KAPITOLA III.
PARALELNÉ ČIARY

§ 35. ZNAKY PARALELY DVOCH PRIAMYCH ČIAR.

Veta, že dve kolmice k jednej priamke sú rovnobežné (§ 33), dáva znamenie, že dve priamky sú rovnobežné. Môžete vybrať viac spoločné znaky rovnobežnosť dvoch čiar.

1. Prvý znak paralelizmu.

Ak sú v priesečníku dvoch priamok s treťou vnútorné uhly ležiace naprieč rovnaké, potom sú tieto priamky rovnobežné.

Nech priamky AB a CD pretínajú priamku EF a / 1 = / 2. Vezmite bod O - stred segmentu KL sečnice EF (obr. 189).

Pustime kolmicu OM z bodu O na priamku AB a pokračujeme v nej, kým sa nepretne s priamkou CD, AB_|_MN. Dokážme, že CD_|_MN.
Za týmto účelom zvážte dva trojuholníky: MOE a NOK. Tieto trojuholníky sú si navzájom rovné. Naozaj: / 1 = / 2 podmienkou vety; OK = OL - podľa konštrukcie;
/ MOL = / NOK ako zvislé rohy. Teda strana a dva k nej priľahlé uhly jedného trojuholníka sú rovnaké ako strana a dva k nej priľahlé uhly iného trojuholníka; v dôsledku toho /\ MOL = /\ NOK, a teda
/ LMO = / no ale / LMO je priamy, teda a / KNO je tiež priamy. Čiary AB a CD sú teda kolmé na tú istú čiaru MN, teda sú rovnobežné (§ 33), čo sa malo dokázať.

Poznámka. Priesečník priamok MO a CD možno určiť otočením trojuholníka MOL okolo bodu O o 180°.

2. Druhý znak paralelizmu.

Pozrime sa, či sú priamky AB a CD rovnobežné, ak v priesečníku ich tretej priamky EF sú príslušné uhly rovnaké.

Nech sú niektoré zodpovedajúce uhly rovnaké, napr / 3 = / 2 (dev. 190);
/ 3 = / 1, pretože rohy sú vertikálne; znamená, / 2 budú rovnaké / 1. Ale uhly 2 a 1 sú vnútorné priečne uhly a už vieme, že ak sú v priesečníku dvoch priamok treťou vnútorné priečne ležiace uhly rovnaké, potom sú tieto priamky rovnobežné. Preto AB || CD.

Ak sú v priesečníku dvoch čiar tretej zodpovedajúce uhly rovnaké, potom sú tieto dve čiary rovnobežné.

Na tejto vlastnosti je založená konštrukcia rovnobežných čiar pomocou pravítka a rysovacieho trojuholníka. Toto sa robí nasledovne.

Pripevníme trojuholník k pravítku, ako je znázornené na obrázku 191. Trojuholník posunieme tak, aby sa jedna z jeho strán posúvala po pravítku a nakreslíme niekoľko priamych čiar pozdĺž ktorejkoľvek inej strany trojuholníka. Tieto čiary budú rovnobežné.

3. Tretí znak rovnobežnosti.

Uvedomme si, že na priesečníku dvoch priamok AB a CD treťou priamkou je súčet všetkých vnútorných jednostranných uhlov rovný 2. d(alebo 180°). Budú v tomto prípade priamky AB a CD rovnobežné (obr. 192).

Nechaj / 1 a / 2 vnútorné jednostranné uhly a pridajte až 2 d.
ale / 3 + / 2 = 2d ako susedné uhly. v dôsledku toho / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Odtiaľ / 1 = / 3, pričom tieto rohy ležia vo vnútri priečne. Preto AB || CD.

Ak sú na priesečníku dvoch priamok tretina, súčet vnútorných jednostranných uhlov sa rovná 2 d, potom sú tieto dve čiary rovnobežné.

Cvičenie.

Dokážte, že čiary sú rovnobežné:
a) ak sú vonkajšie priečne uhly rovnaké (obr. 193);
b) ak súčet vonkajších jednostranných uhlov je 2 d(čert 194).

Dva uhly sa nazývajú vertikálne, ak strany jedného uhla sú predĺžením strán druhého uhla.

