जैविक प्रक्रियाओं की गतिज

जैविक प्रणालियों की गतिशीलता का वर्णन कैसे किया जा सकता है? प्रत्येक क्षण में, एक जैविक प्रणाली में कुछ विशेषताओं का एक समूह होता है। उदाहरण के लिए, किसी प्रजाति की आबादी को देखते हुए, आप उसका आकार, क्षेत्र के कब्जे वाले क्षेत्र, उपलब्ध भोजन की मात्रा, तापमान को रिकॉर्ड कर सकते हैं। वातावरणआदि रिसाव रासायनिक प्रतिक्रियाभाग लेने वाले पदार्थों की सांद्रता, दबाव, तापमान और माध्यम की अम्लता के स्तर की विशेषता हो सकती है। सभी विशेषताओं के मूल्यों का समूह जिसे शोधकर्ता ने सिस्टम का वर्णन करने के लिए चुना है, समय के प्रत्येक क्षण में सिस्टम की स्थिति है। मॉडल बनाते समय, निर्दिष्ट सेट में चर और पैरामीटर चुने जाते हैं। चर वे मात्राएँ हैं जिनके परिवर्तन मुख्य रूप से शोधकर्ता के लिए रुचि रखते हैं, पैरामीटर "बाहरी वातावरण" की स्थितियाँ हैं। यह चयनित चरों के लिए है कि समीकरण संकलित किए जाते हैं जो समय के साथ प्रणाली में परिवर्तन के पैटर्न को दर्शाते हैं। उदाहरण के लिए, एक माइक्रोबियल संस्कृति के विकास के लिए एक मॉडल बनाते समय, इसकी संख्या आमतौर पर एक चर के रूप में और प्रजनन दर एक पैरामीटर के रूप में उपयोग की जाती है। यह संभव है कि जिस तापमान पर विकास होता है वह महत्वपूर्ण हो जाता है, फिर यह संकेतक भी एक पैरामीटर के रूप में मॉडल में शामिल होता है। और अगर, उदाहरण के लिए, वातन का स्तर हमेशा पर्याप्त होता है और विकास प्रक्रियाओं पर इसका कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, तो यह मॉडल में बिल्कुल भी शामिल नहीं है। एक नियम के रूप में, प्रयोग के दौरान पैरामीटर अपरिवर्तित रहते हैं, हालांकि, यह ध्यान देने योग्य है कि यह हमेशा ऐसा नहीं होता है।

असतत और निरंतर मॉडल दोनों का उपयोग करके एक जैविक प्रणाली की गतिशीलता (अर्थात समय के साथ इसकी स्थिति में परिवर्तन) का वर्णन करना संभव है। असतत मॉडल मानते हैं कि समय है असतत मात्रा. यह कुछ निश्चित अंतरालों पर चर के मानों को रिकॉर्ड करने से मेल खाती है (उदाहरण के लिए, एक घंटे या वर्ष में एक बार)। निरंतर मॉडल में, एक जैविक चर समय का एक सतत कार्य है, जिसे निरूपित किया जाता है, उदाहरण के लिए, एक्स(टी).

अक्सर बहुत महत्वपास होना आरंभिक स्थितियांमॉडल - समय के प्रारंभिक क्षण में अध्ययन के तहत विशेषता की स्थिति, अर्थात। पर टी = 0.

किसी विशेषता के निरंतर परिवर्तन का अध्ययन करते समय एक्स(टी) हम इसके परिवर्तन की दर के बारे में जानकारी जान सकते हैं। यह जानकारी आम तौर पर एक अंतर समीकरण के रूप में लिखी जा सकती है:

इस तरह के एक औपचारिक संकेतन का मतलब है कि अध्ययन के तहत किसी विशेषता के परिवर्तन की दर समय का एक कार्य है और इस विशेषता का परिमाण है।

यदि प्रपत्र के अवकल समीकरण का दाहिना भाग स्पष्ट रूप से समय पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात। निष्पक्ष:

तब इस समीकरण को कहा जाता है स्वायत्तशासी(इस तरह के समीकरण द्वारा वर्णित प्रणाली को कहा जाता है स्वायत्तशासी) समय के प्रत्येक क्षण में स्वायत्त प्रणालियों की स्थिति को एक एकल मान की विशेषता होती है - चर का मान एक्सइस समय टी.

आइए हम अपने आप से एक प्रश्न पूछें: मान लीजिए कि के लिए एक अवकल समीकरण दिया गया है एक्स(टी), क्या सभी कार्यों को खोजना संभव है एक्स(टी) इस समीकरण को संतुष्ट करना? या: यदि एक निश्चित चर का प्रारंभिक मूल्य ज्ञात है (उदाहरण के लिए, जनसंख्या का प्रारंभिक आकार, किसी पदार्थ की सांद्रता, माध्यम की विद्युत चालकता, आदि) और इसमें परिवर्तन की प्रकृति के बारे में जानकारी है यह चर, क्या यह भविष्यवाणी करना संभव है कि समय के बाद के सभी बिंदुओं पर इसका मूल्य क्या होगा? प्रश्न का उत्तर इस प्रकार है: यदि प्रारंभिक शर्तें दी गई हैं और कॉची प्रमेय की शर्तें समीकरण के लिए संतुष्ट हैं (एक निश्चित क्षेत्र में दिए गए कार्य और इसके आंशिक व्युत्पन्न इस क्षेत्र में निरंतर हैं), तो वहां समीकरण का एक अनूठा हल है जो दी गई प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है। (याद रखें कि कोई भी सतत फलन जो किसी अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है, उस समीकरण का हल कहलाता है।) इसका मतलब यह है कि हम जैविक प्रणाली के व्यवहार की विशिष्ट रूप से भविष्यवाणी कर सकते हैं यदि इसकी प्रारंभिक अवस्था की विशेषताओं को जाना जाता है और मॉडल समीकरण की शर्तों को पूरा करता है कॉची का प्रमेय।

स्थिर अवस्था। वहनीयता

हम स्वायत्त अंतर समीकरण पर विचार करेंगे

एक स्थिर अवस्था में, सिस्टम में चर के मान समय के साथ नहीं बदलते हैं, अर्थात चर के मूल्यों में परिवर्तन की दर 0: है। यदि समीकरण का बायाँ पक्ष (1.2) शून्य के बराबर है, तो दायाँ पक्ष भी शून्य के बराबर है: . इस बीजीय समीकरण के मूल हैं स्थिर अवस्थाअंतर समीकरण (1.2)।

उदाहरण 1.1:समीकरण की स्थिर अवस्थाएँ ज्ञात कीजिए।

समाधान: आइए उस पद को ले जाएँ, जिसमें व्युत्पन्न नहीं है, समानता के दाईं ओर: . परिभाषा के अनुसार, एक स्थिर अवस्था में, निम्नलिखित समानता रखती है: . तो समानता कायम रहनी चाहिए . हम समीकरण हल करते हैं:

,

तो, समीकरण में 3 स्थिर अवस्थाएँ हैं: , ।

जैविक प्रणालियाँ लगातार विभिन्न बाहरी प्रभावों और कई उतार-चढ़ाव का अनुभव करती हैं। साथ ही, उनमें (जैविक तंत्र) होमियोस्टैसिस होता है, अर्थात्। प्रतिरोधी। गणितीय भाषा में, इसका अर्थ है कि चर, छोटे विचलन के साथ, अपने स्थिर मूल्यों पर लौट आते हैं। क्या किसी जैविक प्रणाली का यह व्यवहार उसके गणितीय मॉडल में परिलक्षित होगा? क्या मॉडल की स्थिर अवस्थाएं स्थिर हैं?

स्थिर अवस्था है टिकाऊ, यदि, संतुलन की स्थिति से पर्याप्त रूप से छोटे विचलन के लिए, प्रणाली कभी भी एकवचन बिंदु से दूर नहीं जाएगी। स्थिर स्थिति सिस्टम ऑपरेशन के स्थिर मोड से मेल खाती है।

एक समीकरण की एक संतुलन स्थिति लाइपुनोव स्थिर है यदि किसी के लिए हमेशा ऐसा पाया जा सकता है कि यदि, तो सभी के लिए।

स्थिरता का अध्ययन करने के लिए एक विश्लेषणात्मक विधि है स्थिर अवस्था- ल्यपुनोव विधि। इसे प्रमाणित करने के लिए, हम याद करते हैं टेलर सूत्र.

शिथिल रूप से बोलते हुए, टेलर सूत्र एक निश्चित बिंदु के आसपास एक समारोह के व्यवहार को दर्शाता है। मान लें कि फ़ंक्शन के पास तक के सभी ऑर्डर के बिंदु पर व्युत्पन्न है एन-वें समावेशी। तब टेलर सूत्र इसके लिए मान्य है:

शेष पद को छोड़कर, जो स्वयं को , की तुलना में एक उच्च कोटि का एक इनफिनिटिमल दर्शाता है, हम अनुमानित टेलर सूत्र प्राप्त करते हैं:

सन्निकट सूत्र के दाहिने भाग को कहते हैं टेलर बहुपदकार्यों के रूप में निरूपित किया जाता है।

उदाहरण 1.2:टेलर श्रृंखला में एक बिंदु के पड़ोस में चौथे क्रम तक फ़ंक्शन का विस्तार करें।

समाधान:हम टेलर श्रृंखला को सामान्य रूप में चौथे क्रम तक लिखते हैं:

आइए व्युत्पन्न खोजें दिया गया कार्यबिंदु पर:

,

प्राप्त मूल्यों को मूल सूत्र में बदलें:

एक स्थिर अवस्था की स्थिरता का अध्ययन करने के लिए एक विश्लेषणात्मक विधि ( ल्यपुनोव विधि) इस प्रकार है। आज्ञा देना समीकरण की स्थिर स्थिति हो। आइए चर का एक छोटा विचलन सेट करें एक्सइसके स्थिर मान से: , जहाँ . बिंदु के लिए व्यंजक रखें एक्समूल समीकरण में: . समीकरण के बाईं ओर का रूप लेगा: , क्योंकि स्थिर अवस्था में चर के मान के परिवर्तन की दर शून्य के बराबर होती है: . हम स्थिर अवस्था के आस-पास टेलर श्रृंखला में दाईं ओर का विस्तार करते हैं, इस बात को ध्यान में रखते हुए, हम समीकरण के दाईं ओर केवल रैखिक शब्द छोड़ते हैं:

प्राप्त रैखिक समीकरणया पहला सन्निकटन समीकरण. कुछ मूल्य है लगातार, आइए इसे निरूपित करें एक: . रैखिक समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है: . यह अभिव्यक्ति उस कानून का वर्णन करती है जिसके अनुसार हमारे द्वारा दी गई स्थिर अवस्था से विचलन समय के साथ बदल जाएगा। विचलन समय के साथ क्षय हो जाएगा, अर्थात। पर , यदि घातांक में घातांक ऋणात्मक है, अर्थात्। . परिभाषा के अनुसार, स्थिर अवस्था होगी टिकाऊ. यदि , तो बढ़ते समय के साथ, विचलन केवल बढ़ेगा, स्थिर अवस्था है अस्थिर. उस स्थिति में जब पहले सन्निकटन का समीकरण स्थिर अवस्था की स्थिरता के प्रश्न का उत्तर नहीं दे सकता है। टेलर श्रृंखला के विस्तार में उच्च-क्रम की शर्तों पर विचार करना आवश्यक है।

एक स्थिर अवस्था की स्थिरता का अध्ययन करने की विश्लेषणात्मक पद्धति के अलावा, एक चित्रमय विधि भी है।

उदाहरण 1.3।होने देना । समीकरण की स्थिर अवस्थाएँ ज्ञात कीजिए और फलन के ग्राफ का उपयोग करके उनके स्थायित्व के प्रकार का निर्धारण कीजिए .

समाधान:आइए जानें विशेष बिंदु:

,

,

हम फलन का एक ग्राफ बनाते हैं (चित्र 1.1)।

चावल। 1.1. फंक्शन ग्राफ (उदाहरण 1.3)।

आइए हम ग्राफ से निर्धारित करें कि पाया गया प्रत्येक स्थिर अवस्था स्थिर है या नहीं। आइए एकवचन बिंदु से बाईं ओर प्रतिनिधि बिंदु का एक छोटा विचलन सेट करें: । एक निर्देशांक के साथ एक बिंदु पर, फ़ंक्शन एक सकारात्मक मान लेता है: या। अंतिम असमानता का अर्थ है कि समय के साथ समन्वय बढ़ता जाना चाहिए, अर्थात प्रतिनिधि बिंदु बिंदु पर वापस आ जाना चाहिए। अब आइए एकवचन बिंदु से दाईं ओर प्रतिनिधि बिंदु का एक छोटा विचलन सेट करें: । इस क्षेत्र में, फ़ंक्शन एक सकारात्मक मान रखता है, इसलिए, समय के साथ, निर्देशांक एक्सभी बढ़ता है, यानी प्रतिनिधि बिंदु बिंदु से दूर चला जाएगा। इस प्रकार, एक छोटा विचलन प्रणाली को स्थिर स्थिति से बाहर ले जाता है, इसलिए, परिभाषा के अनुसार, एकवचन बिंदु अस्थिर है। इसी तरह का तर्क इस तथ्य की ओर जाता है कि एकवचन बिंदु से कोई भी विचलन समय के साथ कम हो जाता है, स्थिर अवस्था स्थिर होती है। स्थिर अवस्था से किसी भी दिशा में प्रतिनिधित्व बिंदु के विचलन से बिंदु से हट जाता है, यह एक अस्थिर स्थिर अवस्था है।

रैखिक की एक प्रणाली को हल करना विभेदक समीकरण

आइए हम समीकरणों की प्रणालियों के अध्ययन की ओर मुड़ें, पहला रैखिक। सामान्य तौर पर, रैखिक अंतर समीकरणों की प्रणाली को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

समीकरणों की प्रणाली का विश्लेषण स्थिर अवस्थाओं को खोजने से शुरू होता है। प्रपत्र (1.3) के सिस्टम के लिए, एकवचन बिंदु अद्वितीय है, इसके निर्देशांक (0,0) हैं। अपवाद पतित मामला है, जब समीकरणों को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

(1.3*)

इस मामले में, संबंध को संतुष्ट करने वाले सभी जोड़े सिस्टम के स्थिर बिंदु हैं (1.3*)। विशेष रूप से, बिंदु (0,0) भी सिस्टम (1.3*) के लिए स्थिर है। चरण तल पर, इस मामले में, हमारे पास मूल से गुजरने वाले ढलान गुणांक के साथ एक सीधी रेखा है, जिसका प्रत्येक बिंदु सिस्टम का एक विलक्षण बिंदु है (1.3 *) (तालिका 1.1, आइटम 6 देखें)।

मुख्य प्रश्न जिसका उत्तर समीकरणों की एक प्रणाली के अध्ययन के परिणाम से दिया जाना चाहिए, क्या सिस्टम की स्थिर स्थिति स्थिर है, और इस समाधान का क्या चरित्र है (मोनोटोनिक या नॉनमोनोटोनिक)।

सामान्य निर्णयदो रैखिक समीकरणों की प्रणाली का रूप है:

विशेषता संख्यारैखिक समीकरणों के गुणांकों के रूप में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

विशेषता संख्याएं हो सकती हैं 1) विभिन्न संकेतों की वास्तविक, 2) एक ही संकेत की वास्तविक, 3) जटिल संयुग्म, और साथ ही, पतित मामलों में, 4) विशुद्ध रूप से काल्पनिक, 5) वास्तविक संयोग, 6) वास्तविक, जिनमें से एक (या दोनों) शून्य. ये मामले साधारण अंतर समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान के व्यवहार के प्रकार को निर्धारित करते हैं। संबंधित चरण पोर्ट्रेट तालिका 1.1 में प्रस्तुत किए गए हैं।

तालिका 1.1। दो रैखिक अंतर समीकरणों और संबंधित चरण चित्रों की एक प्रणाली के स्थिर राज्यों के प्रकार। तीर प्रतिनिधि बिंदु की गति की दिशा दिखाते हैं

दो रैखिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली के चरण और गतिज चित्रों का निर्माण

चरण विमानसमन्वय अक्षों वाला एक विमान कहा जाता है जिस पर चर के मान प्लॉट किए जाते हैं एक्सतथा आप, विमान का प्रत्येक बिंदु प्रणाली की एक निश्चित स्थिति से मेल खाता है। चरण तल पर बिंदुओं का समूह, जिसकी स्थिति अध्ययन के तहत प्रणाली के दिए गए समीकरणों के अनुसार, समय में परिवर्तनशील चर की प्रक्रिया में प्रणाली की स्थिति से मेल खाती है, कहलाती है चरण प्रक्षेपवक्र. चर के विभिन्न प्रारंभिक मूल्यों के लिए चरण प्रक्षेपवक्र का सेट सिस्टम का एक चित्र देता है। इमारत चरण चित्रआपको चरों में परिवर्तन की प्रकृति के बारे में निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है एक्सतथा आपसमीकरणों की मूल प्रणाली के विश्लेषणात्मक समाधानों को जाने बिना।

रैखिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

चरण चित्र का निर्माण निर्माण के साथ शुरू होता है मुख्य समद्विबाहु(एक समद्विबाहु रेखा वह रेखा है जिसके पूरे चरण वक्र (प्रक्षेपवक्र) का ढलान, समीकरण द्वारा निर्धारित, स्थिर रहता है)। दो रैखिक अवकल समीकरणों के निकाय के लिए, ये हमेशा मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखाएँ होती हैं। समीकरण क्षैतिज स्पर्शरेखाओं के समद्विबाहु: . ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखाओं के समद्विबाहु का समीकरण: . चरण चित्र के आगे के निर्माण के लिए, एक कोण पर गुजरने वाली स्पर्शरेखाओं की एक समद्विबाहु का निर्माण करना उपयोगी होता है। संबंधित समद्विबाहु समीकरण को खोजने के लिए, समीकरण को हल करना आवश्यक है . आप कोणों की स्पर्शरेखाओं के अनुमानित मानों का उपयोग करके अन्य कोणों की स्पर्शरेखाओं की समद्विबाहु रेखाएँ भी पा सकते हैं। इस प्रश्न का उत्तर कि चरण प्रक्षेप पथ को समन्वय अक्षों को किस कोण पर काटना चाहिए, चरण चित्र के निर्माण में भी मदद कर सकता है। ऐसा करने के लिए, समद्विबाहु समीकरण में हम संबंधित समानताएं (ओए अक्ष के साथ चौराहे के कोण को निर्धारित करने के लिए) और (ओएक्स अक्ष के साथ चौराहे के कोण को निर्धारित करने के लिए) प्रतिस्थापित करते हैं।

उदाहरण 1.4.रैखिक समीकरणों की प्रणाली के एकवचन बिंदु के प्रकार का निर्धारण करें:

प्रणाली के एक चरण और गतिज चित्र का निर्माण करें।

समाधान:एकवचन बिंदु निर्देशांक (0,0) हैं। रैखिक समीकरणों के गुणांक हैं: , , , । आइए हम स्थिर अवस्था के प्रकार को परिभाषित करें (विशेषता संख्याओं पर अनुभाग देखें):

इस प्रकार, विशेषता जड़ें काल्पनिक हैं: इसलिए, माना रैखिक प्रणाली के एकवचन बिंदु में केंद्र प्रकार होता है (चित्र 1.2 ए)।

क्षैतिज स्पर्शरेखा के समद्विबाहु का समीकरण:, ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा के समद्विबाहु का समीकरण:। 45° के कोण पर, निकाय के प्रक्षेप पथ एक सीधी रेखा को काटते हैं .

चरण चित्र के निर्माण के बाद, पाए गए प्रक्षेपवक्र के साथ आंदोलन की दिशा निर्धारित करना आवश्यक है। यह निम्नलिखित तरीके से किया जा सकता है। किसी भी प्रक्षेपवक्र पर एक मनमाना बिंदु लें। उदाहरण के लिए, क्षैतिज स्पर्शरेखा (1,1) की समद्विबाहु रेखा पर। आइए हम इस बिंदु के निर्देशांकों को समीकरणों के निकाय में प्रतिस्थापित करें। हम चरों के परिवर्तन की दरों के लिए व्यंजक प्राप्त करते हैं एक्स,आपइस समय:

प्राप्त मूल्यों से पता चलता है कि चर के परिवर्तन की दर एक्स- ऋणात्मक, अर्थात इसका मान घट जाना चाहिए, और चर आपनहीं बदलता। हम प्राप्त दिशा को एक तीर से चिह्नित करते हैं। इस प्रकार, विचाराधीन उदाहरण में, चरण प्रक्षेपवक्र के साथ गति को वामावर्त निर्देशित किया जाता है। सिस्टम में विभिन्न बिंदुओं के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करते हुए, आप वेग की दिशाओं का "मानचित्र" प्राप्त कर सकते हैं, तथाकथित वेक्टर क्षेत्र.

चित्र 1.2. चरण (ए) और गतिज (बी) प्रणाली का चित्र, उदाहरण 1.4

ध्यान दें कि क्षैतिज स्पर्शरेखा के समद्विबाहु पर चर आपकिसी दिए गए प्रक्षेपवक्र पर अपने अधिकतम या न्यूनतम मूल्य तक पहुँचता है। इसके विपरीत, ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा के समद्विबाहु पर, चर एक्स.

