1. गणितीय अपेक्षा नियत मानसबसे स्थिर के बराबर एम (एस) = एस
.
2. उम्मीद के संकेत से एक स्थिर कारक निकाला जा सकता है: एम (सीएक्स) = सीएम (एक्स)
3. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के गुणनफल की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के गुणनफल के बराबर होती है: एम (एक्सवाई) = एम (एक्स) एम (वाई)।
4. दो यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा पदों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर होती है: एम (एक्स + वाई) = एम (एक्स) + एम (वाई)।
प्रमेय। n . में घटनाओं A के घटित होने की संख्या की गणितीय अपेक्षा M(x) स्वतंत्र परीक्षणप्रत्येक परीक्षण में घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता से इन परीक्षणों के गुणनफल के बराबर है: M(x) = np.
होने देना एक्स एक यादृच्छिक चर है और एम (एक्स) - उसकी अपेक्षित मूल्य. एक नए यादृच्छिक चर के रूप में अंतर पर विचार करें एक्स - एम (एक्स)।
विचलन एक यादृच्छिक चर और इसकी गणितीय अपेक्षा के बीच का अंतर है।
विचलन में निम्नलिखित वितरण कानून है:
हल: गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29
आइए वर्ग विचलन का वितरण नियम लिखें:
हल: अपेक्षा ज्ञात कीजिए M(x): M(x)=2 0.1+3 0.6+5 0.3=3.5
आइए यादृच्छिक चर X 2 . का वितरण नियम लिखें
| x2 | |||
| पी | 0.1 | 0.6 | 0.3 |
आइए गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं एम (एक्स 2): एम (एक्स 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5
वांछित फैलाव डी (एक्स) \u003d एम (एक्स 2) - 2 \u003d 13.3- (3.5) 2 \u003d 1.05
फैलाव गुण:
1. एक स्थिर मूल्य का फैलाव से
शून्य के बराबर: डी (सी) = 0
2. एक अचर गुणनखंड को परिक्षेपण चिह्न से वर्ग करके निकाला जा सकता है। डी (सीएक्स) = सी 2 डी (एक्स)
3. स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण इन चरों के प्रसरणों के योग के बराबर होता है। डी(एक्स 1 +एक्स 2 +...+एक्स एन)=डी(एक्स 1)+डी(एक्स 2)+...+डी(एक्स एन)
4. द्विपद बंटन का प्रसरण परीक्षणों की संख्या और एक परीक्षण में किसी घटना के घटित होने और न होने की प्रायिकता के गुणनफल के बराबर होता है डी (एक्स) = एनपीक्यू
एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों के उसके औसत मूल्य के आसपास फैलाव का अनुमान लगाने के लिए, विचरण के अलावा, कुछ अन्य विशेषताएँ भी काम करती हैं। उनमें से मानक विचलन है।
एक यादृच्छिक चर का मानक विचलन एक्सविचरण का वर्गमूल कहा जाता है:
(X) = D(X) (4)
उदाहरण। यादृच्छिक चर X वितरण नियम द्वारा दिया गया है
| एक्स | |||
| पी | 0.1 | 0.4 | 0.5 |
मानक विचलन ज्ञात कीजिए (x)
हल: गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए X: M(x)=2 0.1+3 0.4+10 0.5=6.4
आइए एक्स 2 की गणितीय अपेक्षा खोजें: एम(एक्स 2)=2 2 0.1+3 2 0.4+10 2 0.5=54
फैलाव ज्ञात कीजिए: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6.4 2 =13.04
वांछित मानक विचलन σ(X)=√D(X)=√13.04≈3.61
प्रमेय। परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चरों की एक परिमित संख्या के योग का मूल माध्य वर्ग विचलन है वर्गमूलइन मात्राओं के वर्ग मानक विचलन के योग से:
उदाहरण। 6 किताबों की शेल्फ पर गणित की 3 और भौतिकी की 3 किताबें हैं। यादृच्छिक रूप से तीन पुस्तकों का चयन किया जाता है। चयनित पुस्तकों में गणित में पुस्तकों की संख्या के वितरण का नियम ज्ञात कीजिए। इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।
असतत और निरंतर यादृच्छिक चर की बुनियादी संख्यात्मक विशेषताएं: गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन। उनके गुण और उदाहरण।
वितरण कानून (वितरण फलन और वितरण श्रृंखला या संभाव्यता घनत्व) एक यादृच्छिक चर के व्यवहार का पूरी तरह से वर्णन करता है। लेकिन कई समस्याओं में पूछे गए प्रश्न का उत्तर देने के लिए अध्ययन के तहत मात्रा की कुछ संख्यात्मक विशेषताओं (उदाहरण के लिए, इसका औसत मूल्य और इससे संभावित विचलन) जानना पर्याप्त है। असतत यादृच्छिक चर की मुख्य संख्यात्मक विशेषताओं पर विचार करें।
परिभाषा 7.1.गणितीय अपेक्षाएक असतत यादृच्छिक चर इसके संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं के उत्पादों का योग है:
एम(एक्स) = एक्स 1 आर 1 + एक्स 2 आर 2 + … + एक्स पी आर पी(7.1)
यदि किसी यादृच्छिक चर के संभावित मानों की संख्या अनंत है, तो यदि परिणामी श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण करती है।
टिप्पणी 1.गणितीय अपेक्षा को कभी-कभी कहा जाता है भारित औसत, चूंकि यह यादृच्छिक चर के प्रेक्षित मानों के अंकगणितीय माध्य के लगभग बराबर है बड़ी संख्याप्रयोग।
टिप्पणी 2.गणितीय अपेक्षा की परिभाषा से, यह इस प्रकार है कि इसका मान यादृच्छिक चर के सबसे छोटे संभव मूल्य से कम नहीं है और सबसे बड़े से अधिक नहीं है।
टिप्पणी 3.असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा है गैर यादृच्छिक(लगातार। बाद में हम देखेंगे कि निरंतर यादृच्छिक चर के लिए भी यही सच है।
उदाहरण 1. एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए एक्स- 10 भागों के एक बैच से चुने गए तीन में से मानक भागों की संख्या, जिसमें 2 दोषपूर्ण शामिल हैं। आइए हम के लिए एक वितरण श्रृंखला की रचना करें एक्स. यह समस्या की स्थिति से निम्नानुसार है कि एक्स 1, 2, 3 मान ले सकते हैं। फिर
उदाहरण 2. एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा को परिभाषित करें एक्स- सिक्कों की संख्या हथियारों के कोट की पहली उपस्थिति तक उछाली जाती है। यह मात्रा अनंत संख्या में मान ले सकती है (संभावित मानों का समुच्चय समुच्चय है प्राकृतिक संख्या) इसकी वितरण श्रृंखला का रूप है:
| एक्स | … | पी | … | ||
| आर | 0,5 | (0,5) 2 | … | (0,5)पी | … |
+ (गणना करते समय, असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग के सूत्र का दो बार उपयोग किया गया था: , कहाँ से)।
गणितीय अपेक्षा के गुण।
1) एक स्थिरांक की गणितीय अपेक्षा स्वयं स्थिरांक के बराबर होती है:
एम(से) = से।(7.2)
सबूत। अगर हम विचार करें सेएक असतत यादृच्छिक चर के रूप में जो केवल एक मान लेता है सेसंभावना के साथ आर= 1, तो एम(से) = से?1 = से.