Na obrázku sú znázornené rohy 1 a 3 , ako aj uhly 2 a 4 - vertikálny. Rohový 2 susedí s oboma uhlami 1 a s uhlom 3. Podľa majetku priľahlé rohy 1 +2 = 1800 a 3 +2 = 1800. Odtiaľto dostaneme: 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. Teda miera miery uhlov 1 a 3 sú si rovné. Z toho vyplýva, že samotné uhly sú rovnaké. Vertikálne uhly sú teda rovnaké.

2. Znaky rovnosti trojuholníkov.

Ak sa dve strany a uhol medzi nimi jedného trojuholníka rovná dvom stranám a uhol medzi nimi iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

Ak sa strana a dva susedné uhly jedného trojuholníka rovnajú jednej strane a dvom susedným uhlom iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

3. Ak sa tri strany jedného trojuholníka rovnajú trom stranám iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky rovnaké.

1 znak rovnosti trojuholníkov:

Zvážte trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1, v ktorých sú AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, uhly A a A 1 rovnaké. Dokážme, že ABC=A 1 B 1 C 1 .
Pretože (y) A \u003d (y) A 1, potom trojuholník ABC možno položiť na trojuholník A 1 B 1 C 1 tak, že vrchol A je zarovnaný s vrcholom A1 a strany AB a AC sú prekryté, v tomto poradí na lúčoch A1B1 a A1C1. Pretože AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, strana AB bude kombinovaná so stranou A 1 B 1 a strana AC - so stranou A 1 C 1; najmä body B a B1, C a C1 sa budú zhodovať. Preto budú strany BC a B 1 C 1 zarovnané. Takže trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1 sú úplne kompatibilné, čo znamená, že sú rovnaké. CTD

3. Veta o osi rovnoramenného trojuholníka.

V rovnoramennom trojuholníku je stred pripojená k základni stred a výška.

Vráťme sa k obrázku, v ktorom ABC je rovnoramenný trojuholník so základňou BC, AD je jeho stred.

Z rovnosti trojuholníkov ABD a ACD (podľa 2. kritéria pre rovnosť trojuholníkov: AD je spoločný; uhly 1 a 2 sú rovnaké, pretože stred AD; AB=AC, keďže trojuholník je rovnoramenný) vyplýva, že BD = DC a 3 = 4. Rovnosť BD = DC znamená, že bod D je stredom strany BC a teda AD je stredom trojuholníka ABC. Keďže uhly 3 a 4 susedia a sú si navzájom rovné, sú to pravé uhly. Preto je úsečka AO tiež výškou trojuholníka ABC. CHTD.

4. Ak sú čiary rovnobežné -> uhol…. (voliteľné)

5. Ak sú uhly ... ..-> čiary rovnobežné (voliteľné)

Ak sú v priesečníku dvoch čiar sečnice zodpovedajúce uhly rovnaké, potom sú čiary rovnobežné.

Nech sú v priesečníku priamok a a b sečny s príslušnými uhlami rovnaké, napríklad 1=2.

Pretože uhly 2 a 3 sú vertikálne, potom 2=3. Z týchto dvoch rovností vyplýva, že 1=3. Ale uhly 1 a 3 sú krížové, takže priamky a a b sú rovnobežné. CHTD.

6. Veta o súčte uhlov trojuholníka.

Súčet uhlov trojuholníka je 1800.

Uvažujme ľubovoľný trojuholník ABC a dokážte, že A+B+C=180 0 .

Vedieme priamku a cez vrchol B rovnobežnú so stranou AC. Uhly 1 a 4 sú priečne ležiace uhly v priesečníku rovnobežiek a a AC sečnicou AB a uhly 3 a 5 sú priečne ležiace uhly v priesečníku tých istých rovnobežiek sečnicou BC. Preto (1)4=1; 5 = 3.

Je zrejmé, že súčet uhlov 4, 2 a 5 sa rovná priamemu uhlu s vrcholom B, t.j. 4+2+5=1800. Ak teda vezmeme do úvahy rovnosti (1), dostaneme: 1+2+3=180 0 alebo A+B+C=180 0 .

