बिंदु जो एक ही रेखा पर नहीं होते हैं? ए) प्रतिच्छेदन; बी) कुछ भी नहीं कहा जा सकता है; ग) प्रतिच्छेद न करें; घ) मैच; ई) तीन सामान्य बिंदु हैं।
2. निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है? क) यदि एक वृत्त के दो बिंदु एक समतल में स्थित हैं, तो पूरा वृत्त इसी तल में स्थित है; ख) एक त्रिभुज के तल में पड़ी एक सीधी रेखा उसकी दो भुजाओं को प्रतिच्छेद करती है; ग) किन्हीं दो तलों में केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है; डी) एक विमान दो बिंदुओं से गुजरता है, और इसके अलावा, केवल एक; e) एक रेखा किसी दिए गए त्रिभुज के तल में होती है यदि वह त्रिभुज की भुजाओं वाली दो रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है।
3. क्या दो अलग-अलग तलों में केवल दो उभयनिष्ठ बिंदु हो सकते हैं? कभी न; बी) मैं कर सकता हूं, लेकिन अतिरिक्त शर्तों के तहत; ग) हमेशा है; घ) प्रश्न का उत्तर नहीं दिया जा सकता है; डी) एक और जवाब।
4. बिंदु K, L, M एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, बिंदु N उस पर नहीं है। प्रत्येक तीन बिंदुओं के माध्यम से एक विमान खींचा जाता है। इसका परिणाम कितने अलग-अलग विमानों में हुआ? ए) 1; बी) 2; तीन बजे; घ) 4; ई) असीम रूप से कई।
5. सही कथन चुनें। ए) एक विमान किन्हीं तीन बिंदुओं से गुजरता है, और इसके अलावा, केवल एक; बी) यदि एक रेखा के दो बिंदु एक विमान में स्थित हैं, तो रेखा के सभी बिंदु इस विमान में स्थित हैं; ग) यदि दो तलों में एक उभयनिष्ठ बिंदु है, तो वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं; डी) एक विमान एक रेखा और उस पर स्थित एक बिंदु से गुजरता है, और इसके अलावा, केवल एक; e) दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से होकर एक तल नहीं खींचा जा सकता।
6. PBM और MAB तलों की उभयनिष्ठ रेखा का नाम लिखिए। ए) पीएम बी) एबी; ग) पंजाब; घ) बीएम; डी) निर्धारित नहीं किया जा सकता है।
7. रेखाएँ a और b बिंदु M पर प्रतिच्छेद करती हैं। रेखा c जो बिंदु M से नहीं गुजरती है, रेखा a और b को काटती है। रेखाओं a, b और c की पारस्परिक स्थिति के बारे में क्या कहा जा सकता है? क) सभी रेखाएं विभिन्न तलों में स्थित हैं; बी) रेखाएं ए और बी एक ही विमान में स्थित हैं; ग) सभी रेखाएँ एक ही तल में होती हैं; घ) कुछ नहीं कहा जा सकता ई) लाइन सी लाइनों में से एक के साथ मेल खाता है: या तो ए के साथ या बी के साथ।
8. रेखाएँ a और b बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। A € a, B € b, Y € AB। सही कथन चुनें। a) बिंदु O और Y एक ही तल में नहीं हैं; बी) रेखाएं ओए और ए समानांतर हैं; ग) रेखाएँ a, b और बिंदु Y एक ही तल में स्थित हैं; डी) बिंदु ओ और वाई संयोग करते हैं; e) बिंदु Y और A संपाती हैं।
विकल्प 2।1. दो समतलों की सापेक्ष स्थिति के बारे में क्या कहा जा सकता है जिनमें तीन उभयनिष्ठ बिंदु हैं जो एक सीधी रेखा पर नहीं हैं?
