Viete, ako vyzerá obyčajný šesťuholník?
Táto otázka nebola položená náhodou. Väčšina žiakov v 11. ročníku na ňu nepozná odpoveď.

Pravidelný šesťuholník je taký, v ktorom sú všetky strany rovnaké a všetky uhly sú tiež rovnaké..

Železný orech. Snehová vločka. Bunka z plástov, v ktorej žijú včely. Molekula benzénu. Čo majú tieto predmety spoločné? - Skutočnosť, že všetky majú pravidelný šesťuholníkový tvar.

Mnoho školákov je stratených, keď vidia úlohy pre pravidelný šesťuholník a veria, že na ich vyriešenie sú potrebné nejaké špeciálne vzorce. Je to tak?

Nakreslite uhlopriečky pravidelného šesťuholníka. Máme šesť rovnostranných trojuholníkov.

Vieme, že oblasť správny trojuholník: .

Potom je plocha pravidelného šesťuholníka šesťkrát väčšia.

Kde je strana pravidelného šesťuholníka.

Všimnite si prosím, že v pravidelnom šesťuholníku je vzdialenosť od jeho stredu k ľubovoľnému z vrcholov rovnaká a rovná sa strane pravidelného šesťuholníka.

To znamená, že polomer kružnice opísanej okolo pravidelného šesťuholníka sa rovná jej strane.
Polomer kruhu vpísaného do pravidelného šesťuholníka sa dá ľahko nájsť.
Je rovnocenný.
Teraz môžete ľahko vyriešiť akékoľvek problémy USE, v ktorých sa objaví pravidelný šesťuholník.

Nájdite polomer kruhu vpísaného do pravidelného šesťuholníka so stranou .

Polomer takéhoto kruhu je .

Odpoveď: .

Aká je strana pravidelného šesťuholníka vpísaného do kruhu s polomerom 6?

Vieme, že strana pravidelného šesťuholníka sa rovná polomeru kružnice opísanej okolo neho.

Téma polygónov sa koná v školské osnovy ale nevenujte tomu dostatočnú pozornosť. Medzitým je to zaujímavé, a to platí najmä pre bežný šesťuholník alebo šesťuholník - koniec koncov, veľa prírodné predmety. Patria sem medové plásty a ďalšie. Táto forma sa veľmi dobre uplatňuje v praxi.

Definícia a konštrukcia

Pravidelný šesťuholník je rovinný útvar, ktorý má šesť strán rovnakej dĺžky a rovnaký počet rovnakých uhlov.

Ak si spomenieme na vzorec pre súčet uhlov mnohouholníka

ukazuje sa, že na tomto obrázku sa rovná 720 °. Keďže všetky uhly obrázku sú rovnaké, je ľahké vypočítať, že každý z nich sa rovná 120 °.

Kreslenie šesťuholníka je veľmi jednoduché, potrebujete len kružidlo a pravítko.

Pokyny krok za krokom budú vyzerať takto:

Ak chcete, môžete to urobiť bez čiary nakreslením piatich kruhov s rovnakým polomerom.

Takto získaný obrazec bude pravidelný šesťuholník, čo možno dokázať nižšie.

Vlastnosti sú jednoduché a zaujímavé

Aby sme pochopili vlastnosti pravidelného šesťuholníka, má zmysel rozdeliť ho na šesť trojuholníkov:

To pomôže v budúcnosti jasnejšie zobraziť jeho vlastnosti, z ktorých hlavné sú:

1. priemer opísanej kružnice;
2. priemer vpísanej kružnice;
3. námestie;
4. obvod.

Opísaný kruh a možnosť výstavby

Je možné opísať kruh okolo šesťuholníka a navyše iba jeden. Keďže tento údaj je správny, môžete to urobiť celkom jednoducho: nakreslite stred z dvoch susedných uhlov vo vnútri. Pretínajú sa v bode O a spolu so stranou medzi nimi tvoria trojuholník.

