हम मानते हैं कि कारकों का उत्पाद शून्य के बराबर है। यदि कारकों में से एक शून्य के बराबर है, तो उत्पाद शून्य के बराबर है। चतुर्थ। कवर की गई सामग्री पर काम करें

इसमें क्या है? दिखावटसमीकरण यह निर्धारित करने के लिए कि क्या यह समीकरण होगा अधूराद्विघात समीकरण? लेकिन जैसे अधूरा हलद्विघातीय समीकरण?

"दृष्टि से" एक अपूर्ण द्विघात समीकरण को कैसे पहचानें

बाएंसमीकरण का हिस्सा है वर्ग त्रिपद , एक सही — संख्या 0. ऐसे समीकरण कहलाते हैं पूरा द्विघातीय समीकरण.

पर पूराद्विघात समीकरण सब कठिनाइयाँ, तथा बराबर नहीं 0. उन्हें हल करने के लिए विशेष सूत्र हैं, जिनसे हम बाद में परिचित होंगे।

अधिकांश सरलहल करने के लिए हैं अधूराद्विघातीय समीकरण। ये द्विघात समीकरण हैं जिनमें कुछ गुणांक शून्य हैं.

परिभाषा के अनुसार गुणांक शून्य नहीं हो सकता, क्योंकि अन्यथा समीकरण द्विघात नहीं होगा। हमने इस बारे में बात की। तो, यह पता चला है कि आवेदन करने के लिए शून्य करने के लिए कर सकते हैं केवलकठिनाइयाँ या.

इसके आधार पर, वहाँ तीन प्रकार के अपूर्णद्विघातीय समीकरण।

1) , कहाँ पे ;
2) , कहाँ पे ;
3) , कहाँ पे .

इसलिए, यदि हम एक द्विघात समीकरण देखते हैं, जिसके बाईं ओर तीन सदस्यों के बजायवर्तमान दो सदस्यया एक सदस्य, तो यह समीकरण होगा अधूराद्विघात समीकरण।

अपूर्ण द्विघात समीकरण की परिभाषा

अधूरा द्विघात समीकरणद्विघात समीकरण कहलाता है जिसमें गुणांक में से कम से कम एक या शून्य.

इस परिभाषा में बहुत कुछ है महत्वपूर्णमुहावरा " कम से कम एकगुणांकों से... शून्य". इसका मतलब है कि एक या अधिकगुणांक बराबर कर सकते हैं शून्य.

इसके आधार पर यह संभव है तीन विकल्प: या एकगुणांक शून्य है, या दूसरागुणांक शून्य है, या दोनोंगुणांक एक साथ शून्य के बराबर हैं। इस प्रकार तीन प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण प्राप्त होते हैं।

अधूराद्विघात समीकरण निम्नलिखित समीकरण हैं:
1)
2)
3)

समीकरण समाधान

आइए रूपरेखा समाधान योजनायह समीकरण। बाएंसमीकरण का हिस्सा आसानी से हो सकता है खंड करना, क्योंकि समीकरण के बाईं ओर पद और हैं सामान्य अवयव, इसे ब्रैकेट से बाहर निकाला जा सकता है। फिर दो कारकों का गुणनफल बाईं ओर और दाईं ओर शून्य प्राप्त होगा।

और फिर नियम "उत्पाद शून्य के बराबर है यदि और केवल अगर कारकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर है, जबकि दूसरा समझ में आता है" काम करेगा। सब कुछ बहुत आसान है!

इसलिए, समाधान योजना.
1) हम बाईं ओर का कारक बनाते हैं।
2) हम नियम का उपयोग करते हैं "उत्पाद शून्य के बराबर है ..."

मैं इस प्रकार के समीकरण कहते हैं "भाग्य का उपहार". ये समीकरण हैं कि दाहिना भाग शून्य है, एक बाएंभाग विभाजित किया जा सकता है मल्टीप्लायरों.

