अनुदेश

विधि 1. पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करना। प्रमेय कहता है: कर्ण का वर्ग योग के बराबर हैपैरों के वर्ग। यह इस प्रकार है कि दोनों ओर सही त्रिकोणइसकी अन्य दो भुजाओं को जानकर गणना की जा सकती है (चित्र 2)

विधि 2. यह इस तथ्य का अनुसरण करता है कि कर्ण से खींची गई माध्यिका आपस में 3 समरूप त्रिभुज बनाती है (चित्र 3)। इस आकृति में, त्रिभुज ABC, BCD और ACD समरूप हैं।

उदाहरण 6: निर्देशांक ज्ञात करने के लिए इकाई वृत्तों का उपयोग करना

पहले हम दिए गए कोण के अनुरूप संदर्भ कोण ज्ञात करते हैं। फिर हम संदर्भ कोण के साइन और कोसाइन मान लेते हैं, और उन्हें चतुर्थांश के y- और x-मानों के अनुरूप संकेत देते हैं। इसके बाद, हम दिए गए कोण की कोज्या और ज्या ज्ञात करेंगे।

चलनी कोण, कोण त्रिभुज और घनमूल

बहुभुज जिन्हें एक कंपास और सीधा किनारे के साथ बनाया जा सकता है उनमें शामिल हैं।

नोट: चलनी कोण को कंपास और स्ट्रेटएज के साथ प्लॉट नहीं किया जा सकता है। किसी घन की भुजा की लंबाई को 2 के घनमूल से गुणा करने पर घन की भुजा की लंबाई दुगनी मात्रा में प्राप्त होती है। फ्रांसीसी गणितज्ञ वरिस्ट गैलोइस के अग्रणी सिद्धांत का उपयोग करते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि तीनों के लिए शास्त्रीय समस्याएंएक सर्कल और एक शासक के साथ निर्माण असंभव है।

कर्ण एक समकोण त्रिभुज की भुजा है जो 90 डिग्री के कोण के विपरीत है। इसकी लंबाई की गणना करने के लिए, एक पैर की लंबाई और त्रिभुज के तीव्र कोणों में से एक का मान जानना पर्याप्त है।

ध्यान रखें: तीन-घटक कोण और घनमूल निर्माण कंपास और स्ट्रेटेज के साथ संभव नहीं हैं।

दूसरी ओर, कार्डानो सूत्र के अनुसार तीसरी डिग्री के समीकरण के समाधान को कोण और घनमूल को विभाजित करके दर्शाया जा सकता है। भविष्य में, हम एक वृत्त और एक रूलर के साथ कुछ कोण बनाते हैं। हालांकि, इस कोण के त्रिभुज और घनमूल के निर्धारण के बाद, चलनी वर्ग के निर्माण को कंपास और स्ट्रेटेज की मदद से पूरा किया जा सकता है।

इस गणना के अनुसार जालीदार डेक का निर्माण

निर्माण समस्या का बीजगणितीय सूत्रीकरण एक समीकरण की ओर ले जाता है जिसका संरचनात्मक विश्लेषण त्रिगुट संरचना के निर्माण के बारे में अतिरिक्त जानकारी प्रदान करेगा। कोण के कोसाइन के एक-से-एक अनुपात का उपयोग यहां किया जाता है: यदि कोण का परिमाण ज्ञात है, तो कोण के कोसाइन की लंबाई को इकाई सर्कल पर विशिष्ट रूप से बनाया जा सकता है और इसके विपरीत।

अनुदेश

एक ज्ञात पैर और एक समकोण त्रिभुज के तीव्र कोण के साथ, कर्ण का आकार इस कोण के कोसाइन / ज्या के पैर के अनुपात के बराबर हो सकता है, यदि यह कोण इसके विपरीत / आसन्न है:

h = C1(या C2)/sinα;

एच = С1(या С2)/cosα.

उदाहरण: कर्ण AB और समकोण C के साथ एक समकोण त्रिभुज ABC दिया है। मान लीजिए कोण B 60 डिग्री और कोण A 30 डिग्री है। पैर BC की लंबाई 8 सेमी है। कर्ण AB की लंबाई ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, आप ऊपर बताए गए किसी भी तरीके का उपयोग कर सकते हैं:

यह एक-से-एक कार्य आपको कोण की परिभाषा से कोण की कोसाइन की परिभाषा तक जाने की अनुमति देता है। निम्नलिखित में, 3 विभाजित किए जाने वाले कोण को दर्शाता है। इस प्रकार, φ वह कोण है, जिसका मान दिए गए 3 के लिए निर्धारित किया जाना चाहिए। त्रिकोणमिति से ज्ञात यौगिकों से शुरू।

दिए गए कोण पर अनुसरण करता है 3 . त्रि-आयामी समीकरण की सॉल्वेबिलिटी का बीजगणितीय विचार सीधे समाधान के निर्माण की संभावना के प्रश्न की ओर जाता है और, परिणामस्वरूप, किसी दिए गए कोण के रचनात्मक ट्रिपल कोण की संभावना या असंभवता के प्रश्न पर।

AB=BC/cos60=8 सेमी.

AB = BC/sin30 = 8 सेमी.

कर्ण एक समकोण त्रिभुज की भुजा है जो विपरीत है समकोण. यह एक समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा है। इसकी गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके या सूत्रों का उपयोग करके की जा सकती है त्रिकोणमितीय फलन.

तीसरे कोण को जोड़ने की संभावना पर निकास कोण के मूल्य का बहुत प्रभाव पड़ता है, क्योंकि यह एक पूर्ण शब्द के रूप में त्रि-आयामी समीकरण में समाधान के प्रकार को निर्णायक रूप से निर्धारित करता है। यदि त्रिभुज समीकरण में कम से कम एक वास्तविक समाधान है जो तर्कसंगत संचालन या आरेखण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है वर्गमूलकिसी दिए गए प्रारंभिक कोण के लिए, यह समाधान रचनात्मक है।

ब्रीडेनबैक ने एक मानदंड के रूप में तैयार किया कि तीन-सेकंड के कोण की व्याख्या केवल तीन-भाग वाले समीकरण के तर्कसंगत समाधान में की जा सकती है। यदि ऐसा कोई समाधान उपलब्ध नहीं है, तो कंपास और शासक के साथ तीन-भाग निर्माण की समस्या अपरिवर्तनीय है। क्लस्टर विश्लेषण एक बड़े डेटा सेट से छोटे समूहों को इकट्ठा करने की एक सामान्य तकनीक है। विभेदक विश्लेषण के समान, समूहों में अवलोकनों को वर्गीकृत करने के लिए क्लस्टर विश्लेषण का भी उपयोग किया जाता है। दूसरी ओर, भेदभावपूर्ण विश्लेषण के लिए वर्गीकरण नियम प्राप्त करने के लिए उपयोग किए जाने वाले मामलों में समूह सदस्यता के ज्ञान की आवश्यकता होती है।