सिस्टम का गतिज चित्र बनाने का अर्थ है चर के मूल्यों की निर्भरता को प्लॉट करना एक्स,आपसमय से। एक चरण चित्र का उपयोग गतिज एक और इसके विपरीत बनाने के लिए किया जा सकता है। एक चरण प्रक्षेपवक्र गतिज वक्रों की एक जोड़ी से मेल खाता है। आइए हम एक मनमाना चरण प्रक्षेपवक्र पर चरण चित्र पर एक मनमाना बिंदु चुनें। यह समय के अनुरूप प्रारंभिक बिंदु है। विचाराधीन प्रणाली में गति की दिशा के आधार पर, चर के मान एक्स,आपया तो घटो या बढ़ो। मान लीजिए कि प्रारंभिक बिंदु के निर्देशांक (1,1) हैं। निर्मित चरण चित्र के अनुसार, इस बिंदु से शुरू होकर, हमें वामावर्त घुमाना चाहिए, निर्देशांक एक्सतथा आपजबकि वे घटेंगे। समय के साथ, समन्वय एक्स 0 से गुजरता है, मान आपजबकि सकारात्मक रहता है। आगे के निर्देशांक एक्सतथा आपकम करना जारी रखें, समन्वय करें आप 0 से गुजरता है (मान एक्सजबकि यह नकारात्मक है)। मूल्य एक्सऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा के समद्विबाहु पर अपने न्यूनतम मान तक पहुँच जाता है, फिर बढ़ना शुरू हो जाता है। मूल्य आपक्षैतिज स्पर्शरेखा के समद्विबाहु पर अपने न्यूनतम मान तक पहुँच जाता है (मान एक्सइस समय नकारात्मक है)। अगला, और मान एक्स, और मूल्य आपवृद्धि, प्रारंभिक मूल्यों पर लौटना (चित्र। 1.2 बी)।

दूसरे क्रम के नॉनलाइनियर सिस्टम के स्थिर राज्यों की स्थिरता की जांच

दूसरे क्रम के दो स्वायत्त अंतर समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा एक जैविक प्रणाली का वर्णन करने दें सामान्य दृष्टि से:

सिस्टम चर के स्थिर मान बीजीय समीकरणों से निर्धारित होते हैं:

प्रत्येक स्थिर राज्य के पड़ोस में, कोई विचार कर सकता है पहली सन्निकटन प्रणाली(रैखिक प्रणाली), जिसके अध्ययन से एकवचन बिंदु की स्थिरता और उसके छोटे पड़ोस में चरण प्रक्षेपवक्र की प्रकृति के प्रश्न का उत्तर देना संभव हो सकता है।

बाहर

हमारे पास है , , एकवचन बिंदु खुरदरा है। पहले सन्निकटन की प्रणाली की विशेषता जड़ें बराबर हैं, दोनों वास्तविक और नकारात्मक हैं, इसलिए, शून्य एकवचन बिंदु के आसपास, सिस्टम के चरण प्रक्षेपवक्र का व्यवहार एक स्थिर गाँठ के प्रकार के अनुरूप होगा।

परिचय

चूंकि एक गैर-रेखीय गतिशील प्रणाली की अवधारणा प्रक्रियाओं की एक अत्यंत विस्तृत श्रृंखला को कवर करने के लिए पर्याप्त समृद्ध है जिसमें सिस्टम का भविष्य का व्यवहार अतीत द्वारा निर्धारित किया जाता है, इस क्षेत्र में विकसित विश्लेषण के तरीके विभिन्न प्रकार के संदर्भों में उपयोगी होते हैं।

गैर-रेखीय गतिकी कम से कम तीन तरीकों से साहित्य में प्रवेश करती है। सबसे पहले, ऐसे मामले हैं जहां एक या अधिक मात्रा में परिवर्तन पर प्रयोगात्मक डेटा एकत्र किया जाता है और गैर-रैखिक गतिशील सिद्धांत पर आधारित तकनीकों का उपयोग करके विश्लेषण किया जाता है, जिसमें अंतर्निहित समीकरणों के बारे में न्यूनतम धारणाएं होती हैं जो डेटा उत्पन्न करने वाली प्रक्रिया को नियंत्रित करती हैं। यही है, यह एक ऐसा मामला है जिसमें कोई डेटा में सहसंबंध खोजने का प्रयास करता है जो पहले मॉडल का अनुमान लगाने और फिर डेटा की तुलना करने के बजाय गणितीय मॉडल के विकास को निर्देशित कर सकता है।

दूसरे, ऐसे मामले हैं जहां गैर-रेखीय गतिशील सिद्धांत का उपयोग यह बताने के लिए किया जा सकता है कि कुछ सरलीकृत मॉडल को प्रदर्शित करना चाहिए महत्वपूर्ण विशेषताएंइस प्रणाली का, जिससे यह निम्नानुसार है कि वर्णन करने वाले मॉडल का निर्माण और अध्ययन कई प्रकार के मापदंडों में किया जा सकता है। यह अक्सर उन मॉडलों में परिणत होता है जो विभिन्न मापदंडों के तहत गुणात्मक रूप से भिन्न व्यवहार करते हैं और यह प्रदर्शित करते हैं कि एक क्षेत्र व्यवहार को प्रदर्शित करता है जो वास्तविक प्रणाली में देखे गए व्यवहार के समान है। कई मामलों में, मॉडल का व्यवहार मापदंडों में परिवर्तन के प्रति काफी संवेदनशील होता है, इसलिए यदि मॉडल के मापदंडों को वास्तविक प्रणाली में मापा जा सकता है, तो मॉडल इन मूल्यों पर यथार्थवादी व्यवहार प्रदर्शित करता है, और कोई यह सुनिश्चित कर सकता है कि मॉडल कैप्चर करता है प्रणाली की आवश्यक विशेषताएं।

तीसरा, ऐसे मामले हैं जब मॉडल समीकरणों के आधार पर बनाया जाता है विस्तृत विवरणज्ञात भौतिकी। संख्यात्मक प्रयोग तब उन चरों के बारे में जानकारी प्रदान कर सकते हैं जो भौतिक प्रयोगों के लिए उपलब्ध नहीं हैं।

दूसरे पथ के आधार पर, यह कार्य मेरे पिछले कार्य "अन्योन्याश्रित उद्योगों के गैर-रेखीय गतिशील मॉडल" के साथ-साथ एक अन्य कार्य (दिमित्री, 2015) का विस्तार है।

कार्य में आवश्यक सभी आवश्यक परिभाषाएँ और अन्य सैद्धांतिक जानकारी पहले अध्याय में, आवश्यकतानुसार दिखाई देगी। यहां दो परिभाषाएं दी जाएंगी, जो शोध विषय के प्रकटीकरण के लिए आवश्यक हैं।

सबसे पहले, सिस्टम की गतिशीलता को परिभाषित करते हैं। परिभाषाओं में से एक के अनुसार, सिस्टम डायनामिक्स एक सिमुलेशन मॉडलिंग दृष्टिकोण है, जो अपने तरीकों और उपकरणों के माध्यम से संरचना का मूल्यांकन करने में मदद करता है। जटिल प्रणालीऔर उनकी गतिशीलता (शटरमैन)। यह जोड़ने योग्य है कि सिस्टम डायनेमिक्स भी एक मॉडलिंग तकनीक है जिसका उपयोग जटिल सिस्टम के लिए सही (सटीकता के संदर्भ में) कंप्यूटर मॉडल को उनके भविष्य के उपयोग के लिए एक अधिक प्रभावी कंपनी / संगठन बनाने के लिए, साथ ही साथ के तरीकों में सुधार करने के लिए किया जाता है। इस प्रणाली के साथ बातचीत। सिस्टम डायनेमिक्स की अधिकांश आवश्यकता तब उत्पन्न होती है जब दीर्घकालिक, रणनीतिक मॉडल का सामना किया जाता है, और यह भी ध्यान देने योग्य है कि यह काफी सारगर्भित है।

नॉन-लीनियर डिफरेंशियल डायनेमिक्स की बात करें तो हम एक नॉन-लीनियर सिस्टम पर विचार करेंगे, जो परिभाषा के अनुसार, एक सिस्टम है जिसमें परिणाम में परिवर्तन इनपुट मापदंडों में परिवर्तन के लिए आनुपातिक नहीं है, और जिसमें फ़ंक्शन का वर्णन करता है समय में परिवर्तन की निर्भरता और अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति (बोइंग, 2016)।

उपरोक्त परिभाषाओं के आधार पर यह स्पष्ट हो जाता है कि इस कामविभिन्न गैर-रेखीय अंतर प्रणालियों पर विचार करेंगे जो कंपनियों की बातचीत का वर्णन करते हैं, साथ ही साथ उनके आधार पर निर्मित सिमुलेशन मॉडल भी। इसके आधार पर कार्य का उद्देश्य निर्धारित किया जाएगा।

इस प्रकार, इस कार्य का उद्देश्य गतिशील प्रणालियों का गुणात्मक विश्लेषण करना है जो पहले सन्निकटन में कंपनियों की बातचीत का वर्णन करते हैं और उनके आधार पर एक सिमुलेशन मॉडल का निर्माण करते हैं।

इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए, निम्नलिखित कार्यों की पहचान की गई:

प्रणाली की स्थिरता का निर्धारण।

चरण चित्रों का निर्माण।

सिस्टम के अभिन्न प्रक्षेपवक्र ढूँढना।

सिमुलेशन मॉडल का निर्माण।

इनमें से प्रत्येक कार्य कार्य के प्रत्येक अध्याय के किसी एक अनुभाग को समर्पित होगा।

अभ्यास के आधार पर, मौलिक गणितीय संरचनाओं का निर्माण जो विभिन्न भौतिक प्रणालियों और प्रक्रियाओं में गतिशीलता को प्रभावी ढंग से मॉडल करता है, इंगित करता है कि संबंधित गणितीय मॉडल कुछ हद तक अध्ययन के तहत मूल के निकटता को दर्शाता है, जब इसकी विशेषताएँगति के प्रकार के गुणों और संरचना से प्राप्त किया जा सकता है जो सिस्टम की गतिशीलता बनाता है। आज तक, आर्थिक विज्ञान अपने विकास के चरण में है, जिसमें नए, और कई मामलों में, भौतिक और गणितीय मॉडलिंग के गैर-मानक तरीकों और विधियों का विशेष रूप से प्रभावी ढंग से उपयोग किया जाता है। आर्थिक प्रक्रिया. यह वह जगह है जहां निष्कर्ष ऐसे मॉडल बनाने, अध्ययन और निर्माण करने की आवश्यकता के बारे में है जो किसी तरह आर्थिक स्थिति का वर्णन कर सकते हैं।

मात्रात्मक विश्लेषण के बजाय गुणात्मक चुनने के कारण के लिए, यह ध्यान देने योग्य है कि अधिकांश मामलों में, गतिशील प्रणालियों के गुणात्मक विश्लेषण के परिणाम और निष्कर्ष उनके मात्रात्मक विश्लेषण के परिणामों से अधिक महत्वपूर्ण होते हैं। ऐसे में वी.पी. मिलोवानोव, जिसमें वे कहते हैं कि वे पारंपरिक रूप से मानते हैं कि वास्तविक वस्तुओं के विश्लेषण के लिए गणितीय तरीकों को लागू करते समय अपेक्षित परिणामों को एक संख्यात्मक परिणाम तक कम किया जाना चाहिए। इस अर्थ में, गुणात्मक विधियों का कार्य कुछ भिन्न होता है। यह एक परिणाम प्राप्त करने पर ध्यान केंद्रित करता है जो सिस्टम की गुणवत्ता का वर्णन करता है, सभी घटनाओं की विशिष्ट विशेषताओं की खोज पर, पूर्वानुमान पर। बेशक, यह समझना महत्वपूर्ण है कि जब एक निश्चित प्रकार के सामान की कीमतें बदलती हैं तो मांग कैसे बदलेगी, लेकिन यह मत भूलो कि यह समझना अधिक महत्वपूर्ण है कि क्या ऐसी परिस्थितियों में इन वस्तुओं की कमी या अधिशेष होगा (दिमित्रीव , 2016)।

इस अध्ययन का उद्देश्य नॉनलाइनियर डिफरेंशियल और सिस्टम डायनेमिक्स है।

इस मामले में, अनुसंधान का विषय गैर-रैखिक अंतर और सिस्टम गतिशीलता के माध्यम से कंपनियों के बीच बातचीत की प्रक्रिया का विवरण है।

अध्ययन के व्यावहारिक अनुप्रयोग के बारे में बोलते हुए, इसे तुरंत दो भागों में विभाजित करना उचित है। अर्थात्, सैद्धांतिक, अर्थात्, प्रणालियों का गुणात्मक विश्लेषण, और व्यावहारिक, जिसमें सिमुलेशन मॉडल के निर्माण पर विचार किया जाएगा।

इस अध्ययन का सैद्धांतिक हिस्सा बुनियादी अवधारणाओं और घटनाओं को प्रदान करता है। यह कई अन्य लेखकों (Teschl, 2012; Nolte, 2015) के कार्यों के रूप में सरल अंतर प्रणालियों पर विचार करता है, लेकिन साथ ही कंपनियों के बीच बातचीत का वर्णन करने की अनुमति देता है। इसके आधार पर, भविष्य में और अधिक गहन अध्ययन करना संभव होगा, या फिर सिस्टम के गुणात्मक विश्लेषण का गठन करने वाले अपने परिचित को शुरू करें।

निर्णय समर्थन प्रणाली बनाने के लिए कार्य के व्यावहारिक भाग का उपयोग किया जा सकता है। निर्णय समर्थन प्रणाली - स्वचालित सूचना प्रणाली, जिसका उद्देश्य किसी संगठन में व्यवसाय या निर्णय लेने का समर्थन करना है, जिससे आप कई अलग-अलग विकल्पों के बीच चयन कर सकते हैं (कीन, 1980)। भले ही मॉडल इस समय बहुत सटीक न हों, लेकिन किसी विशिष्ट कंपनी के लिए उन्हें बदलकर, आप अधिक सटीक परिणाम प्राप्त कर सकते हैं। इस प्रकार, जब उनमें बाजार में उत्पन्न होने वाले विभिन्न मापदंडों और स्थितियों को बदलते हैं, तो आप भविष्य के लिए एक पूर्वानुमान प्राप्त कर सकते हैं और पहले से अधिक लाभदायक निर्णय ले सकते हैं।

1. पारस्परिकता की स्थितियों में कंपनियों की सहभागिता

पेपर दो-आयामी सिस्टम पेश करेगा जो उच्च क्रम की प्रणालियों की तुलना में काफी सरल है, लेकिन साथ ही हमें उन संगठनों के बीच संबंधों को प्रदर्शित करने की अनुमति देता है जिनकी हमें आवश्यकता है।

यह बातचीत के प्रकार को चुनने के साथ काम शुरू करने के लायक है, जिसे भविष्य में वर्णित किया जाएगा, क्योंकि प्रत्येक प्रकार के लिए उनका वर्णन करने वाले सिस्टम थोड़े अलग हैं। चित्र 1.1 आर्थिक संपर्क (ओडम, 1968) के लिए संशोधित जनसंख्या बातचीत के लिए यूजिमा ओडुम के वर्गीकरण को दर्शाता है, जिसके आधार पर हम आगे कंपनियों की बातचीत पर विचार करेंगे।

चित्र 1.1। उद्यमों के बीच बातचीत के प्रकार

चित्र 1.1 के आधार पर, हम 4 प्रकार की अंतःक्रियाओं को अलग करते हैं और उनमें से प्रत्येक के लिए माल्थस मॉडल (माल्थस, 1798) के आधार पर उनका वर्णन करने वाले समीकरणों की एक प्रणाली प्रस्तुत करते हैं। इसके अनुसार, विकास दर प्रजातियों की वर्तमान बहुतायत के समानुपाती होती है, दूसरे शब्दों में, इसे निम्नलिखित अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

जहाँ a एक पैरामीटर है जो जनसंख्या की प्राकृतिक वृद्धि पर निर्भर करता है। यह भी जोड़ने योग्य है कि नीचे दी गई प्रणालियों में, सभी पैरामीटर, साथ ही चर, गैर-ऋणात्मक मान लेते हैं।

कच्चे माल का उत्पादन उत्पादों का उत्पादन है, जो शिकारी-शिकार मॉडल के समान है। शिकारी-शिकार मॉडल, जिसे लोटका-वोल्टेरा मॉडल के रूप में भी जाना जाता है, दो प्रजातियों के साथ एक जैविक प्रणाली की गतिशीलता का वर्णन करने वाले गैर-रैखिक प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों की एक जोड़ी है, जिनमें से एक शिकारी है और दूसरा शिकार है (लिब्रे , 2007)। इन प्रजातियों की बहुतायत में परिवर्तन समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली द्वारा वर्णित है:

(1.2)

जहां - दूसरे के प्रभाव के बिना पहले उद्यम के उत्पादन में वृद्धि की विशेषता है (शिकारी-शिकार मॉडल के मामले में, शिकारियों के बिना शिकार की आबादी में वृद्धि),

यह पहले उद्यम (शिकार के बिना शिकारियों की आबादी में वृद्धि) के प्रभाव के बिना दूसरे उद्यम के उत्पादन में वृद्धि की विशेषता है,

यह पहले उद्यम के उत्पादन में वृद्धि की विशेषता है, उस पर दूसरे उद्यम के प्रभाव को ध्यान में रखते हुए (शिकारियों के साथ बातचीत करते समय शिकार की संख्या में वृद्धि),

यह दूसरे उद्यम के उत्पादन में वृद्धि की विशेषता है, उस पर पहले उद्यम के प्रभाव (पीड़ितों के साथ बातचीत के दौरान शिकारियों की संख्या में वृद्धि) को ध्यान में रखते हुए।

एक के लिए, शिकारी, जैसा कि सिस्टम से देखा जा सकता है, साथ ही साथ ओडम का वर्गीकरण, उनकी बातचीत एक अनुकूल प्रभाव डालती है। दूसरे पर प्रतिकूल। यदि आर्थिक वास्तविकताओं पर विचार किया जाए, तो, जैसा कि चित्र में देखा जा सकता है, सबसे सरल एनालॉग निर्माता और उसके संसाधनों का आपूर्तिकर्ता है, जो क्रमशः शिकारी और शिकार के अनुरूप है। इस प्रकार, कच्चे माल की अनुपस्थिति में, उत्पादन में तेजी से कमी आती है।

प्रतिस्पर्धा दो या दो से अधिक के बीच प्रतिद्वंद्विता है (हमारे मामले में, हम दो-आयामी प्रणालियों पर विचार कर रहे हैं, इसलिए हम बिल्कुल दो-प्रजाति प्रतियोगिता लेते हैं) प्रजातियां, क्षेत्रों के लिए आर्थिक समूह, सीमित संसाधन, या अन्य मूल्य (एल्टन, 1968)। प्रजातियों की संख्या में परिवर्तन, या हमारे मामले में उत्पादों की संख्या, नीचे दी गई प्रणाली द्वारा वर्णित हैं:

(1.3)

इस मामले में, एक उत्पाद का उत्पादन करने वाली प्रजातियां या कंपनियां एक दूसरे पर प्रतिकूल प्रभाव डालती हैं। यानी प्रतिस्पर्धी की अनुपस्थिति में उत्पाद की वृद्धि तेजी से बढ़ेगी।

अब आइए एक सहजीवी बातचीत पर चलते हैं, जिसमें दोनों उद्यमों का एक दूसरे पर सकारात्मक प्रभाव पड़ता है। आइए पारस्परिकता से शुरू करते हैं। पारस्परिकता विभिन्न प्रजातियों के बीच एक प्रकार का संबंध है जिसमें उनमें से प्रत्येक को दूसरे के कार्यों से लाभ होता है, और यह ध्यान देने योग्य है कि एक साथी की उपस्थिति अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त है (थॉम्पसन, 2005)। इस प्रकार के संबंध को सिस्टम द्वारा वर्णित किया गया है:

(1.4)

चूंकि कंपनियों के बीच बातचीत उनके अस्तित्व के लिए आवश्यक है, एक कंपनी के उत्पाद की अनुपस्थिति में, दूसरी कंपनी के सामान का उत्पादन तेजी से घटता है। यह तब संभव है जब कंपनियों के पास खरीद के लिए कोई अन्य विकल्प न हो।

एक अन्य प्रकार की सहजीवी अंतःक्रिया पर विचार करें, प्रोटोकोऑपरेशन। प्रोटो-सहकारिता पारस्परिकता के समान है, एकमात्र अपवाद के साथ कि एक साथी के अस्तित्व की कोई आवश्यकता नहीं है, उदाहरण के लिए, अन्य विकल्प हैं। चूंकि वे समान हैं, इसलिए उनके सिस्टम एक दूसरे के लगभग समान दिखते हैं:

(1.5)

इस प्रकार, एक कंपनी के उत्पाद की अनुपस्थिति दूसरी कंपनी के उत्पाद के विकास में बाधा नहीं डालती है।

बेशक, पैराग्राफ 3 और 4 में सूचीबद्ध लोगों के अलावा, अन्य प्रकार के सहजीवी संबंधों को भी नोट किया जा सकता है: सहभोजवाद और सामान्यवाद (हंस्की, 1999)। लेकिन उनका आगे उल्लेख नहीं किया जाएगा, क्योंकि सहभोजवाद में एक साथी दूसरे के साथ अपनी बातचीत के प्रति उदासीन है, लेकिन हम अभी भी उन मामलों पर विचार करते हैं जहां प्रभाव होता है। और सामान्यवाद पर विचार नहीं किया जाता है, क्योंकि आर्थिक दृष्टिकोण से, ऐसे संबंध, जब उनकी बातचीत एक को नुकसान पहुंचाती है, और दूसरा उदासीन होता है, बस मौजूद नहीं हो सकता।

एक दूसरे पर कंपनियों के प्रभाव के आधार पर, अर्थात् सहजीवी संबंध कंपनियों के एक स्थिर सह-अस्तित्व की ओर ले जाते हैं, इस पत्र में हम केवल पारस्परिकता और प्रोटो-सहयोग के मामलों पर विचार करेंगे, क्योंकि दोनों ही मामलों में बातचीत सभी के लिए फायदेमंद है।

यह अध्याय पारस्परिकता की स्थितियों में कंपनियों की बातचीत के लिए समर्पित है। यह दो प्रणालियों पर विचार करेगा जो माल्थस मॉडल पर आधारित प्रणालियों का एक और विकास है, अर्थात् उत्पादन में वृद्धि पर लगाए गए प्रतिबंधों के साथ सिस्टम।

पारस्परिक संबंधों से जुड़े एक जोड़े की गतिशीलता, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, सिस्टम द्वारा पहले सन्निकटन में वर्णित किया जा सकता है:

(1.6)

