अनोशिना ओ.वी.

मुख्य साहित्य

1. वी.एस. शिपचेव, उच्च गणित। बुनियादी पाठ्यक्रम: पाठ्यपुस्तक और
स्नातक के लिए कार्यशाला [रूसी संघ के शिक्षा मंत्रालय का प्रमाण पत्र] / वी.एस.
शिपचेव; ईडी। ए एन तिखोनोवा। - 8 वां संस्करण।, संशोधित। और अतिरिक्त मॉस्को: यूरेत, 2015. - 447 पी।
2. वी.एस. शिपचेव, उच्च गणित। पूरा कोर्स: पाठ्यपुस्तक
एकेड के लिए। स्नातक की डिग्री [यूएमओ का प्रमाण पत्र] / वी.एस. शिपाचेव; ईडी। लेकिन।
एन तिखोनोवा। - चौथा संस्करण।, रेव। और अतिरिक्त - मॉस्को: यूरेत, 2015. - 608
साथ
3. डैंको पी.ई., पोपोव ए.जी., कोज़ेवनिकोवा टी..या। उच्च गणित
व्यायाम और कार्यों में। [पाठ] / पी.ई. डैंको, ए.जी. पोपोव, टी। वाई।
कोज़ेवनिकोव. 2 बजे - एम।: ग्रेजुएट स्कूल, 2007. - 304+415सी।

रिपोर्टिंग

1.
परीक्षण। के अनुसार प्रदर्शन किया:
कार्य और दिशा निर्देशोंनियंत्रण कार्य करने के लिए
अनुशासन में "एप्लाइड मैथमैटिक्स", येकातेरिनबर्ग, FGAOU
VO "रूसी राज्य व्यावसायिक शैक्षणिक
विश्वविद्यालय", 2016 - 30 एस।
विकल्प नियंत्रण कार्यअंतिम अंक द्वारा चयन करें
रिकॉर्ड बुक।
2.
परीक्षा

अनिश्चितकालीन समाकलन, इसके गुणधर्म और परिकलन

परिभाषा। फलन F x कहलाता है
प्रतिअवकलन फलन f x परिभाषित है
कुछ अंतराल अगर एफ एक्स एफ एक्स के लिए
इस अंतराल से प्रत्येक x.
उदाहरण के लिए, cos x फलन है
प्रतिअवकलन फलन sin x , चूँकि
कॉस एक्स पाप एक्स।

जाहिर है, अगर F x एक प्रतिअवकलज है
फलन f x , तो F x C , जहां C कुछ अचर है, भी है
प्रतिअवकलन फलन f x ।
यदि F x कुछ अवकलज है
फलन f x , तो रूप का कोई फलन
एफ एक्स एफ एक्स सी भी है
प्रतिअवकलन फलन f x और कोई भी
इस रूप में आदिम का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।

परिभाषा। सभी की समग्रता
फलन के प्रतिअवकलज f x ,
कुछ पर परिभाषित
बीच में कहा जाता है
का अनिश्चितकालीन अभिन्न
इस अंतराल पर f x फलन करता है और
f x dx द्वारा निरूपित।

यदि F x फलन का कुछ अवकलज है
f x , तो वे f x dx F x C लिखते हैं, हालांकि
f x dx F x C लिखना अधिक सही होगा।
हम, स्थापित परंपरा के अनुसार, लिखेंगे
एफ एक्स डीएक्स एफ एक्स सी।
इस प्रकार एक ही प्रतीक
f x dx पूरे के रूप में निरूपित करेगा
फलन f x के प्रतिअवकलजों का समुच्चय,
और इस सेट का कोई भी तत्व।

अभिन्न गुण

अनिश्चितकालीन अभिन्न का व्युत्पन्न है
इंटीग्रैंड, और इंटीग्रैंड के लिए इसका अंतर। सचमुच:
1. (एफ (एक्स) डीएक्स) (एफ (एक्स) सी) एफ (एक्स) एफ (एक्स);
2.d f (x)dx (f (x)dx) dx f (x)dx।

