विशालतम सामान्य भाजकऔर कम से कम सामान्य गुणक प्रमुख अंकगणितीय अवधारणाएं हैं जो आपको आसानी से संचालित करने की अनुमति देती हैं साधारण अंश. एलसीएम और अक्सर कई अंशों के सामान्य भाजक को खोजने के लिए उपयोग किया जाता है।

मूल अवधारणा

एक पूर्णांक X का भाजक एक अन्य पूर्णांक Y है जिससे X बिना किसी शेषफल के विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 4 का भाजक 2 है, और 36 4, 6, 9 है। पूर्णांक X का एक गुणज एक संख्या Y है जो बिना शेष के X से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 3 15 का गुणज है, और 6 12 का गुणज है।

संख्याओं के किसी भी युग्म के लिए, हम उनके उभयनिष्ठ भाजक और गुणज ज्ञात कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 6 और 9 के लिए, सामान्य गुणक 18 है, और सामान्य भाजक 3 है। जाहिर है, जोड़े में कई भाजक और गुणक हो सकते हैं, इसलिए GCD का सबसे बड़ा भाजक और LCM का सबसे छोटा गुणक गणना में उपयोग किया जाता है। .

सबसे छोटा भाजक समझ में नहीं आता, क्योंकि किसी भी संख्या के लिए यह हमेशा एक होता है। सबसे बड़ा गुणक भी अर्थहीन है, क्योंकि गुणकों का क्रम अनंत की ओर जाता है।

जीसीडी ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने की कई विधियाँ हैं, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध हैं:

• भाजक की क्रमिक गणना, एक जोड़ी के लिए सामान्य का चयन और उनमें से सबसे बड़े की खोज;
• अविभाज्य कारकों में संख्याओं का अपघटन;
• यूक्लिड का एल्गोरिथ्म;
• बाइनरी एल्गोरिथम।

आज इस समय शिक्षण संस्थानोंसबसे लोकप्रिय तरीकों में अपघटन हैं प्रधान कारणऔर यूक्लिड का एल्गोरिथ्म। उत्तरार्द्ध, बदले में, डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने में उपयोग किया जाता है: जीसीडी की खोज को पूर्णांक में हल करने की संभावना के लिए समीकरण की जांच करने की आवश्यकता होती है।

एनओसी का पता लगाना

कम से कम सामान्य गुणक भी पुनरावृत्त गणना या अविभाज्य कारकों में गुणन द्वारा निर्धारित किया जाता है। इसके अलावा, अगर सबसे बड़ा भाजक पहले ही निर्धारित किया जा चुका है, तो एलसीएम को खोजना आसान है। संख्या X और Y के लिए, LCM और GCD निम्नलिखित संबंध से संबंधित हैं:

एलसीएम (एक्स, वाई) = एक्स × वाई / जीसीएम (एक्स, वाई)।

उदाहरण के लिए, यदि gcd(15,18) = 3, तो LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90। LCM का सबसे स्पष्ट उपयोग सामान्य भाजक को खोजने के लिए है, जो कि सबसे कम सामान्य गुणक है। अंश दिए।

कोप्राइम नंबर

यदि संख्याओं के एक युग्म का कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है, तो ऐसे युग्म को सहअभाज्य कहते हैं। ऐसे युग्मों के लिए GCM हमेशा एक के बराबर होता है, और भाजक और गुणकों के कनेक्शन के आधार पर, coprime के लिए GCM उनके उत्पाद के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 25 और 28 सहअभाज्य हैं, क्योंकि उनके पास कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है, और LCM(25, 28) = 700, जो उनके उत्पाद से मेल खाती है। कोई भी दो अविभाज्य संख्याएँ सदैव सहअभाज्य होंगी।

सामान्य भाजक और एकाधिक कैलकुलेटर

हमारे कैलकुलेटर से आप किसी भी संख्या में से चुनने के लिए जीसीडी और एलसीएम की गणना कर सकते हैं। सामान्य भाजक और गुणकों की गणना के लिए कार्य ग्रेड 5 और 6 के अंकगणित में पाए जाते हैं, हालांकि, जीसीडी और एलसीएम गणित की प्रमुख अवधारणाएं हैं और संख्या सिद्धांत, योजनामिति और संचार बीजगणित में उपयोग किए जाते हैं।

वास्तविक जीवन के उदाहरण

भिन्नों का सामान्य भाजक

कई भिन्नों के सामान्य भाजक को खोजने के लिए सबसे कम सामान्य गुणक का उपयोग किया जाता है। मान लीजिए कि एक अंकगणितीय समस्या में 5 भिन्नों का योग करना आवश्यक है:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

भिन्नों को जोड़ने के लिए, व्यंजक को एक सामान्य हर में घटाया जाना चाहिए, जो LCM को खोजने की समस्या को कम करता है। ऐसा करने के लिए, कैलकुलेटर में 5 नंबरों का चयन करें और उपयुक्त सेल में हर का मान दर्ज करें। कार्यक्रम एलसीएम (8, 9, 12, 15, 18) = 360 की गणना करेगा। अब आपको प्रत्येक अंश के लिए अतिरिक्त कारकों की गणना करने की आवश्यकता है, जिन्हें एलसीएम के हर के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। तो अतिरिक्त गुणक इस तरह दिखेगा:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

उसके बाद, हम सभी भिन्नों को संगत अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करते हैं और प्राप्त करते हैं:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

हम ऐसे भिन्नों को आसानी से जोड़ सकते हैं और परिणाम 159/360 के रूप में प्राप्त कर सकते हैं। हम भिन्न को 3 से कम करते हैं और अंतिम उत्तर देखते हैं - 53/120।