अनुदेश

पैरों को समकोण से सटे समकोण त्रिभुज की भुजाएँ कहा जाता है। आकृति में, पैरों को एबी और बीसी के रूप में नामित किया गया है। बता दें कि दोनों पैरों की लंबाई दी गई है। आइए उन्हें |AB| . के रूप में निरूपित करें और |बीसी|. कर्ण की लंबाई ज्ञात करने के लिए AC|, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं। इस प्रमेय के अनुसार टाँगों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है, अर्थात्। हमारे चित्र के अंकन में |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2। सूत्र से हम पाते हैं कि कर्ण AC की लंबाई |AC| . के रूप में पाई जाती है = √(|AB|^2 + |BC|^2) ।

क्लस्टर विश्लेषण एक अधिक आदिम तरीका है क्योंकि यह समूहों या समूह सदस्यता की संख्या के बारे में कोई धारणा नहीं बनाता है। वर्गीकरण क्लस्टर विश्लेषण संभावित संबंधों की खोज करने और बड़ी संख्या में चर और अवलोकनों में एक व्यवस्थित संरचना बनाने का एक तरीका प्रदान करता है। पदानुक्रमित क्लस्टर विश्लेषण मुख्य है सांख्यिकीय विधिमापी गई विशेषताओं के आधार पर मामलों के अपेक्षाकृत सजातीय समूहों की खोज करना। यह प्रत्येक मामले के साथ एक अलग क्लस्टर के रूप में शुरू होता है।

तब समूहों को क्रमिक रूप से विलय कर दिया जाता है, प्रत्येक चरण के साथ समूहों की संख्या घटती जाती है जब तक कि केवल एक क्लस्टर न रह जाए। क्लस्टरिंग विधि क्लस्टर बनाने के लिए वस्तुओं के बीच अंतर का उपयोग करती है। छोटे नमूनों के लिए पदानुक्रमित क्लस्टर विश्लेषण सर्वोत्तम है।

एक उदाहरण पर विचार करें। माना पैरों की लंबाई |AB| = 13, |बीसी| = 21. पाइथागोरस प्रमेय से, हम पाते हैं कि |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610। संख्या 610 से: |एसी| = 610. पूर्णांकों के वर्गों की तालिका का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि संख्या 610 किसी भी पूर्णांक का पूर्ण वर्ग नहीं है। कर्ण की लंबाई का अंतिम मान प्राप्त करने के लिए, आइए निकालने का प्रयास करें पूर्ण वर्गजड़ के चिन्ह के नीचे से। ऐसा करने के लिए, हम संख्या 610 को कारकों में विघटित करते हैं। 610 \u003d 2 * 5 * 61। अभाज्य संख्याओं की तालिका के अनुसार, हम देखते हैं कि 61 एक अभाज्य संख्या है। इसलिए, संख्या √610 में और कमी करना असंभव है। हमें अंतिम उत्तर मिलता है |एसी| = 610।
यदि कर्ण का वर्ग था, उदाहरण के लिए, 675, तो √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3। यदि ऐसा कास्ट संभव है, तो रिवर्स चेक करें - परिणाम को स्क्वायर करें और मूल मूल्य के साथ तुलना करें।

पदानुक्रमित क्लस्टर विश्लेषण सजातीय चर समूहों के गठन का निरीक्षण करने का सिर्फ एक तरीका है। आपके विश्लेषण के लिए समूहों की संख्या निर्धारित करने का कोई विशिष्ट तरीका नहीं है। आपको डेंड्रोग्राम के साथ-साथ क्लस्टर की विशेषताओं को देखने और फिर एक अच्छा क्लस्टर समाधान प्राप्त करने के लिए चरणों में संख्या को समायोजित करने की आवश्यकता हो सकती है।

जब चरों को विभिन्न पैमानों पर मापा जाता है, तो आपके पास चरों को मानकीकृत करने के तीन तरीके होते हैं। परिणामस्वरूप, लगभग समान अनुपात वाले सभी चर, दूरी माप में योगदान करते हैं, भले ही आप चर के विचरण के बारे में जानकारी खो सकते हैं।

आइए जानते हैं इनमें से एक पैर और उससे लगे कोण को। निश्चितता के लिए, इसे टांग होने दें |AB| और कोण α। फिर हम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन कोसाइन के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं - कोण का कोसाइन आसन्न पैर के कर्ण के अनुपात के बराबर है। वे। हमारे अंकन में cos α = |AB| / |एसी|. यहाँ से हम कर्ण की लंबाई प्राप्त करते हैं |AC| = |एबी| / cosα.
अगर हम पैर जानते हैं |BC| और कोण α, फिर हम कोण की ज्या की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं - कोण की ज्या विपरीत पैर के कर्ण के अनुपात के बराबर होती है: sin α = |BC| / |एसी|. हम पाते हैं कि कर्ण की लंबाई के रूप में पाया जाता है |AC| = |बीसी| / cosα.

यूक्लिडियन दूरी: यूक्लिडियन दूरी सबसे आम माप विधि है। चुकता यूक्लिडियन दूरी: चुकता यूक्लिडियन दूरी उन वस्तुओं पर ध्यान केंद्रित करती है जो दूर हैं। सिटी ब्लॉक दूरी: शहर के ब्लॉक और यूक्लिडियन दूरी दोनों मिंकोव्स्की मीट्रिक के विशेष मामले हैं। जबकि यूक्लिडियन दूरी दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटे पथ की लंबाई से मेल खाती है, शहर की ब्लॉक दूरी प्रत्येक आयाम के साथ दूरियों का योग है। पियर्सन की सहसंबंध दूरी दो प्रेक्षणों के 1 और कोज्या गुणांक के बीच का अंतर कोज्या गुणांक दो सदिशों के बीच के कोण का कोज्या है। जैककार्ड दूरी दो अवलोकनों के लिए 1 और जैक्वार्ड गुणांक के बीच का अंतर बाइनरी डेटा के लिए, जैककार्ड गुणांक ओवरलैप की मात्रा और दो अवलोकनों के योग के अनुपात के बराबर है। निकटतम पड़ोसी यह विधि मानती है कि दो समूहों के बीच की दूरी उनके निकटतम पड़ोस में सुविधाओं के बीच की दूरी से मेल खाती है। बेस्ट नेबर इस पद्धति में, दो समूहों के बीच की दूरी अलग-अलग समूहों में दो वस्तुओं के बीच की अधिकतम दूरी से मेल खाती है। समूह औसत: इस पद्धति के साथ, दो समूहों के बीच की दूरी विभिन्न समूहों में वस्तुओं के सभी जोड़े के बीच की औसत दूरी से मेल खाती है। आमतौर पर इस पद्धति की सिफारिश की जाती है क्योंकि इसमें अधिक मात्रा में जानकारी होती है। माध्यिका यह विधि केन्द्रक विधि के समान है, सिवाय इसके कि यह भारित नहीं है। फिर, प्रत्येक मामले के लिए, क्लस्टर साधन के लिए द्विघात यूक्लिडियन दूरी की गणना की जाती है। विलय किया जाने वाला क्लस्टर वह है जो कम से कम योग बढ़ाता है। यानी यह विधि वृद्धि को कम करती है कुल राशिसमूहों के भीतर वर्ग दूरी। यह विधि छोटे समूहों का निर्माण करती है।

