1. Matematické očakávanie konštantná hodnota rovná najkonštantnejšiemu M(S)=S .
2. Z znamenia očakávania možno vyňať konštantný faktor: M(CX)=CM(X)
3. Matematické očakávanie súčinu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní: M(XY)=M(X) M(Y).
4. Matematické očakávanie súčtu dvoch náhodných premenných sa rovná súčtu matematických očakávaní pojmov: M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Veta. Matematické očakávanie M(x) počtu výskytov udalostí A v n nezávislé testy sa rovná súčinu týchto pokusov pravdepodobnosťou výskytu udalostí v každom pokuse: M(x) = np.

Nechaj X je náhodná premenná a M(X) - jej očakávaná hodnota. Zvážte rozdiel ako novú náhodnú premennú X - M(X).

Odchýlka je rozdiel medzi náhodnou premennou a jej matematickým očakávaním.

Odchýlka má nasledujúci distribučný zákon:

Riešenie: Nájdite matematické očakávanie:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

Napíšme distribučný zákon druhej mocniny odchýlky:

Riešenie: Nájdite očakávanie M(x): M(x)=2 0,1+3 0,6+5 0,3=3,5

Napíšme distribučný zákon náhodnej premennej X 2

x2
P	0.1	0.6	0.3

Poďme nájsť matematické očakávanie M(x2):M(x2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

Požadovaná disperzia D (x) \u003d M (x 2) - 2 \u003d 13,3- (3,5) 2 \u003d 1,05

Vlastnosti disperzie:

1. Disperzia konštantnej hodnoty OD rovná sa nule: D(C)=0
2. Konštantný faktor možno zo znamienka disperzie odstrániť jeho umocnením. D(Cx)=C2D(x)
3. Rozptyl súčtu nezávislých náhodných premenných sa rovná súčtu rozptylov týchto premenných. D(X1 +X2 +...+Xn)=D(X1)+D(X2)+...+D(Xn)
4. Rozptyl binomického rozdelenia sa rovná súčinu počtu pokusov a pravdepodobnosti výskytu a neprítomnosti udalosti v jednom pokuse. D(X)=npq

Na odhad rozptylu možných hodnôt náhodnej premennej okolo jej strednej hodnoty slúžia okrem rozptylu aj niektoré ďalšie charakteristiky. Medzi nimi je štandardná odchýlka.

Smerodajná odchýlka náhodnej premennej X nazývaná druhá odmocnina rozptylu:

σ(X) = √D(X) (4)

Príklad. Náhodná veličina X je daná distribučným zákonom

X
P	0.1	0.4	0.5

Nájdite smerodajnú odchýlku σ(x)

Riešenie: Nájdite matematické očakávanie X: M(x)=2 0,1+3 0,4+10 0,5=6,4
Nájdite matematické očakávanie X 2: M(x 2)=2 2 0,1+3 2 0,4+10 2 0,5=54
Nájdite disperziu: D(x)=M(x2)=M(x2)-2=54-6,42=13,04
Požadovaná štandardná odchýlka σ(X)=√D(X)=√13,04≈3,61

Veta. Stredná kvadratická odchýlka súčtu konečného počtu vzájomne nezávislých náhodných premenných je odmocnina zo súčtu druhých mocnín štandardných odchýlok týchto veličín:

Príklad. Na poličke so 6 knihami sú 3 knihy o matematike a 3 o fyzike. Náhodne sú vybrané tri knihy. Nájdite zákon rozdelenia počtu kníh z matematiky medzi vybrané knihy. Nájdite matematické očakávanie a rozptyl tejto náhodnej premennej.

Základné numerické charakteristiky diskrétnych a spojitých náhodných premenných: matematické očakávanie, rozptyl a smerodajná odchýlka. Ich vlastnosti a príklady.

Distribučný zákon (distribučná funkcia a distribučný rad alebo hustota pravdepodobnosti) plne popisuje správanie náhodnej premennej. Ale v mnohých problémoch stačí poznať niektoré číselné charakteristiky skúmanej veličiny (napríklad jej priemernú hodnotu a prípadnú odchýlku od nej), aby sme odpovedali na položenú otázku. Zvážte hlavné numerické charakteristiky diskrétnych náhodných premenných.

