दोलन सर्किट में उत्तेजना के लिए, संधारित्र को प्रारंभिक रूप से चार्ज किया जाता है, इसकी प्लेटों को एक चार्ज देता है ±क्यू. फिर शुरुआती समय में टी = 0 (चित्र 19, एक)संधारित्र प्लेटों के बीच एक विद्युत क्षेत्र दिखाई देगा। यदि आप संधारित्र को प्रारंभ करनेवाला को बंद कर देते हैं, तो संधारित्र निर्वहन करना शुरू कर देगा, और समय के साथ बढ़ने वाली धारा परिपथ में प्रवाहित होगी मैं. जब संधारित्र पूरी तरह से डिस्चार्ज हो जाता है, तो ऊर्जा विद्युत क्षेत्रसंधारित्र पूरी तरह से ऊर्जा में परिवर्तित हो जाएगा चुंबकीय क्षेत्रकॉइल (चित्र। 19, बी) इस क्षण से प्रारंभ होकर परिपथ में धारा कम हो जाएगी, और फलस्वरूप कुण्डली का चुंबकीय क्षेत्र कमजोर पड़ने लगेगा, फिर फैराडे के नियम के अनुसार उसमें एक धारा प्रेरित होती है, जो लेन्ज नियम के अनुसार प्रवाहित होती है। उसी दिशा में जैसे कैपेसिटर डिस्चार्ज करंट। संधारित्र रिचार्ज करना शुरू कर देगा, एक विद्युत क्षेत्र दिखाई देगा, जो वर्तमान को कमजोर करने के लिए प्रवृत्त होगा, जो अंत में, शून्य हो जाएगा, और संधारित्र प्लेटों पर चार्ज अधिकतम (छवि 19) तक पहुंच जाएगा। में) इसके अलावा, वही प्रक्रियाएं विपरीत दिशा में आगे बढ़ना शुरू हो जाएंगी (चित्र 19, जी), और समय के अनुसार प्रणाली टी = टी (टी- दोलन अवधि) अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाएगी (चित्र 19, एक) उसके बाद, कैपेसिटर को डिस्चार्ज करने और चार्ज करने के विचार चक्र की पुनरावृत्ति शुरू हो जाएगी, यानी चार्ज वैल्यू के आवधिक अनडम्प्ड दोलन शुरू हो जाएंगे। क्यूसंधारित्र प्लेटों पर, वोल्टेज यू सीसंधारित्र और धारा पर मैंप्रारंभ करनेवाला के माध्यम से बह रहा है। फैराडे के नियम के अनुसार, वोल्टेज यू सीसंधारित्र पर एक आदर्श सर्किट के प्रारंभ करनेवाला में वर्तमान ताकत के परिवर्तन की दर से निर्धारित होता है:

इस तथ्य के आधार पर कि यू सी \u003d क्यू / सी, एक मैं = डीक्यू/डीटी,हम पाते हैं मुक्त अप्रकाशित का अंतर समीकरण हार्मोनिक कंपन चार्ज परिमाण क्यूसंधारित्र प्लेटों पर:

या .

इस विभेदक समीकरण का हल फलन है क्यू(टी), वह है मुक्त अप्रकाशित हार्मोनिक दोलनों का समीकरणचार्ज परिमाण क्यूसंधारित्र प्लेटों पर:

कहाँ पे क्यू(टीटी;

क्यू 0 संधारित्र प्लेटों पर आवेश दोलनों का आयाम है;

- परिपत्र (या चक्रीय) दोलन आवृत्ति ();

2 /टी(टीदोलन काल है, –थॉमसन का सूत्र);

समय के समय दोलनों का चरण है टी;

- दोलनों का प्रारंभिक चरण, अर्थात् उस समय दोलनों का चरण टी=0.

