Online kalkulačka.
Riešenie trojuholníkov.
Riešením trojuholníka je nájdenie všetkých jeho šiestich prvkov (t.j. troch strán a troch uhlov) ľubovoľnými tromi danými prvkami, ktoré definujú trojuholník.
Tento matematický program nájde stranu \(c \), uhly \(\alpha \) a \(\beta \) zadané používateľom \(a, b \) a uhol medzi nimi \(\gamma \)
Program nielen dáva odpoveď na problém, ale zobrazuje aj proces hľadania riešenia.
Táto online kalkulačka môže byť užitočná pre študentov stredných škôl všeobecnovzdelávacie školy v príprave na kontrolná práca a skúškach, pri preverovaní vedomostí pred skúškou rodičia na ovládanie riešenia mnohých úloh z matematiky a algebry. Alebo možno je pre vás príliš drahé najať si tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo to len chcete mať hotové čo najskôr? domáca úloha matematika alebo algebra? V tomto prípade môžete využiť aj naše programy s detailným riešením.
Týmto spôsobom môžete viesť svoje vlastné školenia a/alebo školenia vašich mladších bratov alebo sestier, pričom sa zvýši úroveň vzdelania v oblasti úloh, ktoré je potrebné riešiť.
Ak nie ste oboznámení s pravidlami zadávania čísel, odporúčame vám sa s nimi oboznámiť.
Pravidlá pre zadávanie čísel
Čísla je možné nastaviť nielen celé, ale aj zlomkové.
Celé číslo a zlomkové časti v desatinných zlomkoch možno oddeliť buď bodkou alebo čiarkou.
Môžete napríklad zadať desatinné miesta tak 2,5 alebo tak 2,5
Zistilo sa, že niektoré skripty potrebné na vyriešenie tejto úlohy sa nenačítali a program nemusí fungovať.
Možno máte povolený AdBlock.
V takom prípade ho vypnite a obnovte stránku.
Aby sa riešenie zobrazilo, musí byť povolený JavaScript.
Tu je návod, ako povoliť JavaScript vo vašom prehliadači.
Pretože Existuje veľa ľudí, ktorí chcú problém vyriešiť, vaša požiadavka je v rade.
Po niekoľkých sekundách sa riešenie zobrazí nižšie.
Počkaj, prosím sek...
Ak ty si všimol chybu v riešení, potom o tom môžete napísať do Formulára spätnej väzby .
Nezabudni uveďte akú úlohu ty sa rozhodneš čo zadajte do polí.
Naše hry, hádanky, emulátory:
Trochu teórie.
Sínusová veta
Veta
Strany trojuholníka sú úmerné sínusom opačných uhlov:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$
Kosínusová veta
Veta
Nech v trojuholníku ABC AB = c, BC = a, CA = b. Potom
Trojuholníkový bočný štvorec sa rovná súčtuštvorce ostatných dvoch strán mínus dvojnásobok súčinu týchto strán vynásobených kosínusom uhla medzi nimi.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$
Riešenie trojuholníkov
Riešením trojuholníka je nájdenie všetkých jeho šiestich prvkov (t.j. troch strán a troch uhlov) ľubovoľnými tromi danými prvkami, ktoré definujú trojuholník.
Zvážte tri úlohy na riešenie trojuholníka. V tomto prípade použijeme pre strany trojuholníka ABC nasledovné označenie: AB = c, BC = a, CA = b.
Riešenie trojuholníka s dvomi stranami a uhlom medzi nimi
Dané: \(a, b, \uhol C \). Nájsť \(c, \uhol A, \uhol B \)
Riešenie
1. Podľa zákona kosínusov nájdeme \(c\):
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$
3. \(\uhol B = 180^\kruh -\uhol A -\uhol C \)
Riešenie trojuholníka so stranou a susednými uhlami
Dané: \(a, \uhol B, \uhol C \). Nájsť \(\uhol A, b, c \)
Riešenie
1. \(\uhol A = 180^\kruh -\uhol B -\uhol C \)
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$
Riešenie trojuholníka s tromi stranami
Dané: \(a, b, c\). Nájsť \(\uhol A, \uhol B, \uhol C \)