Definícia 7.1.matematické očakávanie Diskrétna náhodná premenná je súčet súčinov jej možných hodnôt a ich zodpovedajúcich pravdepodobností:

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p(7.1)

Ak je počet možných hodnôt náhodnej premennej nekonečný, potom ak výsledná séria absolútne konverguje.

Poznámka 1. Matematické očakávanie sa niekedy nazýva Vážený priemer, pretože sa približne rovná aritmetickému priemeru pozorovaných hodnôt náhodnej premennej at veľké čísla experimenty.

Poznámka 2. Z definície matematického očakávania vyplýva, že jeho hodnota nie je menšia ako najmenšia možná hodnota náhodnej premennej a nie väčšia ako najväčšia.

Poznámka 3. Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je nenáhodné(konštantný. Neskôr uvidíme, že to isté platí pre spojité náhodné premenné.

Príklad 1. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej X- počet štandardných dielov spomedzi troch vybraných zo série 10 dielov vrátane 2 chybných. Poďme zostaviť distribučnú sériu pre X. Zo stavu problému vyplýva, že X môže nadobúdať hodnoty 1, 2, 3. Potom

Príklad 2. Definujte matematické očakávanie náhodnej premennej X- počet hodov mincou do prvého výskytu erbu. Toto množstvo môže nadobudnúť nekonečný počet hodnôt (množina možných hodnôt je množina prirodzené čísla). Jeho distribučná séria má tvar:

X			…	P	…
R	0,5	(0,5) 2	…	(0,5)P	…

+ (pri výpočte bol dvakrát použitý vzorec pre súčet nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti: , odkiaľ ).

Vlastnosti matematického očakávania.

1) Matematické očakávanie konštanty sa rovná samotnej konštante:

M(OD) = OD.(7.2)

Dôkaz. Ak uvažujeme OD ako diskrétna náhodná premenná, ktorá nadobúda iba jednu hodnotu OD s pravdepodobnosťou R= 1 teda M(OD) = OD?1 = OD.

2) Zo znamenia očakávania možno vyňať konštantný faktor:

M(SH) = CM(X). (7.3)

Dôkaz. Ak náhodná premenná X daný distribučným radom

Potom M(SH) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p r p = OD(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p) = CM(X).

Definícia 7.2. Dva náhodné premenné volal nezávislý, ak distribučný zákon jedného z nich nezávisí od toho, aké hodnoty nadobudol druhý. Inak náhodné premenné závislý.

Definícia 7.3. Zavolajme súčin nezávislých náhodných premenných X a Y náhodná premenná XY, ktorého možné hodnoty sa rovnajú súčinom všetkých možných hodnôt X pre všetky možné hodnoty Y, a im zodpovedajúce pravdepodobnosti sa rovnajú súčinom pravdepodobností faktorov.

3) Matematické očakávanie súčinu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní:

M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)

Dôkaz. Pre zjednodušenie výpočtov sa obmedzíme na prípad, kedy X a Y mať iba dve možné hodnoty:

v dôsledku toho M(XY) = X 1 r 1 ?p 1 g 1 + X 2 r 1 ?p 2 g 1 + X 1 r 2 ?p 1 g 2 + X 2 r 2 ?p 2 g 2 = r 1 g 1 (X 1 p 1 + X 2 p 2) + + r 2 g 2 (X 1 p 1 + X 2 p 2) = (r 1 g 1 + r 2 g 2) (X 1 p 1 + X 2 p 2) = M(X)?M(Y).

Poznámka 1. Podobne je možné túto vlastnosť dokázať pre viac možných hodnôt faktorov.

Poznámka 2. Vlastnosť 3 platí pre súčin ľubovoľného počtu nezávislých náhodných veličín, čo je dokázané metódou matematickej indukcie.