रैखिक डायोफैंटाइन समीकरणों का समाधान

रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण ax + by = d के रूप के व्यंजक हैं। यदि अनुपात d / gcd(a, b) एक पूर्णांक है, तो समीकरण पूर्णांकों में हल करने योग्य है। आइए एक पूर्णांक समाधान की संभावना के लिए कुछ समीकरणों की जाँच करें। सबसे पहले, समीकरण 150x + 8y = 37 की जाँच करें। कैलकुलेटर का उपयोग करके, हम gcd (150.8) = 2 पाते हैं। 37/2 = 18.5 को विभाजित करें। संख्या एक पूर्णांक नहीं है, इसलिए समीकरण में पूर्णांक मूल नहीं होते हैं।

आइए समीकरण 1320x + 1760y = 10120 की जाँच करें। gcd(1320, 1760) = 440 खोजने के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करें। 10120/440 = 23 को विभाजित करें। परिणामस्वरूप, हमें एक पूर्णांक मिलता है, इसलिए, डायोफैंटाइन समीकरण पूर्णांक गुणांक में हल करने योग्य है। .

निष्कर्ष

जीसीडी और एलसीएम संख्या सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, और अवधारणाएं स्वयं गणित के विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग की जाती हैं। किसी भी संख्या के सबसे बड़े भाजक और सबसे छोटे गुणज की गणना करने के लिए हमारे कैलकुलेटर का उपयोग करें।

नीचे प्रस्तुत सामग्री एलसीएम शीर्षक के तहत लेख से सिद्धांत की तार्किक निरंतरता है - कम से कम सामान्य गुणक, परिभाषा, उदाहरण, एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध। यहां हम बात करेंगे कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम) ढूँढना, और उदाहरणों को हल करने पर विशेष ध्यान दें। आइए पहले यह दिखाएं कि इन संख्याओं के जीसीडी के रूप में दो संख्याओं के एलसीएम की गणना कैसे की जाती है। इसके बाद, संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके कम से कम सामान्य गुणक खोजने पर विचार करें। उसके बाद, हम तीन या अधिक संख्याओं के एलसीएम को खोजने पर ध्यान केंद्रित करेंगे, और ऋणात्मक संख्याओं के एलसीएम की गणना पर भी ध्यान देंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

gcd . के माध्यम से कम से कम सामान्य गुणक (LCM) की गणना

एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध पर आधारित कम से कम सामान्य गुणक खोजने का एक तरीका है। एलसीएम और जीसीडी के बीच मौजूदा संबंध आपको ज्ञात सबसे बड़े सामान्य भाजक के माध्यम से दो सकारात्मक पूर्णांकों के कम से कम सामान्य गुणक की गणना करने की अनुमति देता है। संबंधित सूत्र का रूप है एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीएम (ए, बी) . उपरोक्त सूत्र के अनुसार LCM ज्ञात करने के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण।

दो संख्याओं 126 और 70 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

समाधान।

इस उदाहरण में a=126 , b=70 । आइए हम सूत्र द्वारा व्यक्त एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध का उपयोग करें एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीएम (ए, बी). यानी सबसे पहले हमें 70 और 126 की संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करना है, जिसके बाद हम लिखित सूत्र के अनुसार इन संख्याओं का LCM परिकलित कर सकते हैं।

यूक्लिड के एल्गोरिथ्म का उपयोग करके gcd(126, 70) खोजें: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , इसलिए gcd(126, 70)=14 ।

अब हम आवश्यक कम से कम सामान्य गुणक पाते हैं: एलसीएम(126, 70)=126 70: जीसीएम(126, 70)= 126 70:14=630।

उत्तर:

एलसीएम(126, 70)=630।

उदाहरण।

एलसीएम (68, 34) क्या है?

समाधान।

इसलिये 68, 34 से समान रूप से विभाज्य है, फिर gcd(68, 34)=34 । अब हम लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करते हैं: एलसीएम(68, 34)=68 34: एलसीएम(68, 34)= 68 34:34=68 ।

उत्तर:

एलसीएम (68, 34) = 68।

ध्यान दें कि पिछला उदाहरण धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए LCM ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित नियम पर फिट बैठता है: यदि संख्या a, b से विभाज्य है, तो इन संख्याओं में से सबसे छोटी सामान्य गुणज a है।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं का गुणनखंडन करके LCM ज्ञात करना

कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने का दूसरा तरीका अभाज्य संख्याओं में गुणनखंडन पर आधारित है। यदि हम इन संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं, जिसके बाद हम इस गुणनफल से उन सभी उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों को हटा देते हैं जो इन संख्याओं के विस्तार में मौजूद हैं, तो परिणामी उत्पाद इन संख्याओं के अल्पतम समापवर्तक के बराबर होगा।

एलसीएम खोजने के लिए घोषित नियम समानता से निम्नानुसार है एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीएम (ए, बी). वास्तव में, संख्याओं a और b का गुणनफल, संख्याओं a और b के प्रसार में शामिल सभी कारकों के गुणनफल के बराबर होता है। बदले में, जीसीडी (ए, बी) उत्पाद के बराबर हैसभी अभाज्य गुणनखंड जो संख्याओं a और b के विस्तार में एक साथ मौजूद होते हैं (जो कि अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके GCD खोजने पर अनुभाग में वर्णित है)।

आइए एक उदाहरण लेते हैं। बता दें कि 75=3 5 5 और 210=2 3 5 7 । इन विस्तारों के सभी गुणनखंडों का गुणनफल लिखिए: 2 3 3 5 5 5 7 । अब हम इस उत्पाद से उन सभी कारकों को बाहर करते हैं जो संख्या 75 के विस्तार और संख्या 210 के विस्तार में मौजूद हैं (ऐसे कारक 3 और 5 हैं), तो उत्पाद 2 3 5 5 7 का रूप लेगा। इस गुणनफल का मान 75 और 210 की संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य के बराबर है, अर्थात्, एलसीएम(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

