कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली। आयताकार एक्स और वाई निर्देशांक क्षेत्रीय गॉस-क्रुएगर समन्वय प्रणाली किस बिंदु को समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति कहा जाता है

COORDINATES - ये वे मात्राएँ हैं जो स्वीकृत समन्वय प्रणाली में सतह या अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु की स्थिति निर्धारित करती हैं। निर्देशांक प्रणाली आवश्यक मात्राओं को पढ़ने के लिए प्रारंभिक (मूल) बिंदुओं, रेखाओं या विमानों को निर्धारित करती है - निर्देशांक की उत्पत्ति और उनकी गणना की इकाइयाँ। स्थलाकृति और भूगणित में, भौगोलिक, आयताकार, ध्रुवीय और द्विध्रुवीय निर्देशांक की प्रणालियों को सबसे बड़ा अनुप्रयोग प्राप्त हुआ है।
भौगोलिक निर्देशांक (चित्र। 2.8) का उपयोग पृथ्वी की सतह पर एक दीर्घवृत्त (गेंद) पर बिंदुओं की स्थिति निर्धारित करने के लिए किया जाता है। इस समन्वय प्रणाली में, प्रारंभिक मध्याह्न तल और भूमध्यरेखीय तल प्रारंभिक होते हैं। एक मेरिडियन एक दीर्घवृत्त के खंड की एक रेखा है जो एक विमान से गुजरती है दिया गया बिंदुऔर पृथ्वी की घूर्णन की धुरी।

एक समानांतर एक दीर्घवृत्त के खंड की एक रेखा है जो किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाले विमान द्वारा और पृथ्वी की धुरी के लंबवत होती है। समानांतर जिसका तल दीर्घवृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है भूमध्य रेखा कहलाता है। सतह पर हर बिंदु के माध्यम से पृथ्वी, आप केवल एक याम्योत्तर और केवल एक समानांतर खींच सकते हैं।
भौगोलिक निर्देशांक कोणीय मात्राएँ हैं: देशांतर l और अक्षांश j।
भौगोलिक देशांतर l को कहा जाता है द्विफलक कोण, दिए गए मध्याह्न रेखा के तल (बिंदु B से होकर जाने वाले) और प्रारंभिक मध्याह्न रेखा के तल के बीच संलग्न है। प्रारंभिक (शून्य) मध्याह्न रेखा के लिए, लंदन शहर के भीतर ग्रीनविच वेधशाला के मुख्य हॉल के केंद्र से गुजरने वाली मध्याह्न रेखा को लिया गया था। बिंदु B के लिए, देशांतर कोण l = WCD द्वारा निर्धारित किया जाता है। देशांतर की गणना प्रधान मध्याह्न रेखा से दोनों दिशाओं में की जाती है - पूर्व और पश्चिम। इस संबंध में, हम पश्चिमी और पूर्वी देशांतरों के बीच अंतर करते हैं, जो 0° से 180° तक भिन्न होते हैं।
भौगोलिक अक्षांश j भूमध्य रेखा के तल और दिए गए बिंदु से गुजरने वाली साहुल रेखा द्वारा निर्मित कोण है। यदि पृथ्वी को एक गेंद के रूप में लिया जाता है, तो बिंदु B (चित्र 2.8) के लिए अक्षांश j कोण DCB द्वारा निर्धारित किया जाता है। भूमध्य रेखा से उत्तर की ओर मापे गए अक्षांशों को उत्तरी कहा जाता है, और दक्षिण - दक्षिणी में, वे भूमध्य रेखा पर 0 ° से ध्रुवों पर 90 ° तक भिन्न होते हैं।
भौगोलिक निर्देशांक खगोलीय प्रेक्षणों या भूगणितीय मापों से प्राप्त किए जा सकते हैं। पहले मामले में, उन्हें खगोलीय कहा जाता है, और दूसरे में - जियोडेटिक (एल - देशांतर, बी - अक्षांश)। खगोलीय टिप्पणियों में, संदर्भ सतह पर बिंदुओं का प्रक्षेपण साहुल रेखाओं द्वारा किया जाता है, भूगर्भीय माप में - मानदंडों द्वारा। इसलिए, साहुल रेखा के विचलन की मात्रा से खगोलीय और भूगर्भीय निर्देशांक के मान भिन्न होते हैं।
अलग-अलग राज्यों द्वारा अलग-अलग संदर्भ दीर्घवृत्त के उपयोग से विभिन्न प्रारंभिक सतहों के सापेक्ष गणना किए गए समान बिंदुओं के निर्देशांक में अंतर होता है। व्यवहार में, यह मेरिडियन के सापेक्ष कार्टोग्राफिक छवि के सामान्य विस्थापन में व्यक्त किया जाता है और बड़े और मध्यम पैमाने के मानचित्रों पर समानताएं होती हैं।
आयताकार निर्देशांक रैखिक मात्राएँ कहलाती हैं - भुज और कोटि, जो मूल दिशाओं के सापेक्ष तल पर एक बिंदु की स्थिति निर्धारित करती हैं।

(चित्र 2.9)
भूगणित और स्थलाकृति में, इसे स्वीकार किया जाता है सही प्रणालीआयताकार निर्देशांक। यह इसे गणित में प्रयुक्त वाम समन्वय प्रणाली से अलग करता है। प्रारंभिक दिशाएँ दो परस्पर लंबवत रेखाएँ हैं जिनका मूल बिंदु उनके प्रतिच्छेदन O पर है।
XX सीधी रेखा (एब्सिस्सा अक्ष) मूल से गुजरने वाली मेरिडियन की दिशा के साथ या कुछ मेरिडियन के समानांतर दिशा के साथ संरेखित होती है। सीधी रेखा YY (y-अक्ष) x-अक्ष के लंबवत बिंदु O से होकर गुजरती है। ऐसी प्रणाली में, एक समतल पर एक बिंदु की स्थिति निर्देशांक अक्षों से उससे सबसे छोटी दूरी से निर्धारित होती है। बिंदु A की स्थिति लंबवत Xa और Ya की लंबाई से निर्धारित होती है। खंड X को बिंदु A का भुज कहा जाता है, और Yа इस बिंदु की कोटि है। आयताकार निर्देशांक आमतौर पर मीटर में व्यक्त किए जाते हैं। भुज और कोटि कुल्हाड़ियाँ भूभाग को बिंदु O पर चार भागों में विभाजित करती हैं (चित्र 2.9)। क्वार्टर का नाम दुनिया के देशों के स्वीकृत पदनामों द्वारा निर्धारित किया जाता है। क्वार्टर दक्षिणावर्त गिने जाते हैं: I - SV; द्वितीय - एसई; III - दप; चतुर्थ - एनडब्ल्यू।
तालिका में। 2.3 एब्सिसास एक्स के संकेत दिखाता है और विभिन्न क्वार्टरों में स्थित बिंदुओं के लिए वाई को निर्देशित करता है और उनके नाम दिए गए हैं।

तालिका 2.3
मूल से ऊपर स्थित बिंदुओं के एब्सिसस को सकारात्मक माना जाता है, और इससे नीचे - नकारात्मक, दाईं ओर स्थित बिंदुओं के निर्देशांक - सकारात्मक, बाईं ओर - नकारात्मक। फ्लैट आयताकार निर्देशांक की प्रणाली सीमित क्षेत्रों में प्रयोग की जाती है पृथ्वी की सतह, जिसे फ्लैट के रूप में लिया जा सकता है।
निर्देशांक, जिनका उद्गम स्थल के किसी भी बिंदु से होता है, ध्रुवीय कहलाते हैं। इस समन्वय प्रणाली में, अभिविन्यास कोणों को मापा जाता है। एक क्षैतिज तल पर (चित्र 2.10), मनमाने ढंग से चुने गए बिंदु O के माध्यम से, जिसे ध्रुव कहा जाता है, एक सीधी रेखा OX खींची जाती है - ध्रुवीय अक्ष।

फिर किसी भी बिंदु की स्थिति, उदाहरण के लिए, एम त्रिज्या द्वारा निर्धारित किया जाएगा - वेक्टर r1 और दिशा कोण a1, और बिंदु N - क्रमशः r2 और a2। कोण a1 और a2 को ध्रुवीय अक्ष से दक्षिणावर्त त्रिज्या वेक्टर तक मापा जाता है। ध्रुवीय अक्ष को मनमाने ढंग से स्थित किया जा सकता है या ध्रुव ओ से गुजरने वाले किसी भी मेरिडियन की दिशा के साथ जोड़ा जा सकता है।
द्विध्रुवी समन्वय प्रणाली (चित्र। 2.11) दो चयनित निश्चित ध्रुवों O1 और O2 का प्रतिनिधित्व करती है, जो एक सीधी रेखा से जुड़े होते हैं - ध्रुवीय अक्ष। यह समन्वय प्रणाली आपको दो कोणों b1 और b2, दो त्रिज्या वैक्टर r1 और r2, या उनके संयोजन का उपयोग करके विमान पर ध्रुवीय अक्ष के सापेक्ष बिंदु M की स्थिति निर्धारित करने की अनुमति देती है। यदि बिंदुओं O1 और O2 के आयताकार निर्देशांक ज्ञात हैं, तो बिंदु M की स्थिति की गणना की जा सकती है विश्लेषणात्मक तरीके से.

चावल। 2.11

चावल। 2.12
पृथ्वी की सतह पर बिंदुओं की ऊँचाई। पृथ्वी की भौतिक सतह के बिंदुओं की स्थिति निर्धारित करने के लिए, केवल नियोजित निर्देशांक X, Y या l, j को जानना पर्याप्त नहीं है, एक तीसरे निर्देशांक की आवश्यकता है - बिंदु H की ऊंचाई। की ऊंचाई बिंदु H (चित्र 2.12) किसी दिए गए बिंदु (A´; B´ ) से स्वीकृत मुख्य स्तर की सतह MN तक ऊर्ध्वाधर दिशा के साथ दूरी है। किसी बिंदु की ऊंचाई के संख्यात्मक मान को ऊंचाई कहा जाता है। मुख्य स्तर की सतह MN से मापी गई ऊँचाई को निरपेक्ष ऊँचाई (AA´; BB´´) कहा जाता है, और जो मनमाने ढंग से चुनी गई स्तर की सतह के सापेक्ष निर्धारित होती हैं उन्हें सशर्त ऊँचाई (В´В´´) कहा जाता है। दो बिंदुओं की ऊंचाई का अंतर या पृथ्वी के किन्हीं दो बिंदुओं से गुजरने वाली समतल सतहों के बीच की ऊर्ध्वाधर दिशा में दूरी को सापेक्ष ऊंचाई (В´В´´) या इन बिंदुओं की अधिकता h कहा जाता है।
बेलारूस गणराज्य में, 1977 की ऊंचाइयों की बाल्टिक प्रणाली को अपनाया गया था। ऊंचाइयों की गणना समतल सतह से की जाती है, जो कि क्रोनस्टेड फुटस्टॉक के शून्य से फिनलैंड की खाड़ी में औसत जल स्तर के साथ मेल खाती है।

यहाँ एक और है

4.1. आयताकार निर्देशांक

स्थलाकृति में, आयताकार निर्देशांक सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं। एक समतल पर दो परस्पर लंबवत रेखाएँ लें - हेएक्सतथा ओए. इन रेखाओं को निर्देशांक अक्ष कहा जाता है, और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ( हे) निर्देशांक की उत्पत्ति है।