Riešenie
1. Podľa kosínusovej vety dostaneme:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$
2. Podobne nájdeme uhol B.
3. \(\uhol C = 180^\kruh -\uhol A -\uhol B \)
Riešenie trojuholníka, ktorý má dve strany a uhol oproti známej strane
Dané: \(a, b, \uhol A\). Nájsť \(c, \uhol B, \uhol C \)
Riešenie
1. Sínusovou vetou nájdeme \(\sin B \) dostaneme:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$
Zavedieme si zápis: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). V závislosti od čísla D sú možné tieto prípady:
Ak D > 1, takýto trojuholník neexistuje, pretože \(\sin B \) nemôže byť väčšie ako 1
Ak D = 1, existuje jedinečný \(\uhol B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \uhol B = 90^\circ \)
Ak D Ak D 2. \(\uhol C = 180^\kruh -\uhol A -\uhol B \)
3. Pomocou sínusovej vety vypočítame stranu c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$
Pravý trojuholník sa v skutočnosti nachádza takmer na každom rohu. Znalosť vlastností tohto útvaru, ako aj schopnosť vypočítať jeho plochu sa vám nepochybne bude hodiť nielen pri riešení úloh v geometrii, ale aj v životných situáciách.
trojuholníková geometria
V elementárnej geometrii je pravouhlý trojuholník útvar, ktorý pozostáva z troch spojených segmentov, ktoré zvierajú tri uhly (dva ostré a jeden rovný). Pravouhlý trojuholník je originálna postava, ktorá sa vyznačuje množstvom dôležitých vlastností, ktoré tvoria základ trigonometrie. Na rozdiel od obyčajného trojuholníka majú strany obdĺžnikového tvaru svoje vlastné mená:
- Prepona je najdlhšia strana trojuholníka, ktorá je opačná pravý uhol.
- Nohy - segmenty, ktoré tvoria pravý uhol. V závislosti od uvažovaného uhla môže noha k nej priliehať (tvorí tento uhol s preponou) alebo protiľahlá (ležiaca oproti uhlu). Neexistujú žiadne nohy pre iné ako obdĺžnikové trojuholníky.
Je to pomer nôh a prepony, ktorý tvorí základ trigonometrie: sínusy, dotyčnice a sečny sú definované ako pomer strán správny trojuholník.
Pravý trojuholník v realite
Tento údaj sa v skutočnosti bežne používa. Trojuholníky sa používajú v dizajne a technológii, takže výpočet plochy postavy musia vykonať inžinieri, architekti a dizajnéri. Základy štvorstenov alebo hranolov majú tvar trojuholníka - trojrozmerné figúry, ktoré sa dajú ľahko stretnúť v každodennom živote. Okrem toho je štvorec najjednoduchším znázornením „plochého“ pravouhlého trojuholníka v skutočnosti. Štvorec je zámočnícky, kresliaci, stavebný a tesársky nástroj, ktorý používajú na stavbu rohov školáci aj inžinieri.
Oblasť trojuholníka
Námestie geometrický obrazec- toto je kvantifikácia aká veľká časť roviny je ohraničená stranami trojuholníka. Oblasť obyčajného trojuholníka možno nájsť piatimi spôsobmi, pomocou Heronovho vzorca alebo pri výpočtoch s takými premennými, ako je základňa, strana, uhol a polomer vpísanej alebo opísanej kružnice. Najviac jednoduchý vzorec plocha je vyjadrená ako:
kde a je strana trojuholníka, h je jeho výška.
Vzorec na výpočet plochy pravouhlého trojuholníka je ešte jednoduchší:
kde a a b sú nohy.
V práci s našou online kalkulačkou môžete vypočítať plochu trojuholníka pomocou troch párov parametrov:
- dve nohy;
- noha a priľahlý uhol;
- nohu a opačný uhol.
V úlohách alebo každodenných situáciách dostanete rôzne kombinácie premenných, takže táto forma kalkulačky vám umožňuje vypočítať plochu trojuholníka niekoľkými spôsobmi. Pozrime sa na pár príkladov.