ए) प्रतिच्छेदन; बी) कुछ भी नहीं कहा जा सकता है; ग) प्रतिच्छेद न करें; घ) मैच; ई) तीन सामान्य बिंदु हैं।
2. निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
क) यदि एक वृत्त के दो बिंदु एक समतल में स्थित हैं, तो पूरा वृत्त इसी तल में स्थित है; ख) एक त्रिभुज के तल में पड़ी एक सीधी रेखा उसकी दो भुजाओं को प्रतिच्छेद करती है; ग) किन्हीं दो तलों में केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है; डी) एक विमान दो बिंदुओं से गुजरता है, और इसके अलावा, केवल एक; e) एक रेखा किसी दिए गए त्रिभुज के तल में होती है यदि वह त्रिभुज की भुजाओं वाली दो रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है।
3. क्या दो अलग-अलग तलों में केवल दो उभयनिष्ठ बिंदु हो सकते हैं?
कभी न; बी) मैं कर सकता हूं, लेकिन अतिरिक्त शर्तों के तहत; ग) हमेशा है; घ) प्रश्न का उत्तर नहीं दिया जा सकता है; डी) एक और जवाब।
4. बिंदु K, L, M एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, बिंदु N उस पर नहीं है। प्रत्येक तीन बिंदुओं के माध्यम से एक विमान खींचा जाता है। इसका परिणाम कितने अलग-अलग विमानों में हुआ?
ए) 1; बी) 2; तीन बजे; घ) 4; ई) असीम रूप से कई।
5. सही कथन चुनें।
ए) एक विमान किन्हीं तीन बिंदुओं से गुजरता है, और इसके अलावा, केवल एक; बी) यदि एक रेखा के दो बिंदु एक विमान में स्थित हैं, तो रेखा के सभी बिंदु इस विमान में स्थित हैं; ग) यदि दो तलों में एक उभयनिष्ठ बिंदु है, तो वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं; डी) एक विमान एक रेखा और उस पर स्थित एक बिंदु से गुजरता है, और इसके अलावा, केवल एक; e) दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से होकर एक तल नहीं खींचा जा सकता।
6. PBM और MAB तलों की उभयनिष्ठ रेखा का नाम लिखिए।
ए) पीएम बी) एबी; ग) पंजाब; घ) बीएम; डी) निर्धारित नहीं किया जा सकता है।
7. सूचीबद्ध विमानों में से कौन सी सीधी रेखा RM प्रतिच्छेद करती है (चित्र 1)?
क) डीडी1सी; बी) डी1पीएम; ग) बी1पीएम; घ) एबीसी; ई) सीडीए।
बी1 सी1
8. दो तल एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं c. बिंदु M केवल एक तल में स्थित है। बिंदु M और रेखा c की सापेक्ष स्थिति के बारे में क्या कहा जा सकता है?
क) कोई निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता है; बी) रेखा सी बिंदु एम के माध्यम से गुजरती है; ग) बिंदु M रेखा c पर स्थित है; d) रेखा c बिंदु M से नहीं गुजरती है; डी) एक और जवाब।
9. रेखाएँ a और b बिंदु M पर प्रतिच्छेद करती हैं। बिंदु M से न जाने वाली रेखा c, रेखाओं a और b को काटती है। रेखाओं a, b और c की पारस्परिक स्थिति के बारे में क्या कहा जा सकता है?