• यह बहुआयामी अंतरिक्ष में एक ज्यामितीय दूरी है।
• यह केवल निरंतर चर के लिए उपयुक्त है।
• कोज्या दूरी दो मान सदिशों के बीच के कोण की कोज्या।
• तैयार किए गए समूहों को खींचते समय इस पद्धति की सिफारिश की जाती है।
• यदि खींचे गए क्लस्टर अद्वितीय "क्लंप" बनाते हैं, तो विधि उपयुक्त है।
• एक क्लस्टर सेंट्रोइड एक बहुआयामी अंतरिक्ष में एक मध्यबिंदु है।
• यदि क्लस्टर आकार बहुत भिन्न हैं तो इसका उपयोग नहीं किया जाना चाहिए।
• प्रत्येक क्लस्टर के लिए सभी चर के लिए वार्ड मीन मानों की गणना की जाती है।
• इन दूरियों को सभी मामलों के लिए सारांशित किया गया है।

विचार डेटा और समूहों के संबंधित क्लस्टर के बीच की दूरी को कम करना है।

स्पष्टता के लिए, एक उदाहरण पर विचार करें। माना पैर की लंबाई |AB| = 15. और कोण α = 60°। हमें मिलता है |एसी| = 15 / क्योंकि 60° = 15 / 0.5 = 30।
विचार करें कि आप पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके अपना परिणाम कैसे देख सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें दूसरे चरण की लंबाई की गणना करने की आवश्यकता है |BC|। कोण tg α = |BC| . के स्पर्शरेखा के लिए सूत्र का उपयोग करना / |एसी|, हम प्राप्त करते हैं |बीसी| = |एबी| * टीजी α = 15 * टीजी 60° = 15 * 3। इसके बाद, हम पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं, हमें 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900 मिलता है। सत्यापन किया जाता है।

साइन फ़ंक्शन को साइन की अवधारणा से परिभाषित किया गया है, यह देखते हुए कि कोण को हमेशा रेडियन में व्यक्त किया जाना चाहिए। हम साइनसॉइडल फ़ंक्शन की कई विशेषताओं का निरीक्षण कर सकते हैं।

• आपके डोमेन में सभी वास्तविक हैं।
• इस मामले में, फ़ंक्शन को आवधिक कहा जाता है, अवधि 2π के साथ।

कोसाइन फ़ंक्शन कोसाइन की अवधारणा से परिभाषित किया गया है, यह देखते हुए कि कोण को हमेशा रेडियन में व्यक्त किया जाना चाहिए।

हम कोज्या फलन की कई विशेषताओं का अवलोकन कर सकते हैं। इस प्रकार यह है आवधिक अवधि 2π. . प्रतिबंध सूत्र की व्यापकता को दूर नहीं करता है, क्योंकि हम हमेशा दूसरे, तीसरे और चौथे चतुर्थांश के कोणों को पहले तक कम कर सकते हैं। एक व्यायाम। - कैलकुलेटर का उपयोग किए बिना 15º की ज्या की गणना करें।

कर्ण की गणना करने के बाद, जांचें कि क्या परिणामी मान पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है।

स्रोत:

• मेज अभाज्य सँख्या 1 से 10000 . तक

पैरएक समकोण त्रिभुज की दो छोटी भुजाओं के नाम लिखिए जो इसका शीर्ष बनाती हैं, जिसका मान 90° है। ऐसे त्रिभुज की तीसरी भुजा कर्ण कहलाती है। त्रिभुज के ये सभी पक्ष और कोण कुछ रिश्तों से जुड़े हुए हैं जो आपको पैर की लंबाई की गणना करने की अनुमति देते हैं यदि कई अन्य पैरामीटर ज्ञात हैं।

दो कोणों के योग की कोज्या

दो कोणों के अंतर की कोज्या

सूत्र प्राप्त करने के लिए, हम पिछले खंड की तरह ही आगे बढ़ सकते हैं, लेकिन हम पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित एक और बहुत ही सरल प्रदर्शन देखेंगे। चिन्ह को सरल और बदलना, हमारे पास है स्पर्शरेखा योग और दो कोणों का अंतर।

एक व्यायाम। आज के लेख में, हम एक बहुत ही विशिष्ट उपसमुच्चय को देखेंगे: त्रिकोणमितीय फलन। गणित की पेशकश की हर चीज का आनंद लेने के लिए, हमें इसे आयात करना होगा। हम अगले लेख में अन्य आयात शैलियों को देखेंगे, जिनमें से प्रत्येक के अपने फायदे और नुकसान हैं। लेकिन इस सरल निर्देश के साथ, आपके पास पहले से ही दर्जनों कार्यों से भरे पूरे गणित मॉड्यूल नेमस्पेस तक पहुंच है, जिसमें आज हम जिन कार्यों से निपटेंगे।

अनुदेश

यदि आप एक समकोण त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं (B और C) की लंबाई जानते हैं, तो पैर की लंबाई (A) की गणना करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें। इस प्रमेय में कहा गया है कि वर्ग की टाँगों की लंबाई का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है। इससे यह पता चलता है कि प्रत्येक पैर की लंबाई बराबर है वर्गमूलकर्ण और दूसरे पैर की लंबाई के वर्गों के अंतर से: A=√(C²-B²)।

मूल रूप से, हमें कोण के साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की गणना करने की आवश्यकता होगी, साथ ही साथ इसकी उलटा कार्य. इसके अतिरिक्त, हम रेडियन और डिग्री दोनों में काम करने में सक्षम होना चाहते हैं ताकि हम उपयुक्त रूपांतरण कार्यों का भी उपयोग कर सकें।

आपको यह ध्यान में रखना चाहिए कि ये फ़ंक्शन रेडियन में तर्क प्रदान करने की अपेक्षा करते हैं, डिग्री नहीं। इसके लिए, आपको यह जानने में दिलचस्पी होगी कि आपके पास निम्नलिखित स्थिरांक हैं। तो हम एक संख्यात्मक मान के बजाय इस अभिव्यक्ति का उपयोग कर सकते हैं।