यह देखा जा सकता है कि उत्पादन की एक बड़ी प्रारंभिक मात्रा के साथ, सिस्टम अनिश्चित काल तक बढ़ता है, और थोड़ी मात्रा में उत्पादन गिर जाता है। यह वह जगह है जहां पारस्परिकता से उत्पन्न होने वाले प्रभाव के द्विरेखीय विवरण की गलतता निहित है। तस्वीर को सही करने की कोशिश करने के लिए, हम एक शिकारी की संतृप्ति जैसा एक कारक पेश करते हैं, यानी एक ऐसा कारक जो उत्पादन की वृद्धि दर को कम कर देगा, अगर यह अधिक है। इस मामले में, हम निम्नलिखित प्रणाली पर पहुंचते हैं:

(1.7)

संतृप्ति को ध्यान में रखते हुए, दूसरी कंपनी के साथ बातचीत में पहली कंपनी के उत्पाद के उत्पादन में वृद्धि कहां है,

दूसरी कंपनी के उत्पाद के उत्पादन में वृद्धि, पहली कंपनी के साथ बातचीत में, संतृप्ति को ध्यान में रखते हुए,

संतृप्ति गुणांक।

इस प्रकार, हमें दो प्रणालियाँ मिलीं: संतृप्ति के साथ और बिना विकास का माल्थुसियन मॉडल।

1.1 पहले सन्निकटन में सिस्टम की स्थिरता

पहले सन्निकटन में प्रणालियों की स्थिरता को कई विदेशी (हेयरर, 1993; भाटिया, 2002; खलील, 2001; स्ट्रोगेट्ज़, 2001 और अन्य) और रूसी भाषा के कार्यों (अख्रोमेयेवा, 1992; बेलमैन, 1954; डेमिडोविच, 1967; Krasovsky, 1959 और अन्य), और इसकी परिभाषा प्रणाली में होने वाली प्रक्रियाओं के विश्लेषण के लिए एक बुनियादी कदम है। ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित आवश्यक कदम उठाएं:

आइए संतुलन बिंदु खोजें।

आइए प्रणाली के जैकोबियन मैट्रिक्स को खोजें।

जैकोबियन आव्यूह के प्रतिमान मान ज्ञात कीजिए।

हम लयपुनोव प्रमेय के अनुसार संतुलन बिंदुओं को वर्गीकृत करते हैं।

चरणों पर विचार करने के बाद, उनके स्पष्टीकरण पर अधिक विस्तार से ध्यान देने योग्य है, इसलिए मैं परिभाषाएं दूंगा और उन तरीकों का वर्णन करूंगा जो हम इनमें से प्रत्येक चरण में उपयोग करेंगे।

पहला कदम, संतुलन बिंदुओं की खोज। उन्हें खोजने के लिए, हम प्रत्येक फ़ंक्शन को शून्य के बराबर करते हैं। यही है, हम सिस्टम को हल करते हैं:

जहाँ a और b का मतलब समीकरण के सभी मापदंडों से है।

अगला कदम जैकोबियन मैट्रिक्स को खोजना है। हमारे मामले में, यह किसी बिंदु पर पहले डेरिवेटिव के साथ 2-बाय-2 मैट्रिक्स होगा, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

पहले दो चरणों को पूरा करने के बाद, हम निम्नलिखित विशिष्ट समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए आगे बढ़ते हैं:

जहां बिंदु पहले चरण में पाए गए संतुलन बिंदुओं से मेल खाता है।

पाया और , हम चौथे चरण पर जाते हैं और निम्नलिखित ल्यपुनोव प्रमेयों का उपयोग करते हैं (पार्क, 1992):

प्रमेय 1: यदि अभिलक्षणिक समीकरण के सभी मूलों का एक ऋणात्मक वास्तविक भाग होता है, तो मूल और रैखिक प्रणालियों के संगत संतुलन बिंदु स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर होता है।

प्रमेय 2: यदि अभिलक्षणिक समीकरण के कम से कम एक मूल का धनात्मक वास्तविक भाग है, तो मूल और रैखिक प्रणालियों के संगत संतुलन बिंदु स्पर्शोन्मुख रूप से अस्थिर है।

साथ ही, आंकड़े 1.2 (लैमर विश्वविद्यालय) में दिखाए गए विभाजन के आधार पर स्थिरता के प्रकार को अधिक सटीक रूप से निर्धारित करना संभव है।

चित्र 1.2. संतुलन बिंदुओं की स्थिरता के प्रकार

आवश्यक सैद्धांतिक जानकारी पर विचार करने के बाद, हम सिस्टम विश्लेषण की ओर मुड़ते हैं।

संतृप्ति के बिना एक प्रणाली पर विचार करें:

यह बहुत सरल है और व्यावहारिक उपयोग के लिए उपयुक्त नहीं है, क्योंकि इसमें कोई प्रतिबंध नहीं है। लेकिन सिस्टम विश्लेषण के पहले उदाहरण के रूप में विचार करने के लिए उपयुक्त है।

सबसे पहले, आइए समीकरणों के दाहिने पक्षों को शून्य के बराबर करके संतुलन बिंदु खोजें। इस प्रकार, हमें दो संतुलन बिंदु मिलते हैं, आइए उन्हें A और B कहते हैं: .

आइए जैकोबियन मैट्रिक्स की खोज, विशेषता समीकरण की जड़ों और स्थिरता के प्रकार के निर्धारण के साथ कदम को जोड़ते हैं। चूंकि वे प्राथमिक हैं, हमें तुरंत उत्तर मिलता है:

1. बिंदु पर, एक स्थिर गाँठ होती है।

बिंदु पर: ... काठी।

जैसा कि मैंने पहले ही लिखा है, यह प्रणाली बहुत तुच्छ है, इसलिए किसी स्पष्टीकरण की आवश्यकता नहीं थी।

अब संतृप्ति से प्रणाली का विश्लेषण करते हैं:

(1.9)

उद्यमों द्वारा उत्पादों की पारस्परिक संतृप्ति पर प्रतिबंध की उपस्थिति हमें जो हो रहा है उसकी वास्तविक तस्वीर के करीब लाती है, और सिस्टम को थोड़ा जटिल भी करती है।

पहले की तरह, हम सिस्टम के सही हिस्सों को शून्य के बराबर करते हैं और परिणामी सिस्टम को हल करते हैं। बिंदु अपरिवर्तित रहा, लेकिन इस मामले में दूसरे बिंदु में पहले की तुलना में अधिक पैरामीटर हैं: .

इस मामले में, जैकोबी मैट्रिक्स निम्नलिखित रूप लेता है:

इसमें से पहचान मैट्रिक्स को गुणा करके घटाएं, और परिणामी मैट्रिक्स के निर्धारक को अंक ए और बी पर शून्य के बराबर करें।

इसी तरह की प्रारंभिक तस्वीर के बिंदु पर:

स्थिर नोड।

लेकिन बिंदु पर सब कुछ कुछ अधिक जटिल है, और यद्यपि गणित अभी भी काफी सरल है, जटिलता लंबी शाब्दिक अभिव्यक्तियों के साथ काम करने में असुविधा का कारण बनती है। चूंकि मान काफी लंबे और असुविधाजनक रूप से लिखे गए हैं, इसलिए उन्हें नहीं दिया गया है, यह कहने के लिए पर्याप्त है कि इस मामले में, पिछली प्रणाली की तरह, प्राप्त स्थिरता का प्रकार एक काठी है।

सिस्टम के 2 चरण चित्र

गैर-रेखीय गतिशील मॉडल के विशाल बहुमत जटिल अंतर समीकरण हैं जिन्हें या तो हल नहीं किया जा सकता है, या यह किसी प्रकार की जटिलता है। एक उदाहरण पिछले खंड की प्रणाली है। स्पष्ट सादगी के बावजूद, दूसरे संतुलन बिंदु पर स्थिरता का प्रकार खोजना आसान काम नहीं था (यद्यपि गणितीय दृष्टिकोण से नहीं), और इंटरैक्टिंग उद्यमों की संख्या बढ़ाने के लिए पैरामीटर, प्रतिबंधों और समीकरणों में वृद्धि के साथ, जटिलता ही बढ़ेगी। बेशक, यदि पैरामीटर संख्यात्मक अभिव्यक्ति हैं, तो सब कुछ अविश्वसनीय रूप से सरल हो जाएगा, लेकिन फिर विश्लेषण किसी तरह सभी अर्थ खो देगा, क्योंकि अंत में, हम संतुलन बिंदुओं को खोजने में सक्षम होंगे और केवल एक विशिष्ट के लिए उनकी स्थिरता के प्रकार का पता लगा पाएंगे। मामला, और सामान्य नहीं।

ऐसे मामलों में, यह चरण विमान और चरण चित्रों को याद रखने योग्य है। अनुप्रयुक्त गणित में, विशेष रूप से नॉनलाइनियर सिस्टम विश्लेषण के संदर्भ में, चरण विमान कुछ प्रकार के अंतर समीकरणों (नोल्टे, 2015) की कुछ विशेषताओं का एक दृश्य प्रतिनिधित्व है। कार्तिकये निर्देशांकसिस्टम की स्थिति को दर्शाने वाले चर के किसी भी जोड़े के मूल्यों की कुल्हाड़ियों के साथ - एक सामान्य एन-आयामी चरण स्थान का दो-आयामी मामला।

चरण तल के लिए धन्यवाद, एक अंतर समीकरण के समाधान में सीमा चक्रों के अस्तित्व को ग्राफिक रूप से निर्धारित करना संभव है।

एक विभेदक समीकरण के समाधान कार्यों का एक परिवार है। ग्राफिक रूप से, इसे दो-आयामी वेक्टर क्षेत्र के रूप में चरण विमान में प्लॉट किया जा सकता है। सदिश समतल पर खींचे जाते हैं, कुछ पैरामीटर के संबंध में विशेषता बिंदुओं पर डेरिवेटिव का प्रतिनिधित्व करते हैं, हमारे मामले में, समय के संबंध में, यानी ()। एक क्षेत्र में इन तीरों के पर्याप्त होने से, सिस्टम के व्यवहार की कल्पना की जा सकती है और सीमा चक्रों को आसानी से पहचाना जा सकता है (बोइंग, 2016)।

वेक्टर फ़ील्ड एक चरण चित्र है, प्रवाह रेखा के साथ एक विशेष पथ (अर्थात, पथ हमेशा वैक्टर के लिए स्पर्शरेखा) एक चरण पथ है। एक सदिश क्षेत्र में प्रवाह समय के साथ प्रणाली में परिवर्तन को दर्शाता है, जिसे एक अंतर समीकरण (जॉर्डन, 2007) द्वारा वर्णित किया गया है।

यह ध्यान देने योग्य है कि एक अंतर समीकरण को हल किए बिना भी एक चरण चित्र बनाया जा सकता है, और साथ ही, अच्छा विज़ुअलाइज़ेशन बहुत कुछ प्रदान कर सकता है उपयोगी जानकारी. इसके अलावा, वर्तमान समय में ऐसे कई कार्यक्रम हैं जो चरण आरेखों के निर्माण में सहायता कर सकते हैं।

इस प्रकार, भौतिक प्रणालियों के व्यवहार की कल्पना के लिए चरण विमान उपयोगी होते हैं। विशेष रूप से, ऑसिलेटरी सिस्टम, जैसे कि शिकारी-शिकार मॉडल पहले ही ऊपर उल्लेख किया गया है। इन मॉडलों में, चरण प्रक्षेपवक्र शून्य की ओर "मोड़" सकते हैं, "सर्पिल से बाहर जा सकते हैं" अनंत तक, या केंद्र नामक एक तटस्थ स्थिर स्थिति तक पहुंच सकते हैं। यह निर्धारित करने में उपयोगी है कि गतिकी स्थिर है या नहीं (जॉर्डन, 2007)।

इस खंड में प्रस्तुत किए गए चरण पोर्ट्रेट वोल्फ्रामअल्फा टूल का उपयोग करके बनाए जाएंगे, या अन्य स्रोतों से प्रदान किए जाएंगे। संतृप्ति के बिना माल्थुसियन विकास मॉडल।

आइए हम उनके व्यवहार की तुलना करने के लिए तीन सेट मापदंडों के साथ पहली प्रणाली का एक चरण चित्र बनाएं। सेट ए ((1,1), (1,1)), जिसे एकल सेट के रूप में संदर्भित किया जाएगा, सेट बी ((10,0.1), (2,2)), जब चुना जाता है, तो सिस्टम एक तेज अनुभव करता है उत्पादन में गिरावट, और सेट सी ((1,10), (1,10)) जिसके लिए, इसके विपरीत, एक तेज और असीमित वृद्धि होती है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक दूसरे के साथ चरण आरेखों की तुलना करने की सुविधा के लिए, सभी मामलों में कुल्हाड़ियों के साथ मान -10 से 10 तक समान अंतराल में होंगे। बेशक, यह सिस्टम के गुणात्मक चित्र पर लागू नहीं होता है, जिसकी कुल्हाड़ियां आयामहीन होती हैं।

चित्र 1.3 पैरामीटर ए के साथ चरण चित्र

पारस्परिकता अंतर सीमा समीकरण

ऊपर चित्र 1.3 पैरामीटर के तीन निर्दिष्ट सेटों के साथ-साथ सिस्टम के गुणात्मक व्यवहार का वर्णन करने वाले चरण चित्र के लिए सिस्टम के चरण पोर्ट्रेट दिखाता है। यह मत भूलो कि व्यावहारिक दृष्टिकोण से सबसे महत्वपूर्ण पहली तिमाही है, क्योंकि उत्पादन की मात्रा, जो केवल गैर-नकारात्मक हो सकती है, हमारी कुल्हाड़ी है।

प्रत्येक आकृति में, संतुलन बिंदु (0,0) पर स्थिरता स्पष्ट रूप से दिखाई देती है। और पहले आंकड़े में, "काठी बिंदु" भी बिंदु (1,1) पर ध्यान देने योग्य है, दूसरे शब्दों में, यदि हम सिस्टम में मापदंडों के सेट के मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं, तो संतुलन बिंदु बी पर। जब मॉडल निर्माण की सीमाएं बदलती हैं, तो अन्य चरण के पोर्ट्रेट पर सैडल पॉइंट भी पाया जाता है।

संतृप्ति से विकास का माल्थुसियन मॉडल।

आइए हम दूसरी प्रणाली के लिए चरण आरेखों का निर्माण करें, जिसमें संतृप्ति है, पैरामीटर मानों के तीन नए सेट के साथ। सेट ए, ((0.1,15,100), (0.1,15,100)), सेट बी ((1,1,0.5), (1, 1,0.5)) और सेट सी ((20,1,100), (20,1,100) ))।

चित्र 1.4. पैरामीटर A . के साथ चरण चित्र

जैसा कि आप देख सकते हैं, मापदंडों के किसी भी सेट के लिए, बिंदु (0,0) संतुलन है, और स्थिर भी है। इसके अलावा कुछ आंकड़ों में आप एक सैडल पॉइंट देख सकते हैं।

इस मामले में, अधिक स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करने के लिए विभिन्न पैमानों पर विचार किया गया था कि जब सिस्टम में एक संतृप्ति कारक जोड़ा जाता है, तब भी गुणात्मक तस्वीर नहीं बदलती है, अर्थात केवल संतृप्ति पर्याप्त नहीं है। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि व्यवहार में, कंपनियों को स्थिरता की आवश्यकता होती है, अर्थात, यदि हम गैर-रैखिक अंतर समीकरणों पर विचार करते हैं, तो हम स्थिर संतुलन बिंदुओं में सबसे अधिक रुचि रखते हैं, और इन प्रणालियों में केवल शून्य अंक ही ऐसे बिंदु होते हैं, जिसका अर्थ है कि ऐसे गणितीय मॉडल स्पष्ट रूप से उद्यमों के लिए उपयुक्त नहीं हैं। आखिरकार, इसका मतलब है कि केवल शून्य उत्पादन के साथ, कंपनियां स्थिरता में हैं, जो दुनिया की वास्तविक तस्वीर से स्पष्ट रूप से अलग है।

गणित में, एक अभिन्न वक्र एक पैरामीट्रिक वक्र है जो एक साधारण अंतर समीकरण या समीकरणों की प्रणाली (लैंग, 1972) के एक विशेष समाधान का प्रतिनिधित्व करता है। यदि अवकल समीकरण को सदिश क्षेत्र के रूप में निरूपित किया जाता है, तो संगत समाकल वक्र प्रत्येक बिंदु पर क्षेत्र के स्पर्शरेखा होते हैं।

अंतर समीकरण या वेक्टर क्षेत्र की प्रकृति और व्याख्या के आधार पर इंटीग्रल वक्र को अन्य नामों से भी जाना जाता है। भौतिकी में, एक विद्युत क्षेत्र के लिए अभिन्न वक्र या चुंबकीय क्षेत्रक्षेत्र रेखाओं के रूप में जाना जाता है, और द्रव वेग क्षेत्र के लिए अभिन्न वक्रों को स्ट्रीमलाइन के रूप में जाना जाता है। गतिशील प्रणालियों में, एक अंतर समीकरण के लिए अभिन्न वक्र को प्रक्षेपवक्र कहा जाता है।

चित्र 1.5. इंटीग्रल कर्व्स

किसी भी प्रणाली के समाधान को अभिन्न वक्रों के समीकरणों के रूप में भी माना जा सकता है। जाहिर है, प्रत्येक चरण प्रक्षेपवक्र कुछ अभिन्न वक्र का प्रक्षेपण है स्पेस एक्स, वाई, टीचरण विमान के लिए।

इंटीग्रल कर्व्स बनाने के कई तरीके हैं।

उनमें से एक आइसोक्लाइन विधि है। एक समद्विबाहु एक वक्र है जो उन बिंदुओं से होकर गुजरता है जिस पर विचाराधीन फलन का ढलान हमेशा एक समान रहेगा, भले ही प्रारंभिक स्थितियां कुछ भी हों (हंस्की, 1999)।

साधारण अंतर समीकरणों को हल करने के लिए इसे अक्सर ग्राफिकल विधि के रूप में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, y "= f (x, y) के रूप के एक समीकरण में, समद्विबाहु रेखाएं (x, y) तल में f (x, y) को एक स्थिरांक के बराबर करके प्राप्त की गई रेखाएं हैं। यह रेखाओं की एक श्रृंखला देता है ( विभिन्न स्थिरांकों के लिए) जिसके साथ वक्र समाधानों की ढाल समान होती है। प्रत्येक समद्विबाहु के लिए इस ढाल की गणना करके, ढलान क्षेत्र की कल्पना की जा सकती है, जिससे अनुमानित समाधान वक्र बनाना अपेक्षाकृत आसान हो जाता है। नीचे दिया गया चित्र समद्विबाहु विधि का उपयोग करने का एक उदाहरण दिखाता है .

चित्र 1.6। आइसोक्लाइन विधि

इस पद्धति में कंप्यूटर गणना की आवश्यकता नहीं होती है, और यह अतीत में बहुत लोकप्रिय थी। अब ऐसे सॉफ़्टवेयर समाधान हैं जो कंप्यूटर पर अत्यंत सटीक और तेज़ी से इंटीग्रल कर्व्स का निर्माण करेंगे। हालांकि, फिर भी, समद्विबाहु विधि ने समाधान के व्यवहार का अध्ययन करने के लिए खुद को एक उपकरण के रूप में अच्छी तरह से दिखाया है, क्योंकि यह किसी को अभिन्न वक्रों के विशिष्ट व्यवहार के क्षेत्रों को दिखाने की अनुमति देता है।

संतृप्ति के बिना माल्थुसियन विकास मॉडल।

आइए इस तथ्य से शुरू करें कि विभिन्न निर्माण विधियों के अस्तित्व के बावजूद, समीकरणों की एक प्रणाली के अभिन्न वक्रों को दिखाना इतना आसान नहीं है। पहले उल्लेखित समद्विबाहु विधि उपयुक्त नहीं है क्योंकि यह प्रथम कोटि के अवकल समीकरणों के लिए कार्य करती है। और ऐसे कर्व्स को प्लॉट करने की क्षमता रखने वाले सॉफ़्टवेयर टूल सार्वजनिक डोमेन में नहीं हैं। उदाहरण के लिए, वोल्फ्राम मैथमैटिका, जो इसके लिए सक्षम है, का भुगतान किया जाता है। इसलिए, हम वोल्फ्राम अल्फा की क्षमताओं का यथासंभव उपयोग करने का प्रयास करेंगे, जिसके साथ विभिन्न लेखों और कार्यों में वर्णित है (ओर्का, 2009)। इस तथ्य के बावजूद कि चित्र स्पष्ट रूप से पूरी तरह से विश्वसनीय नहीं होगा, लेकिन कम से कम यह आपको विमानों (x, t), (y, t) में निर्भरता दिखाने की अनुमति देगा। सबसे पहले, आइए t के लिए प्रत्येक समीकरण को हल करें। अर्थात्, हम समय के संबंध में प्रत्येक चर की निर्भरता प्राप्त करते हैं। इस प्रणाली के लिए हमें मिलता है:

(1.10)

(1.11)

समीकरण सममित हैं, इसलिए हम उनमें से केवल एक पर विचार करते हैं, अर्थात् x(t)। स्थिरांक 1 के बराबर होने दें। इस स्थिति में, हम प्लॉटिंग फ़ंक्शन का उपयोग करेंगे।

चित्र 1.7। समीकरण के लिए त्रि-आयामी मॉडल (1.10)

संतृप्ति से विकास का माल्थुसियन मॉडल।

आइए दूसरे मॉडल के लिए भी ऐसा ही करें। अंततः, हमें दो समीकरण प्राप्त होते हैं जो समय पर चरों की निर्भरता को प्रदर्शित करते हैं।

(1.12)

(1.13)

आइए फिर से एक त्रि-आयामी मॉडल और स्तर की रेखाएं बनाएं।

चित्र 1.8। समीकरण के लिए त्रि-आयामी मॉडल (1.12)

चूंकि चर के मान गैर-ऋणात्मक हैं, तो घातांक के साथ अंश में हमें मिलता है एक ऋणात्मक संख्या. इस प्रकार, समय के साथ अभिन्न वक्र घटता जाता है।

