Inštrukcia

Metóda 1. Použitie Pytagorovej vety. Veta hovorí: druhá mocnina prepony sa rovná súčtuštvorce nôh. Z toho vyplýva, že na oboch stranách správny trojuholník možno vypočítať so znalosťou jeho ďalších dvoch strán (obr. 2)

Metóda 2. Vyplýva to zo skutočnosti, že medián od prepony tvorí medzi sebou 3 podobné trojuholníky (obr. 3). Na tomto obrázku sú trojuholníky ABC, BCD a ACD podobné.

Príklad 6: Použitie jednotkových kruhov na nájdenie súradníc

Najprv nájdeme referenčný uhol zodpovedajúci danému uhlu. Potom vezmeme sínusové a kosínusové hodnoty referenčného uhla a dáme im znamienka zodpovedajúce y- a x-hodnotám kvadrantu. Ďalej nájdeme kosínus a sínus daného uhla.

Uhol sita, uhlový trojuholník a odmocnina kocky

Medzi mnohouholníky, ktoré možno postaviť pomocou kompasu a pravítka.

Poznámka: Uhol sita nie je možné vykresliť pomocou kružidla a pravítka. Vynásobením dĺžky strany kocky odmocninou z 2 dostaneme dĺžku strany kocky s dvojnásobným objemom. Pomocou priekopníckej teórie francúzskeho matematika Évarista Galoisa možno ukázať, že pre všetky tri klasické problémy konštrukcia s kruhom a pravítkom je nemožná.

Prepona je strana pravouhlého trojuholníka, ktorá je oproti 90 stupňovému uhlu. Na výpočet jeho dĺžky stačí poznať dĺžku jednej z nôh a hodnotu jedného z ostrých uhlov trojuholníka.

Majte na pamäti: trojzložková uhlová a kockatá konštrukcia nie je možná s kružidlom a pravítkom.

Na druhej strane riešenie rovnice tretieho stupňa podľa Cardanovho vzorca možno znázorniť delením uhla a odmocniny. V budúcnosti postavíme nejaký uhol s kruhom a pravítkom. Po trojuholníku tohto uhla a určení odmocniny sa však pomocou kružidla a pravítka dá dokončenie stavby sitového štvorca.

Konštrukcia priehradovej paluby podľa tohto výpočtu

Algebraická formulácia konštrukčného problému vedie k rovnici, ktorej štruktúrna analýza poskytne dodatočné informácie o konštrukcii ternárnej štruktúry. Tu sa používa pomer 1:1 uhla k jeho kosínusu: ak je známa veľkosť uhla, dĺžka kosínusu uhla môže byť jednoznačne zostrojená na jednotkovej kružnici a naopak.

Inštrukcia

So známou nohou a ostrým uhlom pravouhlého trojuholníka sa veľkosť prepony môže rovnať pomeru nohy ku kosínusu / sínusu tohto uhla, ak je tento uhol opačný / susediaci s ním:

h = Cl(alebo C2)/sina;

h = С1 (alebo С2)/cosα.

Príklad: Je daný pravouhlý trojuholník ABC s preponou AB a pravým uhlom C. Nech je uhol B 60 stupňov a uhol A 30 stupňov. Dĺžka nohy BC je 8 cm. Nájdite dĺžku prepony AB. Na tento účel môžete použiť ktorúkoľvek z vyššie uvedených metód:

Táto individuálna úloha vám umožňuje prejsť od definície uhla k definícii kosínusu uhla. Ďalej 3 φ označuje uhol, ktorý sa má rozdeliť. φ je teda uhol, ktorého hodnotu treba určiť pre dané 3 φ. Počnúc zlúčeninami známymi z trigonometrie.

Nasleduje pod daným uhlom 3 φ. Algebraická úvaha o riešiteľnosti trojrozmernej rovnice vedie priamo k otázke možnosti konštrukcie riešení a následne k otázke možnosti či nemožnosti konštruktívneho trojitého uhla daného uhla.

AB = BC/cos60 = 8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

Prepona je strana pravouhlého trojuholníka, ktorá je opačná pravý uhol. Je to najdlhšia strana pravouhlého trojuholníka. Dá sa vypočítať pomocou Pytagorovej vety alebo pomocou vzorcov goniometrické funkcie.

Hodnota výstupného uhla má veľký vplyv na možnosť prepojenia tretieho uhla, keďže tento ako absolútny pojem rozhodujúcim spôsobom určuje typ riešení v trojrozmernej rovnici. Ak má triangulačná rovnica aspoň jedno reálne riešenie, ktoré možno získať racionálnymi operáciami alebo kreslením odmocniny pre daný počiatočný uhol je toto riešenie konštruktívne.

Breidenbach formuloval ako kritérium, že trojsekundový uhol možno interpretovať iba v racionálnom riešení trojdielnej rovnice. Ak takéto riešenie nie je k dispozícii, problém trojdielnej konštrukcie je nezlučiteľný s kružidlom a pravítkom. Klastrová analýza je všeobecná technika na zostavovanie malých skupín z veľkého súboru údajov. Podobne ako diskriminačná analýza sa klastrová analýza používa aj na klasifikáciu pozorovaní v skupinách. Na druhej strane, diskriminačná analýza vyžaduje znalosť členstva v skupine v prípadoch použitých na odvodenie klasifikačného pravidla.