Príklady zo života
Obkladačka
Povedzme, že chcete obložiť steny kuchyne keramickým obkladom, ktorý má tvar pravouhlého trojuholníka. Aby ste mohli určiť spotrebu dlaždíc, musíte zistiť plochu jedného prvku obkladu a celkovú plochu povrchu, ktorý sa má ošetriť. Nechajte si spracovať 7 metrov štvorcových. Dĺžka nôh jedného prvku je 19 cm, potom sa plocha dlaždice bude rovnať:
To znamená, že plocha jedného prvku je 24,5 štvorcových centimetrov alebo 0,01805 štvorcových metrov. Keď poznáte tieto parametre, môžete vypočítať, že na dokončenie 7 metrov štvorcových steny budete potrebovať 7 / 0,01805 = 387 obkladových dlaždíc.
školská úloha
Vpustiť školská úloha v geometrii je potrebné nájsť oblasť pravouhlého trojuholníka, pričom vieme, že strana jednej nohy je 5 cm a hodnota opačného uhla je 30 stupňov. Naša online kalkulačka je doplnená ilustráciou zobrazujúcou strany a uhly pravouhlého trojuholníka. Ak strana a = 5 cm, potom jej opačný uhol je uhol alfa, ktorý sa rovná 30 stupňom. Zadajte tieto údaje do formulára kalkulačky a získajte výsledok:
Kalkulačka teda nielen vypočíta plochu daného trojuholníka, ale určí aj dĺžku susedného ramena a prepony, ako aj hodnotu druhého uhla.
Záver
Obdĺžnikové trojuholníky nájdeme v našom živote doslova na každom rohu. Určenie oblasti takýchto figúr vám bude užitočné nielen pri riešení školských úloh v geometrii, ale aj pri každodenných a profesionálnych činnostiach.
Trojuholník sa nazýva pravouhlý, ak jeden z jeho uhlov je 90º. Strana oproti pravému uhlu sa nazýva prepona a ďalšie dve sú nohy.
Na nájdenie uhla v pravouhlom trojuholníku sa používajú niektoré vlastnosti pravouhlých trojuholníkov, a to: skutočnosť, že súčet ostrých uhlov je 90º, a tiež skutočnosť, že oproti nohe, ktorej dĺžka je polovica prepony, leží prepona. uhol rovný 30º.
Rýchla navigácia v článku
Rovnoramenný trojuholník
Jednou z vlastností rovnoramenného trojuholníka je, že dva jeho uhly sú rovnaké. Ak chcete vypočítať hodnoty uhlov pravouhlého rovnoramenného trojuholníka, musíte vedieť, že:
- Pravý uhol je 90°.
- Hodnoty ostrých uhlov sú určené vzorcom: (180º-90º)/2=45º, t.j. uhly α a β sú 45°.
Ak je známa hodnota jedného z ostrých uhlov, druhý možno nájsť podľa vzorca: β=180º-90º-α, alebo α=180º-90º-β. Najčastejšie sa tento pomer používa, ak je jeden z uhlov 60º alebo 30º.
Kľúčové pojmy
Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180°. Keďže jeden uhol je pravý, ostatné dva budú ostré. Ak ich chcete nájsť, musíte vedieť, že:
iné metódy
Hodnoty ostrých uhlov pravouhlého trojuholníka je možné vypočítať tak, že poznáte hodnotu mediánu - čiary vedenej z vrcholu na opačnú stranu trojuholníka a výšky - priamky, ktorá je kolmicou. z pravého uhla do prepony. Nech s je medián nakreslený z pravého uhla do stredu prepony, h je výška. V tomto prípade sa ukazuje, že: 
- sina=b/(2*s); sinp=a/(2*s).
- cosa=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
- sina=h/b; sinβ=h/a.
Dve strany
Ak sú v pravouhlom trojuholníku známe dĺžky prepony a jednej z nôh alebo dvoch strán, na nájdenie hodnôt ostrých uhlov sa použijú trigonometrické identity:
- a = arcsín (a/c), p = arcsín (b/c).
- a=arcos(b/c), p=arcos(a/c).
- a=arctg(a/b), p=arctg(b/a).