पहले, कार्य के सार को समझने के लिए सिस्टम डायनेमिक्स की परिभाषा दी गई थी, लेकिन अब आइए इस पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

सिस्टम डायनेमिक्स - कार्यप्रणाली और पद्धति गणितीय मॉडलिंगजटिल समस्याओं के गठन, समझ और चर्चा के लिए, मूल रूप से 1950 के दशक में जे फॉरेस्टर द्वारा विकसित और उनके काम (फॉरेस्टर, 1961) में वर्णित है।

सिस्टम डायनेमिक्स सिस्टम थ्योरी का एक पहलू है जो जटिल सिस्टम के गतिशील व्यवहार को समझने की एक विधि के रूप में है। विधि का आधार यह मान्यता है कि किसी भी प्रणाली की संरचना में उसके घटकों के बीच कई संबंध होते हैं, जो अक्सर व्यक्तिगत घटकों के रूप में अपने व्यवहार को निर्धारित करने में महत्वपूर्ण होते हैं। उदाहरण विभिन्न लेखकों के कार्यों में वर्णित अराजकता सिद्धांत और सामाजिक गतिशीलता हैं (ग्रेबोगी, 1987; सोंटेग, 1998; कुज़नेत्सोव, 2001; ताबोर, 2001)। यह भी तर्क दिया जाता है कि चूंकि तत्व गुणों में अक्सर पूर्ण गुण नहीं पाए जा सकते हैं, कुछ मामलों में पूरे के व्यवहार को भागों के व्यवहार के संदर्भ में समझाया नहीं जा सकता है।

सिमुलेशन वास्तव में संपूर्ण दिखा सकता है व्यवहारिक महत्वगतिशील प्रणाली। हालांकि स्प्रेडशीट में यह संभव है, ऐसे कई सॉफ्टवेयर पैकेज हैं जिन्हें विशेष रूप से इस उद्देश्य के लिए अनुकूलित किया गया है।

मॉडलिंग वास्तविक दुनिया में इसके प्रदर्शन की भविष्यवाणी करने के लिए एक भौतिक मॉडल के प्रोटोटाइप को बनाने और उसका विश्लेषण करने की प्रक्रिया है। सिमुलेशन मॉडलिंग का उपयोग डिजाइनरों और इंजीनियरों को यह समझने में मदद करने के लिए किया जाता है कि किन परिस्थितियों में और किन मामलों में एक प्रक्रिया विफल हो सकती है और यह किस भार का सामना कर सकती है (खेमडी, 2007)। सिमुलेशन द्रव प्रवाह और अन्य के व्यवहार की भविष्यवाणी करने में भी मदद कर सकता है भौतिक घटनाएं. मॉडल अनुप्रयुक्त सिमुलेशन सॉफ़्टवेयर (स्ट्रोगालेव, 2008) के कारण अनुमानित कार्य स्थितियों का विश्लेषण करता है।

सिमुलेशन मॉडलिंग की संभावनाओं पर सीमाएं एक सामान्य कारण हैं। एक सटीक मॉडल का निर्माण और संख्यात्मक गणना केवल उन क्षेत्रों में सफलता की गारंटी देता है जहां एक सटीक मात्रात्मक सिद्धांत होता है, यानी, जब कुछ घटनाओं का वर्णन करने वाले समीकरण ज्ञात होते हैं, और कार्य केवल इन समीकरणों को आवश्यक सटीकता के साथ हल करना है। उन क्षेत्रों में जहां कोई मात्रात्मक सिद्धांत नहीं है, एक सटीक मॉडल का निर्माण सीमित मूल्य का है (बाज़ीकिन, 2003)।

हालांकि, मॉडलिंग की संभावनाएं असीमित नहीं हैं। सबसे पहले, यह इस तथ्य के कारण है कि सिमुलेशन मॉडल की प्रयोज्यता के दायरे का आकलन करना मुश्किल है, विशेष रूप से, उस समय की अवधि जिसके लिए पूर्वानुमान आवश्यक सटीकता के साथ बनाया जा सकता है (कानून, 2006)। इसके अलावा, इसकी प्रकृति से, सिमुलेशन मॉडल एक विशिष्ट वस्तु से बंधा होता है, और जब इसे किसी अन्य, यहां तक ​​​​कि समान वस्तु पर लागू करने का प्रयास किया जाता है, तो इसे एक कट्टरपंथी समायोजन या कम से कम, एक महत्वपूर्ण संशोधन की आवश्यकता होती है।

अनुकरण पर सीमाओं के अस्तित्व का एक सामान्य कारण है। एक "सटीक" मॉडल का निर्माण और संख्यात्मक गणना तभी सफल होती है जब एक मात्रात्मक सिद्धांत मौजूद होता है, अर्थात, यदि सभी समीकरण ज्ञात हों, और समस्या केवल एक निश्चित सटीकता के साथ इन समीकरणों को हल करने के लिए कम हो जाती है (बाज़ीकिन, 2003)।

लेकिन इसके बावजूद, सिमुलेशन मॉडलिंग गतिशील प्रक्रियाओं की कल्पना करने के लिए एक उत्कृष्ट उपकरण है, जो कम या ज्यादा सही मॉडल के साथ, इसके परिणामों के आधार पर निर्णय लेने की अनुमति देता है।

इस काम में, सिस्टम मॉडल को AnyLogic प्रोग्राम द्वारा पेश किए गए सिस्टम डायनेमिक्स टूल का उपयोग करके बनाया जाएगा।

संतृप्ति के बिना माल्थुसियन विकास मॉडल/

एक मॉडल बनाने से पहले, सिस्टम डायनामिक्स के उन तत्वों पर विचार करना आवश्यक है जिनका हम उपयोग करेंगे और उन्हें अपने सिस्टम से जोड़ेंगे। AnyLogic प्रोग्राम की सहायता जानकारी से निम्नलिखित परिभाषाएँ ली गई हैं।

ड्राइव सिस्टम डायनेमिक्स डायग्राम का मुख्य तत्व है। उनका उपयोग वास्तविक दुनिया की वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है, जिसमें कुछ संसाधन जमा होते हैं: धन, पदार्थ, लोगों के समूहों की संख्या, कुछ भौतिक वस्तुएं, आदि। संचयक सिम्युलेटेड सिस्टम की स्थिर स्थिति को दर्शाते हैं, और सिस्टम में मौजूद प्रवाह के अनुसार समय के साथ उनके मूल्य बदलते हैं। यह इस प्रकार है कि सिस्टम की गतिशीलता प्रवाह द्वारा निर्धारित की जाती है। संचायक में प्रवेश करने और छोड़ने वाले प्रवाह संचायक के मूल्यों को बढ़ाते या घटाते हैं।

प्रवाह, साथ ही उपरोक्त ड्राइव, सिस्टम-डायनेमिक आरेखों का मुख्य तत्व है।

जबकि डिब्बे सिस्टम के स्थिर हिस्से को परिभाषित करते हैं, प्रवाह डिब्बे के परिवर्तन की दर निर्धारित करते हैं, अर्थात समय के साथ स्टॉक कैसे बदलते हैं, और इस प्रकार सिस्टम की गतिशीलता को निर्धारित करते हैं।

एजेंट में चर हो सकते हैं। चर का उपयोग आमतौर पर किसी एजेंट की बदलती विशेषताओं को मॉडल करने या मॉडल के परिणामों को संग्रहीत करने के लिए किया जाता है। आमतौर पर, गतिशील चर में संचायक कार्य होते हैं।

एजेंट के पास पैरामीटर हो सकते हैं। मॉडल किए गए ऑब्जेक्ट की कुछ विशेषताओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए अक्सर पैरामीटर्स का उपयोग किया जाता है। वे तब उपयोगी होते हैं जब ऑब्जेक्ट इंस्टेंस का वर्ग में वर्णित व्यवहार के समान होता है, लेकिन कुछ पैरामीटर मानों में भिन्न होता है। चर और मापदंडों के बीच एक स्पष्ट अंतर है। चर मॉडल की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है और अनुकरण के दौरान बदल सकता है। पैरामीटर का उपयोग आमतौर पर वस्तुओं का स्थिर रूप से वर्णन करने के लिए किया जाता है। मॉडल के एक "रन" के दौरान, पैरामीटर आमतौर पर स्थिर होता है और केवल तभी बदला जाता है जब मॉडल के व्यवहार को पुन: कॉन्फ़िगर करने की आवश्यकता होती है।

एक लिंक सिस्टम डायनेमिक्स का एक तत्व है जिसका उपयोग प्रवाह आरेख और संचायक के तत्वों के बीच संबंध को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। यह स्वचालित रूप से लिंक नहीं बनाता है, लेकिन उपयोगकर्ता को ग्राफिकल संपादक में स्पष्ट रूप से आकर्षित करने के लिए मजबूर करता है (हालांकि, यह ध्यान देने योग्य है कि AnyLogic लापता लिंक को शीघ्रता से सेट करने के लिए एक तंत्र का भी समर्थन करता है)। उदाहरण के तौर पर, यदि समीकरण में ए के किसी भी तत्व का उल्लेख किया गया है या तत्व बी के प्रारंभिक मूल्य का उल्लेख किया गया है, तो आपको पहले इन तत्वों को ए से बी तक जाने वाले लिंक से जोड़ना होगा, और उसके बाद ही बी के गुणों में अभिव्यक्ति दर्ज करें। .

सिस्टम डायनामिक्स के कुछ अन्य तत्व हैं, लेकिन वे काम के दौरान शामिल नहीं होंगे, इसलिए हम उन्हें छोड़ देंगे।

आरंभ करने के लिए, आइए विचार करें कि सिस्टम के मॉडल (1.4) में क्या शामिल होगा।

सबसे पहले, हम तुरंत दो ड्राइव चिह्नित करते हैं, जिसमें प्रत्येक उद्यम के उत्पादन की मात्रा का मान होगा।

दूसरे, चूंकि हमारे पास प्रत्येक समीकरण में दो शब्द हैं, इसलिए हमें प्रत्येक ड्राइव में दो प्रवाह मिलते हैं, एक आने वाला, दूसरा बाहर जाने वाला।

तीसरा, हम चर और मापदंडों को पास करते हैं। केवल दो चर हैं। X और Y, उत्पादन की वृद्धि के लिए जिम्मेदार हैं। हमारे पास भी चार विकल्प हैं।

चौथा, कनेक्शन के संबंध में, प्रत्येक प्रवाह प्रवाह समीकरण में शामिल चर और मापदंडों के साथ जुड़ा होना चाहिए, और समय के साथ मूल्य को बदलने के लिए दोनों चर को संचायक के साथ जोड़ा जाना चाहिए।

हम अगले सिस्टम के लिए AnyLogic मॉडलिंग वातावरण में काम करने के एक उदाहरण के रूप में एक मॉडल के निर्माण का एक विस्तृत विवरण छोड़ देंगे, क्योंकि यह कुछ अधिक जटिल है और अधिक मापदंडों का उपयोग करता है, और हम तुरंत तैयार संस्करण पर विचार करने के लिए आगे बढ़ेंगे। व्यवस्था।

चित्र 1.9 नीचे निर्मित मॉडल को दर्शाता है:

चित्र 1.9. सिस्टम के लिए सिस्टम डायनामिक्स मॉडल (1.4)

सिस्टम डायनामिक्स के सभी तत्व ऊपर वर्णित लोगों के अनुरूप हैं, अर्थात। दो संचायक, चार धाराएँ (दो आवक, दो जावक), चार पैरामीटर, दो गतिशील चर, और आवश्यक कनेक्शन।

यह आंकड़ा दर्शाता है कि जितने अधिक उत्पाद होंगे, उसकी वृद्धि उतनी ही मजबूत होगी, जिससे माल की संख्या में तेज वृद्धि होगी, जो हमारे सिस्टम से मेल खाती है। लेकिन जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, इस वृद्धि पर प्रतिबंधों की अनुपस्थिति इस मॉडल को व्यवहार में लागू करने की अनुमति नहीं देती है।

संतृप्ति से माल्थुसियन विकास मॉडल/

इस प्रणाली को ध्यान में रखते हुए, आइए हम मॉडल के निर्माण पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

पहला कदम दो ड्राइव को जोड़ना है, चलिए उन्हें X_stock और Y_stock कहते हैं। हम उनमें से प्रत्येक के लिए 1 का प्रारंभिक मान निर्दिष्ट करते हैं। ध्यान दें कि शास्त्रीय में प्रवाह की अनुपस्थिति में दिया गया समीकरणभंडारण में कुछ भी नहीं है।

चित्र 1.10. सिस्टम मॉडल बनाना (1.9)

अगला चरण थ्रेड्स जोड़ रहा है। आइए ग्राफिकल एडिटर का उपयोग करके प्रत्येक ड्राइव के लिए एक इनकमिंग और आउटगोइंग स्ट्रीम बनाएं। हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि प्रवाह के किनारों में से एक ड्राइव में होना चाहिए, अन्यथा वे कनेक्ट नहीं होंगे।

आप देख सकते हैं कि ड्राइव के लिए समीकरण स्वचालित रूप से सेट किया गया था, निश्चित रूप से, उपयोगकर्ता इसे "मनमाना" समीकरण मोड चुनकर खुद लिख सकता है, लेकिन इस क्रिया को प्रोग्राम पर छोड़ने का सबसे आसान तरीका है।

हमारा तीसरा चरण छह पैरामीटर और दो गतिशील चर जोड़ना है। आइए प्रत्येक तत्व को सिस्टम में उसकी शाब्दिक अभिव्यक्ति के अनुसार एक नाम दें, और मापदंडों के प्रारंभिक मान भी निम्नानुसार सेट करें: e1=e2=1, a12=a21=3, n1=n2=0.2।

समीकरणों के सभी तत्व मौजूद हैं, यह केवल प्रवाह के लिए समीकरण लिखने के लिए रहता है, लेकिन इसके लिए आपको पहले तत्वों के बीच संबंध जोड़ने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, पद के लिए जिम्मेदार आउटगोइंग स्ट्रीम को e1 और x के साथ जोड़ा जाना चाहिए। और प्रत्येक गतिशील चर को उसके संगत स्टॉक (X_stock x, Y_stock y) के साथ जोड़ा जाना चाहिए। लिंक बनाना थ्रेड जोड़ने के समान है।

आवश्यक कनेक्शन बनाने के बाद, आप प्रवाह के लिए समीकरण लिखने के लिए आगे बढ़ सकते हैं, जो सही आकृति में दिखाया गया है। बेशक, आप रिवर्स ऑर्डर में जा सकते हैं, लेकिन अगर कनेक्शन हैं, तो समीकरण लिखते समय, आवश्यक पैरामीटर / चर को प्रतिस्थापित करने के लिए संकेत दिखाई देते हैं, जो जटिल मॉडल में कार्य को आसान बनाता है।

सभी चरणों को पूरा करने के बाद, आप सिमुलेशन मॉडल चला सकते हैं और इसके परिणाम देख सकते हैं।

पारस्परिकता की स्थितियों में कंपनियों की बातचीत के लिए गैर-रेखीय अंतर समीकरणों की प्रणालियों पर विचार करने के बाद, हम कई निष्कर्ष निकाल सकते हैं।

प्रणाली की दो अवस्थाएँ हैं: एक तीव्र असीमित वृद्धि, या उत्पादन की मात्रा की शून्य की प्रवृत्ति। सिस्टम दोनों में से कौन सा राज्य ग्रहण करेगा यह मापदंडों पर निर्भर करता है।

गैर-शून्य स्थिर स्थिति की कमी के साथ-साथ पैराग्राफ 1 में वर्णित कारणों के कारण, संतृप्ति को ध्यान में रखते हुए मॉडल सहित कोई भी प्रस्तावित मॉडल व्यावहारिक उपयोग के लिए उपयुक्त नहीं है।

व्यवहार में कंपनियों द्वारा लागू मॉडल बनाने के लिए इस प्रकार की सहजीवी बातचीत का और अध्ययन करने के प्रयास के मामले में, सिस्टम को और जटिल करना और नए मापदंडों को पेश करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, बाज़ीकिन ने अपनी पुस्तक में दो पारस्परिक आबादी की गतिशीलता का एक उदाहरण दिया है, जिसमें इंट्रास्पेसिफिक प्रतिस्पर्धा के एक अतिरिक्त कारक की शुरूआत की गई है। जिसके कारण सिस्टम रूप लेता है:

(1.15)

और इस मामले में, सिस्टम की एक गैर-शून्य स्थिर स्थिति दिखाई देती है, जो शून्य से एक "काठी" से अलग होती है, जो इसे जो हो रहा है उसकी वास्तविक तस्वीर के करीब लाती है।

2. प्रोटो-सहकारिता की शर्तों में कंपनियों की सहभागिता

सभी बुनियादी सैद्धांतिक जानकारी पिछले अध्याय में प्रस्तुत की गई थी, इसलिए इस अध्याय में विचार किए गए मॉडलों के विश्लेषण में, अधिकांश भाग के लिए, सिद्धांत को छोड़ दिया जाएगा, कुछ बिंदुओं के अपवाद के साथ जिनका हमने पिछले में सामना नहीं किया था अध्याय, और गणना में कमी भी हो सकती है। इस अध्याय में प्रोटो-सहयोग की शर्तों के तहत विचार किए गए संगठनों के बीच बातचीत का मॉडल, जिसमें माल्थुसियन मॉडल पर आधारित दो समीकरणों की प्रणाली शामिल है, सिस्टम (1.5) जैसा दिखता है। पिछले अध्याय में विश्लेषण की गई प्रणालियों ने दिखाया कि मौजूदा मॉडलों के लिए उनके अधिकतम सन्निकटन के लिए, सिस्टम को जटिल बनाना आवश्यक है। इन निष्कर्षों के आधार पर, हम तुरंत मॉडल में विकास की बाधा जोड़ देंगे। पिछले प्रकार की बातचीत के विपरीत, जब विकास जो किसी अन्य कंपनी पर निर्भर नहीं करता है, नकारात्मक है, इस मामले में सभी संकेत सकारात्मक हैं, जिसका अर्थ है कि हमारे पास निरंतर विकास है। पहले वर्णित कमियों से बचने के लिए, हम इसे लॉजिस्टिक समीकरण तक सीमित करने का प्रयास करेंगे, जिसे वर्हुल्स्ट समीकरण (गेर्शेनफेल्ड, 1999) के रूप में भी जाना जाता है, जिसका निम्न रूप है:

, (2.1)

जहाँ P जनसंख्या का आकार है, r वृद्धि दर को दर्शाने वाला पैरामीटर है, K अधिकतम संभव जनसंख्या आकार के लिए जिम्मेदार पैरामीटर है। यही है, समय के साथ, जनसंख्या का आकार (हमारे मामले में, उत्पादन) एक निश्चित पैरामीटर K तक जाएगा।

यह समीकरण अब तक देखी गई बड़े पैमाने पर उत्पादन वृद्धि को रोकने में मदद करेगा। इस प्रकार, सिस्टम निम्नलिखित रूप लेता है:

(2.2)

यह मत भूलो कि प्रत्येक कंपनी के लिए गोदाम में संग्रहीत माल की मात्रा अलग है, इसलिए विकास को सीमित करने वाले पैरामीटर अलग हैं। आइए इस प्रणाली को "" कहते हैं, और भविष्य में हम इस नाम का उपयोग तब करेंगे जब हम इस पर विचार करेंगे।

दूसरी प्रणाली जिस पर हम विचार करेंगे वह है आगामी विकाश Verhullst बाधा वाले मॉडल। जैसा कि पिछले अध्याय में, हम एक संतृप्ति बाधा का परिचय देते हैं, फिर सिस्टम रूप लेगा:

(2.3)

अब प्रत्येक पद की अपनी सीमा है, इसलिए आगे के विश्लेषण के बिना यह देखा जा सकता है कि कोई असीमित वृद्धि नहीं होगी, जैसा कि पिछले अध्याय के मॉडल में है। और चूंकि प्रत्येक पद सकारात्मक वृद्धि दर्शाता है, तो उत्पादन की मात्रा शून्य तक नहीं गिरेगी। आइए इस मॉडल को "दो-विवश प्रोटो-ऑपरेशन मॉडल" कहते हैं।

जैविक आबादी पर विभिन्न स्रोतों में इन दो मॉडलों पर चर्चा की गई है। अब हम सिस्टम को कुछ हद तक विस्तारित करने का प्रयास करेंगे। ऐसा करने के लिए, निम्न आकृति पर विचार करें।

यह आंकड़ा दो कंपनियों की प्रक्रियाओं का एक उदाहरण दिखाता है: इस्पात और कोयला उद्योग। दोनों उद्यमों में उत्पादन में वृद्धि होती है जो दूसरे से स्वतंत्र होती है, और उत्पादन में भी वृद्धि होती है, जो उनकी बातचीत के कारण प्राप्त होती है। हम पहले के मॉडलों में इसे पहले ही ध्यान में रख चुके हैं। अब यह इस तथ्य पर ध्यान देने योग्य है कि कंपनियां न केवल उत्पादों का उत्पादन करती हैं, वे उन्हें बेचते भी हैं, उदाहरण के लिए, बाजार में या इसके साथ बातचीत करने वाली कंपनी को। वे। तार्किक निष्कर्षों के आधार पर, उत्पादों की बिक्री के कारण कंपनियों की नकारात्मक वृद्धि की आवश्यकता है (आंकड़े में, पैरामीटर β1 और β2 इसके लिए जिम्मेदार हैं), साथ ही उत्पादन के हिस्से को किसी अन्य उद्यम में स्थानांतरित करने के कारण . पहले, हमने इसे केवल किसी अन्य कंपनी के लिए सकारात्मक संकेत के साथ ध्यान में रखा, लेकिन इस तथ्य पर विचार नहीं किया कि उत्पादों को स्थानांतरित करते समय पहली कंपनी के लिए उत्पादों की संख्या घट जाती है। इस मामले में, हमें सिस्टम मिलता है:

(2.4)