Uhly medzi stranou šesťuholníka a osou budú každý 60°, takže môžeme s určitosťou povedať, že trojuholník, napríklad AOB, je rovnoramenný. A keďže tretí uhol bude tiež rovný 60 °, je tiež rovnostranný. Z toho vyplýva, že segmenty OA a OB sú rovnaké, čo znamená, že môžu slúžiť ako polomer kruhu.

Potom môžete prejsť na ďalšiu stranu a tiež nakresliť os z uhla v bode C. Ukáže sa ďalší rovnostranný trojuholník a strana AB bude spoločná pre dve naraz a OS bude ďalším polomerom, cez ktorý prechádza ten istý kruh. Takýchto trojuholníkov bude celkovo šesť a budú mať spoločný vrchol v bode O. Ukazuje sa, že bude možné opísať kružnicu a je len jedna a jej polomer sa rovná strane šesťuholníka. :

Preto je možné tento obrazec zostrojiť pomocou kružidla a pravítka.

No, oblasť tohto kruhu bude štandardná:

Vpísaný kruh

Stred opísanej kružnice sa zhoduje so stredom vpísanej kružnice. Aby sme si to overili, môžeme nakresliť kolmice z bodu O na strany šesťuholníka. Budú to výšky tých trojuholníkov, ktoré tvoria šesťuholník. A v rovnoramennom trojuholníku je výška stredom vzhľadom na stranu, na ktorej spočíva. Táto výška teda nie je nič iné ako kolmica, ktorá je polomerom vpísanej kružnice.

Výška rovnostranného trojuholníka sa vypočíta jednoducho:

h²=a²-(a/2)²= a²3/4, h=a(√3)/2

A keďže R=a a r=h, ukázalo sa, že

r=R(√3)/2.

Vpísaná kružnica teda prechádza stredmi strán pravidelného šesťuholníka.

Jeho oblasť bude:

S = 3πa²/4,

teda tri štvrtiny z popísaného.

Obvod a plocha

S obvodom je všetko jasné, toto je súčet dĺžok strán:

P = 6a, alebo P = 6R

Ale plocha sa bude rovnať súčtu všetkých šiestich trojuholníkov, na ktoré možno šesťuholník rozdeliť. Pretože plocha trojuholníka sa počíta ako polovica súčinu základne a výšky, potom:

S \u003d 6 (a / 2) (a (√3) / 2) \u003d 6a² (√3) / 4 \u003d 3a² (√3) / 2 alebo

S=3R2(√3)/2

Tí, ktorí chcú vypočítať túto oblasť cez polomer vpísanej kružnice, môžu urobiť takto:

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Zábavné stavby

Trojuholník môže byť vpísaný do šesťuholníka, ktorého strany budú spájať vrcholy cez jeden:

Celkovo budú dve a ich vzájomné nasadenie dá Dávidovu hviezdu. Každý z týchto trojuholníkov je rovnostranný. Dá sa to ľahko overiť. Ak sa pozriete na stranu AC, potom patrí do dvoch trojuholníkov naraz - BAC a AEC. Ak v prvom z nich AB \u003d BC a uhol medzi nimi je 120 °, potom každý zo zostávajúcich bude 30 °. Z toho môžeme vyvodiť logické závery:

1. Výška ABC od vrcholu B sa bude rovnať polovici strany šesťuholníka, pretože sin30°=1/2. Tým, ktorí si to chcú overiť, odporúčame, aby prepočítali podľa Pytagorovej vety, tu sa to perfektne hodí.
2. Strana AC sa bude rovnať dvom polomerom vpísanej kružnice, ktorá sa opäť vypočíta pomocou rovnakej vety. To znamená, že AC=2(a(√3)/2)=а(√3).
3. Trojuholníky ABC, CDE a AEF sú rovnaké v dvoch stranách a uhle medzi nimi, a preto nasleduje rovnosť strán AC, CE a EA.