Inštrukcia

Nohy sa nazývajú strany pravouhlého trojuholníka susediace s pravým uhlom. Na obrázku sú nohy označené ako AB a BC. Nech sú uvedené dĺžky oboch nôh. Označme ich ako |AB| a |BC|. Aby sme našli dĺžku prepony |AC|, použijeme Pytagorovu vetu. Podľa tejto vety sa súčet štvorcov nôh rovná druhej mocnine prepony, t.j. v zápise našej kresby |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Zo vzorca dostaneme, že dĺžku prepony AC nájdeme ako |AC| = √(|AB|^2 + |BC|^2) .

Klastrová analýza je primitívnejšia metóda, pretože nerobí žiadne predpoklady o počte skupín alebo členstve v skupine. Klastrová analýza poskytuje spôsob, ako objaviť potenciálne vzťahy a vytvoriť systematickú štruktúru naprieč veľkým počtom premenných a pozorovaní. Hierarchická zhluková analýza je hlavná štatistická metóda hľadať relatívne homogénne zhluky prípadov na základe nameraných charakteristík. Začína sa s každým prípadom ako samostatný zhluk.

Klastre sa potom postupne spájajú, pričom počet zhlukov sa každým krokom znižuje, až kým nezostane iba jeden zhluk. Metóda zhlukovania využíva rozdiely medzi objektmi na vytváranie zhlukov. Hierarchická zhluková analýza je najlepšia pre malé vzorky.

Zvážte príklad. Nech sú dĺžky nôh |AB| = 13, |BC| = 21. Pytagorovou vetou dostaneme, že |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. od čísla 610: |AC| = √610. Pomocou tabuľky druhých mocnín celých čísel zistíme, že číslo 610 nie je dokonalou druhou mocninou žiadneho celého čísla. Aby sme dostali konečnú hodnotu dĺžky prepony, skúsme vytiahnuť plné námestie spod znamenia koreňa. Aby sme to dosiahli, rozložíme číslo 610 na faktory. 610 \u003d 2 * 5 * 61. Podľa tabuľky prvočísel vidíme, že 61 je prvočíslo. Preto je ďalšie zníženie čísla √610 nemožné. Dostávame konečnú odpoveď |AC| = √610.
Ak by druhá mocnina prepony bola napríklad 675, potom √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. Ak je takýto odliatok možný, vykonajte spätnú kontrolu - umocnite výsledok a porovnajte s pôvodnou hodnotou.

Hierarchická zhluková analýza je len jedným zo spôsobov, ako pozorovať vytváranie homogénnych variabilných skupín. Neexistuje žiadny konkrétny spôsob, ako nastaviť počet klastrov pre vašu analýzu. Možno sa budete musieť pozrieť na dendrogram, ako aj na charakteristiky klastrov a potom upraviť počet v krokoch, aby ste získali dobré klastrové riešenie.

Keď sa premenné merajú na rôznych mierkach, máte tri spôsoby štandardizácie premenných. Výsledkom je, že všetky premenné s približne rovnakými proporciami prispievajú k meraniu vzdialenosti, aj keď môžete stratiť informácie o rozptyle premenných.

Dajte nám vedieť jednu z nôh a uhol, ktorý k nej prilieha. Pre istotu nech je to noha |AB| a uhol α. Potom môžeme použiť vzorec pre goniometrickú funkciu kosínus - kosínus uhla sa rovná pomeru susednej vetvy k prepone. Tie. v našom zápise cos α = |AB| / |AC|. Odtiaľ dostaneme dĺžku prepony |AC| = |AB| / cosα.
Ak poznáme nohu |BC| a uhla α, potom použijeme vzorec na výpočet sínusu uhla - sínus uhla sa rovná pomeru protiľahlej vetvy k prepone: sin α = |BC| / |AC|. Dostaneme, že dĺžka prepony sa zistí ako |AC| = |BC| / cosα.

Euklidovská vzdialenosť: Euklidovská vzdialenosť je najbežnejšou metódou merania. Štvorcová euklidovská vzdialenosť: Štvorcová euklidovská vzdialenosť zameriava pozornosť na objekty, ktoré sú od seba ďalej. Vzdialenosť mestských blokov: Mestské bloky aj euklidovská vzdialenosť sú špeciálnymi prípadmi Minkowského metriky. Zatiaľ čo euklidovská vzdialenosť zodpovedá dĺžke najkratšej cesty medzi dvoma bodmi, vzdialenosť mestských blokov je súčtom vzdialeností pozdĺž každej dimenzie. Pearsonova korelačná vzdialenosť Rozdiel medzi 1 a kosínusovým koeficientom dvoch pozorovaní Kosínusový koeficient je kosínus uhla medzi dvoma vektormi. Jaccardova vzdialenosť Rozdiel medzi 1 a Jacquardovým koeficientom pre dve pozorovania Pre binárne dáta sa Jaccardov koeficient rovná pomeru veľkosti prekrytia a súčtu dvoch pozorovaní. Najbližší sused Táto metóda predpokladá, že vzdialenosť medzi dvoma zhlukami zodpovedá vzdialenosti medzi objektmi v ich najbližšom susedstve. Najlepší sused V tejto metóde vzdialenosť medzi dvoma zhlukami zodpovedá maximálnej vzdialenosti medzi dvoma objektmi v rôznych zhlukoch. Skupinový priemer: Pri tejto metóde vzdialenosť medzi dvoma klastrami zodpovedá priemernej vzdialenosti medzi všetkými pármi objektov v rôznych zhlukoch. Táto metóda sa všeobecne odporúča, pretože obsahuje väčšie množstvo informácií. Medián Táto metóda je identická s metódou ťažiska okrem toho, že je nevážená. Potom sa pre každý prípad vypočíta kvadratická euklidovská vzdialenosť k priemeru klastra. Klaster, ktorý sa má zlúčiť, je ten, ktorý zvýši súčet aspoň. To znamená, že táto metóda minimalizuje nárast celková sumaštvorcové vzdialenosti v rámci zhlukov. Táto metóda má tendenciu vytvárať menšie zhluky.