उदाहरण।

संख्या 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के बाद, इन संख्याओं में से सबसे छोटा सामान्य गुणज ज्ञात कीजिए।

समाधान।

आइए संख्या 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें:

हमें 441=3 3 7 7 और 700=2 2 5 5 7 मिलता है।

अब आइए इन संख्याओं के प्रसार में शामिल सभी कारकों का गुणनफल बनाएं: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 । आइए हम इस उत्पाद से उन सभी कारकों को बाहर करें जो दोनों विस्तारों में एक साथ मौजूद हैं (ऐसा केवल एक कारक है - यह संख्या 7 है): 2 2 3 3 5 5 7 7 । इस तरह, एलसीएम(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

उत्तर:

एलसीएम (441, 700) = 44 100।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके एलसीएम को खोजने का नियम थोड़ा अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है। यदि हम संख्या बी के विस्तार से लापता कारकों को संख्या ए के अपघटन से कारकों में जोड़ते हैं, तो परिणामी उत्पाद का मूल्य संख्याओं ए और बी के कम से कम सामान्य गुणक के बराबर होगा.

उदाहरण के लिए, आइए सभी समान संख्याएं 75 और 210 लें, उनके विस्तार अभाज्य गुणनखंडों में इस प्रकार हैं: 75=3 5 5 और 210=2 3 5 7 । संख्या 75 के विस्तार से गुणनखंड 3, 5 और 5 में, हम संख्या 210 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 7 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 3 5 5 7 मिलता है, जिसका मान LCM(75) है , 210)।

उदाहरण।

84 और 648 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

समाधान।

हम पहले संख्या 84 और 648 के अपघटन को अभाज्य गुणनखंडों में प्राप्त करते हैं। वे 84=2 2 3 7 और 648=2 2 2 2 3 3 3 3 जैसे दिखते हैं। संख्या 84 के विस्तार से गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 में हम संख्या 648 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2, 3, 3 और 3 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 2 2 3 3 3 3 7 मिलता है, जो 4 536 के बराबर है। इस प्रकार, 84 और 648 की संख्याओं का वांछित न्यूनतम सामान्य गुणज 4,536 है।

उत्तर:

एलसीएम(84, 648)=4 536।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करना

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य दो संख्याओं का LCM क्रमिक रूप से ज्ञात करके ज्ञात किया जा सकता है। संबंधित प्रमेय को याद करें, जो तीन या अधिक संख्याओं के एलसीएम को खोजने का एक तरीका देता है।

प्रमेय।

मान लीजिए धनात्मक पूर्णांक a 1, a 2 ,…, a k दिया गया है, इन संख्याओं का न्यूनतम उभयनिष्ठ गुणज m k अनुक्रमिक गणना में पाया जाता है m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1, a k) ।

चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के उदाहरण पर इस प्रमेय के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण।

चार संख्याओं 140 , 9 , 54 और 250 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए ।

समाधान।

इस उदाहरण में a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 ।

पहले हम पाते हैं एम 2 \u003d एलसीएम (ए 1, ए 2) \u003d एलसीएम (140, 9). ऐसा करने के लिए, यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करते हुए, हम निर्धारित करते हैं gcd(140, 9) , हमारे पास 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 है, इसलिए, gcd( 140, 9)=1 , कहाँ से एलसीएम(140, 9)=140 9: एलसीएम(140, 9)= 140 9:1=1 260 । यानी एम 2 = 1 260।

अब हम पाते हैं एम 3 \u003d एलसीएम (एम 2, ए 3) \u003d एलसीएम (1 260, 54). आइए इसकी गणना gcd(1 260, 54) के माध्यम से करते हैं, जो यूक्लिड एल्गोरिथम द्वारा भी निर्धारित किया जाता है: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 । फिर gcd(1 260, 54)=18 , जहां से LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 । यानी एम 3 \u003d 3 780।

खोजने के लिए छोड़ दिया एम 4 \u003d एलसीएम (एम 3, ए 4) \u003d एलसीएम (3 780, 250). ऐसा करने के लिए, हम यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करके GCD(3 780, 250) पाते हैं: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 । इसलिए, gcd(3 780, 250)=10 , जहां से gcd(3 780, 250)= 3 780 250:जीसीडी(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500। यानी एम 4 \u003d 94 500।

अतः मूल चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 94,500 है।

उत्तर:

एलसीएम (140, 9, 54, 250)=94,500.

कई मामलों में, दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करके तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक आसानी से मिल जाता है। इस मामले में, निम्नलिखित नियम का पालन किया जाना चाहिए। कई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक गुणनफल के बराबर होता है, जो इस प्रकार बनता है: दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को पहली संख्या के विस्तार से सभी गुणनखंडों में जोड़ा जाता है, के विस्तार से लुप्त गुणनखंड तीसरे नंबर को प्राप्त कारकों में जोड़ा जाता है, और इसी तरह।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

पाँच संख्याओं 84 , 6 , 48 , 7 , 143 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए ।

समाधान।

सबसे पहले, हम इन संख्याओं के विस्तार को अभाज्य गुणनखंडों में प्राप्त करते हैं: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 अभाज्य गुणनखंड) और 143=11 13 ।

