Pravidelné mnohosteny priťahovali pozornosť filozofov, staviteľov, architektov, umelcov a matematikov už od staroveku. Boli zasiahnutí krásou, dokonalosťou, harmóniou týchto postáv.

Pravidelný mnohosten je objemový konvexný geometrický útvar, ktorého všetky strany sú rovnaké pravidelné mnohouholníky a všetky uhly mnohostenov vo vrcholoch sú si navzájom rovné. Existuje veľa pravidelných mnohouholníkov, ale existuje iba päť pravidelných mnohostenov. Názvy týchto mnohostenov pochádzajú z Staroveké Grécko a označujú počet ("tetra" - 4, "hexa" - 6, "octa" - 8, "dodeca" - 12, "ikosa" - 20) tvárí ("hedra").

Tieto pravidelné mnohosteny sa nazývali platónske telesá podľa starovekého gréckeho filozofa Platóna, ktorý im dal mystický význam, ale boli známe už pred Platónom. Štvorsten zosobňoval oheň, pretože jeho vrchol smeruje nahor, ako horiaci plameň; dvadsaťsten – ako najviac prúdnicový – voda; kocka - najstabilnejšia z postáv - zem a osemsten - vzduch. Dvanásťsten bol stotožnený s celým vesmírom a bol považovaný za najdôležitejší.

V prírode sa nachádzajú pravidelné mnohosteny. Napríklad kostra jednobunkového organizmu feodaria pripomína tvarom dvadsaťsten. Pyritový kryštál (pyrit sírový, FeS2) má tvar dvanástnika.

Tetrahedron - správne trojuholníková pyramída, a šesťsten - kocka - figúrky, s ktorými sa neustále stretávame v skutočný život. Aby ste lepšie cítili tvar iných platónskych telies, mali by ste ich vytvoriť sami z hrubého papiera alebo lepenky. Nie je ťažké urobiť plošný sken figúr. Vytváranie pravidelných mnohostenov je mimoriadne zábavné už samotným procesom tvarovania.

Úplné a bizarné formy pravidelných mnohostenov sú široko používané v dekoratívnom umení. Objemové obrazce môžu byť zábavnejšie, ak sú ploché pravidelné mnohouholníky reprezentované inými tvarmi, ktoré do mnohouholníka zapadajú. Napríklad: pravidelný päťuholník môže byť nahradený hviezdou. Takáto trojrozmerná postava nebude mať okraje. Môžete ho zbierať viazaním koncov lúčov hviezd. A 10 hviezdičiek bude plochý sken. Po upevnení zostávajúcich 2 hviezd sa získa trojrozmerná postava.

Ak vaše dieťa miluje robiť remeslá svojimi zručnými rukami, pozvite ho, aby zostavilo trojrozmernú figúrku mnohostenu dodekaedrón z plochých plastových hviezd. Výsledok práce poteší vaše dieťa: vlastnými rukami vytvorí originálny dekoratívny dizajn, ktorý možno použiť na dekoráciu detskej izby. Najpozoruhodnejšie však je, že prelamovaná guľa svieti v tme. Plastové hviezdičky sú vyrobené s prídavkom modernej nezávadnej látky - fosforu.

GEOMETRIA PLATÓNSKYCH TELÁ

rev. zo dňa 24.06.2013 - (aktualizované)

Hlavnými piatimi platónskymi telesami sú: osemsten, hviezdicový štvorsten, kocka, dvanásťsten, dvadsaťsten.

Každý z geometrických vzorov, či atómové jadro, mikroklastre, globálna mriežka alebo vzdialenosti medzi planétami, hviezdami, galaxiami, je jednou z piatich hlavných „platónskych pevných látok“.

Prečo sa tieto vzorce tak často vyskytujú v prírode? Jeden z prvých tipov: matematici vedeli, že tieto tvary majú väčšiu „symetriu“ než akákoľvek trojrozmerná geometria, ktorú dokážeme vytvoriť.

Od Roberta Lawlora "Posvätná geometria" môžeme sa dozvedieť, že Hinduisti zredukovali geometriu platónskych telies na oktávovú štruktúru, ktorú vidíme pri zvuku a svetle (nota a farba). Grécky matematik a filozof Pytagoras procesom postupného delenia frekvencie piatimi najprv vyvinul osem „čistých“ tónov oktávy, známych ako diatonická stupnica. Zobral jednostrunový „monochord“ a zmeral presné vlnové dĺžky pri hraní rôznych nôt. Pytagoras ukázal, že frekvencia (alebo rýchlosť vibrácií) každej noty môže byť vyjadrená ako pomer medzi dvoma časťami struny alebo dvoma číslami, preto sa používa termín "diatonický pomer".

Nižšie uvedená tabuľka uvádza geometriu v určitom poradí a priraďuje ju k číslu skrutkovice fi(). To dáva úplný a úplný obraz o tom, ako rôzne vibrácie spolupracujú. Je založená na priradení dĺžok okrajom kocky rovnajúcim sa „ 1 ". Potom s touto hodnotou porovnáme okraje všetkých ostatných tvarov, či už sú väčšie alebo menšie. Vieme, že v Platónskych telesách má každá fazeta rovnaký tvar, každý roh je identický, každý uzol je rovnako vzdialený od všetkých ostatných uzlov a každá čiara je rovnako dlhá.

1 guľa (bez plôch) 2 Stredný dvadsaťsten 1/phi 2 3 Osemsten 1/ √2 4-hviezdičkový štvorsten √2 5 Kocka 1 6 Dvanásťsten 1/phi 7 Ikosahedrón phi 8 Guľa (bez plôch)

To pomôže pochopiť, ako pomocou vibrácií špirály phi postupne prúdia platónske telesá do seba.

MULTIDIMENZIONALITA VESMÍRU

Samotný koncept spájania platónskych geometrií s vyššími rovinami vzniká preto, lebo vedci vedia: musí existovať geometria; našli to v rovniciach. Platónske geometrie sú potrebné na to, aby poskytli „viac priestoru“ pre neviditeľné dodatočné osi, ktoré sa objavia v „skrytých“ 90° otáčkach. V metóde analýzy údajov každá plocha geometrického tvaru predstavuje inú os alebo plán, v ktorom sa môže otáčať. Keď sa začneme pozerať na prácu Fullera a Jenny, vidíme, že myšlienka iných rovín existujúcich v „skrytých“ 90° zákrutách je jednoducho nesprávne vysvetlenie založené na nedostatku vedomostí o „posvätných“ súvislostiach medzi geometriou. a vibrácie.

Je veľmi pravdepodobné, že konvenční učenci nikdy nepochopia, že staroveké kultúry mohli mať „stratené spojenie“, ktoré všetko výrazne zjednodušuje a zjednocuje. moderné teórie vesmírna fyzika. Aj keď sa môže zdať neuveriteľné, že „primitívna“ kultúra mala prístup k tomuto druhu informácií, dôkazy existujú. Prečítajte si klasickú knihu Prasada, zatiaľ môžete vidieť, že védska kozmológia má neodmysliteľné vedecké schopnosti.

Čo si myslíš, že vidíš? - toto je explodujúca hviezda, z ktorej je vyvrhnutý prach... Je tu však evidentne nejaký druh energetického poľa, ktoré štrukturuje prach, keď sa rozpína ​​do veľmi presného geometrického vzoru:

Problém je v tom, že typické magnetické polia v konvenčných fyzikálnych modeloch jednoducho neumožňujú takú geometrickú presnosť. Vedci naozaj nevedia, ako chápať takéto veci!

Na obrázku nižšie je NOVÁ hmlovina, ktorá je dokonalým „štvorcom“. Toto je však stále dvojrozmerné myslenie. Čo je štvorec v troch rozmeroch?
Samozrejme, kocka!

Hmlovina pri pohľade v infračervenom svetle pripomína obrovskú žiariacu skrinku na oblohe s jasným bielym vnútorným jadrom. Umierajúca hviezda MWC 922 leží v strede systému a chrlí svoje vnútro z opačných pólov do vesmíru. Potom, čo MWC 922 vypustí väčšinu svojho materiálu do vesmíru, zmrští sa do hustého hviezdneho telesa známeho ako biely trpaslík, ukrytého vo svojich zvyškových oblakoch.

Aj keď je vzdialene možné, že explózia hviezdy sa šíri len jedným smerom a vytvára tak pyramidálnejší tvar, to, čo vidíte, je dokonalá kocka vo vesmíre. Pretože všetky štyri strany kocky majú rovnakú dĺžku a dokonalé vzájomné uhly 90° a kocka má opäť štruktúrované „kroky“, ktoré sme videli na predchádzajúcom obrázku, vedci sú úplne zmätení. Kocka má ešte VÄČŠIU SYMETRIU ako „obdĺžniková“ hmlovina!

Takéto vzory sa objavujú nielen v rozľahlosti priestoru. Vyskytujú sa aj na najmenšej úrovni atómov a molekúl, napríklad v kubickej štruktúre obyčajnej kuchynskej soli alebo chloridu sodného. Pang Tsaya (Japonsko) fotografoval kvázikryštály zliatiny hliníka, medi a železa vo forme dvanásťstenu a zliatiny hliníka, niklu a kobaltu vo forme desaťbokého (desaťstranného) hranola (pozri fotografiu). Problém je v tom nemôžete vytvoriť takéto kryštály pomocou jednotlivých atómov spojených dohromady.

Ďalším príkladom je Bose-Einsteinov kondenzát. Stručne povedané, Bose-Einsteinov kondenzát je veľká skupina atómov, ktoré sa správajú ako jedna „častica“, v ktorej každý atóm, ktorý ho tvorí, súčasne zaberá celý priestor a celý čas v celej štruktúre. Meria sa, že všetky atómy vibrujú rovnakou frekvenciou, pohybujú sa rovnakou rýchlosťou a nachádzajú sa v rovnakej oblasti priestoru. Paradoxne, ale rôzne časti systému pôsobia ako celok, pričom strácajú všetky znaky individuality. Práve táto vlastnosť je potrebná pre „supravodič“. Typicky sa Bose-Einsteinove kondenzáty môžu vytvárať pri extrémne nízkych teplotách. Práve takéto procesy však pozorujeme v mikroklastroch a kvázikryštáloch bez individuálnej atómovej identity.