Trojuholníky, ktoré sa navzájom pretínajú, vytvárajú nový šesťuholník, ktorý je tiež pravidelný. Je ľahké dokázať:

Postava teda spĺňa znaky pravidelného šesťuholníka – má ich šesť rovnaké strany a rohy. Z rovnosti trojuholníkov vo vrcholoch je ľahké odvodiť dĺžku strany nového šesťuholníka:

d=а(√3)/3

Bude to tiež polomer kruhu opísaného okolo neho. Polomer zapísaného bude polovica strany veľkého šesťuholníka, čo sa dokázalo pri uvažovaní trojuholníka ABC. Jeho výška je presne polovica strany, takže druhá polovica je polomer kruhu vpísaného do malého šesťuholníka:

r₂=á/2

S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2

Ukazuje sa, že plocha šesťuholníka vo vnútri Dávidovej hviezdy je trikrát menšia ako tá veľká, do ktorej je hviezda vpísaná.

Od teórie k praxi

Vlastnosti šesťuholníka sa veľmi aktívne využívajú v prírode aj v rôznych oblastiach ľudskej činnosti. V prvom rade to platí pre skrutky a matice - klobúky prvého a druhého nie sú nič iné ako obyčajný šesťuholník, ak neberiete do úvahy skosenie. Veľkosť kľúčov zodpovedá priemeru vpísanej kružnice - teda vzdialenosti medzi protiľahlými plochami.

Svoje uplatnenie našiel aj šesťhranné dlaždice. Je to oveľa menej bežné ako štvoruholníkové, ale je pohodlnejšie ho položiť: tri dlaždice sa stretávajú v jednom bode, nie štyri. Kompozície môžu byť veľmi zaujímavé:

Vyrábajú sa aj betónové dlažobné dosky.

Prevalencia šesťuholníka v prírode je vysvetlená jednoducho. Preto je najjednoduchšie umiestniť kruhy a gule tesne na rovinu, ak majú rovnaký priemer. Z tohto dôvodu majú plásty takýto tvar.

Matematické vlastnosti

Znakom pravidelného šesťuholníka je rovnosť jeho strany a polomer opísanej kružnice, pretože

Všetky uhly sú 120°.

Polomer vpísanej kružnice je:

Obvod pravidelného šesťuholníka je:

Plocha pravidelného šesťuholníka sa vypočíta podľa vzorcov:

Šesťuholníky obkladajú rovinu, to znamená, že môžu vyplniť rovinu bez medzier a presahov a tvoria takzvané parkety.

Šesťhranné parkety (šesťhranné parkety)- mozaikovanie roviny s rovnakými pravidelnými šesťuholníkmi umiestnenými vedľa seba.

Šesťhranné parkety sú dvojité až trojuholníkové parkety: ak spojíte stredy susedných šesťuholníkov, nakreslené segmenty poskytnú trojuholníkové parkety. Schläfliho symbol šesťhrannej parkety je (6,3), čo znamená, že tri šesťuholníky sa zbiehajú v každom vrchole parkiet.

Šesťhranné parkety sú najhustejším obalom kruhov v rovine. V dvojrozmernom euklidovskom priestore je najlepšou výplňou umiestniť stredy kruhov na vrcholy parkety tvorené pravidelnými šesťuholníkmi, v ktorých je každý kruh obklopený šiestimi ďalšími. Hustota tohto balenia je . V roku 1940 sa ukázalo, že toto balenie je najhustejšie.

Pravidelný šesťuholník so stranou je univerzálny kryt, to znamená, že každý súbor priemerov môže byť pokrytý pravidelným šesťuholníkom so stranou (Palova lemma).

Pravidelný šesťuholník možno zostrojiť pomocou kružidla a pravítka. Nižšie je uvedená konštrukčná metóda navrhnutá Euklidom v Prvkoch, Kniha IV, Veta 15.