2) उम्मीद के संकेत से एक स्थिर कारक निकाला जा सकता है:
एम(श्री) = सेमी(एक्स). (7.3)
सबूत। यदि यादृच्छिक चर एक्सवितरण श्रृंखला द्वारा दिया गया
फिर एम(श्री) = सीएक्स 1 आर 1 + सीएक्स 2 आर 2 + … + सीएक्स पी आर पी = से(एक्स 1 आर 1 + एक्स 2 आर 2 + … + एक्स पी आर पी) = सेमी(एक्स).
परिभाषा 7.2.दो यादृच्छिक चरबुलाया स्वतंत्र, अगर उनमें से एक का वितरण कानून इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि दूसरे ने क्या मूल्य लिया है। अन्यथा यादृच्छिक चर आश्रित.
परिभाषा 7.3.चलो कॉल करो स्वतंत्र यादृच्छिक चर का उत्पाद एक्सतथा यू अनियमित चर XY, जिनके संभावित मूल्य सभी संभावित मूल्यों के उत्पादों के बराबर हैं एक्ससभी संभावित मूल्यों के लिए यू, और उनके संगत प्रायिकता गुणनखंडों की प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर होती है।
3) दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के गुणनफल की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के गुणनफल के बराबर होती है:
एम(XY) = एम(एक्स)एम(यू). (7.4)
सबूत। गणनाओं को सरल बनाने के लिए, हम खुद को उस स्थिति तक सीमित रखते हैं जब एक्सतथा यूकेवल दो संभावित मान लें:
फलस्वरूप, एम(XY) = एक्स 1 आप 1 ?पी 1 जी 1 + एक्स 2 आप 1 ?पी 2 जी 1 + एक्स 1 आप 2 ?पी 1 जी 2 + एक्स 2 आप 2 ?पी 2 जी 2 = आप 1 जी 1 (एक्स 1 पी 1 + एक्स 2 पी 2) + + आप 2 जी 2 (एक्स 1 पी 1 + एक्स 2 पी 2) = (आप 1 जी 1 + आप 2 जी 2) (एक्स 1 पी 1 + एक्स 2 पी 2) = एम(एक्स)?एम(यू).
टिप्पणी 1.इसी प्रकार, इस गुण को कारकों के अधिक संभावित मूल्यों के लिए सिद्ध किया जा सकता है।
टिप्पणी 2.गुण 3 स्वतंत्र यादृच्छिक चरों की किसी भी संख्या के गुणनफल के लिए मान्य है, जो गणितीय प्रेरण की विधि से सिद्ध होता है।
परिभाषा 7.4.आइए परिभाषित करें यादृच्छिक चर का योग एक्सतथा यू एक यादृच्छिक चर के रूप में एक्स + वाई, जिनके संभावित मूल्य प्रत्येक संभावित मूल्य के योग के बराबर हैं एक्सहर संभव मूल्य के साथ यू; इस तरह के योगों की संभावनाएं शर्तों की संभावनाओं के उत्पादों के बराबर होती हैं (आश्रित यादृच्छिक चर के लिए - एक शब्द की संभावना के उत्पाद और दूसरे की सशर्त संभावना)।
4) दो यादृच्छिक चर (आश्रित या स्वतंत्र) के योग की गणितीय अपेक्षा, पदों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर होती है:
एम (एक्स+वाई) = एम (एक्स) + एम (यू). (7.5)
सबूत।
संपत्ति के प्रमाण में दिए गए वितरण श्रृंखला द्वारा दिए गए यादृच्छिक चरों पर फिर से विचार करें। फिर संभावित मान एक्स+वाईहैं एक्स 1 + पर 1 , एक्स 1 + पर 2 , एक्स 2 + पर 1 , एक्स 2 + पर 2. उनकी प्रायिकताओं को क्रमशः निरूपित करें: आर 11 , आर 12 , आर 21 और आर 22. हमे पता करने दें एम(एक्स+यू) = (एक्स 1 + आप 1)पी 11 + (एक्स 1 + आप 2)पी 12 + (एक्स 2 + आप 1)पी 21 + (एक्स 2 + आप 2)पी 22 =
= एक्स 1 (पी 11 + पी 12) + एक्स 2 (पी 21 + पी 22) + आप 1 (पी 11 + पी 21) + आप 2 (पी 12 + पी 22).
आइए साबित करें कि आर 11 + आर 22 = आरएक । दरअसल, घटना है कि एक्स+वाईमूल्यों पर ले जाएगा एक्स 1 + पर 1 या एक्स 1 + पर 2 और जिसकी प्रायिकता है आर 11 + आर 22 घटना के साथ मेल खाता है कि एक्स = एक्स 1 (इसकी प्रायिकता है आरएक)। इसी प्रकार, यह सिद्ध होता है कि पी 21 + पी 22 = आर 2 , पी 11 + पी 21 = जी 1 , पी 12 + पी 22 = जी 2. माध्यम,
एम(एक्स+वाई) = एक्स 1 पी 1 + एक्स 2 पी 2 + आप 1 जी 1 + आप 2 जी 2 = एम (एक्स) + एम (यू).
टिप्पणी. गुण 4 का तात्पर्य है कि किसी भी यादृच्छिक चर की संख्या का योग शर्तों के अपेक्षित मूल्यों के योग के बराबर है।
उदाहरण। पाँच पासे फेंकने पर लुढ़के अंकों की संख्या के योग की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।
आइए एक पासे को फेंकने पर गिरने वाले अंकों की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं:
एम(एक्स 1) \u003d (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) वही संख्या किसी भी पासे पर गिरने वाले अंकों की गणितीय अपेक्षा के बराबर है। इसलिए, संपत्ति से 4 एम(एक्स)=
फैलाव.