क) सभी रेखाएं विभिन्न तलों में स्थित हैं; बी) रेखाएं ए और बी एक ही विमान में स्थित हैं; ग) सभी रेखाएँ एक ही तल में होती हैं; घ) कुछ नहीं कहा जा सकता ई) लाइन सी लाइनों में से एक के साथ मेल खाता है: या तो ए के साथ या बी के साथ।
10. रेखाएँ a और b बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। A € a, B € b, Y € AB। सही कथन चुनें।
a) बिंदु O और Y एक ही तल में नहीं हैं; बी) रेखाएं ओए और ए समानांतर हैं; ग) रेखाएँ a, b और बिंदु Y एक ही तल में स्थित हैं; डी) बिंदु ओ और वाई संयोग करते हैं; e) बिंदु Y और A संपाती हैं।
किरणें AB और AC इसके किनारे पर लंबवत हैं? 2. क्या यह सत्य है कि रैखिक कोण BAC द्विफलक कोणयदि किरणें AB और AC विकर्ण कोण के फलकों पर स्थित हों? 3. क्या यह सच है कि यदि किरणें AB और AC इसके किनारे पर लंबवत हैं, और बिंदु E और C कोण के फलकों पर स्थित हैं, तो कोण BAC एक विकर्ण कोण का रैखिक कोण है? 4. एक द्विफलकीय कोण का रैखिक कोण 80 डिग्री होता है। क्या कोण के एक फलक में एक रेखा है जो दूसरे फलक के लंबवत है? 5. कोण एबीसी - एक अल्फा किनारे के साथ एक डायहेड्रल कोण का एक रैखिक कोण। क्या रेखा अल्फा समतल ABC पर लंबवत है? क्या यह सच है कि किसी दिए गए तल पर लंबवत और दी गई रेखा को प्रतिच्छेद करने वाली सभी रेखाएं एक ही तल में होती हैं?
स्टीरियोमेट्री के स्वयंसिद्ध।
A1. किन्हीं तीन बिंदुओं से होकर जो किसी दी गई रेखा पर नहीं हैं, एक तल गुजरता है, और इसके अलावा, केवल एक;
क्रमांक 1एक रेखा और एक बिंदु के माध्यम से जो उस पर नहीं है, एक विमान गुजरता है, और इसके अलावा, केवल एक;
क्रमांक 2दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से होकर एक समतल गुजरता है, और इसके अलावा, केवल एक;
क्रमांक 3.एक विमान दो समानांतर रेखाओं से होकर गुजरता है, और इसके अलावा, केवल एक।
A2.यदि एक रेखा के दो बिंदु एक समतल में स्थित हैं, तो रेखा के सभी बिंदु इस तल में स्थित हैं;
A3.यदि दो समतलों का एक उभयनिष्ठ बिंदु है, तो उनके पास एक उभयनिष्ठ सीधी रेखा होती है जिस पर इन तलों के सभी उभयनिष्ठ बिंदु स्थित होते हैं।
स्टीरियोमेट्री के मुख्य आंकड़े- अंक (ए, बी, सी ...), सीधा (ए, बी, सी…), विमान ( …) , पॉलीहेड्रा और क्रांति के निकाय।
नीचे काटने वाला विमानआयतनात्मक आकृति हम उस तल को समझेंगे जिसके दोनों ओर इस आकृति के बिंदु हैं।
प्रति दूरी की मापएक बिंदु, एक रेखा और एक तल के बीच हम उनके उभयनिष्ठ लंबवत की लंबाई लेंगे।
2. अंतरिक्ष में रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था।
अंतरिक्ष में, दो सीधी रेखाएं कर सकती हैं समानांतर, प्रतिच्छेद या प्रतिच्छेद होना.
| 1 क | डीईएफ़। समानांतरअंतरिक्ष में सीधी रेखाएँ सीधी रेखाएँ होती हैं जो एक ही तल में होती हैं और प्रतिच्छेद नहीं करती हैं। के मुताबिक 3. एक तल दो समानांतर रेखाओं से होकर गुजरता है, और इसके अलावा, केवल एक। | |
| 1बी | टी 1 (परिवर्तनशीलता पर)।एक तिहाई के समानांतर दो रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर हैं। | |
| 2ए | शब्द 2 के अनुसार। दो के बाद अन्तर्विभाजकसीधी रेखाएँ एक समतल से होकर गुजरती हैं, और इसके अलावा, केवल एक | |
| 3 ए | डीईएफ़। दो पंक्तियों को कहा जाता है अंतर प्रजननअगर वे एक ही विमान में झूठ नहीं बोलते हैं। | |
| टी 2 (प्रतिच्छेदन रेखाओं का संकेत)।यदि दो में से एक रेखा एक निश्चित तल में स्थित है, और दूसरी रेखा इस तल को उस बिंदु पर काटती है जो पहली रेखा से संबंधित नहीं है, तो ऐसी रेखाएँ तिरछी होती हैं। | ||
| 3 बी | डीईएफ़। तिरछी रेखाओं के बीच का कोणउनके समानांतर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के बीच का कोण है। | |
| 3 बी | डीईएफ़। दो प्रतिच्छेदी रेखाओं का एक उभयनिष्ठ लंबवत एक खंड है जो इन रेखाओं पर समाप्त होता है और उन पर लंबवत होता है (तिरछी रेखाओं के बीच की दूरी)। |
- अंतरिक्ष में रेखाओं और विमानों की पारस्परिक व्यवस्था।
अंतरिक्ष में, एक सीधी रेखा और एक समतल हो सकता है समानांतर, प्रतिच्छेदया सीधे पूरी तरह से एक विमान में झूठ बोल सकते हैं.