• Toto je geometrická vzdialenosť vo viacrozmernom priestore.
• Je vhodný len pre spojité premenné.
• Kosínusová vzdialenosť Kosínus uhla medzi dvoma vektormi hodnôt.
• Táto metóda sa odporúča pri kreslení nakreslených zhlukov.
• Ak nakreslené zhluky tvoria jedinečné „zhluky“, metóda je vhodná.
• Ťažisko klastra je stredom vo viacrozmernom priestore.
• Nemal by sa používať, ak sú veľkosti klastrov veľmi rozdielne.
• Pre každý klaster sa vypočítajú stredné hodnoty Ward pre všetky premenné.
• Tieto vzdialenosti sú sčítané pre všetky prípady.

Cieľom je minimalizovať vzdialenosť medzi údajmi a zodpovedajúcim zhlukom zhlukov.

Pre jasnosť zvážte príklad. Nech je dĺžka nohy |AB| = 15. A uhol α = 60°. Získame |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Zvážte, ako môžete skontrolovať svoj výsledok pomocou Pytagorovej vety. Aby sme to dosiahli, musíme vypočítať dĺžku druhého úseku |BC|. Pomocou vzorca pre tangens uhla tg α = |BC| / |AC|, získame |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Ďalej použijeme Pytagorovu vetu, dostaneme 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Overenie je hotové.

Funkcia sínus je definovaná z pojmu sínus, keďže uhol musí byť vždy vyjadrený v radiánoch. Môžeme pozorovať niekoľko charakteristík sínusovej funkcie.

• Vaša doména obsahuje všetko skutočné.
• V tomto prípade sa hovorí, že funkcia je periodická s periódou 2π.

Funkcia kosínus je definovaná z pojmu kosínus, keďže uhol musí byť vždy vyjadrený v radiánoch.

Môžeme pozorovať niekoľko charakteristík funkcie kosínus. Tak to je periodické obdobie 2π. . Obmedzenie neodstraňuje všeobecnosť vzorca, pretože vždy môžeme zmenšiť uhly druhého, tretieho a štvrtého kvadrantu na prvý. Cvičenie. - Vypočítajte sinus 15º bez použitia kalkulačky.

Po výpočte prepony skontrolujte, či výsledná hodnota spĺňa Pytagorovu vetu.

Zdroje:

• Tabuľka základné čísla od 1 do 10 000

Nohy pomenujte dve krátke strany pravouhlého trojuholníka, ktoré tvoria jeho vrchol, ktorého hodnota je 90°. Tretia strana v takomto trojuholníku sa nazýva prepona. Všetky tieto strany a uhly trojuholníka sú vzájomne prepojené určitými vzťahmi, ktoré vám umožňujú vypočítať dĺžku nohy, ak je známych niekoľko ďalších parametrov.

Kosínus súčtu dvoch uhlov

Kosínus rozdielu dvoch uhlov

Aby sme dostali vzorec, môžeme postupovať rovnako ako v predchádzajúcej časti, ale uvidíme ďalšiu veľmi jednoduchú ukážku založenú na Pytagorovej vete. Zjednodušenie a zmena znamenia, máme Dotyčný súčet a rozdiel dvoch uhlov.

Cvičenie. V dnešnom článku sa pozrieme na veľmi špecifickú podmnožinu: goniometrické funkcie. Aby sme si užili všetko, čo matematika ponúka, musíme ju importovať. V ďalšom článku uvidíme ďalšie štýly importu, pričom každý má svoje výhody a nevýhody. Ale s touto jednoduchou inštrukciou už máte prístup k celému mennému priestoru matematického modulu naplneného desiatkami funkcií, vrátane tých, ktorými sa dnes budeme zaoberať.

Inštrukcia

Použite Pytagorovu vetu na výpočet dĺžky nohy (A), ak poznáte dĺžku ďalších dvoch strán (B a C) pravouhlého trojuholníka. Táto veta hovorí, že súčet dĺžok nôh na druhú sa rovná druhej mocnine prepony. Z toho vyplýva, že dĺžka každej z nôh sa rovná odmocnina z rozdielu druhých mocnín dĺžok prepony a druhého ramena: A=√(C²-B²).

V podstate budeme musieť vypočítať sínus, kosínus a tangens uhla, ako aj jeho inverzné funkcie. Okrem toho by sme chceli byť schopní pracovať v radiánoch aj stupňoch, aby sme mohli použiť aj vhodné konverzné funkcie.