Definícia 7.4. Poďme definovať súčet náhodných premenných X a Y ako náhodná premenná X + Y, ktorých možné hodnoty sa rovnajú súčtom každej možnej hodnoty X so všetkými možnými hodnotami Y; pravdepodobnosti takýchto súčtov sa rovnajú súčinom pravdepodobností členov (pre závislé náhodné premenné - súčinom pravdepodobnosti jedného člena s podmienenou pravdepodobnosťou druhého).

4) Matematické očakávanie súčtu dvoch náhodných premenných (závislých alebo nezávislých) sa rovná súčtu matematických očakávaní pojmov:

M (X + Y) = M (X) + M (Y). (7.5)

Dôkaz.

Zvážte znova náhodné premenné dané distribučným radom uvedeným v dôkaze vlastnosti 3. Potom možné hodnoty X + Y sú X 1 + pri 1 , X 1 + pri 2 , X 2 + pri 1 , X 2 + pri 2. Označte ich pravdepodobnosti resp R 11 , R 12 , R 21 a R 22. Poďme nájsť M(X+Y) = (X 1 + r 1)p 11 + (X 1 + r 2)p 12 + (X 2 + r 1)p 21 + (X 2 + r 2)p 22 =

= X 1 (p 11 + p 12) + X 2 (p 21 + p 22) + r 1 (p 11 + p 21) + r 2 (p 12 + p 22).

Dokážme to R 11 + R 22 = R jeden . Skutočne, udalosť, ktorá X + Y prevezme hodnoty X 1 + pri 1 alebo X 1 + pri 2 a ktorého pravdepodobnosť je R 11 + R 22 sa zhoduje s udalosťou, ktorá X = X 1 (jeho pravdepodobnosť je R jeden). Podobne je dokázané, že p 21 + p 22 = R 2 , p 11 + p 21 = g 1 , p 12 + p 22 = g 2. znamená,

M(X + Y) = X 1 p 1 + X 2 p 2 + r 1 g 1 + r 2 g 2 = M (X) + M (Y).

Komentujte. Vlastnosť 4 znamená, že súčet ľubovoľného počtu náhodných premenných sa rovná súčtu očakávaných hodnôt výrazov.

Príklad. Nájdite matematické očakávanie súčtu počtu hodených bodov pri hode piatimi kockami.

Nájdime matematické očakávanie počtu bodov, ktoré padli pri hode jednou kockou:

M(X 1) \u003d (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Rovnaké číslo sa rovná matematickému očakávanému počtu bodov, ktoré padli na ktorúkoľvek kocku. Preto podľa majetku 4 M(X)=

Disperzia.

Na to, aby sme mali predstavu o správaní sa náhodnej premennej, nestačí poznať len jej matematické očakávanie. Zvážte dve náhodné premenné: X a Y, daný distribučnými radmi formulára

X
R	0,1	0,8	0,1

Y
p	0,5	0,5

Poďme nájsť M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) \u003d 0? 0,5 ​​+ 100? 0,5 ​​\u003d 50. Ako vidíte, matematické očakávania oboch veličín sú rovnaké, ale ak pre HM(X) dobre opisuje správanie náhodnej premennej, pričom je jej najpravdepodobnejšou možnou hodnotou (ostatné hodnoty sa navyše mierne líšia od 50), potom hodnoty Y výrazne odchýliť M(Y). Preto je spolu s matematickým očakávaním žiaduce vedieť, ako veľmi sa od nej líšia hodnoty náhodnej premennej. Na charakterizáciu tohto indikátora sa používa disperzia.

Definícia 7.5.Rozptyl (rozptyl) náhodná premenná sa nazýva matematické očakávanie druhej mocniny jej odchýlky od jej matematického očakávania:

D(X) = M (X-M(X))². (7,6)

Nájdite rozptyl náhodnej premennej X(počet normalizovaných častí spomedzi vybraných) v príklade 1 tejto prednášky. Vypočítajme hodnoty druhej mocniny odchýlky každej možnej hodnoty od matematického očakávania:

(1 - 2,4)2 = 1,96; (2 - 2,4)2 = 0,16; (3 - 2,4)2 = 0,36. v dôsledku toho

Poznámka 1. Pri definícii rozptylu sa nehodnotí samotná odchýlka od priemeru, ale jeho druhá mocnina. Deje sa tak tak, aby sa odchýlky rôznych znakov navzájom nekompenzovali.