एक यादृच्छिक चर के व्यवहार के बारे में एक विचार रखने के लिए, केवल इसकी गणितीय अपेक्षा को जानना पर्याप्त नहीं है। दो यादृच्छिक चर पर विचार करें: एक्सतथा यू, प्रपत्र की वितरण श्रृंखला द्वारा दिया गया
| एक्स | |||
| आर | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
| यू | ||
| पी | 0,5 | 0,5 |
हमे पता करने दें एम(एक्स) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, एम(यू) \u003d 0? 0.5 + 100? 0.5 \u003d 50। जैसा कि आप देख सकते हैं, दोनों मात्राओं की गणितीय अपेक्षाएँ समान हैं, लेकिन यदि के लिए एचएम(एक्स) एक यादृच्छिक चर के व्यवहार का अच्छी तरह से वर्णन करता है, इसका सबसे संभावित संभावित मूल्य है (इसके अलावा, शेष मान 50 से थोड़ा भिन्न होते हैं), फिर मान यूसे महत्वपूर्ण रूप से विचलन एम(यू) इसलिए, गणितीय अपेक्षा के साथ, यह जानना वांछनीय है कि यादृच्छिक चर के मान इससे कितना विचलित होते हैं। इस सूचक को चिह्नित करने के लिए फैलाव का उपयोग किया जाता है।
परिभाषा 7.5.फैलाव (बिखरने)यादृच्छिक चर को इसके गणितीय अपेक्षा से विचलन के वर्ग की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है:
डी(एक्स) = एम (एक्स-एम(एक्स))². (7.6)
एक यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए एक्स(चयनित लोगों में मानक भागों की संख्या) इस व्याख्यान के उदाहरण 1 में। आइए गणितीय अपेक्षा से प्रत्येक संभावित मूल्य के वर्ग विचलन के मूल्यों की गणना करें:
(1 - 2.4) 2 = 1.96; (2 - 2.4) 2 = 0.16; (3 - 2.4) 2 = 0.36। फलस्वरूप,
टिप्पणी 1.विचरण की परिभाषा में, इसका मूल्यांकन स्वयं माध्य से विचलन नहीं है, बल्कि इसका वर्ग है। ऐसा इसलिए किया जाता है ताकि विभिन्न चिन्हों के विचलन एक दूसरे की क्षतिपूर्ति न करें।
टिप्पणी 2.परिक्षेपण की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि यह मात्रा केवल गैर-ऋणात्मक मान लेती है।
टिप्पणी 3.प्रसरण की गणना के लिए एक अधिक सुविधाजनक सूत्र है, जिसकी वैधता निम्नलिखित प्रमेय में सिद्ध होती है:
प्रमेय 7.1.डी(एक्स) = एम(एक्स²) - एम²( एक्स). (7.7)
सबूत।
क्या का उपयोग करके एम(एक्स) एक स्थिर मान है, और गणितीय अपेक्षा के गुण, हम सूत्र (7.6) को रूप में बदलते हैं:
डी(एक्स) = एम(एक्स-एम(एक्स))² = एम(एक्स- 2 एक्स? एम(एक्स) + एम²( एक्स)) = एम(एक्स) - 2 एम(एक्स)?एम(एक्स) + एम²( एक्स) =
= एम(एक्स) - 2 एम²( एक्स) + एम²( एक्स) = एम(एक्स²) - एम²( एक्स), जिसे सिद्ध किया जाना था।
उदाहरण। आइए हम यादृच्छिक चर के प्रसरणों की गणना करें एक्सतथा यूइस खंड की शुरुआत में चर्चा की। एम(एक्स) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.
एम(यू) \u003d (0 2? 0.5 + 100²? 0.5) - 50² \u003d 5000 - 2500 \u003d 2500। तो, दूसरे यादृच्छिक चर का फैलाव पहले के फैलाव से कई हजार गुना अधिक है। इस प्रकार, इन मात्राओं के वितरण के नियमों को जाने बिना भी, के अनुसार ज्ञात मूल्यविचरण, हम कह सकते हैं कि एक्सअपनी गणितीय अपेक्षा से बहुत कम विचलित होता है, जबकि यूयह विचलन बहुत महत्वपूर्ण है।
फैलाव गुण।
1) फैलाव स्थिरांक सेशून्य के बराबर:
डी (सी) = 0. (7.8)
सबूत। डी(सी) = एम((सेमी(सी))²) = एम((सी-सी)²) = एम(0) = 0.
2) अचर गुणनखंड को परिक्षेपण चिह्न से चुकता करके निकाला जा सकता है:
डी(सीएक्स) = सी² डी(एक्स). (7.9)
सबूत। डी(सीएक्स) = एम((सीएक्स-एम(सीएक्स))²) = एम((सीएक्स-सीएम(एक्स))²) = एम(सी²( एक्स-एम(एक्स))²) =
= सी² डी(एक्स).
3) दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग के बराबर होता है:
डी(एक्स+वाई) = डी(एक्स) + डी(यू). (7.10)
सबूत। डी(एक्स+वाई) = एम(एक्स+ 2 XY + यू²) - ( एम(एक्स) + एम(यू))² = एम(एक्स) + 2 एम(एक्स)एम(यू) +
+ एम(यू²) - एम²( एक्स) - 2एम(एक्स)एम(यू) - एम²( यू) = (एम(एक्स²) - एम²( एक्स)) + (एम(यू²) - एम²( यू)) = डी(एक्स) + डी(यू).
परिणाम 1.कई परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग के बराबर होता है।
परिणाम 2.एक स्थिरांक और एक यादृच्छिक चर के योग का प्रसरण यादृच्छिक चर के प्रसरण के बराबर होता है।
4) दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के अंतर का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग के बराबर होता है:
डी(एक्स-y) = डी(एक्स) + डी(यू). (7.11)
सबूत। डी(एक्स-y) = डी(एक्स) + डी(-यू) = डी(एक्स) + (-1)² डी(यू) = डी(एक्स) + डी(एक्स).
विचरण माध्य से यादृच्छिक चर के वर्ग विचलन का औसत मान देता है; विचलन का आकलन करने के लिए ही एक मान है जिसे मानक विचलन कहा जाता है।
परिभाषा 7.6.मानक विचलनयादृच्छिक चर एक्सप्रसरण का वर्गमूल कहलाता है:
उदाहरण। पिछले उदाहरण में, मानक विचलन एक्सतथा यूक्रमशः बराबर
कार्य 1।गेहूँ के बीज के अंकुरण की प्रायिकता 0.9 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि बोए गए चार बीजों में से कम से कम तीन अंकुरित होंगे?