प्रश्न हल करें योजना के अनुसार।

1) आइए विघटित करेंसमीकरण के बाईं ओर मल्टीप्लायरोंइसके लिए हम उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालते हैं, हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है।

2) समीकरण में हम देखते हैं कि बाएंलागत काम, एक दाईं ओर शून्य.

वास्तविक भाग्य का उपहार!यहां, निश्चित रूप से, हम नियम का उपयोग करेंगे "उत्पाद शून्य के बराबर है यदि और केवल अगर कम से कम एक कारक शून्य के बराबर है, जबकि दूसरा समझ में आता है"।

इस नियम का गणित की भाषा में अनुवाद करने पर हमें प्राप्त होता है दोसमीकरण या।

हम देखते हैं कि समीकरण अलग हो गयादो के लिए सरलसमीकरण, जिनमें से पहला पहले ही हल किया जा चुका है ()।

चलो दूसरा हल करते हैंसमीकरण । अज्ञात पदों को बाईं ओर और ज्ञात पदों को दाईं ओर ले जाएं। एक अज्ञात सदस्य पहले से ही बाईं ओर है, हम उसे वहीं छोड़ देंगे। और हम ज्ञात पद को विपरीत चिन्ह के साथ दाईं ओर ले जाते हैं। हमें एक समीकरण मिलता है।

हमने पाया है, और हमें खोजने की जरूरत है। कारक से छुटकारा पाने के लिए, आपको समीकरण के दोनों पक्षों को से विभाजित करना होगा।

यदि एक और दो कारक 1 के बराबर हैं, तो उत्पाद दूसरे कारक के बराबर है।

III. नई सामग्री पर काम कर रहे हैं।

छात्र उन मामलों के लिए गुणन तकनीक की व्याख्या कर सकते हैं जब बहु-अंकीय संख्या प्रविष्टि के बीच में शून्य होते हैं: उदाहरण के लिए, शिक्षक संख्या 907 और 3 के उत्पाद की गणना करने का सुझाव देता है। छात्र एक कॉलम में समाधान लिखते हैं, तर्क: "मैं इकाइयों के तहत संख्या 3 लिखता हूं।

मैं इकाइयों की संख्या को 3 से गुणा करता हूं: तीन गुणा सात - 21, यह 2 डेस है। और 1 इकाई; मैं इकाइयों के तहत 1 लिखता हूं, और 2 दिसंबर। याद करना। मैं दहाई को गुणा करता हूं: 0 गुना 3, आपको 0 मिलता है, और 2 भी, आपको 2 दहाई मिलते हैं, मैं दहाई के नीचे 2 लिखता हूं। मैं सैकड़ों गुणा करता हूं: 9 गुना 3, यह 27 निकलता है, मैं 27 लिखता हूं। मैंने उत्तर पढ़ा: 2,721।

सामग्री को समेकित करने के लिए, छात्र विस्तृत विवरण के साथ कार्य 361 से उदाहरणों को हल करते हैं। यदि शिक्षक देखता है कि बच्चों ने नई सामग्री को अच्छी तरह से समझ लिया है, तो वह एक संक्षिप्त टिप्पणी दे सकता है।

शिक्षक।हम पहले गुणनखंड के प्रत्येक अंक की केवल इकाइयों की संख्या का नामकरण करते हुए समाधान की व्याख्या करेंगे, जिसे आप गुणा करते हैं, और परिणाम, यह बताए बिना कि ये इकाइयाँ कौन से अंक हैं। 4,019 को 7 से गुणा करें। मैं समझाता हूँ: मैं 9 को 7 से गुणा करता हूँ, मुझे 63 मिलते हैं, मैं 3 लिखता हूँ, मुझे याद है 6। मैं 1 को 7 से गुणा करता हूँ, यह 7 निकलता है, और 6 भी 13 है, मैं 3 लिखता हूँ, मुझे 1 याद है। शून्य को 7 से गुणा करें, यह शून्य हो जाता है, और 1 भी प्राप्त होता है, मैं 1 लिखता हूं। मैं 4 को 7 से गुणा करता हूं, मुझे 28 मिलता है, मैं 28 लिखता हूं। मैंने उत्तर पढ़ा: 28 133।