इन संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करने के लिए, पहली संख्या 84 (वे 2, 2, 3 और 7 हैं) के गुणनखंडों में आपको दूसरी संख्या 6 के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ना होगा। संख्या 6 के विस्तार में लुप्त गुणनखंड नहीं हैं, क्योंकि 2 और 3 दोनों पहले संख्या 84 के विस्तार में पहले से मौजूद हैं। आगे गुणनखंड 2 , 2 , 3 और 7 के अलावा हम तीसरी संख्या 48 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 2 जोड़ते हैं , हमें गुणनखंड 2 , 2 , 2 , 2 , 3 और 7 का एक समुच्चय प्राप्त होता है । अगले चरण में इस सेट में गुणनखंड जोड़ने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि इसमें पहले से ही 7 समाहित है। अंत में, गुणनखंड 2 , 2 , 2 , 2 , 3 और 7 में हम संख्या 143 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 11 और 13 जोड़ते हैं। हमें गुणनफल 2 2 2 2 3 7 11 13 मिलता है, जो 48 048 के बराबर है।

दूसरा नंबर: ख =

अंक विभाजककोई अंतरिक्ष विभाजक नहीं "´

परिणाम:

सबसे बड़ा सामान्य भाजक gcd( एक,बी)=6

एलसीएम का कम से कम सामान्य गुणक ( एक,बी)=468

महानतम प्राकृतिक संख्या, जिससे संख्याएँ a और b शेषफल के बिना विभाज्य हैं, कहलाती हैं महत्तम सामान्य भाजक(जीसीडी) इन नंबरों के। चिह्नित gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) या hcf(a,b)।

आम एकाधिक(LCM) दो पूर्णांकों a और b का वह सबसे छोटा प्राकृत संख्या है जो a और b से बिना किसी शेषफल के विभाज्य है। चिह्नित एलसीएम (ए, बी), या एलसीएम (ए, बी)।

पूर्णांक a और b कहलाते हैं सह अभाज्ययदि उनके पास +1 और -1 के अलावा कोई सामान्य भाजक नहीं है।

महत्तम सामान्य भाजक

मान लीजिए कि दो धनात्मक संख्याएँ दी गई हैं एक 1 और एक 2 1) . इन संख्याओं का एक उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात करना आवश्यक है, अर्थात्। ऐसी संख्या खोजें λ , जो संख्याओं को विभाजित करता है एक 1 और एक 2 एक ही समय में। आइए एल्गोरिथ्म का वर्णन करें।

1) इस लेख में, शब्द संख्या का अर्थ एक पूर्णांक होगा।

होने देना एक 1 ≥ एक 2 और चलो

कहाँ पे एम 1 , एक 3 कुछ पूर्णांक हैं, एक 3 <एक 2 (डिवीजन से शेष .) एक 1 पर एक 2 कम होना चाहिए एक 2).

चलो दिखावा करते हैं कि λ विभाजित एक 1 और एक 2, फिर λ विभाजित एम 1 एक 2 और λ विभाजित एक 1 −एम 1 एक 2 =एक 3 (लेख का दावा 2 "संख्याओं की विभाज्यता। विभाज्यता का संकेत")। यह इस प्रकार है कि प्रत्येक सामान्य भाजक एक 1 और एक 2 एक सामान्य भाजक है एक 2 और एक 3. इसका विलोम भी सत्य है यदि λ सामान्य भाजक एक 2 और एक 3, फिर एम 1 एक 2 और एक 1 =एम 1 एक 2 +एक 3 को भी में विभाजित किया गया है λ . इसलिए सामान्य भाजक एक 2 और एक 3 भी एक सामान्य भाजक है एक 1 और एक 2. इसलिये एक 3 <एक 2 ≤एक 1, तो हम कह सकते हैं कि संख्याओं का एक सामान्य भाजक खोजने की समस्या का समाधान एक 1 और एक 2 संख्याओं का एक सामान्य भाजक खोजने की एक सरल समस्या में बदल गया एक 2 और एक 3 .

यदि एक एक 3 0, तब हम भाग कर सकते हैं एक 2 पर एक 3. फिर

,

कहाँ पे एम 1 और एक 4 कुछ पूर्णांक हैं, ( एकविभाजन के 4 शेष एक 2 पर एक 3 (एक 4 <एक 3))। इसी तरह के तर्क से हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि संख्याओं के उभयनिष्ठ भाजक एक 3 और एक 4 संख्याओं के सामान्य भाजक के समान है एक 2 और एक 3 , और सामान्य भाजक के साथ भी एक 1 और एक 2. इसलिये एक 1 , एक 2 , एक 3 , एक 4 , ... संख्याएं जो लगातार घट रही हैं, और चूंकि के बीच पूर्णांकों की एक सीमित संख्या है एक 2 और 0, फिर किसी चरण पर एन, विभाजन के शेष एकएन ओन एक n+1 शून्य के बराबर होगा ( एकएन+2=0).

.

हर आम भाजक λ नंबर एक 1 और एक 2 भी संख्याओं का भाजक है एक 2 और एक 3 , एक 3 और एक 4 , .... एकएन और एकएन + 1। विलोम भी सत्य है, संख्याओं के उभयनिष्ठ भाजक एकएन और एक n+1 भी संख्याओं के भाजक हैं एक n−1 और एकएन , .... , एक 2 और एक 3 , एक 1 और एक 2. लेकिन आम भाजक एकएन और एक n+1 एक संख्या है एक n+1 , क्योंकि एकएन और एक n+1 से विभाज्य हैं एक n+1 (याद रखें कि एकएन+2=0). फलस्वरूप एक n+1 भी संख्याओं का भाजक है एक 1 और एक 2 .

