदाहरण के लिए: या 2.4। गणना नहीं निश्चित समाकलनसमीकरण के बाएँ और दाएँ भागों में, उदाहरण के लिए: 2.3। यदि समीकरण में तीन चर हैं, तो चरों में परिवर्तन करें, उदाहरण के लिए: और फिर चरों को अलग करें। टिप्पणी। गणना करने के बजाय अनिश्चित समाकलनपरिवर्तनीय ऊपरी सीमा के साथ निश्चित इंटीग्रल की गणना करना संभव है। निचली सीमाएं चर के प्रारंभिक मूल्यों (प्रारंभिक स्थितियों) का प्रतिनिधित्व करती हैं। फिर स्थिरांक को अलग से खोजने की कोई आवश्यकता नहीं है, जो स्वचालित रूप से समाधान में शामिल है, उदाहरण के लिए: प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग करना, उदाहरण के लिए, t = 0 , vx = vx0, एकीकरण का स्थिरांक निर्धारित करें: 2.5। उदाहरण के लिए, निर्देशांक के समय व्युत्पन्न के संदर्भ में गति व्यक्त करें, और चरण 2.2-2.4 नोट दोहराएं । यदि समीकरण को एक विहित रूप में घटाया जाता है जिसमें एक मानक समाधान होता है, तो इस तैयार समाधान का उपयोग किया जाता है। एकीकरण के स्थिरांक अभी भी प्रारंभिक स्थितियों से पाए जाते हैं। देखें, उदाहरण के लिए, दोलन (व्याख्यान 4, पृष्ठ 8)। व्याख्यान 2 (निरंतरता 2.2)

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व्याख्यान 2 (निरंतरता 2.3) प्रतिलोम समस्या को हल करने का उदाहरण 2: बल समय पर निर्भर करता है। भार P का भार F बल की क्रिया के तहत एक चिकनी क्षैतिज सतह के साथ चलना शुरू होता है, जिसका परिमाण समय (F = kt) के समानुपाती होता है। समय t में भार द्वारा तय की गई दूरी निर्धारित करें। 3. गतिकी के मूल समीकरण की रचना करें: 5. व्युत्पन्न के क्रम को कम करें: 4. गतिकी के मूल समीकरण को x-अक्ष पर प्रोजेक्ट करें: या 7 6. चरों को अलग करें: 7. के दोनों भागों के समाकलों की गणना करें समीकरण: 9. समय के संबंध में निर्देशांक के व्युत्पन्न के रूप में वेग के प्रक्षेपण का प्रतिनिधित्व करें: 10. समीकरण के दोनों हिस्सों के इंटीग्रल की गणना करें: 9. चर को अलग करें: 8. निरंतर C1 का मान निर्धारित करें प्रारंभिक स्थिति t = 0, vx = v0 = 0: परिणामस्वरूप, हमें गति का समीकरण (x अक्ष के साथ) प्राप्त होता है, जो समय t: 1 के लिए तय की गई दूरी का मान देता है। संदर्भ प्रणाली चुनें ( कार्तीय निर्देशांक) ताकि शरीर का एक सकारात्मक समन्वय हो: 2. हम गति की वस्तु को एक भौतिक बिंदु के रूप में लेते हैं (शरीर आगे बढ़ता है), इसे कनेक्शन (संदर्भ विमान) से मुक्त करें और इसे प्रतिक्रिया के साथ बदलें (एक चिकनी की सामान्य प्रतिक्रिया) सतह): 11. प्रारंभिक स्थिति t = 0, x = x0 = 0 से स्थिर C2 का मान निर्धारित करें: उलटा समस्या उदाहरण 3: बल निर्देशांक पर निर्भर करता है। द्रव्यमान m का एक भौतिक बिंदु पृथ्वी की सतह से v0 की गति से ऊपर की ओर फेंका जाता है। पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण बल बिंदु से गुरुत्वाकर्षण के केंद्र (पृथ्वी का केंद्र) की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है। पृथ्वी के केंद्र से दूरी y पर गति की निर्भरता निर्धारित करें। 1. हम संदर्भ प्रणाली (कार्टेशियन निर्देशांक) चुनते हैं ताकि शरीर का एक सकारात्मक समन्वय हो: 2. हम गतिकी के मूल समीकरण की रचना करते हैं: 3. हम y अक्ष पर गतिकी के मूल समीकरण को प्रोजेक्ट करते हैं: या आनुपातिकता का गुणांक कर सकते हैं पृथ्वी की सतह पर एक बिंदु के वजन का उपयोग करके पाया जा सकता है: आर इसलिए अंतर समीकरण जैसा दिखता है: या 4. व्युत्पन्न के क्रम को कम करें: 5. चर बदलें: 6. चर अलग करें: 7. गणना करें समीकरण के दोनों पक्षों के समाकलन: 8. सीमाओं को प्रतिस्थापित करें: परिणामस्वरूप, हम y निर्देशांक के एक फलन के रूप में गति के लिए एक व्यंजक प्राप्त करते हैं: गति को शून्य के बराबर करके अधिकतम ऊंचाई की उड़ान पाई जा सकती है: अधिकतम उड़ान ऊंचाई जब हर शून्य हो जाता है: यहाँ से, पृथ्वी की त्रिज्या और मुक्त पतन का त्वरण निर्धारित करते समय, II प्राप्त होता है अंतरिक्ष वेग:

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व्याख्यान 2 (निरंतरता 2.4) प्रतिलोम समस्या को हल करने का उदाहरण 2: बल गति पर निर्भर करता है। द्रव्यमान m के एक जहाज की गति v0 थी। जहाज की गति के लिए पानी का प्रतिरोध गति के समानुपाती होता है। इंजन को बंद करने के बाद जहाज की गति को आधे से कम करने में लगने वाले समय के साथ-साथ जहाज द्वारा पूरी तरह से रुकने की दूरी निर्धारित करें। 8 1. हम एक संदर्भ प्रणाली (कार्टेशियन निर्देशांक) चुनते हैं ताकि शरीर का एक सकारात्मक समन्वय हो: 2. हम गति की वस्तु को एक भौतिक बिंदु के रूप में लेते हैं (जहाज आगे बढ़ता है), इसे बांड (पानी) से मुक्त करता है और इसे बदल देता है एक प्रतिक्रिया के साथ (उत्साही बल - आर्किमिडीज बल), और आंदोलन के प्रतिरोध का बल भी। 3. सक्रिय बल (गुरुत्वाकर्षण) जोड़ें। 4. हम गतिकी के मुख्य समीकरण की रचना करते हैं: 5. हम गतिकी के मुख्य समीकरण को x अक्ष पर प्रक्षेपित करते हैं: या 6. हम अवकलज के क्रम को कम करते हैं: 7. हम चरों को अलग करते हैं: 8. हम दोनों से समाकलों की गणना करते हैं समीकरण के भाग: 9. हम सीमाओं को प्रतिस्थापित करते हैं: एक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है जो गति और समय टी से संबंधित होती है, जिससे आप आंदोलन का समय निर्धारित कर सकते हैं: आंदोलन का समय, जिसके दौरान गति आधी हो जाएगी: यह है यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि जब गति शून्य के करीब पहुंचती है, तो गति का समय अनंत हो जाता है, अर्थात। अंतिम वेग शून्य नहीं हो सकता। "निरंतर गति" क्यों नहीं? हालाँकि, इस मामले में, स्टॉप तक की गई दूरी एक परिमित मान है। तय की गई दूरी का निर्धारण करने के लिए, हम व्युत्पन्न के क्रम को कम करने के बाद प्राप्त अभिव्यक्ति की ओर मुड़ते हैं और चर का परिवर्तन करते हैं: सीमाओं को एकीकृत और प्रतिस्थापित करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं: स्टॉप तक की दूरी: एक बिंदु पर गति हवा के प्रतिरोध को ध्यान में रखे बिना एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में क्षितिज के कोण गति के समीकरणों से समय को हटाकर, हम प्रक्षेपवक्र समीकरण प्राप्त करते हैं: उड़ान का समय y निर्देशांक को शून्य के बराबर करके निर्धारित किया जाता है: उड़ान सीमा को प्रतिस्थापित करके निर्धारित किया जाता है उड़ान का समय:

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लेक्चर 3 एक भौतिक बिंदु का सीधा दोलन - एक भौतिक बिंदु का दोलन आंदोलन इस शर्त के तहत होता है कि एक पुनर्स्थापना बल होता है जो इस स्थिति से किसी भी विचलन के लिए बिंदु को संतुलन की स्थिति में वापस कर देता है। 9 एक बहाल करने वाला बल है, संतुलन की स्थिति स्थिर है कोई बहाल करने वाला बल नहीं है, संतुलन की स्थिति अस्थिर है कोई बहाल करने वाला बल नहीं है, संतुलन की स्थिति उदासीन है यह हमेशा संतुलन की स्थिति की ओर निर्देशित होता है, मान सीधे वसंत के रैखिक बढ़ाव (छोटा करने) के लिए आनुपातिक होता है, संतुलन की स्थिति से शरीर के विचलन के बराबर होता है: सी वसंत कठोरता गुणांक है, संख्यात्मक रूप से बल के बराबर है जो वसंत अपनी लंबाई को एक से बदलता है, जिसे सिस्टम SI में N / m में मापा जाता है। x y O भौतिक बिंदु के कंपन के प्रकार: 1. मुक्त कंपन (माध्यम के प्रतिरोध को ध्यान में रखे बिना)। 2. माध्यम के प्रतिरोध को ध्यान में रखते हुए मुक्त दोलन (नम दोलन)। 3. मजबूर कंपन। 4. माध्यम के प्रतिरोध को ध्यान में रखते हुए मजबूर दोलन। मुक्त दोलन - केवल एक पुनर्स्थापना बल की कार्रवाई के तहत होते हैं। आइए गतिकी के मूल नियम को लिखें: आइए संतुलन स्थिति (बिंदु O) पर केंद्रित एक समन्वय प्रणाली चुनें और समीकरण को x अक्ष पर प्रोजेक्ट करें: आइए परिणामी समीकरण को मानक (विहित) रूप में लाएं: यह समीकरण एक सजातीय है दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरण, जिसके समाधान का रूप सार्वभौमिक प्रतिस्थापन का उपयोग करके प्राप्त समीकरण की विशेषता की जड़ों द्वारा निर्धारित किया जाता है: विशेषता समीकरण की जड़ें काल्पनिक और बराबर होती हैं: अंतर समीकरण का सामान्य समाधान इसका रूप है: बिंदु गति: प्रारंभिक स्थितियां: स्थिरांक परिभाषित करें: तो, मुक्त कंपन के समीकरण का रूप है: समीकरण को एकल-अवधि अभिव्यक्ति द्वारा दर्शाया जा सकता है: जहां एक आयाम है, - प्रारंभिक चरण। नए स्थिरांक ए और - संबंधों द्वारा स्थिरांक C1 और C2 से संबंधित हैं: आइए परिभाषित करें a और: मुक्त दोलनों की घटना का कारण प्रारंभिक विस्थापन x0 और/या प्रारंभिक वेग v0 है।

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10 व्याख्यान 3 (निरंतरता 3.2) एक भौतिक बिंदु के नम दोलन - एक भौतिक बिंदु का दोलन आंदोलन एक पुनर्स्थापना बल और आंदोलन के प्रतिरोध के बल की उपस्थिति में होता है। विस्थापन या गति पर गति के प्रतिरोध के बल की निर्भरता निर्धारित की जाती है भौतिक प्रकृतिपर्यावरण या संचार जो आंदोलन को बाधित करता है। सबसे सरल निर्भरता गति (चिपचिपा प्रतिरोध) पर एक रैखिक निर्भरता है: - जड़ों के मूल्यों से चिपचिपापन गुणांक x y O: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота नम दोलन: अवधि: टी* ऑसीलेशन डिक्रीमेंट: एआई एआई+1 लॉगरिदमिक ऑसीलेशन डिक्रीमेंट: ऑसीलेशन बहुत जल्दी कम हो जाता है। चिपचिपा प्रतिरोध बल का मुख्य प्रभाव समय के साथ दोलन आयाम में कमी है। 2. n > k - उच्च श्यान प्रतिरोध की स्थिति :- मूल वास्तविक, भिन्न होते हैं। या - ये फलन अपरिवर्ती हैं: 3. n = k: - मूल वास्तविक, बहु हैं। ये कार्य भी एपेरियोडिक हैं:

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व्याख्यान 3 (निरंतरता 3.3) मुक्त दोलनों के समाधान का वर्गीकरण। वसंत कनेक्शन। समकक्ष कठोरता। वाई वाई 11 डिफ। समीकरण चरित्र। समीकरण रूट्स चार. समीकरण अंतर समीकरण को हल करना ग्राफ nk n=k

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व्याख्यान 4 एक भौतिक बिंदु के मजबूर कंपन - बहाल करने वाले बल के साथ, एक समय-समय पर बदलने वाला बल कार्य करता है, जिसे परेशान करने वाला बल कहा जाता है। परेशान करने वाले बल की एक अलग प्रकृति हो सकती है। उदाहरण के लिए, एक विशेष मामले में, एक घूर्णन रोटर के असंतुलित द्रव्यमान m1 का जड़त्वीय प्रभाव हार्मोनिक रूप से बदलते बल अनुमानों का कारण बनता है: गतिकी का मुख्य समीकरण: अक्ष पर गतिकी के समीकरण का प्रक्षेपण: आइए समीकरण को मानक पर लाएं फॉर्म: 12 इस अमानवीय अंतर समीकरण के समाधान में दो भाग होते हैं x = x1 + x2: x1 संबंधित सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान है और x2 अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान है: हम इस रूप में विशेष समाधान का चयन करते हैं दाईं ओर: परिणामी समानता किसी भी t के लिए संतुष्ट होनी चाहिए। तब: या इस प्रकार, बहाल करने और परेशान करने वाली ताकतों की एक साथ कार्रवाई के साथ, भौतिक बिंदु एक जटिल प्रदर्शन करता है दोलन गति, जो मुक्त (x1) और मजबूर (x2) कंपनों के जोड़ (सुपरपोजिशन) का परिणाम है। अगर पी< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием पूरा समाधान(!): इस प्रकार, एक विशेष समाधान: यदि p> k (उच्च आवृत्ति के मजबूर दोलन), तो दोलनों का चरण अशांत करने वाले बल के चरण के विपरीत होता है:

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व्याख्यान 4 (निरंतरता 4.2) 13 गतिशील गुणांक - एक स्थिर बल की क्रिया के तहत एक बिंदु के स्थिर विचलन के लिए मजबूर दोलनों के आयाम का अनुपात एच = स्थिरांक: मजबूर दोलनों का आयाम: स्थिर विचलन से पाया जा सकता है संतुलन समीकरण: यहाँ: इसलिए: इस प्रकार, p . पर< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (मजबूर दोलनों की उच्च आवृत्ति) गतिशील गुणांक: अनुनाद - तब होता है जब मजबूर दोलनों की आवृत्ति प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति के साथ मेल खाती है (p = k)। यह सबसे अधिक बार तब होता है जब लोचदार निलंबन पर लगे खराब संतुलित रोटार के रोटेशन को शुरू करना और रोकना। समान आवृत्ति वाले दोलनों का अवकल समीकरण : दायीं ओर के रूप में एक विशेष हल नहीं लिया जा सकता है, क्योंकि एक रैखिक रूप से निर्भर समाधान प्राप्त किया जाएगा (सामान्य समाधान देखें)। सामान्य समाधान: अवकल समीकरण में स्थानापन्न करें: आइए एक विशेष समाधान के रूप में लें और डेरिवेटिव की गणना करें: इस प्रकार, समाधान प्राप्त होता है: या अनुनाद पर मजबूर दोलनों का एक आयाम होता है जो समय के अनुपात में अनिश्चित काल तक बढ़ता है। मजबूर कंपन के दौरान गति के प्रतिरोध का प्रभाव। चिपचिपा प्रतिरोध की उपस्थिति में अंतर समीकरण का रूप है: सामान्य समाधान तालिका (व्याख्यान 3, पी। 11) से n और k (देखें) के अनुपात के आधार पर चुना जाता है। हम फॉर्म में एक विशेष समाधान लेते हैं और डेरिवेटिव की गणना करते हैं: अंतर समीकरण में स्थानापन्न करें: गुणांक को समान करना त्रिकोणमितीय फलनहम समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं: दोनों समीकरणों को एक शक्ति में बढ़ाकर और उन्हें जोड़कर, हम मजबूर दोलनों का आयाम प्राप्त करते हैं: दूसरे समीकरण को पहले से विभाजित करके, हम मजबूर दोलनों का चरण बदलाव प्राप्त करते हैं: इस प्रकार, समीकरण मजबूर दोलनों के लिए गति, आंदोलन के प्रतिरोध को ध्यान में रखते हुए, उदाहरण के लिए, n . पर< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