Pravidelný šesťuholník v prírode, technológii a kultúre

znázornite rozdelenie roviny na pravidelné šesťuholníky. Šesťhranný tvar viac ako ostatné vám umožňuje ušetriť na stenách, to znamená, že na plásty s takýmito bunkami sa minie menej vosku.

Niektoré zložité kryštály a molekuly, ako je grafit, majú hexagonálnu kryštálovú mriežku.

Vzniká, keď sú mikroskopické kvapôčky vody v oblakoch priťahované prachovými časticami a zamrznú. V tomto prípade sa objavujúce kryštáliky ľadu, ktoré spočiatku nepresahujú priemer 0,1 mm, padajú a rastú v dôsledku kondenzácie vlhkosti zo vzduchu na nich. V tomto prípade sa tvoria šesťcípe kryštalické formy. Vďaka štruktúre molekúl vody sú medzi lúčmi kryštálu možné len uhly 60° a 120°. Hlavný vodný kryštál má v rovine tvar pravidelného šesťuholníka. Na vrcholy takéhoto šesťuholníka sa potom uložia nové kryštály, na ne sa uložia nové a tak sa získajú rôzne podoby hviezd snehových vločiek.

Vedcom z Oxfordskej univerzity sa podarilo simulovať vznik takéhoto šesťuholníka v laboratóriu. Aby vedci zistili, ako k takémuto útvaru dochádza, umiestnili na otočný tanier 30-litrovú fľašu s vodou. Modelovala atmosféru Saturnu a jeho obvyklú rotáciu. Do vnútra vedci umiestnili malé krúžky, ktoré sa otáčajú rýchlejšie ako nádoba. To vytváralo miniatúrne víry a prúdy, ktoré experimentátori vizualizovali zelenou farbou. Čím rýchlejšie sa prstenec otáčal, tým väčšie boli víry, čo spôsobilo, že blízky prúd sa odchýlil od kruhového tvaru. Autorom experimentu sa tak podarilo získať rôzne tvary – ovály, trojuholníky, štvorce a samozrejme požadovaný šesťuholník.

Prírodná pamiatka asi 40 000 vzájomne prepojených čadičových (zriedkavo andezitových) stĺpov, ktoré vznikli v dôsledku dávnej erupcie sopky. Nachádza sa na severovýchode Severného Írska, 3 km severne od mesta Bushmills.

Vrcholy stĺpov tvoria akýsi odrazový mostík, ktorý začína na úpätí útesu a stráca sa pod hladinou mora. Väčšina stĺpcov je šesťuholníková, hoci niektoré majú štyri, päť, sedem alebo osem rohov. Najvyšší stĺp je vysoký asi 12 metrov.

Asi pred 50-60 miliónmi rokov, v období paleogénu, bola lokalita Antrim vystavená intenzívnej sopečnej činnosti, keď roztavený čadič prenikal cez ložiská a vytváral rozsiahle lávové plošiny. Pri rýchlom ochladzovaní sa objem látky zmenšil (to sa pozoruje, keď blato zaschne). Horizontálne stlačenie malo za následok charakteristickú štruktúru šesťhranných pilierov.

Prierez matice má tvar pravidelného šesťuholníka.

Konštrukcia pravidelného šesťuholníka vpísaného do kruhu. Konštrukcia šesťuholníka je založená na skutočnosti, že jeho strana sa rovná polomeru opísanej kružnice. Preto na stavbu stačí rozdeliť kruh na šesť rovnakých častí a navzájom spojiť nájdené body (obr. 60, a).

Pravidelný šesťuholník môže byť skonštruovaný pomocou T-štvorca a 30X60° štvorca. Na vykonanie tejto konštrukcie vezmeme vodorovný priemer kruhu ako osičku uhlov 1 a 4 (obr. 60, b), postavíme strany 1-6, 4-3, 4-5 a 7-2, po ktorých nakreslite strany 5-6 a 3-2.