ध्यान दें कि संख्या एक n+1 सबसे बड़ी संख्या भाजक है एकएन और एक n+1 , सबसे बड़े भाजक के बाद से एक n+1 स्वयं है एकएन + 1। यदि एक एक n + 1 को पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो ये संख्याएँ भी संख्याओं के सामान्य भाजक हैं एक 1 और एक 2. संख्या एक n+1 कहलाते हैं महत्तम सामान्य भाजकनंबर एक 1 और एक 2 .

नंबर एक 1 और एक 2 धनात्मक और ऋणात्मक दोनों संख्याएँ हो सकती हैं। यदि संख्याओं में से एक शून्य के बराबर है, तो इन संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक दूसरी संख्या के निरपेक्ष मान के बराबर होगा। शून्य संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक परिभाषित नहीं है।

उपरोक्त एल्गोरिथम कहा जाता है यूक्लिड का एल्गोरिथमदो पूर्णांकों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करना।

दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने का एक उदाहरण

दो संख्याओं 630 और 434 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए।

• चरण 1. संख्या 630 को 434 से विभाजित करें। शेष 196 है।
• चरण 2. संख्या 434 को 196 से विभाजित करें। शेष 42 है।
• चरण 3. संख्या 196 को 42 से विभाजित करें। शेष 28 है।
• चरण 4. संख्या 42 को 28 से विभाजित करें। शेष 14 है।
• चरण 5. संख्या 28 को 14 से विभाजित करें। शेषफल 0 है।

चरण 5 पर, शेषफल 0 है। इसलिए, संख्या 630 और 434 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 14 है। ध्यान दें कि संख्या 2 और 7 भी संख्या 630 और 434 की भाजक हैं।

कोप्राइम नंबर

परिभाषा 1. माना संख्याओं का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक एक 1 और एक 2 एक के बराबर है। तब इन नंबरों को कहा जाता है सह अभाज्य संख्याजिसका कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है।

प्रमेय 1. यदि एक एक 1 और एक 2 अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएं, और λ कुछ संख्या, फिर संख्याओं का कोई भी सामान्य भाजक a 1 और एक 2 भी संख्याओं का एक उभयनिष्ठ भाजक है λ तथा एक 2 .

सबूत। संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने के लिए यूक्लिड के एल्गोरिथ्म पर विचार करें एक 1 और एक 2 (ऊपर देखें)।

.

यह प्रमेय की शर्तों से निम्नानुसार है कि संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एक 1 और एक 2 , और इसलिए एकएन और एक n+1 है 1. यानी। एकएन+1=1.

आइए इन सभी समानताओं को से गुणा करें λ , फिर

.

चलो आम भाजक एक 1 λ तथा एक 2 is δ . फिर δ में एक कारक के रूप में प्रवेश करता है एक 1 λ , एम 1 एक 2 λ और में एक 1 λ -एम 1 एक 2 λ =एक 3 λ (देखें "संख्याओं की विभाज्यता", कथन 2)। आगे δ में एक कारक के रूप में प्रवेश करता है एक 2 λ तथा एम 2 एक 3 λ , और इसलिए में एक कारक के रूप में प्रवेश करता है एक 2 λ -एम 2 एक 3 λ =एक 4 λ .

इस प्रकार तर्क करने से हमें विश्वास हो जाता है कि δ में एक कारक के रूप में प्रवेश करता है एक n-1 λ तथा एम n-1 एकएन λ , और इसलिए में एक n-1 λ −एम n-1 एकएन λ =एकएन+1 λ . इसलिये एकएन+1 = 1, फिर δ में एक कारक के रूप में प्रवेश करता है λ . इसलिए संख्या δ संख्याओं का एक सामान्य भाजक है λ तथा एक 2 .

प्रमेय 1 के विशेष मामलों पर विचार करें।

परिणाम 1. होने देना एकतथा सीअभाज्य संख्याएँ अपेक्षाकृत होती हैं बी. फिर उनका उत्पाद एसीके संबंध में एक अभाज्य संख्या है बी.

सचमुच। प्रमेय 1 . से एसीतथा बीके समान भाजक हैं सीतथा बी. लेकिन संख्या सीतथा बीकोप्राइम, यानी एक उभयनिष्ठ भाजक है 1. तब एसीतथा बीएक ही उभयनिष्ठ भाजक भी है 1. इसलिए एसीतथा बीपरस्पर सरल।

परिणाम 2. होने देना एकतथा बीसहअभाज्य संख्याएँ और let बीविभाजित एके. फिर बीविभाजित करता है और क.

सचमुच। दावे की स्थिति से एकेतथा बीएक सामान्य भाजक है बी. प्रमेय 1 के आधार पर, बीएक सामान्य भाजक होना चाहिए बीतथा क. फलस्वरूप बीविभाजित क.

कोरोलरी 1 को सामान्यीकृत किया जा सकता है।

परिणाम 3. 1. चलो संख्या एक 1 , एक 2 , एक 3 , ..., एकमी संख्या के सापेक्ष अभाज्य हैं बी. फिर एक 1 एक 2 , एक 1 एक 2 · एक 3 , ..., एक 1 एक 2 एक 3 · · · एक m , संख्या के संबंध में इन संख्याओं का गुणनफल अभाज्य है बी.

2. मान लीजिए हमारे पास संख्याओं की दो पंक्तियाँ हैं

इस प्रकार पहली पंक्ति में प्रत्येक संख्या दूसरी पंक्ति में प्रत्येक संख्या के संबंध में अभाज्य है। फिर उत्पाद

ऐसी संख्याएँ ज्ञात करना आवश्यक है जो इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य हों।

यदि संख्या से विभाज्य है एक 1 , तो ऐसा लगता है एसए 1 , जहां एसकुछ संख्या। यदि एक क्यूसंख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है एक 1 और एक 2, फिर

कहाँ पे एस 1 कुछ पूर्णांक है। फिर

है संख्याओं का कम से कम सामान्य गुणक एक 1 और एक 2 .