Poznámka 2. Z definície disperzie vyplýva, že táto veličina nadobúda len nezáporné hodnoty.

Poznámka 3. Na výpočet rozptylu existuje pohodlnejší vzorec, ktorého platnosť je dokázaná v nasledujúcej vete:

Veta 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)

Dôkaz.

Používaním čoho M(X) je konštantná hodnota a vlastnosti matematického očakávania transformujeme vzorec (7.6) do tvaru:

D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =

= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), čo malo byť preukázané.

Príklad. Vypočítajme rozptyl náhodných premenných X a Y diskutované na začiatku tejto časti. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M(Y) \u003d (0 2? 0,5 ​​+ 100²? 0,5) - 50² \u003d 5000 - 2500 \u003d 2500. Disperzia druhej náhodnej premennej je teda niekoľko tisíckrát väčšia ako disperzia prvej. Teda aj bez poznania zákonitostí rozloženia týchto veličín podľa známe hodnoty rozptyl, to môžeme konštatovať X sa len málo odchyľuje od svojho matematického očakávania, kým pre Y táto odchýlka je veľmi významná.

Disperzné vlastnosti.

1) Disperzná konštanta OD rovná sa nule:

D (C) = 0. (7.8)

Dôkaz. D(C) = M((C-M(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.

2) Konštantný faktor možno zo znamienka disperzie odstrániť jeho umocnením:

D(CX) = C² D(X). (7.9)

Dôkaz. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =

= C² D(X).

3) Rozptyl súčtu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčtu ich rozptylov:

D(X + Y) = D(X) + D(Y). (7.10)

Dôkaz. D(X + Y) = M(X² + 2 XY + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +

+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).

Dôsledok 1. Rozptyl súčtu viacerých vzájomne nezávislých náhodných premenných sa rovná súčtu ich rozptylov.

Dôsledok 2. Rozptyl súčtu konštanty a náhodnej premennej sa rovná rozptylu náhodnej premennej.

4) Rozptyl rozdielu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčtu ich rozptylov:

D(X-Y) = D(X) + D(Y). (7.11)

Dôkaz. D(X-Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).

Rozptyl udáva priemernú hodnotu štvorcovej odchýlky náhodnej premennej od priemeru; na posúdenie samotnej odchýlky je hodnota nazývaná štandardná odchýlka.

Definícia 7.6.Smerodajná odchýlkaσ náhodná veličina X sa nazýva druhá odmocnina rozptylu:

Príklad. V predchádzajúcom príklade štandardné odchýlky X a Y rovnaké resp

Úloha 1. Pravdepodobnosť klíčenia semien pšenice je 0,9. Aká je pravdepodobnosť, že zo štyroch zasiatych semien vyklíčia aspoň tri?

Riešenie. Nechajte udalosť ALE- zo 4 semien vyklíčia aspoň 3 semená; udalosť AT- zo 4 semien vyklíčia 3 semená; udalosť OD Zo 4 semienok vyklíčia 4 semená. Podľa vety o sčítaní pravdepodobnosti

Pravdepodobnosti
a
určíme podľa Bernoulliho vzorca použitého v nasledujúcom prípade. Nechajte sériu bežať P nezávislé pokusy, v ktorých je pravdepodobnosť výskytu udalosti konštantná a rovná sa R a pravdepodobnosť, že táto udalosť nenastane, sa rovná
. Potom pravdepodobnosť, že udalosť ALE v P testy sa objavia presne krát, vypočítané podľa Bernoulliho vzorca

,

kde
- počet kombinácií P prvky podľa . Potom

Požadovaná pravdepodobnosť

Úloha 2. Pravdepodobnosť klíčenia semien pšenice je 0,9. Nájdite pravdepodobnosť, že zo 400 zasiatych semien vyklíči 350 semien.

