वह फ़ंक्शन दर्ज करें जिसके लिए आप अभिन्न खोजना चाहते हैं

कैलकुलेटर निश्चित इंटीग्रल का विस्तृत समाधान प्रदान करता है।

यह कैलकुलेटर दी गई ऊपरी और निचली सीमाओं के साथ फ़ंक्शन f(x) के निश्चित इंटीग्रल को हल करता है।

उदाहरण

डिग्री के उपयोग के साथ
(वर्ग और घन) और भिन्न

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

वर्गमूल

वर्ग(x)/(x + 1)

घनमूल

सीबीआरटी(x)/(3*x + 2)

साइन और कोसाइन का उपयोग करना

2*पाप(x)*क्योंकि(x)

आर्कसिन

एक्स * आर्कसिन (एक्स)

चाप कोसाइन

एक्स * आर्कोस (एक्स)

लघुगणक का अनुप्रयोग

एक्स * लॉग (एक्स, 10)

प्राकृतिक

प्रदर्शक

टीजी (एक्स) * पाप (एक्स)

कोटैंजेंट

सीटीजी(x)*cos(x)

अपरिमेय भिन्न

(वर्ग(x) - 1)/वर्ग(x^2 - x - 1)

आर्कटिक

एक्स * आर्कटिक (एक्स)

चाप स्पर्शरेखा

एक्स * आर्कसीटीजी (एक्स)

हाइबरबोलिक साइन और कोसाइन

2*श(x)*ch(x)

हाइबरबोलिक स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट

सीटीजीएच (एक्स) / टीजीएच (एक्स)

हाइबरबोलिक आर्क्साइन और आर्ककोसाइन

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

हाइबरबोलिक आर्कटैंगेंट और आर्ककोटैंजेंट

X^2*arctgh(x)*arctgh(x)

भाव और कार्य दर्ज करने के नियम

अभिव्यक्तियों में कार्य शामिल हो सकते हैं (नोटेशन वर्णानुक्रम में दिए गए हैं): निरपेक्ष (एक्स)निरपेक्ष मूल्य एक्स
(मापांक एक्सया |x|) आर्ककोस (एक्स)समारोह - चाप कोसाइन एक्स आर्ककोश (एक्स)चाप कोसाइन अतिपरवलयिक से एक्स आर्कसिन (एक्स)आर्क्सिन से एक्स आर्कसिंह (एक्स)आर्क्सिन हाइपरबोलिक से एक्स आर्कटिक (एक्स)समारोह - चाप स्पर्शरेखा . से एक्स आर्कटिक (एक्स)चाप स्पर्शरेखा से अतिपरवलयिक है एक्स इ इएक संख्या जो लगभग 2.7 . के बराबर है क्स्प (एक्स)फलन - से घातांक एक्स(जो है इ^एक्स) लॉग (एक्स)या लॉग (एक्स)का प्राकृतिक लघुगणक एक्स
(प्राप्त होना लॉग 7 (एक्स), आपको लॉग(x)/लॉग(7) दर्ज करना होगा (या, उदाहरण के लिए, for लॉग 10 (एक्स)=लॉग(x)/लॉग(10)) अनुकरणीयसंख्या "पाई" है, जो लगभग 3.14 . के बराबर है पाप (एक्स)समारोह - की साइन एक्स कॉस (एक्स)समारोह - की कोज्या एक्स सिंह (एक्स)समारोह - की अतिपरवलयिक ज्या एक्स नकद (एक्स)समारोह - की अतिपरवलयिक कोज्या एक्स वर्ग (एक्स)फलन का वर्गमूल है एक्स वर्ग (एक्स)या एक्स^2समारोह - वर्ग एक्स टीजी (एक्स)समारोह - स्पर्शरेखा . से एक्स टीजीएच (एक्स)फलन - की अतिपरवलयिक स्पर्शरेखा एक्स सीबीआरटी (एक्स)फलन का घनमूल है एक्स

आप अभिव्यक्तियों में निम्नलिखित परिचालनों का उपयोग कर सकते हैं: वास्तविक संख्याफॉर्म में दर्ज करें 7.5 , नहीं 7,5 2*x- गुणन 3/x- विभाजन एक्स^3- घातांक एक्स + 7- योग एक्स - 6- घटाव
अन्य सुविधाओं: मंजिल (एक्स)समारोह - गोलाई एक्सनीचे (उदाहरण मंजिल(4.5)==4.0) छत (एक्स)समारोह - गोलाई एक्सऊपर (उदाहरण सीलिंग(4.5)==5.0) साइन (एक्स)समारोह - संकेत एक्स ईआरएफ (एक्स)त्रुटि फ़ंक्शन (या संभाव्यता अभिन्न) लैपलेस (एक्स)लाप्लास समारोह

रेखाओं से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए.