| 1 क | डीईएफ़। सीधाबुलाया समानांतर विमान, यदि यह इस तल में पड़ी किसी रेखा के समानांतर है। | |
| 1बी | टी 3 (एक सीधी रेखा और एक तल की समानता का संकेत). एक रेखा जो समतल में नहीं पड़ी है वह एक समतल के समानांतर होती है यदि वह उस तल में पड़ी किसी रेखा के समानांतर होती है। | |
| 2ए | डीईएफ़। प्रत्यक्ष कहा जाता है विमान के लंबवत , यदि यह इस तल में पड़ी किसी प्रतिच्छेदी रेखा के लंबवत है। | |
| 2 बी | टी 4 (एक सीधी रेखा और एक तल के लंबवतता का संकेत)यदि एक समतल को प्रतिच्छेद करने वाली रेखा इस तल में पड़ी किन्हीं दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लंबवत हो, तो वह इस तल में पड़ी किसी तीसरी रेखा के लंबवत भी होती है। | |
| 2 बी | टी 5 (तीसरे के लंबवत लगभग दो समानांतर रेखाएँ)।यदि दो समानांतर रेखाओं में से एक समतल पर लंबवत है, तो दूसरी रेखा भी उस तल पर लंबवत है। | |
| 2जी | डीईएफ़। एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण किसी दी गई रेखा और समतल पर उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण होता है। | |
| 2डी | डीईएफ़। कोई अन्य सीधी रेखा, जो लंबवत और समतल को प्रतिच्छेद करने से भिन्न होती है, कहलाती है परोक्षइस विमान के लिए (अंजीर। नीचे देखें)। डीईएफ़। एक विमान पर प्रोजेक्शन तिरछालंब और तिरछे के आधार को जोड़ने वाला खंड कहलाता है। टी 6 (लंबवत और तिरछी लंबाई के बारे में)। 1) तल पर खींचा गया लम्ब इस तल के झुकाव वाले से छोटा होता है; 2) समान तिरछा समान अनुमानों के अनुरूप है; 3) दो झुकाव वाले लोगों में से, जिसका प्रक्षेपण बड़ा है, बड़ा है। | |
| 2ई | टी 7 (लगभग तीन लंबवत)।एक समतल पर एक झुकाव वाले प्रक्षेपण के आधार के माध्यम से खींची गई एक सीधी रेखा भी सबसे अधिक झुकी हुई रेखा के लंबवत होती है। टी 8 (उल्टा)।एक झुकाव वाले विमान के आधार के माध्यम से एक विमान पर खींची गई एक सीधी रेखा और उस पर लंबवत भी इस विमान पर झुकाव वाले विमान के प्रक्षेपण के लिए लंबवत है। | |
| 3 ए | अभिगृहीत 2 के अनुसार यदि एक सीधी रेखा के दो बिंदु एक समतल में स्थित हों, तो एक सीधी रेखा के सभी बिंदु इस तल में स्थित होते हैं। |
- अंतरिक्ष में विमानों की पारस्परिक व्यवस्था।
अंतरिक्ष में, विमान हो सकते हैं समानांतरया पार।
| 1 क | डीईएफ़। दो विमानबुलाया समानांतरयदि वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। | |
| टी 9 (समानांतर विमानों का संकेत)।यदि एक तल की दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ क्रमशः दूसरे तल की दो रेखाओं के समानांतर हों, तो ये तल समानांतर होते हैं। | ||
| 1बी | T 10 यदि दो समांतर तलों को एक तीसरे तल द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है, तो प्रत्यक्ष प्रतिच्छेदन समांतर होते हैं (समानांतर विमानों की संपत्ति 1)। | |
| 1बी | टी 11 समानांतर विमानों के बीच संलग्न समानांतर रेखाओं के खंड बराबर हैं (समानांतर विमानों की संपत्ति 2)। | |