Mali by ste mať na pamäti, že tieto funkcie očakávajú, že argument bude poskytnutý v radiánoch, nie v stupňoch. Za týmto účelom vás bude zaujímať, že máte nasledujúcu konštantu. Môžeme teda použiť tento výraz namiesto číselnej hodnoty.

Neexistuje žiadna priama funkcia pre kosekans, sekans a kotangens, pretože to nie je potrebné, pretože sú jednoducho inverzné k sínusu, kosínusu a dotyčnici. Rovnako ako predtým, vrátený uhol je tiež v radiánoch. Ďalšia užitočná funkcia matematiky nám umožňuje poznať hodnotu prepony pravouhlého trojuholníka vzhľadom na jeho nohy, čo nám umožňuje vypočítať druhú odmocninu súčtu ich druhých mocnín.

Použite definíciu priamej goniometrickej funkcie "sínus" pre ostrý uhol, ak poznáte hodnotu uhla (α) oproti vypočítanej vetve a dĺžku prepony (C). Táto definícia uvádza, že sínus tohto známeho uhla sa rovná pomeru dĺžky požadovaného ramena k dĺžke prepony. To znamená, že dĺžka požadovaného ramena sa rovná súčinu dĺžky prepony a sínusu známeho uhla: A=C∗sin(α). Pre tie isté známe hodnoty môžete použiť definíciu funkcie kosekansu a vypočítať požadovanú dĺžku vydelením dĺžky prepony kosekansom známeho uhla A=C/cosec(α).

Definíciu priamej goniometrickej funkcie kosínus použite, ak je okrem dĺžky prepony (C) známa aj hodnota ostrého uhla (β) priliehajúceho k požadovanému ramenu. Kosínus tohto uhla je definovaný ako pomer dĺžok požadovaného ramena a prepony a z toho môžeme vyvodiť záver, že dĺžka ramena je rovná súčinu dĺžky prepony a kosínusu známej prepony. uhol: A=C∗cos(β). Môžete použiť definíciu funkcie sečny a vypočítať požadovanú hodnotu vydelením dĺžky prepony sečnicou známeho uhla A=C/sec(β).

Odvoďte požadovaný vzorec z podobnej definície pre deriváciu tangens goniometrickej funkcie, ak okrem hodnoty ostrého uhla (α) ležiaceho oproti požadovanému ramenu (A) je dĺžka druhého ramena (B) známy. Tangenta uhla oproti požadovanému ramenu je pomer dĺžky tohto ramena k dĺžke druhého ramena. To znamená, že požadovaná hodnota sa bude rovnať súčinu dĺžky známeho ramena a dotyčnice známeho uhla: A=B∗tg(α). Z tých istých známych veličín možno odvodiť ďalší vzorec pomocou definície kotangensovej funkcie. V tomto prípade na výpočet dĺžky ramena bude potrebné nájsť pomer dĺžky známeho ramena ku kotangensu známeho uhla: A=B/ctg(α).

Podobné videá

Slovo „katet“ prišlo do ruštiny z gréčtiny. AT presný preklad znamená olovnicu, teda kolmú k povrchu zeme. V matematike sa nohy nazývajú strany, ktoré tvoria pravý uhol pravouhlého trojuholníka. Strana opačná k tomuto uhlu sa nazýva prepona. Pojem „noha“ sa používa aj v architektúre a technológii zvárania.

Nakreslite pravouhlý trojuholník ACB. Označte jeho nohy a a b a označte jeho preponu c. Všetky strany a uhly pravouhlého trojuholníka sú spojené určitými vzťahmi. Pomer nohy oproti jednému z ostrých uhlov k prepone sa nazýva sínus tohto uhla. V tomto trojuholníku sinCAB=a/c. Kosínus je pomer k prepone susednej nohy, t.j. cosCAB=b/c. Inverzné vzťahy sa nazývajú sekanta a kosekans.

Sečna tohto uhla sa získa vydelením prepony susednou vetvou, to znamená secCAB=c/b. Ukazuje sa prevrátená hodnota kosínusu, to znamená, že ju možno vyjadriť vzorcom secCAB=1/cosSAB.
Kosekans sa rovná podielu delenia prepony opačnou vetvou a je prevrátenou hodnotou sínusu. Dá sa vypočítať pomocou vzorca cosecCAB=1/sinCAB

Obe nohy sú spojené dotyčnicou a kotangensom. AT tento prípad dotyčnica bude pomer strany a ku strane b, teda opačnej vetvy k susednej. Tento pomer možno vyjadriť vzorcom tgCAB=a/b. V súlade s tým bude inverzný pomer kotangens: ctgCAB=b/a.

Pomer medzi veľkosťou prepony a oboch nôh určil starogrécky matematik Pytagoras. Vetu pomenovanú po ňom ľudia stále používajú. Hovorí, že druhá mocnina prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh, to znamená c2 \u003d a2 + b2. Podľa toho sa každá vetva bude rovnať druhej odmocnine rozdielu medzi druhými mocninami prepony a druhej vetvy. Tento vzorec možno zapísať ako b=√(c2-a2).