पी एच आई एस सी यू एल टी एम आई एन टी के ए

चतुर्थ। सीखी गई सामग्री पर काम करना।

1. समस्या का समाधान।

समस्या 363 छात्र टिप्पणी करके हल करते हैं। टास्क को पढ़ने के बाद एक संक्षिप्त शर्त लिखी जाती है।

शिक्षक छात्रों को समस्या को दो तरीकों से हल करने की पेशकश कर सकता है।

उत्तर: कुल मिलाकर 7,245 सेंटीमीटर अनाज निकाला गया।

बच्चे समस्या 364 को स्वयं हल करते हैं (बाद में सत्यापन के साथ)।

1) 42 10 \u003d 420 (सी) - गेहूं

2) 420: 3 = 140 (सी) - जौ

3) 420 - 140 \u003d 280 (सी)

उत्तर 280 क्विंटल अधिक गेहूं।

2. उदाहरणों का समाधान।

बच्चे स्वयं कार्य 365 करते हैं: वे भाव लिखते हैं और उनके अर्थ ढूंढते हैं।

वी। पाठ के परिणाम।

शिक्षक।दोस्तों, आपने पाठ में क्या सीखा?

बच्चे।हम गुणन की एक नई विधि से परिचित हुए।

शिक्षक।आपने कक्षा में क्या दोहराया?

बच्चे।उन्होंने समस्याओं को हल किया, अभिव्यक्ति की और उनके अर्थ खोजे।

गृहकार्य:कार्य 362, 368; नोटबुक नंबर 1, पी। 52, संख्या 5-8।

पाठ 58
संख्याओं का गुणन जिसका लेखन
शून्य में समाप्त होता है

लक्ष्य:से गुणा करना सीखें एकल अंकएक या अधिक शून्य में समाप्त होने वाली बहु-अंकीय संख्याएँ; समस्याओं को हल करने की क्षमता को मजबूत करें, शेष के साथ विभाजन के उदाहरण; समय की इकाइयों की तालिका को दोहराएं।

"दो पंक्तियों का समांतरता" - सिद्ध कीजिए कि AB || सीडी. C, a और b के लिए छेदक है। BC कोण ABD का समद्विभाजक है। विल मी || एन? समानतावाद के उदाहरण वास्तविक जीवन. क्या रेखाएँ समानांतर हैं? युग्मों को नाम दें: - कोने भर में; - सभी तरीके से; - एक तरफा कोने; समानांतर रेखाओं का पहला चिन्ह। साबित करो कि एसी || बी.डी.

"दो ठंढ" - अच्छा, मुझे लगता है, अब मेरी प्रतीक्षा करें। दो ठंढ। और शाम को हम फिर मिले खुला मैदान. फ्रॉस्ट ने सिर हिलाया - नीली नाक और कहा: - एह, तुम जवान हो, भाई और मूर्ख। उसे कपड़े पहनने दें, उसे बताएं कि फ्रॉस्ट क्या है - लाल नाक। मेरे साथ रहो, तो तुम्हें पता चलेगा कि एक कुल्हाड़ी एक फर कोट को बेहतर ढंग से गर्म करती है। ठीक है, मुझे लगता है कि हम जगह पर पहुंचेंगे, फिर मैं तुम्हें पकड़ लूंगा।

"दो चर के साथ रैखिक समीकरण" - परिभाषा: दो चर के साथ रैखिक समीकरण। यह साबित करने के लिए एल्गोरिदम कि संख्याओं का एक जोड़ा एक समीकरण का समाधान है: उदाहरण दें। दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण क्या है? दो चरों वाला समीकरण क्या है? दो चरों वाली समानता को द्विचर समीकरण कहते हैं।