समाधान। घटना होने दें लेकिन- 4 बीजों में से कम से कम 3 बीज अंकुरित होंगे; प्रतिस्पर्धा पर- 4 बीजों में से 3 बीज अंकुरित होंगे; प्रतिस्पर्धा से 4 बीजों से 4 बीज अंकुरित होंगे। संभाव्यता जोड़ प्रमेय के अनुसार
संभावनाओं 
तथा 
हम निम्नलिखित मामले में प्रयुक्त बर्नौली सूत्र द्वारा निर्धारित करते हैं। सिलसिला चलने दो पीस्वतंत्र परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता स्थिर और बराबर होती है आर, और इस घटना के घटित न होने की प्रायिकता के बराबर है 
. तब संभावना है कि घटना लेकिनमें पीपरीक्षण बिल्कुल दिखाई देंगे 
बार, बर्नौली सूत्र द्वारा परिकलित
,
कहाँ पे 
- के संयोजनों की संख्या पीतत्वों द्वारा 
. फिर
वांछित संभावना
कार्य 2.गेहूँ के बीज के अंकुरण की प्रायिकता 0.9 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि बोए गए 400 बीजों में से 350 बीज अंकुरित होंगे।
समाधान। आवश्यक संभावना की गणना करें 
बर्नौली सूत्र के अनुसार गणनाओं की बोझिलता के कारण यह कठिन है। इसलिए, हम स्थानीय लाप्लास प्रमेय को व्यक्त करने वाला एक अनुमानित सूत्र लागू करते हैं:
,
कहाँ पे 
तथा 
.
समस्या कथन से। फिर
.
अनुप्रयोगों की तालिका 1 से हम पाते हैं। वांछित संभावना बराबर है
कार्य 3.गेहूं के बीजों में 0.02% खरपतवार हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि 10,000 बीजों के यादृच्छिक चयन से 6 खरपतवार बीज निकलेंगे?
समाधान। कम संभावना के कारण स्थानीय लाप्लास प्रमेय का अनुप्रयोग 
सटीक मान से संभाव्यता का एक महत्वपूर्ण विचलन होता है 
. इसलिए, छोटे मूल्यों के लिए आरहिसाब करना 
स्पर्शोन्मुख पॉइसन सूत्र लागू करें
, कहाँ पे ।
इस सूत्र का प्रयोग तब किया जाता है जब 
, और कम आरऔर अधिक पी, परिणाम जितना सटीक होगा।
कार्य के अनुसार 
;
. फिर
कार्य 4.गेहूं के बीज के अंकुरण का प्रतिशत 90% है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि बोए गए 500 बीजों में से 400 से 440 बीज अंकुरित होंगे।
समाधान। यदि किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता लेकिनप्रत्येक में पीपरीक्षण स्थिर और बराबर है आर, तो संभावना 
कि घटना लेकिनऐसे परीक्षणों में कम से कम 
एक बार और नहीं 
लाप्लास इंटीग्रल प्रमेय द्वारा निम्नलिखित सूत्र द्वारा समय निर्धारित किया जाता है:
, कहाँ पे
, 
.
समारोह 
लैपलेस फंक्शन कहलाता है। परिशिष्ट (तालिका 2) के लिए इस फ़ंक्शन के मान देते हैं 
. पर 
समारोह 
. नकारात्मक मूल्यों के लिए एक्सलाप्लास फ़ंक्शन की विषमता के कारण 
. लाप्लास फ़ंक्शन का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:
कार्य के अनुसार। उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं 
तथा 
:
कार्य 5.असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम दिया गया है एक्स:
खोजें: 1) गणितीय अपेक्षा; 2) फैलाव; 3) मानक विचलन।
समाधान। 1) यदि एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम तालिका द्वारा दिया गया है
|
| ||||||
जहां पहली पंक्ति में यादृच्छिक चर x के मान दिए गए हैं, और इन मानों की संभावनाएं दूसरी पंक्ति में दी गई हैं, तो गणितीय अपेक्षा की गणना सूत्र द्वारा की जाती है
2) फैलाव 
असतत यादृच्छिक चर एक्सकिसी यादृच्छिक चर के गणितीय अपेक्षा से विचलन के वर्ग की गणितीय अपेक्षा कहलाती है, अर्थात्।
यह मान चुकता विचलन के औसत अपेक्षित मान को दर्शाता है एक्ससे 
. अंतिम सूत्र से हमारे पास है
फैलाव 
इसकी निम्नलिखित संपत्ति के आधार पर दूसरे तरीके से पाया जा सकता है: विचरण 
यादृच्छिक चर के वर्ग की गणितीय अपेक्षा के बीच अंतर के बराबर है एक्सऔर इसकी गणितीय अपेक्षा का वर्ग 
, वह है
हिसाब करना 
हम मात्रा के वितरण के निम्नलिखित कानून की रचना करते हैं: 
:
3) एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों के अपने औसत मूल्य के आसपास फैलाव को चिह्नित करने के लिए, मानक विचलन पेश किया जाता है 
अनियमित चर एक्स, विचरण के वर्गमूल के बराबर 
, वह है
.
इस सूत्र से हमारे पास है: 
कार्य 6.सतत यादृच्छिक चर एक्सअभिन्न वितरण समारोह द्वारा दिया गया
खोजें: 1) अंतर वितरण समारोह 
; 2) गणितीय अपेक्षा 
; 3) फैलाव 
.
समाधान। 1) डिफरेंशियल डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन 
निरंतर यादृच्छिक चर एक्सइंटीग्रल डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन का व्युत्पन्न कहा जाता है 
, वह है
.
वांछित अंतर फ़ंक्शन का निम्न रूप है:
2) यदि एक सतत यादृच्छिक चर एक्ससमारोह द्वारा दिया गया 
, तो इसकी गणितीय अपेक्षा सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है
समारोह के बाद से 
पर 
और कम से 
शून्य के बराबर है, तो अंतिम सूत्र से हमारे पास है
.
3) फैलाव 
सूत्र द्वारा परिभाषित करें
टास्क 7.भाग की लंबाई 40 मिमी की गणितीय अपेक्षा और 3 मिमी के मानक विचलन के साथ सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर है। खोजें: 1) एक मनमाना भाग की लंबाई 34 मिमी से अधिक और 43 मिमी से कम होने की संभावना है; 2) संभावना है कि भाग की लंबाई इसकी गणितीय अपेक्षा से 1.5 मिमी से अधिक नहीं है।
समाधान। 1) चलो एक्स- भाग की लंबाई। यदि यादृच्छिक चर एक्सअंतर समारोह द्वारा दिया गया 
, तो संभावना है कि एक्सखंड से संबंधित मान लेगा 
, सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है
.