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व्याख्यान 5 एक भौतिक बिंदु की सापेक्ष गति - मान लें कि चलती (गैर-जड़त्वीय) समन्वय प्रणाली ऑक्सीज़ निश्चित (जड़त्वीय) समन्वय प्रणाली O1x1y1z1 के सापेक्ष कुछ कानून के अनुसार चलती है। मोबाइल सिस्टम ऑक्सीज़ के सापेक्ष एक भौतिक बिंदु एम (एक्स, वाई, जेड) की गति सापेक्ष है, गतिहीन प्रणाली के सापेक्ष O1x1y1z1 निरपेक्ष है। स्थिर प्रणाली O1x1y1z1 के सापेक्ष मोबाइल सिस्टम ऑक्सीज़ की गति एक पोर्टेबल गति है। 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O दाईं ओर: स्थानांतरित शब्दों में बलों का आयाम होता है और उन्हें संबंधित जड़त्व बलों के बराबर माना जाता है: फिर एक बिंदु की सापेक्ष गति को निरपेक्ष माना जा सकता है, यदि जड़त्व के अनुवाद और कोरिओलिस बलों को अभिनय बलों में जोड़ा जाता है: अनुमानों में गतिमान समन्वय प्रणाली के अक्षों पर, हमारे पास है: कुछ अलग किस्म कास्थानांतरीय गति: 1. एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमना: यदि रोटेशन एक समान है, तो e = 0: 2. अनुवादात्मक वक्रता गति: यदि गति सीधी है, तो =: यदि गति सीधी और एक समान है, तो गतिमान प्रणाली है जड़त्वीय और सापेक्ष गति को निरपेक्ष माना जा सकता है: कोई नहीं यांत्रिक घटनारेक्टिलिनियर यूनिफॉर्म मोशन (सापेक्षता का सिद्धांत) का पता लगाना असंभव है शास्त्रीय यांत्रिकी) पिंडों के संतुलन पर पृथ्वी के घूमने का प्रभाव - मान लें कि पिंड पृथ्वी की सतह पर एक मनमाना अक्षांश (समानांतर) पर संतुलन में है। पृथ्वी अपनी धुरी के चारों ओर पश्चिम से पूर्व की ओर कोणीय वेग से घूमती है: पृथ्वी की त्रिज्या लगभग 6370 किमी है। एस आर- पूर्ण प्रतिक्रियाअसमतल सतह। G - केंद्र की ओर पृथ्वी का आकर्षण बल। - जड़ता का केन्द्रापसारक बल। सापेक्ष संतुलन की स्थिति: आकर्षण बल और जड़ता का परिणाम गुरुत्वाकर्षण बल (भार) है: पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वाकर्षण बल (भार) का परिमाण P = mg है। जड़त्व का केन्द्रापसारक बल गुरुत्वाकर्षण बल का एक छोटा अंश है: गुरुत्वाकर्षण बल का आकर्षण बल की दिशा से विचलन भी छोटा होता है: इस प्रकार, पिंडों के संतुलन पर पृथ्वी के घूमने का प्रभाव अत्यंत कम होता है और व्यावहारिक गणनाओं में इसे ध्यान में नहीं रखा जाता है। जड़त्वीय बल का अधिकतम मान (φ = 0 - भूमध्य रेखा पर) गुरुत्वाकर्षण के मान का केवल 0.00343 है

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व्याख्यान 5 (निरंतरता 5.2) 15 पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में पिंडों की गति पर पृथ्वी के घूर्णन का प्रभाव - मान लीजिए कि कोई पिंड पृथ्वी की सतह से अक्षांश पर एक निश्चित ऊँचाई H से पृथ्वी पर गिरता है। आइए संदर्भ के एक गतिशील फ्रेम का चयन करें, जो पृथ्वी से सख्ती से जुड़ा हुआ है, x, y अक्षों को समानांतर और मेरिडियन के लिए स्पर्शरेखा रूप से निर्देशित करता है: सापेक्ष गति समीकरण: यहां, गुरुत्वाकर्षण बल की तुलना में जड़त्व के केन्द्रापसारक बल की छोटीता है ध्यान में रखा। इस प्रकार, गुरुत्वाकर्षण बल की पहचान गुरुत्वाकर्षण बल से की जाती है। इसके अलावा, हम मानते हैं कि गुरुत्वाकर्षण पृथ्वी की सतह के लंबवत निर्देशित है, जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, इसके विक्षेपण की छोटीता के कारण। कोरिओलिस त्वरण पश्चिम में y-अक्ष के समानांतर और निर्देशित होता है। कोरिओलिस जड़ता बल विपरीत दिशा में निर्देशित है। हम अक्ष पर सापेक्ष गति के समीकरण को प्रक्षेपित करते हैं: पहले समीकरण का समाधान देता है: प्रारंभिक शर्तें: तीसरे समीकरण का समाधान देता है: प्रारंभिक शर्तें: तीसरा समीकरण रूप लेता है: प्रारंभिक स्थितियां: इसका समाधान देता है: परिणामी समाधान यह दर्शाता है कि गिरने पर शरीर पूर्व की ओर मुड़ जाता है। आइए हम इस विचलन के मूल्य की गणना करें, उदाहरण के लिए, जब 100 मीटर की ऊंचाई से गिरते हैं। हम दूसरे समीकरण के समाधान से गिरने का समय पाते हैं: इस प्रकार, पिंडों की गति पर पृथ्वी के घूमने का प्रभाव बहुत कम होता है व्यावहारिक ऊंचाइयों और वेगों के लिए और तकनीकी गणना में इसे ध्यान में नहीं रखा जाता है। दूसरे समीकरण का समाधान भी y-अक्ष के साथ एक वेग के अस्तित्व का तात्पर्य है, जो संबंधित त्वरण और कोरिओलिस जड़ता बल का कारण और कारण भी होना चाहिए। गति में परिवर्तन पर इस गति और इससे जुड़े जड़त्व बल का प्रभाव ऊर्ध्वाधर गति से जुड़े माना कोरिओलिस जड़ता बल से भी कम होगा।