Riešenie. Vypočítajte požadovanú pravdepodobnosť
podľa Bernoulliho vzorca je ťažké kvôli ťažkopádnosti výpočtov. Preto použijeme približný vzorec vyjadrujúci lokálnu Laplaceovu vetu:

,

kde
a
.

Z vyhlásenia o probléme. Potom

.

V tabuľke 1 aplikácií nájdeme . Požadovaná pravdepodobnosť sa rovná

Úloha 3. Medzi semenami pšenice 0,02 % burín. Aká je pravdepodobnosť, že náhodný výber 10 000 semien odhalí 6 semien burín?

Riešenie. Aplikácia lokálnej Laplaceovej vety z dôvodu nízkej pravdepodobnosti
vedie k výraznej odchýlke pravdepodobnosti od presnej hodnoty
. Preto za malé hodnoty R kalkulovať
použiť asymptotický Poissonov vzorec

, kde .

Tento vzorec sa používa, keď
a tým menej R a viac P, tým presnejší je výsledok.

Podľa zadania
;
. Potom

Úloha 4. Percento klíčivosti semien pšenice je 90%. Nájdite pravdepodobnosť, že z 500 zasiatych semien vyklíči 400 až 440 semien.

Riešenie. Ak pravdepodobnosť výskytu udalosti ALE v každom z P testov je konštantný a rovný R, potom pravdepodobnosť
že udalosť ALE v takýchto testoch bude min raz a nie viac čas je určený Laplaceovou integrálnou vetou podľa nasledujúceho vzorca:

, kde

,
.

Funkcia
sa nazýva Laplaceova funkcia. V prílohách (tabuľka 2) sú uvedené hodnoty tejto funkcie
. O
funkciu
. Pre záporné hodnoty X kvôli zvláštnosti Laplaceovej funkcie
. Pomocou Laplaceovej funkcie máme:

Podľa zadania. Pomocou vyššie uvedených vzorcov nájdeme
a :

Úloha 5. Je daný zákon rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej X:

2. Nájdite: 1) matematické očakávanie; 2) disperzia; 3) štandardná odchýlka.

Riešenie. 1) Ak je zákon rozdelenia diskrétnej náhodnej veličiny daný tabuľkou

2. Ak sú hodnoty náhodnej premennej x uvedené v prvom riadku a pravdepodobnosti týchto hodnôt sú uvedené v druhom riadku, potom sa matematické očakávanie vypočíta podľa vzorca

2) Disperzia
diskrétna náhodná premenná X sa nazýva matematické očakávanie druhej mocniny odchýlky náhodnej premennej od jej matematického očakávania, t.j.

Táto hodnota charakterizuje priemernú očakávanú hodnotu štvorcovej odchýlky X od
. Z posledného vzorca, ktorý máme

disperzia
možno nájsť iným spôsobom na základe jeho nasledujúcej vlastnosti: rozptyl
sa rovná rozdielu medzi matematickým očakávaním druhej mocniny náhodnej premennej X a štvorec jeho matematického očakávania
, teda

Kalkulovať
zostavíme nasledujúci zákon rozdelenia množstva
:

3) Na charakterizáciu rozptylu možných hodnôt náhodnej premennej okolo jej strednej hodnoty sa zavádza štandardná odchýlka
náhodná premenná X, ktorá sa rovná druhej odmocnine rozptylu
, teda

.

Z tohto vzorca máme:

Úloha 6. Spojitá náhodná premenná X daný integrálnou distribučnou funkciou

Nájdite: 1) funkciu diferenciálneho rozdelenia
; 2) matematické očakávanie
; 3) disperzia
.

Riešenie. 1) Funkcia diferenciálneho rozdelenia
spojitá náhodná premenná X sa nazýva derivácia integrálnej distribučnej funkcie
, teda

.

Požadovaná diferenciálna funkcia má nasledujúci tvar:

2) Ak je spojitá náhodná premenná X daný funkciou
, potom je jeho matematické očakávanie určené vzorcom

Od funkcie
pri
a pri
sa rovná nule, potom z posledného vzorca, ktorý máme

.