चावल। 4.1. आयताकार निर्देशांक

समतल पर किसी भी बिंदु की स्थिति को निर्देशांक अक्षों से दिए गए बिंदु तक की न्यूनतम दूरी निर्दिष्ट करके आसानी से निर्धारित किया जा सकता है। सबसे छोटी दूरी लंबवत हैं। निर्देशांक अक्षों से किसी दिए गए बिंदु पर लंबवत के साथ दूरियां इस बिंदु के आयताकार निर्देशांक कहलाती हैं। अक्ष के समानांतर रेखा खंड एक्स, निर्देशांक कहलाते हैं एक्सलेकिन , और समानांतर अक्ष यू- निर्देशांक परलेकिन .
आयताकार समन्वय प्रणाली के क्वार्टर गिने जाते हैं। उनकी गिनती x-अक्ष की धनात्मक दिशा से दक्षिणावर्त जाती है - I, II, III, IV (चित्र 4.1)।
ऊपर चर्चा किए गए आयताकार निर्देशांक एक समतल पर उपयोग किए जाते हैं। इसलिए उन्हें यह नाम मिला फ्लैट आयताकार निर्देशांक। इस समन्वय प्रणाली का उपयोग भू-भाग के छोटे क्षेत्रों में किया जाता है, जिसे विमान के रूप में लिया जाता है।

4.2. आंचलिक गाऊसी आयताकार समन्वय प्रणाली

"स्थलाकृतिक मानचित्रों के अनुमान" के मुद्दे पर विचार करते समय, यह नोट किया गया था कि पृथ्वी की सतह एक सिलेंडर की सतह पर प्रक्षेपित होती है जो अक्षीय मेरिडियन के साथ पृथ्वी की सतह को छूती है। इस मामले में, पृथ्वी की पूरी सतह को सिलेंडर पर प्रक्षेपित नहीं किया जाता है, लेकिन इसका केवल एक हिस्सा पश्चिम में 3 डिग्री देशांतर और अक्षीय मेरिडियन के पूर्व में 3 डिग्री तक सीमित है। चूंकि प्रत्येक गाऊसी अनुमान पृथ्वी की सतह के केवल एक टुकड़े को विमान तक पहुंचाता है, जो 6 ° देशांतर के माध्यम से मेरिडियन द्वारा सीमित है, तो पृथ्वी की सतह पर कुल 60 अनुमान (60 क्षेत्र) बनाए जाने चाहिए। 60 अनुमानों में से प्रत्येक में, a अलग प्रणालीआयताकार निर्देशांक।
प्रत्येक क्षेत्र में, अक्ष एक्सक्षेत्र का मध्य (अक्षीय) मध्याह्न रेखा है, जो अपनी वास्तविक स्थिति से 500 किमी पश्चिम में स्थित है, और अक्ष यू- भूमध्य रेखा (चित्र। 4.2)।

चावल। 4.2. आयताकार समन्वय प्रणाली
स्थलाकृतिक मानचित्रों पर

भूमध्य रेखा के साथ विस्तारित अक्षीय मध्याह्न रेखा का प्रतिच्छेदन निर्देशांक की उत्पत्ति होगी: एक्स = 0, वाई = 0. भूमध्य रेखा और वास्तविक अक्षीय मध्याह्न रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु में निर्देशांक होते हैं : x = 0, y = 500 किमी।
प्रत्येक क्षेत्र की अपनी उत्पत्ति होती है। क्षेत्रों की गणना ग्रीनविच मध्याह्न रेखा से पूर्व की ओर की जाती है। पहला छह-डिग्री क्षेत्र ग्रीनविच मेरिडियन और मेरिडियन के बीच पूर्वी देशांतर 6º (अक्षीय मेरिडियन 3º) के साथ स्थित है। दूसरा क्षेत्र 6º ई है। - 12º ई (अक्षीय मेरिडियन 9º)। तीसरा जोन - 12º ई - 18º ई (अक्षीय मेरिडियन 15º)। चौथा क्षेत्र - 18º ई - 24º ई (अक्षीय मेरिडियन 21º), आदि।
ज़ोन संख्या निर्देशांक में इंगित की गई है परपहला अंक। उदाहरण के लिए, प्रविष्टि पर = 4 525 340 इसका मतलब है कि निर्दिष्ट बिंदु दूरी पर चौथे क्षेत्र (पहला अंक) में है 525 340 वर्ग मीटरक्षेत्र के अक्षीय मध्याह्न रेखा से, जो 500 किमी के पश्चिम में स्थित है।

भौगोलिक निर्देशांक द्वारा ज़ोन संख्या निर्धारित करने के लिए, डिग्री की पूर्ण संख्या में व्यक्त देशांतर में 6 जोड़ना और परिणामी राशि को 6 से विभाजित करना आवश्यक है। विभाजन के परिणामस्वरूप, हम केवल एक पूर्णांक छोड़ते हैं।

उदाहरण। 18º10" के पूर्वी देशांतर वाले बिंदु के लिए गाऊसी क्षेत्र की संख्या निर्धारित करें।
समाधान। देशांतर 18 की डिग्री की पूर्णांक संख्या में, 6 जोड़ें और योग को 6 . से विभाजित करें
(18 + 6) / 6 = 4.
हमारा नक्शा चौथे जोन में है।

आंचलिक समन्वय प्रणाली का उपयोग करने में कठिनाइयाँ तब उत्पन्न होती हैं जब दो पड़ोसी (आसन्न) क्षेत्रों में स्थित सीमावर्ती क्षेत्रों में स्थलाकृतिक और भूगर्भीय कार्य किए जाते हैं। ऐसे क्षेत्रों की निर्देशांक रेखाएं एक दूसरे से कोण पर स्थित होती हैं (चित्र 4.3)।

उत्पन्न होने वाली जटिलताओं को समाप्त करने के लिए, ज़ोन ओवरलैप बैंड , जिसमें दो आसन्न प्रणालियों में बिंदुओं के निर्देशांक की गणना की जा सकती है। प्रत्येक क्षेत्र में चौड़ाई 4°, 2° ओवरलैप करें।

मानचित्र पर एक अतिरिक्त ग्रिड केवल मिनट और बाहरी फ़्रेम के बीच की रेखाओं के आउटलेट के रूप में लागू किया जाता है। इसका डिजिटलीकरण आसन्न क्षेत्र की ग्रिड लाइनों के डिजिटलीकरण की निरंतरता है। शीट के बाहरी फ्रेम के बाहर अतिरिक्त ग्रिड लाइनों पर हस्ताक्षर किए गए हैं. नतीजतन, पूर्वी क्षेत्र में स्थित एक नक्शा शीट पर, एक ही नाम के अतिरिक्त ग्रिड के आउटपुट को जोड़ने पर, पश्चिमी क्षेत्र का एक किलोमीटर ग्रिड प्राप्त होता है। इस ग्रिड का उपयोग करके, आप निर्धारित कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, एक बिंदु के आयताकार निर्देशांक परपश्चिमी क्षेत्र के आयताकार निर्देशांक की प्रणाली में, यानी, बिंदुओं के आयताकार निर्देशांक लेकिनतथा परपश्चिमी क्षेत्र के समान समन्वय प्रणाली में प्राप्त किया जाएगा।

चावल। 4.3. जोन की सीमा पर अतिरिक्त किलोमीटर लाइनें

1:10,000 के पैमाने वाले मानचित्र पर, एक अतिरिक्त ग्रिड को केवल उन शीटों पर विभाजित किया जाता है जिनमें आंतरिक फ्रेम (ट्रेपेज़ॉइड फ्रेम) का पूर्वी या पश्चिमी मेरिडियन ज़ोन सीमा है। स्थलाकृतिक योजनाओं पर, एक अतिरिक्त ग्रिड लागू नहीं होता है।

4.3. एक कम्पास-मापक की मदद से आयताकार निर्देशांक का निर्धारण

एक महत्वपूर्ण तत्वस्थलाकृतिक मानचित्र (योजना) एक आयताकार ग्रिड है। इस 6-डिग्री क्षेत्र की सभी शीटों पर, ग्रिड को पंक्तियों की पंक्तियों के रूप में लगाया जाता है, मध्य मेरिडियन और भूमध्य रेखा के समानांतर(चित्र। 4.2)। ग्रिड की ऊर्ध्वाधर रेखाएं क्षेत्र के अक्षीय मध्याह्न रेखा के समानांतर होती हैं, और क्षैतिज रेखाएं भूमध्य रेखा के समानांतर होती हैं। क्षैतिज किलोमीटर की रेखाएँ नीचे से ऊपर तक गिनी जाती हैं, और ऊर्ध्वाधर - बाएँ से दाएँ .

1:200,000 - 1:50,000 के पैमाने के नक्शे पर लाइनों के बीच का अंतराल 2 सेमी, 1:25,000 - 4 सेमी, 1:10,000 - 10 सेमी है, जो जमीन पर किलोमीटर की एक पूरी संख्या से मेल खाती है। इसलिए, एक आयताकार ग्रिड को भी कहा जाता है किलोमीटर, और इसकी रेखाएँ हैं किलोमीटर.
नक्शा शीट के फ्रेम के कोनों के निकटतम किलोमीटर की रेखाओं पर किलोमीटर की पूरी संख्या के साथ हस्ताक्षर किए जाते हैं, बाकी - अंतिम दो अंकों के साथ। शिलालेख 60 एक क्षैतिज रेखा पर 65 (चित्र 4.4 देखें) का अर्थ है कि यह रेखा भूमध्य रेखा (उत्तर की ओर) से 6065 किमी दूर है: शिलालेख 43 ऊर्ध्वाधर रेखा पर 07 का अर्थ है कि यह चौथे क्षेत्र में है और पूर्व में निर्देशांक की गणना की शुरुआत से 307 किमी दूर है। यदि ऊर्ध्वाधर किलोमीटर रेखा के पास तीन अंकों की संख्या छोटी संख्या में लिखी जाती है, तो पहले दो क्षेत्र संख्या को इंगित करते हैं.

उदाहरण।मानचित्र पर एक बिंदु के आयताकार निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है, उदाहरण के लिए, 214.3 (चित्र। 4.4) के निशान के साथ राज्य जियोडेटिक नेटवर्क (जीजीएस) का एक बिंदु। सबसे पहले, उस वर्ग के दक्षिणी भाग का भुज (किमी में) लिखें जिसमें यह बिंदु स्थित है (अर्थात 6065)। फिर, एक मापने वाले कंपास और एक रैखिक पैमाने का उपयोग करके, लंबवत की लंबाई निर्धारित करें मैं= 550 वर्ग मीटरसे यौवन दिया गया बिंदुइस लाइन को। परिणामी मूल्य (में ये मामला 550 मी) रेखा के भुज में जोड़ा जाता है। संख्या 6 065 550 एक भुज है एक्स बिंदु जीजीएस।
GGS बिंदु की कोटि उसी वर्ग (4307 किमी) के पश्चिमी भाग के कोटि के बराबर है, जिसे लंबवत की लंबाई में जोड़ा जाता है у= 250 मीटर मानचित्र पर मापा गया। संख्या 4 307 250 उसी बिंदु की कोटि है।
मापने वाले कम्पास की अनुपस्थिति में, दूरियों को एक शासक या कागज की पट्टी से मापा जाता है।.