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व्याख्यान 6 एक यांत्रिक प्रणाली की गतिशीलता। भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली या एक यांत्रिक प्रणाली - भौतिक बिंदुओं या उन भौतिक बिंदुओं का एक समूह जो बातचीत के सामान्य नियमों द्वारा एकजुट होते हैं (प्रत्येक बिंदु या शरीर की स्थिति या गति अन्य सभी की स्थिति और गति पर निर्भर करती है) मुक्त बिंदुओं की प्रणाली - जिसकी गति किसी भी कनेक्शन द्वारा सीमित नहीं है (उदाहरण के लिए, एक ग्रह प्रणाली, जिसमें ग्रहों को भौतिक बिंदु माना जाता है)। गैर-मुक्त बिंदुओं की एक प्रणाली या एक गैर-मुक्त यांत्रिक प्रणाली - भौतिक बिंदुओं या निकायों की गति प्रणाली पर लगाए गए बाधाओं (उदाहरण के लिए, एक तंत्र, एक मशीन, आदि) द्वारा सीमित है। सिस्टम पर कार्य करने वाले 16 बल। बलों (सक्रिय और प्रतिक्रियाशील बलों) के पहले से मौजूद वर्गीकरण के अलावा, बलों का एक नया वर्गीकरण पेश किया गया है: 1. बाहरी बल (ई) - उन बिंदुओं या निकायों से सिस्टम के बिंदुओं और निकायों पर कार्य करना जो इसका हिस्सा नहीं हैं व्यवस्था। 2. आंतरिक बल (i) - दिए गए सिस्टम में शामिल भौतिक बिंदुओं या निकायों के बीच बातचीत के बल। एक ही बल बाह्य और आंतरिक दोनों बल हो सकते हैं। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि किस यांत्रिक प्रणाली पर विचार किया जाता है। उदाहरण के लिए: सूर्य, पृथ्वी और चंद्रमा की प्रणाली में, उनके बीच सभी गुरुत्वाकर्षण बल आंतरिक हैं। पृथ्वी और चंद्रमा प्रणाली पर विचार करते समय, सूर्य की ओर से लागू गुरुत्वाकर्षण बल बाहरी होते हैं: CZL क्रिया और प्रतिक्रिया के नियम के आधार पर, प्रत्येक आंतरिक बल Fk एक अन्य आंतरिक बल Fk से मेल खाता है, जो निरपेक्ष मान के बराबर और विपरीत होता है दिशा। आंतरिक बलों के दो उल्लेखनीय गुण इससे अनुसरण करते हैं: सिस्टम के सभी आंतरिक बलों का मुख्य वेक्टर शून्य के बराबर है: किसी भी केंद्र के सापेक्ष सिस्टम के सभी आंतरिक बलों का मुख्य क्षण शून्य के बराबर होता है: या निर्देशांक पर अनुमानों में अक्ष: नोट। हालांकि ये समीकरण संतुलन समीकरणों के समान हैं, वे नहीं हैं, क्योंकि आंतरिक बलों को पर लागू किया जाता है विभिन्न बिंदुया सिस्टम के निकाय और एक दूसरे के सापेक्ष इन बिंदुओं (निकायों) की गति का कारण बन सकते हैं। इन समीकरणों से यह निष्कर्ष निकलता है कि आंतरिक बल समग्र रूप से मानी जाने वाली प्रणाली की गति को प्रभावित नहीं करते हैं। भौतिक बिंदुओं की प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र। पूरे सिस्टम की गति का वर्णन करने के लिए, एक ज्यामितीय बिंदु पेश किया जाता है, जिसे द्रव्यमान का केंद्र कहा जाता है, जिसका त्रिज्या वेक्टर अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहां एम पूरे सिस्टम का द्रव्यमान है: या निर्देशांक पर अनुमानों में कुल्हाड़ियों: द्रव्यमान के केंद्र के लिए सूत्र गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के समान होते हैं। हालांकि, द्रव्यमान के केंद्र की अवधारणा अधिक सामान्य है, क्योंकि यह गुरुत्वाकर्षण बल या गुरुत्वाकर्षण बल से संबंधित नहीं है।

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व्याख्यान 6 (निरंतरता 6.2) 17 प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र की गति पर प्रमेय - n भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली पर विचार करें। हम प्रत्येक बिंदु पर लागू बलों को बाहरी और आंतरिक में विभाजित करते हैं और उन्हें संबंधित परिणाम Fke और Fki के साथ प्रतिस्थापित करते हैं। आइए प्रत्येक बिंदु के लिए गतिकी के मूल समीकरण को लिखें: या आइए इन समीकरणों को सभी बिंदुओं पर जोड़ दें: समीकरण के बाईं ओर, हम व्युत्पन्न के संकेत के तहत द्रव्यमान का परिचय देंगे और व्युत्पन्न के योग को व्युत्पन्न से बदल देंगे। योग का: द्रव्यमान के केंद्र की परिभाषा से: परिणामी समीकरण में स्थानापन्न करें: हम प्राप्त करते हैं या: सिस्टम के द्रव्यमान का गुणनफल और इसके केंद्र द्रव्यमान का त्वरण बाहरी बलों के मुख्य वेक्टर के बराबर होता है। निर्देशांक अक्षों पर अनुमानों में: प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र पूरे सिस्टम के द्रव्यमान के बराबर द्रव्यमान के साथ एक भौतिक बिंदु के रूप में चलता है, जिस पर सिस्टम पर अभिनय करने वाले सभी बाहरी बल लागू होते हैं। सिस्टम के द्रव्यमान के केंद्र की गति पर प्रमेय से परिणाम (संरक्षण कानून): 1. यदि समय अंतराल में सिस्टम के बाहरी बलों का मुख्य वेक्टर शून्य है, रे = 0, तो केंद्र की गति द्रव्यमान का स्थिरांक है, vC = स्थिरांक (द्रव्यमान का केंद्र समान रूप से सीधा चलता है - द्रव्यमान के गति केंद्र के संरक्षण का नियम)। 2. यदि समय अंतराल में x अक्ष पर निकाय के बाह्य बलों के मुख्य सदिश का प्रक्षेपण शून्य, Rxe = 0 के बराबर है, तो x अक्ष के अनुदिश द्रव्यमान केंद्र का वेग स्थिर है, vCx = कास्ट (द्रव्यमान का केंद्र अक्ष के साथ समान रूप से चलता है)। इसी प्रकार के कथन y और z अक्षों के लिए सत्य हैं। उदाहरण: m1 और m2 द्रव्यमान वाले दो व्यक्ति m3 द्रव्यमान की नाव में हैं। शुरुआती समय में लोगों के साथ नाव आराम से चल रही थी। नाव के विस्थापन का निर्धारण करें यदि m2 द्रव्यमान का व्यक्ति कुछ दूरी पर नाव के धनुष पर चला जाता है। 3. यदि समय अंतराल में निकाय के बाह्य बलों का मुख्य सदिश शून्य के बराबर हो, Re = 0, और प्रारंभिक क्षण में द्रव्यमान के केंद्र का वेग शून्य हो, vC = 0, तो त्रिज्या सदिश द्रव्यमान का केंद्र स्थिर रहता है, rC = स्थिरांक (द्रव्यमान का केंद्र स्थिर होता है, द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति के संरक्षण का नियम है)। 4. यदि समय अंतराल में सिस्टम के बाहरी बलों के मुख्य वेक्टर का x अक्ष पर प्रक्षेपण शून्य के बराबर है, Rxe = 0, और प्रारंभिक क्षण में इस अक्ष के साथ द्रव्यमान के केंद्र का वेग शून्य है , vCx = 0, तो x अक्ष के अनुदिश द्रव्यमान केंद्र का निर्देशांक स्थिर रहता है, xC = const (द्रव्यमान का केंद्र इस अक्ष के अनुदिश गति नहीं करता है)। इसी प्रकार के कथन y और z अक्षों के लिए सत्य हैं। 1. गति की वस्तु (लोगों के साथ एक नाव): 2. हम कनेक्शन (पानी) को त्याग देते हैं: 3. हम प्रतिक्रिया के साथ कनेक्शन को प्रतिस्थापित करते हैं: 4. सक्रिय बल जोड़ें: 5. द्रव्यमान के केंद्र के बारे में प्रमेय लिखें: x-अक्ष पर प्रोजेक्ट करें: O निर्धारित करें कि आपको m1 द्रव्यमान वाले व्यक्ति को कितनी दूर स्थानांतरित करने की आवश्यकता है, ताकि नाव अपनी जगह पर बनी रहे: नाव विपरीत दिशा में l की दूरी तय करेगी।

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व्याख्यान 7 बल का आवेग यांत्रिक अंतःक्रिया का एक माप है जो एक निश्चित अवधि के लिए एक बिंदु पर कार्य करने वाले बलों से यांत्रिक गति के हस्तांतरण की विशेषता है: 18 समन्वय अक्षों पर अनुमानों में: निरंतर बल के मामले में: अनुमानों में निर्देशांक अक्षों पर: एक ही समय अंतराल में बलों के बिंदु पर: dt से गुणा करें: एक निश्चित समय अंतराल पर एकीकृत करें: बिंदु की गति की मात्रा यांत्रिक गति का एक माप है, जो कि उत्पाद के बराबर एक वेक्टर द्वारा निर्धारित किया जाता है बिंदु का द्रव्यमान और उसका वेग वेक्टर: सिस्टम की गति की मात्रा में परिवर्तन पर प्रमेय - सिस्टम n भौतिक बिंदुओं पर विचार करें। हम प्रत्येक बिंदु पर लागू बलों को बाहरी और आंतरिक में विभाजित करते हैं और उन्हें संबंधित परिणाम Fke और Fki के साथ प्रतिस्थापित करते हैं। आइए प्रत्येक बिंदु के लिए गतिकी का मूल समीकरण लिखें: या भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली की गति की मात्रा - भौतिक बिंदुओं की गति की मात्रा का ज्यामितीय योग: द्रव्यमान के केंद्र की परिभाषा के अनुसार: प्रणाली की गति का वेक्टर पूरे सिस्टम के द्रव्यमान के उत्पाद के बराबर है और सिस्टम के द्रव्यमान के केंद्र के वेग वेक्टर के बराबर है। फिर: निर्देशांक अक्षों पर अनुमानों में: सिस्टम के गति वेक्टर का समय व्युत्पन्न सिस्टम के बाहरी बलों के मुख्य वेक्टर के बराबर होता है। आइए इन समीकरणों को सभी बिंदुओं पर जोड़ दें: समीकरण के बाईं ओर, हम व्युत्पन्न के संकेत के तहत द्रव्यमान का परिचय देते हैं और डेरिवेटिव के योग को योग के व्युत्पन्न के साथ प्रतिस्थापित करते हैं: सिस्टम की गति की परिभाषा से: निर्देशांक अक्षों पर अनुमानों में:

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यूलर की प्रमेय - एक निरंतर माध्यम (पानी) की गति के लिए एक प्रणाली की गति में परिवर्तन पर प्रमेय का अनुप्रयोग। 1. हम आंदोलन की वस्तु के रूप में टर्बाइन के घुमावदार चैनल में स्थित पानी की मात्रा का चयन करते हैं: 2. हम कनेक्शन को त्याग देते हैं और प्रतिक्रियाओं के साथ उनकी क्रिया को प्रतिस्थापित करते हैं (आरपीओवी - सतह बलों के परिणामी) 3. सक्रिय बल जोड़ें (आरबी) - शरीर बलों का परिणाम: 4. प्रणाली की गति में परिवर्तन के बारे में प्रमेय लिखें: समय t0 और t1 पर पानी की गति की मात्रा को योग के रूप में दर्शाया जाएगा: समय अंतराल में पानी की गति में परिवर्तन : एक अतिसूक्ष्म समय अंतराल पर पानी की गति में परिवर्तन dt: , जहां F1 F2 घनत्व, क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र और वेग प्रति सेकंड द्रव्यमान का उत्पाद लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं: सिस्टम की गति के अंतर को परिवर्तन प्रमेय में प्रतिस्थापित करना , हम प्राप्त करते हैं: प्रणाली की गति में परिवर्तन पर प्रमेय से परिणाम (संरक्षण कानून): 1. यदि समय अंतराल में प्रणाली के बाहरी बलों का मुख्य वेक्टर शून्य के बराबर है, रे = 0, तो मात्रा सदिश गति स्थिर है, Q = स्थिरांक निकाय के संवेग के संरक्षण का नियम है)। 2. यदि समय अंतराल में x अक्ष पर निकाय के बाह्य बलों के मुख्य सदिश का प्रक्षेपण शून्य, Rxe = 0 के बराबर है, तो x अक्ष पर निकाय के संवेग का प्रक्षेपण स्थिर है, Qx = स्थिरांक इसी प्रकार के कथन y और z अक्षों के लिए सत्य हैं। व्याख्यान 7 (7.2 की निरंतरता) उदाहरण: द्रव्यमान M का एक हथगोला, v गति से उड़ते हुए, दो भागों में फट गया। द्रव्यमान m1 के टुकड़ों में से एक की गति गति की दिशा में मान v1 तक बढ़ जाती है। दूसरे टुकड़े की गति निर्धारित करें। 1. आंदोलन की वस्तु (ग्रेनेड): 2. वस्तु एक स्वतंत्र प्रणाली है, कोई कनेक्शन और उनकी प्रतिक्रियाएं नहीं हैं। 3. सक्रिय बल जोड़ें: 4. संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय लिखें: अक्ष पर प्रोजेक्ट करें: β चर को विभाजित करें और एकीकृत करें: सही अभिन्न लगभग शून्य है, क्योंकि विस्फोट का समय

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व्याख्यान 7 (निरंतरता 7.3) 20 किसी बिंदु का कोणीय संवेग या किसी निश्चित केंद्र के सापेक्ष गति का गतिज क्षण यांत्रिक गति का एक माप है, जो किसी भौतिक बिंदु की त्रिज्या वेक्टर के वेक्टर उत्पाद के बराबर वेक्टर द्वारा निर्धारित किया जाता है और इसकी गति का वेक्टर: एक निश्चित केंद्र के सापेक्ष भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली का गतिज क्षण ज्यामितीय होता है, एक ही केंद्र के सापेक्ष सभी भौतिक बिंदुओं की गति की संख्या के क्षणों का योग: अक्ष पर अनुमानों में: अनुमानों पर अक्ष: प्रणाली की गति के क्षण में परिवर्तन पर प्रमेय - n भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली पर विचार करें। हम प्रत्येक बिंदु पर लागू बलों को बाहरी और आंतरिक में विभाजित करते हैं और उन्हें संबंधित परिणाम Fke और Fki के साथ प्रतिस्थापित करते हैं। आइए प्रत्येक बिंदु के लिए गतिकी के मूल समीकरण को लिखें: या आइए सभी बिंदुओं के लिए इन समीकरणों का योग करें: आइए योग के व्युत्पन्न द्वारा डेरिवेटिव के योग को प्रतिस्थापित करें: कोष्ठक में अभिव्यक्ति प्रणाली की गति का क्षण है। यहां से: हम बाईं ओर त्रिज्या-वेक्टर द्वारा प्रत्येक समानता को सदिश रूप से गुणा करते हैं: आइए देखें कि क्या वेक्टर उत्पाद के बाहर व्युत्पन्न का चिह्न लेना संभव है: इस प्रकार, हमें मिला: केंद्र। निर्देशांक अक्षों पर अनुमानों में: समय में किसी अक्ष के सापेक्ष प्रणाली के संवेग के क्षण का व्युत्पन्न, उसी अक्ष के सापेक्ष सिस्टम के बाहरी बलों के मुख्य क्षण के बराबर होता है।

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व्याख्यान 8 21 प्रणाली के कोणीय गति में परिवर्तन पर प्रमेय से परिणाम (संरक्षण कानून): 1. यदि समय अंतराल में एक निश्चित केंद्र के सापेक्ष सिस्टम के बाहरी बलों के मुख्य क्षण का वेक्टर बराबर है शून्य तक, MOe = 0, तब उसी केंद्र के सापेक्ष निकाय के कोणीय संवेग का सदिश स्थिर होता है, KO = const निकाय के संवेग के संरक्षण का नियम है)। 2. यदि समय अंतराल में x अक्ष के सापेक्ष निकाय के बाह्य बलों का मुख्य आघूर्ण शून्य, Mxe = 0 है, तो x अक्ष के सापेक्ष निकाय का कोणीय संवेग स्थिर है, Kx = const. इसी प्रकार के कथन y और z अक्षों के लिए सत्य हैं। 2. एक अक्ष के परितः एक दृढ़ पिंड का जड़त्व आघूर्ण: एक अक्ष के परितः किसी भौतिक बिंदु का जड़त्व आघूर्ण उस बिंदु के द्रव्यमान के गुणनफल के बराबर होता है और बिंदु की धुरी से दूरी के वर्ग के बराबर होता है। एक अक्ष के परितः एक दृढ़ पिंड का जड़त्व आघूर्ण प्रत्येक बिंदु के द्रव्यमान के गुणनफल और अक्ष से इस बिंदु की दूरी के वर्ग के योग के बराबर होता है। जड़ता के क्षण के सिद्धांत के तत्व - एक कठोर शरीर के घूर्णन गति के साथ, जड़ता का माप (गति में परिवर्तन का प्रतिरोध) घूर्णन की धुरी के बारे में जड़ता का क्षण है। परिभाषा की बुनियादी अवधारणाओं और जड़ता के क्षणों की गणना के तरीकों पर विचार करें। 1. अक्ष के बारे में एक भौतिक बिंदु की जड़ता का क्षण: एक असतत छोटे द्रव्यमान से एक बिंदु के असीम रूप से छोटे द्रव्यमान में संक्रमण में, इस तरह के योग की सीमा अभिन्न द्वारा निर्धारित की जाती है: एक कठोर शरीर की जड़ता का अक्षीय क्षण . एक कठोर शरीर की जड़ता के अक्षीय क्षण के अलावा, जड़त्व के अन्य प्रकार के क्षण भी होते हैं: एक कठोर शरीर की जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण। एक कठोर शरीर की जड़ता का ध्रुवीय क्षण। 3. समानांतर अक्षों के बारे में एक कठोर शरीर की जड़ता के क्षणों के बारे में प्रमेय - समानांतर अक्षों में संक्रमण के लिए सूत्र: संदर्भ अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण संदर्भ अक्ष के बारे में जड़ता के स्थिर क्षण शरीर द्रव्यमान क्षण शून्य हैं:

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व्याख्यान 8 (निरंतरता 8.2) 22 अक्ष के बारे में स्थिर खंड की एक समान छड़ की जड़ता का क्षण: x z L प्रारंभिक मात्रा का चयन करें dV = Adx दूरी x: x dx प्राथमिक द्रव्यमान: जड़ता के क्षण की गणना करने के लिए के बारे में केंद्रीय धुरी(गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरते हुए) यह अक्ष के स्थान को बदलने और एकीकरण सीमा (-L/2, L/2) निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है। यहां हम समांतर अक्षों में संक्रमण के लिए सूत्र प्रदर्शित करते हैं: zС 5. समरूपता की धुरी के बारे में एक सजातीय ठोस सिलेंडर की जड़ता का क्षण: एच डॉ आर आइए हम प्राथमिक मात्रा डीवी = 2πrdrH (त्रिज्या r का पतला सिलेंडर) को अलग करें। : प्राथमिक द्रव्यमान: यहाँ हम बेलन आयतन सूत्र V=πR2H का उपयोग करते हैं। एक खोखले (मोटे) बेलन के जड़त्व आघूर्ण की गणना करने के लिए, R1 से R2 (R2> R1) तक समाकलन सीमा निर्धारित करना पर्याप्त है। 6. सममिति के अक्ष के परितः एक पतले बेलन का जड़त्व आघूर्ण

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व्याख्यान 8 (निरंतरता 8.3) 23 एक अक्ष के परितः एक दृढ़ पिंड के घूर्णन का अवकल समीकरण: आइए एक स्थिर अक्ष के चारों ओर घूमते हुए एक कठोर पिंड के कोणीय संवेग को बदलने के बारे में एक प्रमेय लिखें: एक घूर्णन कठोर पिंड का संवेग है: आघूर्ण रोटेशन की धुरी के बारे में बाहरी बलों के बराबर है टोक़ (प्रतिक्रियाएं और बल गुरुत्वाकर्षण क्षण नहीं बनाते हैं): हम गतिज क्षण और टोक़ को प्रमेय में प्रतिस्थापित करते हैं उदाहरण: एक ही वजन के दो लोग G1 = G2 फेंकी गई रस्सी पर लटकते हैं वजन G3 = G1/4 के साथ एक ठोस ब्लॉक पर। कुछ बिंदु पर, उनमें से एक ने सापेक्ष गति u के साथ रस्सी पर चढ़ना शुरू किया। प्रत्येक व्यक्ति की उठाने की गति निर्धारित करें। 1. आंदोलन की वस्तु का चयन करें (लोगों के साथ ब्लॉक): 2. कनेक्शन को त्यागें (ब्लॉक का सहायक उपकरण): 3. कनेक्शन को प्रतिक्रियाओं से बदलें (असर): 4. सक्रिय बल (गुरुत्वाकर्षण) जोड़ें: 5. लिख लें ब्लॉक के रोटेशन की धुरी के संबंध में प्रणाली के गतिज क्षण को बदलने के बारे में प्रमेय: आर चूंकि बाहरी बलों का क्षण शून्य के बराबर है, गतिज क्षण स्थिर रहना चाहिए: समय के प्रारंभिक क्षण में t = 0, वहाँ संतुलन था और Kz0 = 0। रस्सी के सापेक्ष एक व्यक्ति की गति की शुरुआत के बाद, पूरी प्रणाली चलने लगी, लेकिन सिस्टम का गतिज क्षण शून्य के बराबर रहना चाहिए: Kz = 0। का कोणीय गति सिस्टम लोगों और ब्लॉक दोनों के कोणीय गति का योग है: यहाँ v2 दूसरे व्यक्ति की गति है, केबल की गति के बराबर, उदाहरण: द्रव्यमान M की एक सजातीय छड़ के छोटे मुक्त दोलनों की अवधि निर्धारित करें और लंबाई एल, घूर्णन के एक निश्चित अक्ष पर एक छोर से निलंबित। या: छोटे दोलनों के मामले में sinφ φ: दोलन की अवधि: छड़ की जड़ता का क्षण:

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व्याख्यान 8 (निरंतरता 8.4 - अतिरिक्त सामग्री) 24 ■ जाइरोस्कोप का प्राथमिक सिद्धांत: जाइरोस्कोप एक कठोर पिंड है जो भौतिक समरूपता की धुरी के चारों ओर घूमता है, जिसमें से एक बिंदु निश्चित होता है। एक मुक्त जाइरोस्कोप को इस तरह से तय किया जाता है कि इसका द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है, और रोटेशन की धुरी द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरती है और अंतरिक्ष में कोई भी स्थिति ले सकती है, अर्थात। घूर्णन की धुरी गोलाकार गति के दौरान शरीर के अपने घूर्णन की धुरी की तरह अपनी स्थिति बदलती है। जाइरोस्कोप के अनुमानित (प्राथमिक) सिद्धांत की मुख्य धारणा यह है कि रोटर के गति वेक्टर (गतिज क्षण) को रोटेशन की अपनी धुरी के साथ निर्देशित माना जाता है। इस प्रकार, इस तथ्य के बावजूद कि सामान्य स्थिति में रोटर तीन घुमावों में भाग लेता है, केवल अपने स्वयं के घूर्णन = dφ/dt के कोणीय वेग को ध्यान में रखा जाता है। इसका आधार यह है कि आधुनिक तकनीकजाइरोस्कोप रोटर 5000-8000 रेड/सेकेंड (लगभग 50000-80000 आरपीएम) के क्रम के कोणीय वेग से घूमता है, जबकि रोटेशन के अपने स्वयं के अक्ष के पूर्वता और पोषण से जुड़े अन्य दो कोणीय वेग दसियों हज़ार बार होते हैं। इस गति से कम। एक मुक्त जाइरोस्कोप की मुख्य संपत्ति यह है कि रोटर अक्ष जड़त्वीय (तारकीय) संदर्भ प्रणाली के संबंध में अंतरिक्ष में समान दिशा रखता है (फौकॉल्ट पेंडुलम द्वारा प्रदर्शित, जो सितारों के संबंध में स्विंग विमान को अपरिवर्तित रखता है, 1852)। यह रोटर के द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष गतिज क्षण के संरक्षण के नियम का अनुसरण करता है, बशर्ते कि रोटर निलंबन अक्षों के बीयरिंगों में घर्षण, बाहरी और आंतरिक फ्रेम की उपेक्षा की जाती है: एक मुक्त की धुरी पर बल कार्रवाई जाइरोस्कोप रोटर अक्ष पर लागू बल के मामले में, द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष बाहरी बलों का क्षण शून्य के बराबर नहीं होता है: बल, और इस बल के क्षण के वेक्टर की ओर, अर्थात। x-अक्ष (आंतरिक निलंबन) के बारे में नहीं, बल्कि y-अक्ष (बाहरी निलंबन) के बारे में घूमेगा। बल के समाप्त होने पर, रोटर अक्ष बल के अंतिम समय के अनुरूप उसी स्थिति में रहेगा, क्योंकि इस समय से, बाहरी बलों का क्षण फिर से शून्य के बराबर हो जाता है। बल (प्रभाव) की अल्पकालिक कार्रवाई के मामले में, जाइरोस्कोप की धुरी व्यावहारिक रूप से अपनी स्थिति नहीं बदलती है। इस प्रकार, रोटर का तेजी से घूमना जाइरोस्कोप को यादृच्छिक प्रभावों का मुकाबला करने की क्षमता देता है जो रोटर के रोटेशन की धुरी की स्थिति को बदलना चाहते हैं, और बल की निरंतर कार्रवाई के साथ, यह विमान के लंबवत स्थिति को बनाए रखता है अभिनय बल जिसमें रोटर की धुरी निहित है। इन गुणों का उपयोग जड़त्वीय नेविगेशन सिस्टम के संचालन में किया जाता है।