Ďalším podobným procesom je pôsobenie laserového svetla, známeho ako „koherentné“ svetlo. Všetko v priestore a čase laserový lúč sa správa ako jeden "fotón", to znamená, že nie je možné oddeliť jednotlivé fotóny v laserovom lúči.

Navyše koncom 60. rokov 20. storočia anglický fyzik Navrhol to Herbert Fröhlich živé systémy sa často správajú ako Bose-Einsteinove kondenzáty len vo veľkom meradle.

Fotografie hmloviny ponúkajú ohromujúci viditeľný dôkaz, že v hre je geometria. o väčšiu úlohu v silách vesmíru, než by si väčšina ľudí myslela. Naši vedci môžu bojovať o pochopenie tohto javu iba v rámci existujúcich tradičných modelov.

Stakhov A.P.

Da Vinciho kód, platónske a archimedovské pevné látky, kvázikryštály, fullerény, Penroseove mriežky a umelecký svet Matka Teija Kraszek

anotácia

Dielo slovinského umelca Matyushka Teija Krashek je rusky hovoriacemu čitateľovi málo známe. Zároveň sa na Západe nazýva „východoeurópsky Escher“ a „slovinský dar“ svetovej kultúrnej komunite. Jej umelecké kompozície sú inšpirované najnovšími vedeckými objavmi (fullerény, kvázikryštály Dana Shechtmana, dlaždice Penrose), ktoré sú zasa založené na pravidelných a polopravidelných mnohouholníkoch (Platón a Archimedove telesá), zlatom reze a Fibonacciho číslach.

Čo je Da Vinciho kód?

Každý sa určite viac ako raz zamyslel nad otázkou, prečo príroda dokáže vytvoriť také úžasné harmonické štruktúry, ktoré lahodia oku. Prečo umelci, básnici, skladatelia, architekti vytvárajú úžasné umelecké diela zo storočia na storočie. Aké je tajomstvo ich harmónie a aké zákony sú základom týchto harmonických stvorení?

Hľadanie týchto zákonov, „Zákonov harmónie vesmíru“, začalo v starovekej vede. Práve v tomto období ľudských dejín vedci prichádzajú k sérii úžasných objavov, ktoré prenikajú do celej histórie vedy. Prvý z nich je považovaný za nádherný matematický pomer vyjadrujúci harmóniu. Hovorí sa tomu inak: "zlatý pomer", "zlaté číslo", "zlatý priemer", "zlatý pomer" a dokonca „božský pomer“. Zlatý rez je tiež tzv číslo PHI na počesť veľkého starovekého gréckeho sochára Phidiasa (Phidius), ktorý toto číslo používal vo svojich sochách.

Triler Da Vinciho kód, ktorý napísal populárny anglický spisovateľ Dan Brown, sa stal bestsellerom 21. storočia. Čo však znamená Da Vinciho kód? Na túto otázku existujú rôzne odpovede. Je známe, že slávny „Zlatý rez“ bol predmetom veľkej pozornosti a nadšenia Leonarda da Vinciho. Navyše samotný názov „Zlatý rez“ zaviedol do európskej kultúry Leonardo da Vinci. Na podnet Leonarda, slávny taliansky matematik a učený mních Luca Pacioli, priateľ a vedecký poradca Leonarda da Vinciho, vydal knihu „Divina Proportione“, prvé matematické dielo vo svetovej literatúre o zlatom reze, ktoré autor nazval „Božský“. Pomer“. Je tiež známe, že túto slávnu knihu ilustroval sám Leonardo a nakreslil pre ňu 60 nádherných kresieb. Práve tieto fakty, ktoré nie sú širokej vedeckej komunite príliš známe, dávajú právo vysloviť hypotézu, že Da Vinciho kód nie je nič iné ako Zlatý rez. A potvrdenie tejto hypotézy nájdete na prednáške pre študentov Harvardská univerzita ktoré si pamätá Hlavná postava kniha „Da Vinciho kód“ od prof. Langdon:

„Napriek svojmu takmer mystickému pôvodu zohralo číslo PHI svojim spôsobom jedinečnú úlohu. Úloha tehly pri budovaní všetkého života na Zemi. Všetky rastliny, zvieratá a dokonca aj ľudia sú obdarení fyzické proporcie, približne rovná koreňu pomeru počtu PHI k 1. Táto všadeprítomnosť PHI v prírode ... naznačuje spojenie všetkých živých bytostí. Kedysi sa verilo, že číslo PHI bolo vopred určené Stvoriteľom vesmíru. Starovekí vedci nazvali jeden bod šesťsto osemnásť tisícin „božským pomerom“.

Slávne iracionálne číslo PHI = 1,618, ktoré Leonardo da Vinci nazval Zlatá stredná cesta, je teda Da Vinciho kód!

Ďalším matematickým objavom starovekej vedy je pravidelné mnohosteny, ktoré boli pomenované "Platónske pevné látky" a "polopravidelné mnohosteny", pomenovaný „archimedovské pevné látky“. Práve tieto úžasne krásne priestorové geometrické tvary sú základom dvoch najväčších vedecké objavy 20. storočie - kvázikryštály(autorom objavu je izraelský fyzik Dan Shechtman) a fullerény(Nobelova cena 1996). Tieto dva objavy sú najvýznamnejším potvrdením skutočnosti, že práve zlatý podiel je univerzálnym kódom prírody („Da Vinciho kód“), ktorý je základom vesmíru.

Objav kvázikryštálov a fullerénov inšpiroval mnohých súčasných umelcov k tvorbe diel, ktoré v umeleckej podobe odrážajú najvýznamnejšie fyzikálne objavy 20. storočia. Jedným z týchto umelcov je aj slovenský umelec Matka Theia Kraszek. Tento článok predstavuje umelecký svet Matyushky Teija Krashek cez prizmu najnovších vedeckých objavov.

Platónske pevné látky

O pravidelné mnohouholníky a mnohosteny prejavuje záujem človek počas celej svojej vedomej činnosti – od dvojročného dieťaťa hrajúceho sa s drevenými kockami až po zrelého matematika. Niektoré z pravidelných a polopravidelných telies sa prirodzene vyskytujú ako kryštály, iné ako vírusy, ktoré možno vidieť elektrónovým mikroskopom.

Čo je to pravidelný mnohosten? Mnohosten sa nazýva pravidelný, ak sú všetky jeho steny navzájom rovnaké (alebo zhodné) a zároveň sú pravidelnými mnohouholníkmi. Koľko pravidelných mnohostenov existuje? Na prvý pohľad je odpoveď na túto otázku veľmi jednoduchá – koľko je pravidelných polygónov. Avšak nie je. V Euklidových prvkoch nájdeme rigorózny dôkaz, že existuje iba päť konvexných pravidelných mnohostenov a že ich tvárami môžu byť iba tri typy pravidelných mnohouholníkov: trojuholníky, štvorcov a päťuholníky (pravidelné päťuholníky).

Teórii mnohostenov bolo venovaných veľa kníh. Jednou z najznámejších je kniha anglického matematika M. Wennigera „Models of polyhedra“. V ruskom preklade túto knihu vydalo vydavateľstvo Mir v roku 1974. Epigraf ku knihe je výrok Bertranda Russella: "Matematika má nielen pravdu, ale aj vysokú krásu - krásu vycibrenú a prísnu, vznešene čistú a usilujúcu sa o skutočnú dokonalosť, ktorá je charakteristická len pre najväčšie príklady umenia."

Kniha začína popisom tzv pravidelné mnohosteny, teda mnohosteny tvorené najjednoduchšími pravidelnými mnohouholníkmi rovnakého typu. Tieto mnohosteny sa nazývajú Platónske telesá(obr. 1) , pomenované po starogréckom filozofovi Platónovi, ktorý vo svojom používal pravidelné mnohosteny kozmológia.

Obrázok 1. Platónske telesá: (a) osemsten ("Oheň"), (b) šesťsten alebo kocka ("Zem"),

(c) osemsten ("Vzduch"), (d) dvadsaťsten ("Voda"), (e) dvanásťsten ("Univerzálna myseľ")

Svoju úvahu začneme s pravidelné mnohosteny, ktorého tváre sú rovnostranné trojuholníky. Prvým z nich je štvorsten(Obr. 1-a). V štvorstene sa v jednom vrchole stretávajú tri rovnostranné trojuholníky; pričom ich základne tvoria nový rovnostranný trojuholník. Štvorsten má najmenšie číslo stojí medzi platónskymi telesami a je trojrozmerným analógom bytu správny trojuholník, ktorý má spomedzi pravidelných mnohouholníkov najmenší počet strán.

Ďalšie teleso, ktoré je tvorené rovnostrannými trojuholníkmi, je tzv osemsten(Obr. 1-b). V osemstene sa v jednom vrchole stretávajú štyri trojuholníky; výsledkom je pyramída so štvoruholníkovou základňou. Ak spojíte dve takéto pyramídy so základňami, získate symetrické telo s ôsmimi trojuholníkovými plochami - osemsten.

Teraz môžete skúsiť spojiť päť rovnostranných trojuholníkov v jednom bode. Výsledkom je postava s 20 trojuholníkovými tvárami - dvadsaťsten(Obr. 1-d).

Ďalší pravidelný mnohouholníkový tvar je − námestie. Ak spojíme tri štvorce v jednom bode a potom pridáme ďalšie tri, dostaneme perfektný tvar so šiestimi stranami, tzv šesťsten alebo kocka(obr. 1-c).

Nakoniec existuje ďalšia možnosť konštrukcie pravidelného mnohostenu na základe použitia nasledujúceho pravidelného mnohouholníka − Pentagon. Ak nazbierame 12 päťuholníkov tak, že sa v každom bode stretnú tri päťuholníky, dostaneme ďalšie platónske teleso, tzv. dvanásťsten(Obr. 1-e).