कोसेकेंट, सेकेंट और कोटैंजेंट के लिए कोई सीधा कार्य नहीं है, क्योंकि यह आवश्यक नहीं है, क्योंकि वे क्रमशः साइन, कोसाइन और टेंगेंट के विपरीत हैं। पहले की तरह लौटा हुआ कोण भी रेडियन में होता है। गणित का एक अन्य उपयोगी कार्य हमें एक समकोण त्रिभुज के कर्ण के मान को जानने की अनुमति देता है, जो हमें उनके वर्गों के योग के वर्गमूल की गणना करने की अनुमति देता है।

एक न्यून कोण के लिए प्रत्यक्ष त्रिकोणमितीय फलन "साइन" की परिभाषा का उपयोग करें, यदि आप परिकलित पैर के विपरीत कोण (α) का मान और कर्ण (C) की लंबाई जानते हैं। इस परिभाषा में कहा गया है कि इस ज्ञात कोण की ज्या वांछित पैर की लंबाई और कर्ण की लंबाई के अनुपात के बराबर है। इसका मतलब है कि वांछित पैर की लंबाई कर्ण की लंबाई और ज्ञात कोण की ज्या के गुणनफल के बराबर है: A=C∗sin(α)। समान ज्ञात मानों के लिए, आप कोसेकेंट फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग कर सकते हैं और ज्ञात कोण A=C/cosec(α) के कोसेकेंट द्वारा कर्ण की लंबाई को विभाजित करके वांछित लंबाई की गणना कर सकते हैं।

प्रत्यक्ष त्रिकोणमितीय फलन कोसाइन की परिभाषा का प्रयोग करें यदि, कर्ण (सी) की लंबाई के अतिरिक्त, वांछित पैर से सटे न्यून कोण (β) का मान भी ज्ञात हो। इस कोण के कोसाइन को वांछित पैर और कर्ण की लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है, और इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि पैर की लंबाई कर्ण की लंबाई और ज्ञात की कोसाइन के उत्पाद के बराबर है। कोण: A=C∗cos(β). आप छेदक फलन की परिभाषा का उपयोग कर सकते हैं और कर्ण की लंबाई को ज्ञात कोण A=C/sec(β) के छेदक से विभाजित करके वांछित मान की गणना कर सकते हैं।

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन स्पर्शरेखा के व्युत्पन्न के लिए समान परिभाषा से आवश्यक सूत्र प्राप्त करें, यदि, वांछित पैर (ए) के विपरीत तीव्र कोण (α) के मूल्य के अतिरिक्त, दूसरे पैर (बी) की लंबाई है ज्ञात। वांछित पैर के विपरीत कोण की स्पर्शरेखा इस पैर की लंबाई और दूसरे पैर की लंबाई का अनुपात है। इसका मतलब है कि वांछित मान ज्ञात पैर की लंबाई और ज्ञात कोण की स्पर्शरेखा के गुणनफल के बराबर होगा: A=B∗tg(α)। इन समान ज्ञात मात्राओं से, कोटैंजेंट फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग करके एक और सूत्र प्राप्त किया जा सकता है। इस मामले में, पैर की लंबाई की गणना करने के लिए, ज्ञात पैर की लंबाई और ज्ञात कोण के कोटेंजेंट के अनुपात को खोजना आवश्यक होगा: ए = बी/सीटीजी (α)।

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शब्द "केट" ग्रीक से रूसी में आया था। पर सटीक अनुवादइसका अर्थ है साहुल, यानी पृथ्वी की सतह के लंबवत। गणित में, टाँगों को वे भुजाएँ कहते हैं जो एक समकोण त्रिभुज का समकोण बनाती हैं। इस कोण के सम्मुख भुजा को कर्ण कहते हैं। शब्द "लेग" का उपयोग वास्तुकला और वेल्डिंग तकनीक में भी किया जाता है।

एक समकोण त्रिभुज ACB खींचिए। इसके पैरों को a और b लेबल करें, और इसके कर्ण को c लेबल करें। एक समकोण त्रिभुज की सभी भुजाएँ और कोण कुछ निश्चित संबंधों से जुड़े होते हैं। किसी एक न्यून कोण के विपरीत पैर के कर्ण से अनुपात को इस कोण की ज्या कहा जाता है। इस त्रिभुज में sinCAB=a/c. कोसाइन आसन्न पैर के कर्ण का अनुपात है, अर्थात cosCAB=b/c। व्युत्क्रम संबंधों को सेकेंट और कोसेकेंट कहा जाता है।

इस कोण का छेदक कर्ण को आसन्न पैर से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात secCAB=c/b। यह कोज्या का व्युत्क्रम निकालता है, अर्थात इसे सूत्र secCAB=1/cosSAB द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।
कोसेकेंट कर्ण को विपरीत पैर से विभाजित करने के भागफल के बराबर होता है और ज्या का व्युत्क्रम होता है। इसकी गणना सूत्र cosecCAB=1/sinCAB . का उपयोग करके की जा सकती है

दोनों पैर स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट द्वारा जुड़े हुए हैं। पर ये मामलास्पर्शरेखा पक्ष a से भुजा b का अनुपात होगा, जो कि आसन्न पैर के विपरीत पैर है। इस अनुपात को सूत्र tgCAB=a/b द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। तदनुसार, प्रतिलोम अनुपात कोटैंजेंट होगा: ctgCAB=b/a.

कर्ण के आकार और दोनों पैरों के बीच का अनुपात प्राचीन यूनानी गणितज्ञ पाइथागोरस द्वारा निर्धारित किया गया था। उनके नाम पर रखा गया थ्योरम आज भी लोग इस्तेमाल करते हैं। यह कहता है कि कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है, अर्थात c2 \u003d a2 + b2। तदनुसार, प्रत्येक पैर कर्ण और दूसरे पैर के वर्गों के बीच के अंतर के वर्गमूल के बराबर होगा। यह सूत्र b=√(c2-a2) के रूप में लिखा जा सकता है।

पैर की लंबाई को उन रिश्तों के माध्यम से भी व्यक्त किया जा सकता है जिन्हें आप जानते हैं। साइन और कोसाइन प्रमेय के अनुसार, पैर उत्पाद के बराबर हैइन कार्यों में से एक के लिए कर्ण। इसे स्पर्शरेखा या कोटैंजेंट के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। पैर a पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, सूत्र a \u003d b * tan CAB द्वारा। ठीक उसी तरह, दिए गए स्पर्शरेखा या कोटेंजेंट के आधार पर, दूसरा पैर निर्धारित किया जाता है।