समाधान।

हम दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं:

दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को हल करते हैं:

हम देखतें है: एक्स 1 = -2, एक्स 2 = 4.

तो, ये रेखाएँ, जो एक परवलय और एक सीधी रेखा हैं, बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं ए(-2; 0), बी(4; 6).

ये रेखाएँ एक बंद आकृति बनाती हैं, जिसके क्षेत्रफल की गणना उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

न्यूटन-लीबनिज सूत्र के अनुसार, हम पाते हैं:

एक दीर्घवृत्त से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए.

समाधान।

I चतुर्थांश के लिए दीर्घवृत्त समीकरण से हमारे पास . यहाँ से, सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

आइए प्रतिस्थापन लागू करें एक्स = एकपाप टी, डीएक्स = एकक्योंकि टी डीटी. एकीकरण की नई सीमाएं टी = α तथा टी = β समीकरणों से निर्धारित होते हैं 0 = एकपाप टी, एक = एकपाप टी. डाला जा सकता है α = 0 और β = π /2.

हमें आवश्यक क्षेत्रफल का एक चौथाई भाग मिलता है

यहाँ से एस = पीएबी.

रेखाओं से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिएआप = - एक्स 2 + एक्स + 4 औरआप = - एक्स + 1.

समाधान।

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए आप = -एक्स 2 + एक्स + 4, आप = -एक्स+1, रेखाओं के निर्देशांक की बराबरी करना: - एक्स 2 + एक्स + 4 = -एक्स+ 1 या एक्स 2 - 2एक्स- 3 = 0. मूल ज्ञात कीजिए एक्स 1 = -1, एक्स 2 = 3 और उनके संगत कोटि आप 1 = 2, आप 2 = -2.

आकृति क्षेत्र सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

परवलय से घिरे क्षेत्र का पता लगाएंआप = एक्स 2 +1 और प्रत्यक्षएक्स + आप = 3.

समाधान।

समीकरणों की प्रणाली को हल करना

प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज ज्ञात कीजिए एक्स 1 = -2 और एक्स 2 = 1.

यह मानते हुए आप 2 = 3 - एक्सतथा आप 1 = एक्स 2 + 1, सूत्र के आधार पर हमें प्राप्त होता है

बर्नौली नींबू के भीतर निहित क्षेत्र की गणना करेंआर 2 = एक 2 क्योंकि 2 φ .

समाधान।

ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में, वक्र के चाप से घिरी आकृति का क्षेत्रफल आर = एफ(φ ) और दो ध्रुवीय त्रिज्या φ 1 = ʅ तथा φ 2 = ʆ , अभिन्न द्वारा व्यक्त किया जाता है

वक्र की समरूपता के कारण, हम पहले वांछित क्षेत्र का एक चौथाई निर्धारित करते हैं

इसलिए, कुल क्षेत्रफल है एस = एक 2 .

एक क्षुद्रग्रह की चाप की लंबाई की गणना करेंएक्स 2/3 + आप 2/3 = एक 2/3 .

समाधान।

हम एस्ट्रोइड के समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं

(एक्स 1/3) 2 + (आप 1/3) 2 = (एक 1/3) 2 .

चलो रखो एक्स 1/3 = एक 1/3 कोस टी, आप 1/3 = एक 1/3 पाप टी.

यहां से हम एस्ट्रोइड के पैरामीट्रिक समीकरण प्राप्त करते हैं

एक्स = एकक्योंकि 3 टी, आप = एकपाप 3 टी, (*)

जहां 0 टी ≤ 2π .

वक्र (*) की समरूपता को देखते हुए, चाप की लंबाई का एक चौथाई ज्ञात करना पर्याप्त है लीपैरामीटर परिवर्तन के अनुरूप टी 0 से . तक π /2.

हम पाते हैं

डीएक्स = -3एकक्योंकि 2 टीपाप टी डीटी, डीवाई = 3एकपाप 2 टीक्योंकि टी डीटी.

यहाँ से हम पाते हैं

परिणामी अभिव्यक्ति को 0 से . की सीमा में एकीकृत करना π /2, हमें मिलता है

यहाँ से ली = 6एक.

आर्किमिडीज के सर्पिल से घिरे क्षेत्र का पता लगाएंआर = अज़ी और दो त्रिज्या वेक्टर जो ध्रुवीय कोणों के अनुरूप हैंφ 1 तथाφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

समाधान।

वक्र से घिरा क्षेत्र आर = एफ(φ ) की गणना सूत्र द्वारा की जाती है, जहां α तथा β - ध्रुवीय कोण के परिवर्तन की सीमा।

इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं

(*)

(*) से यह इस प्रकार है कि ध्रुवीय अक्ष से घिरा क्षेत्र और आर्किमिडीज सर्पिल का पहला मोड़ ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

इसी तरह, हम ध्रुवीय अक्ष से घिरा क्षेत्र और आर्किमिडीज सर्पिल के दूसरे मोड़ को पाते हैं ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

आवश्यक क्षेत्रफल इन क्षेत्रों के अंतर के बराबर है

एक अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करेंबैल परवलयों से घिरी आकृतिआप = एक्स 2 तथाएक्स = आप 2 .