Konštrukcia rovnostranného trojuholníka vpísaného do kruhu. Vrcholy takéhoto trojuholníka je možné zostrojiť pomocou kružidla a štvorca s uhlami 30 a 60°, alebo len jedného kružidla.

Zvážte dva spôsoby, ako zostrojiť rovnostranný trojuholník vpísaný do kruhu.

Prvý spôsob(Obr. 61, a) vychádza zo skutočnosti, že všetky tri uhly trojuholníka 7, 2, 3 obsahujú každý 60° a zvislá čiara vedená bodom 7 je výškou aj osou uhla 1. uhol 0-1-2 sa rovná 30°, potom nájdite stranu

1-2 stačí vytvoriť uhol 30 ° v bode 1 a strane 0-1. Za týmto účelom nastavte T-štvorec a štvorec, ako je znázornené na obrázku, nakreslite čiaru 1-2, ktorá bude jednou zo strán požadovaného trojuholníka. Ak chcete postaviť stranu 2-3, nastavte T-štvorec do polohy znázornenej prerušovanými čiarami a nakreslite priamku cez bod 2, ktorá bude definovať tretí vrchol trojuholníka.

Druhý spôsob je založený na skutočnosti, že ak postavíte pravidelný šesťuholník vpísaný do kruhu a potom jeho vrcholy prepojíte cez jeden, dostanete rovnostranný trojuholník.

Na zostrojenie trojuholníka (obr. 61, b) označíme vrcholový bod 1 na priemere a nakreslíme diametrálnu čiaru 1-4. Ďalej od bodu 4 s polomerom rovným D / 2 opíšeme oblúk, kým sa nepretne s kružnicou v bodoch 3 a 2. Výsledné body budú dva ďalšie vrcholy požadovaného trojuholníka.

Konštrukcia štvorca vpísaného do kruhu. Túto konštrukciu je možné vykonať pomocou štvorca a kompasu.

Prvý spôsob je založený na skutočnosti, že uhlopriečky štvorca sa pretínajú v strede opísanej kružnice a sú naklonené k jej osám pod uhlom 45°. Na základe toho nainštalujeme T-štvorec a štvorec s uhlami 45 °, ako je znázornené na obr. 62, a a označte body 1 a 3. Ďalej cez tieto body nakreslíme vodorovné strany štvorca 4-1 a 3-2 pomocou T-štvorca. Potom pomocou T-štvorca pozdĺž nohy štvorca nakreslíme zvislé strany štvorca 1-2 a 4-3.

Druhá metóda je založená na skutočnosti, že vrcholy štvorca pretínajú oblúky kruhu uzavretého medzi koncami priemeru (obr. 62, b). Na koncoch dvoch na seba kolmých priemerov si označíme body A, B a C a z nich s polomerom y opisujeme oblúky, až kým sa nepretnú.

Ďalej cez priesečníky oblúkov nakreslíme pomocné čiary označené na obrázku plnými čiarami. Ich priesečníky s kružnicou budú definovať vrcholy 1 a 3; 4 a 2. Takto získané vrcholy požadovaného štvorca sú zapojené do série.

Konštrukcia pravidelného päťuholníka vpísaného do kruhu.

Na vpísanie pravidelného päťuholníka do kruhu (obr. 63) urobíme nasledujúce konštrukcie.

Na kružnici označíme bod 1 a berieme ho ako jeden z vrcholov päťuholníka. Rozdeľte segment AO na polovicu. Aby sme to dosiahli, s polomerom AO z bodu A opíšeme oblúk, kým sa nepretína s kružnicou v bodoch M a B. Spojením týchto bodov priamkou dostaneme bod K, ktorý potom spojíme s bodom 1. S polomer rovný segmentu A7, opíšeme oblúk z bodu K po priesečník s diametrálnou čiarou AO ​​v bode H. Spojením bodu 1 s bodom H dostaneme stranu päťuholníka. Potom s otvorom kompasu rovným segmentu 1H, po opísaní oblúka od vrcholu 1 po priesečník s kružnicou, nájdeme vrcholy 2 a 5. Po vytvorení pätiek z vrcholov 2 a 5 s rovnakým otvorom kompasu získame zvyšné vrcholy 3 a 4. Nájdené body spájame postupne medzi sebou.