7. Znamienko rovnosti pravouhlých trojuholníkov.

1. Prvý znak paralelizmu.

Ak sú v priesečníku dvoch priamok s treťou vnútorné uhly ležiace naprieč rovnaké, potom sú tieto priamky rovnobežné.

Nech priamky AB a CD pretína priamka EF a ∠1 = ∠2. Zoberme si bod O - stred segmentu KL sečnice EF (obr.).

Prepustíme kolmicu OM z bodu O na priamku AB a pokračujeme v nej, kým sa nepretne s priamkou CD, AB ⊥ MN. Dokážme, že aj CD ⊥ MN.

Za týmto účelom zvážte dva trojuholníky: MOE a NOK. Tieto trojuholníky sú si navzájom rovné. Skutočne: ∠1 = ∠2 podľa hypotézy vety; OK = OL - podľa konštrukcie;

∠MOL = ∠NOK ako vertikálne uhly. Teda strana a dva k nej priľahlé uhly jedného trojuholníka sú rovnaké ako strana a dva k nej priľahlé uhly iného trojuholníka; preto ΔMOL = ΔNOK, a teda ∠LMO = ∠KNO,
ale ∠LMO je priame, teda ∠KNO je tiež priame. Čiary AB a CD sú teda kolmé na tú istú priamku MN, teda sú rovnobežné, čo sa malo dokázať.

Poznámka. Priesečník priamok MO a CD možno určiť otočením trojuholníka MOL okolo bodu O o 180°.

2. Druhý znak paralelizmu.

Pozrime sa, či sú priamky AB a CD rovnobežné, ak v priesečníku ich tretej priamky EF sú príslušné uhly rovnaké.

Nech sú niektoré zodpovedajúce uhly rovnaké, napríklad ∠ 3 = ∠2 (obr.);

∠3 = ∠1 ako vertikálne uhly; takže ∠2 sa bude rovnať ∠1. Ale uhly 2 a 1 sú vnútorné priečne uhly a už vieme, že ak v priesečníku dvoch priamok s tretinou sú vnútorné priečne ležiace uhly rovnaké, potom sú tieto priamky rovnobežné. Preto AB || CD.

Ak sú v priesečníku dvoch čiar tretej zodpovedajúce uhly rovnaké, potom sú tieto dve čiary rovnobežné.

Na tejto vlastnosti je založená konštrukcia rovnobežných čiar pomocou pravítka a rysovacieho trojuholníka. Toto sa robí nasledovne.

Na pravítko priložíme trojuholník, ako je znázornené na obr. Posunieme trojuholník tak, aby sa jedna jeho strana posúvala pozdĺž pravítka, a nakreslíme niekoľko priamych čiar pozdĺž ktorejkoľvek inej strany trojuholníka. Tieto čiary budú rovnobežné.

3. Tretí znak rovnobežnosti.

Uvedomme si, že na priesečníku dvoch priamok AB a CD treťou priamkou je súčet všetkých vnútorných jednostranných uhlov rovný 2. d(alebo 180°). Budú v tomto prípade priamky AB a CD rovnobežné (obr.).

Nech ∠1 a ∠2 sú jednostranné vnútorné uhly a sčítajte 2 d.

Ale ∠3 + ∠2 = 2 d ako susedné uhly. Preto ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Preto ∠1 = ∠3 a tieto vnútorné uhly sú priečne. Preto AB || CD.

Ak sú na priesečníku dvoch priamok tretina, súčet vnútorných jednostranných uhlov sa rovná 2 d (alebo 180°), potom sú dve čiary rovnobežné.

Znaky rovnobežných čiar:

1. Ak sú v priesečníku dvoch priamok s treťou vnútorné uhly priečneho ležania rovnaké, potom sú tieto čiary rovnobežné.

2. Ak sú v priesečníku dvoch priamok tretej zodpovedajúce uhly rovnaké, potom sú tieto dve priamky rovnobežné.

3. Ak v priesečníku dvoch čiar tretej je súčet vnútorných jednostranných uhlov 180 °, potom sú tieto dve čiary rovnobežné.