3) Disperzia
definovať podľa vzorca

Úloha 7. Dĺžka dielu je normálne rozložená náhodná premenná s matematickým očakávaním 40 mm a štandardnou odchýlkou ​​3 mm. Nájdite: 1) pravdepodobnosť, že dĺžka ľubovoľnej časti bude väčšia ako 34 mm a menšia ako 43 mm; 2) pravdepodobnosť, že sa dĺžka súčiastky odchyľuje od matematického predpokladu najviac o 1,5 mm.

Riešenie. 1) Nechajte X- dĺžka dielu. Ak náhodná premenná X daný diferenciálnou funkciou
, potom pravdepodobnosť, že X prevezme hodnoty patriace do segmentu
, sa určuje podľa vzorca

.

Pravdepodobnosť splnenia prísnych nerovností
určené rovnakým vzorcom. Ak náhodná premenná X rozdelené podľa normálneho zákona

, (1)

kde
je Laplaceova funkcia,
.

V úlohe. Potom

2) Podľa stavu problému, kde
. Nahradením do (1) máme

. (2)

Zo vzorca (2) máme.

Náhodná premenná volal premenlivý, ktorá ako výsledok každého testu nadobúda jednu predtým neznámu hodnotu v závislosti od náhodných príčin. Náhodné premenné sa označujú veľkými latinskými písmenami: $X,\ Y,\ Z,\ \bodky $ Podľa typu môžu byť náhodné premenné diskrétne a nepretržitý.

Diskrétna náhodná premenná- je to taká náhodná premenná, ktorej hodnoty môžu byť len spočítateľné, to znamená buď konečné alebo spočítateľné. Počitateľnosť znamená, že hodnoty náhodnej premennej je možné vyčísliť.

Príklad 1 . Uveďme príklady diskrétnych náhodných premenných:

a) počet zásahov do terča $n$ výstrelmi, tu sú možné hodnoty $0,\ 1,\ \bodky,\ n$.

b) počet erbov, ktoré vypadli pri hode mincou, tu sú možné hodnoty $0,\ 1,\ \bodky,\ n$.

c) počet lodí, ktoré dorazili na palubu (počítateľný súbor hodnôt).

d) počet hovorov prichádzajúcich do ústredne (počítateľný súbor hodnôt).

1. Zákon rozdelenia pravdepodobnosti diskrétnej náhodnej premennej.

Diskrétna náhodná premenná $X$ môže nadobúdať hodnoty $x_1,\bodky,\ x_n$ s pravdepodobnosťou $p\left(x_1\right),\\dots ,\p\left(x_n\right)$. Korešpondencia medzi týmito hodnotami a ich pravdepodobnosťami sa nazýva distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej. Spravidla sa táto korešpondencia špecifikuje pomocou tabuľky, v ktorej prvom riadku sú uvedené hodnoty $x_1,\bodky,\ x_n$ a v druhom riadku sú pravdepodobnosti zodpovedajúce týmto hodnotám $ p_1,\bodky ,\ p_n$.

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(pole)$

Príklad 2 . Nech náhodná premenná $X$ je počet bodov hodených pri hode kockou. Takáto náhodná premenná $X$ môže nadobúdať nasledujúce hodnoty $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Pravdepodobnosti všetkých týchto hodnôt sa rovnajú $ 1/6 $. Potom zákon rozdelenia pravdepodobnosti pre náhodnú premennú $X$:

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(pole)$

Komentujte. Keďže udalosti $1,\ 2,\ \bodky ,\ 6$ tvoria ucelenú skupinu udalostí v zákone rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej $X$, súčet pravdepodobností sa musí rovnať jednej, t.j. $\sum( p_i) = 1 $.

2. Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej.

Matematické očakávanie náhodnej premennej určuje jeho "centrálnu" hodnotu. Pre diskrétnu náhodnú premennú sa matematické očakávanie vypočíta ako súčet súčinov hodnôt $x_1,\bodky,\x_n$ a pravdepodobností $p_1,\bodky,\p_n$ zodpovedajúcich týmto hodnotám, t.j.: $M\vľavo(X\vpravo)=\súčet ^n_(i=1)(p_ix_i)$. V anglickej literatúre sa používa iný zápis $E\left(X\right)$.