अभिन्न गुण

3. का अनिश्चित समाकलन
लगातार अंतर (एक्स)
अवकलनीय फलन स्वयं के बराबर होता है
यह कार्य स्थिरांक तक:
डी (एक्स) (एक्स) डीएक्स (एक्स) सी,
चूँकि (x) (x) का प्रतिअवकलन है।

अभिन्न गुण

4. यदि फलन f1 x और f 2 x में हैं
विरोधी अवकलज, तो फलन f1 x f 2 x
एक व्युत्पन्नी भी है, और
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx;
5. केएफ एक्स डीएक्स केएफ एक्स डीएक्स;
6. एफ एक्स डीएक्स एफ एक्स सी;
7. एफ एक्स एक्स डीएक्स एफ एक्स सी।

1. डीएक्स एक्स सी।
एक 1
एक्स
2. एक्स ए डीएक्स
सी, (ए 1)।
एक 1
डीएक्स
3. एलएन एक्स सी।
एक्स
एक्स
एक
4.ए एक्स डीएक्स
सी।
एलएन ए
5. ई एक्स डीएक्स ई एक्स सी।
6. sin xdx cos x C ।
7. cos xdx sin x C ।
डीएक्स
8.2 सीटीजीएक्स सी।
पाप x
डीएक्स
9. 2टीजीएक्स सी।
क्योंकि x
डीएक्स
आर्कटगएक्स सी।
10.
2
1 एक्स

अनिश्चित समाकलों की तालिका

11.
डीएक्स
आर्क्सिन एक्स सी।
1x2
डीएक्स
1
एक्स
12. 2 2 आर्कटन सी।
एक
एक
एक एक्स
13.
14.
15.
डीएक्स
a2x2
एक्स
आर्कसिन सी ..
एक
डीएक्स
1
एक्स ए
एलएन
सी
2
2
2ए एक्स ए
एक्स ए
डीएक्स
1
एक एक्स
a 2 x 2 2a लॉग a x C .
डीएक्स
16.
x2 ए
लॉग एक्स एक्स 2 ए सी।
17. shxdx chx सी।
18. सीएचएक्सडीएक्स एसएक्स सी।
19.
20.
डीएक्स
सी 2 एक्स टीएचएक्स सी।
डीएक्स
सीटीएचएक्स सी।
2
श x

अंतर के गुण

एकीकृत करते समय, इसका उपयोग करना सुविधाजनक होता है
गुण: 1
1. डीएक्स डी (कुल्हाड़ी)
एक
1
2. डीएक्स डी (कुल्हाड़ी बी),
एक
1 2
3.xdxdx,
2
1 3
2
4. एक्स डीएक्स डीएक्स।
3

उदाहरण

उदाहरण। cos 5xdx की गणना करें।
समाधान। समाकलकों की तालिका में हम पाते हैं
cos xdx sin x C ।
आइए रूपांतरित करें दिया गया अभिन्नमेज पर
इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि d ax adx .
फिर:
d5 x 1
= क्योंकि 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5x
5
5
1
= पाप 5 एक्स सी।
5

उदाहरण

उदाहरण। x . की गणना करें
3x x 1 डीएक्स।
समाधान। चूंकि अभिन्न चिन्ह के तहत
चार पदों का योग है, तो
इंटीग्रल को चार के योग के रूप में विस्तारित करें
अभिन्न:
2
3
2
3
2
3
एक्स
3
एक्स
एक्स
1
डीएक्स
एक्स
डीएक्स
3
एक्स
डीएक्स एक्सडीएक्स डीएक्स।
x3
x4 x2
3
एक्स सी
3
4
2

चर के प्रकार की स्वतंत्रता

इंटीग्रल की गणना करते समय, यह सुविधाजनक है
निम्नलिखित गुणों का उपयोग करें
अभिन्न:
अगर एफ एक्स डीएक्स एफ एक्स सी, तो
एफ एक्स बी डीएक्स एफ एक्स बी सी।
अगर एफ एक्स डीएक्स एफ एक्स सी, तो
1
एफ कुल्हाड़ी बी डीएक्स एफ कुल्हाड़ी बी सी।
एक