4. Ak sú dve čiary rovnobežné s treťou čiarou, potom sú navzájom rovnobežné.

5. Ak sú dve čiary kolmé na tretiu čiaru, potom sú navzájom rovnobežné.

Euklidova axióma paralelizmu

Úloha. Cez bod M mimo priamku AB nakreslite priamku rovnobežnú s priamkou AB.

Pomocou osvedčených teorémov o znamienkach rovnobežnosti priamok možno tento problém vyriešiť rôznymi spôsobmi,

Riešenie. 1. s o s o b (obr. 199).

Nakreslíme MN⊥AB a cez bod M nakreslíme CD⊥MN;

dostaneme CD⊥MN a AB⊥MN.

Na základe vety („Ak sú dve priamky kolmé na tú istú priamku, potom sú rovnobežné.“) sme dospeli k záveru, že СD || AB.

2. s p o s o b (obr. 200).

Nakreslíme MK pretínajúci AB pod ľubovoľným uhlom α a cez bod M nakreslíme priamku EF, tvoriacu uhol EMK s priamkou MK, rovný uhlu a. Na základe vety () sme dospeli k záveru, že EF || AB.

Po vyriešení tohto problému môžeme považovať za dokázané, že cez ktorýkoľvek bod M, mimo priamku AB, je možné nakresliť s ním rovnobežnú priamku. Vzniká otázka, koľko priamok rovnobežných s danou priamkou a prechádzajúcich daným bodom môže existovať?

Prax konštrukcií nám umožňuje predpokladať, že existuje iba jedna takáto čiara, pretože pri starostlivo vykonanom výkrese sa čiary nakreslené rôznymi spôsobmi cez ten istý bod rovnobežne s tou istou čiarou spájajú.

Teoreticky dáva odpoveď na túto otázku takzvaná axióma Euklidovho paralelizmu; je to formulované takto:

Prostredníctvom bodu mimo danej priamky možno nakresliť iba jednu priamku rovnobežnú s touto priamkou.

Na výkrese 201 je bodom O vedená priamka SK rovnobežná s priamkou AB.

Akákoľvek iná priamka prechádzajúca bodom O už nebude rovnobežná s priamkou AB, ale bude ju pretínať.

Axióma prijatá Euklidom vo svojich Prvkoch, ktorá hovorí, že v rovine prechádzajúcej bodom mimo danej priamky možno nakresliť len jednu priamku rovnobežnú s touto priamkou, sa nazýva Euklidova axióma paralelizmu.

Viac ako dvetisíc rokov po Euklidovi sa mnohí matematici pokúšali dokázať tento matematický názor, ale ich pokusy boli vždy neúspešné. Až v roku 1826 veľký ruský vedec, profesor Kazanskej univerzity Nikolaj Ivanovič Lobačevskij dokázal, že s použitím všetkých ostatných Euklidových axióm sa tento matematický výrok nedá dokázať, že ho naozaj treba brať ako axiómu. N. I. Lobačevskij vytvoril nová geometria, ktorá sa na rozdiel od Euklidovej geometrie nazýva Lobačevského geometria.

AB a ODD prekrížená treťou čiarou MN, potom uhly vytvorené v tomto prípade dostanú nasledujúce názvy v pároch:

zodpovedajúce uhly 1 a 5, 4 a 8, 2 a 6, 3 a 7;

vnútorné priečne ležiace rohy 3 a 5, 4 a 6;

vonkajšie priečne ležiace rohy 1 a 7, 2 a 8;

vnútorné jednostranné rohy 3 a 6, 4 a 5;

vonkajšie jednostranné rohy: 1 a 8, 2 a 7.

Takže ∠ 2 = ∠ 4 a ∠ 8 = ∠ 6, ale podľa dokázaného ∠ 4 = ∠ 6.

Preto ∠ 2 = ∠ 8.

3. Príslušné uhly 2 a 6 sú rovnaké, pretože ∠ 2 = ∠ 4 a ∠ 4 = ∠ 6. Tiež sa presvedčíme, že ostatné zodpovedajúce uhly sú rovnaké.