समाधान।

आइए समीकरणों की प्रणाली को हल करें

और पाओ एक्स 1 = 0, एक्स 2 = 1, आप 1 = 0, आप 2 = 1, जहां से वक्रों का प्रतिच्छेदन बिंदु हे(0; 0), बी(ग्यारह)। जैसा कि चित्र में देखा जा सकता है, क्रांति के पिंड का वांछित आयतन अक्ष के चारों ओर घूमने से बनने वाले दो आयतनों के बीच के अंतर के बराबर है बैलवक्रीय समलम्बाकार ओसीबीएतथा ओडीबीए:

अक्ष से घिरे क्षेत्र की गणना करेंबैल और साइनसॉइडआप = पापएक्स खंडों पर: ए); बी) ।

समाधान।

a) खंड पर, फलन sin एक्ससंकेत को संरक्षित करता है, और इसलिए सूत्र द्वारा, मानते हुए आप= पाप एक्स, हम देखतें है

बी) खंड पर, समारोह पाप एक्ससंकेत बदलता है। समस्या के सही समाधान के लिए खंड को दो भागों में विभाजित करना आवश्यक है और [ π , 2π ], जिनमें से प्रत्येक में फ़ंक्शन अपना चिह्न बनाए रखता है।

संकेतों के नियम के अनुसार, खंड पर [ π , 2π ] क्षेत्र को ऋण चिह्न के साथ लिया जाता है।

नतीजतन, वांछित क्षेत्र बराबर है

अंडाकार के घूर्णन से प्राप्त सतह से घिरे शरीर की मात्रा निर्धारित करेंप्रमुख अक्ष के चारों ओरएक .

समाधान।

यह देखते हुए कि दीर्घवृत्त निर्देशांक अक्षों के बारे में सममित है, यह अक्ष के चारों ओर घूमने से बनने वाले आयतन को खोजने के लिए पर्याप्त है बैलक्षेत्र ओएबी, दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल के एक चौथाई के बराबर, और परिणाम को दोगुना कर देता है।

आइए हम क्रांति के पिंड के आयतन को के माध्यम से निरूपित करें वी एक्स; फिर, सूत्र के आधार पर, हमारे पास , जहां 0 और . है एक- अंक की अनुपस्थिति बीतथा ए. दीर्घवृत्त के समीकरण से हम पाते हैं। यहाँ से

इस प्रकार, अभीष्ट आयतन के बराबर है। (जब दीर्घवृत्त लघु अक्ष के चारों ओर घूमता है बी, शरीर का आयतन है )

परवलय से घिरा क्षेत्र ज्ञात कीजिएआप 2 = 2 पिक्सल तथाएक्स 2 = 2 पीयू .

समाधान।

सबसे पहले, हम एकीकरण अंतराल को निर्धारित करने के लिए परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक पाते हैं। मूल समीकरणों को बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं और । इन मानों की बराबरी करने पर, हम प्राप्त करते हैं या एक्स 4 - 8पी 3 एक्स = 0.

एक्स 4 - 8पी 3 एक्स = एक्स(एक्स 3 - 8पी 3) = एक्स(एक्स - 2पी)(एक्स 2 + 2पिक्सल + 4पी 2) = 0.

हम समीकरणों की जड़ें पाते हैं:

इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि बिंदु एपरवलयों का प्रतिच्छेदन पहली तिमाही में होता है, फिर एकीकरण की सीमा एक्स= 0 और एक्स = 2पी.

वांछित क्षेत्र सूत्र द्वारा पाया जाता है

उदाहरण 1 . रेखा द्वारा परिबद्ध आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3, और x = 2

आइए एक आकृति बनाएं (अंजीर देखें।) हम दो बिंदुओं ए (4; 0) और बी (0; 2) के साथ एक सीधी रेखा x + 2y - 4 \u003d 0 बनाते हैं। x के संदर्भ में y को व्यक्त करने पर, हमें y \u003d -0.5x + 2 मिलता है। सूत्र (1) के अनुसार, जहाँ f (x) \u003d -0.5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, हम पाना

एस \u003d \u003d [-0.25 \u003d 11.25 वर्ग। इकाइयों

उदाहरण 2 रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 और y \u003d 0।

समाधान। आइए एक आकृति बनाते हैं।

आइए एक सीधी रेखा x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0) बनाते हैं; एक्स = 0, वाई = 2, बी (0; 2)।