Dĺžka nohy sa dá vyjadriť aj vzťahmi, ktoré poznáte. Podľa sínusovej a kosínusovej vety noha sa rovná produktu preponu na jednu z týchto funkcií. Môže byť vyjadrený aj ako tangenta alebo kotangens. Nohu a možno nájsť napríklad podľa vzorca a \u003d b * tan CAB. Presne rovnakým spôsobom, v závislosti od danej dotyčnice alebo kotangensu, sa určí druhá vetva.

V architektúre sa používa aj pojem „noha“. Aplikuje sa na iónsky kapitál a označuje olovnicu cez stred jeho chrbta. To znamená, že v tomto prípade tento výraz označuje kolmicu na danú čiaru.

V zváracej technike existuje pojem "zvar z kúta nohy". Rovnako ako v iných prípadoch ide o najkratšiu vzdialenosť. Tu hovoríme o medzere medzi jednou z častí, ktoré sa majú zvárať, k okraju švu umiestneného na povrchu druhej časti.

Podobné videá

Zdroje:

• čo je noha a prepona

Podobné videá

Poznámka

Pri výpočte strán pravouhlého trojuholníka môžu znalosti o jeho vlastnostiach hrať:
1) Ak noha pravého uhla leží oproti uhlu 30 stupňov, potom sa rovná polovici prepony;
2) Prepona je vždy dlhšia ako ktorákoľvek z nôh;
3) Ak je kruh opísaný okolo pravouhlého trojuholníka, potom jeho stred musí ležať v strede prepony.

Tam, kde sa zvažovali úlohy na riešenie pravouhlého trojuholníka, som sľúbil predstaviť techniku ​​na zapamätanie si definícií sínusu a kosínusu. Pomocou nej si vždy rýchlo zapamätáte, ktorá noha patrí do prepony (susednej alebo opačnej). Rozhodla som sa to neodkladať na neurčito, potrebný materiál je nižšie, prečítajte si ho 😉

Faktom je, že som opakovane pozoroval, ako majú žiaci 10. – 11. ročníka problém zapamätať si tieto definície. Veľmi dobre si pamätajú, že noha odkazuje na preponu, ale ktorú zabudnú a zmätený. Cenou za chybu, ako viete na skúške, je stratené skóre.

Informácie, ktoré uvediem priamo do matematiky, nemajú nič spoločné. Je spojená s obrazným myslením a metódami verbálno-logického spojenia. Presne tak, ja sám som si raz a navždy spomenul definičné údaje. Ak ich stále zabudnete, pomocou prezentovaných techník je vždy ľahké si ich zapamätať.

Dovoľte mi pripomenúť vám definície sínusov a kosínusov v pravouhlom trojuholníku:

Kosínus ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlého ramena k prepone:

Sinus ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy k prepone:

Aké asociácie vo vás teda vyvoláva slovo kosínus?

Asi každý má tú svoju Zapamätajte si odkaz:

Takto budete mať okamžite v pamäti výraz -

«… pomer priľahlej nohy k prepone».

Problém s definíciou kosínusu je vyriešený.

Ak si potrebujete zapamätať definíciu sínusu v pravouhlom trojuholníku a potom si zapamätať definíciu kosínusu, môžete ľahko zistiť, že sínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy k prepone. Koniec koncov, existujú iba dve nohy, ak je susedná noha „obsadená“ kosínusom, pre sínus zostáva iba opačná strana.

A čo tangens a kotangens? Rovnaký zmätok. Študenti vedia, že ide o pomer nôh, ale problém je zapamätať si, ktorá sa vzťahuje na ktorú – buď opačne k susednej, alebo naopak.

Definície:

Tangenta ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy k susednej vetve:

Kotangens ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlej nohy k opačnej strane:

Ako si zapamätať? Sú dva spôsoby. Jeden používa aj verbálno-logické spojenie, druhý - matematický.

MATEMATICKÁ METÓDA

Existuje taká definícia - dotyčnica ostrého uhla je pomer sínusu uhla k jeho kosínu:

* Keď si pamätáte vzorec, môžete vždy určiť, že dotyčnica ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomerom protiľahlej vetvy k susednej.

Podobne. Kotangens ostrého uhla je pomer kosínusu uhla k jeho sínusu:

Takže! Zapamätaním si týchto vzorcov môžete vždy určiť, že:

Tangenta ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy k susednej

Kotangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlej vetvy k opačnej vetve.

VERBÁLNO-LOGICKÁ METÓDA

O dotyčnici. Zapamätajte si odkaz:

To znamená, že ak si potrebujete zapamätať definíciu dotyčnice, pomocou tohto logického spojenia si ľahko zapamätáte, čo to je

"... pomer protiľahlej nohy k susednej"

Pokiaľ ide o kotangens, potom, keď si zapamätáte definíciu tangentu, môžete ľahko vyjadriť definíciu kotangensu -

"... pomer susednej nohy k opačnej"

Na stránke je zaujímavá technika na zapamätanie tangens a kotangens " Matematický tandem " pozri.

METÓDA UNIVERZÁLNA

Môžete len brúsiť. Ale ako ukazuje prax, vďaka verbálno-logickým spojeniam si človek dlho pamätá informácie, a to nielen matematické.

Dúfam, že materiál bol pre vás užitočný.

S pozdravom Alexander Krutitskikh

P.S: Bol by som vďačný, keby ste o stránke povedali na sociálnych sieťach.