Ďalší pravidelný mnohouholník je šesťuholník. Ak však spojíme tri šesťuholníky v jednom bode, dostaneme povrch, to znamená, že nie je možné zo šesťuholníkov postaviť trojrozmernú postavu. Akékoľvek iné pravidelné mnohouholníky nad šesťuholníkom nemôžu vôbec tvoriť telesá. Z týchto úvah vyplýva, že existuje iba päť pravidelných mnohostenov, ktorých tvárami môžu byť iba rovnostranné trojuholníky, štvorce a päťuholníky.

Medzi všetkými existujú úžasné geometrické spojenia pravidelné mnohosteny. Napríklad, kocka(obr. 1-b) a osemsten(obr.1-c) sú duálne, t.j. sa získajú jeden od druhého, ak sa ťažiská plôch jednej berú ako vrcholy druhej a naopak. Podobne duálne dvadsaťsten(Obr. 1-d) a dvanásťsten(Obr.1-d) . Tetrahedron(Obr.1-a) je duálny sám so sebou. Dvanásťsten sa získa z kocky stavaním „striech“ na jej steny (Euklidova metóda), vrcholy štvorstenu sú ľubovoľné štyri vrcholy kocky, ktoré nie sú párovo priľahlé pozdĺž hrany, to znamená, že všetky ostatné pravidelné mnohosteny môžu byť získané z kocky. Samotná skutočnosť, že existuje iba päť skutočne pravidelných mnohostenov, je prekvapujúca, pretože v rovine je nekonečne veľa pravidelných mnohouholníkov!

Numerické charakteristiky platónskych telies

Hlavné číselné charakteristiky Platónske telesá je počet strán tváre m, počet plôch zbiehajúcich sa v každom vrchole, m, počet tvárí G, počet vrcholov AT, počet rebier R a počet plochých rohov O na povrchu mnohostenu Euler objavil a dokázal slávny vzorec

B P + G = 2,

prepojenie počtu vrcholov, hrán a plôch akéhokoľvek konvexného mnohostenu. Vyššie uvedené číselné charakteristiky sú uvedené v tabuľke. jeden.

stôl 1

Numerické charakteristiky platónskych telies

Mnohosten	Počet strán tváre, m	Počet tvárí zbiehajúcich sa vo vrchole, n	Počet tvárí	Počet vrcholov	Počet rebier	Počet plochých rohov na povrchu
Tetrahedron
Hexahedron (kocka)
dvadsaťsten
Dodekaedrón

Zlatý rez v dvanástich a dvadsaťstenoch

Dvanásťsten a jeho dvojitý dvadsaťsten (obr. 1-d, e) zaujímajú osobitné miesto medzi Platónske telesá. V prvom rade treba zdôrazniť, že geometria dvanásťsten a dvadsaťsten priamo súvisí so zlatým rezom. Naozaj, okraje dvanásťsten(obr. 1-e). päťuholníkov, t.j. pravidelné päťuholníky založené na zlatom reze. Ak sa pozriete pozorne dvadsaťsten(obr. 1-d), potom môžete vidieť, že v každom z jeho vrcholov sa zbieha päť trojuholníkov, ktorých vonkajšie strany tvoria päťuholník. Už tieto skutočnosti stačia na to, aby zlatý rez zohrával podstatnú úlohu pri konštrukcii týchto dvoch Platónske telesá.

Existujú však hlbšie matematické dôkazy o základnej úlohe zlatého rezu dvadsaťsten a dvanásťsten. Je známe, že tieto telesá majú tri špecifické sféry. Prvá (vnútorná) guľa je vpísaná do tela a dotýka sa jej tvárí. Označme polomer tejto vnútornej gule ako RI. Druhá alebo stredná guľa sa dotýka jej okrajov. Označme polomer tejto gule ako R m . Nakoniec je tretia (vonkajšia) guľa opísaná okolo telesa a prechádza cez jeho vrcholy. Označme jej polomer podľa Rc. V geometrii je dokázané, že hodnoty polomerov uvedených gúľ pre dvanásťsten a dvadsaťsten, ktorý má hranu jednotkovej dĺžky, vyjadruje zlatý rez t (tabuľka 2).

tabuľka 2

Zlatý rez v sférach dvanásťstenu a dvadsaťstena

dvadsaťsten
Dodekaedrón

Všimnite si, že pomer polomerov = je rovnaký ako pri dvadsaťsten, a pre dvanásťsten. Teda ak dvanásťsten a dvadsaťsten majú rovnaké vpísané gule, potom sú aj ich ohraničené gule navzájom rovné. Dôkaz tohto matematického výsledku je uvedený v Začiatky Euklides.

V geometrii sú známe aj iné vzťahy dvanásťsten a dvadsaťsten potvrdzujúce ich spojenie so zlatým rezom. Napríklad, ak vezmeme dvadsaťsten a dvanásťsten s dĺžkou hrany rovnajúcou sa jednej a vypočítame ich vonkajšiu plochu a objem, potom sa vyjadria prostredníctvom zlatého rezu (tabuľka 3).

Tabuľka 3

Zlatý rez vo vonkajšej oblasti a objeme dvanásťstenu a dvadsaťstenu

	dvadsaťsten	Dodekaedrón
vonkajšia oblasť

Existuje teda obrovské množstvo vzťahov, ktoré získali starovekí matematici, čo potvrdzuje pozoruhodnú skutočnosť, že je zlatý rez je hlavným podielom dvanásťstenu a dvadsaťstenu, pričom tento fakt je zaujímavý najmä z pohľadu tzv "dodekaedrálno-ikozaedrická doktrína", ktoré budeme uvažovať nižšie.

Platónova kozmológia

Vyššie uvedené pravidelné mnohosteny sa nazývajú Platónske telesá, keďže zaujímali dôležité miesto v Platónovom filozofickom koncepte štruktúry vesmíru.

Platón (427-347 pred Kr.)

Štyri mnohosteny v ňom zosobnili štyri esencie alebo „prvky“. Tetrahedron symbolizované Oheň, pretože jeho vrchol smeruje nahor; dvadsaťsten — voda, keďže ide o najviac „upravený“ mnohosten; Kocka — zem, ako „najstabilnejší“ mnohosten; Octaedron — Vzduch, ako najviac „vzdušný“ mnohosten. Piaty mnohosten, Dodekaedrón, stelesnený „všetko, čo existuje“, „univerzálna myseľ“, symbolizoval celý vesmír a bol považovaný hlavný geometrický obrazec vesmíru.

Starí Gréci považovali za základ vesmíru harmonické vzťahy, preto boli štyri živly spojené takým pomerom: zem / voda = vzduch / oheň. Atómy „prvkov“ naladil Platón v dokonalých súzvukoch, ako štyri struny lýry. Pripomeňme, že súzvuk je príjemná súzvuk. V súvislosti s týmito telesami by bolo vhodné povedať, že takýto systém prvkov, ktorý zahŕňal štyri prvky zem, vodu, vzduch a oheň, kanonizoval Aristoteles. Tieto prvky zostali po mnoho storočí štyrmi základnými kameňmi vesmíru. Je celkom možné ich stotožniť so štyrmi nám známymi stavmi hmoty – pevným, kvapalným, plynným a plazmovým.

Starovekí Gréci teda spájali myšlienku „cez“ harmónie bytia s jej stelesnením v platónskych telesách. Zasiahol aj vplyv slávneho gréckeho mysliteľa Platóna Začiatky Euklides. V tejto knihe, ktorá bola po stáročia jedinou učebnicou geometrie, je uvedený popis „ideálnych“ čiar a „ideálnych“ útvarov. Najideálnejšia línia - rovno, a najviac "ideálny" polygón - pravidelný mnohouholník, majúce rovnaké strany a rovnaké uhly. Možno zvážiť najjednoduchší pravidelný mnohouholník rovnostranný trojuholník, pretože má najmenší počet strán, ktoré môžu ohraničiť časť roviny. To je zaujímavé Začiatky Euclid začína popisom konštrukcie správny trojuholník a končí päťkou Platónske telesá. Všimni si Platónske telesá venovaný záverečnej, teda 13. knihe Začal Euklides. Mimochodom, tento fakt, teda umiestnenie teórie pravidelných mnohostenov do finálnej (teda akoby najdôležitejšej) knihy Začal Euklides, viedol k tomu, že staroveký grécky matematik Proclus, ktorý bol komentátorom Euklida, predložil zaujímavú hypotézu o skutočných cieľoch, ktoré Euklides sledoval, a vytvoril svoju Začiatky. Euklides podľa Prokla stvoril Začiatky nie za účelom prezentácie geometrie ako takej, ale poskytnúť úplnú systematizovanú teóriu konštrukcie „ideálnych“ útvarov, najmä piatich Platónske telesá, pričom vyzdvihujeme niektoré z najnovších úspechov v matematike!

Nie je náhoda, že jeden z autorov objavu fullerénov, nositeľ Nobelovej ceny Harold Kroto, vo svojej Nobelovej prednáške začína svoj príbeh o symetrii ako „základe nášho vnímania fyzického sveta“ a jej „úlohe v pokusoch vysvetliť to komplexne“ presne s Platónske telesá a „prvky všetkých vecí“: „Koncept štrukturálnej symetrie sa datuje do staroveku...“ Najslávnejšie príklady možno samozrejme nájsť v Platónovom Timaeovi, kde v časti 53, odvolávajúc sa na „Prvky“, píše: „Po prvé, ku každému ( !) , samozrejme, je jasné, že oheň a zem, voda a vzduch sú telesá a každé teleso je pevné “(!!) Platón rozoberá problémy chémie v jazyku týchto štyroch prvkov a spája ich so štyrmi platónskymi telesami (v tom čase len štyri, pričom piaty Hipparchos neobjavil – dvanásťsten). Aj keď sa takáto filozofia môže zdať na prvý pohľad trochu naivná, naznačuje hlboké pochopenie toho, ako príroda v skutočnosti funguje.