एक 1 और एक 2 सहअभाज्य, फिर संख्याओं का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज एक 1 और एक 2:

इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

ऊपर से यह इस प्रकार है कि संख्याओं का कोई भी गुणज एक 1 , एक 2 , एक 3 संख्याओं का गुणज होना चाहिए ε तथा एक 3 और इसके विपरीत। मान लीजिए संख्याओं का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज ε तथा एक 3 is ε एक । इसके अलावा, संख्याओं की एक बहु एक 1 , एक 2 , एक 3 , एक 4 संख्याओं का गुणज होना चाहिए ε 1 और एकचार । मान लीजिए संख्याओं का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज ε 1 और एक 4 is ε 2. इस प्रकार, हमने पाया कि संख्याओं के सभी गुणज एक 1 , एक 2 , एक 3 ,...,एकमी कुछ विशिष्ट संख्या के गुणकों के साथ मेल खाता है ε n , जिसे दी गई संख्याओं का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज कहा जाता है।

विशेष मामले में जब संख्या एक 1 , एक 2 , एक 3 ,...,एकएम कोप्राइम, फिर संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज एक 1 , एक 2 जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, का रूप (3) है। इसके अलावा, चूंकि एक 3 अभाज्य संख्याओं के संबंध में एक 1 , एक 2, फिर एक 3 एक अभाज्य सापेक्ष संख्या है एकएक · एक 2 (उपदेश 1)। अतः संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य एक 1 ,एक 2 ,एक 3 एक संख्या है एकएक · एक 2 · एक 3. इसी तरह से तर्क करते हुए, हम निम्नलिखित अभिकथनों पर पहुँचते हैं।

कथन 1. सहअभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य एक 1 , एक 2 , एक 3 ,...,एकमी उनके उत्पाद के बराबर है एकएक · एक 2 · एक 3 · · · एकएम ।

कथन 2. कोई भी संख्या जो प्रत्येक सहअभाज्य संख्या से विभाज्य हो एक 1 , एक 2 , एक 3 ,...,एक m भी उनके गुणनफल से विभाज्य है एकएक · एक 2 · एक 3 · · · एकएम ।

ऑनलाइन कैलकुलेटर आपको दो या किसी अन्य संख्या का सबसे बड़ा सामान्य भाजक और सबसे छोटा सामान्य गुणक खोजने की अनुमति देता है।

जीसीडी और एनओसी खोजने के लिए कैलकुलेटर

जीसीडी और एनओसी खोजें

जीसीडी और एनओसी मिला: 5806

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

• इनपुट क्षेत्र में नंबर दर्ज करें
• गलत वर्ण दर्ज करने की स्थिति में, इनपुट फ़ील्ड को लाल रंग में हाइलाइट किया जाएगा
• बटन दबाएं "जीसीडी और एनओसी खोजें"

नंबर कैसे दर्ज करें

• संख्याओं को रिक्त स्थान, बिंदु या अल्पविराम द्वारा अलग करके दर्ज किया जाता है
• दर्ज संख्याओं की लंबाई सीमित नहीं है, इसलिए लंबी संख्याओं का gcd और lcm ज्ञात करना कठिन नहीं होगा

एनओडी और नॉक क्या है?

महत्तम सामान्य भाजकअनेक संख्याओं का वह सबसे बड़ा प्राकृत पूर्णांक है जिससे सभी मूल संख्याएँ बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती हैं। सबसे बड़ा सामान्य भाजक संक्षिप्त रूप में है जीसीडी.
आम एकाधिककई संख्याएँ वह छोटी से छोटी संख्या होती है जो बिना किसी शेषफल के मूल संख्याओं में से प्रत्येक से विभाज्य होती है। लघुत्तम समापवर्त्य का संक्षिप्त रूप इस प्रकार है अनापत्ति प्रमाण पत्र.

कैसे जांचें कि कोई संख्या शेष के बिना किसी अन्य संख्या से विभाज्य है या नहीं?

यह पता लगाने के लिए कि क्या एक संख्या शेष के बिना दूसरी संख्या से विभाज्य है, आप संख्याओं की विभाज्यता के कुछ गुणों का उपयोग कर सकते हैं। फिर, उन्हें मिलाकर, उनमें से कुछ और उनके संयोजनों द्वारा विभाज्यता की जांच की जा सकती है।

संख्याओं की विभाज्यता के कुछ लक्षण

1. किसी संख्या की 2 . से विभाज्यता का चिह्न
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या दो से विभाज्य है (चाहे वह सम हो), इस संख्या के अंतिम अंक को देखने के लिए पर्याप्त है: यदि यह 0, 2, 4, 6 या 8 के बराबर है, तो संख्या सम है, जिसका अर्थ है कि यह 2 से विभाज्य है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 2 से विभाज्य है।
समाधान:अंतिम अंक देखें: 8 का अर्थ है कि संख्या दो से विभाज्य है।

2. किसी संख्या की 3 . से विभाज्यता का चिह्न
एक संख्या 3 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य होता है। इस प्रकार, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या 3 से विभाज्य है, आपको अंकों के योग की गणना करने और यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या यह 3 से विभाज्य है। भले ही अंकों का योग बहुत बड़ा निकला हो, आप उसी प्रक्रिया को दोहरा सकते हैं। फिर से।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 3 से विभाज्य है।
समाधान:हम अंकों का योग गिनते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 3 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या तीन से विभाज्य है।