और अगर इस शब्द के बारे में कहा जा सकता है कि यदि पिछले मॉडलों में यह संकेत दिया गया था कि , प्राकृतिक वृद्धि की विशेषता है, और पैरामीटर नकारात्मक हो सकता है, तो व्यावहारिक रूप से कोई अंतर नहीं है, तो शब्द के बारे में यह नहीं कहा जा सकता। इसके अलावा, भविष्य में, जब इस तरह की प्रणाली को उस पर लगाए गए प्रतिबंध के साथ माना जाता है, तो सकारात्मक और नकारात्मक विकास की शर्तों का उपयोग करना अधिक सही होता है, क्योंकि इस मामले में उन पर विभिन्न प्रतिबंध लगाए जा सकते हैं, जो प्राकृतिक के लिए असंभव है वृद्धि। आइए इसे "विस्तारित प्रोटो-सहयोग मॉडल" कहते हैं।

अंत में, विचाराधीन चौथा मॉडल विस्तारित प्रोटो-कोऑपरेशन मॉडल है जिसमें पहले उल्लेखित लॉजिस्टिक विकास बाधा है। और इस मॉडल की प्रणाली इस प्रकार है:

, (2.5)

पहले उद्यम के उत्पादन में वृद्धि कहां है, दूसरे से स्वतंत्र, रसद की कमी को ध्यान में रखते हुए, - पहली कंपनी के उत्पादन में वृद्धि, दूसरे के आधार पर, लॉजिस्टिक बाधा को ध्यान में रखते हुए, - दूसरे उद्यम के उत्पादन में वृद्धि, पहले से स्वतंत्र, लॉजिस्टिक बाधा को ध्यान में रखते हुए, - दूसरी कंपनी के उत्पादन में वृद्धि, पहली कंपनी के आधार पर, रसद की कमी को ध्यान में रखते हुए, - पहली कंपनी के सामान की खपत, दूसरे से संबंधित नहीं, - दूसरी कंपनी के सामान की खपत, दूसरे से संबंधित नहीं , - दूसरे उद्योग द्वारा पहले उद्योग के माल की खपत, - दूसरे उद्योग के पहले उद्योग के माल की खपत।

भविष्य में, इस मॉडल को "एक लॉजिस्टिक बाधा के साथ एक विस्तारित प्रोटो-ऑपरेशन मॉडल" के रूप में संदर्भित किया जाएगा।

1 पहले सन्निकटन में सिस्टम की स्थिरता

वर्हुल्स्ट बाधा के साथ प्रोटो-ऑपरेशन मॉडल

सिस्टम की स्थिरता का विश्लेषण करने के तरीके पिछले अध्याय के समान खंड में इंगित किए गए थे। सबसे पहले, हम संतुलन बिंदु पाते हैं। उनमें से एक, हमेशा की तरह, शून्य है। दूसरा निर्देशांक वाला एक बिंदु है।

शून्य बिंदु λ1 = , λ2 = के लिए, क्योंकि दोनों पैरामीटर गैर-ऋणात्मक हैं, हम एक अस्थिर नोड प्राप्त करते हैं।

चूंकि दूसरे बिंदु के साथ काम करना बहुत सुविधाजनक नहीं है, अभिव्यक्ति को छोटा करने की क्षमता की कमी के कारण, हम चरण आरेखों के लिए स्थिरता के प्रकार की परिभाषा छोड़ देंगे, क्योंकि वे स्पष्ट रूप से दिखाते हैं कि संतुलन बिंदु स्थिर है या नहीं या नहीं।

इस प्रणाली का विश्लेषण पिछले एक की तुलना में अधिक जटिल है, इस तथ्य के कारण कि संतृप्ति कारक जोड़ा जाता है, इस प्रकार नए पैरामीटर दिखाई देते हैं, और संतुलन बिंदुओं को खोजने पर, एक रैखिक नहीं, बल्कि एक द्विरेखीय समीकरण को हल करना आवश्यक होगा हर में चर। इसलिए, पिछले मामले की तरह, हम स्थिरता प्रकार की परिभाषा को चरण आरेखों पर छोड़ देते हैं।

नए मापदंडों की उपस्थिति के बावजूद, शून्य बिंदु पर जैकोबियन, साथ ही विशेषता समीकरण की जड़ें, पिछले मॉडल के समान दिखती हैं। इस प्रकार, शून्य बिंदु पर, एक अस्थिर नोड।

चलो उन्नत मॉडल पर चलते हैं। उनमें से पहले में कोई प्रतिबंध नहीं है और सिस्टम का रूप लेता है (2.4)

आइए चरों का परिवर्तन करें, , तथा . नई प्रणाली:

(2.6)

इस स्थिति में, हमें दो संतुलन बिंदु मिलते हैं, बिंदु A(0,0), B()। बिंदु बी पहली तिमाही में स्थित है क्योंकि चर का एक गैर-ऋणात्मक मान है।

संतुलन बिंदु A के लिए हम प्राप्त करते हैं:

. - अस्थिर गाँठ

. - काठी,

. - काठी,

. - स्थिर गाँठ

बिंदु B पर, अभिलक्षणिक समीकरण के मूल सम्मिश्र संख्याएँ हैं: 1 = , λ2 = । हम लाइपुनोव के प्रमेयों के आधार पर स्थिरता के प्रकार का निर्धारण नहीं कर सकते हैं, इसलिए हम संख्यात्मक सिमुलेशन करेंगे जो सभी संभावित राज्यों को नहीं दिखाएंगे, लेकिन हमें उनमें से कम से कम कुछ का पता लगाने की अनुमति देंगे।

चित्र 2.2। स्थिरता के प्रकार के लिए खोज का संख्यात्मक अनुकरण

इस मॉडल को ध्यान में रखते हुए, किसी को कम्प्यूटेशनल कठिनाइयों का सामना करना पड़ेगा, क्योंकि इसमें बड़ी संख्या में विभिन्न पैरामीटर हैं, साथ ही साथ दो सीमाएं भी हैं।

गणनाओं के विवरण में जाने के बिना, हम निम्नलिखित संतुलन बिंदुओं पर पहुंचते हैं। निम्नलिखित निर्देशांक के साथ बिंदु A(0,0) और बिंदु B:

(), जहां एक =

बिंदु A के लिए, स्थिरता के प्रकार का निर्धारण करना एक तुच्छ कार्य है। अभिलक्षणिक समीकरण के मूल हैं 1 = , λ2 = । इस प्रकार हमें चार विकल्प मिलते हैं:

1. 1 > 0, λ2 > 0 - अस्थिर नोड।

2.λ1< 0, λ2 >0 - काठी।

3. 1 > 0, 2< 0 - седло.

4.λ1< 0, λ2 < 0 - устойчивый узел.

बिंदु बी के बारे में बोलते हुए, यह सहमत होने योग्य है कि इसके लिए अभिव्यक्ति में संक्षेपों को प्रतिस्थापित करने से जैकोबियन के साथ काम करना और विशेषता समीकरण की जड़ों को ढूंढना मुश्किल हो जाएगा। उदाहरण के लिए, वुल्फरामअल्फा कंप्यूटिंग टूल्स का उपयोग करके उन्हें खोजने की कोशिश करने के बाद, जड़ों के आउटपुट में लगभग पांच लाइनें लगीं, जो उनके साथ शाब्दिक रूप से काम करने की अनुमति नहीं देती हैं। बेशक, यदि पहले से मौजूद पैरामीटर हैं, तो जल्दी से एक संतुलन बिंदु खोजना संभव लगता है, लेकिन यह एक विशेष मामला है, क्योंकि हम केवल इन मापदंडों के लिए संतुलन स्थिति पाएंगे, यदि कोई हो, जो निर्णय के लिए उपयुक्त नहीं है समर्थन प्रणाली जिसके लिए मॉडल बनाने की योजना है।

विशेषता समीकरण की जड़ों के साथ काम करने की जटिलता के कारण, हम बाज़ीकिन के काम (बाज़ीकिन, 2003) में विश्लेषण की गई प्रणाली के अनुरूप शून्य-आइसोक्लिन की पारस्परिक व्यवस्था का निर्माण करते हैं। यह हमें सिस्टम के संभावित राज्यों पर विचार करने की अनुमति देगा, और भविष्य में, चरण चित्रों का निर्माण करते समय, संतुलन बिंदुओं और उनकी स्थिरता के प्रकारों को खोजने के लिए।

कुछ गणनाओं के बाद, शून्य-आइसोक्लिनिक समीकरण निम्नलिखित रूप लेते हैं:

(2.7)

इस प्रकार, समद्विबाहु में परवलय का रूप होता है।

चित्र 2.3। संभावित अशक्त-आइसोक्लिनिक स्थान

कुल मिलाकर, परवलय के बीच सामान्य बिंदुओं की संख्या के अनुसार उनकी पारस्परिक व्यवस्था के चार संभावित मामले हैं। उनमें से प्रत्येक के पास मापदंडों का अपना सेट है, और इसलिए सिस्टम के चरण चित्र।

सिस्टम के 2 चरण चित्र

आइए हम सिस्टम के एक चरण चित्र का निर्माण करें, बशर्ते कि और शेष पैरामीटर 1 के बराबर हैं। इस मामले में, चर का एक सेट पर्याप्त है, क्योंकि गुणवत्ता नहीं बदलेगी।

जैसा कि नीचे दिए गए आंकड़ों से देखा जा सकता है, शून्य बिंदु एक अस्थिर नोड है, और दूसरा बिंदु, यदि हम मापदंडों के संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें (-1.5, -1.5) - एक सैडल मिलता है।

चित्र 2.4. सिस्टम के लिए चरण चित्र (2.2)

इस प्रकार, चूंकि कोई परिवर्तन नहीं होना चाहिए, इस प्रणाली के लिए केवल अस्थिर राज्य हैं, जो असीमित वृद्धि की संभावना के कारण सबसे अधिक संभावना है।

दो प्रतिबंधों के साथ एक प्रोटो-ऑपरेशन मॉडल।

इस प्रणाली में, एक अतिरिक्त सीमित कारक है, इसलिए चरण आरेख पिछले मामले से भिन्न होना चाहिए, जैसा कि आंकड़े में देखा जा सकता है। शून्य बिंदु भी एक अस्थिर नोड है, लेकिन इस प्रणाली में एक स्थिर स्थिति दिखाई देती है, अर्थात् एक स्थिर नोड। इन मापदंडों के साथ, इसके निर्देशांक (5.5,5.5), इसे चित्र में दिखाया गया है।

चित्र 2.5. सिस्टम के लिए चरण चित्र (2.3)

इस प्रकार, प्रत्येक पद पर प्रतिबंध ने प्रणाली की एक स्थिर स्थिति प्राप्त करना संभव बना दिया।

विस्तारित प्रोटो-ऑपरेशन मॉडल।

आइए विस्तारित मॉडल के लिए चरण पोर्ट्रेट बनाएं, लेकिन तुरंत इसके संशोधित रूप का उपयोग करें:

आइए मापदंडों के चार सेटों पर विचार करें, जैसे कि शून्य संतुलन बिंदु वाले सभी मामलों पर विचार करना, और गैर-शून्य संतुलन बिंदु के लिए उपयोग किए जाने वाले संख्यात्मक सिमुलेशन के चरण आरेखों को भी प्रदर्शित करना: सेट ए (1,0.5,0.5) राज्य से मेल खाता है , सेट बी(1,0.5,-0.5) से मेल खाती है सी (-1.0.5,0.5) सेट करें और डी (-1.0.5, -0.5) सेट करें , यानी शून्य बिंदु पर एक स्थिर नोड। पहले दो सेट उन मापदंडों के लिए चरण पोर्ट्रेट प्रदर्शित करेंगे जिन्हें हमने संख्यात्मक सिमुलेशन में माना था।

चित्र 2.6। सिस्टम के लिए चरण पोर्ट्रेट (2.4) पैरामीटर -D के साथ।

आंकड़ों में, क्रमशः (-1,2) और (1,-2) बिंदुओं पर ध्यान देना आवश्यक है, उनमें एक "काठी" दिखाई देती है। अधिक विस्तृत प्रतिनिधित्व के लिए, आंकड़ा एक काठी बिंदु (1,-2) के साथ आकृति का एक अलग पैमाना दिखाता है। आकृति में, बिंदुओं (1,2) और (-1,-2) पर एक स्थिर केंद्र दिखाई देता है। जहां तक ​​शून्य बिंदु का सवाल है, चरण आरेखों पर आकृति से लेकर आकृति तक, हम स्पष्ट रूप से एक अस्थिर नोड, एक काठी, एक काठी और एक स्थिर नोड को अलग कर सकते हैं।

रसद बाधा के साथ विस्तारित प्रोटो-सहयोग मॉडल।

पिछले मॉडल की तरह, हम शून्य बिंदु के चार मामलों के लिए चरण पोर्ट्रेट प्रदर्शित करेंगे, और हम इन आरेखों में गैर-शून्य समाधानों को भी नोट करने का प्रयास करेंगे। ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित क्रम में निर्दिष्ट मापदंडों के साथ मापदंडों के निम्नलिखित सेट लें (): ए (2,1,2,1), बी (2,1,1,2), सी (1,2,2 ,1) और डी (1,2,1,2)। सभी सेटों के लिए शेष पैरामीटर इस प्रकार होंगे: , .

नीचे दिए गए आंकड़ों में, इस गतिशील प्रणाली के लिए पिछले खंड में वर्णित शून्य बिंदु के चार संतुलन राज्यों का निरीक्षण कर सकते हैं। और आंकड़ों में भी, एक गैर-शून्य निर्देशांक वाले बिंदु की स्थिर स्थिति।

चित्र 2.7. सिस्टम के लिए चरण चित्र (2.5) पैरामीटर ए-बी . के साथ

सिस्टम के 3 इंटीग्रल ट्रैजेक्टोरियां

वर्हुल्स्ट बाधा के साथ प्रोटो-ऑपरेशन मॉडल

पिछले अध्याय की तरह, हम प्रत्येक अवकल समीकरण को अलग-अलग हल करते हैं और समय पैरामीटर पर चर की निर्भरता को स्पष्ट रूप से व्यक्त करते हैं।

(2.8)

(2.9)

प्राप्त समीकरणों से यह देखा जा सकता है कि प्रत्येक चर का मान बढ़ता है, जिसे नीचे त्रि-आयामी मॉडल में प्रदर्शित किया गया है।

चित्र 2.8। समीकरण के लिए त्रि-आयामी मॉडल (2.8)

इस प्रकार का प्लॉट शुरू में अध्याय 1 में चर्चा किए गए असंतृप्त 3D माल्थुसियन मॉडल से मिलता-जुलता है, जिसमें इसकी समान तीव्र वृद्धि होती है, लेकिन बाद में आप विकास दर में कमी देख सकते हैं क्योंकि आउटपुट सीमा तक पहुँच जाती है। इस प्रकार इंटीग्रल कर्व्स का अंतिम स्वरूप लॉजिस्टिक समीकरण के प्लॉट के समान है जिसका उपयोग किसी एक शब्द को सीमित करने के लिए किया गया था।

दो प्रतिबंधों के साथ एक प्रोटो-ऑपरेशन मॉडल।

हम वुल्फराम अल्फा टूल का उपयोग करके प्रत्येक समीकरण को हल करते हैं। इस प्रकार, फ़ंक्शन x(t) की निर्भरता निम्न रूप में कम हो जाती है:

(2.10)

दूसरे फ़ंक्शन के लिए, स्थिति समान है, इसलिए हम इसके समाधान को छोड़ देते हैं। कुछ उपयुक्त मूल्यों द्वारा मापदंडों के प्रतिस्थापन के कारण संख्यात्मक मान प्रकट हुए, जो अभिन्न घटता के गुणात्मक व्यवहार को प्रभावित नहीं करते हैं। नीचे दिए गए चार्ट वृद्धि पर सीमाओं के उपयोग को दिखाते हैं क्योंकि समय के साथ घातीय वृद्धि लॉगरिदमिक हो जाती है।

चित्र 2.9। समीकरण के लिए त्रि-आयामी मॉडल (2.10)

विस्तारित प्रोटो-ऑपरेशन मॉडल

लगभग पारस्परिकता वाले मॉडल के समान। केवल अंतर उन मॉडलों के सापेक्ष तेज वृद्धि में है, जिसे नीचे दिए गए समीकरणों (यदि आप घातांक की डिग्री को देखते हैं) और ग्राफ़ से देखा जा सकता है। अभिन्न वक्र को एक घातांक का रूप लेना चाहिए।

(2.11)

(2.12)

लॉजिस्टिक बाधा के साथ विस्तारित प्रोटो-सहकारिता मॉडल

निर्भरता एक्स (टी) इस तरह दिखती है:

ग्राफ़ के बिना, फ़ंक्शन के व्यवहार का मूल्यांकन करना मुश्किल है, इसलिए हमें पहले से ज्ञात टूल का उपयोग करके, हम इसका निर्माण करेंगे।

चित्र 2.10 समीकरण के लिए 3डी मॉडल

किसी अन्य चर के गैर-छोटे मानों के लिए फ़ंक्शन का मान कम हो जाता है, जो नकारात्मक बिलिनियर शब्द पर प्रतिबंधों की अनुपस्थिति के कारण होता है, और यह एक स्पष्ट परिणाम है

4 इंटरैक्टिंग कंपनियों की सिस्टम डायनेमिक्स

वर्हुल्स्ट बाधा के साथ प्रोटो-ऑपरेशन मॉडल।

आइए हम प्रणाली (2.2) का निर्माण करें। पहले से ज्ञात टूल का उपयोग करके, हम एक सिमुलेशन मॉडल बनाते हैं। इस बार, पारस्परिक मॉडल के विपरीत, मॉडल में एक तार्किक बाधा होगी।

चित्र 2.11. सिस्टम के लिए सिस्टम डायनेमिक्स मॉडल (2.2)

चलो मॉडल चलाते हैं। इस मॉडल में, यह तथ्य ध्यान देने योग्य है कि रिश्ते से विकास किसी चीज से सीमित नहीं है, और दूसरे के प्रभाव के बिना उत्पादन की वृद्धि की एक विशिष्ट सीमा है। यदि आप स्वयं लॉजिस्टिक फ़ंक्शन की अभिव्यक्ति को देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि उस स्थिति में जब चर (माल की संख्या) अधिकतम संभव भंडारण मात्रा से अधिक हो जाती है, तो शब्द नकारात्मक हो जाता है। मामले में जब केवल एक लॉजिस्टिक फ़ंक्शन होता है, तो यह असंभव है, लेकिन एक अतिरिक्त हमेशा सकारात्मक वृद्धि कारक के साथ, यह संभव है। और अब यह समझना महत्वपूर्ण है कि लॉजिस्टिक्स फ़ंक्शन उत्पादों की संख्या में बहुत तेजी से वृद्धि की स्थिति का सामना नहीं करेगा, उदाहरण के लिए, रैखिक। आइए नीचे दी गई तस्वीरों पर एक नजर डालते हैं।

चित्र 2.12. सिस्टम के लिए सिस्टम डायनेमिक्स मॉडल के संचालन का एक उदाहरण (2.2)

बायां आंकड़ा प्रस्तावित मॉडल के अनुरूप कार्यक्रम के 5वें चरण को दर्शाता है। लेकिन फिलहाल यह सही फिगर पर ध्यान देने लायक है।

सबसे पहले, Y_stock के लिए आने वाली स्ट्रीम में से एक के लिए, x के लिए लिंक, के संदर्भ में व्यक्त किया गया है, हटा दिया गया है। यह एक रैखिक हमेशा सकारात्मक प्रवाह के साथ मॉडल के प्रदर्शन में अंतर दिखाने के लिए किया जाता है, और बिलिनियर विकास, जो X_stock के लिए प्रस्तुत किया जाता है। रैखिक असीमित प्रवाह के साथ, पैरामीटर K से अधिक होने के बाद, सिस्टम कुछ बिंदु पर संतुलन में आता है (इस मॉडल में, संतुलन की स्थिति 200 हजार यूनिट माल है)। लेकिन बहुत पहले, बिलिनियर विकास से माल की मात्रा में तेज वृद्धि होती है, जो अनंत में गुजरती है। यदि हम दाएं और बाएं दोनों को लगातार सकारात्मक प्रवाह बिलिनियर छोड़ देते हैं, तो पहले से ही लगभग 20-30 चरणों में, संचायक का मूल्य दो अनंत के अंतर पर आता है।

उपरोक्त के आधार पर, यह कहना सुरक्षित है कि ऐसे मॉडलों के आगे उपयोग के मामले में, किसी भी सकारात्मक वृद्धि को सीमित करना आवश्यक है।

दो प्रतिबंधों के साथ एक प्रोटो-ऑपरेशन मॉडल।

पिछले मॉडल की कमियों का पता लगाने और संतृप्ति कारक द्वारा दूसरे कार्यकाल पर प्रतिबंध लगाने के बाद, हम एक नया मॉडल बनाएंगे और चलाएंगे।

चित्र 2.13. सिस्टम की गतिशीलता का मॉडल और सिस्टम के लिए इसके संचालन का एक उदाहरण (2.3)

अंत में, यह मॉडल लंबे समय से प्रतीक्षित परिणाम लाता है। यह संचायक मूल्यों के विकास को सीमित करने के लिए निकला। जैसा कि सही आंकड़े से देखा जा सकता है, दोनों उद्यमों के लिए, भंडारण मात्रा की थोड़ी अधिकता के साथ संतुलन प्राप्त किया जाता है।

विस्तारित प्रोटो-ऑपरेशन मॉडल।

इस मॉडल के सिस्टम की गतिशीलता पर विचार करते समय, मॉडल के रंगीन विज़ुअलाइज़ेशन के लिए AnyLogic सॉफ़्टवेयर वातावरण की क्षमताओं का प्रदर्शन किया जाएगा। पिछले सभी मॉडल केवल सिस्टम डायनामिक्स के तत्वों का उपयोग करके बनाए गए थे। इसलिए, मॉडल स्वयं विनीत दिखते थे, उन्होंने समय के साथ उत्पादन की मात्रा में परिवर्तन की गतिशीलता को ट्रैक करने और कार्यक्रम के चलने के दौरान मापदंडों को बदलने की अनुमति नहीं दी। इस और अगले मॉडल के साथ काम करते समय, हम उपरोक्त तीन कमियों को बदलने के लिए कार्यक्रम क्षमताओं की एक विस्तृत श्रृंखला का उपयोग करने का प्रयास करेंगे।

सबसे पहले, "सिस्टम डायनेमिक्स" अनुभाग के अलावा, कार्यक्रम में "चित्र", "3 डी ऑब्जेक्ट" अनुभाग भी शामिल हैं, जो मॉडल को विविधता प्रदान करना संभव बनाता है, जो इसकी आगे की प्रस्तुति के लिए उपयोगी है, क्योंकि यह मॉडल को दिखता है "अधिक सुखद"।

दूसरे, मॉडल के मूल्यों में परिवर्तन की गतिशीलता को ट्रैक करने के लिए, एक "सांख्यिकी" खंड है जो आपको चार्ट और विभिन्न डेटा संग्रह टूल को मॉडल से जोड़कर जोड़ने की अनुमति देता है।

तीसरा, मॉडल के निष्पादन के दौरान मापदंडों और अन्य वस्तुओं को बदलने के लिए, "नियंत्रण" अनुभाग है। इस खंड की वस्तुएं आपको मॉडल के चलने के दौरान पैरामीटर बदलने की अनुमति देती हैं (उदाहरण के लिए, "स्लाइडर"), ऑब्जेक्ट के विभिन्न राज्यों का चयन करें (उदाहरण के लिए, "स्विच") और अन्य क्रियाएं करें जो काम के दौरान शुरू में निर्दिष्ट डेटा को बदलते हैं। .