Archimedove pevné látky

Polopravidelné mnohosteny

Je známych mnoho dokonalejších tiel, tzv polopravidelné mnohosteny alebo Archimedove telá. Majú tiež všetky polyedrické uhly rovnaké a všetky plochy sú pravidelné mnohouholníky, ale niekoľko odlišné typy. Existuje 13 polopravidelných mnohostenov, ktorých objav sa pripisuje Archimedesovi.

Archimedes (287 pred Kr. – 212 pred Kr.)

Veľa Archimedove pevné látky možno rozdeliť do niekoľkých skupín. Prvý z nich pozostáva z piatich mnohostenov, ktoré sa získavajú z Platónske telesá v dôsledku ich skrátenie. Zrezané telo je telo s odrezaným vrchom. Pre Platónske telesá skrátenie je možné vykonať tak, že výsledné nové plochy aj zvyšné časti starých sú pravidelné polygóny. Napríklad, štvorsten(obr. 1-a) je možné zrezať tak, že jeho štyri trojuholníkové plochy sa zmenia na štyri šesťuholníkové a k nim sa pridajú štyri pravidelné trojuholníkové plochy. Týmto spôsobom päť Archimedove pevné látky: skrátený štvorsten, skrátený šesťsten (kocka), skrátený osemsten, skrátený dvanásťsten a skrátený dvadsaťsten(obr. 2).

(a)	(b)	(v)

(G)	(e)

Obrázok 2. Archimedove telesá: (a) skrátený štvorsten, (b) skrátená kocka, (c) skrátený osemsten, (d) skrátený dvanásťsten, (e) skrátený dvadsaťsten

Americký vedec Smalley, jeden z autorov experimentálneho objavu fullerénov, vo svojej Nobelovej prednáške hovorí o Archimedovi (287-212 pred Kr.) ako o prvom bádateľovi skrátených mnohostenov, najmä skrátený dvadsaťsten, avšak s výhradou, že túto zásluhu si snáď Archimedes privlastňuje a možno ikosahedróny boli skrátené dávno pred ním. Stačí spomenúť tie, ktoré sa našli v Škótsku a boli datované okolo roku 2000 pred Kristom. stovky kamenných predmetov (zrejme na rituálne účely) vo forme gúľ a rôznych polyhedra(telá ohraničené zo všetkých strán plochou tváre), vrátane dvadsaťstenov a dvanásťstenov. Originál Archimedovho diela sa, žiaľ, nezachoval a jeho výsledky sa k nám dostali, ako sa hovorí, „z druhej ruky“. Počas renesancie všetko Archimedove pevné látky jeden po druhom boli „objavené“ nanovo. Nakoniec Kepler v roku 1619 vo svojej knihe „World Harmony“ („Harmonice Mundi“) podal vyčerpávajúci opis celého súboru Archimedovských telies – mnohostenov, ktorých každá tvár je pravidelný mnohouholník, a všetko vrcholov sú v ekvivalentnej polohe (ako atómy uhlíka v molekule C60). Archimedove telesá pozostávajú najmenej z dvoch rôzne druhy polygóny, na rozdiel od 5 Platónske telesá, ktorých všetky plochy sú rovnaké (ako napríklad v molekule C20).

Obrázok 3. Konštrukcia archimedovského skráteného dvadsaťstena
z platónskeho dvadsaťstena

Ako teda konštruovať Archimedovský skrátený dvadsaťsten od Platónsky dvadsaťsten? Odpoveď je znázornená pomocou obr. 3. V skutočnosti, ako je zrejmé z tabuľky. 1, 5 stien sa zbieha v ktoromkoľvek z 12 vrcholov dvadsaťstena. Ak je v každom vrchole 12 častí dvadsaťstenu odrezaných (odrezaných) rovinou, potom sa vytvorí 12 nových päťuholníkových plôch. Spolu s už existujúcimi 20 plochami, ktoré sa po takomto reze zmenili z trojuholníkových na šesťuholníkové, budú tvoriť 32 plôch skráteného dvadsaťstena. V tomto prípade bude 90 hrán a 60 vrcholov.

iná skupina Archimedove pevné látky tvoria dve telá tzv kvázi správne polyhedra. „Kvázi“ častica zdôrazňuje, že plochy týchto mnohostenov sú pravidelné mnohouholníky iba dvoch typov, pričom každá plocha jedného typu je obklopená mnohouholníkmi iného typu. Tieto dve telá sa nazývajú rombikuboktaedrón a ikozidodekahedrón(obr. 4).

Obrázok 5. Archimedove pevné látky: (a) kosoštvorcový sten, b) kosoštvorcový sten

Nakoniec existujú dve takzvané "snub" modifikácie - jedna pre kocku ( snub kocka), druhý je pre dvanásťsten ( ukecaný dvanásťsten) (obr. 6).

(a)	(b)

Obrázok 6 Archimedovské telesá: (a) snub kocka, (b) snub dvanástnik

V spomínanej knihe od Wennigera „Models of Polyhedra“ (1974) môže čitateľ nájsť 75 rôznych modelov pravidelných mnohostenov. "Teória mnohostenov, najmä konvexných mnohostenov, je jednou z najfascinujúcejších kapitol geometrie." To je názor ruského matematika L.A. Lyusternak, ktorý v tejto oblasti matematiky urobil veľa. Vývoj tejto teórie je spojený s menami významných vedcov. Veľký príspevok k rozvoju teórie mnohostenov urobil Johannes Kepler (1571-1630). Svojho času napísal náčrt „O snehovej vločke“, v ktorom uviedol nasledujúcu poznámku: "Z pravidelných telies je úplne prvým, počiatkom a predchodcom ostatných kocka a jej príbuznou, ak to tak môžem povedať, je osemsten, pretože osemsten má toľko uhlov, koľko má kocka stien." Ako prvý publikoval Kepler úplný zoznam trinásť Archimedove pevné látky a dal im mená, pod ktorými sú známi dodnes.

Kepler ako prvý študoval tzv hviezdicové mnohosteny, ktoré sú na rozdiel od platónskych a archimedovských telies pravidelné konvexné mnohosteny. Začiatkom minulého storočia francúzsky matematik a mechanik L. Poinsot (1777-1859), ktorého geometrické práce sa týkajú hviezdicových mnohostenov, rozvinul Keplerovu prácu a objavil existenciu ďalších dvoch typov pravidelných nekonvexných polyhedra. Takže vďaka práci Keplera a Poinsota sa stali známymi štyri typy takýchto figúrok (obr. 7). V roku 1812 O. Cauchy dokázal, že neexistujú žiadne iné pravidelné hviezdicovité mnohosteny.

Obrázok 7 Pravidelné hviezdne mnohosteny (Poinsotove pevné látky)

Mnohí čitatelia môžu mať otázku: „Prečo vôbec študovať pravidelné mnohosteny? Aké je ich využitie?" Na túto otázku možno odpovedať: „A načo je hudba alebo poézia? Je všetko krásne užitočné? Modely mnohostenov znázornené na obr. 1-7 na nás v prvom rade pôsobia esteticky a dajú sa použiť ako dekoratívne ozdoby. V skutočnosti však široký prejav pravidelných mnohostenov v prírodných štruktúrach vyvolal veľký záujem o toto odvetvie geometrie moderná veda.

Tajomstvo egyptského kalendára

čo je kalendár?

Jedno ruské príslovie hovorí: „Čas je okom dejín“. Všetko, čo existuje vo Vesmíre: Slnko, Zem, hviezdy, planéty, známe i neznáme svety a všetko, čo existuje v prírode, živé i neživé, všetko má časopriestorový rozmer. Čas sa meria pozorovaním periodicky sa opakujúcich procesov určitého trvania.

Už v dávnych dobách si ľudia všimli, že deň vždy ustupuje noci a ročné obdobia prechádzajú v prísnom poradí: jar prichádza po zime, leto po jari, jeseň po lete. Pri hľadaní kľúča k týmto javom upriamil človek pozornosť na nebeské telesá - Slnko, Mesiac, hviezdy - a na prísnu periodicitu ich pohybu po oblohe. Boli to prvé pozorovania, ktoré predchádzali zrodu jednej z najstarších vied – astronómie.

Astronómia založila meranie času na pohybe nebeských telies, ktorý odráža tri faktory: rotáciu Zeme okolo svojej osi, rotáciu Mesiaca okolo Zeme a pohyb Zeme okolo Slnka. Na ktorom z týchto javov je založené meranie času, závisia aj rôzne koncepcie času. Astronómia vie hviezdnyčas, slnečnýčas, miestnečas, pásčas, materská dovolenkačas, atómovýčas atď.

Slnko, rovnako ako všetky ostatné svietidlá, sa podieľa na pohybe po oblohe. Okrem denného pohybu má Slnko takzvaný ročný pohyb a celá dráha ročného pohybu Slnka po oblohe je tzv. ekliptika. Ak si napríklad všimneme polohu súhvezdí v určitú večernú hodinu a potom toto pozorovanie opakujeme každý mesiac, objaví sa pred nami iný obraz oblohy. Pohľad na hviezdnu oblohu sa neustále mení: každé ročné obdobie má svoj vlastný obraz večerných súhvezdí a každý takýto obraz sa každý rok opakuje. V dôsledku toho sa po uplynutí roka Slnko vo vzťahu ku hviezdam vráti na svoje pôvodné miesto.

Pre uľahčenie orientácie v hviezdnom svete astronómovia rozdelili celú oblohu na 88 súhvezdí. Každý z nich má svoje meno. Z 88 súhvezdí zaujímajú v astronómii osobitné miesto tie, ktorými prechádza ekliptika. Tieto súhvezdia majú okrem svojich vlastných mien aj zovšeobecnený názov - zverokruhu(od Grécke slovo„zoop“ zviera), ako aj symboly (znaky) všeobecne známe po celom svete a rôzne alegorické obrazy zahrnuté v kalendárnych systémoch.