उदाहरण

गणना करना
1
6
2
3
एक्स
डीएक्स
2
3
एक्स
सी
.
3 6
5

एकीकरण के तरीके भागों द्वारा एकीकरण

यह विधि udv uv vdu सूत्र पर आधारित है।
निम्नलिखित समाकलों को भागों द्वारा समाकलन की विधि द्वारा लिया जाता है:
a) x n sin xdx, जहां n 1.2...k;
बी) एक्स एन ई एक्स डीएक्स, जहां एन 1,2... के;
ग) x n arctgxdx , जहाँ n 0, 1, 2,... k । ;
डी) एक्स एन एलएन एक्सडीएक्स, जहां एन 0, 1, 2,... के।
इंटीग्रल की गणना करते समय a) और b) दर्ज करें
एन 1
संकेतन: x n u , फिर du nx dx , और, उदाहरण के लिए
sin xdx DV , फिर v cos x ।
समाकलों की गणना करते समय c), d) u फ़ंक्शन के लिए निरूपित करें
arctgx , ln x , और DV के लिए वे x n dx लेते हैं।

उदाहरण

उदाहरण। x cos xdx की गणना करें।
समाधान।
यू एक्स, डु डीएक्स
=
एक्स कॉस एक्सडीएक्स
डीवी कॉस एक्सडीएक्स, वी पाप एक्स
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

उदाहरण

उदाहरण। गणना
एक्स एलएन एक्सडीएक्स
डीएक्स
आप एलएन एक्स, डु
एक्स
x2
डीवी एक्सडीएक्स, वी
2
x2
एक्स 2 डीएक्स
एलएन एक्स
=
2
2 एक्स
x2
1
x2
1x2
एलएन एक्स एक्सडीएक्स
एलएन एक्स
सी।
=
2
2
2
2 2

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि

मान लीजिए कि f x dx , and . ज्ञात करना आवश्यक है
सीधे आदिम उठाओ
f x के लिए हम नहीं कर सकते, लेकिन हम जानते हैं कि
वह मौजूद है। अक्सर पाया जाता है
एक नया चर पेश करके विरोधी,
सूत्र के अनुसार
f x dx f t t dt , जहां x t और t नया है
चर

एक वर्ग ट्रिनोमियल युक्त कार्यों का एकीकरण

अभिन्न पर विचार करें
कुल्हाड़ी
डीएक्स,
एक्स पीएक्स क्यू
युक्त वर्ग त्रिपदमें
इंटीग्रैंड का भाजक
भाव। ऐसा अभिन्न भी लिया जाता है
चर विधि का परिवर्तन,
पहले में पहचाना गया
भाजक पूर्ण वर्ग.
2

उदाहरण

गणना
डीएक्स
.
x4x5
समाधान। आइए x 2 4 x 5 को रूपांतरित करें,
2
सूत्र a b 2 a 2 2ab b 2 के अनुसार पूर्ण वर्ग का चयन करना।
तब हमें मिलता है:
x2 4x5 x2 2x2 4 4 5
एक्स 2 2 2 एक्स 4 1 एक्स 2 2 1
एक्स 2 टी
डीएक्स
डीएक्स
डीटी
एक्स टी 2
2
2
2
एक्स 2 1 डीएक्स डीटी
x4x5
t1
आर्कटीजीटी सी आर्कटीजी एक्स 2 सी।

उदाहरण

पाना
1 एक्स
1 एक्स
2
डीएक्स
टीडीटी
1 टी
2
एक्स टी, एक्स टी 2 ,
dx2tdt
2
t2
1 टी
2
डीटी
1 टी
1 टी
घ (टी 2 1)
टी
2
1
2
2tdt
2
डीटी
लॉग (टी 1) 2 डीटी 2
2
1 टी
एलएन (टी 2 1) 2t 2arctgt सी
2
एलएन (एक्स 1) 2 एक्स 2 आरसीटीजी एक्स सी।
1 टी 2 1
1 टी
2
डीटी

निश्चित अभिन्न, इसके मुख्य गुण। न्यूटन-लीबनिज सूत्र। एक निश्चित अभिन्न के अनुप्रयोग।