मॉडल उद्यमों के उत्पादन में परिवर्तन की गतिशीलता से परिचित कराने के लिए उपयुक्त है, लेकिन विकास पर प्रतिबंधों की कमी इसे व्यवहार में उपयोग करने की अनुमति नहीं देती है।

रसद बाधा के साथ विस्तारित प्रोटो-सहयोग मॉडल।

पहले से तैयार पिछले मॉडल का उपयोग करते हुए, हम विकास को सीमित करने के लिए लॉजिस्टिक समीकरण से पैरामीटर जोड़ेंगे।

हम मॉडल के निर्माण को छोड़ देते हैं, क्योंकि काम में प्रस्तुत पिछले पांच मॉडल पहले से ही उनके साथ काम करने के लिए सभी आवश्यक उपकरण और सिद्धांतों का प्रदर्शन कर चुके हैं। यह केवल ध्यान देने योग्य है कि इसका व्यवहार वर्हुल्स्ट बाधा के साथ प्रोटो-सहयोग मॉडल के समान है। वे। संतृप्ति की कमी इसके व्यावहारिक अनुप्रयोग में बाधा डालती है।

प्रोटो-सहकारिता के संदर्भ में मॉडलों का विश्लेषण करने के बाद, हम कई मुख्य बिंदुओं को परिभाषित करते हैं:

व्यवहार में इस अध्याय में विचार किए गए मॉडल पारस्परिक लोगों की तुलना में बेहतर अनुकूल हैं, क्योंकि उनके पास दो पदों के साथ भी गैर-शून्य स्थिर संतुलन स्थिति है। आपको याद दिला दूं कि पारस्परिकता के मॉडल में हम केवल तीसरा कार्यकाल जोड़कर इसे हासिल करने में सक्षम थे।

उपयुक्त मॉडल में प्रत्येक शर्तों पर प्रतिबंध होना चाहिए, क्योंकि अन्यथा, बिलिनियर कारकों में तेज वृद्धि पूरे सिमुलेशन मॉडल को "नष्ट" कर देती है।

पैराग्राफ 2 से आगे बढ़ते हुए, विस्तारित मॉडल में संतृप्ति कारक के वर्हुल्स्ट प्रतिबंध के साथ एक प्रोटो-ऑपरेशन जोड़ते समय, साथ ही साथ उत्पादन की कम महत्वपूर्ण मात्रा को जोड़ते हुए, मॉडल को वास्तविक स्थिति के जितना संभव हो उतना करीब होना चाहिए। लेकिन यह मत भूलो कि सिस्टम के ऐसे जोड़तोड़ इसके विश्लेषण को जटिल करेंगे।

निष्कर्ष

अध्ययन के परिणामस्वरूप, छह प्रणालियों का एक विश्लेषण किया गया था जो उद्यमों द्वारा उत्पादन की गतिशीलता का वर्णन करते हैं जो एक दूसरे को परस्पर प्रभावित करते हैं। नतीजतन, संतुलन बिंदु और उनकी स्थिरता के प्रकार निम्नलिखित तरीकों में से एक में निर्धारित किए गए थे: विश्लेषणात्मक रूप से, या उन मामलों में निर्मित चरण चित्रों के लिए धन्यवाद जहां किसी कारण से एक विश्लेषणात्मक समाधान संभव नहीं है। प्रत्येक सिस्टम के लिए, चरण आरेख बनाए गए थे, साथ ही त्रि-आयामी मॉडल बनाए गए थे, जिस पर प्रोजेक्ट करते समय, विमानों (x, t), (y, t) में अभिन्न वक्र प्राप्त करना संभव है। उसके बाद, AnyLogic मॉडलिंग वातावरण का उपयोग करते हुए, सभी मॉडलों का निर्माण किया गया और उनके व्यवहार विकल्पों पर कुछ मापदंडों के तहत विचार किया गया।

सिस्टम का विश्लेषण करने और उनके सिमुलेशन मॉडल बनाने के बाद, यह स्पष्ट हो जाता है कि इन मॉडलों को केवल प्रशिक्षण के रूप में माना जा सकता है, या मैक्रोस्कोपिक सिस्टम का वर्णन करने के लिए, लेकिन व्यक्तिगत कंपनियों के लिए निर्णय समर्थन प्रणाली के रूप में नहीं, उनकी कम सटीकता के कारण और कुछ जगहों पर चल रही प्रक्रियाओं का काफी विश्वसनीय प्रतिनिधित्व नहीं है। लेकिन यह भी न भूलें कि मॉडल का वर्णन करने वाली गतिशील प्रणाली कितनी भी सही क्यों न हो, प्रत्येक कंपनी/संगठन/उद्योग की अपनी प्रक्रियाएं और सीमाएं होती हैं, इसलिए एक सामान्य मॉडल बनाना और उसका वर्णन करना संभव नहीं है। प्रत्येक विशिष्ट मामले में, इसे संशोधित किया जाएगा: अधिक जटिल बनने के लिए या, इसके विपरीत, आगे के काम के लिए सरलीकृत किया जाना।

प्रत्येक अध्याय के निष्कर्ष से निष्कर्ष निकालना, यह प्रकट तथ्य पर ध्यान देने योग्य है कि समीकरण की प्रत्येक शर्तों पर प्रतिबंधों की शुरूआत, हालांकि यह सिस्टम को जटिल बनाती है, लेकिन आपको सिस्टम की स्थिर स्थिति का पता लगाने की भी अनुमति देती है, साथ ही वास्तविकता में जो हो रहा है, उसके करीब लाएं। और यह ध्यान देने योग्य है कि प्रोटो-सहकारिता मॉडल अध्ययन के लिए अधिक उपयुक्त हैं, क्योंकि उनके पास गैर-शून्य स्थिर स्थिति है, हमने जिन दो पारस्परिक मॉडल पर विचार किया है, उनके विपरीत।

इस प्रकार, इस अध्ययन का उद्देश्य प्राप्त किया गया था, और कार्यों को पूरा किया गया था। भविष्य में, इस काम की निरंतरता के रूप में, इस पर पेश किए गए तीन प्रतिबंधों के साथ प्रोटो-ऑपरेशन के प्रकार की बातचीत के एक विस्तारित मॉडल पर विचार किया जाएगा: लॉजिस्टिक, संतृप्ति कारक, कम महत्वपूर्ण संख्या, जो अधिक सटीक बनाने की अनुमति देनी चाहिए एक निर्णय समर्थन प्रणाली के लिए मॉडल, साथ ही तीन कंपनियों के साथ एक मॉडल। कार्य के विस्तार के रूप में, हम सहजीवन के अलावा दो अन्य प्रकार की बातचीत पर विचार कर सकते हैं, जिनका उल्लेख कार्य में किया गया था।

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© 2007 यू.एस. पोपकोव, डॉ टेक। विज्ञान (इंस्टीट्यूट फॉर सिस्टम एनालिसिस आरएएस, मॉस्को)

Vd-ENTROPY ऑपरेटर के साथ डायनामिक सिस्टम्स का गुणात्मक विश्लेषण

डीएसईई के विचारित वर्ग के एकवचन बिंदुओं के अस्तित्व, विशिष्टता और स्थानीयकरण के अध्ययन के लिए एक विधि प्रस्तावित है। "छोटे में" और "बड़े में" स्थिरता के लिए शर्तें प्राप्त की जाती हैं। प्राप्त शर्तों के आवेदन के उदाहरण दिए गए हैं।

1 परिचय

एक एन्ट्रापी ऑपरेटर (DEOS) के साथ गतिशील प्रणालियों की अवधारणा के आधार पर गतिशील प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग की कई समस्याओं को हल किया जा सकता है। डीएसईई एक गतिशील प्रणाली है जिसमें एंट्रॉपी अधिकतमकरण की पैरामीट्रिक समस्या द्वारा गैर-रैखिकता का वर्णन किया गया है। Feio-moyologically, DSEO "धीमी" स्व-प्रजनन और "तेज़" संसाधन आवंटन के साथ एक मैक्रोसिस्टम का एक मॉडल है। में DSEO के कुछ गुणों का अध्ययन किया गया। यह कार्य DSEO के गुणात्मक गुणों के अध्ययन के चक्र को जारी रखता है।

हम एक वीडी-एन्ट्रॉपी ऑपरेटर के साथ एक गतिशील प्रणाली पर विचार करते हैं:

^ = £(x, y(x)), x e En:

y(x) = a^max(Hv(y) | Ty = u(x), y e E^) > 0.

इन अभिव्यक्तियों में:

C(x, y), u(x) निरंतर अवकलनीय सदिश फलन हैं;

एन्ट्रापी

(1.2) Hv (y) = uz 1n as > 0, s = T~m;

टी - (आर एक्स डब्ल्यू) - तत्वों के साथ मैट्रिक्स ^ 0 की कुल रैंक आर के बराबर है;

सदिश फलन u(x) को निरंतर अवकलनीय माना जाता है, समुच्चय

(1.3) क्यू = (क्यू: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,

जहाँ a- और a + E+ से सदिश हैं, जहाँ a- छोटे घटकों वाला एक सदिश है।

लैग्रेंज मल्टीप्लायरों के संदर्भ में एंट्रोपी ऑपरेटर के प्रसिद्ध प्रतिनिधित्व का उपयोग करना। हम सिस्टम (1.1) को निम्नलिखित रूप में बदलते हैं:

- = £(x, y(z)), x e Kn, y(z) e K?, r e Er+

उज़ (आर) \u003d अज़\\ ^, 3 \u003d 1, एम-

ओ (एक्स, जेड) = टाइ (जेड) = क्यू (एक्स),

जहाँ rk = exp(-Ak) > 0 घातांकीय लैग्रेंज गुणक हैं।

सामान्य रूप (1.1) के डीएसईई के साथ, हम में दिए गए वर्गीकरण का पालन करने पर विचार करेंगे।

वियोज्य प्रवाह के साथ डीएसईई:

(1-5) ^ = मैं (एक्स) + वी (जेड),

जहां बी (एन एक्स एम) - मैट्रिक्स;

गुणक प्रवाह के साथ DSEO:

(1.6) ^ = x ® (a - x ® Xu(r)), ab

जहाँ W एक (n x m) - गैर-ऋणात्मक तत्वों वाला मैट्रिक्स है, a धनात्मक घटकों वाला एक सदिश है, ® निर्देशांक-वार गुणन का संकेत है।

इस पत्र का उद्देश्य डीएसईई के एकवचन बिंदुओं के अस्तित्व, विशिष्टता और स्थानीयकरण और उनकी स्थिरता का अध्ययन करना है।

2. एकवचन बिंदु

2.1. अस्तित्व

प्रणाली (1.4) पर विचार करें। इस गतिशील प्रणाली के एकवचन बिंदु निम्नलिखित समीकरणों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

(2.1) C^(x, y(z))=0, r = TP;

(2.2) uz(r) = a^ r^, 3 = T^:

(2.3) bk(r) = ^as r^ = dk(x), k = 1,r।

पहले समीकरणों की सहायक प्रणाली पर विचार करें:

(2.4) सी (क्यू, जेड) = आर, क्यू ई आर,

जहाँ समुच्चय R को समानता (1.3) द्वारा परिभाषित किया गया है और C(q, r) घटकों के साथ एक सदिश फलन है

(2.5) Sk(d, r) = - OK(r), a-< дк < а+, к =1,г.

समीकरण (2.4) में प्रत्येक निश्चित वेक्टर q के लिए एक अद्वितीय समाधान r* है, जो Vg-एन्ट्रॉपी ऑपरेटर के गुणों से अनुसरण करता है (देखें)।

वेक्टर फ़ंक्शन (g, z) के घटकों की परिभाषा से, स्पष्ट अनुमान होता है:

(2.6) सी(ए+, आर)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:

आइए हम पहले समीकरण के हल को r+ और दूसरे - r- से निरूपित करें। आइए परिभाषित करें

(2.7) सी (ए+, जेड) = जेड, सी (ए .)

(2.8) zmaX = अधिकतम z+, zmin = मिमी zk

और आर-आयामी वैक्टर

(2.9) z(zmax, zmax), z(zmin , zmin)।

लेम्मा 2.1. सभी q G Q (1 . 3) के लिए समीकरण (2.4) के z*(q) हल सदिश 1 से संबंधित हैं।

ज़मिन< z*(q) < zmax,

जहाँ सदिश zmin और zmax को व्यंजकों (2.7)-(2.9) द्वारा परिभाषित किया गया है।

प्रमेय का प्रमाण परिशिष्ट में दिया गया है। क्यूक्यू

qk(x) (1.3) x G Rn के लिए, तो हमारे पास है

कोरोलरी 2.1. मान लीजिए कि लेम्मा 2.1 की शर्तें संतुष्ट हैं और फलन qk(x) सभी x G Rn के लिए शर्तों (1.3) को संतुष्ट करता है। तब सभी x G Rm के लिए समीकरण (2.3) के हल z* सदिश खंड से संबंधित हैं

ज़मिन< z* < zmax

आइए अब हम समीकरणों (2.2) पर लौटते हैं। जो सदिश फलन y(z) के घटकों को निर्धारित करते हैं। इसके जैकोबियन के तत्वों का रूप है

(2.10) जेबी एजे जेके जेजे और > 0

0 और g को छोड़कर सभी z G R+ के लिए। इसलिए, वेक्टर फ़ंक्शन y(z) सख्ती से एकरसता से बढ़ रहा है। लेम्मा 2.1 के अनुसार, यह नीचे और ऊपर से घिरा है, अर्थात, सभी z G Rr के लिए (इसलिए सभी x G Rn के लिए) इसके मान समुच्चय के हैं

(2.11) वाई = (वाई: वाई-< y < y+},

जहाँ सदिश yk, y+ के घटक व्यंजकों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

(2.12) yk = aj y+ = aj znlax, j = h™।

(2.13) बीजे = वाई, टीएसजे, 3 = 1,

(2.1) में पहले समीकरण पर विचार करें और इसे इस प्रकार फिर से लिखें:

(2.14) L(x, y) = 0 सभी y e Y ⊂ E^ के लिए।

यह समीकरण Y . से संबंधित चर y पर चर x की निर्भरता को निर्धारित करता है

हम (1.4) समीकरण (2.14) द्वारा परिभाषित एक निहित फलन x(y) के अस्तित्व को कम करते हैं।

लेम्मा 2.2. निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने दें:

ए) वेक्टर फ़ंक्शन एल (एक्स, वाई) चर के सेट में निरंतर है;

बी) लिम एल (एक्स, वाई) = ±<ж для любого фиксированного у е Y;

सी) det J (x, y) = 0 सभी ex x e En के लिए किसी निश्चित y e Y के लिए।

फिर Y पर परिभाषित एक अद्वितीय निहित कार्य x*(y) है। इस लेम्मा में, J(x, y) तत्वों के साथ जैकोबियन है

(2.15) जी, मैं (एक्स, वाई) = --i, मैं, एल = एल, एन।

सुबूत परिशिष्ट में दिए गए हैं। उपरोक्त नींबू से यह निम्नानुसार है

प्रमेय 2.1. लेम्मास 2.1 और 2.2 की शर्तों को संतुष्ट होने दें। फिर DSEE (1.4) और, तदनुसार, (1.1) का एक अनूठा विलक्षण बिंदु मौजूद है।

2.2. स्थानीयकरण

एकवचन बिंदु के स्थानीयकरण के अध्ययन को उस अंतराल को स्थापित करने की संभावना के रूप में समझा जाता है जिसमें वह स्थित है। यह कार्य बहुत सरल नहीं है, लेकिन DSEE के किसी वर्ग के लिए ऐसा अंतराल स्थापित किया जा सकता है।

आइए समीकरणों के पहले समूह (2.1) की ओर मुड़ें और उन्हें इस रूप में प्रस्तुत करें

(2.16) एल(एक्स,वाई)=0, y- y y y+,

जहां y- और y+ समानता (2.12), (2.13) द्वारा परिभाषित हैं।

प्रमेय 2.2. मान लीजिए कि सदिश फलन L(x,y) दोनों चरों में निरंतर अवकलनीय और नीरस रूप से बढ़ रहा है, अर्थात।

--> 0, --> 0; मैं, एल = 1, एन; जे = 1, एम। dxi dyj

फिर चर x के संबंध में प्रणाली (2.16) का समाधान अंतराल (2.17) xmin x x x xmax के अंतर्गत आता है,

ए) वैक्टर xmin, xmax का रूप है

न्यूनतम \u003d मैं x 1 xmax \u003d r x t;

\xमिन:। .., xminlxmax,। . ।, एक्समैक्स):

xmin - ^Qin ^ , xmax - ^QaX ^ ;

6) x- और x+ - निम्नलिखित समीकरणों के समाधान के घटक

(2.19) एल (एक्स, वाई-) = 0, एल (एक्स, वाई +) = 0

निश्चित रूप से ऊ एम के साथ।

प्रमेय का प्रमाण परिशिष्ट में दिया गया है।

3. "छोटे में" DSEA की स्थिरता

3.1. एक वियोज्य प्रवाह के साथ DSEE आइए हम एक वियोज्य प्रवाह के साथ DSEE समीकरणों की ओर मुड़ते हैं, उन्हें इस रूप में प्रस्तुत करते हैं:

- \u003d / (एक्स) + बू (आर (एक्स)), एक्स ई केपी अब

वाई- (आर (एक्स)) \u003d एज़पी (एक्स) वाई 33, 3 \u003d 1, "~ 8 \u003d 1

0(x, r(x)) = Ty(r(x)) = q(x), r e Hr।

यहां वेक्टर फ़ंक्शन q(x) के घटकों के मान सेट Q (1.3) से संबंधित हैं, (n × w)-मैट्रिक्स B की कुल रैंक n (n) के बराबर है< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.

माना प्रणाली में एक विलक्षण बिंदु x है। इस विलक्षण बिंदु "छोटे में" की स्थिरता का अध्ययन करने के लिए हम एक रैखिक प्रणाली का निर्माण करते हैं

जहां ए एक (एन एक्स एन) - मैट्रिक्स है, जिसके तत्वों की गणना बिंदु एक्स पर की जाती है, और वेक्टर टी = एक्स - एक्स। (3.1) में पहले समीकरण के अनुसार, रैखिक प्रणाली के मैट्रिक्स में है

ए \u003d 7 (एक्स) + बग (जी) एक्सएक्स (एक्स), एक्स \u003d जी (एक्स),

| 3 \u003d 1, डब्ल्यू, के \u003d 1,

मैं कश्मीर \u003d 1, जी, मैं \u003d 1, पी

(3.1) से मैट्रिक्स Yr: dy के अवयव निर्धारित किए जाते हैं।

"बीकेजेड पी" 8=1

3, r8 x8, 5 1, r.