Je známe, že v procese pohybu pozdĺž ekliptiky Slnko prechádza cez 13 súhvezdí. Astronómovia však zistili, že je potrebné rozdeliť dráhu Slnka nie na 13, ale na 12 častí, čím sa súhvezdia Škorpión a Ophiuchus spojili do jedného pod všeobecným názvom Škorpión (prečo?).

Problémami merania času sa zaoberá špeciálna veda tzv chronológia. Je základom všetkých kalendárnych systémov vytvorených ľudstvom. Tvorba kalendárov v staroveku bola jednou z najdôležitejších úloh astronómie.

Čo je to "kalendár" a čo sú kalendárne systémy? Slovo kalendár pochádza z latinského slova kalendárium, čo doslovne znamená „kniha dlhov“; v takýchto knihách boli uvedené prvé dni každého mesiaca - kalendáre, v ktorom v Staroveký Rím dlžníci platia úroky.

Od staroveku v krajinách východnej a Juhovýchodná Ázia pri výrobe kalendárov veľký význam dal periodicitu pohybu Slnka, Mesiaca, ako aj Jupiter a Saturn, dve obrovské planéty slnečnej sústavy. Existuje dôvod domnievať sa, že myšlienka stvorenia jupiterský kalendár s nebeskou symbolikou 12-ročného zvieracieho cyklu spojeného s rotáciou Jupiter okolo Slnka, čo urobí úplnú revolúciu okolo Slnka za približne 12 rokov (11 862 rokov). Na druhej strane, druhá obrovská planéta slnečnej sústavy - Saturn urobí kompletnú revolúciu okolo Slnka za približne 30 rokov (29,458 rokov). Starí Číňania, ktorí chceli koordinovať cykly pohybu obrovských planét, prišli s myšlienkou zaviesť 60-ročný cyklus slnečnej sústavy. Počas tohto cyklu vykoná Saturn 2 úplné otáčky okolo Slnka a Jupiter 5 otáčok.

Pri tvorbe ročných kalendárov sa využívajú astronomické javy: zmena dňa a noci, zmena lunárnych fáz a zmena ročných období. Použitie rôznych astronomických javov viedlo k vytvoreniu troch typov kalendárov medzi rôznymi národmi: lunárny, na základe pohybu mesiaca, solárne, na základe pohybu slnka, a lunisolárny.

Štruktúra egyptského kalendára

Jeden z prvých slnečných kalendárov bol egyptský, vytvorený v 4. tisícročí pred Kristom. Pôvodný egyptský kalendárny rok pozostával z 360 dní. Rok bol rozdelený na 12 mesiacov, z ktorých každý mal presne 30 dní. Neskôr sa však zistilo, že takéto trvanie kalendárneho roka nezodpovedá tomu astronomickému. A potom Egypťania pridali ku kalendárnemu roku ešte 5 dní, ktoré však neboli dňami mesiacov. Bolo 5 štátne sviatky spájajúce susedné kalendárne roky. Egyptský kalendárny rok mal teda nasledujúcu štruktúru: 365 = 12ґ 30 + 5. Všimnite si, že práve egyptský kalendár je prototypom moderného kalendára.

Vynára sa otázka: prečo Egypťania rozdelili kalendárny rok na 12 mesiacov? Veď existovali kalendáre s rôznym počtom mesiacov v roku. Napríklad v mayskom kalendári rok pozostával z 18 mesiacov po 20 dní v mesiaci. Ďalšia otázka týkajúca sa egyptského kalendára je, prečo mal každý mesiac presne 30 dní ( presnejšie dní)? O egyptskom systéme merania času možno vzniesť niekoľko otázok, najmä o voľbe takých jednotiek času, ako napr hodina, minúta, sekunda. Predovšetkým vyvstáva otázka: prečo bola hodinová jednotka zvolená tak, že sedí presne 24-krát za deň, teda prečo 1 deň = 24 (2ґ 12) hodín? Ďalej: prečo 1 hodina = 60 minút a 1 minúta = 60 sekúnd? Rovnaké otázky platia aj pre výber jednotiek uhlových veličín, najmä: prečo je kruh rozdelený na 360°, teda prečo 2p = 360° = 12ґ 30°? K týmto otázkam sa pridávajú ďalšie, najmä: prečo astronómovia považovali za vhodné zvážiť, že ich je 12 zverokruhu znamenia, hoci v skutočnosti v procese svojho pohybu pozdĺž ekliptiky Slnko prechádza cez 13 súhvezdí? A ešte jedna „zvláštna“ otázka: prečo mala babylonská číselná sústava veľmi nezvyčajný základ – číslo 60?

Vzťah egyptského kalendára s číselnými charakteristikami dvanástnika

Analýzou egyptského kalendára, ako aj egyptských systémov na meranie času a uhlových hodnôt, zistíme, že štyri čísla sa opakujú s úžasnou stálosťou: 12, 30, 60 a z nich odvodené číslo 360 = 12ґ 30. Vzniká otázka: je existuje nejaká základná vedecká myšlienka, ktorá by mohla poskytnúť jednoduché a logické vysvetlenie použitia týchto čísel v egyptských systémoch?

Aby sme odpovedali na túto otázku, obrátime sa znova na dvanásťsten znázornené na obr. 1-d. Pripomeňme, že všetky geometrické pomery dvanástnika sú založené na zlatom reze.

Poznali Egypťania dvanásťsten? Historici matematiky pripúšťajú, že starí Egypťania poznali pravidelné mnohosteny. Poznali však najmä všetkých päť pravidelných mnohostenov dvanásťsten a dvadsaťsten ako tie najťažšie? Staroveký grécky matematik Proclus pripisuje stavbu pravidelných mnohostenov Pytagorasovi. Ale mnoho matematických teorémov a výsledkov (najmä Pytagorova veta) Pytagoras si požičal od starých Egypťanov počas svojej veľmi dlhej „obchodnej cesty“ do Egypta (podľa niektorých správ žil Pytagoras v Egypte 22 rokov!). Preto môžeme predpokladať, že poznatky o pravidelných mnohostenoch si Pytagoras pravdepodobne prebral aj od starých Egypťanov (a možno aj od starých Babylončanov, pretože podľa legendy žil Pytagoras v starovekom Babylone 12 rokov). Existujú však ďalšie, spoľahlivejšie dôkazy, že Egypťania mali informácie o všetkých piatich pravidelných mnohostenoch. Najmä Britské múzeum má ptolemaiovskú kocku v tvare dvadsaťsten, teda „platónske pevné“, duál dvanásťsten. Všetky tieto skutočnosti nám dávajú právo vysloviť hypotézu, že Egypťania poznali dvanásťsten. A ak je to tak, potom z tejto hypotézy vyplýva veľmi harmonický systém, ktorý umožňuje vysvetliť vznik egyptského kalendára a zároveň pôvod egyptského systému merania časových intervalov a geometrických uhlov.

Už skôr sme zistili, že dvanásťsten má na svojom povrchu 12 plôch, 30 hrán a 60 plochých rohov (tabuľka 1). Na základe hypotézy, ktorú Egypťania poznali dvanásťsten a jeho číselné charakteristiky 12, 30. 60, aké bolo ich prekvapenie, keď zistili, že rovnaké čísla vyjadrujú cykly slnečnej sústavy, a to 12-ročný cyklus Jupitera, 30-ročný cyklus Saturna a napokon , 60. letný cyklus slnečnej sústavy. Teda medzi takou dokonalou priestorovou postavou akou je dvanásťsten, a slnečná sústava, je tam hlboká matematická súvislosť! Tento záver urobili starovekí vedci. To viedlo k tomu, že dvanásťsten bola prijatá ako „hlavná postava“, ktorá symbolizovala Harmónia vesmíru. A potom sa Egypťania rozhodli, že všetky ich hlavné systémy (kalendárový systém, systém merania času, systém merania uhla) by mali zodpovedať číselným parametrom. dvanásťsten! Keďže podľa predstáv staroveku mal pohyb Slnka pozdĺž ekliptiky striktne kruhový charakter, Egypťania po výbere 12 znamení zverokruhu, ktorých oblúková vzdialenosť bola presne 30 °, prekvapivo krásne súhlasili. ročný pohyb Slnká pozdĺž ekliptiky so štruktúrou ich kalendárneho roka: jeden mesiac zodpovedal pohybu Slnka pozdĺž ekliptiky medzi dvoma susednými znameniami zverokruhu! Navyše pohyb Slnka o jeden stupeň zodpovedal jednému dňu v Egypte kalendárny rok! V tomto prípade bola ekliptika automaticky rozdelená na 360°. Egypťania rozdelili každý deň na dve časti podľa dvanástnika a potom každú polovicu dňa rozdelili na 12 častí (12 tvárí dvanásťsten) a teda zavedené hodina je najdôležitejšou jednotkou času. Rozdelenie jednej hodiny na 60 minút (60 plochých rohov na povrchu dvanásťsten), Egypťania týmto spôsobom zaviedli minútu je ďalšia dôležitá jednotka času. Podobne vošli aj oni daj mi chvíľku- najmenšia časová jednotka za dané obdobie.

Teda výber dvanásťsten ako hlavná „harmonická“ postava vesmíru a prísne podľa číselných charakteristík dvanástnika 12, 30, 60 sa Egypťanom podarilo vybudovať mimoriadne harmonický kalendár, ako aj systémy na meranie času a uhlových hodnôt. Tieto systémy boli v úplnom súlade s ich „Teóriou harmónie“, založenou na zlatom reze, pretože práve tento pomer je základom dvanásťsten.

Tieto prekvapivé závery vyplývajú z porovnania dvanásťsten so slnečnou sústavou. A ak je naša hypotéza správna (nech ju niekto skúsi vyvrátiť), tak z toho vyplýva, že už mnoho tisícročí ľudstvo žije v znamení zlatého rezu! A zakaždým, keď sa pozrieme na náš ciferník, ktorý je tiež postavený na používaní číselné charakteristiky dvanásťsten 12, 30 a 60, dotýkame sa hlavného "Tajomstva vesmíru" zlatého rezu, bez toho, aby sme o tom vedeli!