वास्तुकला में, "पैर" शब्द का भी प्रयोग किया जाता है। यह एक आयनिक पूंजी पर लागू होता है और इसकी पीठ के मध्य के माध्यम से एक साहुल रेखा को दर्शाता है। अर्थात्, इस मामले में, यह पद किसी दी गई रेखा के लंबवत को दर्शाता है।

वेल्डिंग तकनीक में, "लेग पट्टिका वेल्ड" की अवधारणा है। अन्य मामलों की तरह, यह सबसे छोटी दूरी है। यहां हम दूसरे भाग की सतह पर स्थित सीम की सीमा तक वेल्ड किए जाने वाले भागों में से एक के बीच की खाई के बारे में बात कर रहे हैं।

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स्रोत:

• पैर और कर्ण क्या है

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टिप्पणी

एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की गणना करते समय, इसकी विशेषताओं का ज्ञान हो सकता है:
1) यदि एक समकोण का पैर 30 डिग्री के कोण के विपरीत स्थित है, तो यह आधे कर्ण के बराबर है;
2) कर्ण हमेशा किसी भी पैर से लंबा होता है;
3) यदि एक वृत्त एक समकोण त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध है, तो उसका केंद्र कर्ण के मध्य में होना चाहिए।

जहां एक समकोण त्रिभुज को हल करने के कार्यों पर विचार किया गया था, मैंने साइन और कोसाइन की परिभाषाओं को याद रखने के लिए एक तकनीक पेश करने का वादा किया था। इसका इस्तेमाल करने से आपको हमेशा जल्दी याद रहेगा कि कौन सा पैर कर्ण (आसन्न या विपरीत) का है। मैंने इसे अनिश्चित काल के लिए बंद नहीं करने का फैसला किया, आवश्यक सामग्री नीचे है, कृपया इसे पढ़ें

तथ्य यह है कि मैंने बार-बार देखा है कि कैसे 10-11 कक्षा के छात्रों को इन परिभाषाओं को याद रखने में कठिनाई होती है। उन्हें अच्छी तरह याद रहता है कि टाँग का मतलब कर्ण है, लेकिन वे किसको भूल जाते हैं और अस्पष्ट। एक गलती की कीमत, जैसा कि आप परीक्षा में जानते हैं, एक खोया हुआ अंक है।

जो जानकारी मैं सीधे गणित के सामने पेश करूंगा उसका कोई लेना-देना नहीं है। यह आलंकारिक सोच से जुड़ा है, और मौखिक-तार्किक संबंध के तरीकों के साथ। यह सही है, मैं खुद, एक बार और सभी के लिए याद किया जाता है परिभाषा डेटा। यदि आप अभी भी उन्हें भूल जाते हैं, तो प्रस्तुत तकनीकों की मदद से याद रखना हमेशा आसान होता है।

मैं आपको समकोण त्रिभुज में ज्या और कोज्या की परिभाषाएँ याद दिलाता हूँ:

कोज्याएक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात है:

साइनससमकोण त्रिभुज में न्यून कोण विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है:

तो, आप में कोसाइन शब्द किन संघों को उद्घाटित करता है?

शायद सबका अपना लिंक याद रखें:

इस प्रकार, आपकी स्मृति में तुरंत एक अभिव्यक्ति होगी -

«… कर्ण से ADJACENT पैर का अनुपात».

कोसाइन की परिभाषा के साथ समस्या हल हो गई है।

यदि आपको समकोण त्रिभुज में ज्या की परिभाषा याद रखने की आवश्यकता है, तो कोसाइन की परिभाषा को याद करते हुए, आप आसानी से यह स्थापित कर सकते हैं कि समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है। आखिरकार, केवल दो पैर हैं, यदि आसन्न पैर कोसाइन द्वारा "कब्जा" किया जाता है, तो साइन के लिए केवल विपरीत पक्ष रहता है।

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बारे में क्या? वही भ्रम। छात्र जानते हैं कि यह पैरों का अनुपात है, लेकिन समस्या यह याद रखने की है कि कौन किसको संदर्भित करता है - या तो आसन्न के विपरीत, या इसके विपरीत।

परिभाषाएँ:

स्पर्शरेखाएक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण विपरीत पैर का आसन्न एक से अनुपात है:

कोटैंजेंटसमकोण त्रिभुज में न्यून कोण आसन्न टांग का विपरीत कोण से अनुपात है:

कैसे याद करें? दो तरीके हैं। एक मौखिक-तार्किक संबंध का भी उपयोग करता है, दूसरा - एक गणितीय।

गणितीय विधि

ऐसी परिभाषा है - एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा किसी कोण की ज्या का उसके कोज्या से अनुपात है:

* सूत्र को याद रखते हुए, आप हमेशा यह निर्धारित कर सकते हैं कि एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत पैर का आसन्न एक से अनुपात है।

वैसे ही। एक न्यून कोण का कोटैंजेंट किसी कोण की कोज्या और उसकी ज्या का अनुपात होता है:

इसलिए! इन सूत्रों को याद करते हुए, आप हमेशा यह निर्धारित कर सकते हैं कि:

एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत पैर का आसन्न कोण से अनुपात है

एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण का कोटेंजेंट आसन्न पैर का विपरीत पैर का अनुपात है।

मौखिक-तार्किक विधि

स्पर्शरेखा के बारे में लिंक याद रखें:

यही है, यदि आपको स्पर्शरेखा की परिभाषा याद रखने की आवश्यकता है, तो इस तार्किक संबंध का उपयोग करके, आप आसानी से याद कर सकते हैं कि यह क्या है

"... विपरीत पैर का आसन्न से अनुपात"

यदि कोटैंजेंट की बात आती है, तो स्पर्शरेखा की परिभाषा को याद करते हुए, आप आसानी से कोटैंजेंट की परिभाषा को आवाज दे सकते हैं -

"... आसन्न पैर का विपरीत अनुपात"

साइट पर स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को याद करने की एक दिलचस्प तकनीक है " गणितीय अग्रानुक्रम " , देखना।

विधि सार्वभौमिक

आप सिर्फ पीस सकते हैं। लेकिन जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, मौखिक-तार्किक कनेक्शन के लिए धन्यवाद, एक व्यक्ति लंबे समय तक जानकारी को याद रखता है, न कि केवल गणितीय।

मुझे आशा है कि सामग्री आपके लिए उपयोगी थी।

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सकिख

पुनश्च: यदि आप सोशल नेटवर्क में साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

त्रिकोणमिति गणित की एक शाखा है जो त्रिकोणमितीय कार्यों और ज्यामिति में उनके उपयोग का अध्ययन करती है। त्रिकोणमिति का विकास प्राचीन ग्रीस के दिनों में शुरू हुआ था। मध्य युग के दौरान, मध्य पूर्व और भारत के वैज्ञानिकों ने इस विज्ञान के विकास में महत्वपूर्ण योगदान दिया।