मुक्त नम हार्मोनिक दोलनों का समीकरण।एक वास्तविक दोलन सर्किट में, यह ध्यान में रखा जाता है कि, कुंडल के अलावा, अधिष्ठापन लीसंधारित्र से, सर्किट में एक प्रतिरोध के साथ एक रोकनेवाला भी होता है आर, जो शून्य से भिन्न है, जो एक वास्तविक दोलक परिपथ में दोलनों के अवमंदन का कारण है। मुक्त नम दोलन- दोलन, जिसका आयाम, वास्तविक दोलन प्रणाली द्वारा ऊर्जा हानि के कारण, समय के साथ घटता जाता है।

वास्तविक सर्किट के लिए ऑसिलेटरी सर्किटएक समाई के साथ एक श्रृंखला से जुड़े संधारित्र पर वोल्टेज सेऔर एक रोकनेवाला आरजोड़ें। फिर, एक वास्तविक दोलन सर्किट के सर्किट के लिए फैराडे कानून को ध्यान में रखते हुए, हम लिख सकते हैं:

,

कॉइल में स्व-प्रेरण का इलेक्ट्रोमोटिव बल कहां है;

यू सीसंधारित्र में वोल्टेज है ( यू सी \u003d क्यू / सी);

आईआररोकनेवाला भर में वोल्टेज है।

इस तथ्य के आधार पर कि मैं = डीक्यू/डीटी,हम पाते हैं मुक्त नम हार्मोनिक दोलनों का अंतर समीकरणचार्ज परिमाण क्यूसंधारित्र प्लेटों पर:

या ,

जहां दोलन अवमंदन गुणांक () है।

क्यू(टी), वह है मुक्त नम हार्मोनिक दोलनों का समीकरणचार्ज परिमाण क्यूसंधारित्र प्लेटों पर:

कहाँ पे क्यू(टी) - उस समय संधारित्र प्लेटों पर आवेश की मात्रा टी;

समय के क्षण में नम आवेश दोलनों का आयाम है टी;

क्यू 0 नम आवेश दोलनों का प्रारंभिक आयाम है;

वृत्ताकार (या चक्रीय) दोलन आवृत्ति है ( );

समय के समय नम दोलनों का चरण है टी;

नम दोलनों का प्रारंभिक चरण है।

एक वास्तविक दोलन सर्किट में मुक्त नम दोलनों की अवधि:

.

मजबूर विद्युत चुम्बकीय दोलन. एक वास्तविक दोलन प्रणाली में अप्रकाशित दोलन प्राप्त करने के लिए, दोलनों की प्रक्रिया में ऊर्जा के नुकसान की भरपाई करना आवश्यक है। एक वास्तविक ऑसिलेटरी सर्किट में ऐसा मुआवजा एक बाहरी वैकल्पिक वोल्टेज की मदद से संभव है जो हार्मोनिक कानून के अनुसार समय-समय पर बदलता रहता है यू(टी):

.

इस मामले में मजबूर विद्युत चुम्बकीय दोलनों का अंतर समीकरणफॉर्म लेगा:

या .

परिणामी अवकल समीकरण का हल फलन है क्यू(टी):

स्थिर अवस्था में, आवृत्ति के साथ मजबूर दोलन होते हैं वूऔर हार्मोनिक हैं, और दोलनों का आयाम और चरण निम्नलिखित अभिव्यक्तियों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

; .

यह इस प्रकार है कि बाहरी स्रोत की गुंजयमान आवृत्ति पर आवेश दोलनों का आयाम अधिकतम होता है:

.