Kvázikryštály od Dana Shechtmana

12. novembra 1984 v krátkom článku publikovanom v prestížnom časopise Physical Review Letters izraelského fyzika Dana Shechtmana boli predložené experimentálne dôkazy o existencii kovovej zliatiny s výnimočnými vlastnosťami. Pri štúdiu elektrónovou difrakciou táto zliatina vykazovala všetky znaky kryštálu. Jeho difrakčný obrazec sa skladá z jasných a pravidelne rozmiestnených bodov, rovnako ako kryštál. Tento obrázok je však charakterizovaný prítomnosťou „ikosahedrickej“ alebo „pentangónovej“ symetrie, ktorá je v kryštáli prísne zakázaná z dôvodu geometrických úvah. Takéto nezvyčajné zliatiny boli tzv kvázikryštály. Za menej ako rok bolo objavených mnoho ďalších zliatin tohto typu. Bolo ich toľko, že kvázikryštalický stav sa ukázal byť oveľa bežnejší, než by sa dalo predpokladať.

Izraelský fyzik Dan Shechtman

Koncept kvázikryštálu má zásadný význam, pretože zovšeobecňuje a dopĺňa definíciu kryštálu. Teória založená na tomto koncepte nahrádza starú myšlienku „štrukturálnej jednotky opakujúcej sa v priestore striktne periodickým spôsobom“ kľúčovým konceptom ďaleké poradie. Ako je zdôraznené v článku "Kvazikryštály" slávny fyzik D Gratia, „Tento koncept viedol k expanzii kryštalografie, ktorej znovuobjavené bohatstvo práve začíname skúmať. Jeho význam vo svete minerálov možno prirovnať k tomu, že v matematike sa k racionálnym číslam pridal aj pojem iracionálnych čísel.

Čo je to kvázikryštál? Aké sú jeho vlastnosti a ako ho možno opísať? Ako je uvedené vyššie, podľa základný zákon kryštalografie na kryštálovú štruktúru sú kladené prísne obmedzenia. Podľa klasických konceptov je kryštál donekonečna zložený z jednej bunky, ktorá by mala husto (tvárou v tvár) „pokryť“ celú rovinu bez akýchkoľvek obmedzení.

Ako je známe, husté plnenie roviny sa môže uskutočniť pomocou trojuholníky(Obr. 7-a), štvorcov(obr.7-b) a šesťuholníkov(Obr. 7-d). Používaním päťuholníkov (päťuholníkov) takéto plnenie je nemožné (obr. 7-c).

a)	b)	v)	G)

Obrázok 7 Husté vyplnenie roviny je možné vykonať pomocou trojuholníkov (a), štvorcov (b) a šesťuholníkov (d)

Boli to kánony tradičnej kryštalografie, ktoré existovali pred objavom nezvyčajnej zliatiny hliníka a mangánu, nazývanej kvázikryštál. Takáto zliatina vzniká ultrarýchlym ochladzovaním taveniny rýchlosťou 106 K za sekundu. Zároveň sa počas difrakčnej štúdie takejto zliatiny na obrazovke zobrazuje usporiadaný vzor, ​​ktorý je charakteristický pre symetriu dvadsaťstenu, ktorý má slávne zakázané osi symetrie 5. rádu.

Niekoľko vedeckých skupín po celom svete v priebehu niekoľkých nasledujúcich rokov študovalo túto nezvyčajnú zliatinu prostredníctvom elektrónovej mikroskopie. vysoké rozlíšenie. Všetky potvrdili ideálnu homogenitu hmoty, v ktorej bola zachovaná symetria 5. rádu v makroskopických oblastiach s rozmermi blízkymi rozmerom atómov (niekoľko desiatok nanometrov).

Podľa moderných názorov bol vyvinutý nasledujúci model na získanie kryštálovej štruktúry kvázikryštálu. Tento model je založený na koncepte „základného prvku“. Podľa tohto modelu je vnútorný dvadsaťsten atómov hliníka obklopený vonkajším dvadsaťstenom atómov mangánu. Ikozaedróny sú spojené oktaédrami atómov mangánu. „Základný prvok“ má 42 atómov hliníka a 12 atómov mangánu. V procese tuhnutia dochádza k rýchlej tvorbe „základných prvkov“, ktoré sú navzájom rýchlo spojené tuhými oktaedrickými „mostmi“. Pripomeňme, že tváre dvadsaťstenu sú rovnostranné trojuholníky. Aby sa vytvoril oktaedrický mostík z mangánu, je potrebné, aby sa dva takéto trojuholníky (jeden v každej bunke) priblížili dostatočne blízko k sebe a boli zoradené paralelne. V dôsledku takéhoto fyzikálneho procesu sa vytvorí kvázikryštalická štruktúra s "ikozaedrickou" symetriou.

V posledných desaťročiach bolo objavených mnoho typov kvázikryštalických zliatin. Okrem toho, že majú "ikozaedrickú" symetriu (5. rád), existujú aj zliatiny s dekagonálnou symetriou (10. rád) a dodekagonálnou symetriou (12. rád). Fyzikálne vlastnosti kvázikryštálov sa začali skúmať len nedávno.

Aký praktický význam má objav kvázikryštálov? Ako je uvedené vo vyššie citovanom článku Gratia, „mechanická pevnosť kvázikryštalických zliatin sa dramaticky zvyšuje; absencia periodicity vedie k spomaleniu šírenia dislokácií v porovnaní s bežnými kovmi ... Táto vlastnosť má veľký praktický význam: použitie ikozaedrickej fázy umožní získať ľahké a veľmi pevné zliatiny zavedením malých častíc zn. kvázikryštály do hliníkovej matrice.

Aký je metodologický význam objavu kvázikryštálov? V prvom rade je objav kvázikryštálov momentom veľkého triumfu „dodekaedrsko-ikozaedrickej doktríny“, ktorá preniká celou históriou prírodných vied a je zdrojom hlbokých a užitočných vedeckých myšlienok. Po druhé, kvázikryštály zničili tradičnú predstavu o neprekonateľnej priepasti medzi svetom minerálov, v ktorom bola „päťuholníková“ symetria zakázaná, a svetom divokej prírody, kde je „päťuholníková“ symetria jednou z najbežnejších. A nemali by sme zabúdať, že hlavným podielom dvadsaťstenu je „zlatý rez“. A objav kvázikryštálov je ďalším vedeckým potvrdením, že možno práve „zlatý podiel“, ktorý sa prejavuje tak vo svete divočiny, ako aj vo svete minerálov, je hlavným podielom vesmíru.

Penrose dlaždice

Keď Dan Shechtman podal experimentálny dôkaz o existencii kvázikryštálov s ikozaedrická symetria, fyzici, ktorí hľadajú teoretické vysvetlenie fenoménu kvázikryštálov, upozornili na matematický objav, ktorý pred 10 rokmi urobil anglický matematik Roger Penrose. Ako "plochý analóg" kvázikryštálov sme zvolili penrose dlaždice, čo sú aperiodické pravidelné štruktúry tvorené "hrubými" a "tenkými" kosoštvorcami, ktoré sa riadia proporciami "zlatého rezu". presne tak penrose dlaždice boli prijaté kryštalografmi na vysvetlenie javu kvázikryštály. Zároveň aj rola Penrosove diamanty v priestore troch dimenzií začali hrať dvadsaťsteny, pomocou ktorého sa uskutočňuje husté vyplnenie trojrozmerného priestoru.

Znovu pozorne zvážte päťuholník na obr. osem.

Obrázok 8 Pentagon

Po nakreslení uhlopriečok v ňom môže byť pôvodný päťuholník reprezentovaný ako súbor troch typov geometrické tvary. V strede je nový päťuholník tvorený priesečníkmi uhlopriečok. Okrem toho päťuholník na obr. 8 obsahuje päť zafarbených rovnoramenných trojuholníkov žltá a päť rovnoramenných trojuholníkov sfarbených do červena. Žlté trojuholníky sú "zlaté", pretože pomer bokov k základni sa rovná zlatému rezu; majú ostré uhly 36° na vrchole a ostré uhly 72° na základni. Červené trojuholníky sú tiež "zlaté", pretože pomer bokov k základni sa rovná zlatému rezu; majú tupý uhol 108° na vrchole a ostré uhly 36° na základni.

A teraz spojme dva žlté trojuholníky a dva červené trojuholníky s ich základňami. V dôsledku toho dostaneme dve "zlatý" kosoštvorec. Prvý (žltý) má ostrý roh pri 36° a tupom uhle 144° (obr. 9).

(a)	(b)

Obrázok 9." Zlaté" kosoštvorce: a) "tenký" kosoštvorec; b) "hrubý" kosoštvorec

Kosoštvorec na obr. 9-a zavoláme tenký kosoštvorec, a kosoštvorec na obr. 9-b - hustý kosoštvorec.

Anglický matematik a fyzik Rogers Penrose použil „zlaté“ kosoštvorce na obr. 9 na stavbu "zlatej" parkety, ktorá bola pomenovaná Penrose dlaždice. Penrose dlaždice sú kombináciou hrubých a tenkých diamantov, znázornených na obr. desať.

Obrázok 10. Penroseove dlaždice

To je dôležité zdôrazniť penrose dlaždice majú "päťuholníkovú" symetriu alebo symetriu 5. rádu a pomer počtu hrubých kosoštvorcov k tenkým smeruje k zlatému rezu!

fulerény

A teraz si povedzme o ďalšom výnimočnom modernom objave v oblasti chémie. Tento objav sa uskutočnil v roku 1985, teda o niekoľko rokov neskôr ako kvázikryštály. Hovoríme o takzvaných „fullerénoch“. Termín "fullerény" sa týka uzavretých molekúl, ako sú C60, C70, C76, C84, v ktorých sú všetky atómy uhlíka umiestnené na sférickom alebo sféroidnom povrchu. V týchto molekulách sú atómy uhlíka umiestnené vo vrcholoch pravidelných šesťuholníkov alebo päťuholníkov, ktoré pokrývajú povrch gule alebo sféroidu. Centrálne miesto medzi fullerénmi zaujíma molekula C 60, ktorá sa vyznačuje najvyššou symetriou a v dôsledku toho aj najvyššou stabilitou. V tejto molekule, ktorá pripomína pneumatiku s futbalovou loptou a má štruktúru pravidelného zrezaného dvadsaťstenu (obr. 2e a obr. 3), sú atómy uhlíka umiestnené na guľovej ploche vo vrcholoch 20 pravidelných šesťuholníkov a 12 pravidelných päťuholníkov, takže každý šesťuholník hraničí s tromi šesťuholníkmi a tromi päťuholníkmi a každý päťuholník je ohraničený šesťuholníkmi.