सैद्धांतिक यांत्रिकी पर व्याख्यान

बिंदु गतिकी

व्याख्यान 1

गतिकी की बुनियादी अवधारणाएँ

अध्याय में गतिकीउन पर लागू बलों की कार्रवाई के तहत निकायों की गति का अध्ययन किया जाता है। इसलिए, उन अवधारणाओं के अतिरिक्त जिन्हें अनुभाग में पेश किया गया था गतिकी,यहां नई अवधारणाओं का उपयोग करना आवश्यक है जो विभिन्न निकायों पर बलों के प्रभाव की बारीकियों और इन प्रभावों के लिए निकायों की प्रतिक्रिया को दर्शाती हैं। आइए इन अवधारणाओं में से मुख्य पर विचार करें।

ए) ताकत

बल अन्य निकायों द्वारा किसी दिए गए शरीर पर प्रभाव का मात्रात्मक परिणाम है।बल एक सदिश राशि है (चित्र 1)।

बल वेक्टर की शुरुआत का बिंदु A एफबुलाया बल के आवेदन का बिंदु. वह रेखा MN जिस पर बल सदिश स्थित होता है, कहलाती है बल की रेखा।एक निश्चित पैमाने पर मापी जाने वाली बल सदिश की लंबाई कहलाती है बल वेक्टर का संख्यात्मक मान या मापांक. बल के मापांक को या के रूप में दर्शाया जाता है। किसी पिंड पर बल की क्रिया या तो इसकी विकृति में प्रकट होती है, यदि शरीर स्थिर है, या जब शरीर चलता है तो इसे त्वरण प्रदान करता है। बल की इन अभिव्यक्तियों पर, बलों को मापने के लिए विभिन्न उपकरणों (बल मीटर या डायनेमोमीटर) का उपकरण आधारित है।

बी) बलों की प्रणाली

बलों का माना गया सेट बल प्रणाली। n बलों वाली कोई भी प्रणाली निम्नलिखित रूप में लिखी जा सकती है:

सी) मुक्त शरीर

एक पिंड जो अन्य पिंडों के साथ प्रत्यक्ष (यांत्रिक) संपर्क का अनुभव किए बिना किसी भी दिशा में अंतरिक्ष में जा सकता है, कहलाता है नि: शुल्कया पृथक. किसी पिंड पर बलों की एक या दूसरी प्रणाली के प्रभाव को तभी स्पष्ट किया जा सकता है जब यह शरीर मुक्त हो।

डी) परिणामी बल

यदि किसी बल का किसी स्वतंत्र पिंड पर वही प्रभाव पड़ता है जो किसी बल प्रणाली का है, तो इस बल को कहा जाता है बलों की इस प्रणाली के परिणामस्वरूप. यह इस प्रकार लिखा गया है:

,

जिसका मतलब है समानकपरिणामी के समान मुक्त शरीर और n बलों की कुछ प्रणाली पर प्रभाव।

आइए अब हम बलों के घूर्णी प्रभावों के मात्रात्मक निर्धारण से संबंधित अधिक जटिल अवधारणाओं पर विचार करें।

ई) एक बिंदु (केंद्र) के सापेक्ष बल का क्षण

यदि किसी बल की क्रिया के तहत पिंड किसी निश्चित बिंदु O (चित्र 2) के चारों ओर घूम सकता है, तो इस घूर्णी प्रभाव को निर्धारित करने के लिए, एक भौतिक मात्रा पेश की जाती है, जिसे कहा जाता है एक बिंदु (केंद्र) के बारे में बल का क्षण।

दिए गए निश्चित बिंदु और बल की क्रिया रेखा से गुजरने वाले तल को कहते हैं बल का विमान. चित्र 2 में, यह समतल है।

एक बिंदु (केंद्र) के सापेक्ष बल का क्षण एक वेक्टर मात्रा है जो बल वेक्टर द्वारा बल के आवेदन के बिंदु के त्रिज्या वेक्टर के वेक्टर उत्पाद के बराबर है:

( 1)

दो वैक्टर के वेक्टर गुणन के नियम के अनुसार, उनका वेक्टर उत्पाद कारक वैक्टर (इस मामले में, त्रिभुज ओएबी का विमान) के स्थान के विमान के लंबवत एक वेक्टर है, जिस दिशा से सबसे छोटा मोड़ है दूसरे कारक वेक्टर के लिए पहला कारक वेक्टर घड़ी के सामने दिखाई दे रहा है (चित्र 2)।क्रॉस उत्पाद (1) के कारकों के वैक्टर के इस क्रम के साथ, बल की कार्रवाई के तहत शरीर का घूर्णन घड़ी के खिलाफ दिखाई देगा (चित्र 2) चूंकि वेक्टर बल के विमान के लंबवत है , अंतरिक्ष में इसका स्थान बल के तल की स्थिति निर्धारित करता है। केंद्र के सापेक्ष बल के क्षण के वेक्टर का संख्यात्मक मान क्षेत्र ОАВ के दोगुने के बराबर होता है और इसे सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:

, (2)

कहाँ पे आकारएचकिसी दिए गए बिंदु O से बल की क्रिया रेखा तक की न्यूनतम दूरी के बराबर, बल की भुजा कहलाती है.

यदि अंतरिक्ष में बल की क्रिया के तल की स्थिति बल की घूर्णी क्रिया को चिह्नित करने के लिए आवश्यक नहीं है, तो इस मामले में, बल के क्षण के वेक्टर के बजाय बल की घूर्णी क्रिया को चिह्नित करने के लिए, बल का बीजगणितीय क्षण:

(3)

किसी दिए गए केंद्र के सापेक्ष बल का बीजगणितीय क्षण बल के मापांक और उसके कंधे के गुणनफल के बराबर होता है, जिसे धन या ऋण चिह्न के साथ लिया जाता है। इस मामले में, एक सकारात्मक क्षण घड़ी के खिलाफ दिए गए बल की कार्रवाई के तहत शरीर के घूर्णन से मेल खाता है, और एक नकारात्मक क्षण घड़ी की दिशा में शरीर के घूर्णन से मेल खाता है। सूत्र (1), (2) और (3) से यह इस प्रकार है कि एक बिंदु के सापेक्ष बल का क्षण शून्य के बराबर होता है, यदि इस बल की भुजाएचशून्य. ऐसा बल किसी दिए गए बिंदु के चारों ओर शरीर को नहीं घुमा सकता है।

च) अक्ष के बारे में बल का क्षण

यदि किसी बल की क्रिया के तहत शरीर किसी निश्चित अक्ष के चारों ओर घूम सकता है (उदाहरण के लिए, दरवाजे या खिड़की के फ्रेम के घूमने पर जब वे खोले या बंद होते हैं), तो इस घूर्णी प्रभाव को मापने के लिए एक भौतिक मात्रा पेश की जाती है, जो कहा जाता है किसी दिए गए अक्ष के बारे में बल का क्षण.

जेड

 बी Fxy

चित्र 3 एक आरेख दिखाता है जिसके अनुसार z-अक्ष के बारे में बल का क्षण निर्धारित किया जाता है:

कोण  दो लंबवत दिशाओं z और त्रिभुजों O . के तलों से बनता है अबऔर ओएवी, क्रमशः। चूंकि ओ अब xy तल पर का प्रक्षेपण है, तो किसी दिए गए विमान पर एक सपाट आकृति के प्रक्षेपण पर स्टीरियोमेट्री प्रमेय के अनुसार, हमारे पास है:

जहां धन चिह्न cos के धनात्मक मान से मेल खाता है, अर्थात। तेज मोड, और ऋण चिह्न सदिश की दिशा के कारण cos के ऋणात्मक मान से मेल खाता है, अर्थात अधिक कोण । बदले में, साओ अब=1/2अभि, कहाँ पे एच  अब . खंड का मूल्य अब xy तल पर बल प्रक्षेपण के बराबर है, अर्थात। . अब = एफ xy .