Prvým z nich sú segmenty, ktoré susedia s pravým uhlom, a prepona je najdlhšia časť obrázku a je oproti 90 stupňovému uhlu. Pytagorov trojuholník je taký, ktorého strany sú rovnaké prirodzené čísla; ich dĺžky sa v tomto prípade nazývajú „pytagorejská trojka“.
egyptský trojuholník
Aby sa súčasná generácia naučila geometriu v podobe, v akej sa vyučuje na škole teraz, vyvíja sa už niekoľko storočí. Základným bodom je Pytagorova veta. Strany obdĺžnika sú známe celému svetu) sú 3, 4, 5.
Len málo ľudí nepozná frázu „ Pytagorove nohavice rovnaký vo všetkých smeroch." V skutočnosti však veta znie takto: c 2 (druhá mocnina prepony) \u003d a 2 + b 2 (súčet štvorcov nôh).
Medzi matematikmi sa trojuholník so stranami 3, 4, 5 (cm, m atď.) nazýva „egyptský“. Je zaujímavé, že to, čo je vpísané na obrázku, sa rovná jednej. Názov vznikol okolo 5. storočia pred Kristom, keď grécki filozofi cestovali do Egypta.
Pri stavbe pyramíd použili architekti a geodeti pomer 3:4:5. Takéto štruktúry sa ukázali byť proporcionálne, príjemné na pohľad a priestranné a tiež sa zriedka zrútili.
Na zostrojenie pravého uhla použili stavitelia lano, na ktorom bolo uviazaných 12 uzlov. V tomto prípade sa pravdepodobnosť zostrojenia pravouhlého trojuholníka zvýšila na 95 %.
Znaky rovnosti čísel
- Ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku a veľká strana, ktoré sa rovnajú rovnakým prvkom v druhom trojuholníku, sú nesporným znakom rovnosti čísel. Ak vezmeme do úvahy súčet uhlov, je ľahké dokázať, že aj druhé ostré uhly sú rovnaké. V druhom kritériu sú teda trojuholníky identické.
- Keď sú dve figúry na seba navrstvené, otáčame ich tak, že po spojení z nich vznikne jeden rovnoramenný trojuholník. Podľa svojej vlastnosti sú strany, alebo skôr prepony, rovnaké, ako aj uhly na základni, čo znamená, že tieto čísla sú rovnaké.
Prvým znakom je veľmi ľahké dokázať, že trojuholníky sú skutočne rovnaké, hlavné je, že dve menšie strany (t. j. nohy) sú si navzájom rovné.
Trojuholníky budú rovnaké podľa znaku II, ktorého podstatou je rovnosť nohy a ostrý uhol.
Vlastnosti pravouhlého trojuholníka
Výška, ktorá bola znížená z pravého uhla, rozdeľuje postavu na dve rovnaké časti.
Strany pravouhlého trojuholníka a jeho stred sa dajú ľahko rozpoznať podľa pravidla: stredná prepona, ktorá je znížená na preponu, sa rovná jej polovici. dá sa zistiť tak z Heronovho vzorca, ako aj z tvrdenia, že sa rovná polovici súčinu nôh.
V pravouhlom trojuholníku platia vlastnosti uhlov 30 o, 45 o a 60 o.
- Pri uhle 30 ° by sa malo pamätať na to, že opačná noha sa bude rovnať 1/2 najväčšej strany.
- Ak je uhol 45 o, potom druhý ostrý roh aj 45 o. To naznačuje, že trojuholník je rovnoramenný a jeho nohy sú rovnaké.
- Vlastnosťou uhla 60 stupňov je, že tretí uhol má mieru 30 stupňov.
Oblasť sa dá ľahko nájsť jedným z troch vzorcov:
- cez výšku a stranu, na ktorej klesá;
- podľa Heronovho vzorca;
- po stranách a uhol medzi nimi.
Strany pravouhlého trojuholníka, alebo skôr nohy, sa zbiehajú s dvoma výškami. Aby sme našli tretí, je potrebné zvážiť výsledný trojuholník a potom pomocou Pytagorovej vety vypočítať požadovanú dĺžku. Okrem tohto vzorca existuje aj pomer dvojnásobku plochy a dĺžky prepony. Najbežnejší výraz medzi študentmi je prvý, pretože vyžaduje menej výpočtov.