मैट्रिक्स Zx के तत्वों को निर्धारित करने के लिए, हम समीकरणों के अंतिम समूह (3.1) की ओर मुड़ते हैं। बी दिखाता है कि ये समीकरण एक निहित वेक्टर फ़ंक्शन आर (एक्स) को परिभाषित करते हैं, जो लगातार भिन्न होता है यदि वेक्टर फ़ंक्शन जी (एक्स) लगातार भिन्न होता है। सदिश फलन z(x) का जैकोबियन Zx समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है

<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),

वीजी (एक्स) \u003d टी यूजी (एक्स),

डीडीके, -टी-, - "- के \u003d 1, आर, मैं \u003d 1, एन डीएक्स \

इस समीकरण से हमें (3.9) Zx(x) = s-1(z)Qx(x) प्राप्त होता है।

इस परिणाम को समानता (3.3) में प्रतिस्थापित करना। हम पाते हैं:

ए \u003d 1 (एक्स) + पी (एक्स), पी (एक्स) \u003d वीयूजी (जी) [टीजी (जी)] -1 क्यूएक्स (एक्स)।

इस प्रकार, रैखिक प्रणाली का समीकरण रूप लेता है

(सी.आई) | = (जे+पी)ई

यहाँ, आव्यूह J, P के तत्वों की गणना एक विलक्षण बिंदु पर की जाती है। पर्याप्त स्थिरता की स्थिति "छोटे में" DSEE (3.1) निम्नलिखित द्वारा निर्धारित की जाती है

प्रमेय 3.1. DSEE (3.1) में एक विलक्षण बिंदु x है जो "छोटे में" स्थिर है यदि निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:

a) रैखिक प्रणाली (3.11) के आव्यूह J, P (3.10) के वास्तविक और भिन्न eigenvalues ​​हैं, और मैट्रिक्स J का अधिकतम eigenvalue है

पीएमएक्स = अधिकतम पीजी> 0,

डब्लूमैक्स = मैक्सयूआई< 0;

उमैक्स + पट्टा<

इस प्रमेय और समानता (3.10) से यह निष्कर्ष निकलता है कि एकवचन बिंदुओं के लिए जिसके लिए Qx(x) = 0 और (या) X के लिए, = 0 और tkj ^ 1 सभी पूर्व k,j के लिए, प्रमेय की पर्याप्त शर्तें नहीं हैं संतुष्ट।

3.2. गुणक प्रवाह के साथ DSEE समीकरणों (1.6) पर विचार करें। उन्हें फॉर्म में प्रस्तुत करना:

एक्स ® (ए - एक्स ® वाई (जेड (एक्स))), एक्स ई आरएन;

yj(z(x)) = aj Zs(x)]isi" j = 1,m;

(ZL2) yj (z(x)) = a^<~"ts

Q(x, z(x)) = Ty(z(x)) = q(x), z e R++।

सिस्टम होगा:

(3.13)

इस व्यंजक में, diag C] एक विकर्ण आव्यूह है जिसमें धनात्मक अवयव a1,..., an, Yr, Zx हैं जो समानताओं (3.4)-(3.7) द्वारा परिभाषित आव्यूह हैं।

हम मैट्रिक्स A को रूप में निरूपित करते हैं

(3.14) ए = डायग + पी (एक्स),

(3.15) P(x) = -2xWYz(z)Zx(x)।

निरूपित करें: मैक्सी ai = nmax और wmax मैट्रिक्स P(x) (3.15) का अधिकतम eigenvalue है। तब प्रमेय 3.1 DSEE (1.6) के लिए भी मान्य है। (3.12)।

4. DSEA की स्थिरता "बड़े पैमाने पर"

आइए हम DESO समीकरण (1.4) की ओर मुड़ें, जिसमें वेक्टर फ़ंक्शन q(x) के घटकों के मान सेट Q (1.3) से संबंधित हैं। विचाराधीन प्रणाली में, एक विलक्षण बिंदु Z है, जिस पर सदिश z(x) = z ^ z-> 0 और

y(x) = y(z) = y > y-> 0.

आइए एकवचन बिंदु से विचलन वैक्टर £, C, का परिचय दें: (4.1) £ = x - x, (= y - y, n = z - z.

ज़ेझेरुन ए.ए., पोक्रोवस्की ए.वी. - 2009

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अध्ययन का उद्देश्य एक सुपरकंप्यूटर-उन्मुख तार्किक विधि (बूलियन बाधा विधि) और एक सेवा-उन्मुख तकनीक विकसित करना है जो स्वायत्त बाइनरी डायनेमिक सिस्टम के प्रक्षेपवक्र के व्यवहार की गतिशीलता के गुणात्मक अध्ययन के लिए कंप्यूटर सिस्टम बनाने और उपयोग करने के लिए है। एक सीमित समय अंतराल। विषय की प्रासंगिकता की पुष्टि वैज्ञानिक और अनुप्रयुक्त अनुसंधान में द्विआधारी मॉडल के अनुप्रयोगों की निरंतर बढ़ती सीमा के साथ-साथ बड़े राज्य वेक्टर आयाम वाले ऐसे मॉडलों के गुणात्मक विश्लेषण की आवश्यकता से होती है। एक सीमित समय अंतराल पर एक स्वायत्त बाइनरी सिस्टम का गणितीय मॉडल और इस प्रणाली के बराबर एक बूलियन समीकरण प्रस्तुत किया जाता है। एक गतिशील संपत्ति के विनिर्देश को सीमित अस्तित्व और सार्वभौमिक क्वांटिफायर का उपयोग करके विधेय तर्क की भाषा में लिखे जाने का प्रस्ताव है। संतुलन की स्थिति की खोज के लिए बूलियन समीकरण और बाइनरी सिस्टम के चक्र और उनके अलगाव के लिए शर्तें प्राप्त की जाती हैं। रीचैबिलिटी प्रकार के मुख्य गुण निर्दिष्ट हैं (रीचैबिलिटी, सुरक्षा, एक साथ रीचैबिलिटी, चरण बाधाओं के तहत रीचैबिलिटी, आकर्षण, कनेक्टिविटी, कुल रीचैबिलिटी)। प्रत्येक संपत्ति के लिए, इसका मॉडल एक बूलियन बाधा (एक बूलियन समीकरण या एक मात्रात्मक बूलियन सूत्र) के रूप में बनाया गया है जो संपत्ति के तार्किक विनिर्देश और सिस्टम की गतिशीलता के समीकरणों को संतुष्ट करता है। इस प्रकार, एक सीमित समय अंतराल पर स्वायत्त द्विआधारी गतिशील प्रणालियों के प्रक्षेपवक्र के व्यवहार के विभिन्न गुणों की व्यवहार्यता की जांच आधुनिक एसएटी और टीक्यूबीएफ सॉल्वरों का उपयोग करके बूलियन बाधाओं की व्यवहार्यता की समस्या को कम कर देती है। पहले दिए गए कुछ गुणों की व्यवहार्यता का परीक्षण करने के लिए इस तकनीक का उपयोग करने का एक प्रदर्शन उदाहरण दिया गया है। अंत में, बूलियन बाधा पद्धति के मुख्य लाभों को सूचीबद्ध किया गया है, सेवा-उन्मुख दृष्टिकोण के ढांचे के भीतर इसके सॉफ़्टवेयर कार्यान्वयन की विशेषताएं, और बाइनरी डायनेमिक सिस्टम के अन्य वर्गों के लिए विधि के आगे विकास के लिए निर्देश दिए गए हैं।

बाइनरी डायनेमिक सिस्टम

गतिशील संपत्ति

गुणात्मक विश्लेषण

बूलियन बाधाएं

बूलियन संतुष्टि समस्या

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बाइनरी डायनेमिक मॉडल के अनुप्रयोगों की सीमा अत्यंत विस्तृत है, और हर साल वस्तुओं और कार्यों की संख्या जहां उनके उपयोग की आवश्यकता होती है, केवल बढ़ जाती है। एक उत्कृष्ट उदाहरण एक बाइनरी सिंक्रोनस ऑटोमेटन है, जो नियंत्रण प्रणाली, कंप्यूटर प्रौद्योगिकी, टेलीमैकेनिक्स में कई असतत उपकरणों का एक मॉडल है। द्विआधारी गतिशील मॉडल के आधुनिक अनुप्रयोगों में जैव सूचना विज्ञान, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, और कई अन्य क्षेत्रों की समस्याएं शामिल हैं जो दो-मूल्यवान चर के उपयोग से दूर लगती हैं। इस संबंध में, बाइनरी डायनेमिक सिस्टम (डीडीएस) के प्रक्षेपवक्र के व्यवहार के गुणात्मक विश्लेषण के लिए नए विकसित करने और मौजूदा तरीकों में सुधार करने की प्रासंगिकता काफी बढ़ जाती है।

जैसा कि ज्ञात है, एक गतिशील प्रणाली के गुणात्मक विश्लेषण का लक्ष्य (केवल एक द्विआधारी नहीं) प्रश्न का सकारात्मक या नकारात्मक उत्तर प्राप्त करना है: क्या आवश्यक गतिशील संपत्ति किसी दिए गए सिस्टम में है? आइए इस प्रश्न को इस प्रकार दोहराएं: क्या एक गतिशील प्रणाली के प्रक्षेपवक्र का व्यवहार संपत्ति की विशेषता वाले बाधाओं के एक निश्चित समूह को संतुष्ट करता है? इसके अलावा, हम सिस्टम के गतिशील गुणों के गुणात्मक विश्लेषण के लक्ष्य की इस व्याख्या का उपयोग करेंगे।

डीडीएस के लिए, जिसका संचालन एक सीमित समय अंतराल पर माना जाता है, ऐसी बाधाएं बूलियन हैं और बूलियन समीकरणों या क्वांटिफायर के साथ बूलियन सूत्रों की भाषा में लिखी जाती हैं। पहले प्रकार की बाधाएं एसएटी समस्या (बूलियन संतुष्टि समस्या) को हल करने की आवश्यकता की ओर ले जाती हैं; दूसरे प्रकार की बाधाएं टीक्यूबीएफ समस्या के समाधान से जुड़ी हैं (मात्राबद्ध बूलियन सूत्रों की सच्चाई की जांच)। पहली समस्या एनपी जटिलता वर्ग का एक विशिष्ट प्रतिनिधि है, और दूसरी समस्या पीएसपीएसीई जटिलता वर्ग है। जैसा कि ज्ञात है, पीएसपीएसीई-एक असतत समस्या की पूर्णता एनपी-पूर्णता की तुलना में इसकी अचूकता का मजबूत सबूत देती है। इस वजह से, डीडीएस के एसएटी समस्या के गुणात्मक विश्लेषण की समस्या को कम करना टीक्यूबीएफ समस्या में कमी की तुलना में अधिक बेहतर है। सामान्य स्थिति में, डीडीएस की प्रत्येक संपत्ति का अध्ययन बूलियन समीकरणों की भाषा में नहीं किया जा सकता है।

डीडीएस के गुणात्मक विश्लेषण में बूलियन बाधाओं (अर्थात्, बूलियन समीकरण) का उपयोग करने की सैद्धांतिक संभावना को पहली बार में प्रदर्शित किया गया था। हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उस समय व्यवहार में इस दृष्टिकोण का अनुप्रयोग बूलियन समीकरणों (विशेष रूप से बड़ी संख्या में अज्ञात चर के साथ) को हल करने के लिए कुशल एल्गोरिदम और कार्यक्रमों की कमी से बाधित था, जो खोज स्थान को काफी कम कर देगा। पिछले दशक में, इस क्षेत्र में गहन शोध के परिणामस्वरूप, पर्याप्त संख्या में विभिन्न कुशल बूलियन समीकरण सॉल्वर (सैट सॉल्वर) सामने आए हैं जो हल करने में आधुनिक उपलब्धियों (नई अनुमान, तेज डेटा संरचना, समानांतर कंप्यूटिंग, आदि) का उपयोग करते हैं। बूलियन संतुष्टि समस्या। TQBF समस्या को हल करने के लिए अधिक से अधिक कुशल एल्गोरिदम और प्रोग्राम बनाने के क्षेत्र में भी इसी तरह की प्रक्रियाएं (लेकिन कुछ देरी के साथ) देखी जाती हैं। इस प्रकार, आज तक, डीडीएस के गुणात्मक विश्लेषण, इसके सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन और वैज्ञानिक और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में आवेदन में बूलियन बाधाओं की विधि के व्यवस्थित विकास के लिए सभी आवश्यक शर्तें हैं।

बूलियन बाधा पद्धति के अलावा, गुणात्मक विश्लेषण के अन्य तरीके भी डीडीएस पर लागू होते हैं, जिसमें निगमनात्मक विश्लेषण, मॉडल जांच और कमी विधि शामिल हैं। इनमें से प्रत्येक विधि (बूलियन बाधा विधि सहित) की अपनी सीमाएं, फायदे और नुकसान हैं। एक सामान्य नुकसान यह है कि सभी विधियाँ प्रकृति में गणनात्मक हैं और इन विधियों के लिए गणना में कमी की समस्या मौलिक है।

निगमनात्मक विश्लेषण का महत्व, जिसमें एक प्रणाली के सही कामकाज को साबित करने के लिए स्वयंसिद्ध और अनुमान नियमों के आवेदन शामिल हैं, विशेषज्ञों की एक विस्तृत श्रृंखला द्वारा मान्यता प्राप्त है, लेकिन यह एक श्रमसाध्य और इसलिए शायद ही कभी इस्तेमाल की जाने वाली विधि है। मॉडल जाँच पद्धति में, आवश्यक संपत्ति विनिर्देश भाषा अस्थायी तर्कशास्त्र की भाषा का उपयोग करती है, जो ऑटोमेटा गतिकी के विशेषज्ञों के लिए असामान्य है। कमी विधि मूल प्रणाली के सरलीकृत (एक निश्चित अर्थ में) मॉडल के निर्माण, इसके गुणों के अध्ययन और इन गुणों को मूल जटिल प्रणाली में स्थानांतरित करने की शर्तों से जुड़ी है। इस मामले में संपत्तियों के हस्तांतरण की शर्तें ही पर्याप्त हैं। डीडीएस के गुणात्मक विश्लेषण में कमी विधि के विचार की सादगी एक सरलीकृत प्रणाली को चुनने की समस्या का सामना करती है जो विधि की सभी शर्तों को पूरा करती है।

बूलियन बाधा पद्धति के व्यावहारिक उपयोग में निम्नलिखित प्रक्रियाओं का एल्गोरिथम और स्वचालन शामिल है:

1) सिस्टम डायनेमिक्स के विशेषज्ञ पर केंद्रित गतिशील गुणों के विनिर्देशन के लिए तार्किक भाषा का विकास;

2) एक प्रकार या किसी अन्य के बूलियन बाधा के रूप में एक गतिशील संपत्ति का एक मॉडल बनाना जो संपत्ति के तार्किक विनिर्देश और बाइनरी सिस्टम की गतिशीलता के समीकरणों को संतुष्ट करता है;

3) अंतरराष्ट्रीय प्रारूप DIMACS या QDIMACS में परिणामी मॉडल की प्रस्तुति;

4) बूलियन बाधाओं (SAT या TQBF सॉल्वर) की संतुष्टि की समस्या के एक कुशल समानांतर (वितरित) सॉल्वर का चयन (विकास);

5) सॉफ्टवेयर सेवाएं बनाने के लिए उपकरणों का विकास;

6) डीडीएस के विभिन्न गतिशील गुणों के गुणात्मक अनुसंधान के लिए सेवाओं का विकास।

उद्देश्यवर्तमान अध्ययन स्वायत्त (नियंत्रण इनपुट के बिना) तुल्यकालिक डीडीएस के गुणात्मक अध्ययन के एल्गोरिथम के संबंध में केवल पहली दो समस्याओं का समाधान है। अंग्रेजी भाषा के प्रकाशनों में ऐसी प्रणालियों को सिंक्रोनस बूलियन नेटवर्क (बूलियन नेटवर्क) कहा जाता है। बूलियन बाधा पद्धति को लागू करने के अन्य पहलू (नियंत्रण इनपुट के साथ डीडीएस सहित) निम्नलिखित प्रकाशनों के विषय हैं।

स्वायत्त डीडीएस का गणितीय मॉडल

मान लीजिए एक्स = बीएन (बी = (0, 1) आयाम n (डीडीएस राज्य स्थान) के बाइनरी वैक्टर का सेट है। माना t∈T = (1,…,k) असतत समय (चक्र संख्या) को दर्शाता है।

प्रत्येक राज्य x0∈X के लिए, जिसे प्रारंभिक अवस्था कहा जाता है, हम प्रक्षेपवक्र x(t, x0) को सेट X से राज्यों x0, x1,…, xk के परिमित अनुक्रम के रूप में परिभाषित करते हैं। इसके अलावा, हम DDS पर विचार करेंगे जिसमें प्रत्येक जोड़ी आसन्न राज्यों के xt, x(t-1) (t∈T) प्रक्षेपवक्र संबंध द्वारा संबंधित हैं

एक्सटी = एफ (एक्सटी -1)। (एक)

यहाँ F:X>X एक तर्क बीजगणित वेक्टर फ़ंक्शन है, जिसे ट्रांज़िशन फ़ंक्शन कहा जाता है। इस प्रकार, किसी भी x0∈X के लिए, बूलियन समीकरणों की प्रणाली (1) एक परिमित समय अंतराल T = (1, 2,…,k) पर राज्य अंतरिक्ष X में DDS प्रक्षेपवक्र के व्यवहार की गतिशीलता के एक मॉडल का प्रतिनिधित्व करती है। यहाँ और नीचे, समुच्चय T की परिभाषा में k का मान पूर्व निर्धारित स्थिरांक माना जाता है। यह सीमा काफी स्वाभाविक है। मुद्दा यह है कि डीडीएस प्रक्षेपवक्र के व्यवहार के गुणात्मक विश्लेषण में, एक निश्चित के लिए कुछ गतिशील संपत्ति की व्यवहार्यता के बारे में क्या कहा जा सकता है, यह सवाल व्यावहारिक हित का नहीं है। प्रत्येक विशिष्ट मामले में k के मान का चुनाव सिम्युलेटेड असतत प्रणाली में प्रक्रियाओं की अवधि के बारे में प्राथमिक जानकारी पर आधारित होता है।

यह ज्ञात है कि बूलियन समीकरणों की प्रणाली (1) प्रारंभिक अवस्था x0∈X के साथ T = (1, 2,…,k) के रूप में एक बूलियन समीकरण के बराबर है

k = 1 के लिए (केवल एक-चरण संक्रमण माना जाता है), समीकरण (2) रूप लेता है

(3)

इस समीकरण के समाधान एक निर्देशित ग्राफ को परिभाषित करते हैं जिसमें सेट एक्स के 2n राज्यों में से एक द्वारा चिह्नित 2n शिखर होते हैं। ग्राफ के शिखर x0 और x1 राज्य x0 से राज्य x1 तक निर्देशित चाप द्वारा जुड़े होते हैं। बाइनरी ऑटोमेटा के सिद्धांत में इस तरह के ग्राफ को ट्रांजिशन डायग्राम कहा जाता है। एक संक्रमण आरेख के रूप में डीडीएस व्यवहार का प्रतिनिधित्व प्रक्षेपवक्र का निर्माण और उनके गुणों का अध्ययन करते समय बहुत स्पष्ट है, लेकिन केवल राज्य वेक्टर x∈X के छोटे आयामों n के लिए व्यावहारिक रूप से साध्य है।

भाषा का अर्थ है गतिशील गुण निर्दिष्ट करना

औपचारिक तर्क की भाषा में एक गतिशील संपत्ति विनिर्देश निर्दिष्ट करना सबसे सुविधाजनक है। कागज के बाद, हम X0∈X, X1∈X, X*∈X द्वारा प्रारंभिक, स्वीकार्य और लक्ष्य राज्यों के सेट को निरूपित करते हैं।

गतिशील गुण तार्किक सूत्र के मुख्य वाक्य-विन्यास तत्व हैं: 1) विषय चर (वैक्टर x0, x1,…, xk, समय t के घटक); 2) अस्तित्व और सार्वभौमिकता के सीमित परिमाणक; 3) तार्किक संयोजक v, &; अंतिम सूत्र। अंतिम सूत्र इस दावे का प्रतिनिधित्व करता है कि प्रक्षेपवक्र x(t, x0) (x0∈X0) के सेट के कुछ राज्य मूल्यांकन सेट X* और X1 से संबंधित हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सीमित अस्तित्व और सार्वभौमिक क्वांटिफायर का उपयोग एक गतिशील संपत्ति लिखने का एक तरीका प्रदान करता है जो गतिशीलता के विशेषज्ञ से परिचित है। एक बूलियन मॉडल के निर्माण की प्रक्रिया में, सिस्टम (1) के गुणों को निम्नलिखित परिभाषाओं के अनुसार प्रतिबंधित क्वांटिफायर द्वारा सामान्य लोगों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है:

जहाँ A(y) एक विधेय है जो चर y के मान को सीमित करता है।

चर टी की सीमा की परिमितता के कारण, इस चर के संबंध में अस्तित्व और सार्वभौमिकता के सीमित क्वांटिफायर को समकक्ष सूत्रों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जिनमें क्वांटिफायर शामिल नहीं होते हैं

निम्नलिखित में, हम यह मानेंगे कि समुच्चय X0, X1, X* के तत्व क्रमशः निम्नलिखित बूलियन समीकरणों के शून्य से निर्धारित होते हैं।

या इन सेटों के विशिष्ट कार्य, .

