लागू समस्याओं को हल करने के लिए अभिन्न का अनुप्रयोग

क्षेत्र गणना

एक सतत गैर-ऋणात्मक फलन f(x) का निश्चित समाकल संख्यात्मक रूप से के बराबर होता हैवक्र y \u003d f (x), O x अक्ष और सीधी रेखाओं x \u003d a और x \u003d b से घिरा एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र। तदनुसार, क्षेत्र सूत्र इस प्रकार लिखा गया है:

समतल आकृतियों के क्षेत्रफलों की गणना के कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

कार्य संख्या 1. y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2 रेखाओं से घिरे क्षेत्र की गणना करें।

समाधान।आइए एक आकृति बनाते हैं, जिसका क्षेत्रफल हमें गणना करना होगा।

y \u003d x 2 + 1 एक परवलय है जिसकी शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, और परवलय को O y अक्ष (चित्र 1) के सापेक्ष एक इकाई द्वारा ऊपर की ओर स्थानांतरित किया जाता है।

चित्र 1. फलन का ग्राफ y = x 2 + 1

कार्य संख्या 2. 0 से 1 की सीमा में y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 से घिरे क्षेत्र की गणना करें।

समाधान।इस फ़ंक्शन का ग्राफ शाखा का परवलय है, जिसे ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है, और परवलय को O y अक्ष के सापेक्ष एक इकाई द्वारा नीचे स्थानांतरित किया जाता है (चित्र 2)।

चित्र 2. फ़ंक्शन का ग्राफ़ y \u003d x 2 - 1

कार्य संख्या 3. एक चित्र बनाएं और रेखाओं से बंधे हुए आकृति के क्षेत्र की गणना करें

y = 8 + 2x - x 2 और y = 2x - 4।

समाधान।इन दो पंक्तियों में से पहली एक परवलय है जिसकी शाखाएँ नीचे की ओर इंगित करती हैं, क्योंकि x 2 पर गुणांक ऋणात्मक है, और दूसरी रेखा दोनों समन्वय अक्षों को पार करने वाली एक सीधी रेखा है।

परवलय की रचना के लिए, आइए इसके शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात करें: y'=2 – 2x; 2 - 2x = 0, x = 1 - शीर्ष भुज; y(1) = 8 + 2∙1 - 1 2 = 9 इसकी कोटि है, N(1;9) इसका शीर्ष है।

अब हम समीकरणों की प्रणाली को हल करके परवलय और रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं:

एक समीकरण के दाएँ पक्षों की बराबरी करना जिसकी बाएँ भुजाएँ समान हैं।

हमें 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 या x 2 - 12 \u003d 0 मिलता है, जहां से .

तो, बिंदु परवलय और सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं (चित्र 1)।

चित्र 3 फलनों के रेखांकन y = 8 + 2x - x 2 और y = 2x - 4

आइए एक सीधी रेखा y = 2x - 4 बनाते हैं। यह निर्देशांक अक्षों पर स्थित बिंदुओं (0;-4), (2; 0) से होकर गुजरती है।

एक परवलय बनाने के लिए, आपके पास 0x अक्ष के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु भी हो सकते हैं, यानी समीकरण 8 + 2x - x 2 = 0 या x 2 - 2x - 8 = 0 की जड़ें। वीटा प्रमेय द्वारा, यह है इसकी जड़ों को खोजना आसान है: x 1 = 2, x 2 = चार।

चित्र 3 इन रेखाओं से घिरी एक आकृति (परवलयिक खंड M 1 N M 2) को दर्शाता है।

समस्या का दूसरा भाग इस आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। इसका क्षेत्रफल सूत्र का प्रयोग करके एक निश्चित समाकलन का प्रयोग करके ज्ञात किया जा सकता है .

इस स्थिति के संबंध में, हम अभिन्न प्राप्त करते हैं:

2 क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना

O x अक्ष के चारों ओर वक्र y \u003d f (x) के घूर्णन से प्राप्त शरीर के आयतन की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

O y अक्ष के चारों ओर घूमते समय, सूत्र इस तरह दिखता है:

टास्क नंबर 4. सीधी रेखाओं x \u003d 0 x \u003d 3 और O x अक्ष के चारों ओर एक वक्र y \u003d से बंधे हुए एक वक्रीय समलम्ब के रोटेशन से प्राप्त शरीर की मात्रा निर्धारित करें।

समाधान।आइए एक ड्राइंग बनाएं (चित्र 4)।

चित्र 4. फलन का ग्राफ y =

वांछित मात्रा बराबर है

टास्क नंबर 5. एक वक्र y = x 2 और सीधी रेखाओं y = 0 और y = 4 से अक्ष O y के चारों ओर घिरे एक वक्रीय समलम्ब के घूर्णन से प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

समाधान।हमारे पास है:

समीक्षा प्रश्न

ऑक्स अक्ष, एक वक्र y \u003d f (x) और दो सीधी रेखाओं से घिरे एक वक्रीय समलम्ब पर विचार करें: x \u003d a और x \u003d b (चित्र। 85)। x का एक मनमाना मान लें (केवल a नहीं और b नहीं)। आइए हम इसे एक वेतन वृद्धि h = dx दें और एक सीधी रेखा AB और CD, ऑक्स अक्ष द्वारा, और विचाराधीन वक्र से संबंधित चाप BD द्वारा बंधी एक पट्टी पर विचार करें। इस पट्टी को प्राथमिक पट्टी कहा जाएगा। एक प्राथमिक पट्टी का क्षेत्रफल एक वक्रीय त्रिभुज BQD द्वारा आयत ACQB के क्षेत्रफल से भिन्न होता है, और बाद वाले का क्षेत्रफल BQ = = h = भुजाओं वाले आयत BQDM के क्षेत्रफल से कम होता है dx) QD=Ay और hAy के बराबर क्षेत्रफल = Ay dx। जैसे-जैसे भुजा h घटती है, भुजा Du भी घटती जाती है और साथ ही h के साथ-साथ शून्य हो जाती है। इसलिए, BQDM का क्षेत्रफल दूसरे क्रम का अपरिमित है। प्राथमिक पट्टी का क्षेत्रफल क्षेत्र वृद्धि है, और आयत ACQB का क्षेत्रफल, AB-AC==/(x) dx> के बराबर क्षेत्र अंतर है। इसलिए, हम इसके अंतर को एकीकृत करके स्वयं क्षेत्र पाते हैं। विचाराधीन आकृति की सीमा के भीतर, स्वतंत्र चर l: a से b में बदल जाता है, इसलिए अभीष्ट क्षेत्रफल 5 5= \f (x) dx के बराबर होगा। (I) उदाहरण 1. परवलय y - 1 -x *, सीधी रेखाओं X \u003d - Fj-, x \u003d 1 और अक्ष O * (चित्र 86) से घिरे क्षेत्र की गणना करें। अंजीर में 87. अंजीर। 86. 1 यहाँ f(x) = 1 - l?, एकीकरण की सीमा a = - और t = 1, इसलिए 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24 * उदाहरण 2. साइनसॉइड से घिरे क्षेत्र की गणना करें y = sinXy, ऑक्स अक्ष और सीधी रेखा (चित्र 87)। सूत्र (I) को लागू करते हुए, हम L 2 S \u003d J sinxdx \u003d [-cos x] Q \u003d 0 - (-1) \u003d lf उदाहरण 3. प्राप्त करते हैं। साइनसॉइड के चाप से घिरे क्षेत्र की गणना करें ^y \ u003d sin jc, ऑक्स अक्ष के साथ दो आसन्न प्रतिच्छेदन बिंदुओं के बीच संलग्न है (उदाहरण के लिए, मूल बिंदु और भुज i के साथ बिंदु के बीच)। ध्यान दें कि ज्यामितीय विचारों से यह स्पष्ट है कि यह क्षेत्र पिछले उदाहरण के क्षेत्रफल का दोगुना होगा। हालांकि, चलिए गणना करते हैं: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o दरअसल, हमारी धारणा निष्पक्ष निकली। उदाहरण 4. एक आवर्त में साइनसॉइड और ^ अक्ष ऑक्स से घिरे क्षेत्र की गणना करें (चित्र 88)। प्रारंभिक रास-फिगर निर्णय बताते हैं कि क्षेत्र पीआर की तुलना में चार गुना बड़ा हो जाएगा। हालांकि, गणना करने के बाद, हमें "i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x मिलता है। ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. इस परिणाम के लिए स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। मामले के सार को स्पष्ट करने के लिए, हम उसी साइनसॉइड y \u003d sin l: और ऑक्स अक्ष से घिरे क्षेत्र की गणना l से 2n तक करते हैं। सूत्र (I) को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं इस प्रकार, हम देखते हैं कि यह क्षेत्र ऋणात्मक निकला। उदाहरण 3 में परिकलित क्षेत्रफल से इसकी तुलना करने पर, हम पाते हैं कि उनके निरपेक्ष मान समान हैं, लेकिन संकेत भिन्न हैं। यदि हम संपत्ति V लागू करते हैं (देखें अध्याय XI, 4), तो हमें दुर्घटनावश प्राप्त होता है। हमेशा x-अक्ष के नीचे का क्षेत्र, बशर्ते कि स्वतंत्र चर बाएं से दाएं बदलता है, पूर्णांक ऋणात्मक का उपयोग करके गणना करके प्राप्त किया जाता है। इस पाठ्यक्रम में, हम हमेशा अहस्ताक्षरित क्षेत्रों पर विचार करेंगे। इसलिए, अभी विश्लेषण किए गए उदाहरण में उत्तर इस प्रकार होगा: आवश्यक क्षेत्रफल 2 + |-2| . के बराबर है = 4. उदाहरण 5. आइए अंजीर में दिखाए गए बीएबी के क्षेत्र की गणना करें। 89. यह क्षेत्र अक्ष ऑक्स, परवलय y = - xr और सीधी रेखा y - = -x + \ द्वारा सीमित है। एक घुमावदार समलम्ब का क्षेत्रफल ओएबी के लिए मांगे गए क्षेत्र में दो भाग होते हैं: ओएएम और एमएबी। चूँकि बिंदु A परवलय और सीधी रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है, हम समीकरणों की प्रणाली 3 2 Y \u003d mx को हल करके इसके निर्देशांक पाएंगे। (हमें केवल बिंदु A का भुज ज्ञात करना है)। सिस्टम को हल करते हुए, हम एल पाते हैं; =~. इसलिए, क्षेत्र की गणना भागों में की जानी चाहिए, पहले pl। ओएएम, और फिर pl। एमएवी: .... जी 3 2, 3 जी एक्सपी 3 1/2 वाई 2। क्यूएएम-^x = [प्रतिस्थापन:

] =

इसलिए, अनुचित अभिन्न अभिसरण करता है और इसका मूल्य बराबर होता है।