एक्स = 6065550, पर= 4307250
चावल। 4.4. एक रैखिक पैमाने का उपयोग करके आयताकार निर्देशांक निर्धारित करना

4.4. एक समन्वयक का उपयोग कर आयताकार निर्देशांक का निर्धारण

समन्वयक - दो लंबवत भुजाओं वाला एक छोटा वर्ग। तराजू को शासकों के आंतरिक किनारों के साथ चिह्नित किया जाता है, जिनकी लंबाई दिए गए पैमाने के नक्शे के समन्वय कोशिकाओं के किनारे की लंबाई के बराबर होती है। निर्देशांक मीटर पर विभाजन मानचित्र के रैखिक पैमाने से स्थानांतरित किए जाते हैं।
क्षैतिज पैमाने को वर्ग की निचली रेखा (जिसमें बिंदु स्थित है) के साथ संरेखित किया गया है, और ऊर्ध्वाधर पैमाने को इस बिंदु से गुजरना होगा। तराजू बिंदु से किलोमीटर की रेखाओं तक की दूरी निर्धारित करते हैं।

एक्स ए = 6135 350 वाई ए = 5577 710
चावल। 4.5. कोर्डिनोमीटर का उपयोग करके कार्टेशियन निर्देशांक निर्धारित करना

4.5. दिए गए आयताकार निर्देशांक द्वारा मानचित्र पर बिंदुओं का अनुप्रयोग

दिए गए आयताकार निर्देशांक पर मानचित्र पर एक बिंदु को प्लॉट करने के लिए, निम्नानुसार आगे बढ़ें: निर्देशांक रिकॉर्ड में, दो अंकों की संख्याएँ पाई जाती हैं, जो आयताकार ग्रिड की रेखाओं को संक्षिप्त करती हैं। पहली संख्या के अनुसार, मानचित्र पर एक क्षैतिज ग्रिड रेखा पाई जाती है, दूसरी के अनुसार - एक लंबवत। उनका चौराहा उस वर्ग के दक्षिण-पश्चिमी कोने का निर्माण करता है जिसमें वांछित बिंदु स्थित है। वर्ग के पूर्वी और पश्चिमी किनारों पर, इसके दक्षिणी हिस्से से दो समान खंड रखे गए हैं, जो नक्शे के पैमाने पर एब्सिस्सा में मीटर की संख्या के अनुरूप हैं। एक्स . खंडों के सिरों को एक सीधी रेखा से जोड़ा जाता है और उस पर वर्ग के पश्चिमी भाग से, कोटि में मीटर की संख्या के अनुरूप एक खंड मानचित्र के पैमाने पर रखा जाता है; इस खंड का अंत वांछित बिंदु है।

4.6. भौगोलिक निर्देशांक से समतल आयताकार गॉस निर्देशांक की गणना

समतल गाऊसी कार्तीय निर्देशांक एक्स तथा पर भौगोलिक निर्देशांक से संबंधित होना बहुत कठिन है φ (अक्षांश) और λ (देशांतर) पृथ्वी की सतह पर बिंदु। मान लीजिए कुछ बिंदु लेकिनभौगोलिक निर्देशांक हैं φ तथा λ . चूंकि क्षेत्र के सीमा मेरिडियन के देशांतरों में अंतर 6 डिग्री है, तो, क्रमशः, प्रत्येक क्षेत्र के लिए चरम मेरिडियन के देशांतर प्राप्त करना संभव है: पहला क्षेत्र (0 डिग्री - 6 डिग्री), दूसरा क्षेत्र (6° - 12°), तीसरा क्षेत्र (12° - 18°) आदि। इस प्रकार, के अनुसार भौगोलिक देशांतरअंक लेकिनआप उस क्षेत्र की संख्या निर्धारित कर सकते हैं जिसमें यह बिंदु स्थित है। जबकि देशांतर λ क्षेत्र के अक्षीय मेरिडियन का ओएस सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है
λ ओएस = (6°n - 3°),
जिसमें एन- जोन नंबर।

तलीय आयताकार निर्देशांक परिभाषित करने के लिए एक्स तथा पर भौगोलिक निर्देशांक द्वारा φ तथा λ हम क्रासोव्स्की के संदर्भ दीर्घवृत्त के लिए व्युत्पन्न सूत्रों का उपयोग करेंगे (संदर्भ दीर्घवृत्त एक ऐसा आंकड़ा है जो पृथ्वी के उस हिस्से में जितना संभव हो उतना करीब है जिस पर यह स्थित है दिया गया राज्य, या राज्यों का एक समूह):

एक्स = 6367558,4969 (φ प्रसन्न ) - (ए 0 −एल 2 एन) पापφ क्योंकिφ (4.1)
पर(एल) = एलएनसीओएसφ (4.2)

सूत्र (4.1) और (4.2) निम्नलिखित संकेतन का उपयोग करते हैं:
वाई (एल) - बिंदु से क्षेत्र के अक्षीय मध्याह्न रेखा तक की दूरी;
मैं= (λ - λ ओएस ) - निर्धारित बिंदु के देशांतर और क्षेत्र के अक्षीय मेरिडियन के बीच का अंतर);
φ प्रसन्न - रेडियन माप में व्यक्त बिंदु का अक्षांश;
एन = 6399698,902 - क्योंकि 2φ;
एक 0 = 32140,404 - क्योंकि 2 φ;
एक 3 = (0,3333333 + 0,001123 क्योंकि 2 φ) क्योंकि 2- 0.1666667;
एक 4 = (0,25 + 0,00252 क्योंकि 2φ) क्योंकि 2- 0.04166;
एक 5 = 0,0083 - क्योंकि 2φ;
एक 6 \u003d (0.166 cos 2 - 0.084) cos 2 ।
y" - अक्षीय मेरिडियन से दूरी 500 किमी के पश्चिम में संदर्भित है।

सूत्र (4.1) के अनुसार, निर्देशांक का मान वाई (एल)क्षेत्र के अक्षीय याम्योत्तर के सापेक्ष प्राप्त होते हैं, अर्थात्। इसे ज़ोन के पूर्वी भाग के लिए प्लस चिह्नों या ज़ोन के पश्चिमी भाग के लिए माइनस चिह्नों के साथ प्राप्त किया जा सकता है। निर्देशांक रिकॉर्ड करने के लिए आपक्षेत्रीय समन्वय प्रणाली में, क्षेत्र के अक्षीय मेरिडियन से 500 किमी पश्चिम में एक बिंदु की दूरी की गणना करना आवश्यक है (पर"मेज पर ) , और प्राप्त मान के सामने, ज़ोन संख्या निर्दिष्ट करें। उदाहरण के लिए, मान दिया गया
वाई (एल)= -303678.774 मी जोन 47 में।
फिर
पर= 47 (500000,000 - 303678.774) = 47196321.226 मी.
हम गणना के लिए स्प्रेडशीट का उपयोग करते हैं। माइक्रोसॉफ्टएक्सएल .

उदाहरण. भौगोलिक निर्देशांक वाले बिंदु के आयताकार निर्देशांक की गणना करें:
\u003d 47º02 "15.0543" एन; = 65º01"38.2456"ई

जोड़ मिलाने के लिए माइक्रोसॉफ्टएक्सएल प्रारंभिक डेटा और सूत्र दर्ज करें (टैब। 4.1)।

तालिका 4.1।

		डी	इ	एफ
पैरामीटर	कम्प्यूटिंग	ओला

(डिग्री)	D2+E2/60+F2/3600
(रेड)	रेडियंस (C3)


कॉस 2

क्षेत्र संख्या	पूर्णांक((D8+6)/6)
os (डिग्री)

एल (डिग्री)	D11+E11/60+F11/3600
एल (रेड)	रेडियंस (सी12)
	6399698,902-((21562,267- (108.973-0.612C6^2)C6^2))*C6^2
एक 0	32140,404-((135,3302- (0.7092-0.004C6^2)C6^2))*C6^2
एक 4	=(0.25+0.00252C6^2)C6^2-0.04166
एक 6	=(0.166C6^2-0.084)C6^2
एक 3	=(0.3333333+0.001123C6^2)C6^2-0.1666667
एक 5	0.0083-((0.1667-(0.1968+0.004C6^2)C6^2))*C6^2


	6367558.4969C4-(((C15-((0.5+(C16+C17C20)C20)) C20C14)))C5*C6)
	=((1+(C18+C19C20)C20))C13C14*C6
	राउंड ((500000+C23);3)
	CONCATENATE(C9;C24)

गणना के बाद तालिका का दृश्य (टैब। 4.2)।

तालिका 4.2.


पैरामीटर	कम्प्यूटिंग	ओला
(डिग्री, मिनट, सेकंड)
(डिग्री)
(रेडियन)


कॉस 2
(डिग्री, मिनट, सेकंड)
जोन नंबर
os (डिग्री)
एल (मिनट, सेकंड)
एल (डिग्री)
एल (रेडियन)

एक 0
एक 4
एक 6
एक 3
एक 5

4.7. समतल आयताकार गॉस निर्देशांकों से भौगोलिक निर्देशांकों की गणना

इस समस्या को हल करने के लिए, Krasovsky संदर्भ दीर्घवृत्त के लिए प्राप्त पुनर्गणना सूत्रों का भी उपयोग किया जाता है।
मान लीजिए हमें भौगोलिक निर्देशांक की गणना करने की आवश्यकता है φ तथा λ अंक लेकिनइसके सपाट आयताकार निर्देशांक द्वारा एक्सतथा परजोनल कोऑर्डिनेट सिस्टम में दिया गया है। इस मामले में, निर्देशांक का मूल्य परज़ोन संख्या के संकेत के साथ दर्ज किया गया और ज़ोन के अक्षीय मेरिडियन को 500 किमी तक पश्चिम में स्थानांतरित कर दिया गया।
मूल्य से पूर्व परउस क्षेत्र की संख्या ज्ञात करें जिसमें निर्धारित बिंदु स्थित है, क्षेत्र संख्या द्वारा देशांतर निर्धारित करें λ अक्षीय मेरिडियन और बिंदु से पश्चिम की ओर अक्षीय मेरिडियन की दूरी दूरी का पता लगाएं वाई (एल)बिंदु से क्षेत्र के अक्षीय मध्याह्न तक (उत्तरार्द्ध प्लस या माइनस चिह्न के साथ हो सकता है)।
भौगोलिक समन्वय मान φ तथा λ तलीय आयताकार निर्देशांक में एक्सतथा परसूत्रों से पता चलता है:
φ = φ एक्स - जेड 2 बी 2 पी″ (4.3)
λ = λ 0 + एल (4.4)
एल = zρ″ (4.5)

सूत्रों (4.3) और (4.5) में:
φ x ″= β″ +(50221746 + cos 2 β)10-10sinβcosβ ;
β″ = (एक्स / 6367558.4969) ; ρ″ = 206264.8062″ - एक रेडियन में सेकंड की संख्या
जेड = वाई (एल) / (एनएक्स कॉस φx);
एन एक्स \u003d 6399698.902 - क्योंकि 2 एक्स;
बी 2 \u003d (0.5 + 0.003369 कॉस 2 एक्स) पाप φ एक्स कॉस φ एक्स;
बी 3 \u003d 0.333333 - (0.166667 - 0.001123 cos2 x) cos2 x;
बी 4 \u003d 0.25 + (0.16161 + 0.00562 कॉस 2 एक्स) कॉस 2 एक्स;
बी 5 \u003d 0.2 - (0.1667 - 0.0088 कॉस 2 φ एक्स) कॉस 2 एक्स।