पूर्वगामी, साथ ही साथ समानता (4) और (5) के आधार पर, हम z-अक्ष के बारे में बल के क्षण को निम्नानुसार निर्धारित करते हैं:

समानता (6) हमें किसी भी अक्ष के बारे में बल के क्षण की निम्नलिखित परिभाषा तैयार करने की अनुमति देती है: किसी दिए गए अक्ष के बारे में बल का क्षण किसी भी बिंदु के सापेक्ष इस बल के क्षण के वेक्टर के इस अक्ष पर प्रक्षेपण के बराबर है। यह अक्ष है और इसे दिए गए अक्ष के लंबवत समतल पर बल प्रक्षेपण के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है, जो प्रक्षेपण विमान के साथ अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु के सापेक्ष इस प्रक्षेपण के कंधे पर प्लस या माइनस चिह्न के साथ लिया गया है। इस मामले में, क्षण का संकेत सकारात्मक माना जाता है, अगर धुरी की सकारात्मक दिशा से देखने पर, इस धुरी के चारों ओर शरीर का घूर्णन घड़ी के विपरीत देखा जाता है। अन्यथा, अक्ष के परितः बल आघूर्ण को ऋणात्मक माना जाता है। चूंकि अक्ष के सापेक्ष बल के क्षण की यह परिभाषा याद रखना काफी कठिन है, इसलिए सूत्र (6) और चित्र 3 को याद रखने की सिफारिश की जाती है, जो इस सूत्र की व्याख्या करता है।

सूत्र (6) से यह इस प्रकार है कि अक्ष के परितः बल आघूर्ण शून्य है यदियह अक्ष के समानांतर है (इस मामले में, अक्ष के लंबवत समतल पर इसका प्रक्षेपण शून्य के बराबर है), या बल की क्रिया की रेखा अक्ष को काटती है (तब प्रक्षेपण भुजा एच=0). यह पूरी तरह से धुरी के चारों ओर बल के क्षण के भौतिक अर्थ से मेल खाता है, जो घूर्णन की धुरी के साथ शरीर पर बल की घूर्णन क्रिया की मात्रात्मक विशेषता के रूप में होता है।

छ) शरीर का वजन

यह लंबे समय से देखा गया है कि बल के प्रभाव में, शरीर धीरे-धीरे गति पकड़ता है और यदि बल हटा दिया जाता है तो वह आगे बढ़ना जारी रखता है। पिंडों के इस गुण को उनकी गति में परिवर्तन का विरोध करने के लिए कहा जाता था शरीर की जड़ता या जड़ता। किसी पिंड की जड़ता का मात्रात्मक माप उसका द्रव्यमान है।अलावा, शरीर द्रव्यमान किसी दिए गए शरीर पर गुरुत्वाकर्षण बलों के प्रभाव का एक मात्रात्मक माप है शरीर का द्रव्यमान जितना अधिक होगा, शरीर पर गुरुत्वाकर्षण बल उतना ही अधिक कार्य करेगा।जैसा कि नीचे दिखाया जाएगा, उहशरीर के वजन की ये दो परिभाषाएँ संबंधित हैं।

गतिकी की अन्य अवधारणाओं और परिभाषाओं पर बाद में उन खंडों में चर्चा की जाएगी जहां वे पहली बार दिखाई देते हैं।

2. बांड और बांड की प्रतिक्रियाएं

इससे पहले खंड 1 बिंदु (सी) में एक मुक्त शरीर की अवधारणा दी गई थी, एक ऐसे शरीर के रूप में जो अन्य निकायों के सीधे संपर्क में हुए बिना किसी भी दिशा में अंतरिक्ष में जा सकता है। हमारे आस-पास के अधिकांश वास्तविक शरीर अन्य निकायों के सीधे संपर्क में हैं और एक दिशा या किसी अन्य दिशा में नहीं जा सकते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, टेबल की सतह पर स्थित पिंड किसी भी दिशा में आगे बढ़ सकते हैं, सिवाय टेबल की सतह के लंबवत दिशा को छोड़कर। टिके हुए दरवाजे घूम सकते हैं, लेकिन आगे नहीं बढ़ सकते, आदि। जो पिंड अंतरिक्ष में एक दिशा या किसी अन्य दिशा में नहीं जा सकते, कहलाते हैं खाली नहीं।

अंतरिक्ष में किसी दिए गए पिंड की गति को सीमित करने वाली हर चीज को बॉन्ड कहा जाता है।ये कुछ अन्य निकाय हो सकते हैं जो इस शरीर की गति को कुछ दिशाओं में रोकते हैं ( शारीरिक संबंध); अधिक व्यापक रूप से, यह शरीर की गति पर थोपी गई कुछ शर्तें हो सकती हैं, जो इस गति को सीमित करती हैं। तो, आप किसी दिए गए वक्र के साथ होने वाले भौतिक बिंदु की गति के लिए एक शर्त निर्धारित कर सकते हैं। इस मामले में, कनेक्शन को गणितीय रूप से समीकरण के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है ( कनेक्शन समीकरण) लिंक के प्रकार के प्रश्न पर नीचे और अधिक विस्तार से विचार किया जाएगा।

निकायों पर लगाए गए अधिकांश बंधन व्यावहारिक रूप से भौतिक बंधन हैं। इसलिए, किसी दिए गए शरीर की बातचीत और इस शरीर पर लगाए गए कनेक्शन के बारे में सवाल उठता है। इस प्रश्न का उत्तर स्वयंसिद्ध द्वारा पिंडों की परस्पर क्रिया के बारे में दिया गया है: दो निकाय एक दूसरे पर समान परिमाण, दिशा में विपरीत और एक ही सीधी रेखा पर स्थित बलों के साथ कार्य करते हैं। इन बलों को अंतःक्रियात्मक बल कहा जाता है। विभिन्न अंतःक्रियात्मक निकायों पर अंतःक्रिया बल लागू होते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, किसी दिए गए शरीर और एक कनेक्शन की बातचीत के दौरान, शरीर के किनारे से कनेक्शन के लिए बातचीत बलों में से एक को लागू किया जाता है, और दूसरा संपर्क बल कनेक्शन के पक्ष से दिए गए शरीर पर लगाया जाता है। . इस अंतिम शक्ति को कहा जाता है बंधन प्रतिक्रिया बलया केवल, कनेक्शन प्रतिक्रिया।

गतिकी की व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समय, प्रतिक्रियाओं की दिशा खोजने में सक्षम होना आवश्यक है विभिन्न प्रकार केसम्बन्ध। एक बंधन प्रतिक्रिया की दिशा निर्धारित करने के लिए सामान्य नियम कभी-कभी इसमें मदद कर सकता है: एक बंधन की प्रतिक्रिया हमेशा उस दिशा के विपरीत निर्देशित होती है जिसमें यह बंधन किसी दिए गए शरीर की गति को रोकता है। यदि यह दिशा निश्चित रूप से निर्दिष्ट की जा सकती है, तो कनेक्शन की प्रतिक्रिया दिशा द्वारा निर्धारित की जाएगी। अन्यथा, बंधन प्रतिक्रिया की दिशा अनिश्चित है और इसे केवल गति या शरीर के संतुलन के संबंधित समीकरणों से ही पाया जा सकता है। अधिक विस्तार से, पाठ्यपुस्तक के अनुसार बांड के प्रकार और उनकी प्रतिक्रियाओं की दिशा के प्रश्न का अध्ययन किया जाना चाहिए: एस.एम. टारग सैद्धांतिक यांत्रिकी "हायर स्कूल", एम।, 1986 में एक लघु पाठ्यक्रम। अध्याय 1, 3।

धारा 1 में, बिंदु (सी) में कहा गया था कि बलों की किसी भी प्रणाली का प्रभाव पूरी तरह से तभी निर्धारित किया जा सकता है जब बलों की यह प्रणाली एक मुक्त शरीर पर लागू हो। चूंकि अधिकांश शरीर, वास्तव में, स्वतंत्र नहीं हैं, इसलिए इन निकायों की गति का अध्ययन करने के लिए, यह प्रश्न उठता है कि इन निकायों को कैसे मुक्त किया जाए। इस सवाल का जवाब है व्याख्यान के कनेक्शन का स्वयंसिद्ध परघर पर दर्शन। व्याख्यानथे... सामाजिक मनोविज्ञानऔर नृवंशविज्ञान। 3. सैद्धांतिकसामाजिक डार्विनवाद में परिणाम थे ...