यह लेख त्रिकोणमिति की मूल अवधारणाओं और परिभाषाओं के लिए समर्पित है। यह मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं पर चर्चा करता है: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट। ज्यामिति के संदर्भ में उनका अर्थ समझाया और सचित्र किया गया है।

प्रारंभ में, त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषाएं, जिनका तर्क एक कोण है, एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के माध्यम से व्यक्त किया गया था।

त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाएं

एक कोण की ज्या (sin α) इस कोण के विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है।

कोण की कोज्या (cos α) कर्ण से सटे पैर का अनुपात है।

कोण की स्पर्शरेखा (t g α) आसन्न पैर के विपरीत पैर का अनुपात है।

कोण का कोटैंजेंट (c t g α) आसन्न पैर का विपरीत भाग का अनुपात है।

ये परिभाषाएँ समकोण त्रिभुज के न्यून कोण के लिए दी गई हैं!

आइए एक दृष्टांत दें।

समकोण C वाले त्रिभुज ABC में, कोण A की ज्या भुजा BC और कर्ण AB के अनुपात के बराबर है।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट की परिभाषाएं त्रिभुज के किनारों की ज्ञात लंबाई से इन कार्यों के मूल्यों की गणना करना संभव बनाती हैं।

याद रखना महत्वपूर्ण है!

साइन और कोसाइन मानों की सीमा: -1 से 1 तक। दूसरे शब्दों में, साइन और कोसाइन -1 से 1 तक मान लेते हैं। स्पर्शरेखा और कोसाइन मानों की सीमा संपूर्ण संख्या रेखा है, अर्थात ये फ़ंक्शन कोई भी मूल्य ले सकते हैं।

ऊपर दी गई परिभाषाएँ न्यून कोणों को संदर्भित करती हैं। त्रिकोणमिति में, रोटेशन के कोण की अवधारणा पेश की जाती है, जिसका मूल्य, एक तीव्र कोण के विपरीत, 0 से 90 डिग्री तक फ्रेम द्वारा सीमित नहीं है। डिग्री या रेडियन में रोटेशन का कोण किसी भी वास्तविक संख्या द्वारा व्यक्त किया जाता है - से + .

इस संदर्भ में, कोई मनमाने परिमाण के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को परिभाषित कर सकता है। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति पर केंद्रित एक इकाई सर्कल की कल्पना करें।

निर्देशांक (1 , 0) के साथ प्रारंभिक बिंदु A इकाई वृत्त के केंद्र के चारों ओर कुछ कोण α से घूमता है और बिंदु A 1 पर जाता है। परिभाषा बिंदु ए 1 (एक्स, वाई) के निर्देशांक के माध्यम से दी गई है।

घूर्णन कोण की ज्या (पाप)

घूर्णन कोण α की ज्या बिंदु A 1 (x, y) की कोटि है। sinα = y

रोटेशन के कोण के कोसाइन (cos)

रोटेशन के कोण का कोज्या α बिंदु A 1 (x, y) का भुज है। cos α = x

घूर्णन कोण की स्पर्शरेखा (tg)

घूर्णन कोण α की स्पर्शरेखा बिंदु A 1 (x, y) की कोटि का इसके भुज से अनुपात है। टी जी α = वाई एक्स

रोटेशन कोण का कोटैंजेंट (सीटीजी)

घूर्णन कोण α का कोटैंजेंट बिंदु A 1 (x, y) के भुज और उसकी कोटि का अनुपात है। सी टी जी α = एक्स वाई

साइन और कोसाइन रोटेशन के किसी भी कोण के लिए परिभाषित हैं। यह तर्कसंगत है, क्योंकि घूर्णन के बाद बिंदु का भुज और कोटि किसी भी कोण पर निर्धारित किया जा सकता है। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के साथ स्थिति अलग है। स्पर्शरेखा तब परिभाषित नहीं होती जब घूर्णन के बाद का बिंदु शून्य भुज (0 , 1) और (0 , - 1) वाले बिंदु पर जाता है। ऐसे मामलों में, स्पर्शरेखा t g α = y x के लिए व्यंजक का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसमें शून्य से भाग होता है। स्थिति स्पर्शरेखा के साथ समान है। अंतर यह है कि कोटैंजेंट को उन मामलों में परिभाषित नहीं किया जाता है जहां बिंदु की कोटि गायब हो जाती है।

याद रखना महत्वपूर्ण है!

साइन और कोसाइन किसी भी कोण α के लिए परिभाषित हैं।

α = 90° + 180° k, k Z (α = π 2 + k, k Z) को छोड़कर सभी कोणों के लिए स्पर्शरेखा परिभाषित की जाती है।

कोटैंजेंट α = 180° k, k Z (α = k, k Z) को छोड़कर सभी कोणों के लिए परिभाषित किया गया है।

निर्णय लेते समय व्यावहारिक उदाहरण"घूर्णन कोण की ज्या α" न कहें। शब्द "घूर्णन कोण" को केवल छोड़ दिया जाता है, जिसका अर्थ है कि संदर्भ से यह पहले से ही स्पष्ट है कि दांव पर क्या है।

नंबर

किसी संख्या की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषा के बारे में क्या, न कि रोटेशन के कोण के बारे में क्या?

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट टीएक संख्या कहलाती है, जो क्रमशः ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट के बराबर होती है टीरेडियन

उदाहरण के लिए, 10π की ज्या 10π rad के घूर्णन कोण की ज्या के बराबर होती है।

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषा के लिए एक और दृष्टिकोण है। आइए इसे और अधिक विस्तार से विचार करें।

कोई वास्तविक संख्या टीयूनिट सर्कल पर एक बिंदु आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के मूल में केंद्र के साथ पत्राचार में रखा जाता है। इस बिंदु के निर्देशांक के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट परिभाषित किए गए हैं।

वृत्त पर प्रारंभिक बिंदु निर्देशांक (1 , 0) के साथ बिंदु A है।

सकारात्मक संख्या टी

ऋणात्मक संख्या टीयदि यह वृत्त के चारों ओर वामावर्त गति करता है और पथ t से गुजरता है तो प्रारंभिक बिंदु उस बिंदु से मेल खाता है जिस पर प्रारंभिक बिंदु गति करेगा।

अब जब वृत्त पर संख्या और बिंदु के बीच संबंध स्थापित हो गया है, तो हम साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषा पर आगे बढ़ते हैं।

संख्या t . की ज्या (पाप)

एक संख्या की ज्या टी- संख्या के अनुरूप इकाई वृत्त के बिंदु की कोटि टी। पाप टी = वाई

t . की कोज्या (cos)