Trigonometria je časť matematiky, ktorá študuje goniometrické funkcie a ich využitie v geometrii. Vývoj trigonometrie sa začal v časoch starovekého Grécka. Počas stredoveku vedci z Blízkeho východu a Indie významne prispeli k rozvoju tejto vedy.

Tento článok je venovaný základným pojmom a definíciám trigonometrie. Rozoberá definície hlavných goniometrických funkcií: sínus, kosínus, tangens a kotangens. Ich význam v kontexte geometrie je vysvetlený a znázornený.

Pôvodne boli definície goniometrických funkcií, ktorých argumentom je uhol, vyjadrené pomerom strán pravouhlého trojuholníka.

Definície goniometrických funkcií

Sínus uhla (sin α) je pomer nohy oproti tomuto uhlu k prepone.

Kosínus uhla (cos α) je pomer priľahlého ramena k prepone.

Tangenta uhla (t g α) je pomer protiľahlého ramena k susednému.

Kotangens uhla (c t g α) je pomer priľahlého ramena k protiľahlému ramenu.

Tieto definície sú uvedené pre ostrý uhol pravouhlého trojuholníka!

Uveďme ilustráciu.

V trojuholníku ABC s pravým uhlom C sa sínus uhla A rovná pomeru ramena BC k prepone AB.

Definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu umožňujú vypočítať hodnoty týchto funkcií zo známych dĺžok strán trojuholníka.

Dôležité mať na pamäti!

Rozsah hodnôt sínus a kosínus: od -1 do 1. Inými slovami, sínus a kosínus nadobúdajú hodnoty od -1 do 1. Rozsah hodnôt dotyčnice a kotangens je celá číselná os, teda tieto funkcie môžu mať akúkoľvek hodnotu.

Vyššie uvedené definície sa vzťahujú na ostré uhly. V trigonometrii sa zavádza pojem uhla natočenia, ktorého hodnota na rozdiel od ostrého uhla nie je obmedzená rámcami od 0 do 90 stupňov.Uhol natočenia v stupňoch alebo radiánoch je vyjadrený ľubovoľným reálnym číslom od - ∞ až + ∞.

V tomto kontexte je možné definovať sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla ľubovoľnej veľkosti. Predstavte si jednotkový kruh so stredom v počiatku karteziánskeho súradnicového systému.

Počiatočný bod A so súradnicami (1 , 0) sa otáča okolo stredu jednotkovej kružnice o určitý uhol α a smeruje do bodu A 1 . Definícia je daná prostredníctvom súradníc bodu A 1 (x, y).

Sínus (sin) uhla natočenia

Sínus uhla natočenia α je ordináta bodu A 1 (x, y). sinα = y

Kosínus (cos) uhla natočenia

Kosínus uhla natočenia α je úsečka bodu A 1 (x, y). cos α = x

Tangenta (tg) uhla natočenia

Tangenta uhla natočenia α je pomerom ordináty bodu A 1 (x, y) k jeho os. t g α = y x

Kotangens (ctg) uhla natočenia

Kotangens uhla natočenia α je pomer úsečky bodu A 1 (x, y) k jeho ordinate. c t g α = x y

Sínus a kosínus sú definované pre akýkoľvek uhol natočenia. Je to logické, pretože úsečka a ordináta bodu po otočení sa dajú určiť pod ľubovoľným uhlom. Iná situácia je pri tangente a kotangens. Dotyčnica nie je definovaná, keď bod po otočení ide do bodu s nulovou úsečkou (0 , 1) a (0 , - 1). V takýchto prípadoch výraz pre dotyčnicu t g α = y x jednoducho nedáva zmysel, pretože obsahuje delenie nulou. Podobná situácia je aj s kotangensom. Rozdiel je v tom, že kotangens nie je definovaný v prípadoch, keď ordináta bodu zmizne.

Dôležité mať na pamäti!

Sínus a kosínus sú definované pre ľubovoľné uhly α.

Dotyčnica je definovaná pre všetky uhly okrem α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Kotangens je definovaný pre všetky uhly okrem α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Pri rozhodovaní praktické príklady nehovorte "sínus uhla natočenia α". Slová „uhol natočenia“ sú jednoducho vynechané, čo naznačuje, že z kontextu je už jasné, o čo ide.

čísla

A čo definícia sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu čísla a nie uhla natočenia?

Sínus, kosínus, tangens, kotangens čísla

Sínus, kosínus, tangens a kotangens čísla t volá sa číslo, ktoré sa rovná sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu v t radián.

Napríklad sínus 10 π sa rovná sínusu uhla natočenia 10 π rad.

Existuje iný prístup k definícii sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu čísla. Pozrime sa na to podrobnejšie.

Akékoľvek skutočné číslo t bod na jednotkovej kružnici je umiestnený v súlade so stredom v počiatku pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému. Sínus, kosínus, dotyčnica a kotangens sú definované z hľadiska súradníc tohto bodu.

Počiatočný bod na kružnici je bod A so súradnicami (1 , 0).

kladné číslo t

Záporné číslo t zodpovedá bodu, do ktorého sa posunie začiatočný bod, ak sa bude pohybovať proti smeru hodinových ručičiek po kružnici a prejde dráhu t .

Teraz, keď sme vytvorili spojenie medzi číslom a bodom na kružnici, pristúpime k definícii sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu.