"दो तरंगों का व्यतिकरण" - व्यतिकरण। कारण? थॉमस यंग का अनुभव। पानी पर यांत्रिक तरंगों का हस्तक्षेप। तरंगदैर्ध्य। हल्का हस्तक्षेप। अध्यारोपित तरंगों के सुसंगतता की स्थिति में एक स्थिर व्यतिकरण पैटर्न देखा जाता है। न्यू मैक्सिको, यूएसए में स्थित एक रेडियो टेलीस्कोप-इंटरफेरोमीटर। हस्तक्षेप का उपयोग। यांत्रिक ध्वनि तरंगों का हस्तक्षेप।

"दो तलों के लंबवतता का चिह्न" - व्यायाम 6. तलों की लंबवतता। उत्तर: हाँ। क्या यह मौजूद है त्रिकोणीय पिरामिड, किसके तीन फलक जोड़ीवार लंबवत हैं? अभ्यास 1. कोण ADB और ACB ज्ञात कीजिए। उत्तर: 90o, 60o। व्यायाम 10. व्यायाम 3. व्यायाम 7. व्यायाम 9. क्या यह सच है कि तीसरे के लंबवत दो तल समानांतर हैं?

"दो चरों वाली असमानताएं" - असमानता समाधान का ज्यामितीय मॉडल मध्य क्षेत्र है। पाठ का उद्देश्य: दो चर के साथ असमानताओं को हल करना। 1. समीकरण f (x, y) \u003d 0 का आलेख बनाइए। दो चर के साथ असमानताओं को हल करने के लिए एक ग्राफिकल विधि का उपयोग किया जाता है। मंडलियों ने विमान को तीन क्षेत्रों में विभाजित किया। दो चरों वाली असमानता के अक्सर अनंत समाधान होते हैं।

इसके अलावा, महत्वपूर्ण संचालन हैं गुणन और भाग।आइए हम कम से कम यह निर्धारित करने के कार्यों को याद करें कि माशा के पास साशा की तुलना में कितनी बार सेब हैं, या प्रति वर्ष उत्पादित भागों की संख्या का पता लगाना, यदि प्रति दिन उत्पादित भागों की संख्या ज्ञात हो।

गुणामें से एक है चार बुनियादी अंकगणितीय संचालन, जिसके दौरान एक संख्या को दूसरे से गुणा किया जाता है। दूसरे शब्दों में, प्रविष्टि 5 · 3 = 15 इसका मतलब है कि संख्या 5 मुड़ा हुआ था 3 टाइम्स, यानी 5 · 3 = 5 + 5 + 5 = 15.

प्रणाली द्वारा विनियमित गुणन नियम.

1. दो का उत्पाद ऋणात्मक संख्याबराबरी सकारात्मक संख्या. गुणनफल का मापांक ज्ञात करने के लिए, आपको इन संख्याओं के मापांक को गुणा करना होगा।

(- 6) ( - 6) = 36; (- 17.5) ( - 17,4) = 304,5

2. भिन्न चिह्नों वाली दो संख्याओं का गुणनफल ऋणात्मक संख्या के बराबर होता है। गुणनफल का मापांक ज्ञात करने के लिए, आपको इन संख्याओं के मापांक को गुणा करना होगा।

(- 5) 6 = - तीस; 0.7 ( - 8) = - 21

3. यदि कारकों में से एक शून्य के बराबर है, तो उत्पाद शून्य के बराबर है।विपरीत भी सही है: गुणनफल शून्य तभी होता है जब कारकों में से एक शून्य हो।

2.73 0 = 0; ( - 345.78) 0 = 0

उपरोक्त सामग्री के आधार पर, हम समीकरण को हल करने का प्रयास करेंगे 4 (एक्स – 5) = 0.

1. कोष्ठक का विस्तार करें और 4x - 20 = 0 प्राप्त करें।

2. ले जाएँ (-20) को दाईं ओर(संकेत को विपरीत में बदलना न भूलें) और
हमें 4x = 20 मिलता है।

3. समीकरण के दोनों पक्षों को 4 से घटाकर x ज्ञात कीजिए।

4. कुल: x = 5.