एक संख्या की कोज्या टी- संख्या के अनुरूप इकाई वृत्त के बिंदु का भुज टी। कॉस टी = एक्स

t . की स्पर्शरेखा (tg)

एक संख्या की स्पर्शरेखा टी- संख्या के अनुरूप इकाई वृत्त के बिंदु के भुज के निर्देशांक का अनुपात टी। टी जी टी = वाई एक्स = पाप टी क्योंकि टी

बाद की परिभाषाएँ संगत हैं और इस खंड की शुरुआत में दी गई परिभाषा का खंडन नहीं करती हैं। किसी संख्या के संगत वृत्त पर बिंदु टी, उस बिंदु के साथ मेल खाता है जिस पर कोण से मुड़ने के बाद प्रारंभिक बिंदु गुजरता है टीरेडियन

कोणीय और संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्य

कोण α का प्रत्येक मान इस कोण के साइन और कोसाइन के एक निश्चित मान से मेल खाता है। जैसे α = 90 ° + 180 ° · k के अलावा अन्य सभी कोण α, k Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) स्पर्शरेखा के एक निश्चित मान से मेल खाते हैं। कोटैंजेंट, जैसा कि ऊपर बताया गया है, α = 180 ° k, k Z (α = π k, k ∈ Z) को छोड़कर, सभी α के लिए परिभाषित किया गया है।

हम कह सकते हैं कि sin α , cos α , t g α , c t g α कोण अल्फा के कार्य हैं, या कोणीय तर्क के कार्य हैं।

इसी तरह, एक संख्यात्मक तर्क के कार्यों के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट की बात कर सकते हैं। हर वास्तविक संख्या टीकिसी संख्या की ज्या या कोज्या के विशिष्ट मान से मेल खाती है टी. 2 + · k , k Z के अलावा अन्य सभी संख्याएँ स्पर्शरेखा के मान से मेल खाती हैं। कोटैंजेंट को π · k , k Z को छोड़कर सभी संख्याओं के लिए समान रूप से परिभाषित किया गया है।

त्रिकोणमिति के मूल कार्य

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट मूल त्रिकोणमितीय कार्य हैं।

यह आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होता है कि हम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन (कोणीय तर्क या संख्यात्मक तर्क) के किस तर्क के साथ काम कर रहे हैं।

आइए परिभाषाओं और कोण अल्फा की शुरुआत में डेटा पर लौटें, जो 0 से 90 डिग्री की सीमा में है। साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की त्रिकोणमितीय परिभाषाएं एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात द्वारा दी गई ज्यामितीय परिभाषाओं से पूर्णतः सहमत हैं। आइए इसे दिखाते हैं।

एक आयताकार पर केंद्रित एक इकाई वृत्त लें कार्तीय प्रणालीनिर्देशांक। आइए प्रारंभिक बिंदु A (1, 0) को 90 डिग्री तक के कोण से घुमाएं और परिणामी बिंदु A 1 (x, y) से x-अक्ष पर लंबवत खींचें। परिणामी समकोण त्रिभुज में, कोण A 1 O H रोटेशन के कोण α के बराबर है, पैर O H की लंबाई बिंदु A 1 (x, y) के भुज के बराबर है। कोने के विपरीत पैर की लंबाई बिंदु A 1 (x, y) की कोटि के बराबर है, और कर्ण की लंबाई एक के बराबर है, क्योंकि यह इकाई वृत्त की त्रिज्या है।

ज्यामिति से परिभाषा के अनुसार, कोण α की ज्या विपरीत पैर के कर्ण के अनुपात के बराबर होती है।

पाप α \u003d ए 1 एच ओ ए 1 \u003d y 1 \u003d y

इसका मतलब यह है कि पहलू अनुपात के माध्यम से एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की ज्या की परिभाषा रोटेशन के कोण की साइन की परिभाषा के बराबर है α, जिसमें अल्फा 0 से 90 डिग्री की सीमा में स्थित है।

इसी तरह, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए परिभाषाओं का पत्राचार दिखाया जा सकता है।

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एक समकोण त्रिभुज में एक पैर को जानने के बाद, आप त्रिकोणमितीय संबंधों का उपयोग करके दूसरा पैर और कर्ण पा सकते हैं - एक ज्ञात कोण की ज्या और स्पर्शरेखा। चूँकि कोण के विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात इस कोण की ज्या के बराबर है, इसलिए, कर्ण को खोजने के लिए, पैर को कोण की ज्या से विभाजित किया जाना चाहिए। a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

दूसरा पैर ज्ञात कोण के स्पर्शरेखा से ज्ञात पैर के स्पर्शरेखा के अनुपात के रूप में पाया जा सकता है। a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

एक समकोण त्रिभुज में अज्ञात कोण की गणना करने के लिए, आपको कोण α को 90 डिग्री से घटाना होगा। β=90°-α

पैर के माध्यम से एक समकोण त्रिभुज की परिधि और क्षेत्र और इसके विपरीत कोण को दूसरे चरण और कर्ण के लिए पहले से प्राप्त अभिव्यक्तियों को सूत्रों में प्रतिस्थापित करके व्यक्त किया जा सकता है। P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 तन⁡α)

आप त्रिकोणमितीय संबंधों के माध्यम से भी ऊंचाई की गणना कर सकते हैं, लेकिन पहले से ही आंतरिक समकोण त्रिभुज में पक्ष a के साथ, जो इसे बनाता है। ऐसा करने के लिए, आपको इस तरह के त्रिभुज के कर्ण के रूप में, कोण β या कोसाइन α की ज्या से गुणा करके पक्ष की आवश्यकता होती है, क्योंकि इसके अनुसार त्रिकोणमितीय पहचानवे समकक्ष हैं। (अंजीर। 79.2) h=a cos⁡α

कर्ण की माध्यिका कर्ण के आधे के बराबर होती है या ज्ञात पैर a को दो ज्या α से विभाजित किया जाता है। टाँगों की माध्यिका ज्ञात करने के लिए, हम सूत्रों को उपयुक्त रूप में लाते हैं: ज्ञात पार्टीऔर कोने। (अंजीर.79.3) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡ α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

चूँकि त्रिभुज में समकोण का समद्विभाजक दो भुजाओं का गुणनफल होता है और दो का मूल, इन भुजाओं के योग से विभाजित होता है, एक पैर को ज्ञात पैर के स्पर्शरेखा के अनुपात से बदलकर, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं अभिव्यक्ति। इसी तरह, अनुपात को दूसरे और तीसरे सूत्रों में प्रतिस्थापित करके, कोण α और β के द्विभाजक की गणना की जा सकती है। (अंजीर.79.4) l_с=(a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (बी+सी)=√(बीसी(बी^2+2बीसी+सी^2-ए^2))/(बी+सी)=√(बीसी(बी^2+2बीसी+बी^2))/(बी +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c) (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