Pojem "fullerene" pochádza z mena amerického architekta Buckminstera Fullera, ktorý, ako sa ukázalo, použil takéto štruktúry pri stavbe kupol budov (ďalšie použitie skráteného dvadsaťstena!).

"Fullerény" sú v podstate "umelé" štruktúry odvodené zo základného fyzikálneho výskumu. Prvýkrát ich syntetizovali vedci G. Kroto a R. Smalley (ktorí dostali v roku 1996 nobelová cena za tento objav). Ale boli neočakávane nájdené v horninách prekambrického obdobia, to znamená, že fullerény neboli len „umelé“, ale prírodné útvary. Fullerény sa teraz intenzívne študujú v laboratóriách. rozdielne krajiny, snažiac sa stanoviť podmienky pre ich vznik, štruktúru, vlastnosti a možné oblasti použitia. Najviac preštudovaným zástupcom z rodiny fullerénov je fullerén-60 (C 60) (niekedy sa mu hovorí buckminster fullerén. Známe sú aj fulerény C 70 a C 84. Fullerén C 60 sa získava odparovaním grafitu v héliovej atmosfére. tvorí jemný prášok podobný sadzi s obsahom 10 % uhlíka, po rozpustení v benzéne prášok poskytuje červený roztok, z ktorého vyrastajú kryštály C 60. fyzikálne vlastnosti. Takže pri vysokom tlaku sa C 60 stáva tvrdým ako diamant. Jeho molekuly tvoria kryštalickú štruktúru, akoby sa skladala z dokonale hladkých guľôčok, voľne rotujúcich v kubickej mriežke sústredenej na tvár. Vďaka tejto vlastnosti môže byť C 60 použitý ako tuhé mazivo. Fullerény majú tiež magnetické a supravodivé vlastnosti.

Ruskí vedci A.V. Yeletsky a B.M. Smirnov vo svojom článku „Fullerenes“, uverejnenom v časopise „Uspekhi fizicheskikh nauk“ (1993, ročník 163, č. 2), poznamenáva, že „fullerény, ktorých existencia bola preukázaná v polovici 80-tych rokov a efektívnu technológiu ktorého izolácia bola vyvinutá v roku 1990, sa dnes stala predmetom intenzívneho výskumu desiatok vedeckých skupín. Výsledky týchto štúdií pozorne sledujú aplikačné firmy. Keďže táto modifikácia uhlíka priniesla vedcom množstvo prekvapení, nebolo by rozumné diskutovať o predpovediach a možné následkyštúdium fullerénov v nasledujúcom desaťročí, ale človek by mal byť pripravený na nové prekvapenia.“

Umelecký svet slovinskej umelkyne Matiushka Teija Kraszek

Matjuska Teja Krasek získala bakalársky titul v odbore maľba na vysokej škole výtvarné umenie(Ljubljana, Slovinsko) a je umelcom na voľnej nohe. Žije a pracuje v Ľubľane. Jej teoretická a praktická práca sa zameriava na symetriu ako spojovací pojem medzi umením a vedou. Jej diela boli prezentované na mnohých medzinárodných výstavách a publikované v medzinárodných časopisoch (Leonardo Journal, Leonardo on-line).

M.T. Kraszek na svojej výstave „Kaleidoskopické vône“, Ľubľana, 2005

Umelecká tvorba Matyushky Teija Kraszek je spojená s rôznymi druhmi symetrie, Penroseovými dlaždicami a kosoštvorcami, kvázikryštálmi, zlatým rezom ako hlavným prvkom symetrie, Fibonacciho číslami atď. Pomocou reflexie, predstavivosti a intuície sa snaží nájsť nové vzťahy, nové úrovne štruktúry, nové a odlišné druhy poriadku v týchto prvkoch a štruktúrach. Vo svojich dielach vo veľkej miere využíva počítačovú grafiku ako veľmi užitočné médium na tvorbu umeleckých diel, ktoré je prepojením medzi vedou, matematikou a umením.

Na obr. 11 ukazuje zloženie T.M. Crashek spojený s Fibonacciho číslami. Ak v tomto citeľne nestabilnom zložení zvolíme jedno z Fibonacciho čísel (napríklad 21 cm) pre dĺžku strany Penroseovho diamantu, môžeme pozorovať, ako dĺžky niektorých segmentov v kompozícii tvoria Fibonacciho postupnosť.

Obrázok 11. Matushka Teija Kraszek "Fibonacciho čísla", plátno, 1998.

Veľké množstvo výtvarných kompozícií umelca je venované Shechtmanovým kvázi kryštálom a Penrosovým mriežkam (obr. 12).

(a)	(b)

(v)	(G)

Obrázok 12. Svet Theie Kraszekovej: (a) Svet kvázikryštálov. Počítačová grafika, 1996.
(b) Hviezdy. Počítačová grafika, 1998 (c) 10/5. Holst, 1998 (d) Quasicube. Plátno, 1999

V kompozícii Matyushka Teija Kraszek a Clifford Pickover „Biogenesis“, 2005 (obr. 13) je prezentovaný desaťuholník pozostávajúci z Penroseových kosoštvorcov. Dá sa pozorovať vzťah medzi Petrousovými diamantmi; každé dva susedné Penroseove diamanty tvoria päťuholníkovú hviezdu.

Obrázok 13. Matushka Theia Kraszek a Clifford Pickover. Biogenéza, 2005.

na obrázku Double Star GA(Obrázok 14) vidíme, ako Penroseove dlaždice do seba zapadajú, aby vytvorili dvojrozmernú reprezentáciu potenciálne hyperdimenzionálneho objektu s desaťuholníkovou základňou. Pri zobrazovaní obrazu umelec použil metódu tvrdých hrán, ktorú navrhol Leonardo da Vinci. Práve tento spôsob zobrazenia umožňuje vidieť v projekcii obrazu do roviny veľké množstvo päťuholníkov a pentaklov, ktoré sú tvorené priemetmi jednotlivých hrán Penroseových kosoštvorcov. Navyše v projekcii obrazu na rovinu vidíme desaťuholník tvorený hranami 10 susedných Penrosových kosoštvorcov. V podstate na tomto obrázku Matyushka Teija Kraszek našla nový pravidelný mnohosten, ktorý dosť možno naozaj v prírode existuje.

Obrázok 14. Matushka Teia Kraszek. Double Star GA

V kompozícii Crasheka „Hviezdy pre Donalda“ (obr. 15) môžeme sledovať nekonečnú interakciu Penroseových kosoštvorcov, pentagramov, päťuholníkov, klesajúcich smerom k centrálnemu bodu kompozície. Pomery zlatého rezu sú reprezentované mnohými rôznymi spôsobmi na rôznych mierkach.

Obrázok 15. Matyushka Teija Kraszek "Hviezdy pre Donalda", počítačová grafika, 2005.

Umelecké kompozície Matyushky Teija Kraszeka vzbudili veľkú pozornosť predstaviteľov vedy a umenia. Jej umenie sa stotožňuje s umením Mauritsa Eschera a slovinskú umelkyňu nazývajú „Východoeurópsky Escher“ a „slovinský dar“ svetovému umeniu.

Stakhov A.P. "Da Vinciho kód", platónske a archimedovské pevné látky, kvázikryštály, fullerény, Penroseove mriežky a umelecký svet Matyushky Teija Kraszeka // "Akadémia trinitárstva", M., El No. 77-6567, publ. 12561, 07.11. 2005

Úvod

Tento kurz je navrhnutý tak, aby:

1) upevňovať, prehlbovať a rozširovať teoretické vedomosti v oblasti metód modelovania plôch a objektov, praktické zručnosti a zručnosti softvérovej implementácie metód;

2) zlepšiť zručnosti samostatnej práce;

3) rozvíjať schopnosť formulovať úsudky a závery, formulovať ich logicky a presvedčivo.

Pevné látky Platóna

Platónove telesá sú konvexné mnohosteny, ktorých všetky steny sú pravidelné mnohouholníky. Všetky polyedrické uhly pravidelného mnohostenu sú zhodné. Ako už vyplýva z výpočtu súčtu plochých uhlov vo vrchole, nie je viac ako päť konvexných pravidelných mnohostenov. Spôsobom uvedeným nižšie možno dokázať, že existuje presne päť pravidelných mnohostenov (to dokázal Euklides). Sú to pravidelný štvorsten, šesťsten (kocka), osemsten, dvanásťsten a dvadsaťsten. Názvy týchto pravidelných mnohostenov pochádzajú z Grécka. AT doslovný preklad z gréckeho "štvorsten", "oktaedr", "šesťsten", "dvanásťsten", "ikosaedr" znamená: "štvorsten", "osemsten", "šesťsten". dvanásťsten, dvanásťsten.

Tabuľka č.1

Tabuľka číslo 2

Názov:	Polomer opísanej gule	Polomer zapísanej gule
Tetrahedron
Hexahedron
Dodekaedrón
dvadsaťsten

Tetrahedron- štvorsten, ktorého všetky strany sú trojuholníky, t.j. trojuholníková pyramída; pravidelný štvorsten je ohraničený štyrmi rovnostrannými trojuholníkmi. (obr. 1).

Kocka alebo pravidelný šesťsten- správne štvoruholníkový hranol s rovnakými hranami, ohraničené šiestimi štvorcami. (obr. 1).