Konštrukcia pravidelného päťuholníka vzhľadom na jeho stranu.

Na zostrojenie pravidelného päťuholníka pozdĺž jeho danej strany (obr. 64) rozdelíme úsečku AB na šesť rovnakých častí. Z bodov A a B s polomerom AB opíšeme oblúky, ktorých priesečníkom vznikne bod K. Cez tento bod a delenie 3 na priamku AB nakreslíme zvislú čiaru.

Dostaneme bod 1-vrchol päťuholníka. Potom s polomerom rovným AB opíšeme od bodu 1 oblúk k priesečníku s oblúkmi predtým nakreslenými z bodov A a B. Priesečníky oblúkov určujú vrcholy päťuholníka 2 a 5. Nájdené spojíme vrcholy v sérii medzi sebou.

Konštrukcia pravidelného sedemuholníka vpísaného do kruhu.

Nech je daný kruh s priemerom D; treba do nej vpísať pravidelný sedemuholník (obr. 65). Rozdeľte vertikálny priemer kruhu na sedem rovnakých častí. Z bodu 7 s polomerom rovným priemeru kružnice D opíšeme oblúk, kým sa nepretne s pokračovaním vodorovného priemeru v bode F. Bod F sa nazýva pól mnohouholníka. Ak vezmeme bod VII ako jeden z vrcholov sedemuholníka, nakreslíme lúče z pólu F cez párne dieliky zvislého priemeru, ktorých priesečník s kružnicou určí vrcholy VI, V a IV sedemuholníka. Aby sme získali vrcholy / - // - /// z bodov IV, V a VI, nakreslíme vodorovné čiary, kým sa nepretnú s kružnicou. Nájdené vrcholy spojíme do série medzi sebou. Sedemuholník môže byť skonštruovaný nakreslením lúčov z pólu F a prostredníctvom nepárnych dielikov vertikálneho priemeru.

Vyššie uvedená metóda je vhodná na vytváranie pravidelných mnohouholníkov s ľubovoľným počtom strán.

Rozdelenie kruhu na ľubovoľný počet rovnakých častí je možné vykonať aj pomocou údajov v tabuľke. 2, ktorý ukazuje koeficienty, ktoré umožňujú určiť rozmery strán pravidelných vpísaných mnohouholníkov.

Najznámejšia postava s viac ako štyrmi rohmi je pravidelný šesťuholník. V geometrii sa často používa pri problémoch. A v živote presne toto majú medové motúzy na reze.

Ako sa líši od nesprávneho?

Po prvé, šesťuholník je postava so 6 vrcholmi. Po druhé, môže byť konvexné alebo konkávne. Prvý sa líši tým, že štyri vrcholy ležia na jednej strane priamky vedenej cez ostatné dva.

Po tretie, pravidelný šesťuholník sa vyznačuje tým, že všetky jeho strany sú rovnaké. Okrem toho má každý roh obrázku rovnakú hodnotu. Na určenie súčtu všetkých jeho uhlov budete musieť použiť vzorec: 180º * (n - 2). Tu n je počet vrcholov obrázku, to znamená 6. Jednoduchý výpočet dáva hodnotu 720º. Takže každý uhol je 120 stupňov.

Pri každodenných činnostiach sa v snehovej vločke a orechu nachádza pravidelný šesťuholník. Chemici to vidia dokonca aj v molekule benzénu.

Aké vlastnosti potrebujete vedieť pri riešení problémov?