Sínus (hriech) čísla t

Sínus čísla t- ordináta bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúcej číslu t. hriech t = y

Kosínus (cos) t

Kosínus čísla t- súradnica bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúcej číslu t. cos t = x

Tangenta (tg) t

Tangenta čísla t- pomer zvislej osi k osovej osi bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúcej číslu t. t g t = y x = sin t cos t

Posledné uvedené definície sú v súlade s definíciou uvedenou na začiatku tejto časti a nie sú v rozpore s ňou. Ukážte na kruh zodpovedajúci číslu t, sa zhoduje s bodom, do ktorého prechádza počiatočný bod po otočení cez uhol t radián.

Goniometrické funkcie uhlového a numerického argumentu

Každá hodnota uhla α zodpovedá určitej hodnote sínusu a kosínusu tohto uhla. Rovnako ako všetky uhly α iné ako α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) zodpovedá určitej hodnote dotyčnice. Kotangens, ako je uvedené vyššie, je definovaný pre všetky α, okrem α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Môžeme povedať, že sin α , cos α , t g α , c t g α sú funkcie uhla alfa alebo funkcie uhlového argumentu.

Podobne možno hovoriť o sínusoch, kosínusoch, tangentoch a kotangens ako o funkciách číselného argumentu. Každé skutočné číslo t zodpovedá konkrétnej hodnote sínusu alebo kosínusu čísla t. Všetky čísla iné ako π 2 + π · k , k ∈ Z zodpovedajú hodnote dotyčnice. Kotangens je podobne definovaný pre všetky čísla okrem π · k , k ∈ Z.

Základné funkcie trigonometrie

Sínus, kosínus, tangens a kotangens sú základné goniometrické funkcie.

Z kontextu je zvyčajne jasné, s ktorým argumentom goniometrickej funkcie (uhlovým argumentom alebo číselným argumentom) máme do činenia.

Vráťme sa k údajom na samom začiatku definícií a uhlu alfa, ktorý leží v rozmedzí od 0 do 90 stupňov. Trigonometrické definície sínus, kosínus, tangens a kotangens sú v úplnom súlade s geometrickými definíciami danými pomermi strán pravouhlého trojuholníka. Ukážme to.

Vezmite jednotkový kruh vycentrovaný na obdĺžnik karteziánsky systém súradnice. Otočme začiatočný bod A (1, 0) o uhol až 90 stupňov a nakreslíme z výsledného bodu A 1 (x, y) kolmo na os x. Vo výslednom pravouhlom trojuholníku sa uhol A 1 O H rovná uhlu natočenia α, dĺžka ramena O H sa rovná osovej osi bodu A 1 (x, y) . Dĺžka ramena oproti rohu sa rovná ordinate bodu A 1 (x, y) a dĺžka prepony sa rovná jednej, pretože je to polomer jednotkovej kružnice.

V súlade s definíciou z geometrie sa sínus uhla α rovná pomeru protiľahlej vetvy k prepone.

hriech α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

To znamená, že definícia sínusu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku cez pomer strán je ekvivalentná definícii sínusu uhla natočenia α, pričom alfa leží v rozsahu od 0 do 90 stupňov.

Podobne je možné ukázať zhodu definícií pre kosínus, tangens a kotangens.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Keď poznáte jednu z nôh v pravouhlom trojuholníku, môžete nájsť druhú vetvu a preponu pomocou trigonometrických vzťahov - sínus a tangens známeho uhla. Pretože pomer ramena oproti uhlu k prepone sa rovná sínusu tohto uhla, preto, aby sa našla prepona, musí byť rameno vydelené sínusom uhla. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

Druhé rameno možno nájsť z dotyčnice známeho uhla ako pomer známeho ramena k dotyčnici. a/b=tan⁡a b=a/tan⁡a

Ak chcete vypočítať neznámy uhol v pravouhlom trojuholníku, musíte odpočítať uhol α od 90 stupňov. p = 90°-a

Obvod a plocha pravouhlého trojuholníka cez rameno a uhol oproti nemu možno vyjadriť nahradením predtým získaných výrazov pre druhú vetvu a preponu do vzorcov. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 tan⁡α)

Výšku môžete vypočítať aj cez trigonometrické vzťahy, ale už vo vnútornom pravouhlom trojuholníku so stranou a, ktorý tvorí. Na to potrebujete stranu a ako preponu takého trojuholníka vynásobenú sínusom uhla β alebo kosínusom α, keďže podľa trigonometrické identity sú rovnocenné. (obr. 79.2) h=a cos⁡α

Medián prepony sa rovná polovici prepony alebo známej vetvy a delenej dvoma sínusmi α. Aby sme našli stredy nôh, uvádzame vzorce do príslušného formulára pre známa strana a rohy. (obr.79.3) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡) α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/hriech ^2⁡α)/2=√((3a^2 hriech^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α hriech^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

Keďže os pravého uhla v trojuholníku je súčinom dvoch strán a odmocniny z dvoch, delených súčtom týchto strán, pričom jednu z ramien nahradíme pomerom známej vetvy k dotyčnici, získame nasledovné výraz. Podobne dosadením pomeru do druhého a tretieho vzorca je možné vypočítať stredy uhlov α a β. (obr.79.4) l_с=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c) (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