4. Sum vnútorné jednostranné rohy 3 a 6 bude 2d, pretože súčet priľahlé rohy 3 a 4 sa rovná 2d = 180 0 a ∠ 4 môže byť nahradené rovnakým ∠ 6. Uistite sa tiež, že súčet uhlov 4 a 5 sa rovná 2d.

5. Sum vonkajšie jednostranné rohy bude 2d, pretože tieto uhly sú rovnaké vnútorné jednostranné rohy ako rohy vertikálne.

Z vyššie dokázaného odôvodnenia dostávame inverzné vety.

Keď na priesečníku dvoch čiar ľubovoľnej tretej čiary dostaneme, že:

1. Vnútorné priečne ležiace uhly sú rovnaké;

alebo 2. Vonkajšie priečne ležiace uhly sú rovnaké;

alebo 3. Zodpovedajúce uhly sú rovnaké;

alebo 4. Súčet vnútorných jednostranných uhlov sa rovná 2d = 180 0 ;

alebo 5. Súčet vonkajšej jednostrannej je 2d = 180 0 ,

potom sú prvé dve čiary rovnobežné.

Táto kapitola je venovaná štúdiu rovnobežiek. Toto je názov pre dve priame čiary v rovine, ktoré sa nepretínajú. V prostredí vidíme segmenty rovnobežných línií - sú to dve hrany obdĺžnikového stola, dve hrany knižného obalu, dve tyče trolejbusu atď. Rovnobežné línie zohrávajú v geometrii veľmi dôležitú úlohu. V tejto kapitole sa dozviete, čo sú axiómy geometrie a z čoho pozostáva axióma rovnobežných priamok - jedna z najznámejších axióm geometrie.

V časti 1 sme si všimli, že dve čiary majú buď jeden spoločný bod, t. j. pretínajú sa, alebo nemajú spoločný bod, teda nepretínajú sa.

Definícia

Rovnobežnosť priamok a a b je označená takto: a || b.

Obrázok 98 zobrazuje čiary a a b kolmé na čiaru c. V časti 12 sme stanovili, že takéto priamky aab sa nepretínajú, to znamená, že sú rovnobežné.

Ryža. 98

Spolu s paralelnými čiarami sa často uvažuje paralelné segmenty. Tieto dva segmenty sa nazývajú paralelný ak ležia na rovnobežných líniách. Na obrázku 99 sú segmenty AB a CD rovnobežné (AB || CD) a segmenty MN a CD nie sú rovnobežné. Podobne sa určí rovnobežnosť úsečky a priamky (obr. 99, b), lúča a priamky, úsečky a lúča, dvoch lúčov (obr. 99, c).

Ryža. 99 Znaky rovnobežnosti dvoch čiar

Priame s sa volá sekanta vzhľadom na priamky a a b, ak ich pretína v dvoch bodoch (obr. 100). Na priesečníku čiar a a b tvorí sečna c osem uhlov, ktoré sú na obrázku 100 označené číslami. Niektoré dvojice týchto uhlov majú špeciálne názvy:

prekrížené rohy 3 a 5, 4 a 6;
jednostranné rohy 4 a 5, 3 a 6;
zodpovedajúce uhly: 1 a 5, 4 a 8, 2 a 6, 3 a 7.

Ryža. 100

Zvážte tri znaky rovnobežnosti dvoch čiar spojených s týmito pármi uhlov.

Veta

Dôkaz

Predpokladajme, že v priesečníku priamok a a b sečnicou AB sú ležiace uhly rovnaké: ∠1 = ∠2 (obr. 101, a).

Dokážme, že || b. Ak sú uhly 1 a 2 pravé (obr. 101, b), potom sú priamky a a b kolmé na priamku AB, a teda rovnobežné.

Ryža. 101

Zvážte prípad, keď uhly 1 a 2 nie sú správne.

Zo stredu O segmentu AB nakreslite kolmicu OH na priamku a (obr. 101, c). Na priamke b z bodu B odložíme úsečku VH 1 rovnú úsečke AH, ako je znázornené na obrázku 101, c a nakreslíme úsečku OH 1. Trojuholníky ONA a OH 1 V sú rovnaké na dvoch stranách a uhol medzi nimi (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2), teda ∠3 = ∠4 a ∠5 = ∠6. Z rovnosti ∠3 = ∠4 vyplýva, že bod H 1 leží na pokračovaní lúča OH, t.j. body H, O a H 1 ležia na tej istej priamke a z rovnosti ∠5 = ∠6 je vyplýva, že uhol 6 je priamka (keďže uhol 5 je pravý uhol). Takže priamky a a b sú kolmé na priamku HH 1, teda sú rovnobežné. Veta bola dokázaná.