जब ड्राइविंग अल्टरनेटिंग वोल्टेज की आवृत्ति आवृत्ति के करीब आवृत्ति के करीब पहुंचती है, तो मजबूर दोलनों के आयाम में तेज वृद्धि की घटना कहलाती है प्रतिध्वनि।

विषय 10. विद्युत चुम्बकीय तरंगें

मैक्सवेल के सिद्धांत के अनुसार, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र विद्युत चुम्बकीय तरंगों के रूप में मौजूद हो सकते हैं, चरण वेग जिसका वितरण अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है:

,

जहां और हैं, क्रमशः विद्युत और चुंबकीय स्थायी,

इतथा एममाध्यम की विद्युत और चुंबकीय पारगम्यता क्रमशः हैं,

साथ- निर्वात में प्रकाश की गति ()।

निर्वात में ( इ= 1, एम= एल) विद्युत चुम्बकीय तरंगों की प्रसार गति प्रकाश की गति के साथ मेल खाती है ( साथ), जो मैक्सवेल के सिद्धांत के अनुरूप है कि

वह प्रकाश एक विद्युत चुम्बकीय तरंग है।

मैक्सवेल के सिद्धांत के अनुसार विद्युतचुम्बकीय तरंगेंहैं अनुप्रस्थ,अर्थात्, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के सदिश और प्रबलता परस्पर लंबवत हैं और सदिश के लंबवत समतल में स्थित हैं

तरंग प्रसार गति, और वैक्टर , और एक दायां पेंच सिस्टम बनाएं (चित्र 20)।

यह मैक्सवेल के सिद्धांत का भी अनुसरण करता है कि एक विद्युत चुम्बकीय तरंग में वैक्टर और समान चरणों में दोलन करते हैं (चित्र 20), यानी तीव्रता के मान इतथा एचविद्युत और चुंबकीय क्षेत्र एक साथ अधिकतम तक पहुंच जाते हैं और एक साथ गायब हो जाते हैं, और तात्कालिक मान इतथा एचअनुपात से संबंधित: .

प्लानर मोनोक्रोमैटिक समीकरण विद्युत चुम्बकीय तरंग (सूचकांक परतथा जेडपर इतथा एचकेवल इस बात पर जोर दें कि वैक्टर और अंजीर के अनुसार परस्पर लंबवत अक्षों के साथ निर्देशित हैं। बीस)।

उतार चढ़ावआंदोलनों या प्रक्रियाओं को कहा जाता है जो समय में एक निश्चित पुनरावृत्ति की विशेषता है। ऑसिलेटरी प्रक्रियाएं प्रकृति और प्रौद्योगिकी में व्यापक हैं, उदाहरण के लिए, एक घड़ी के पेंडुलम का स्विंग, चर बिजलीआदि। जब पेंडुलम दोलन करता है, तो इसके द्रव्यमान के केंद्र का समन्वय बदल जाता है, प्रत्यावर्ती धारा के मामले में, सर्किट में वोल्टेज और करंट में उतार-चढ़ाव होता है। भौतिक प्रकृतिदोलन भिन्न हो सकते हैं, इसलिए, यांत्रिक, विद्युत चुम्बकीय, आदि दोलनों को प्रतिष्ठित किया जाता है। हालाँकि, विभिन्न दोलन प्रक्रियाओं को समान विशेषताओं और समान समीकरणों द्वारा वर्णित किया जाता है। इससे व्यवहार्यता आती है एकीकृत दृष्टिकोणकंपन के अध्ययन के लिए विभिन्न भौतिक प्रकृति।

उतार-चढ़ाव कहा जाता है नि: शुल्क, यदि वे केवल तंत्र के तत्वों के बीच कार्य करने वाले आंतरिक बलों के प्रभाव में बनते हैं, तो प्रणाली को बाहरी बलों द्वारा संतुलन से बाहर निकालने के बाद और खुद पर छोड़ दिया जाता है। हमेशा मुक्त कंपन नम दोलन क्योंकि वास्तविक प्रणालियों में ऊर्जा हानियां अपरिहार्य हैं। ऊर्जा हानि के बिना एक प्रणाली के आदर्श मामले में, मुक्त दोलन (जो मनमाने ढंग से लंबे समय तक जारी रहते हैं) कहलाते हैं अपना.