लेकिन नियम #3 को जानकर हम अपने समीकरण को बहुत तेजी से हल कर सकते हैं।

1. हमारा समीकरण 0 है, और नियम संख्या 3 के अनुसार, गुणनफल 0 है यदि कारकों में से एक 0 है।

2. हमारे पास दो गुणक हैं: 4 और (x - 5)। 4, 0 के बराबर नहीं है, इसलिए x - 5 = 0.

3. हम परिणामी सरल समीकरण को हल करते हैं: x - 5 \u003d 0. इसलिए, x \u003d 5.

गुणन निर्भर करता है दो कानून - कम्यूटेटिव और सहयोगी कानून।

विस्थापन कानून:किसी भी संख्या के लिए एकतथा बीसच्ची समानता एबी = बीए:

(- 6) 1.2 = 1.2 ( - 6), यानी। = - 7,2.

संयोजन कानून:किसी भी संख्या के लिए ए, बीतथा सीसच्ची समानता (एबी) सी = ए (बीसी)।

(- 3) ( - 5) 2 = ( - 3) (2 ( - 5)) = (- 3) ( - 10) = 30.

गुणन के विपरीत अंकगणितीय ऑपरेशन है विभाजन. यदि गुणन के घटकों को कहा जाता है मल्टीप्लायरों, तो भाग में विभाज्य संख्या कहलाती है भाज्य, जिस संख्या से हम भाग देते हैं, - विभक्त, और परिणाम है निजी.

12: 3 = 4, जहां 12 भाज्य है, 3 भाजक है, 4 भागफल है।

भाग, गुणन की तरह, विनियमित है नियम.

1. दो ऋणात्मक संख्याओं का भागफल एक धनात्मक संख्या होती है। भागफल के मापांक को खोजने के लिए, आपको भाजक के मापांक द्वारा भाजक के मापांक को विभाजित करने की आवश्यकता होती है।

- 12: (- 3) = 4

2. भिन्न चिह्नों वाली दो संख्याओं का भागफल एक ऋणात्मक संख्या होती है। भागफल के मापांक को खोजने के लिए, आपको भाजक के मापांक द्वारा भाजक के मापांक को विभाजित करने की आवश्यकता होती है।

- 12: 3 = - 4; 12: (- 3) = - 4.

3. शून्य को किसी भी अशून्य संख्या से भाग देने पर शून्य होता है। आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते।

0:23=0; 23: 0 = XXXX

विभाजन के नियमों के आधार पर, आइए एक उदाहरण को हल करने का प्रयास करें - 4 एक्स ( - 5) – (- 30) : 6 = ?

1. हम गुणन करते हैं: -4 x (-5) \u003d 20. तो, हमारा उदाहरण 20 - (-30): 6 \u003d का रूप लेगा?

2. प्रदर्शन विभाजन (-30): 6 = -5। तो, हमारा उदाहरण 20 - (-5) = ? का रूप लेगा।

3. घटाएं 20 - (-5) = 20 + 5 = 25।

तो हमारा उत्तर 25.

गुणा और भाग का ज्ञान, जोड़ और घटाव के साथ, हमें विभिन्न समीकरणों और समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है, साथ ही हमारे चारों ओर संख्याओं और संचालन की दुनिया में पूरी तरह से नेविगेट करने की अनुमति देता है।

तय करके सामग्री को ठीक करें समीकरण 3 (4x .) – 8) = 3x – 6.

1. कोष्ठक 3 (4x - 8) खोलें और 12x - 24 प्राप्त करें। हमारा समीकरण 12x - 24 \u003d 3x - 6 हो गया है।

2. हम समान प्रस्तुत करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम सभी घटकों को x से बाईं ओर और सभी संख्याओं को दाईं ओर ले जाते हैं।
हमें 12x - 24 \u003d 3x - 6 → 12x - 3x \u003d -6 + 24 → 9x \u003d 18 मिलता है।

एक घटक को समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में ले जाते समय, संकेतों को विपरीत में बदलना न भूलें।

3. हम परिणामी समीकरण 9x \u003d 18 को हल करते हैं, जहां से x \u003d 18: 9 \u003d 2. तो, हमारा उत्तर 2 है।