Veta

Dôkaz

Nech je v priesečníku priamok a a b sečna s príslušnými uhlami rovnaká, napríklad ∠1 = ∠2 (obr. 102).

Ryža. 102

Pretože uhly 2 a 3 sú vertikálne, potom ∠2 = ∠3. Tieto dve rovnosti znamenajú, že ∠1 = ∠3. Ale uhly 1 a 3 sú krížové, takže priamky a a b sú rovnobežné. Veta bola dokázaná.

Veta

Dôkaz

Nech je v priesečníku priamok a a b sečna so súčtom jednostranných uhlov 180°, napríklad ∠1 + ∠4 = 180° (pozri obr. 102).

Keďže uhly 3 a 4 susedia, potom ∠3 + ∠4 = 180°. Z týchto dvoch rovností vyplýva, že priečne uhly 1 a 3 sú rovnaké, takže priamky a a b sú rovnobežné. Veta bola dokázaná.

Praktické spôsoby kreslenia paralelných čiar

Znaky rovnobežiek sú základom spôsobov konštrukcie rovnobežiek pomocou rôznych nástrojov používaných v praxi. Zvážte napríklad metódu konštrukcie rovnobežných čiar pomocou štvorca na kreslenie a pravítka. Aby sme vytvorili priamku prechádzajúcu bodom M a rovnobežnú s danou čiarou a, na priamu čiaru a aplikujeme štvorec kreslenia a na ňu pravítko, ako je znázornené na obrázku 103. Potom posúvaním štvorca pozdĺž pravítka zabezpečí, že bod M bude na strane štvorca a nakreslíme čiaru b. Čiary a a b sú rovnobežné, pretože zodpovedajúce uhly, označené na obrázku 103 písmenami α a β, sú rovnaké.

Ryža. 103 Obrázok 104 zobrazuje spôsob konštrukcie rovnobežných čiar pomocou T-štvorca. Táto metóda sa používa v praxi kreslenia.

Ryža. 104 Podobná metóda sa používa pri vykonávaní stolárskych prác, kde sa na označenie rovnobežných čiar používa úkos (dve drevené dosky pripevnené závesom, obr. 105).

Ryža. 105

Úlohy

186. Na obrázku 106 priamky a a b pretína priamka c. Dokážte, že || b ak:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45° a uhol 7 je trikrát väčší ako uhol 3.

Ryža. 106

187. Podľa obrázku 107 dokážte, že AB || D.E.

Ryža. 107

188. Segmenty AB a CD sa pretínajú v spoločnom strede. Dokážte, že čiary AC a BD sú rovnobežné.

189. Pomocou údajov na obrázku 108 dokážte, že BC || AD.

Ryža. 108

190. Na obrázku 109 AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Dokážte, že DE || AS.

Ryža. 109

191. Úsečka VK je osou trojuholníka ABC. Bodom K sa vedie priamka, ktorá pretína stranu BC v bode M tak, že BM = MK. Dokážte, že čiary KM a AB sú rovnobežné.

192. V trojuholníku ABC je uhol A 40° a uhol ALL susediaci s uhlom ACB je 80°. Dokážte, že os uhla ALL je rovnobežná s priamkou AB.

193. V trojuholníku ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Čiara BD je vedená cez vrchol B tak, že lúč BC je osou uhla ABD. Dokážte, že čiary AC a BD sú rovnobežné.

194. Nakreslite trojuholník. Cez každý vrchol tohto trojuholníka pomocou štvorca a pravítka nakreslite priamku rovnobežnú s opačnou stranou.

195. Nakreslite trojuholník ABC a označte bod D na strane AC. Cez bod D pomocou štvorca a pravítka nakreslite rovné čiary rovnobežné s ostatnými dvoma stranami trojuholníka.