Octaedron- osemsten; teleso ohraničené ôsmimi trojuholníkmi; pravidelný osemsten je ohraničený ôsmimi rovnostrannými trojuholníkmi; jeden z piatich pravidelných mnohostenov. (obr. 1).

Dodekaedrón- dvanásťsten, teleso ohraničené dvanástimi mnohouholníkmi; pravidelný päťuholník. (obr. 1).

dvadsaťsten- dvadsaťstranné teleso, teleso ohraničené dvadsiatimi mnohouholníkmi; pravidelný dvadsaťsten je ohraničený dvadsiatimi rovnostrannými trojuholníkmi. (obr. 1).

Kocka a osemsten sú duálne, t.j. sa získajú jeden od druhého, ak sa ťažiská plôch jednej berú ako vrcholy druhej a naopak. Dvanásťsten a dvadsaťsten sú podobne duálne. Štvorsten je duálny sám osebe. Pravidelný dvanásťsten sa získa z kocky zostrojením „striech“ na jej stenách (Euklidova metóda), vrcholy štvorstenu sú ľubovoľné štyri vrcholy kocky, ktoré nie sú v pároch susediace pozdĺž hrany. Takto sa z kocky získajú všetky ostatné pravidelné mnohosteny. Už samotný fakt existencie iba piatich skutočne pravidelných mnohostenov je úžasný – veď v rovine je nekonečne veľa pravidelných mnohouholníkov!

Všetky pravidelné mnohosteny boli známe v starovekom Grécku a je im venovaná 13. kniha Euklidových „Počiatkov“. Nazývajú sa aj telá Platóna, pretože. zaujímali dôležité miesto v Platónovom filozofickom koncepte štruktúry vesmíru. Štyri mnohosteny v ňom zosobnili štyri esencie alebo „prvky“. Štvorsten symbolizoval oheň, pretože. jeho vrchol smeruje nahor; dvadsaťsten? voda, pretože on je najviac „upravený“; kocka - zem, ako najviac "stabilná"; osemsten? vzduch, ako najviac „vzdušný“. Piaty mnohosten, dvanásťsten, stelesňoval „všetko, čo existuje“, symbolizoval celý vesmír a bol považovaný za hlavný.

Starí Gréci považovali za základ vesmíru harmonické vzťahy, preto boli štyri živly spojené takým pomerom: zem / voda = vzduch / oheň.

V súvislosti s týmito orgánmi by bolo vhodné povedať, že prvá sústava prvkov, ktorá zahŕňala štyri prvky? zem, voda, vzduch a oheň – kanonizoval ho Aristoteles. Tieto prvky zostali po mnoho storočí štyrmi základnými kameňmi vesmíru. Je celkom možné ich stotožniť so štyrmi nám známymi stavmi hmoty – pevným, kvapalným, plynným a plazmovým.

Významné miesto zaujímali pravidelné mnohosteny v systéme harmonickej štruktúry sveta od I. Keplera. Celá tá istá viera v harmóniu, krásu a matematicky pravidelnú štruktúru vesmíru priviedla I. Keplera k myšlienke, že keďže existuje päť pravidelných mnohostenov, zodpovedá im iba šesť planét. Podľa jeho názoru sú sféry planét navzájom prepojené platónskymi telesami, ktoré sú do nich vpísané. Keďže pre každý pravidelný mnohosten sa stredy vpísanej a opísanej gule zhodujú, celý model bude mať jeden stred, v ktorom sa bude nachádzať Slnko.

Po obrovskej výpočtovej práci publikoval I. Kepler v roku 1596 výsledky svojho objavu v knihe "Tajomstvo vesmíru". Vpisuje kocku do sféry obežnej dráhy Saturna, do kocky? sféra Jupitera, sféra Jupitera - štvorsten a tak ďalej postupne do seba zapadajú sféra Marsu? dvanásťsten, guľa zeme? dvadsaťsten, sféra Venuše? osemsten, sféra Merkúra. Zdá sa, že tajomstvo vesmíru je otvorené.

Dnes možno s istotou povedať, že vzdialenosti medzi planétami nesúvisia so žiadnym mnohostenom. Je však možné, že bez „Tajomstiev vesmíru“, „Harmónie sveta“ od I. Keplera, pravidelných mnohostenov by neexistovali tri slávne zákony I. Keplera, ktoré zohrávajú dôležitú úlohu pri opise pohybu planét.

Kde inde môžete vidieť tieto úžasné telá? V knihe nemeckého biológa začiatku minulého storočia E. Haeckela „Krása foriem v prírode“ sa možno dočítať tieto riadky: „Príroda vo svojom lone živí nepreberné množstvo úžasných tvorov, ktoré ďaleko prevyšujú všetky formy vytvorené ľudským umením v kráse a rozmanitosti." Výtvory prírody v tejto knihe sú krásne a symetrické. Toto je neoddeliteľná vlastnosť prirodzenej harmónie. Ale tu môžete vidieť aj jednobunkové organizmy? feodarii, ktorého tvar presne vyjadruje dvadsaťsten. Čo spôsobilo takú prirodzenú geometrizáciu? Možno preto, že zo všetkých mnohostenov s rovnakým počtom plôch má práve dvadsaťsten najväčší objem a najmenšia plocha povrchy. Táto geometrická vlastnosť pomáha morským mikroorganizmom prekonať tlak vodného stĺpca.

Zaujímavé je aj to, že práve dvadsaťsten sa ukázal byť stredobodom pozornosti biológov pri ich sporoch o tvare vírusov. Vírus nemôže byť dokonale guľatý, ako sa predtým myslelo. Aby určili jeho tvar, vzali rôzne mnohosteny a nasmerovali na ne svetlo v rovnakých uhloch ako prúdenie atómov k vírusu. Ukázalo sa, že iba jeden mnohosten dáva presne rovnaký tieň? dvadsaťsten. Jeho geometrické vlastnosti, ktoré boli uvedené vyššie, umožňujú uloženie genetickej informácie. Pravidelné mnohosteny? najziskovejšie čísla. A príroda to využíva. Kryštály niektorých látok, ktoré poznáme, sú vo forme pravidelných mnohostenov. Kocka teda nesie tvar kryštálov chloridu sodného NaCl, monokryštál hlinito-draselného kamenca (KAlSO4) 2 12H2O má tvar oktaédra, kryštál pyritsulfidu FeS má tvar dvanástnika, síran antimón sodný je štvorsten, bór je dvadsaťsten. Pravidelné mnohosteny definujú tvar kryštálové mriežky niektoré chemikálie.

Pravidelné mnohosteny nám teda odhalili pokusy vedcov priblížiť sa k tajomstvu svetovej harmónie a ukázali neodolateľnú príťažlivosť a krásu týchto geometrických útvarov.

Už v dávnych dobách si ľudia všimli, že niektoré trojrozmerné postavy majú špeciálne vlastnosti. Ide o tzv pravidelné mnohosteny- všetky ich tváre sú rovnaké, všetky uhly vo vrcholoch sú rovnaké. Každá z týchto číslic je stabilná a môže byť vpísaná do gule. Pri všetkej rozmanitosti rôznych tvarov existuje len 5 typov pravidelných mnohostenov (obr. 1).

Tetrahedron- pravidelný štvorsten, steny sú rovnostranné trojuholníky (obr. 1a).

Kocka- správny šesťuholník, tváre sú štvorce (obr. 1b).

Octaedron- pravidelný osemsten, strany sú rovnostranné trojuholníky (obr. 1c).

Dodekaedrón- pravidelný dvanásťsten, steny sú pravidelné päťuholníky (obr. 1d).

dvadsaťsten- pravidelný dvadsaťsten, strany sú rovnostranné trojuholníky (obr. 1e).

Staroveký grécky filozof Platón veril, že každý z pravidelných mnohostenov zodpovedá jednému z 5 základných prvkov. Podľa Platóna kocka zodpovedá zemi, štvorsten ohňu, osemsten vzduchu, dvadsaťsten vode a dvanásťsten éteru. Okrem toho grécki filozofi vyčlenili ďalší primárny prvok – prázdnotu. Zhoduje sa geometrický tvar guľa, do ktorej možno vpísať všetky platónske telesá.

Všetkých šesť prvkov je stavebnými kameňmi vesmíru. Niektoré z nich sú bežné – zem, voda, oheň a vzduch. Dnes je s istotou známe, že pravidelné mnohosteny alebo platónske pevné látky tvoria základ štruktúry kryštálov, molekúl rôznych chemikálií.

Ľudský energetický obal je tiež priestorová konfigurácia. Vonkajšia hranica ľudského energetického poľa je guľa, postava najbližšie k nej je dvanásťsten. Potom sa postavy energetického poľa nahradia v určitom poradí a opakujú sa v rôznych cykloch. Napríklad v molekule DNA sa striedajú dvadsaťsteny a dvanásťsteny.

Zistilo sa, že platónske pevné látky sú schopné mať na človeka priaznivý vplyv. Tieto formy majú schopnosť modifikovať, organizovať energiu v čakrách ľudského tela. Každá kryštalická forma má navyše priaznivý vplyv na čakru, ktorej primárny prvok zodpovedá.

Nerovnováha energií v Muladhare mizne pri použití kocky (prvku zeme), Svadhisthana reaguje na dopad dvadsaťstena (prvku vody), štvorsten (prvok ohňa) priaznivo pôsobí na Manipura, funkcie Anahata sa obnovujú pomocou oktaedrón (element vzduchu). Rovnaký údaj prispieva k normálnemu fungovaniu Vishuddha. Obe horné čakry – Ajna a Sahasrara – sa dajú korigovať dvanásťstenom.

Aby bolo možné využiť vlastnosti platónskych telies, je potrebné tieto obrazce vyrobiť z medeného drôtu (veľkosť od 10 do 30 cm v priemere). Môžete ich nakresliť na papier alebo zlepiť z kartónu, ale účinnejšie sú medené rámy. Modely platónskych telies je potrebné pripevniť k výbežkom zodpovedajúcich čakier a na chvíľu si ľahnúť do hlbokej relaxácie.