मुक्त अविरल दोलनों का सबसे सरल प्रकार है हार्मोनिक दोलन -उतार-चढ़ाव जिसमें उतार-चढ़ाव मूल्य समय के साथ साइन (कोसाइन) कानून के अनुसार बदलता है। प्रकृति और प्रौद्योगिकी में होने वाले दोलनों का चरित्र अक्सर हार्मोनिक के करीब होता है।

हार्मोनिक कंपन का वर्णन एक समीकरण द्वारा किया जाता है जिसे हार्मोनिक कंपन का समीकरण कहा जाता है:

कहाँ पे लेकिन- उतार-चढ़ाव का आयाम, उतार-चढ़ाव मूल्य का अधिकतम मूल्य एक्स; - प्राकृतिक दोलनों की परिपत्र (चक्रीय) आवृत्ति; - समय के एक क्षण में दोलन का प्रारंभिक चरण टी= 0; - समय के क्षण में दोलन का चरण टी।दोलन का चरण एक निश्चित समय पर दोलन मात्रा का मान निर्धारित करता है। चूँकि कोसाइन +1 से -1 तक भिन्न होता है, तब एक्स+ . से मान ले सकते हैं एइससे पहले - लेकिन.

समय टी, जिसके लिए प्रणाली एक पूर्ण दोलन पूरा करती है, कहलाती है दोलन की अवधि. दौरान टीदोलन चरण 2 . से बढ़ा है π , अर्थात।

कहाँ पे । (14.2)

दोलन काल का व्युत्क्रम

यानी प्रति इकाई समय में पूर्ण दोलनों की संख्या को दोलन आवृत्ति कहा जाता है। (14.2) और (14.3) की तुलना करने पर हम प्राप्त करते हैं

आवृत्ति की इकाई हर्ट्ज़ (Hz) है: 1 Hz वह आवृत्ति है जिस पर 1 s में एक पूर्ण दोलन होता है।

वे तंत्र जिनमें मुक्त कंपन हो सकते हैं, कहलाते हैं दोलन . किसी निकाय में मुक्त दोलन होने के लिए उसके पास कौन-से गुण होने चाहिए? यांत्रिक प्रणाली में होना चाहिए स्थिर संतुलन की स्थिति, बाहर निकलने पर जो प्रकट होता है संतुलन की ओर बल बहाल करना. यह स्थिति, जैसा कि ज्ञात है, सिस्टम की न्यूनतम संभावित ऊर्जा से मेल खाती है। कुछ पर विचार करें दोलन प्रणालीसूचीबद्ध गुणों को संतुष्ट करना।

किसी मात्रा में होने वाले परिवर्तन को साइन या कोसाइन के नियमों का उपयोग करके वर्णित किया जाता है, तो ऐसे दोलनों को हार्मोनिक कहा जाता है। एक संधारित्र (जो सर्किट में शामिल होने से पहले चार्ज किया गया था) और एक प्रारंभ करनेवाला (छवि 1) से बना एक सर्किट पर विचार करें।

चित्र 1।

हार्मोनिक दोलन समीकरण निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)

जहां $ टी $ -टाइम; $q$ शुल्क, $q_0$-- परिवर्तनों के दौरान इसके औसत (शून्य) मान से अधिकतम शुल्क विचलन; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- दोलन चरण; $(\alpha )_0$ - प्रारंभिक चरण; $(\omega )_0$ - चक्रीय आवृत्ति। अवधि के दौरान, चरण $2\pi $ से बदलता है।

समीकरण टाइप करें:

एक थरथरानवाला सर्किट के लिए अंतर रूप में हार्मोनिक दोलनों का समीकरण जिसमें सक्रिय प्रतिरोध नहीं होगा।

किसी भी प्रकार के आवधिक दोलनों को हार्मोनिक दोलनों के योग के रूप में सटीक रूप से दर्शाया जा सकता है, तथाकथित हार्मोनिक श्रृंखला।

एक कॉइल और एक कैपेसिटर वाले सर्किट की दोलन अवधि के लिए, हमें थॉमसन सूत्र मिलता है:

यदि हम समय के संबंध में अभिव्यक्ति (1) को अलग करते हैं, तो हम $I(t)$ फ़ंक्शन के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

संधारित्र के पार वोल्टेज इस प्रकार पाया जा सकता है:

सूत्रों (5) और (6) से यह इस प्रकार है कि संधारित्र पर वोल्टेज से वर्तमान ताकत $\frac(\pi )(2).$ से आगे है।

हार्मोनिक दोलनों को समीकरणों के रूप में दोनों का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, कार्योंसाथ ही वेक्टर आरेख।

समीकरण (1) मुक्त अविच्छिन्न दोलनों का प्रतिनिधित्व करता है।

नम दोलन समीकरण

प्रतिरोध (चित्र 2) को ध्यान में रखते हुए सर्किट में संधारित्र प्लेटों पर परिवर्तन प्रभारी ($q$) का वर्णन किया जाएगा अंतर समीकरणप्रकार:

चित्र 2।

यदि प्रतिरोध जो सर्किट का हिस्सा है $R \

जहां $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ चक्रीय दोलन आवृत्ति है। $\beta =\frac(R)(2L)-$क्षीणन कारक। अवमंदित दोलनों का आयाम इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

इस घटना में कि $t=0$ पर संधारित्र पर चार्ज $q=q_0$ के बराबर है, सर्किट में कोई करंट नहीं है, तो $A_0$ के लिए हम लिख सकते हैं:

समय के प्रारंभिक क्षण में दोलन चरण ($(\alpha )_0$) के बराबर है:

$R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ के लिए चार्ज में परिवर्तन एक दोलन नहीं है, कैपेसिटर डिस्चार्ज को एपेरियोडिक कहा जाता है।

उदाहरण 1

व्यायाम:अधिकतम शुल्क मूल्य $q_0=10\ C$ है। यह $T= 5 c$ की अवधि के साथ सामंजस्यपूर्ण रूप से बदलता है। अधिकतम संभव वर्तमान निर्धारित करें।

समाधान:

के लिए एक आधार के रूप में समस्या को सुलझानाहम उपयोग करते हैं:

वर्तमान ताकत खोजने के लिए, अभिव्यक्ति (1.1) को समय के साथ अलग किया जाना चाहिए:

जहां वर्तमान ताकत का अधिकतम (आयाम मूल्य) अभिव्यक्ति है:

समस्या की स्थितियों से, हम चार्ज के आयाम मूल्य ($q_0=10\ Kl$) को जानते हैं। आपको दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति का पता लगाना चाहिए। आइए इसे इस प्रकार व्यक्त करें:

\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1.4\right).\]

इस मामले में, वांछित मूल्य समीकरणों (1.3) और (1.2) का उपयोग करके पाया जाएगा:

चूंकि एसआई प्रणाली में समस्या की स्थितियों में सभी मात्राएं प्रस्तुत की जाती हैं, इसलिए हम गणना करेंगे:

उत्तर:$I_0=12.56\ ए.$

उदाहरण 2

व्यायाम:सर्किट में दोलन अवधि क्या है जिसमें एक प्रारंभ करनेवाला $L=1$H और एक संधारित्र होता है, यदि सर्किट में धारा कानून के अनुसार बदलती है: $I\left(t\right)=-0.1sin20\pi t \ \बाएं(ए \दाएं)?$ संधारित्र की धारिता क्या है?

समाधान:

वर्तमान दोलनों के समीकरण से, जो समस्या की स्थितियों में दिया गया है:

हम देखते हैं कि $(\omega )_0=20\pi $, इसलिए हम सूत्र का उपयोग करके दोलन की अवधि की गणना कर सकते हैं:

\ \

एक प्रारंभ करनेवाला और एक संधारित्र वाले सर्किट के लिए थॉमसन के सूत्र के अनुसार, हमारे पास है:

आइए क्षमता की गणना करें:

उत्तर:$T=0.1$ c, $C=2.5\cdot (10)^(-4)F.$