| 2ए | अभिगृहीत द्वारा 3. यदि दो तलों में एक उभयनिष्ठ बिंदु है, तो उनके पास एक उभयनिष्ठ रेखा होती है जिस पर इन तलों के सभी उभयनिष्ठ बिंदु स्थित होते हैं ( विमान एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं). | |
| 2 बी | टी 12 (विमानों की लंबवतता का संकेत)।यदि एक तल किसी अन्य तल के लंबवत रेखा से होकर गुजरता है, तो ये तल लंबवत होते हैं। | |
| 2 बी | डीईएफ़। द्विफलक कोणएक सीधी रेखा से निकलने वाले दो अर्ध-तलों से बनी आकृति कहलाती है। एक विकर्ण कोण के किनारे पर लंबवत एक विमान दो किरणों के साथ अपने चेहरे को काटता है। इन किरणों से बनने वाले कोण को कहते हैं एक डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण।प्रति डायहेड्रल कोण मापसंगत रैखिक कोण का माप लिया जाता है। |
I5 जो भी तीन बिंदु एक ही रेखा पर स्थित नहीं हैं, इन बिंदुओं से गुजरने वाला अधिकतम एक विमान है।
I6 यदि एक रेखा के दो बिंदु A और B तल a में स्थित हैं, तो रेखा का प्रत्येक बिंदु समतल a में स्थित है। (इस स्थिति में हम कहेंगे कि रेखा a तल a में स्थित है या तल a, रेखा a से होकर गुजरता है।
I7 यदि दो तलों a और b का उभयनिष्ठ बिंदु A है, तो उनके पास कम से कम एक और उभयनिष्ठ बिंदु B है।
I8 कम से कम चार बिंदु ऐसे हैं जो एक ही तल में नहीं होते हैं।
पहले से ही इन 8 स्वयंसिद्धों से, प्राथमिक ज्यामिति के कई प्रमेय निकाले जा सकते हैं, जो स्पष्ट रूप से स्पष्ट हैं और इसलिए, स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में सिद्ध नहीं होते हैं और कभी-कभी, तार्किक कारणों से, किसी विशेष स्कूल पाठ्यक्रम के स्वयंसिद्धों में शामिल होते हैं।
उदाहरण के लिए:
1. दो रेखाओं में अधिकतम एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है।
2. यदि दो तलों में एक उभयनिष्ठ बिंदु है, तो उनके पास एक उभयनिष्ठ रेखा होती है जिस पर इन दोनों तलों के सभी उभयनिष्ठ बिंदु होते हैं
सबूत: (दिखावे के लिए):
I 7 $ B द्वारा, जो कि a और b से भी संबंधित है, क्योंकि ए, बी "ए, फिर आई 6 एबी" बी के अनुसार। अतः रेखा AB दो तलों के लिए उभयनिष्ठ है।
3. एक रेखा और उस पर न पड़े एक बिंदु के साथ-साथ दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से होकर एक और केवल एक तल गुजरता है।
4. प्रत्येक तल पर तीन बिंदु होते हैं जो एक सीधी रेखा पर नहीं होते हैं।
टिप्पणी: इन अभिगृहीतों से आप कुछ प्रमेयों को सिद्ध कर सकते हैं, और उनमें से अधिकांश इतने सरल हैं। विशेष रूप से, इन स्वयंसिद्धों से यह सिद्ध नहीं किया जा सकता है कि समुच्चय ज्यामितीय तत्वअंतहीन।
समूह II क्रम के अभिगृहीत।
यदि एक सीधी रेखा पर तीन बिंदु दिए गए हैं, तो उनमें से एक "बीच में स्थित होना" के संबंध में अन्य दो में स्थित हो सकता है, जो निम्नलिखित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है:
II1 यदि B, A और C के बीच स्थित है, तो A, B, C एक ही रेखा के अलग-अलग बिंदु हैं, और B, C और A के बीच स्थित है।