सख्त असमानताओं को पूरा करने की संभावना 
एक ही सूत्र द्वारा निर्धारित। यदि यादृच्छिक चर एक्ससामान्य कानून के अनुसार वितरित, तब
, (1)
कहाँ पे 
लाप्लास फ़ंक्शन है, 
.
कार्य में। फिर
2) समस्या की स्थिति के अनुसार, जहाँ 
. (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है
. (2)
सूत्र (2) से हमारे पास है।
अनियमित चरबुलाया चर, जो, प्रत्येक परीक्षण के परिणामस्वरूप, यादृच्छिक कारणों के आधार पर एक पूर्व अज्ञात मान लेता है। यादृच्छिक चर को बड़े लैटिन अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ उनके प्रकार से, यादृच्छिक चर हो सकते हैं अलगतथा निरंतर.
असतत यादृच्छिक चर- यह एक ऐसा यादृच्छिक चर है, जिसके मान गणनीय से अधिक नहीं हो सकते हैं, अर्थात परिमित या गणनीय। गणनीयता का अर्थ है कि एक यादृच्छिक चर के मूल्यों की गणना की जा सकती है।
उदाहरण 1 . आइए असतत यादृच्छिक चर के उदाहरण दें:
ए) $n$ शॉट्स के साथ लक्ष्य पर हिट की संख्या, यहां संभावित मान $0,\ 1,\ \dots ,\ n$ हैं।
बी) एक सिक्का उछालते समय गिरने वाले हथियारों के कोटों की संख्या, यहां संभावित मान $0,\ 1,\ \dots ,\ n$ हैं।
ग) जहाज पर आने वाले जहाजों की संख्या (मानों का एक गणनीय सेट)।
डी) एक्सचेंज में आने वाली कॉलों की संख्या (मूल्यों का एक गणनीय सेट)।
1. एक असतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण का नियम।
एक असतत यादृच्छिक चर $X$ मान ले सकता है $x_1,\dots ,\ x_n$ संभावनाओं के साथ $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$। इन मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच के पत्राचार को कहा जाता है असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम. एक नियम के रूप में, यह पत्राचार एक तालिका का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जाता है, जिसकी पहली पंक्ति में $x_1,\dots ,\ x_n$ के मान इंगित किए जाते हैं, और दूसरी पंक्ति में इन मानों के अनुरूप संभावनाएं $ होती हैं। p_1,\डॉट्स,\ p_n$.
$\शुरू(सरणी)(|सी|सी|)
\hline
X_i और x_1 और x_2 और \डॉट्स और x_n \\
\hline
p_i और p_1 और p_2 और \डॉट्स और p_n \\
\hline
\end(सरणी)$
उदाहरण 2 . मान लीजिए कि यादृच्छिक चर $X$ एक पासे को लुढ़कने पर लुढ़के हुए अंकों की संख्या है। ऐसा यादृच्छिक चर $X$ निम्नलिखित मान $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$ ले सकता है। इन सभी मानों की प्रायिकता $1/6$ के बराबर है। फिर यादृच्छिक चर $X$ के लिए संभाव्यता वितरण कानून:
$\शुरू(सरणी)(|सी|सी|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\hline
\end(सरणी)$
टिप्पणी. चूँकि घटनाएँ $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ असतत यादृच्छिक चर $X$ के वितरण कानून में घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं, संभावनाओं का योग एक के बराबर होना चाहिए, अर्थात $\sum( पी_आई) = 1$।
2. असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा।
यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षाइसका "केंद्रीय" मान निर्दिष्ट करता है। एक असतत यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा की गणना मूल्यों के उत्पादों के योग के रूप में की जाती है $x_1,\dots ,\ x_n$ और संभावनाएं $p_1,\dots ,\ p_n$ इन मानों के अनुरूप, अर्थात: $M\बाएं(X\दाएं)=\योग ^n_(i=1)(p_ix_i)$. अंग्रेजी साहित्य में, एक और संकेतन $E\left(X\right)$ प्रयोग किया जाता है।
उम्मीद गुण$एम\बाएं(एक्स\दाएं)$:
- $M\left(X\right)$ सबसे छोटे और . के बीच है उच्चतम मूल्ययादृच्छिक चर $X$।
- एक स्थिरांक की गणितीय अपेक्षा स्वयं स्थिरांक के बराबर होती है, अर्थात्। $ एम \ बाएं (सी \ दाएं) = सी $।
- निरंतर कारक को उम्मीद के संकेत से बाहर निकाला जा सकता है: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$।
- यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$।
- स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$।
उदाहरण 3 . आइए यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं, उदाहरण के लिए $2$।
$$M\बाएं(X\दाएं)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\ओवर (6))=3.5.$$
हम देख सकते हैं कि $M\left(X\right)$ यादृच्छिक चर $X$ के सबसे छोटे ($1$) और सबसे बड़े ($6$) मानों के बीच है।
उदाहरण 4 . यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा $M\left(X\right)=2$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $3X+5$ की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।
उपरोक्त गुणों का उपयोग करके, हमें मिलता है $M\बाएं(3X+5\दाएं)=M\बाएं(3X\दाएं)+M\बाएं(5\दाएं)=3M\बाएं(X\दाएं)+5=3\ सीडीओटी 2 +5=11$।
उदाहरण 5 . यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा $M\left(X\right)=4$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $2X-9$ की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं।
उपरोक्त गुणों का उपयोग करते हुए, हमें $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ मिलता है सीडीओटी 4 -9=-1$।
3. एक असतत यादृच्छिक चर का फैलाव।
समान गणितीय अपेक्षाओं वाले यादृच्छिक चर के संभावित मान उनके औसत मूल्यों के आसपास अलग-अलग तरीके से बिखर सकते हैं। उदाहरण के लिए, दो छात्र समूहों में जीपीएपरीक्षा के लिए संभाव्यता सिद्धांत 4 के बराबर निकला, लेकिन एक समूह में सभी अच्छे छात्र निकले, और दूसरे समूह में - केवल तीन और उत्कृष्ट छात्र। इसलिए, एक यादृच्छिक चर की एक ऐसी संख्यात्मक विशेषता की आवश्यकता होती है, जो एक यादृच्छिक चर के मूल्यों के प्रसार को उसकी गणितीय अपेक्षा के आसपास दिखाएगी। यह विशेषता फैलाव है।
असतत यादृच्छिक चर का फैलाव$X$ है:
$$D\बाएं(X\दाएं)=\sum^n_(i=1)(p_i(\बाएं(x_i-M\बाएं(X\दाएं)\दाएं))^2)।\ $$
अंग्रेजी साहित्य में, नोटेशन $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ प्रयोग किया जाता है। बहुत बार विचरण $D\left(X\right)$ की गणना सूत्र $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) द्वारा की जाती है बाएं (एक्स \ दाएं) \ दाएं) ^ 2 $।
फैलाव गुण$D\बाएं(X\दाएं)$:
- फैलाव हमेशा शून्य से अधिक या उसके बराबर होता है, अर्थात। $D\बाएं(X\दाएं)\ge 0$.