हम गणना के लिए स्प्रेडशीट का उपयोग करते हैं। माइक्रोसॉफ्टएक्सएल .
उदाहरण. आयताकार से एक बिंदु के भौगोलिक निर्देशांक की गणना करें:
एक्स = 5213504.619; वाई = 11654079.966।

जोड़ मिलाने के लिए माइक्रोसॉफ्टएक्सएल प्रारंभिक डेटा और सूत्र दर्ज करें (टैब। 4.3)।

तालिका 4.3।


1		पैरामीटर	गणना	ग्रेड।	न्यूनतम।	सेक।
2	1	*एक्स*	5213504,619
	2	पर	11654079,966
4	3	*क्षेत्र	आईएफ(सी3<1000000; सी3/100000;सी3/1000000)
5	4	क्षेत्र संख्या	पूरे (सी 4)
6	5	*oos*	सी5*6-3
7	6	*पर"*	C3-C5*1000000
8	7	*वाई (एल)*	सी7-500000
9	8	ρ″	206264,8062
10	9	β"	सी2/6367558.4969*सी9
11	10	*β रेड*	रेडियंस (सी10/3600)
12	11	β		पूरे (सी10/3600)	पूरे ((सी10-डी12*3600)/60)	सी10-डी12* 3600-ई12*60
13	12	*पाप β*	पाप (C11)
14	13	*Cosβ*	सीओएस (सी11)
15	14	*कॉस 2 β*	सी14^2
16	15	**φ एक्स* "***	C10+(((50221746+((293622+ .) (2350+22C14^2)C14^2))C14^2))) 10^-10सी13सी14*सी9
17	16	**φ एक्स* प्रसन्न***	रेडियंस (सी16/3600)
18	17	φ एक्स		पूरे (सी16/3600)	पूरे ((सी16-डी18*3600)/60)	सी16-डी18* 3600-ई18*60
19	18	*पाप फी।*	पाप (C17)
20	19	क्योंकि एक्स	सीओएस (सी 17)
21	20	कॉस 2 एक्स	सी20^2
22	21	एन एक्स	6399698,902-((21562,267- (108.973-0.612C21)C21))*C21
23	22	Ν एक्स कोस एक्स	C22*C20
24	23	*जेड*	सी8/(सी22*सी20)
25	24	*जेड 2*	सी24^2
26	25	*बी 4*	0.25+(0.16161+0.00562C21)C21
27	26	*बी 2*	=(0.5+0.003369C21)C19*C20
28	27	*बी 3*	0.333333-(0.166667-0.001123सी21)सी21
29	28	*बी 5*	0.2-(0.1667-0.0088C21)C21
30	29		C16-((1-(C26-0.12 .) C25)C25))C25C27*C9
31	30	φ		= पूर्णांक (सी30/3600)	= पूर्णांक ((सी30-डी31*3600)/60)	=सी30-डी31* 3600-ई31*60
32	31	*मैं"*	=((1-(C28-C29C25)C25))C24C9
33	32	*मैं 0*		= पूर्णांक (सी32/3600)	= पूर्णांक ((सी32-डी33*3600)/60)	=सी32-डी33* 3600-ई33*60
34	33	λ		C6+D33

गणना के बाद तालिका का दृश्य (टैब। 4.4)।

तालिका 4.4।


पैरामीटर	गणना	ग्रेड।


जोन नंबर*
जोन नंबर
oos (डिग्री)
*पर"*



β रेड



कॉस 2 β
φ एक्स* "*
φ एक्स* प्रसन्न*
φ एक्स

क्योंकि एक्स
कॉस 2 एक्स
एन एक्स
Ν एक्स क्योंकि एक्स

जेड 2
बी 4
बी 2
बी 3
बी 5

φ

मैं 0
λ

यदि गणना सही ढंग से की जाती है, तो दोनों तालिकाओं को एक शीट पर कॉपी करें, मध्यवर्ती गणनाओं की पंक्तियों और कॉलम नंबर पी / पी को छिपाएं, और प्रारंभिक डेटा और गणना परिणामों को दर्ज करने के लिए केवल लाइनें छोड़ दें। हम तालिका को प्रारूपित करते हैं और आपकी इच्छानुसार कॉलम और कॉलम के नाम समायोजित करते हैं।

वर्कशीट इस तरह दिख सकती है

तालिका 4.5।

टिप्पणियाँ.
1. आवश्यक सटीकता के आधार पर, आप बिट गहराई को बढ़ा या घटा सकते हैं।
2. गणनाओं को मिलाकर तालिका में पंक्तियों की संख्या को कम किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कोण के रेडियन की अलग से गणना न करें, बल्कि इसे तुरंत सूत्र =SIN(RADIANS(C3)) में लिखें।
3. तालिका के पैरा 23 में गोलाई। 4.1. हम "क्लच" के लिए उत्पादन करते हैं। गोल करने के लिए अंकों की संख्या 3.
4. यदि आप "ग्रैड" और "मिन" कॉलम में सेल के प्रारूप को नहीं बदलते हैं, तो संख्याओं के सामने कोई शून्य नहीं होगा। यहां प्रारूप परिवर्तन केवल दृश्य धारणा (लेखक के निर्णय द्वारा) के लिए किया जाता है और गणना के परिणामों को प्रभावित नहीं करता है।
5. फ़ार्मुलों को गलती से क्षतिग्रस्त न करने के लिए, आपको तालिका की रक्षा करनी चाहिए: उपकरण / सुरक्षा पत्रक। सुरक्षा से पहले, प्रारंभिक डेटा दर्ज करने के लिए कक्षों का चयन करें, और फिर: कोशिकाओं को प्रारूपित करें / सुरक्षा / संरक्षित सेल - अनचेक करें।

4.8. समतल आयताकार और ध्रुवीय समन्वय प्रणाली का संबंध

ध्रुवीय समन्वय प्रणाली की सादगी और ध्रुव के रूप में ली गई इलाके में किसी भी बिंदु के सापेक्ष इसे बनाने की संभावना ने स्थलाकृति में इसका व्यापक उपयोग किया। इलाके के अलग-अलग बिंदुओं की ध्रुवीय प्रणालियों को एक साथ जोड़ने के लिए, एक आयताकार समन्वय प्रणाली में उत्तरार्द्ध की स्थिति का निर्धारण करने के लिए आगे बढ़ना आवश्यक है, जिसे बहुत बड़े क्षेत्र तक बढ़ाया जा सकता है। प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम जियोडेटिक समस्याओं को हल करके दो प्रणालियों के बीच संबंध स्थापित किया जाता है।
प्रत्यक्ष भूगर्भीय समस्या अंत बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करने में शामिल हैं पर (चित्र 4.4) पंक्तियां अबइसकी लंबाई के साथजी क्षैतिजडी , दिशाα और प्रारंभिक बिंदु के निर्देशांक एक्सलेकिन , परलेकिन .

चावल। 4.6. प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम जियोडेटिक समस्याओं का समाधान

तो, अगर हम बिंदु लेते हैं लेकिन(चित्र। 4.4) ध्रुवीय समन्वय प्रणाली के ध्रुव के लिए, और सीधी रेखा अब- अक्ष के समानांतर ध्रुवीय अक्ष के लिए ओह, तो बिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक परमर्जी डीतथा α . सिस्टम में इस बिंदु के आयताकार निर्देशांक की गणना करना आवश्यक है कैसे।

अंजीर से। 3.4 दर्शाता है कि एक्सपर से भिन्न है एक्सलेकिन मूल्य से ( एक्सपर - एक्सलेकिन ) = Δ एक्सअब , एक परपर से भिन्न है परलेकिन मूल्य से ( परपर - परलेकिन ) = Δ परअब . फाइनल के निर्देशांक में अंतर परऔर प्राथमिक लेकिनरेखा बिंदु अब Δ एक्सऔर परबुलाया समन्वय वेतन वृद्धि . निर्देशांक वृद्धि रेखा के ओर्थोगोनल अनुमान हैं अबसमन्वय अक्ष पर। COORDINATES एक्सपर तथा परपर सूत्रों का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

एक्सपर = एक्सलेकिन + Δ एक्सअब (4.1)
परपर = परलेकिन + Δ परअब (4.2)

दिए गए अनुसार समकोण त्रिभुज ASV से वृद्धि मान निर्धारित किए जाते हैं डीऔर α, वृद्धि के बाद से एक्सऔर परइस समकोण त्रिभुज के पैर हैं:

Δ एक्सअब =डीक्योंकि α (4.3)
Δ परअब = डीपाप α (4.4)

निर्देशांक वृद्धि का संकेत स्थिति कोण पर निर्भर करता है।

तालिका 4.1।

वेतन वृद्धि के मूल्य को प्रतिस्थापित करना एक्सअब और परअब सूत्रों (3.1 और 3.2) में, हम प्रत्यक्ष भूगणितीय समस्या को हल करने के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

एक्सपर = एक्सलेकिन + डीक्योंकि α (4.5)
परपर = परलेकिन + डीपाप α (4.6)

उलटा जियोडेसिक समस्या क्षैतिज अवधि की लंबाई निर्धारित करना हैडीऔर रेखा AB की दिशा α इसके प्रारंभिक बिंदु A (xA, yA) और अंतिम बिंदु B (xB, yB) के दिए गए निर्देशांक के अनुसार है।दिशा कोण की गणना एक समकोण त्रिभुज के पैरों से की जाती है:

tgα = (4.7)

क्षैतिज रिक्ति डी, सूत्र द्वारा निर्धारित:

डी = (4.8)

प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम जियोडेटिक समस्याओं को हल करने के लिए, आप स्प्रेडशीट का उपयोग कर सकते हैं माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल .

उदाहरण.
दिया गया बिंदु लेकिननिर्देशांक के साथ: एक्सलेकिन = 6068318,25; परलेकिन = 4313450.37। क्षैतिज रिक्ति (डी)बिंदु . के बीच लेकिनऔर डॉट पर 5248.36 मीटर के बराबर। अक्ष की उत्तरी दिशा के बीच का कोण ओहऔर बिंदु की दिशा पर(स्थिति कोण - α ) 30º के बराबर है।

एक बिंदु के आयताकार निर्देशांक की गणना करें बी (एक्सपर ,परपर ).

स्प्रैडशीट में अपरिष्कृत डेटा और सूत्र दर्ज करना माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल (टैब। 4.2)।

तालिका 4.2.


	प्रारंभिक आंकड़े
	एक्सलेकिन
	परलेकिन


	कम्प्यूटिंग
	Δ एक्सअब =डी कॉस α	बी4*सीओएस (रेडियंस (बी5))
	Δ परअब = घ पाप α	B4*SIN(रेडियंस(B5))
	एक्सपर
	परपर

गणना के बाद तालिका दृश्य (टैब। 4.3).