एक निश्चित अभिन्न की अवधारणा की ओर जाता है
एक वक्रता का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या
समलंब।
चलो कुछ अंतराल पर दिया जाता है
सतत फलन y f (x) 0
एक कार्य:
इसका ग्राफ प्लॉट करें और आकृति का F क्षेत्रफल ज्ञात करें,
इस वक्र से घिरी हुई दो सीधी रेखाएं x = a और x
= बी, और नीचे से - बिंदुओं के बीच भुज अक्ष के एक खंड द्वारा
एक्स = ए और एक्स = बी।

आकृति aABb कहलाती है
वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज

परिभाषा

बी
एफ (एक्स) डीएक्स
एक निश्चित अभिन्न के तहत
एक
किसी दिए गए सतत फलन f(x) पर . से
इस खंड को समझा जाता है
संबंधित वृद्धि
आदिम, अर्थात्
एफ (बी) एफ (ए) एफ (एक्स) /
बी
एक
संख्या ए और बी एकीकरण की सीमाएं हैं,
एकीकरण का अंतराल है।

नियम:

निश्चित समाकल अंतर के बराबर है
एंटीडेरिवेटिव इंटीग्रैंड के मूल्य
ऊपरी और निचली सीमाओं के लिए कार्य
एकीकरण।
अंतर के लिए संकेतन का परिचय
बी
एफ (बी) एफ (ए) एफ (एक्स) / ए
बी
एफ (एक्स) डीएक्स एफ (बी) एफ (ए)
एक
न्यूटन-लीबनिज सूत्र।

एक निश्चित अभिन्न के मूल गुण।

1) एक निश्चित समाकल का मान निर्भर नहीं करता है
एकीकरण चर संकेतन, अर्थात्।
बी
बी
एक
एक
एफ (एक्स) डीएक्स एफ (टी) डीटी
जहाँ x और t कोई अक्षर हैं।
2) उसी के साथ एक निश्चित समाकलन
बाहर
एकीकरण शून्य है
एक
एफ (एक्स) डीएक्स एफ (ए) एफ (ए) 0
एक

3) एकीकरण की सीमाओं को पुनर्व्यवस्थित करते समय
निश्चित समाकल अपने चिन्ह को उलट देता है
बी
एक
एफ (एक्स) डीएक्स एफ (बी) एफ (ए) एफ (ए) एफ (बी) एफ (एक्स) डीएक्स
एक
बी
(एडिटिविटी प्रॉपर्टी)
4) यदि अंतराल को एक परिमित संख्या में विभाजित किया जाता है
आंशिक अंतराल, फिर निश्चित अभिन्न,
अंतराल के साथ लिया गया योग के बराबर हैनिश्चित
इसके सभी आंशिक अंतरालों को समाकलित कर लिया है।
बी
सी
बी
एफ (एक्स) डीएक्स एफ (एक्स) डीएक्स
सी
एक
एक
एफ (एक्स) डीएक्स

5) एक अचर गुणक निकाला जा सकता है
एक निश्चित अभिन्न के संकेत के लिए।
6) बीजीय का एक निश्चित समाकल
निरंतर की एक सीमित संख्या का योग
फलन समान बीजीय के बराबर है
जोड़ निश्चित समाकलनइनमे से
कार्य।

3. एक निश्चित अभिन्न में चर का परिवर्तन।

3. एक चर को एक निश्चित . में बदलना
अभिन्न।
बी
एफ (एक्स) डीएक्स एफ (टी) (टी) डीटी
एक
ए (), बी (), (टी)
कहाँ पे
टी के लिए [; ] , फलन (t) और (t) निरंतर चालू हैं;
5
उदाहरण:
1
=
एक्स 1डीएक्स
=
एक्स 1 5
t04
एक्स 1 टी
डीटी डीएक्स
4
0
3
2
टी डीटी टी 2
3
4
0
2
2
16
1
टी टी 40 4 2 0
5
3
3
3
3

अनुचित अभिन्न।

अनुचित अभिन्न।
परिभाषा। मान लें कि फलन f(x) को पर परिभाषित किया गया है
अनंत अंतराल, जहाँ b< + . Если
मौजूद
बी
लिम
एफ (एक्स) डीएक्स,
बी
एक
तब इस सीमा को अनुचित कहा जाता है
अंतराल पर फलन f(x) का समाकलन
}