आइए एक सीधी रेखा x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, (5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5) बनाते हैं।

समीकरणों की प्रणाली को हल करके रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं:

एक्स = 2, वाई = 3; एम (2; 3)।

आवश्यक क्षेत्र की गणना करने के लिए, हम AMC त्रिभुज को दो त्रिभुज AMN और NMC में विभाजित करते हैं, क्योंकि जब x A से N में बदलता है, तो क्षेत्र एक सीधी रेखा द्वारा सीमित होता है, और जब x N से C में बदलता है, तो यह एक सीधी रेखा होती है।

त्रिभुज AMN के लिए हमारे पास है: ; y \u003d 0.5x + 2, यानी f (x) \u003d 0.5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

एनएमसी त्रिभुज के लिए हमारे पास है: y = - x + 5, अर्थात f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5।

प्रत्येक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना और परिणाम जोड़ने पर, हम पाते हैं:

वर्ग इकाइयों

वर्ग इकाइयों

9 + 4, 5 = 13.5 वर्ग। इकाइयों जाँच करें: = 0.5AC = 0.5 वर्ग। इकाइयों

उदाहरण 3 रेखाओं से घिरी हुई आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: y = x 2 , वाई = 0, एक्स = 2, एक्स = 3।

इस मामले में, एक परवलय y = x से घिरे एक वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है 2 , सीधी रेखाएँ x \u003d 2 और x \u003d 3 और ऑक्स अक्ष (अंजीर देखें।) सूत्र (1) के अनुसार, हम एक वक्रतापूर्ण समलम्ब का क्षेत्रफल पाते हैं

= = 6kv. इकाइयों

उदाहरण 4 रेखाओं से घिरी हुई आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: y \u003d - x 2 + 4 और वाई = 0

आइए एक आकृति बनाते हैं। वांछित क्षेत्र परवलय y \u003d - x . के बीच संलग्न है 2 + 4 और अक्ष ओह।

x-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। Y \u003d 0 मानते हुए, हम x \u003d पाते हैं क्योंकि यह आंकड़ा ओए अक्ष के बारे में सममित है, हम ओए अक्ष के दाईं ओर स्थित आकृति के क्षेत्र की गणना करते हैं, और परिणाम को दोगुना करते हैं: \u003d + 4x] वर्ग। इकाइयों 2 = 2 वर्ग। इकाइयों

उदाहरण 5 रेखाओं से घिरी हुई आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: y 2 = एक्स, वाईएक्स = 1, एक्स = 4

यहाँ परवलय y की ऊपरी शाखा से घिरे वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है 2 \u003d x, ऑक्स अक्ष और सीधी रेखाएँ x \u003d 1x \u003d 4 (चित्र देखें।)

सूत्र (1) के अनुसार, जहाँ f(x) = a = 1 और b = 4, हमारे पास = (= sq. इकाइयाँ) हैं

उदाहरण 6 . रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: y = sinx, y = 0, x = 0, x= ।

वांछित क्षेत्र एक अर्ध-लहर साइनसॉइड और ऑक्स अक्ष (अंजीर देखें) द्वारा सीमित है।

हमारे पास है - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 वर्ग मीटर। इकाइयों

उदाहरण 7 रेखाओं से बंधी आकृति के क्षेत्र की गणना करें: y \u003d - 6x, y \u003d 0 और x \u003d 4.

आकृति ऑक्स अक्ष के नीचे स्थित है (चित्र देखें)।

अतः इसका क्षेत्रफल सूत्र (3) द्वारा ज्ञात किया जाता है

= =

उदाहरण 8 रेखाओं से बंधी आकृति के क्षेत्र की गणना करें: y \u003d और x \u003d 2. हम बिंदुओं द्वारा वक्र y \u003d का निर्माण करेंगे (आंकड़ा देखें)। इस प्रकार, आकृति का क्षेत्रफल सूत्र (4) द्वारा पाया जाता है

उदाहरण 9 .

एक्स 2 + y 2 = आर 2 .

यहां आपको सर्कल x . से घिरे क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता है 2 + y 2 = आर 2 , यानी त्रिज्या r के एक वृत्त का क्षेत्रफल मूल बिंदु पर केंद्रित है। आइए 0 . से एकीकरण की सीमा लेकर इस क्षेत्र का चौथा भाग खोजें

दोर; अपने पास: 1 = = [

फलस्वरूप, 1 =

उदाहरण 10 रेखाओं से बंधी आकृति के क्षेत्र की गणना करें: y \u003d x 2 और वाई = 2x

यह आंकड़ा परवलय y \u003d x . द्वारा सीमित है 2 और सीधी रेखा y \u003d 2x (अंजीर देखें।) दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए, हम समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं: x 2 - 2x = 0 x = 0 और x = 2

क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र (5) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

= }