तालिका 4.3।


	प्रारंभिक आंकड़े
	एक्सलेकिन
	परलेकिन


	कम्प्यूटिंग
	Δ एक्सअब =डी कॉस α
	Δ परअब = घ पाप α
	एक्सपर
	परपर

उदाहरण.
अंक दिए गए हैं लेकिनतथा परनिर्देशांक के साथ:
एक्सलेकिन = 6068318,25; परलेकिन = 4313450,37;
एक्सपर = 6072863,46; परपर = 4313450,37.
क्षैतिज दूरी की गणना करें डीबिंदु . के बीच लेकिनऔर डॉट पर,और कोण भी α उत्तर अक्ष के बीच ओहऔर बिंदु की दिशा पर.
स्प्रैडशीट में अपरिष्कृत डेटा और सूत्र दर्ज करना माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल (टैब। 4.4)।

तालिका 4.4।


	प्रारंभिक आंकड़े
	एक्सलेकिन
	परलेकिन
	एक्सपर
	परपर
	कम्प्यूटिंग
	मैंअब
	уअब
		रूट (बी7^2+बी8^2)
	स्पर्शरेखा
	आर्कटिक
	डिग्री	डिग्री (बी 11)
	पसंद	अगर (बी12 .)<0;B12+180;B12)
	स्थिति कोण (डिग्री)	अगर (बी 8 .)<0;B13+180;B13)

गणना के बाद तालिका का दृश्य (टैब। 4.5)।

तालिका 4.5।


	प्रारंभिक आंकड़े
	एक्सलेकिन
	परलेकिन
	एक्सपर
	परपर
	कम्प्यूटिंग
	मैंअब
	уअब

	स्पर्शरेखा
	आर्कटिक
	डिग्री
	पसंद
	स्थिति कोण (डिग्री)

यदि आपकी गणना ट्यूटोरियल से मेल खाती है, तो मध्यवर्ती गणनाओं को छिपाएं, स्प्रैडशीट को प्रारूपित करें और सुरक्षित रखें।

वीडियो
आयताकार निर्देशांक

आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न और कार्य

आयत निर्देशांक किसे कहते हैं?
आयताकार निर्देशांक किस सतह पर उपयोग किए जाते हैं?
आयताकार निर्देशांक की आंचलिक प्रणाली का सार क्या है?
छह डिग्री क्षेत्र की संख्या क्या है जिसमें लुगांस्क शहर निर्देशांक के साथ स्थित है: 48°35′ N.L. 39°20′ पूर्व
छह डिग्री क्षेत्र के अक्षीय मेरिडियन के देशांतर की गणना करें जिसमें लुगांस्क शहर स्थित है।
गाऊसी आयताकार निर्देशांक प्रणाली में x और y निर्देशांक कैसे गिने जाते हैं?
मापक कंपास का उपयोग करते हुए स्थलाकृतिक मानचित्र पर आयताकार निर्देशांक निर्धारित करने की प्रक्रिया समझाइए।
निर्देशांक मीटर का उपयोग करके स्थलाकृतिक मानचित्र पर आयताकार निर्देशांक निर्धारित करने की प्रक्रिया समझाइए।
प्रत्यक्ष भूगर्भीय समस्या का सार क्या है?
व्युत्क्रम जियोडेसिक समस्या का सार क्या है?
निर्देशांक की वृद्धि क्या है?
किसी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्श रेखा और कोटंगेंट को परिभाषित कीजिए।
एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच संबंध पर पाइथागोरस प्रमेय को स्थलाकृति में कैसे लागू किया जा सकता है?

1.10. MAP . पर आयताकार निर्देशांक

आयताकार निर्देशांक (फ्लैट) - रैखिक मात्रा: abscissa एक्सऔर समन्वयवाई,दो परस्पर लंबवत अक्षों के सापेक्ष एक समतल (मानचित्र पर) पर बिंदुओं की स्थिति का निर्धारण एक्सतथायू(चित्र 14)। सूच्याकार आकृति का भुज एक्सऔर समन्वययूअंक लेकिन-निर्देशांक की उत्पत्ति से एक बिंदु से गिराए गए लंबों के आधार तक की दूरी लेकिनसंबंधित कुल्हाड़ियों पर, संकेत का संकेत।

चावल। चौदह।आयताकार निर्देशांक

स्थलाकृति और भूगणित में, साथ ही स्थलाकृतिक मानचित्रों पर, उत्तर के साथ अभिविन्यास किया जाता है, कोणों को दक्षिणावर्त दिशा में गिना जाता है, इसलिए, त्रिकोणमितीय कार्यों के संकेतों को संरक्षित करने के लिए, गणित में अपनाए गए समन्वय अक्षों की स्थिति को घुमाया जाता है। 90 ° से।

यूएसएसआर के स्थलाकृतिक मानचित्रों पर आयताकार निर्देशांक समन्वय क्षेत्रों के लिए लागू। निर्देशांक क्षेत्र - पृथ्वी की सतह के हिस्से, देशांतर के साथ मेरिडियन द्वारा सीमित जो कि 6 ° का गुणक है। पहला क्षेत्र मेरिडियन 0° और 6°, दूसरा - b "और 12°, तीसरा - 12° और 18°, आदि द्वारा सीमित है।

जोनों को ग्रीनविच मेरिडियन से पश्चिम से पूर्व की ओर गिना जाता है। यूएसएसआर का क्षेत्र 29 क्षेत्रों में स्थित है: 4 वें से 32 वें समावेशी। उत्तर से दक्षिण तक प्रत्येक क्षेत्र की लंबाई लगभग 20,000 . है किमी.भूमध्य रेखा पर क्षेत्र की चौड़ाई लगभग 670 . है किमी, 40°-510 . अक्षांश पर किमी, टीअक्षांश 50°-430 किमी,अक्षांश 60°-340 . पर किमी.

किसी दिए गए क्षेत्र के सभी स्थलाकृतिक मानचित्रों में आयताकार निर्देशांक की एक सामान्य प्रणाली होती है। प्रत्येक क्षेत्र में निर्देशांक की उत्पत्ति भूमध्य रेखा (छवि 15) के साथ क्षेत्र के मध्य (अक्षीय) मेरिडियन के चौराहे का बिंदु है, क्षेत्र के मध्य मेरिडियन से मेल खाती है

चावल। पंद्रह।स्थलाकृतिक मानचित्रों पर आयताकार निर्देशांक की प्रणाली: एक-एक क्षेत्र; बी-क्षेत्र के हिस्से

भुज कुल्हाड़ियों, और भूमध्य रेखा - निर्देशांक कुल्हाड़ियों। निर्देशांक अक्षों की ऐसी व्यवस्था के साथ, भूमध्य रेखा के दक्षिण में स्थित बिंदुओं के भुज और मध्य मध्याह्न रेखा के पश्चिम में स्थित बिंदुओं के निर्देशांक नकारात्मक मान होंगे। स्थलाकृतिक मानचित्रों पर निर्देशांक का उपयोग करने की सुविधा के लिए, निर्देशांक के नकारात्मक मूल्यों को छोड़कर, निर्देशांक का एक सशर्त खाता अपनाया जाता है। यह इस तथ्य से प्राप्त होता है कि निर्देशांक शून्य से नहीं, बल्कि 500 . के मान से गिने जाते हैं किमी,यही है, प्रत्येक क्षेत्र में निर्देशांक की उत्पत्ति, जैसे कि 500 . द्वारा स्थानांतरित की गई थी किमीअक्ष के साथ बाईं ओरवाई।इसके अलावा, निर्देशांक के मूल्य के लिए ग्लोब पर आयताकार निर्देशांक में एक बिंदु की स्थिति को स्पष्ट रूप से निर्धारित करने के लिएयूज़ोन नंबर बाईं ओर (एक अंक या दो अंकों की संख्या) असाइन किया गया है।

सशर्त निर्देशांक और उनके वास्तविक मूल्यों के बीच संबंध सूत्रों द्वारा व्यक्त किया जाता है:

एक्स" \u003d एक्स-, वाई \u003dयू- 500 000,

कहाँ पे एक्स"तथा वाई"-निर्देशांक के वास्तविक मूल्य;एक्स, वाई -निर्देशांक के सशर्त मूल्य। उदाहरण के लिए, यदि बिंदु के निर्देशांक हैं

एक्स = 5 650 450: वाई = 3 620 840,

तो इसका मतलब है कि बिंदु 120 . की दूरी पर तीसरे क्षेत्र में स्थित है किमी 840 एमक्षेत्र के मध्य मध्याह्न रेखा (620840-500000) और भूमध्य रेखा के उत्तर से 5650 की दूरी पर किमी 450 एम।

पूर्ण निर्देशांक - आयताकार निर्देशांक पूर्ण रूप से लिखे (नामांकित), बिना किसी संक्षिप्ताक्षर के। उपरोक्त उदाहरण में, वस्तु के पूर्ण निर्देशांक दिए गए हैं:

एक्स = 5 650 450; वाई = 3620 840.

संक्षिप्त निर्देशांक स्थलाकृतिक मानचित्र पर लक्ष्य पदनाम को गति देने के लिए उपयोग किया जाता है, इस मामले में केवल दसियों और किलोमीटर और मीटर की इकाइयों को इंगित किया जाता है। उदाहरण के लिए, किसी दिए गए ऑब्जेक्ट के संक्षिप्त निर्देशांक होंगे:

एक्स = 50 450; यू = 20 840.

समन्वय क्षेत्रों के जंक्शन पर लक्ष्यीकरण करते समय संक्षिप्त निर्देशांक का उपयोग नहीं किया जा सकता है और यदि कार्रवाई का क्षेत्र 100 से अधिक की लंबाई के साथ एक स्थान को कवर करता है किमीअक्षांश या देशांतर द्वारा।

निर्देशांक (किलोमीटर) ग्रिड - स्थलाकृतिक मानचित्रों पर वर्गों का एक ग्रिड, कुछ निश्चित अंतरालों पर आयताकार निर्देशांक के अक्षों के समानांतर खींची गई क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं द्वारा निर्मित (तालिका) 5). इन रेखाओं को किलोमीटर कहते हैं। निर्देशांक ग्रिड का उद्देश्य वस्तुओं के निर्देशांक निर्धारित करना और उनके निर्देशांक द्वारा मानचित्र पर वस्तुओं को चित्रित करना, लक्ष्य पदनाम, मानचित्र अभिविन्यास, दिशात्मक कोणों की माप और दूरियों और क्षेत्रों के अनुमानित निर्धारण के लिए है।

तालिका 5 मानचित्रों पर ग्रिड समन्वयित करें

नक्शा तराजू	वर्गों के किनारों के आकार		चौकों का क्षेत्रफल, वर्ग किमी
नक्शा तराजू	नक़्शे पर, सेमी	जमीन पर, किमी	चौकों का क्षेत्रफल, वर्ग किमी
1:25 000		1
1:50 000
1:100 000
1:200 000

1:500,000 के पैमाने वाले मानचित्र पर, समन्वय ग्रिड पूरी तरह से नहीं दिखाया गया है; केवल किलोमीटर लाइनों के निकास फ्रेम के किनारों पर लागू होते हैं (2 . के बाद) सेमी)।यदि आवश्यक हो, तो इन आउटपुट का उपयोग करके मानचित्र पर एक समन्वय ग्रिड खींचा जा सकता है।

नक्शों पर किलोमीटर की रेखाएं उनके सीमा से बाहर निकलने पर और शीट के अंदर कई चौराहों पर हस्ताक्षर की जाती हैं (चित्र 16)। नक्शा शीट पर चरम किलोमीटर की रेखाएं पूर्ण रूप से हस्ताक्षरित हैं, शेष दो अंकों के साथ संक्षिप्त हैं (अर्थात, केवल दसियों और किलोमीटर की इकाइयों को दर्शाया गया है)। क्षैतिज रेखाओं के पास के हस्ताक्षर किलोमीटर में y-अक्ष (भूमध्य रेखा) से दूरी के अनुरूप होते हैं। उदाहरण के लिए, ऊपरी दाएं कोने में कैप्शन 6082 से पता चलता है कि यह रेखा भूमध्य रेखा से 6082 है किमी.