3. किसी संख्या की 5 . से विभाज्यता का चिह्न
एक संख्या 5 से विभाज्य होती है जब उसका अंतिम अंक शून्य या पांच होता है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 5 से विभाज्य है।
समाधान:अंतिम अंक देखें: 8 का अर्थ है कि संख्या पांच से विभाज्य नहीं है।

4. किसी संख्या की 9 . से विभाज्यता का चिह्न
यह चिन्ह तीन से विभाज्यता के चिन्ह के समान है: एक संख्या 9 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य होता है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 9 से विभाज्य है।
समाधान:हम अंकों के योग की गणना करते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 9 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या नौ से विभाज्य है।

दो संख्याओं का GCD और LCM कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं का GCD कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना करने का सबसे सरल तरीका इन संख्याओं के सभी संभावित भाजक को खोजना और उनमें से सबसे बड़ा चुनना है।

GCD(28, 36) खोजने के उदाहरण का उपयोग करके इस विधि पर विचार करें:

1. हम दोनों संख्याओं का गुणनखंड करते हैं: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. हम उभयनिष्ठ गुणनखंड पाते हैं, अर्थात् वे जिनमें दोनों संख्याएँ हैं: 1, 2 और 2।
3. हम इन कारकों के उत्पाद की गणना करते हैं: 1 2 2 \u003d 4 - यह संख्या 28 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

दो संख्याओं का एलसीएम कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं का सबसे छोटा गुणज ज्ञात करने के दो सबसे सामान्य तरीके हैं। पहला तरीका यह है कि आप दो संख्याओं के पहले गुणज लिख सकते हैं, और फिर उनमें से एक ऐसी संख्या चुन सकते हैं जो दोनों संख्याओं के लिए समान हो और साथ ही सबसे छोटी हो। और दूसरा इन नंबरों की GCD ज्ञात करना है। आइए बस इस पर विचार करें।

एलसीएम की गणना करने के लिए, आपको मूल संख्याओं के गुणनफल की गणना करनी होगी और फिर इसे पहले मिली जीसीडी से विभाजित करना होगा। आइए समान संख्या 28 और 36 के लिए LCM ज्ञात करें:

1. संख्या 28 और 36 का गुणनफल ज्ञात कीजिए: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) पहले से ही 4 . के रूप में जाना जाता है
3. एलसीएम(28, 36) = 1008/4 = 252।

एकाधिक संख्याओं के लिए जीसीडी और एलसीएम ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य भाजक कई संख्याओं के लिए पाया जा सकता है, न कि केवल दो के लिए। इसके लिए, सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए मिलने वाली संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाता है, फिर इन संख्याओं के सामान्य अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल ज्ञात किया जाता है। साथ ही, कई संख्याओं का GCD ज्ञात करने के लिए, आप निम्नलिखित संबंध का उपयोग कर सकते हैं: जीसीडी (ए, बी, सी) = जीसीडी (जीसीडी (ए, बी), सी).

इसी तरह का संबंध संख्याओं के कम से कम सामान्य गुणकों पर भी लागू होता है: एलसीएम (ए, बी, सी) = एलसीएम (एलसीएम (ए, बी), सी)

उदाहरण:संख्या 12, 32 और 36 के लिए GCD और LCM ज्ञात कीजिए।

1. सबसे पहले, आइए संख्याओं का गुणनखंड करें: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 ।
2. आइए सामान्य गुणनखंड खोजें: 1, 2 और 2।
3. उनका उत्पाद जीसीडी देगा: 1 2 2 = 4
4. अब आइए एलसीएम खोजें: इसके लिए हम सबसे पहले एलसीएम(12, 32): 12 32/4 = 96 पाते हैं।
5. तीनों संख्याओं का एलसीएम खोजने के लिए, आपको जीसीडी (96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, जीसीडी = 1 2 2 3 = 12 खोजने की जरूरत है।
6. एलसीएम(12, 32, 36) = 96 36/12 = 288।

छात्रों को गणित के बहुत सारे असाइनमेंट दिए जाते हैं। उनमें से, अक्सर निम्नलिखित सूत्रीकरण के साथ कार्य होते हैं: दो मूल्य होते हैं। दी गई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य कैसे ज्ञात करें? ऐसे कार्यों को करने में सक्षम होना आवश्यक है, क्योंकि अर्जित कौशल का उपयोग भिन्न हर के साथ भिन्नों के साथ काम करने के लिए किया जाता है। लेख में, हम विश्लेषण करेंगे कि एलसीएम और बुनियादी अवधारणाओं को कैसे खोजा जाए।

एलसीएम कैसे खोजें, इस प्रश्न का उत्तर खोजने से पहले, आपको बहु शब्द को परिभाषित करने की आवश्यकता है. अक्सर, इस अवधारणा का शब्दांकन इस प्रकार है: कुछ मान A का गुणज एक प्राकृतिक संख्या है जो बिना शेष के A से विभाज्य होगी। इसलिए, 4, 8, 12, 16, 20 और इसी तरह, तक आवश्यक सीमा।

इस मामले में, किसी विशेष मान के लिए भाजक की संख्या सीमित की जा सकती है, और अपरिमित रूप से कई गुणज होते हैं। प्राकृतिक मूल्यों के लिए भी वही मूल्य है। यह एक संकेतक है जो उनके द्वारा शेषफल के बिना विभाजित किया जाता है। कुछ संकेतकों के लिए सबसे छोटे मूल्य की अवधारणा से निपटने के बाद, आइए इसे कैसे खोजें, इस पर आगे बढ़ते हैं।

एनओसी का पता लगाना

दो या दो से अधिक घातांकों का सबसे छोटा गुणज वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या होती है जो दी गई सभी संख्याओं से पूर्णतः विभाजित हो जाती है।