K tomu, čo je uvedené vyššie, treba dodať:

• uhlopriečky obrázku pretiahnuté stredom ho rozdeľujú na šesť trojuholníkov, ktoré sú rovnostranné;
• strana pravidelného šesťuholníka má hodnotu, ktorá sa zhoduje s polomerom kružnice opísanej okolo nej;
• pomocou takejto postavy je možné vyplniť rovinu a medzi nimi nebudú žiadne medzery a žiadne prekrytia.

Zavedený zápis

Tradične sa strana pravidelného geometrického útvaru označuje latinským písmenom „a“. Na riešenie problémov je potrebná aj plocha a obvod, to sú S a P. Kruh je vpísaný do pravidelného šesťuholníka alebo je okolo neho opísaný. Potom sa zadajú hodnoty pre ich polomery. Označujú sa písmenami r a R.

V niektorých vzorcoch sa objavuje vnútorný uhol, polobvod a apotém (čo je kolmica na stred ktorejkoľvek strany od stredu mnohouholníka). Používajú sa pre ne písmená: α, p, m.

Vzorce, ktoré opisujú tvar

Na výpočet polomeru vpísanej kružnice potrebujete toto: r= (a* √3) / 2 a r = m. To znamená, že rovnaký vzorec bude platiť pre apotém.

Keďže obvod šesťuholníka je súčtom všetkých strán, určíme ho takto: P = 6 * a. Vzhľadom na to, že strana sa rovná polomeru opísanej kružnice, pre obvod existuje taký vzorec pre pravidelný šesťuholník: P \u003d 6 * R. Z toho, ktorý je daný pre polomer vpísanej kružnice, vzťah medzi a a r je odvodené. Potom má vzorec nasledujúci tvar: Р = 4 r * √3.

Pre oblasť pravidelného šesťuholníka by sa to mohlo hodiť: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.

Úlohy

č. 1. Podmienka. Pravidelný šesťhranný hranol, ktorého každá hrana sa rovná 4 cm, je v ňom vpísaný valec, ktorého objem je potrebné určiť.

Riešenie. Objem valca je definovaný ako súčin plochy základne a výšky. Ten sa zhoduje s okrajom hranola. A rovná sa strane pravidelného šesťuholníka. To znamená, že výška valca je tiež 4 cm.

Ak chcete zistiť oblasť jeho základne, musíte vypočítať polomer kruhu vpísaného do šesťuholníka. Vzorec na to je uvedený vyššie. Takže r = 2√3 (cm). Potom plocha kruhu: S \u003d π * r 2 \u003d 3,14 * (2√3) 2 \u003d 37,68 (cm 2).

Odpoveď. V \u003d 150,72 cm 3.

č. 2. Podmienka. Vypočítajte polomer kruhu, ktorý je vpísaný do pravidelného šesťuholníka. Je známe, že jeho strana je √3 cm Aký bude jeho obvod?

Riešenie. Táto úloha vyžaduje použitie dvoch z vyššie uvedených vzorcov. Okrem toho sa musia použiť bez akejkoľvek úpravy, stačí nahradiť hodnotu strany a vypočítať.

Polomer vpísanej kružnice je teda 1,5 cm, pre obvod je správna nasledujúca hodnota: 6√3 cm.

Odpoveď. r = 1,5 cm, Р = 6√3 cm.

č. 3. Podmienka. Polomer kružnice opísanej je 6 cm Akú hodnotu bude mať v tomto prípade strana pravidelného šesťuholníka?

Riešenie. Zo vzorca pre polomer kruhu vpísaného do šesťuholníka sa dá ľahko získať ten, podľa ktorého sa musí strana vypočítať. Je jasné, že polomer sa vynásobí dvomi a vydelí odmocninou z troch. Je potrebné zbaviť sa iracionality v menovateli. Preto má výsledok akcií nasledujúcu formu: (12 √3) / (√3 * √3), to znamená 4√3.

Odpoveď. a = 4√3 cm.