लंबवत रेखा कैप्शन ज़ोन संख्या (एक या दो पहले अंक) और निर्देशांक की उत्पत्ति से किलोमीटर (हमेशा तीन अंक) में दूरी को इंगित करते हैं, सशर्त रूप से मध्य मेरिडियन के पश्चिम में 500 तक चले गए किमी.उदाहरण के लिए, निचले बाएँ कोने में हस्ताक्षर 4308 का अर्थ है: 4 - ज़ोन संख्या, 308 - किलोमीटर में सशर्त मूल से दूरी।

निकटवर्ती पश्चिमी या पूर्वी क्षेत्र में किलोमीटर लाइनों के निकास पर 1:25,000, 1:50,000, 1:100,000, और 1:200,000 के पैमाने पर स्थलाकृतिक मानचित्रों पर एक अतिरिक्त समन्वय (किलोमीटर) ग्रिड प्लॉट किया जा सकता है। संबंधित हस्ताक्षर के साथ डैश के रूप में किलोमीटर लाइनों के निकास क्षेत्र के सीमा मेरिडियन के पूर्व और पश्चिम में 2 ° की दूरी पर स्थित मानचित्रों पर दिए गए हैं।

चावल। 16.मानचित्र शीट पर निर्देशांक (किलोमीटर) ग्रिड

एक अतिरिक्त समन्वय ग्रिड का उद्देश्य एक क्षेत्र के निर्देशांक को दूसरे, पड़ोसी, क्षेत्र की समन्वय प्रणाली में परिवर्तित करना है।

अंजीर पर। पश्चिमी फ्रेम के बाहरी तरफ 17 डैश हस्ताक्षर 81.6082 के साथ और फ्रेम के उत्तर की ओर 3693, 94, 95, आदि हस्ताक्षर के साथ। आसन्न (तीसरे) क्षेत्र के समन्वय प्रणाली में किलोमीटर लाइनों के निकास को निरूपित करें। यदि आवश्यक हो, तो फ्रेम के विपरीत किनारों पर एक ही नाम के डैश को जोड़कर नक्शा शीट पर एक अतिरिक्त समन्वय ग्रिड तैयार किया जाता है। नवनिर्मित ग्रिड आसन्न क्षेत्र के मानचित्र शीट के किलोमीटर ग्रिड की निरंतरता है और मानचित्र को चिपकाते समय इसके साथ पूरी तरह से मेल खाना चाहिए (विलय)।

पश्चिमी (तीसरा) क्षेत्र का समन्वय ग्रिड

चावल। 17. अतिरिक्त समन्वय ग्रिड

अध्याय I. विमान और अंतरिक्ष में वेक्टर

§ 13. एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली से दूसरे में संक्रमण

हम आपको इस विषय पर दो संस्करणों में विचार करने की पेशकश करते हैं।

1) आई.आई. प्रिवलोव की पाठ्यपुस्तक पर आधारित "विश्लेषणात्मक ज्यामिति" (उच्च तकनीकी शिक्षण संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक, 1966)

I.I. Privalov "विश्लेषणात्मक ज्यामिति"

§ 1. समन्वय परिवर्तन की समस्या।

समतल पर एक बिंदु की स्थिति किसी समन्वय प्रणाली के सापेक्ष दो निर्देशांकों द्वारा निर्धारित की जाती है। यदि हम कोई भिन्न निर्देशांक प्रणाली चुनते हैं तो बिंदु के निर्देशांक बदल जाएंगे।

निर्देशांक को बदलने का कार्य है एक समन्वय प्रणाली में एक बिंदु के निर्देशांक जानने के लिए, किसी अन्य प्रणाली में इसके निर्देशांक खोजें.

यह समस्या हल हो जाएगी यदि हम ऐसे सूत्र स्थापित करते हैं जो दो प्रणालियों में एक मनमाना बिंदु के निर्देशांक से संबंधित हैं, और इन सूत्रों के गुणांक में निरंतर मान शामिल होंगे जो सिस्टम की पारस्परिक स्थिति निर्धारित करते हैं।

मान लीजिए कि दो कार्तीय निर्देशांक प्रणालियाँ दी गई हैं बजरातथा एक्सओ 1Y(चित्र 68)।

नई प्रणाली की स्थिति एक्सओ 1Yपुरानी व्यवस्था के सापेक्ष बजरानिर्देशांक ज्ञात होने पर निर्धारित किया जाएगा एक तथा बी नयी शुरुआत हे 1पुरानी व्यवस्था और कोण के अनुसार α धुरों के बीच ओहतथा लगभग 1 एक्स. द्वारा निरूपित करें एक्सतथा परनई प्रणाली के सापेक्ष एक ही बिंदु के एक्स और वाई-निर्देशांक के माध्यम से पुरानी प्रणाली के सापेक्ष एक मनमाना बिंदु एम के निर्देशांक। हमारा काम पुराने निर्देशांक बनाना है एक्सतथा परनए एक्स और वाई के संदर्भ में व्यक्त किया गया। परिणामी परिवर्तन सूत्रों में स्पष्ट रूप से स्थिरांक शामिल होना चाहिए ए, बी तथा α .

हम दो विशेष मामलों पर विचार करके इस सामान्य समस्या का समाधान प्राप्त करेंगे।

1. निर्देशांकों के मूल में परिवर्तन होता है, जबकि अक्षों की दिशाएँ अपरिवर्तित रहती हैं ( α = 0).

2. कुल्हाड़ियों की दिशा बदल जाती है, जबकि निर्देशांक की उत्पत्ति अपरिवर्तित रहती है ( ए = बी = 0).

§ 2. मूल का स्थानांतरण।

विभिन्न मूल के कार्तीय निर्देशांक की दो प्रणालियों को दिया गया है हेतथा हे 1और कुल्हाड़ियों की समान दिशाएँ (चित्र। 69)।

द्वारा निरूपित करें एक तथा बी एक नई शुरुआत के निर्देशांक लगभग 1पुरानी व्यवस्था में और के माध्यम से एक्स, वाईतथा एक्स, यू-पुराने और नए सिस्टम में क्रमशः एक मनमाना बिंदु M के निर्देशांक। अक्ष पर प्रक्षेपित बिंदु M लगभग 1 एक्सतथा ओह, साथ ही बिंदु लगभग 1प्रति धुरा ओह, हम अक्ष पर प्राप्त करते हैं ओहतीन बिंदु ओह, एतथा आर. खंड मान ओए, एआरओतथा यानिम्नलिखित संबंध से संबंधित हैं:

| ओए| + | एआर | = | या |. (1)

यह देखते हुए | | ओए| = एक , | या | = एक्स , | एआर | = | ओ 1 आर 1 | = एक्स, हम समानता (1) को इस रूप में फिर से लिखते हैं:

एक + एक्स = एक्स या एक्स = एक्स + एक . (2)

इसी तरह, M और . को प्रक्षेपित करना लगभग 1 y-अक्ष पर, हम प्राप्त करते हैं:

आप = यू + बी (3)

इसलिए, पुराना निर्देशांक नए के बराबर है और पुराने सिस्टम के अनुसार नए मूल का समन्वय है।

सूत्रों (2) और (3) से, नए निर्देशांक पुराने के रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं:

एक्स = एक्स - ए , (2")

यू = वाई-बी . (3")

§ 3. निर्देशांक अक्षों का घूर्णन।

एक ही मूल के दो कार्तीय समन्वय प्रणालियों को दिया गया है हेऔर कुल्हाड़ियों की विभिन्न दिशाएँ (चित्र। 70)।

होने देना α कुल्हाड़ियों के बीच का कोण है ओहतथा ओह. द्वारा निरूपित करें एक्स, वाई तथा एक्स, वाईपुराने और नए सिस्टम में क्रमशः एक मनमाना बिंदु M के निर्देशांक:

एक्स = | या | , पर = | आर एम | ,

एक्स= | या 1 |, यू= | आर 1 एम |.

एक टूटी हुई रेखा पर विचार करें या 1 एमपीऔर इसके प्रक्षेपण को अक्ष पर ले जाएं ओह. यह देखते हुए कि टूटी हुई रेखा का प्रक्षेपण समापन खंड (अध्याय I, 8) के प्रक्षेपण के बराबर है, हमारे पास है:

या 1 एमपी = | या |. (4)

दूसरी ओर, एक टूटी हुई रेखा का प्रक्षेपण उसके लिंक के अनुमानों के योग के बराबर है (अध्याय I, 8); इसलिए, समानता (4) को इस प्रकार लिखा जाएगा:

आदि या 1+ पीआर आर 1 एम+ पीआर एमपी= | या | (4")

चूंकि एक निर्देशित खंड का प्रक्षेपण प्रक्षेपण अक्ष और उस अक्ष के बीच के कोण के कोसाइन द्वारा गुणा किए गए इसके मूल्य के बराबर है, जिस पर खंड स्थित है (अध्याय I, § 8), फिर

आदि या 1 = एक्सक्योंकि α

आदि आर 1 एम = यूकॉस (90° + α ) = - यूपाप α ,

जनसंपर्क एमपी= 0.

इसलिए समानता (4") हमें देती है:

एक्स = एक्सक्योंकि α - यूपाप α . (5)

इसी तरह, उसी टूटी हुई रेखा को अक्ष पर प्रक्षेपित करना कहां, हमें के लिए एक व्यंजक मिलता है पर. दरअसल, हमारे पास है:

आदि या 1+ पीआर आर 1 एम+ पीआर एमपी= पीआर या = 0.

यह देखते हुए कि

आदि या 1 = एक्सक्योंकि ( α - 90°) = एक्सपाप α ,

आदि आर 1 एम = यूक्योंकि α ,

जनसंपर्क एमपी = - आप ,

होगा:

एक्सपाप α + यूक्योंकि α - आप = 0,

आप = एक्सपाप α + यूक्योंकि α . (6)

सूत्र (5) और (6) से हमें नए निर्देशांक प्राप्त होते हैं एक्सतथा यूपुराने के माध्यम से व्यक्त किया गया एक्स तथा पर , यदि हम समीकरण (5) और (6) को के संबंध में हल करते हैं एक्सतथा यू.

टिप्पणी।सूत्र (5) और (6) अलग-अलग तरीके से प्राप्त किए जा सकते हैं।

अंजीर से। 71 हमारे पास है:

एक्स = ओपी = ओम कॉस ( α + φ ) = OM cos α क्योंकि φ - ओम पाप α पाप φ ,

पर = पीएम = ओम पाप ( α + φ ) = ओम पाप α क्योंकि φ + ओम कोस α पाप φ .