इस तरह के मूल्य को खोजने के कई तरीके हैं।आइए निम्नलिखित विधियों पर विचार करें:

1. यदि संख्याएँ छोटी हैं, तो उस पंक्ति में सभी विभाज्य लिखिए। ऐसा तब तक करते रहें जब तक आपको उनमें कुछ समान न मिल जाए। रिकॉर्ड में, उन्हें K अक्षर से दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, 4 और 3 के लिए, सबसे छोटा गुणज 12 है।
2. यदि ये बड़े हैं या आपको 3 या अधिक मानों के लिए एक गुणक खोजने की आवश्यकता है, तो आपको यहां एक अलग तकनीक का उपयोग करना चाहिए, जिसमें संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में शामिल करना शामिल है। सबसे पहले, सबसे बड़ा संकेत दिया गया है, फिर बाकी सभी। उनमें से प्रत्येक के अपने गुणक हैं। एक उदाहरण के रूप में, 20 (2*2*5) और 50 (5*5*2) को विघटित करते हैं। उनमें से छोटे के लिए, कारकों को रेखांकित करें और सबसे बड़े में जोड़ें। परिणाम 100 होगा, जो उपरोक्त संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक होगा।
3. 3 नंबर (16, 24 और 36) खोजने पर सिद्धांत अन्य दो के समान ही होते हैं। आइए उनमें से प्रत्येक का विस्तार करें: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3। संख्या 16 के विस्तार से केवल दो ड्यूस सबसे बड़े के अपघटन में शामिल नहीं थे। हम उन्हें जोड़ते हैं और 144 प्राप्त करते हैं, जो पहले से संकेतित संख्यात्मक मानों के लिए सबसे छोटा परिणाम है।

अब हम जानते हैं कि दो, तीन या अधिक मानों के लिए सबसे छोटा मान ज्ञात करने की सामान्य तकनीक क्या है। हालाँकि, निजी तरीके भी हैं, एनओसी की खोज में मदद करना, अगर पिछले वाले मदद नहीं करते हैं।

जीसीडी और एनओसी कैसे खोजें।

खोजने के निजी तरीके

किसी भी गणितीय खंड की तरह, एलसीएम खोजने के विशेष मामले हैं जो विशिष्ट स्थितियों में मदद करते हैं:

• यदि एक संख्या शेष के बिना अन्य से विभाज्य है, तो इन संख्याओं में से सबसे छोटी गुणज इसके बराबर है (एनओसी 60 और 15 15 के बराबर है);
• Coprime संख्याओं में सामान्य अभाज्य भाजक नहीं होते हैं। इनका सबसे छोटा मान इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। इस प्रकार, संख्या 7 और 8 के लिए, यह 56 होगा;
• विशेष मामलों सहित अन्य मामलों के लिए भी यही नियम काम करता है, जिसके बारे में विशेष साहित्य में पढ़ा जा सकता है। इसमें मिश्रित संख्याओं के अपघटन के मामले भी शामिल होने चाहिए, जो अलग-अलग लेखों और यहां तक ​​कि पीएच.डी. शोध प्रबंधों के विषय हैं।

मानक उदाहरणों की तुलना में विशेष मामले कम आम हैं। लेकिन उनके लिए धन्यवाद, आप सीख सकते हैं कि जटिलता की अलग-अलग डिग्री के अंशों के साथ कैसे काम किया जाए। यह अंशों के लिए विशेष रूप से सच है।, जहां विभिन्न भाजक हैं।

कुछ उदाहरण

आइए कुछ उदाहरण देखें, जिसकी बदौलत आप सबसे छोटा गुणज ज्ञात करने के सिद्धांत को समझ सकते हैं:

1. हम एलसीएम (35; 40) पाते हैं। हम पहले 35 = 5*7, फिर 40 = 5*8 बिछाते हैं। हम सबसे छोटी संख्या में 8 जोड़ते हैं और NOC 280 प्राप्त करते हैं।
2. एनओसी (45; 54)। हम उनमें से प्रत्येक को बिछाते हैं: 45 = 3*3*5 और 54 = 3*3*6। हम संख्या 6 को 45 में जोड़ते हैं। हमें 270 के बराबर NOC मिलती है।
3. खैर, आखिरी उदाहरण। 5 और 4 हैं। उनके लिए कोई सरल गुणज नहीं हैं, इसलिए इस मामले में सबसे छोटा सामान्य गुणज उनका गुणनफल होगा, जो 20 के बराबर होगा।

उदाहरणों के लिए धन्यवाद, आप समझ सकते हैं कि एनओसी कैसे स्थित है, क्या बारीकियां हैं और इस तरह के जोड़तोड़ का अर्थ क्या है।

एनओसी ढूंढना पहले की तुलना में बहुत आसान है। ऐसा करने के लिए, एक साधारण विस्तार और एक दूसरे के लिए सरल मूल्यों के गुणन दोनों का उपयोग किया जाता है।. गणित के इस खंड के साथ काम करने की क्षमता गणितीय विषयों के आगे के अध्ययन में मदद करती है, विशेष रूप से जटिलता की अलग-अलग डिग्री के अंश।

विभिन्न तरीकों से उदाहरणों को समय-समय पर हल करना न भूलें, इससे तार्किक तंत्र विकसित होता है और आपको कई शब्दों को याद रखने की अनुमति मिलती है। ऐसे संकेतक को खोजने के तरीकों को जानें और आप बाकी गणितीय वर्गों के साथ अच्छी तरह से काम करने में सक्षम होंगे। गणित सीखने में खुशी!

वीडियो

यह वीडियो आपको यह समझने और याद रखने में मदद करेगा कि कम से कम सामान्य गुणक कैसे खोजें।