- एक स्थिरांक से परिक्षेपण शून्य के बराबर होता है, अर्थात्। $डी\बाएं(सी\दाएं)=0$.
- अचर गुणनखंड को परिक्षेपण चिह्न से निकाला जा सकता है, बशर्ते कि वह वर्ग हो, अर्थात्। $ डी \ बाएं (सीएक्स \ दाएं) = सी ^ 2 डी \ बाएं (एक्स \ दाएं) $।
- स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग के बराबर होता है, अर्थात्। $ डी \ बाएं (एक्स + वाई \ दाएं) = डी \ बाएं (एक्स \ दाएं) + डी \ बाएं (वाई \ दाएं) $।
- स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के अंतर का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग के बराबर होता है, अर्थात। $ डी \ बाएं (एक्स-वाई \ दाएं) = डी \ बाएं (एक्स \ दाएं) + डी \ बाएं (वाई \ दाएं) $।
उदाहरण 6 . आइए हम यादृच्छिक चर $X$ के विचरण की गणना उदाहरण $2$ से करें।
$$D\बाएं(X\दाएं)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\बाएं(1-3,5\दाएं))^2+((1)\over (6))\cdot (\बाएं(2-3,5\दाएं))^2+ \dots +((1)\over (6))\cdot (\बाएं(6-3,5\दाएं))^2=((35)\over (12))\लगभग 2.92.$$
उदाहरण 7 . यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ का विचरण $D\left(X\right)=2$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $4X+1$ का प्रसरण ज्ञात कीजिए।
उपरोक्त गुणों का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ बाएँ(X\दाएं)=16\cdot 2=32$.
उदाहरण 8 . यह ज्ञात है कि $X$ का विचरण $D\left(X\right)=3$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $3-2X$ का प्रसरण ज्ञात कीजिए।
उपरोक्त गुणों का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ बाएँ(X\दाएँ)=4\cdot 3=12$।
4. एक असतत यादृच्छिक चर का वितरण कार्य।
वितरण श्रृंखला के रूप में एक असतत यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करने की विधि केवल एक ही नहीं है, और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि यह सार्वभौमिक नहीं है, क्योंकि वितरण श्रृंखला का उपयोग करके एक सतत यादृच्छिक चर निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है। एक यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करने का एक और तरीका है - वितरण फ़ंक्शन।
वितरण समारोहयादृच्छिक चर $X$ एक फ़ंक्शन $F\left(x\right)$ है, जो इस संभावना को निर्धारित करता है कि यादृच्छिक चर $X$ कुछ निश्चित मान $x$ से कम मान लेता है, अर्थात $F\left(x\ दाएं)$)=पी\बाएं(एक्स< x\right)$
वितरण समारोह गुण:
- $0\le F\left(x\right)\le 1$.
- संभावना है कि यादृच्छिक चर $X$ अंतराल से मान लेता है $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ इस अंतराल के अंत में वितरण फ़ंक्शन के मानों के बीच अंतर के बराबर है : $P\बाएं(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
- $F\बाएं(x\दाएं)$ - गैर-घटता।
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \दाएं)=1\ )$।
उदाहरण 9 . आइए, उदाहरण के लिए $2$ से असतत यादृच्छिक चर $X$ के वितरण कानून के लिए वितरण फ़ंक्शन $F\बाएं(x\दाएं)$ खोजें।
$\शुरू(सरणी)(|सी|सी|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(सरणी)$
यदि $x\le 1$, तो स्पष्ट रूप से $F\left(x\right)=0$ ($x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X सहित)< 1\right)=0$).
अगर $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.
अगर $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.
अगर $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.
अगर $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.
अगर $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.
अगर $x > 6$ तो $F\बाएं(x\दाएं)=P\बाएं(X=1\दाएं)+P\बाएं(X=2\दाएं)+P\बाएं(X=3\दाएं) + पी\बाएं(एक्स=4\दाएं)+पी\बाएं(एक्स=5\दाएं)+पी\बाएं(एक्स=6\दाएं)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$।
तो $F(x)=\left\(\ start(matrix)
0,\ पर\ x\le 1,\\
1/6, \ 1 . पर< x\le 2,\\
1/3,\ पर\ 2< x\le 3,\\
1/2, पर \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ पर\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ पर \ 4< x\le 5,\\
1,\ \ x > 6 के लिए
\end(मैट्रिक्स)\दाएं।$
गणितीय अपेक्षा और विचरण एक यादृच्छिक चर की सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली संख्यात्मक विशेषताएँ हैं। वे वितरण की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं की विशेषता रखते हैं: इसकी स्थिति और फैलाव की डिग्री। अभ्यास की कई समस्याओं में, एक यादृच्छिक चर का पूर्ण, संपूर्ण विवरण - वितरण का नियम - या तो बिल्कुल प्राप्त नहीं किया जा सकता है, या इसकी बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं है। इन मामलों में, वे संख्यात्मक विशेषताओं का उपयोग करके एक यादृच्छिक चर के अनुमानित विवरण तक सीमित हैं।
गणितीय अपेक्षा को अक्सर एक यादृच्छिक चर के औसत मान के रूप में संदर्भित किया जाता है। एक यादृच्छिक चर का फैलाव फैलाव की एक विशेषता है, इसकी गणितीय अपेक्षा के आसपास एक यादृच्छिक चर का फैलाव।
असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा
आइए गणितीय अपेक्षा की अवधारणा को देखें, पहले एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण की यांत्रिक व्याख्या से आगे बढ़ते हुए। मान लीजिए कि इकाई द्रव्यमान को x-अक्ष के बिंदुओं के बीच वितरित किया जाता है एक्स1 , एक्स 2 , ..., एक्सएन, और प्रत्येक भौतिक बिंदु का द्रव्यमान इसके अनुरूप होता है पी1 , पी 2 , ..., पीएन. पूरे सिस्टम की स्थिति को दर्शाते हुए, एक्स-अक्ष पर एक बिंदु चुनना आवश्यक है भौतिक बिंदु, उनके द्रव्यमान को ध्यान में रखते हुए। भौतिक बिंदुओं की प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र को ऐसे बिंदु के रूप में लेना स्वाभाविक है। यह यादृच्छिक चर का भारित औसत है एक्स, जिसमें प्रत्येक बिंदु का भुज एक्समैंसंबंधित संभावना के बराबर "वजन" के साथ प्रवेश करता है। इस प्रकार प्राप्त यादृच्छिक चर का माध्य मान एक्सइसकी गणितीय अपेक्षा कहलाती है।
असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा इसके सभी संभावित मूल्यों के उत्पादों और इन मूल्यों की संभावनाओं का योग है:
उदाहरण 1विन-विन लॉटरी का आयोजन किया। 1000 जीत हैं, जिनमें से 400 प्रत्येक 10 रूबल हैं। 300 - 20 रूबल प्रत्येक 200 - 100 रूबल प्रत्येक। और 100 - 200 रूबल प्रत्येक। क्या औसत आकारएक टिकट खरीदने वाले व्यक्ति के लिए जीत?