Stredná čiara prebieha rovnobežne s jednou zo strán trojuholníka, pričom tvorí ďalší podobný pravouhlý trojuholník s rovnakými uhlami, v ktorom sú všetky strany polovičné oproti pôvodnému. Na základe toho je možné nájsť stredné čiary pomocou nasledujúcich vzorcov, pričom poznáme iba nohu a uhol oproti nej. (obr.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

Polomer vpísanej kružnice sa rovná rozdielu medzi nohami a preponou vydelenému dvoma a na nájdenie polomeru opísanej kružnice je potrebné rozdeliť preponu dvoma. Druhú vetvu a preponu nahradíme pomermi vetvy a k sínusu a dotyčnici. (Obr. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

V živote sa s tým často musíme vysporiadať matematické problémy: v škole, na univerzite a potom pomáhať svojmu dieťaťu domáca úloha. Ľudia určitých profesií sa budú s matematikou stretávať denne. Preto je užitočné zapamätať si alebo pripomenúť si matematické pravidlá. V tomto článku budeme analyzovať jeden z nich: nájdenie nohy pravouhlého trojuholníka.

Čo je pravouhlý trojuholník

Najprv si pripomeňme, čo je pravouhlý trojuholník. Pravý trojuholník je geometrický obrazec troch segmentov, ktoré spájajú body, ktoré neležia na rovnakej priamke, a jeden z uhlov tohto obrázku je 90 stupňov. Strany, ktoré tvoria pravý uhol, sa nazývajú nohy a strana, ktorá leží oproti pravému uhlu, sa nazýva prepona.

Nájdenie nohy pravouhlého trojuholníka

Existuje niekoľko spôsobov, ako zistiť dĺžku nohy. Chcel by som ich zvážiť podrobnejšie.

Pytagorova veta na nájdenie ramena pravouhlého trojuholníka

Ak poznáme preponu a nohu, potom môžeme zistiť dĺžku neznámej vetvy pomocou Pytagorovej vety. Znie to takto: "Štvorec prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh." Vzorec: c²=a²+b², kde c je prepona, a a b sú nohy. Transformujeme vzorec a dostaneme: a²=c²-b².

Príklad. Prepona je 5 cm a noha je 3 cm Transformujeme vzorec: c²=a²+b² → a²=c²-b². Ďalej sa rozhodneme: a²=5²-3²; a² = 25-9; a² = 16; a=√16; a = 4 (cm).

Trigonometrické vzťahy na nájdenie ramena pravouhlého trojuholníka

Je tiež možné nájsť neznámu nohu, ak je známa akákoľvek iná strana a akýkoľvek ostrý uhol pravouhlého trojuholníka. Existujú štyri možnosti nájdenia nohy pomocou goniometrických funkcií: podľa sínusu, kosínusu, dotyčnice, kotangensu. Na vyriešenie problémov nám pomôže nasledujúca tabuľka. Zvážme tieto možnosti.

Nájdite nohu pravouhlého trojuholníka pomocou sínusu

Sínus uhla (sin) je pomer opačnej nohy k prepone. Vzorec: sin \u003d a / c, kde a je noha oproti danému uhlu a c je prepona. Ďalej vzorec transformujeme a dostaneme: a=sin*c.

Príklad. Prepona je 10 cm a uhol A je 30 stupňov. Podľa tabuľky vypočítame sínus uhla A, rovná sa 1/2. Potom pomocou transformovaného vzorca riešime: a=sin∠A*c; a = 1/2 x 10; a = 5 (cm).

Nájdite nohu pravouhlého trojuholníka pomocou kosínusu

Kosínus uhla (cos) je pomer priľahlého ramena k prepone. Vzorec: cos \u003d b / c, kde b je noha susediaca s daným uhlom a c je prepona. Transformujme vzorec a získame: b=cos*c.

Príklad. Uhol A je 60 stupňov, prepona je 10 cm.Podľa tabuľky vypočítame kosínus uhla A, rovná sa 1/2. Ďalej riešime: b=cos∠A*c; b = 1/2 x 10, b = 5 (cm).

Nájdite nohu pravouhlého trojuholníka pomocou dotyčnice

Tangenta uhla (tg) je pomer protiľahlej vetvy k susednej. Vzorec: tg \u003d a / b, kde a je noha oproti rohu a b susedí. Transformujme vzorec a získame: a=tg*b.

Príklad. Uhol A je 45 stupňov, prepona 10 cm Podľa tabuľky vypočítame tangens uhla A, rovná sa Riešte: a=tg∠A*b; a = 1 x 10; a = 10 (cm).

Nájdite nohu pravouhlého trojuholníka pomocou kotangens

Kotangens uhla (ctg) je pomer priľahlého ramena k protiľahlému ramenu. Vzorec: ctg \u003d b / a, kde b je noha susediaca s rohom a je opačná. Inými slovami, kotangens je „obrátená tangenta“. Dostaneme: b=ctg*a.

Príklad. Uhol A je 30 stupňov, protiľahlá noha je 5 cm Podľa tabuľky je dotyčnica uhla A √3. Vypočítajte: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b = 5°3 (cm).

Takže teraz viete, ako nájsť nohu v pravouhlom trojuholníku. Ako vidíte, nie je to také ťažké, hlavnou vecou je zapamätať si vzorce.