समीकरणों (2, 3) के साथ प्रारंभिक अवस्था G0(x) = 0 पर प्रतिबंध को ध्यान में रखते हुए, हम अंकन को छोटा करने के लिए निम्नलिखित बूलियन समीकरणों का उपयोग करेंगे:

(4)

स्वायत्त डीडीएस का प्रारंभिक गुणात्मक विश्लेषण

प्रारंभिक विश्लेषण के चरण में, राज्य की शाखा (इसके तत्काल पूर्ववर्तियों का सेट), संतुलन राज्यों की उपस्थिति और बंद प्रक्षेपवक्र (चक्र) का पता लगाया जा सकता है (यदि आवश्यक हो)।

राज्य x1 इन (3) को राज्य x0 का उत्तराधिकारी और x0 राज्य x1 का पूर्ववर्ती कहा जाएगा। एक स्वायत्त डीडीएस में, प्रत्येक राज्य में केवल एक उत्तराधिकारी होता है, और किसी दिए गए राज्य के पूर्ववर्तियों की संख्या शून्य से 2n - 1 तक भिन्न हो सकती है। राज्य s∈X के सभी तत्काल पूर्ववर्ती x0 बूलियन समीकरण के शून्य हैं

यदि समीकरण (6) का कोई हल नहीं है, तो राज्य के कोई पूर्ववर्ती नहीं हैं।

संतुलन राज्य (यदि वे मौजूद हैं) बूलियन समीकरण के समाधान हैं

प्रक्षेपवक्र x0, x1,…, xk को लंबाई k का एक चक्र कहा जाता है यदि राज्य x0, x1,…, xk-1 एक दूसरे से जोड़ीवार भिन्न हों और xk = x0। लंबाई k का चक्रीय अनुक्रम (यदि यह मौजूद है) बूलियन समीकरण का एक समाधान है

जहां = 0 ( ) - लंबाई k के चक्र के राज्यों C के सेट के लिए जोड़ीदार अंतर की स्थिति। यदि किसी भी चक्र अवस्था में पूर्ववर्ती नहीं हैं जो समुच्चय C से संबंधित नहीं हैं, तो ऐसे चक्र को पृथक कहा जाता है। सेट सी के तत्वों को बूलियन समीकरण जीसी (एस) = 0 के समाधान द्वारा निर्धारित किया जाता है। फिर यह दिखाना आसान है कि चक्र अलगाव की स्थिति निम्नलिखित बूलियन समीकरण में शून्य की अनुपस्थिति के बराबर है:

समीकरण के समाधान (7) (यदि वे मौजूद हैं) चक्र राज्यों को निर्धारित करते हैं जिनके पूर्ववर्ती हैं जो सेट सी से संबंधित नहीं हैं।

चूंकि संतुलन राज्य लंबाई k = 1 का एक चक्र है, इसकी अलगाव की स्थिति k 2 के साथ अलगाव की स्थिति के समान है, इस अंतर के साथ कि Gc (s) में एक पूर्ण वियोजन का रूप है जो इस संतुलन स्थिति को निर्धारित करता है।

निम्नलिखित में, गैर-पृथक संतुलन राज्यों और चक्रों को आकर्षित करने वाले कहा जाएगा।

रीचैबिलिटी प्रकार के गतिशील गुणों की विशिष्टता

डीडीएस की मुख्य संपत्ति, यह सत्यापित करने की आवश्यकता है कि व्यवहार में सबसे अधिक बार उत्पन्न होता है, पारंपरिक रूप से ग्राफ सिद्धांत में अध्ययन की जाने वाली पहुंच योग्यता संपत्ति है (हमारे मामले में, ऐसा ग्राफ एक संक्रमण आरेख है) और इसकी विभिन्न विविधताएं हैं। रीचैबिलिटी को डीडीएस प्रक्षेपवक्र के व्यवहार का विश्लेषण करने की शास्त्रीय समस्या के रूप में परिभाषित किया गया है।

इस संपत्ति की परिभाषा पहले से पेश किए गए सेट X0, X*, X1 (बूलियन समीकरणों के इन सेटों के अनुरूप) के असाइनमेंट से जुड़ी है। यह माना जाता है कि सेट X0, X*, X1 बाधा को संतुष्ट करते हैं

चूंकि सेट टी परिमित है, रीचैबिलिटी प्रॉपर्टी और इसकी विविधताओं को व्यावहारिक रीचैबिलिटी (चक्रों की एक सीमित संख्या में रीचैबिलिटी) की संपत्ति के रूप में समझा जाएगा। निम्नलिखित रीचैबिलिटी प्रकार के गुणों पर विचार किया जाता है:

1. सेट X0 से सेट X* की मुख्य रीचैबिलिटी प्रॉपर्टी निम्नानुसार तैयार की गई है: प्रारंभिक अवस्थाओं के सेट से लॉन्च किया गया कोई भी प्रक्षेपवक्र X0 लक्ष्य सेट X* तक पहुंचता है। प्रतिबंधित अस्तित्व और सार्वभौमिक क्वांटिफायर का उपयोग करते हुए, इस संपत्ति का सूत्र है:

2. सुरक्षा संपत्ति यह सुनिश्चित करती है कि X0 से लॉन्च किए गए किसी भी प्रक्षेपवक्र के लिए सेट X* पहुंच से बाहर है:

3. एक साथ पहुंच योग्यता की संपत्ति। कुछ मामलों में, एक अधिक "सख्त आवश्यकता" निर्धारित की जा सकती है, जिसमें यह शामिल है कि प्रत्येक प्रक्षेपवक्र ठीक k चक्र (k∈T) में निर्धारित लक्ष्य तक पहुंचता है:

4. चरण बाधाओं के तहत पहुंच योग्यता संपत्ति:

यह गुण गारंटी देता है कि सेट X0 से उत्सर्जित सभी प्रक्षेप पथ, जब तक कि वे लक्ष्य सेट X* से नहीं टकराते, सेट X1 में हैं।

5. आकर्षण की संपत्ति। मान लीजिए X* आकर्षित करने वाला है। फिर आकर्षण संपत्ति का तार्किक सूत्र मुख्य पहुंच योग्यता संपत्ति के सूत्र के साथ मेल खाता है:

वे। सेट X0 से जारी प्रत्येक प्रक्षेपवक्र के लिए, एक समय t∈T होता है, जिससे शुरू होकर प्रक्षेपवक्र सेट X* से आगे नहीं जाता है। इस मामले में सेट X0 सेट X*(X0∈Xa, जहां Xа, आकर्षित करने वाले के आकर्षण (पूल) का पूरा क्षेत्र है) के आकर्षण के क्षेत्र के एक हिस्से से संबंधित है।

ध्यान दें कि गुणों के उपरोक्त सूत्रों में सभी चर वास्तव में जुड़े हुए हैं, क्योंकि प्रक्षेपवक्र x0, x1,…, xk पूरी तरह से प्रारंभिक स्थिति से निर्धारित होता है। चूंकि चर t के संबंध में क्वांटिफायर को मल्टीप्लेस डिसजंक्शन या संबंधित विधेय के संयोजन के संचालन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, प्रत्येक सूत्र में एक एकल बाउंडेड यूनिवर्सल क्वांटिफायर () रहता है, जो हमें इनकी व्यवहार्यता के लिए शर्तों को लिखने की अनुमति देता है। बूलियन समीकरणों की भाषा में गुण (सैट समस्या के रूप में)।

हम दो गुण प्रस्तुत करते हैं, जिनके सत्यापन से TQBF समस्या को हल करने की आवश्यकता होती है।

6. लक्ष्य सेट की कनेक्टिविटी संपत्ति:

वे। एक प्रारंभिक अवस्था x0∈X0 है, जैसे कि प्रत्येक लक्ष्य स्थिति x*⊆X* किसी समय t∈T पर पहुंच योग्य है, जिसका अर्थ है कि इस राज्य के अनुरूप एक प्रक्षेपवक्र है, जैसे कि सभी लक्ष्य राज्य x*∈X* संबंधित हैं इस प्रक्षेपवक्र को।

7. X0 से एक सेट X* की कुल पहुंच योग्यता की संपत्ति:

वे। प्रत्येक लक्ष्य स्थिति X0 से उपलब्ध है।

गतिशील गुणों की व्यवहार्यता की जाँच करना

गुणों (1-5) के लिए, उनकी व्यवहार्यता की जाँच बूलियन समीकरण के शून्य को खोजने के लिए कम हो जाती है, जिसके गठन की तकनीक एक मानकीकृत प्रकृति की है और केवल मुख्य प्राप्य संपत्ति के लिए विस्तार से माना जाता है। गुण (6, 7) एक मात्रात्मक बूलियन सूत्र की सत्यता की जाँच करने की समस्या की ओर ले जाते हैं।

1. पहुंच योग्यता की मुख्य संपत्ति। इसका तार्किक सूत्र है

(4) को ध्यान में रखते हुए, हम सूत्र (8) को इस प्रकार लिखते हैं

प्रारंभिक अवस्था x0∈X0 से जारी प्रक्षेपवक्र के राज्यों के सेट का विशिष्ट कार्य कहाँ है। आइए (9) में अस्तित्वगत परिमाणक से छुटकारा पाएं। तब हमारे पास होगा

समुच्चय X* का अभिलक्षणिक फलन कहाँ है। हम प्रतिबंधित यूनिवर्सल क्वांटिफ़ायर को साधारण क्वांटिफ़ायर से बदलते हैं। परिणामस्वरूप, हमें प्राप्त होता है

फॉर्मूला (10) सत्य है यदि और केवल तभी जब सबक्वांटिफायर एक्सप्रेशन समान रूप से सत्य हो, अर्थात।

निहितार्थ के समान सत्य का अर्थ है कि बूलियन फ़ंक्शन फ़ंक्शन का तार्किक परिणाम है, अर्थात। प्रारंभिक अवस्था x0∈X0 के साथ कोई भी प्रक्षेपवक्र लक्ष्य सेट X* तक पहुँचता है।

पहचान की संतुष्टि (11) बूलियन समीकरण में शून्य की अनुपस्थिति के बराबर है

व्युत्पन्न (12) में, हमने निहितार्थ से छुटकारा पाया और ϕ*(x0, x1,..., xk) के साथ प्रतिस्थापित किया . यदि समीकरण (12) में कम से कम एक हल है, तो पुन: प्रयोज्य गुण धारण नहीं करता है। ऐसा समाधान (एक निश्चित अर्थ में) जाँच की जा रही संपत्ति के लिए एक प्रति-उदाहरण का प्रतिनिधित्व करता है और शोधकर्ता को त्रुटि के कारण की पहचान करने में मदद कर सकता है।

इसके अलावा, संक्षिप्तता के लिए, प्रत्येक संपत्ति (2-4) के लिए हम केवल एक प्रकार का समीकरण (12) लिखते हैं, जो पाठक को मुख्य पहुंच योग्यता संपत्ति के लिए दिए गए आवश्यक तर्कों को स्वतंत्र रूप से पुन: पेश करने का सुझाव देता है।

2. सुरक्षा संपत्ति

3. एक साथ पहुंच योग्यता की संपत्ति

4. चरण बाधाओं के तहत पहुंच योग्यता संपत्ति

5. आकर्षण की संपत्ति। इस संपत्ति की व्यवहार्यता की जाँच दो चरणों में की जाती है। पहले चरण में, यह पता लगाया जाता है कि सेट X* आकर्षित करने वाला है या नहीं। यदि उत्तर हाँ है, तो दूसरे चरण में मुख्य रीचैबिलिटी प्रॉपर्टी की जाँच की जाती है। यदि X*, X0 से पहुंच योग्य है, तो आकर्षण गुण की सभी शर्तें संतुष्ट होती हैं।

6. कनेक्टिविटी संपत्ति

7. कुल पहुंच योग्यता की संपत्ति `

गुण (6, 7) के लिए, दो बूलियन वैक्टर xt = x* की समानता के अदिश रूप का रूप है

आइए हम काम से मॉडल 3.2 के लिए उपरोक्त कुछ गुणों की व्यवहार्यता की जाँच करते समय बूलियन बाधा पद्धति का उपयोग करके स्वायत्त डीडीएस के गुणात्मक विश्लेषण के लिए उपरोक्त तकनीक का प्रदर्शन करें:

मॉडल की प्रारंभिक अवस्था x0∈X = B3 से निरूपित करें (13)। मान लीजिए टी = (1, 2)। आइए हम गुणों के विनिर्देशन के लिए आवश्यक मॉडल (13) के एक-चरण और दो-चरणीय संक्रमणों के कार्यों को लिखें:

(14)

जहां चिन्ह "।" संयोजन के संचालन को दर्शाता है।

प्रत्येक संपत्ति की संतुष्टि की जांच करने के लिए, प्रारंभिक (X0) और लक्ष्य (X*) सेट निर्दिष्ट किए जाते हैं, जो समीकरणों के शून्य से निर्धारित होते हैं G0(x) = 0, G*(x) = 0 या विशेषता द्वारा इन सेटों के कार्य (खंड 2 देखें)। SAT सॉल्वर के रूप में, REBUS इंस्ट्रूमेंटल कॉम्प्लेक्स (IC) सॉल्वर का उपयोग किया जाता है, और TQBF सॉल्वर DepQBF है। इन सॉल्वरों के लिए नीचे दिए गए गुणों के बूलियन मॉडल में चरों की कोडिंग तालिका में दी गई है। 1, DIMACS और QDIMACS स्वरूपों में इन गुणों के बूलियन मॉडल तालिका में स्थित हैं। 2.

तालिका एक

चर एन्कोडिंग

बूलियन मॉडल में चर संख्या

संपत्ति 1

संपत्ति 2

संपत्ति 3

संपत्ति 4

संपत्ति 5

तालिका 2

बूलियन संपत्ति मॉडल

संपत्ति 1	संपत्ति 2	संपत्ति 3	संपत्ति 4 (ए)	संपत्ति 4 (बी)	संपत्ति 5
					ई 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4 -5 -6 7 -8 -9 -10 11 12 0 4 5 6 -7 8 9 10 -11 -12 0

1. मुख्य पहुंच योग्यता संपत्ति (के = 2)। मान लीजिए X0 = (x∈X: x1 = 0), X*=(x∈X: x1 = 1)। प्रारंभिक और लक्ष्य सेट क्रमशः समीकरण G0(x) = x1 = 0 और द्वारा परिभाषित किए गए हैं। इस मामले में बूलियन समीकरण (12) रूप लेता है

जहां फलन (x0, x1, x2) को (14) में परिभाषित किया गया है। IR REBUS सॉल्वर उत्तर "अनसैट" देता है (समीकरण में कोई शून्य नहीं है), इसलिए X0 से X* की रीचैबिलिटी प्रॉपर्टी संतुष्ट है, जो कि आंकड़े में दिखाए गए अगले संक्रमण आरेख से स्पष्ट रूप से देखा जाता है।

2. लंबाई के चक्र k = 2. लंबाई 2 का चक्रीय अनुक्रम (यदि यह मौजूद है) बूलियन समीकरण का समाधान है

समारोह दिखता है

व्यंजक R(x0, x1) को समीकरण में शामिल नहीं किया गया था जब चक्र पाया गया था, क्योंकि मॉडल (13) में लंबाई k = 1 (संतुलन अवस्था) का कोई चक्र नहीं है। IR REBUS सॉल्वर का उपयोग करते हुए, दो उत्तर प्राप्त किए गए (DIMACS आउटपुट स्वरूप में): 1 2 3 4 5 -6 0 और 1 2 -3 4 5 6 0, चक्रीय अनुक्रमों के अनुरूप (आंकड़ा): ((1 1 1) , (1 1 0)) और ((1 1 0), (1 1 1))। दोनों चक्रों की अवस्थाओं का समुच्चय मेल खाता है, जिसका अर्थ है कि मॉडल (13) की लंबाई k = 2 का एक चक्र है।

सिस्टम संक्रमण आरेख (13)

3. चक्र अलगाव की संपत्ति। यदि लंबाई k = 2 के चक्र के राज्यों C के तत्वों को बूलियन समीकरण Gc(s) = 0 के समाधान द्वारा निर्धारित किया जाता है, तो चक्र अलगाव की स्थिति निम्नलिखित बूलियन में शून्य की अनुपस्थिति के बराबर है समीकरण:

चूँकि C = ((1 1 1), (1 1 0)), हमारे पास है

इस समीकरण के लिए, IR REBUS सॉल्वर दो समाधान ढूंढता है: -1 2 3 4 5 -6 0 और -1 2 -3 4 5 -6 0 (बाइनरी प्रतिनिधित्व में, तालिका 1 में चर के कोडिंग के अनुसार, ये जोड़े हैं राज्यों के (0 1 1), (1 1 0) और ((0 1 0), (1 1 0)) इस प्रकार, चक्र अवस्था (1 1 0) के दो पूर्ववर्ती हैं, (0 1 1) और (0 1 0), जो राज्य सेट चक्र से संबंधित नहीं है इसका मतलब है कि चक्र की अलगाव संपत्ति संतुष्ट नहीं है, यानी यह चक्र एक आकर्षित करने वाला है।

4. आकर्षण की संपत्ति। मान लीजिए X* = C एक आकर्षित करने वाला है। आकर्षण संपत्ति का तार्किक सूत्र मुख्य पहुंच योग्यता संपत्ति के सूत्र के समान है

और हमारे मामले के लिए संबंधित बूलियन समीकरण का रूप है

आइए हम फलन G0(x0), ϕ(x0, x1, x2) और लिखें। फलन (x0, x1, x2) (14) में दिया गया है। X* = C के लिए व्यंजक है। k = 2 चक्रों के लिए आकर्षण संपत्ति की पूर्ति (ए) और गैर-पूर्ति (बी) के मामलों के लिए प्रारंभिक अवस्थाओं X0 के सेट को सेट करने के लिए दो विकल्पों पर विचार करें।

ए चलो। फिर

इस मामले में, बूलियन समीकरण (15) के लिए, उत्तर "अनसैट" है। दिए गए समुच्चय X0 के लिए आकर्षण गुण संतुष्ट है।

बी. चलो. फिर

इस मामले में, समीकरण (15) के लिए IR REBUS एक समाधान ढूंढता है: 1 -2 3 4 -5 -6 -7 8 9 0, जो प्रक्षेपवक्र से मेल खाती है ((1 0 1),(1 0 0),(0 1 1))। प्रारंभिक अवस्था x0 = (1 0 1) के साथ यह प्रक्षेप पथ दो चक्रों में सेट X* = C तक नहीं पहुंचता है, जिसका अर्थ है कि दिए गए X0 के लिए आकर्षण गुण संतुष्ट नहीं हो सकता है।

5. कनेक्टिविटी संपत्ति। कनेक्टिविटी गुण के तार्किक सूत्र में निम्नलिखित कथन का रूप है:

k = 2 *(x0, x1, x2) = G0(x0)∨ϕ(x0, x1, x2) के लिए, जहां फलन ϕ(x0, x1, x2) (14) में दिया गया है। आइए हम राज्य (1 0 1) को प्रारंभिक के रूप में चुनें। फिर । लक्ष्य को X* = ((0 1 1), (1 0 0)) सेट करने दें। इस मामले में, फ़ंक्शन G*(x*) का रूप है

आइए CNF प्रारूप में G*(x*) लिखें:

डी-मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए, हम फलन *(x0, x1, x2) का निषेधन ज्ञात करते हैं। सभी प्राप्त कार्यों को (16) में प्रतिस्थापित करते हुए और बूलियन चर (तालिका 1) के एन्कोडिंग को ध्यान में रखते हुए, हम QDIMACS प्रारूप (तालिका 2) में एक बूलियन मॉडल प्राप्त करते हैं। DepQBF सॉल्वर "sat" उत्तर देता है, जिसका अर्थ है कथन की सच्चाई (16)। दिए गए X0, X*, T = (1, 2) के लिए संयोजकता गुण संतुष्ट है।

निष्कर्ष

डीडीएस के गुणात्मक अध्ययन में बूलियन बाधा पद्धति के मुख्य लाभों में शामिल हैं:

1. सीमित अस्तित्व और सार्वभौमिकता क्वांटिफायर के उपयोग के माध्यम से एक गतिशील संपत्ति निर्दिष्ट करने के लिए ऑटोमेटा गतिशीलता में एक विशेषज्ञ द्वारा उपयोग की जाने वाली तार्किक भाषा।

2. गुण सूत्र और गतिशील समीकरणों के आधार पर, संबंधित बूलियन समीकरण या मात्रात्मक बूलियन सूत्र का निर्माण स्वचालित रूप से किया जाता है।

3. परिणामी बूलियन अभिव्यक्तियों को DIMAX और QDIMAX स्वरूपों में एक फ़ाइल की अगली पीढ़ी के साथ संयोजन सामान्य रूप में परिवर्तित करने की प्रक्रिया को स्वचालित करना काफी सरल है, जो SAT सॉल्वर और QBF सॉल्वर के लिए इनपुट हैं।

4. गणना को कम करने की समस्या कुछ हद तक इन सॉल्वरों के डेवलपर्स द्वारा हल की जाती है और डीडीएस के गुणात्मक विश्लेषण में विशेषज्ञों से बचाई जाती है।

5. राज्य वेक्टर एन के बड़े आयामों के लिए डीडीएस के गुणात्मक विश्लेषण की समस्या को पर्याप्त लंबे समय अंतराल टी पर हल करने की संभावना प्रदान की जाती है। राज्यों की संख्या के संदर्भ में, बूलियन बाधा विधि मॉडल जांच के साथ मात्रात्मक रूप से अनुरूप है तरीका। इस तथ्य के कारण कि हाल के वर्षों में एसएटी और टीक्यूबीएफ समस्याओं को हल करने के लिए विशेष एल्गोरिदम के प्रदर्शन में उल्लेखनीय वृद्धि हुई है, आधुनिक सॉल्वरों के लिए बूलियन संपत्ति मॉडल में चर की कुल संख्या हजारों में मापी जा सकती है।

बूलियन बाधाओं की विधि के आधार पर डीडीएस के गुणात्मक विश्लेषण के लिए सॉफ्टवेयर बूलियन समीकरणों के विशेष सॉल्वरों का उपयोग करके सेवा-उन्मुख दृष्टिकोण के ढांचे के भीतर कार्यान्वित किया जाता है। पेपर जीन नियामक नेटवर्क में चक्र और संतुलन राज्यों की खोज के लिए सेवा-उन्मुख दृष्टिकोण के आधार पर बूलियन बाधा पद्धति के कार्यान्वयन का एक उदाहरण प्रस्तुत करता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक सीमित समय अंतराल पर डीडीएस के गुणात्मक विश्लेषण के लिए बूलियन बाधा विधि काफी सामान्य विधि है। यह न केवल स्वायत्त प्रणालियों पर लागू होता है, बल्कि नियंत्रण इनपुट वाले सिस्टम के लिए, एक से अधिक मेमोरी गहराई वाले सिस्टम के लिए, सामान्य डीडीएस के लिए लागू होता है, जब संक्रमण फ़ंक्शन राज्य xt के संबंध में अघुलनशील होता है और इसका रूप होता है एफ (एक्सटी) , xt-1) = 0. इनपुट के साथ डीडीएस के लिए, नियंत्रणीयता संपत्ति और इसके विभिन्न रूपों का विशेष महत्व है। डीडीएस विश्लेषण की समस्याओं के अलावा, बूलियन बाधा विधि प्रतिक्रिया संश्लेषण (स्थिर या गतिशील, राज्य या इनपुट द्वारा) की समस्याओं पर लागू होती है, जो संश्लेषित प्रणाली में आवश्यक गतिशील संपत्ति की पूर्ति सुनिश्चित करती है।

इस अध्ययन को रूसी फाउंडेशन फॉर बेसिक रिसर्च, परियोजना संख्या 18-07-00596/18 द्वारा समर्थित किया गया था।

ग्रंथ सूची लिंक

ओपेरिन जी.ए., बोगदानोवा वी.जी., पशिनिन ए.ए. बाइनरी डायनामिक सिस्टम्स के गुणात्मक विश्लेषण में बूलियन बाधाएं // एप्लाइड एंड फंडामेंटल रिसर्च के इंटरनेशनल जर्नल। - 2018। - नंबर 9. - पी। 19-29;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=12381 (पहुंच की तिथि: 03/18/2020)। हम आपके ध्यान में प्रकाशन गृह "अकादमी ऑफ नेचुरल हिस्ट्री" द्वारा प्रकाशित पत्रिकाओं को लाते हैं।