समाधान। हम औसत अदायगी पाते हैं यदि कुल राशिजीत, जो 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 = 50,000 रूबल के बराबर है, 1000 से विभाजित (जीत की कुल राशि)। तब हमें 50000/1000 = 50 रूबल मिलते हैं। लेकिन औसत लाभ की गणना के लिए व्यंजक को निम्न रूप में भी दर्शाया जा सकता है:
दूसरी ओर, इन शर्तों के तहत, जीत की राशि एक यादृच्छिक चर है जो 10, 20, 100 और 200 रूबल के मूल्यों को ले सकती है। क्रमशः 0.4 के बराबर संभावनाओं के साथ; 0.3; 0.2; 0.1. इसलिए, अपेक्षित औसत अदायगी योग के बराबर हैउनकी प्राप्ति की संभावना से जीत के आकार के उत्पाद।
उदाहरण 2प्रकाशक ने प्रकाशित करने का निर्णय लिया नई पुस्तक. वह पुस्तक को 280 रूबल में बेचने जा रहा है, जिसमें से उसे 200, किताबों की दुकान को 50 और लेखक को 30 रुपये दिए जाएंगे। तालिका पुस्तक को प्रकाशित करने की लागत और पुस्तक की एक निश्चित संख्या में प्रतियों को बेचने की संभावना के बारे में जानकारी देती है।
प्रकाशक का अपेक्षित लाभ ज्ञात कीजिए।
समाधान। यादृच्छिक चर "लाभ" बिक्री से आय और लागत की लागत के बीच के अंतर के बराबर है। उदाहरण के लिए, यदि किसी पुस्तक की 500 प्रतियां बेची जाती हैं, तो बिक्री से होने वाली आय 200 * 500 = 100,000 है, और प्रकाशन की लागत 225,000 रूबल है। इस प्रकार, प्रकाशक को 125,000 रूबल के नुकसान का सामना करना पड़ता है। निम्न तालिका यादृच्छिक चर के अपेक्षित मूल्यों को सारांशित करती है - लाभ:
| संख्या | फायदा एक्समैं | संभावना पीमैं | एक्समैं पीमैं |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| कुल: | 1,00 | 25000 |
इस प्रकार, हम प्रकाशक के लाभ की गणितीय अपेक्षा प्राप्त करते हैं:
.
उदाहरण 3एक शॉट से हिट करने का मौका पी= 0.2. गोले की खपत निर्धारित करें जो 5 के बराबर हिट की संख्या की गणितीय अपेक्षा प्रदान करते हैं।
समाधान। उसी अपेक्षा सूत्र से जो हमने अब तक प्रयोग किया है, हम व्यक्त करते हैं एक्स- गोले की खपत:
.
उदाहरण 4एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा निर्धारित करें एक्सतीन शॉट्स के साथ हिट की संख्या, यदि प्रत्येक शॉट के साथ हिट होने की संभावना है पी = 0,4 .
संकेत: द्वारा यादृच्छिक चर के मानों की प्रायिकता ज्ञात कीजिए बर्नौली सूत्र .
उम्मीद गुण
गणितीय अपेक्षा के गुणों पर विचार करें।
संपत्ति 1.स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा इस स्थिरांक के बराबर है:
संपत्ति 2.निरंतर कारक को उम्मीद के संकेत से निकाला जा सकता है:
संपत्ति 3.यादृच्छिक चर के योग (अंतर) की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग (अंतर) के बराबर है:
संपत्ति 4.यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है:
संपत्ति 5.यदि यादृच्छिक चर के सभी मान एक्सएक ही संख्या से घटाएं (वृद्धि) से, तो इसकी गणितीय अपेक्षा उसी संख्या से घटेगी (वृद्धि) होगी:
जब आप केवल गणितीय अपेक्षा तक सीमित नहीं रह सकते हैं
ज्यादातर मामलों में, केवल गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर को पर्याप्त रूप से चिह्नित नहीं कर सकती है।
यादृच्छिक चर दें एक्सतथा यूनिम्नलिखित वितरण कानूनों द्वारा दिए गए हैं:
| अर्थ एक्स | संभावना |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| अर्थ यू | संभावना |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
इन राशियों की गणितीय अपेक्षाएँ समान हैं - शून्य के बराबर:
हालांकि, उनका वितरण अलग है। यादृच्छिक मूल्य एक्सकेवल वे मान ले सकते हैं जो गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर से थोड़े अलग हैं यूवे मान ले सकते हैं जो गणितीय अपेक्षा से महत्वपूर्ण रूप से विचलित होते हैं। एक समान उदाहरण: औसत वेतन उच्च और निम्न वेतन वाले श्रमिकों के अनुपात का न्याय करना संभव नहीं बनाता है। दूसरे शब्दों में, गणितीय अपेक्षा से कोई यह नहीं आंक सकता कि इससे कम से कम औसतन क्या विचलन संभव है। ऐसा करने के लिए, आपको एक यादृच्छिक चर के विचरण को खोजने की आवश्यकता है।
असतत यादृच्छिक चर का फैलाव
फैलावअसतत यादृच्छिक चर एक्सगणितीय अपेक्षा से इसके विचलन के वर्ग की गणितीय अपेक्षा कहलाती है:
एक यादृच्छिक चर का मानक विचलन एक्सइसके प्रसरण के वर्गमूल का अंकगणितीय मान है:
.