II2 जो भी दो बिंदु A और B हैं, रेखा AB पर कम से कम एक बिंदु C ऐसा है कि B, A और C के बीच स्थित है।
II3 एक रेखा के किन्हीं तीन बिंदुओं में से, अधिकतम एक बिंदु दो अन्य के बीच स्थित होता है।
हिल्बर्ट के अनुसार, बिंदु ए और बी की एक जोड़ी को एक खंड एबी (बीए) पर समझा जाता है। बिंदु ए और बी को खंड के छोर कहा जाता है, और बिंदु ए और बी के बीच स्थित किसी भी बिंदु को खंड का आंतरिक बिंदु कहा जाता है। एबी (बीए)।
टिप्पणी:लेकिन II 1-II 3 से अभी तक यह नहीं पता चलता है कि प्रत्येक खंड में आंतरिक बिंदु हैं, लेकिन II 2, z से कि खंड में बाहरी बिंदु हैं।
II4 (पास्क का अभिगृहीत) मान लीजिए कि A, B, C तीन बिंदु हैं जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं हैं, और A को समतल ABC में एक सीधी रेखा होने दें जो इनमें से किसी से नहीं गुजरती है अंक ए, बी, सी. फिर यदि रेखा a खंड AB के बिंदु से होकर गुजरती है, तो यह खंड AC या BC के बिंदु से भी गुजरती है।
क्रमांक 1: बिंदु A और C जो भी हों, A और C के बीच स्थित रेखा AC पर कम से कम एक बिंदु D है।
डॉक्टर-इन: I 3 $ यानी लाइन AC . पर नहीं पड़ा है
क्रमांक 2यदि C खंड AD और B, A और C के बीच स्थित है, तो B, A और D के बीच और C, B और D के बीच स्थित है।अब हम दो कथनों को सिद्ध कर सकते हैं
DC3अभिकथन II 4 भी मानता है यदि बिंदु A, B और C एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं।
और सबसे दिलचस्प।
क्रमांक 4 . एक रेखा के किन्हीं दो बिंदुओं के बीच उस पर अनंत संख्या में अन्य बिंदु (आत्मनिर्भर) होते हैं।
हालाँकि, यह स्थापित नहीं किया जा सकता है कि रेखा के बिंदुओं का सेट बेशुमार है। .
समूह I और II के स्वयंसिद्ध हमें इस तरह की महत्वपूर्ण अवधारणाओं को पेश करने की अनुमति देते हैं: अर्ध-तल, किरण, अर्ध-अंतरिक्ष और कोण. आइए पहले प्रमेय को सिद्ध करें।
Th1. समतल a में पड़ी रेखा a इस तल के उन बिंदुओं के समुच्चय को विभाजित करती है जो रेखा a पर स्थित नहीं हैं, दो गैर-रिक्त उपसमुच्चय में इस प्रकार विभाजित होते हैं कि यदि बिंदु A और B एक ही उपसमुच्चय से संबंधित हैं, तो खंड AB का कोई उभयनिष्ठ उपसमुच्चय नहीं है। लाइन ए के साथ अंक; यदि ये बिंदु अलग-अलग उपसमुच्चय से संबंधित हैं, तो खंड AB में रेखा a के साथ एक उभयनिष्ठ बिंदु है।
विचार: एक संबंध पेश किया जाता है, अर्थात् टी। ए और बी एकके संबंध में हैं यदि खंड AB में रेखा के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है एकया ये बिंदु मेल खाते हैं। फिर के संबंध में तुल्यता वर्गों के सेट पर विचार किया गया। यह साबित होता है कि सरल तर्कों का उपयोग करके उनमें से केवल दो ही हैं।
ओडीए1पिछले प्रमेय द्वारा परिभाषित बिंदुओं के प्रत्येक उपसमुच्चय को सीमा a के साथ एक अर्ध-तल कहा जाता है।
इसी तरह, हम एक किरण और अर्ध-अंतरिक्ष की अवधारणाओं का परिचय दे सकते हैं।
रे- एच, और सीधी रेखा है।