चूँकि (अध्याय I, § 11) OM cos φ = एक्स, ओम पाप φ =यू, फिर

एक्स = एक्सक्योंकि α - यूपाप α , (5)

आप = एक्सपाप α + यूक्योंकि α . (6)

§ 4. सामान्य मामला।

मान लीजिए कि दो कार्तीय निर्देशांक प्रणालियाँ भिन्न-भिन्न उद्गमों और अक्षों की भिन्न दिशाओं के साथ दी गई हैं (चित्र 72)।

द्वारा निरूपित करें एक तथा बी एक नई शुरुआत के निर्देशांक हे, पुरानी व्यवस्था के अनुसार, के माध्यम से α - समन्वय अक्षों के घूर्णन का कोण और अंत में, के माध्यम से एक्स, वाई तथा एक्स, वाई- पुराने और नए सिस्टम के अनुसार क्रमशः एक मनमाना बिंदु M के निर्देशांक।

ज़ाहिर करना एक्स तथा पर के माध्यम से एक्सतथा यू, हम एक सहायक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं एक्स 1 हे 1 आप 1, जिसकी शुरुआत हम नई शुरुआत में करते हैं हे 1 , और कुल्हाड़ियों की दिशाओं को पुरानी कुल्हाड़ियों की दिशाओं से मेल खाने के लिए लें। होने देना एक्स 1 और आप 1 इस सहायक प्रणाली के सापेक्ष बिंदु M के निर्देशांक को दर्शाता है। पुराने समन्वय प्रणाली से सहायक प्रणाली में जाने पर, हमारे पास (§ 2) है:

एक्स = एक्स 1 + ए , वाई = वाई 1 +बी .

एक्स 1 = एक्सक्योंकि α - यूपाप α , आप 1 = एक्सपाप α + यूक्योंकि α .

की जगह एक्स 1 और आप 1 पिछले सूत्रों में अंतिम सूत्रों से उनके भावों द्वारा, हम अंत में पाते हैं:

एक्स = एक्सक्योंकि α - यूपाप α + एक

आप = एक्सपाप α + यूक्योंकि α + बी (मैं)

सूत्र (I) में, एक विशेष मामले के रूप में, 2 और 3 के सूत्र होते हैं। इस प्रकार, के लिए α = 0 सूत्र (I) में बदल जाते हैं

एक्स = एक्स + एक , आप = यू + बी ,

और कम से ए = बी = 0 हमारे पास है:

एक्स = एक्सक्योंकि α - यूपाप α , आप = एक्सपाप α + यूक्योंकि α .

सूत्रों (I) से हमें नए निर्देशांक प्राप्त होते हैं एक्सतथा यूपुराने के माध्यम से व्यक्त किया गया एक्स तथा पर अगर समीकरण (I) के संबंध में हल करने योग्य हैं एक्सतथा यू.

हम सूत्रों (I) की एक बहुत ही महत्वपूर्ण संपत्ति को नोट करते हैं: वे के संबंध में रैखिक हैं एक्सतथा यू, यानी फॉर्म का:

एक्स = कुल्हाड़ी+बाय+सी, आप = ए 1 एक्स+बी 1 वाई+सी 1 .

यह जांचना आसान है कि नए निर्देशांक एक्सतथा यूपुराने के माध्यम से व्यक्त किया गया एक्स तथा पर के संबंध में पहली डिग्री के सूत्र भी एक्स तथा वाई

जीएन याकोवलेव "ज्यामिति"

§ 13. एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली से दूसरे में संक्रमण

एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का चयन करके, विमान के बिंदुओं और वास्तविक संख्याओं के क्रमित जोड़े के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित किया जाता है। इसका मतलब यह है कि विमान का प्रत्येक बिंदु संख्याओं की एक जोड़ी से मेल खाता है, और वास्तविक संख्याओं की प्रत्येक क्रमबद्ध जोड़ी एक बिंदु से मेल खाती है।

एक या किसी अन्य समन्वय प्रणाली का चुनाव किसी भी चीज से सीमित नहीं है और प्रत्येक विशेष मामले में केवल सुविधा के विचार से निर्धारित होता है। अक्सर एक ही सेट को विभिन्न समन्वय प्रणालियों में माना जाना चाहिए। विभिन्न प्रणालियों में एक और एक ही बिंदु के स्पष्ट रूप से अलग-अलग निर्देशांक होते हैं। विभिन्न निर्देशांक प्रणालियों में बिंदुओं का एक सेट (विशेष रूप से, एक वृत्त, एक परवलय, एक सीधी रेखा) विभिन्न समीकरणों द्वारा दिया जाता है।

आइए जानें कि एक समन्वय प्रणाली से दूसरे में संक्रमण के दौरान विमान के बिंदुओं के निर्देशांक कैसे बदल जाते हैं।

मान लीजिए कि समतल पर दो आयताकार निर्देशांक प्रणालियाँ दी गई हैं: O, मैं, जो और उस बारे में", मैं", जे" (चित्र। 41)।

बिंदु O और आधार वैक्टर पर मूल के साथ पहली प्रणाली मैं तथा जे हम पुराने को कॉल करने के लिए सहमत हैं, दूसरा - बिंदु O पर शुरुआत के साथ" और आधार वैक्टर मैं" तथा जे" - नया।

हम ज्ञात करने के लिए पुराने के सापेक्ष नई प्रणाली की स्थिति पर विचार करेंगे: पुराने सिस्टम में बिंदु O" को निर्देशांक होने दें ( ए;बी ), एक वेक्टर मैं" वेक्टर के साथ फॉर्म मैं कोना α . कोना α दक्षिणावर्त गति की विपरीत दिशा में गिनती।

एक मनमाना बिंदु M पर विचार करें। पुरानी प्रणाली में इसके निर्देशांक को निम्न द्वारा निरूपित करें ( एक्स; वाई ), नए में - के माध्यम से ( एक्स"; वाई" ) हमारा कार्य बिंदु M के पुराने और नए निर्देशांक के बीच संबंध स्थापित करना है।

बिंदुओं O और O", O" और M, O और M को जोड़े में जोड़िए। त्रिभुज नियम के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

ओएम > = ओओ" > + ओ" एम > . (1)

आइए वैक्टर को विघटित करें ओएम> और ओओ"> आधार वैक्टर मैं तथा जे , और वेक्टर ओ" एम> आधार वैक्टर मैं" तथा जे" :

ओएम > = एक्स मैं+y जे , ओओ" > = एक मैं+बी जे , ओ" एम > = एक्स" मैं"+y" जे "

अब समानता (1) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

एक्स मैं+y जे = (एक मैं+बी जे ) + (एक्स" मैं"+y" जे "). (2)

नया आधार वैक्टर मैं" तथा जे" पुराने आधार वैक्टर पर विस्तारित मैं तथा जे इस अनुसार:

मैं" = कोस α मैं + पाप α जे ,

जे" = क्योंकि ( π / 2 + α ) मैं + पाप ( π / 2 + α ) जे = - पाप α मैं + कोस α जे .

के लिए पाए गए भावों को प्रतिस्थापित करना मैं" तथा जे" सूत्र (2) में, हम वेक्टर समानता प्राप्त करते हैं

एक्स मैं+y जे = एक मैं+बी जे + एक्स"(कोस α मैं + पाप α जे ) + पर"(-sin α मैं + कोस α जे )

दो के बराबर संख्यात्मक समानताएं:

एक्स = ए + एक्स"क्योंकि α - पर"पाप α ,
पर = बी+ एक्स"पाप α + पर"क्योंकि α

सूत्र (3) पुराने निर्देशांकों के लिए वांछित व्यंजक देते हैं एक्सतथा परअपने नए निर्देशांक के माध्यम से इंगित करता है एक्स"तथा पर". पुराने निर्देशांक के रूप में नए निर्देशांक के लिए अभिव्यक्ति खोजने के लिए, अज्ञात के संबंध में समीकरणों की प्रणाली (3) को हल करने के लिए पर्याप्त है एक्स"तथा पर".

तो, मूल बिंदु को बिंदु पर ले जाने पर बिंदुओं के निर्देशांक ( एक; बी ) और कुल्हाड़ियों को एक कोण से घुमाएं α सूत्र (3) द्वारा रूपांतरित होते हैं।

यदि केवल निर्देशांकों के मूल में परिवर्तन होता है, और अक्षों की दिशाएँ समान रहती हैं, तो सूत्र (3) में मानते हुए α = 0, हमें प्राप्त होता है

सूत्र (5) कहलाते हैं रोटेशन सूत्र.

कार्य 1।मान लें कि पुराने सिस्टम में नई शुरुआत के निर्देशांक (2; 3) हैं, और पुराने सिस्टम में बिंदु A के निर्देशांक (4; -1) हैं। बिंदु A के निर्देशांक खोजें नई प्रणालीयदि कुल्हाड़ियों की दिशा समान रहे।

सूत्रों से (4) हमारे पास है

उत्तर। ए(2;-4)

कार्य 2.मान लीजिए कि पुरानी प्रणाली में बिंदु पी के निर्देशांक (-2; 1), और नई प्रणाली में, अक्षों की दिशाएं समान हैं, इस बिंदु के निर्देशांक (5; 3)। पुरानी प्रणाली में नई शुरुआत के निर्देशांक खोजें।

और सूत्र (4) के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

- 2= ए + 5
1 = बी + 3

कहाँ पे एक = - 7, बी = - 2.

उत्तर। (-7; -2)।

कार्य 3.प्वाइंट ए नई प्रणाली में निर्देशांक (4; 2)। पुरानी प्रणाली में इस बिंदु के निर्देशांक खोजें, यदि मूल समान रहता है, और पुरानी प्रणाली के निर्देशांक अक्षों को एक कोण से घुमाया जाता है α = 45°।

सूत्र (5) से हम पाते हैं

कार्य 4.पुराने सिस्टम में बिंदु A के निर्देशांक (2 3; - 3)। नई प्रणाली में इस बिंदु के निर्देशांक खोजें, यदि पुरानी प्रणाली की उत्पत्ति को बिंदु (-1; -2) पर ले जाया जाता है, और कुल्हाड़ियों को एक कोण से घुमाया जाता है α = 30°।

सूत्रों से (3) हमारे पास है

समीकरणों की इस प्रणाली को हल करना एक्स"तथा पर", हम देखतें है: एक्स" = 4, पर" = -2.