उदाहरण 5यादृच्छिक चरों के प्रसरणों और मानक विचलनों की गणना करें एक्सतथा यू, जिनके वितरण नियम ऊपर तालिका में दिए गए हैं।
समाधान। यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षाएं एक्सतथा यू, जैसा कि ऊपर पाया गया, शून्य के बराबर है। के लिए फैलाव सूत्र के अनुसार इ(एक्स)=इ(आप) = 0 हमें मिलता है:
फिर यादृच्छिक चर के मानक विचलन एक्सतथा यूगठित करना
.
इस प्रकार, समान गणितीय अपेक्षाओं के साथ, यादृच्छिक चर का प्रसरण एक्सबहुत छोटा और यादृच्छिक यू- महत्वपूर्ण। यह उनके वितरण में अंतर का परिणाम है।
उदाहरण 6निवेशक के पास 4 वैकल्पिक निवेश परियोजनाएं हैं। तालिका इन परियोजनाओं में अपेक्षित लाभ पर संबंधित संभावना के साथ डेटा को सारांशित करती है।
| प्रोजेक्ट 1 | परियोजना 2 | परियोजना 3 | परियोजना 4 |
| 500, पी=1 | 1000, पी=0,5 | 500, पी=0,5 | 500, पी=0,5 |
| 0, पी=0,5 | 1000, पी=0,25 | 10500, पी=0,25 | |
| 0, पी=0,25 | 9500, पी=0,25 |
प्रत्येक विकल्प के लिए गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन खोजें।
समाधान। आइए हम दिखाते हैं कि तीसरे विकल्प के लिए इन मात्राओं की गणना कैसे की जाती है:
तालिका सभी विकल्पों के लिए पाए गए मानों को सारांशित करती है।
सभी विकल्पों की गणितीय अपेक्षा समान होती है। इसका मतलब है कि लंबे समय में सभी की आय समान है। मानक विचलन की व्याख्या जोखिम के माप के रूप में की जा सकती है - यह जितना बड़ा होगा, निवेश का जोखिम उतना ही अधिक होगा। एक निवेशक जो अधिक जोखिम नहीं चाहता है, वह प्रोजेक्ट 1 का चयन करेगा क्योंकि इसमें सबसे छोटा मानक विचलन (0) है। यदि निवेशक कम अवधि में जोखिम और उच्च रिटर्न को प्राथमिकता देता है, तो वह सबसे बड़े मानक विचलन वाली परियोजना का चयन करेगा - परियोजना 4।
फैलाव गुण
आइए हम परिक्षेपण के गुणों को प्रस्तुत करें।
संपत्ति 1.एक स्थिर मान का फैलाव शून्य है:
संपत्ति 2.अचर गुणनखंड को परिक्षेपण चिह्न से चुकता करके निकाला जा सकता है:
.
संपत्ति 3.एक यादृच्छिक चर का विचरण इस मान के वर्ग की गणितीय अपेक्षा के बराबर होता है, जिसमें से मान की गणितीय अपेक्षा का वर्ग ही घटाया जाता है:
,
कहाँ पे 
.
संपत्ति 4.यादृच्छिक चरों के योग (अंतर) का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग (अंतर) के बराबर होता है:
उदाहरण 7यह ज्ञात है कि एक असतत यादृच्छिक चर एक्सकेवल दो मान लेता है: −3 और 7. इसके अलावा, गणितीय अपेक्षा ज्ञात है: इ(एक्स) = 4। एक असतत यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए।
समाधान। द्वारा निरूपित करें पीवह प्रायिकता जिसके साथ एक यादृच्छिक चर मान लेता है एक्स1 = −3 . तब मान की प्रायिकता एक्स2 = 7 1 − . होगा पी. आइए गणितीय अपेक्षा के लिए समीकरण प्राप्त करें:
इ(एक्स) = एक्स 1 पी + एक्स 2 (1 − पी) = −3पी + 7(1 − पी) = 4 ,
जहां हमें संभावनाएं मिलती हैं: पी= 0.3 और 1 − पी = 0,7 .
यादृच्छिक चर के वितरण का नियम:
| एक्स | −3 | 7 |
| पी | 0,3 | 0,7 |
हम प्रसरण के गुण 3 से सूत्र का उपयोग करके इस यादृच्छिक चर के प्रसरण की गणना करते हैं:
डी(एक्स) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा स्वयं खोजें, और फिर समाधान देखें
उदाहरण 8असतत यादृच्छिक चर एक्सकेवल दो मान लेता है। यह 0.4 की प्रायिकता के साथ 3 का बड़ा मान लेता है। इसके अलावा, यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात है डी(एक्स) = 6। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं।
उदाहरण 9एक कलश में 6 सफेद और 4 काली गेंदें हैं। कलश से 3 गेंदें ली जाती हैं। खींची गई गेंदों के बीच सफेद गेंदों की संख्या एक असतत यादृच्छिक चर है एक्स. इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।
समाधान। यादृच्छिक मूल्य एक्स 0, 1, 2, 3 मान ले सकते हैं। संबंधित संभावनाओं की गणना की जा सकती है प्रायिकताओं के गुणन का नियम. यादृच्छिक चर के वितरण का नियम:
| एक्स | 0 | 1 | 2 | 3 |
| पी | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
इसलिए इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा:
एम(एक्स) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
किसी दिए गए यादृच्छिक चर का प्रसरण है:
डी(एक्स) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और फैलाव
एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा की यांत्रिक व्याख्या एक ही अर्थ को बरकरार रखेगी: घनत्व के साथ एक्स-अक्ष पर लगातार वितरित एक इकाई द्रव्यमान के लिए द्रव्यमान का केंद्र एफ(एक्स) एक असतत यादृच्छिक चर के विपरीत, जिसके लिए फ़ंक्शन तर्क एक्समैंएक सतत यादृच्छिक चर के लिए अचानक परिवर्तन, तर्क लगातार बदलता रहता है। लेकिन एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा भी इसके माध्य मान से संबंधित है।
एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और विचरण को खोजने के लिए, आपको निश्चित समाकलों को खोजने की आवश्यकता है . यदि एक सतत यादृच्छिक चर का घनत्व फलन दिया जाता है, तो यह सीधे समाकलन में प्रवेश करता है। यदि एक प्रायिकता बंटन फलन दिया गया है, तो उसे विभेदित करके, आपको घनत्व फलन ज्ञात करना होगा।
एक सतत यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों के अंकगणितीय औसत को कहा जाता है गणितीय अपेक्षा, या द्वारा निरूपित।