ODA2कोण एक ही बिंदु O से निकलने वाली h और k किरणों का एक युग्म है और एक ही सीधी रेखा पर नहीं है। इसलिए O को कोण का शीर्ष कहा जाता है, और किरणें h और k को कोण की भुजाएँ कहा जाता है। सामान्य तरीके से निरूपित: Ðhk।
बिंदु M को कोण hk का एक आंतरिक बिंदु कहा जाता है यदि बिंदु M और किरण k सीमा के साथ एक ही अर्ध-तल में स्थित हैं और बिंदु M और किरण k सीमा के साथ एक ही अर्ध-तल में स्थित हैं। सभी आंतरिक बिंदुओं के समुच्चय को कोण का अभ्यंतर कहते हैं.
बाहरी क्षेत्रकोण - एक अनंत समुच्चय, क्योंकि कोण के विभिन्न पक्षों पर समाप्त होने वाले खंड के सभी बिंदु आंतरिक हैं। पद्धतिगत कारणों से, निम्नलिखित गुण अक्सर स्वयंसिद्धों में शामिल होते हैं।
संपत्ति: यदि कोई किरण किसी कोण के शीर्ष से निकलती है और उस कोण के कम से कम एक आंतरिक बिंदु से गुजरती है, तो यह कोण के विभिन्न किनारों पर समाप्त होने वाले किसी भी खंड को काटती है। (खुद।)
समूह III। सर्वांगसमता के स्वयंसिद्ध (समानता)
खंडों और कोणों के सेट पर, एक सर्वांगसमता या समानता संबंध पेश किया जाता है ("=" द्वारा निरूपित), जो स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है:
III 1 यदि एक खंड AB और बिंदु A / से निकलने वाली किरण दी जाती है, तो $ t.B / इस किरण से संबंधित है, ताकि AB=A / B / हो।
III 2 यदि ए / बी / = एबी और ए // बी // = एबी, तो ए / बी / = ए // बी //।
III 3 चलो А-В-С, А / -В / -С / , АВ=А / / और ВС=В / / , फिर AC=А / /
ओडीए3यदि O / एक बिंदु है, h / इस बिंदु से निकलने वाली किरण है, और l / सीमा के साथ एक अर्ध-तल है, तो वस्तुओं के त्रिक O /, h / और l / को ध्वज (O /, h) कहा जाता है। /, एल /)।
III 4 मान लीजिए hk और एक झंडा (O / ,h / ,l /) दिया जाए। फिर अर्ध-तल l / में बिंदु O / से निकलने वाली एक अद्वितीय किरण k / इस प्रकार है कि hk = Ðh / k / ।
III 5 मान लीजिए कि A, B और C तीन बिंदु हैं जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं हैं। यदि एक ही समय में AB=A / B / , AC=A / C / , ÐB / A / C / = BAC, तो RABC = ÐA / B / C /।
1. बिंदु बी / बी III 1 इस बीम पर एकमात्र है (स्वयं।)
2. खण्डों की सर्वांगसमता का सम्बन्ध खण्डों के समुच्चय पर एक तुल्यता सम्बन्ध है।
3. एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधारों पर कोण बराबर होते हैं। (III 5 के अनुसार)।
4. त्रिभुजों की समता के चिह्न।
5. कोण सर्वांगसमता संबंध कोणों के समुच्चय पर एक तुल्यता संबंध है। (प्रतिवेदन)
6. किसी त्रिभुज का एक बहिष्कोण उस त्रिभुज के प्रत्येक कोण से बड़ा होता है जो उसके निकट नहीं होता है।
7. प्रत्येक त्रिभुज में बड़ी भुजा के सम्मुख एक बड़ा कोण होता है।
8. किसी भी खंड में एक और केवल एक मध्यबिंदु होता है
9. किसी भी कोण में एक और केवल एक समद्विभाजक होता है
आप निम्नलिखित अवधारणाओं का परिचय दे सकते हैं:
ओडीए4इसके आसन्न कोण के बराबर कोण को समकोण कहा जाता है।.