उत्तर। ए (4; -2)।

कार्य 5.एक सीधी रेखा के समीकरण को देखते हुए पर = 2एक्स - 6. नई निर्देशांक प्रणाली में उसी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए, जो कुल्हाड़ियों को एक कोण से घुमाकर पुरानी प्रणाली से प्राप्त की जाती है α = 45°।

इस मामले में रोटेशन फ़ार्मुलों का रूप है

समीकरण में सीधी रेखा को बदलना पर = 2एक्स - 6 पुराने चर एक्स तथा पर नया, हमें समीकरण मिलता है

√ 2 / 2 (एक्स" + वाई") = 2 √ 2 / 2 (एक्स" - वाई") - 6 ,

जो, सरलीकरण के बाद, रूप लेता है वाई" = एक्स" / 3 - 2√2

अनुप्रयुक्त विज्ञान में अधिकांश समस्याओं को हल करने के लिए, किसी वस्तु या बिंदु का स्थान जानना आवश्यक है, जिसे स्वीकृत समन्वय प्रणालियों में से एक का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। इसके अलावा, ऐसी ऊंचाई प्रणालियां हैं जो किसी बिंदु की ऊंचाई का स्थान भी निर्धारित करती हैं

निर्देशांक क्या हैं

निर्देशांक संख्यात्मक या शाब्दिक मान होते हैं जिनका उपयोग भू-भाग पर किसी बिंदु के स्थान को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। एक परिणाम के रूप में, एक समन्वय प्रणाली एक ही प्रकार के मूल्यों का एक समूह है जिसमें एक बिंदु या वस्तु को खोजने के लिए एक ही सिद्धांत होता है।

कई व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए एक बिंदु का स्थान ढूँढना आवश्यक है। जियोडेसी जैसे विज्ञान में, किसी दिए गए स्थान में एक बिंदु का पता लगाना है मुख्य उद्देश्यजिस पर बाद के सभी कार्य आधारित हैं।

अधिकांश समन्वय प्रणालियाँ, एक नियम के रूप में, केवल दो अक्षों द्वारा सीमित विमान पर एक बिंदु के स्थान को परिभाषित करती हैं। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति निर्धारित करने के लिए, ऊंचाई की एक प्रणाली का भी उपयोग किया जाता है। इसकी सहायता से आप इच्छित वस्तु की सही स्थिति का पता लगा सकते हैं।

संक्षेप में जियोडेसी में प्रयुक्त समन्वय प्रणालियों के बारे में

निर्देशांक प्रणालियाँ किसी क्षेत्र पर एक बिंदु के स्थान को तीन मान देकर निर्धारित करती हैं। उनकी गणना के सिद्धांत प्रत्येक समन्वय प्रणाली के लिए भिन्न होते हैं।

भूगणित में प्रयुक्त मुख्य स्थानिक समन्वय प्रणालियाँ:

जियोडेटिक।
भौगोलिक।
ध्रुवीय।
आयताकार।
आंचलिक गॉस-क्रुगर निर्देशांक।

सभी प्रणालियों का अपना प्रारंभिक बिंदु होता है, वस्तु के स्थान और दायरे के लिए मान।

जियोडेटिक निर्देशांक

भूगर्भीय निर्देशांकों को पढ़ने के लिए उपयोग की जाने वाली मुख्य आकृति पृथ्वी का दीर्घवृत्त है।

एक दीर्घवृत्त एक त्रि-आयामी संकुचित आकृति है जो सबसे अच्छा तरीकाग्लोब की आकृति का प्रतिनिधित्व करता है। इस तथ्य के कारण कि ग्लोब एक गणितीय रूप से गलत आंकड़ा है, यह दीर्घवृत्त है जिसका उपयोग इसके बजाय जियोडेटिक निर्देशांक निर्धारित करने के लिए किया जाता है। यह सतह पर शरीर की स्थिति निर्धारित करने के लिए कई गणनाओं के कार्यान्वयन की सुविधा प्रदान करता है।

जियोडेटिक निर्देशांक तीन मानों से परिभाषित होते हैं: भूगर्भीय अक्षांश, देशांतर और ऊंचाई।

जियोडेटिक अक्षांश एक कोण है जिसकी शुरुआत भूमध्य रेखा के तल पर होती है, और अंत वांछित बिंदु पर खींचे गए लंबवत पर स्थित होता है।
जियोडेटिक देशांतर वह कोण है जिसे शून्य मेरिडियन से मेरिडियन तक मापा जाता है जिस पर वांछित बिंदु स्थित होता है।
जियोडेटिक ऊंचाई - किसी दिए गए बिंदु से पृथ्वी के घूमने के दीर्घवृत्त की सतह पर खींचे गए सामान्य का मान।

भौगोलिक निर्देशांक

उच्च भूगणित की उच्च-सटीक समस्याओं को हल करने के लिए, भूगर्भीय और भौगोलिक निर्देशांक के बीच अंतर करना आवश्यक है। इंजीनियरिंग जियोडेसी में उपयोग की जाने वाली प्रणाली में, इस तरह के अंतर, काम द्वारा कवर किए गए छोटे स्थान के कारण, एक नियम के रूप में, नहीं होते हैं।

जियोडेटिक निर्देशांक निर्धारित करने के लिए एक दीर्घवृत्त का उपयोग संदर्भ विमान के रूप में किया जाता है, और भौगोलिक निर्देशांक निर्धारित करने के लिए एक जियोइड का उपयोग किया जाता है। जियोइड एक गणितीय रूप से गलत आंकड़ा है, जो पृथ्वी की वास्तविक आकृति के करीब है। इसकी समतल सतह के लिए वे वही लेते हैं जो समुद्र तल के नीचे अपनी शांत अवस्था में जारी रहता है।

भूगणित में प्रयुक्त भौगोलिक समन्वय प्रणाली तीन मानों के साथ अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति का वर्णन करती है। देशांतर जियोडेसिक के साथ मेल खाता है, क्योंकि संदर्भ बिंदु को ग्रीनविच भी कहा जाएगा। यह लंदन शहर में इसी नाम की वेधशाला से होकर गुजरती है। भूगर्भ की सतह पर खींची गई भूमध्य रेखा से निर्धारित होता है।

भूगणित में प्रयुक्त स्थानीय समन्वय प्रणाली में ऊँचाई समुद्र तल से उसकी शांत अवस्था में मापी जाती है। रूस और पूर्व संघ के देशों के क्षेत्र में, जिस चिह्न से ऊंचाई निर्धारित की जाती है वह क्रोनस्टेड फुटस्टॉक है। यह बाल्टिक सागर के स्तर पर स्थित है।

धुवीय निर्देशांक

जियोडेसी में प्रयुक्त ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में माप के उत्पाद की अन्य बारीकियां हैं। इसका उपयोग इलाके के छोटे क्षेत्रों में एक बिंदु के सापेक्ष स्थान को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। संदर्भ बिंदु स्रोत के रूप में चिह्नित कोई भी वस्तु हो सकती है। इस प्रकार, ध्रुवीय निर्देशांक का उपयोग करके, ग्लोब के क्षेत्र पर एक बिंदु के स्पष्ट स्थान को निर्धारित करना असंभव है।

ध्रुवीय निर्देशांक दो मात्राओं द्वारा परिभाषित होते हैं: कोण और दूरी। कोण को मेरिडियन की उत्तर दिशा से किसी दिए गए बिंदु तक मापा जाता है, जो अंतरिक्ष में इसकी स्थिति का निर्धारण करता है। लेकिन एक कोण पर्याप्त नहीं होगा, इसलिए एक त्रिज्या वेक्टर पेश किया जाता है - खड़े बिंदु से वांछित वस्तु तक की दूरी। इन दो विकल्पों के साथ, आप स्थानीय सिस्टम में बिंदु का स्थान निर्धारित कर सकते हैं।

आमतौर पर, इस समन्वय प्रणाली का उपयोग प्रदर्शन करने के लिए किया जाता है इंजीनियरिंग कार्यएक छोटे से क्षेत्र में आयोजित।

आयताकार निर्देशांक

भूगणित में प्रयुक्त आयताकार समन्वय प्रणाली का उपयोग भूभाग के छोटे क्षेत्रों में भी किया जाता है। प्रणाली का मुख्य तत्व समन्वय अक्ष है जिससे संदर्भ बनाया जाता है। एक बिंदु के निर्देशांक भुज और निर्देशांक अक्षों से वांछित बिंदु तक खींचे गए लंबों की लंबाई के रूप में पाए जाते हैं।

x-अक्ष की उत्तर दिशा और y-अक्ष की पूर्व दिशा को धनात्मक माना जाता है, और दक्षिण और पश्चिम को ऋणात्मक माना जाता है। संकेतों और तिमाहियों के आधार पर, अंतरिक्ष में एक बिंदु का स्थान निर्धारित किया जाता है।

गॉस-क्रुगर निर्देशांक

गॉस-क्रुगर समन्वय आंचलिक प्रणाली आयताकार के समान है। अंतर यह है कि इसे विश्व के पूरे क्षेत्र में लागू किया जा सकता है, न कि केवल छोटे क्षेत्रों में।

गॉस-क्रुगर ज़ोन के आयताकार निर्देशांक, वास्तव में, एक विमान पर ग्लोब का प्रक्षेपण हैं। यह व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए कागज पर पृथ्वी के बड़े क्षेत्रों को चित्रित करने के लिए उत्पन्न हुआ। विकृतियों को स्थानांतरित करना महत्वहीन माना जाता है।

इस प्रणाली के अनुसार, ग्लोब को देशांतर द्वारा छह-डिग्री क्षेत्रों में विभाजित किया जाता है, जिसमें मध्य में अक्षीय मेरिडियन होता है। भूमध्य रेखा केंद्र में एक क्षैतिज रेखा के साथ है। नतीजतन, ऐसे 60 क्षेत्र हैं।

साठ क्षेत्रों में से प्रत्येक में आयताकार निर्देशांक की अपनी प्रणाली होती है, जिसे X से निर्देशांक अक्ष के साथ मापा जाता है, और भुज के साथ - पृथ्वी के भूमध्य रेखा Y के क्षेत्र से। पूरे विश्व के क्षेत्र पर स्थान को स्पष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए, ज़ोन संख्या को X और Y मानों के सामने रखा जाता है।

रूस में x-अक्ष का मान आमतौर पर धनात्मक होता है, जबकि y का मान ऋणात्मक हो सकता है। एब्सिस्सा अक्ष के मूल्यों में माइनस साइन से बचने के लिए, प्रत्येक क्षेत्र के अक्षीय मेरिडियन को सशर्त रूप से पश्चिम में 500 मीटर की दूरी पर ले जाया जाता है। तब सभी निर्देशांक सकारात्मक हो जाते हैं।

समन्वय प्रणाली को गॉस द्वारा यथासंभव प्रस्तावित किया गया था और बीसवीं शताब्दी के मध्य में क्रुगर द्वारा गणितीय रूप से गणना की गई थी। तब से, इसका उपयोग भूगणित में मुख्य में से एक के रूप में किया गया है।

ऊंचाई प्रणाली

भूगणित में प्रयुक्त निर्देशांक और ऊंचाई के सिस्टम का उपयोग पृथ्वी पर एक बिंदु की स्थिति को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए किया जाता है। पूर्ण ऊंचाईसमुद्र तल या मूल सतह के रूप में ली गई अन्य सतह से मापा जाता है। इसके अलावा, सापेक्ष ऊंचाई हैं। उत्तरार्द्ध को वांछित बिंदु से किसी अन्य तक एक अतिरिक्त के रूप में गिना जाता है। परिणामों के बाद के प्रसंस्करण को सरल बनाने के लिए स्थानीय समन्वय प्रणाली में काम करने के लिए उनका उपयोग करना सुविधाजनक है।

भूगणित में समन्वय प्रणालियों का अनुप्रयोग

उपरोक्त के अलावा, अन्य समन्वय प्रणालियाँ हैं जिनका उपयोग जियोडेसी में किया जाता है। उनमें से प्रत्येक के अपने फायदे और नुकसान हैं। उनके अपने कार्य क्षेत्र भी हैं जिनके लिए स्थान निर्धारित करने का यह या वह तरीका प्रासंगिक है।

यह कार्य का उद्देश्य है जो यह निर्धारित करता है कि भूगणित में उपयोग की जाने वाली समन्वय प्रणाली का सबसे अच्छा उपयोग किया जाता है। छोटे क्षेत्रों में काम के लिए, आयताकार और ध्रुवीय समन्वय प्रणालियों का उपयोग करना सुविधाजनक है, और बड़े पैमाने पर समस्याओं को हल करने के लिए, ऐसी प्रणालियों की आवश्यकता होती है जो पृथ्वी की सतह के पूरे क्षेत्र को कवर करने की अनुमति दें।