Vety, ktoré platia pre pravouhlý trojuholník
Geometria pravouhlého trojuholníka zahŕňa použitie viet, ako sú:
V matematike sa pri zvažovaní trojuholníka nevyhnutne venuje veľká pozornosť jeho stranám. Pretože tieto prvky tvoria tento geometrický obrazec. Strany trojuholníka sa používajú na riešenie mnohých geometrických problémov.
Definícia pojmu
Úsečky spájajúce tri body, ktoré neležia na rovnakej priamke, sa nazývajú strany trojuholníka. Uvažované prvky obmedzujú časť roviny, ktorá sa nazýva vnútro daného geometrického útvaru.
Matematici vo svojich výpočtoch umožňujú zovšeobecnenia týkajúce sa strán geometrických útvarov. Takže v degenerovanom trojuholníku ležia tri jeho segmenty na jednej priamke.
Charakteristika konceptu
Výpočet strán trojuholníka zahŕňa určenie všetkých ostatných parametrov obrázku. Keď poznáte dĺžku každého z týchto segmentov, môžete ľahko vypočítať obvod, plochu a dokonca aj uhly trojuholníka.
Ryža. 1. Ľubovoľný trojuholník.
Sčítaním strán tohto obrázku môžete určiť obvod.
P=a+b+c, kde a, b, c sú strany trojuholníka
A ak chcete nájsť oblasť trojuholníka, mali by ste použiť vzorec Heron.
$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$
kde p je semiperimeter.
Uhly daného geometrického útvaru sa vypočítajú pomocou kosínusovej vety.
$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$
Význam
Pomerom strán trojuholníka sú vyjadrené niektoré vlastnosti tohto geometrického útvaru:
- Oproti najmenšej strane trojuholníka je jeho najmenší uhol.
- Vonkajší uhol uvažovaného geometrického útvaru sa získa predĺžením jednej zo strán.
- Protiľahlé rovnaké uhly trojuholníka sú rovnaké strany.
- V každom trojuholníku je jedna zo strán vždy väčšia ako rozdiel ostatných dvoch segmentov. A súčet akýchkoľvek dvoch strán tohto čísla je väčší ako tretia.
Jedným zo znakov rovnosti dvoch trojuholníkov je pomer súčtu všetkých strán geometrického útvaru. Ak sú tieto hodnoty rovnaké, trojuholníky budú rovnaké.
Niektoré vlastnosti trojuholníka závisia od jeho typu. Preto by ste mali najprv zvážiť veľkosť strán alebo uhlov tohto obrázku.
Tvorba trojuholníkov
Ak sú dve strany uvažovaného geometrického útvaru rovnaké, potom sa tento trojuholník nazýva rovnoramenný.
Ryža. 2. Rovnoramenný trojuholník.
Keď sú všetky segmenty v trojuholníku rovnaké, dostanete rovnostranný trojuholník.
Ryža. 3. Rovnostranný trojuholník.
Akýkoľvek výpočet je vhodnejší v prípadoch, keď je možné určitému typu priradiť ľubovoľný trojuholník. Odvtedy sa nájdenie požadovaného parametra tohto geometrického útvaru značne zjednoduší.
Aj keď správne zvolená goniometrická rovnica vám umožňuje vyriešiť veľa problémov, v ktorých sa uvažuje o ľubovoľnom trojuholníku.
Čo sme sa naučili?
Tri segmenty, ktoré sú spojené bodmi a nepatria do rovnakej priamky, tvoria trojuholník. Tieto strany tvoria geometrickú rovinu, ktorá slúži na určenie plochy. Pomocou týchto segmentov môžete nájsť veľa dôležitých charakteristík postavy, ako je obvod a uhly. Pomer strán trojuholníka pomáha nájsť jeho typ. Niektoré vlastnosti daného geometrického útvaru možno použiť len vtedy, ak sú známe rozmery každej z jeho strán.
Tématický kvíz
Hodnotenie článku
Priemerné hodnotenie: 4.3. Celkový počet získaných hodnotení: 142.