लंबवत कोण, लंबवत और तिरछा, आदि को परिभाषित कर सकते हैं।
^ की विशिष्टता साबित करना संभव है। आप अवधारणाओं का परिचय दे सकते हैं > तथा< для отрезков и углов:
ओडीए5यदि खंड AB और A / B / और $ t.C दिए गए हैं, ताकि A / -C-B / और A / C \u003d AB, फिर A / B / > AB।
ओडीए6यदि दो कोण Ðhk और Ðh / k / दिए गए हैं, और यदि hk और उसके शीर्ष के अभ्यंतर से होकर एक किरण l खींची जा सकती है जैसे कि Ðh / k / = Ðhl, तो Ðhk > h / k / ।
और सबसे दिलचस्प बात यह है कि समूह I-III के स्वयंसिद्धों की मदद से आंदोलन (ओवरले) की अवधारणा को पेश करना संभव है।
यह इस तरह किया जाता है:
मान लीजिए कि इन समुच्चयों के बिंदुओं के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित होता है। समुच्चय p के बिंदुओं M और N का प्रत्येक युग्म खंड MN को निर्धारित करता है। मान लीजिए / और N / समुच्चय p के बिंदु हैं / अंक N के अनुरूप हैं। हम खंड एम / एन / खंड एमएन के अनुरूप कॉल करने के लिए सहमत होंगे।
ओडीए7यदि $ p और p / के बीच पत्राचार ऐसा है कि संबंधित खंड हमेशा परस्पर सर्वांगसम हो जाते हैं, तो सेट p और p / सर्वांगसम कहलाते हैं . यह भी कहा जाता है कि प्रत्येक समुच्चय p और p / प्राप्त होता है गतिदूसरे से या इनमें से एक सेट को दूसरे पर आरोपित किया जा सकता है। समुच्चय p और p / के संगत बिन्दुओं को अध्यारोपित कहा जाता है।
ऐप1: एक रेखा पर स्थित बिंदु, चलते समय, किसी रेखा पर पड़े बिंदुओं में भी गुजरते हैं।
यूटीवी2 समुच्चय के किसी बिंदु को दो अन्य बिंदुओं से जोड़ने वाले दो खंडों के बीच का कोण सर्वांगसम सेट के संगत खंडों के बीच के कोण के सर्वांगसम होता है।
आप रोटेशन, शिफ्ट, आंदोलनों की संरचना आदि की अवधारणा का परिचय दे सकते हैं।
समूह IV। निरंतरता के सिद्धांत तथा।
IV 1 (आर्किमिडीज का स्वयंसिद्ध)। मान लीजिए AB और CD कुछ खण्ड हैं। फिर रेखा AB पर 1 , А 2 , …, n बिंदुओं का एक परिमित समुच्चय इस प्रकार है कि निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:
1. ए-ए 1-ए 2, ए 1-ए 2-ए 3, ..., ए एन -2 -ए एन -1 -ए एन
2. एए 1 = ए 1 ए 2 = … = ए एन -1 ए एन = सीडी
3. ए-बी-अन
IV2 (कैंटर का अभिगृहीत) मान लीजिए कि 1В1, А2В2,… खंडों का एक अनंत क्रम एक मनमाना रेखा a पर दिया गया है, जिसमें से प्रत्येक बाद वाला पिछले एक के अंदर स्थित है और, इसके अलावा, किसी भी खंड सीडी के लिए है प्राकृतिक संख्या n ऐसा है कि AnBn< СD. Тогда на прямой а существует т.М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.