मध्य रेखा त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर चलती है, जबकि समान कोणों वाला एक और समकोण त्रिभुज बनाती है, जिसमें सभी भुजाएँ मूल आकार की आधी होती हैं। इसके आधार पर, केवल पैर और उसके विपरीत कोण को जानकर, निम्न सूत्रों का उपयोग करके मध्य रेखाएं पाई जा सकती हैं। (अंजीर.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या पैरों और कर्ण के बीच के अंतर को दो से विभाजित करने के बराबर है, और परिचालित वृत्त की त्रिज्या को खोजने के लिए, आपको कर्ण को दो से विभाजित करने की आवश्यकता है। हम दूसरे पैर और कर्ण को क्रमशः पैर के अनुपात के साथ साइन और स्पर्शरेखा के साथ बदलते हैं। (चित्र 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

जीवन में, हमें अक्सर निपटना पड़ता है गणित की समस्याये: स्कूल में, विश्वविद्यालय में, और फिर अपने बच्चे की मदद करना गृहकार्य. कुछ व्यवसायों के लोग दैनिक आधार पर गणित का सामना करेंगे। इसलिए, गणितीय नियमों को याद रखना या याद करना उपयोगी है। इस लेख में, हम उनमें से एक का विश्लेषण करेंगे: एक समकोण त्रिभुज का पैर ढूँढना।

एक समकोण त्रिभुज क्या है

सबसे पहले, आइए याद करें कि एक समकोण त्रिभुज क्या है। सही त्रिभुज है ज्यामितीय आकृतितीन खंडों में से जो उन बिंदुओं को जोड़ते हैं जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, और इस आकृति का एक कोण 90 डिग्री है। एक समकोण बनाने वाली भुजाओं को टांगें कहा जाता है, और जो भुजा समकोण के विपरीत होती है उसे कर्ण कहा जाता है।

एक समकोण त्रिभुज का पाद ढूँढना

पैर की लंबाई का पता लगाने के कई तरीके हैं। मैं उन पर अधिक विस्तार से विचार करना चाहूंगा।

एक समकोण त्रिभुज का पाद ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय

यदि हम कर्ण और पैर को जानते हैं, तो हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके अज्ञात पैर की लंबाई का पता लगा सकते हैं। ऐसा लगता है: "कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है।" सूत्र: c²=a²+b², जहां c कर्ण है, a और b पैर हैं। हम सूत्र को रूपांतरित करते हैं और प्राप्त करते हैं: a²=c²-b²।

उदाहरण। कर्ण 5 सेमी है, और पैर 3 सेमी है। हम सूत्र को बदलते हैं: c²=a²+b² → a²=c²-b²। अगला, हम तय करते हैं: a²=5²-3²; ए²=25-9; ए² = 16; ए = √16; ए = 4 (सेमी)।

एक समकोण त्रिभुज का पाद ज्ञात करने के लिए त्रिकोणमितीय संबंध

यदि किसी समकोण त्रिभुज की कोई अन्य भुजा और कोई न्यून कोण ज्ञात हो तो अज्ञात पैर का पता लगाना भी संभव है। त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके पैर को खोजने के लिए चार विकल्प हैं: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटेंजेंट द्वारा। समस्याओं को हल करने के लिए, नीचे दी गई तालिका हमारी मदद करेगी। आइए इन विकल्पों पर विचार करें।

ज्या का प्रयोग करते हुए एक समकोण त्रिभुज का पाद ज्ञात कीजिए

कोण की ज्या (पाप) कर्ण के विपरीत पैर का अनुपात है। सूत्र: पाप \u003d ए / सी, जहां ए दिए गए कोण के विपरीत पैर है, और सी कर्ण है। अगला, हम सूत्र को रूपांतरित करते हैं और प्राप्त करते हैं: a=sin*c.

उदाहरण। कर्ण 10 सेमी और कोण A 30 डिग्री है। तालिका के अनुसार हम कोण A की ज्या की गणना करते हैं, यह 1/2 के बराबर है। फिर, रूपांतरित सूत्र का उपयोग करके, हम हल करते हैं: a=sin∠A*c; ए = 1/2 * 10; ए = 5 (सेमी)।

कोसाइन का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज का पाद ज्ञात कीजिए

कोण की कोज्या (cos) कर्ण से सटे पैर का अनुपात है। सूत्र: cos \u003d b / c, जहाँ b दिए गए कोण से सटा पैर है, और c कर्ण है। आइए सूत्र को रूपांतरित करें और प्राप्त करें: b=cos*c.

उदाहरण। कोण ए 60 डिग्री है, कर्ण 10 सेमी है। तालिका के अनुसार, हम कोण ए के कोसाइन की गणना करते हैं, यह 1/2 के बराबर है। अगला, हम हल करते हैं: b=cos∠A*c; बी = 1/2 * 10, बी = 5 (सेमी)।

स्पर्शरेखा का प्रयोग करते हुए एक समकोण त्रिभुज का पाद ज्ञात कीजिए

एक कोण (tg) की स्पर्शरेखा विपरीत पैर का आसन्न एक से अनुपात है। सूत्र: टीजी \u003d ए / बी, जहां ए कोने के विपरीत पैर है, और बी आसन्न है। आइए सूत्र को रूपांतरित करें और प्राप्त करें: a=tg*b.

उदाहरण। कोण A 45 डिग्री है, कर्ण 10 सेमी है। तालिका के अनुसार, हम कोण A की स्पर्शरेखा की गणना करते हैं, यह हल के बराबर है: a=tg∠A*b; ए = 1 * 10; ए = 10 (सेमी)।

कोटैंजेंट का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज का पाद ज्ञात कीजिए

एक कोण (सीटीजी) का कोटेंजेंट आसन्न पैर का विपरीत पैर का अनुपात है। सूत्र: सीटीजी \u003d बी / ए, जहां बी कोने से सटे पैर है, और विपरीत है। दूसरे शब्दों में, कोटैंजेंट "उल्टे स्पर्शरेखा" है। हमें मिलता है: बी = सीटीजी * ए।

उदाहरण। कोण A 30 डिग्री है, विपरीत पैर 5 सेमी है। तालिका के अनुसार, कोण A की स्पर्शरेखा √3 है। परिकलित करें: b=ctg∠A*a; बी = √3 * 5; बी = 5√3 (सेमी)।

तो, अब आप जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज में टांग को कैसे खोजना है। जैसा कि आप देख सकते हैं, यह इतना मुश्किल नहीं है, मुख्य बात सूत्रों को याद रखना है।