Vlastnosti očakávania$M\vľavo(X\vpravo)$:

1. $M\left(X\right)$ je medzi najmenším a najvyššie hodnoty náhodná premenná $X$.
2. Matematické očakávanie konštanty sa rovná samotnej konštante, t.j. $M\vľavo(C\vpravo)=C$.
3. Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka očakávania: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Matematické očakávanie súčtu náhodných premenných sa rovná súčtu ich matematických očakávaní: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Matematické očakávanie súčinu nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní: $M\vľavo(XY\vpravo)=M\vľavo(X\vpravo)M\vľavo(Y\vpravo)$.

Príklad 3 . Nájdime matematické očakávanie náhodnej premennej $X$ z príkladu $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\nad (6))+4\cdot ((1)\nad (6))+5\cdot ((1)\nad (6))+6\cdot ((1) )\nad (6))=3,5.$$

Môžeme si všimnúť, že $M\left(X\right)$ je medzi najmenšou ($1$) a najväčšou ($6$) hodnotou náhodnej premennej $X$.

Príklad 4 . Je známe, že matematické očakávanie náhodnej premennej $X$ sa rovná $M\left(X\right)=2$. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej $3X+5$.

Pomocou vyššie uvedených vlastností dostaneme $M\vľavo(3X+5\vpravo)=M\vľavo(3X\vpravo)+M\vľavo(5\vpravo)=3M\vľavo(X\vpravo)+5=3\ cdot 2 +5 = 11 $.

Príklad 5 . Je známe, že matematické očakávanie náhodnej premennej $X$ sa rovná $M\left(X\right)=4$. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej $2X-9$.

Pomocou vyššie uvedených vlastností dostaneme $M\vľavo(2X-9\vpravo)=M\vľavo(2X\vpravo)-M\vľavo(9\vpravo)=2M\vľavo(X\vpravo)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Disperzia diskrétnej náhodnej premennej.

Možné hodnoty náhodných premenných s rovnakými matematickými očakávaniami sa môžu okolo ich priemerných hodnôt rozptýliť rôzne. Napríklad v dvoch študentských skupinách GPA na skúšku z teórie pravdepodobnosti sa rovnali 4, ale v jednej skupine boli všetci dobrí študenti av druhej skupine iba traja a vynikajúci študenti. Preto je potrebná taká číselná charakteristika náhodnej premennej, ktorá by ukazovala rozptyl hodnôt náhodnej premennej okolo jej matematického očakávania. Táto vlastnosť je disperzia.

Disperzia diskrétnej náhodnej premennej$X$ je:

$$D\vľavo(X\vpravo)=\súčet^n_(i=1)(p_i(\vľavo(x_i-M\vľavo(X\vpravo)\vpravo))^2).\ $$

V anglickej literatúre sa používa zápis $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Veľmi často sa rozptyl $D\left(X\right)$ počíta podľa vzorca $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ vľavo(X \vpravo)\vpravo))^2$.

Vlastnosti disperzie$D\vľavo(X\vpravo)$:

1. Disperzia je vždy väčšia alebo rovná nule, t.j. $D\vľavo(X\vpravo)\ge 0$.
2. Disperzia z konštanty sa rovná nule, t.j. $D\vľavo(C\vpravo)=0$.
3. Konštantný faktor je možné odobrať zo znamienka rozptylu za predpokladu, že je na druhú, t.j. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Rozptyl súčtu nezávislých náhodných veličín sa rovná súčtu ich rozptylov, t.j. $D\vľavo(X+Y\vpravo)=D\vľavo(X\vpravo)+D\vľavo(Y\vpravo)$.
5. Rozptyl rozdielu nezávislých náhodných veličín sa rovná súčtu ich rozptylov, t.j. $D\vľavo(X-Y\vpravo)=D\vľavo(X\vpravo)+D\vľavo(Y\vpravo)$.

Príklad 6 . Vypočítajme rozptyl náhodnej premennej $X$ z príkladu $2$.

$$D\vľavo(X\vpravo)=\súčet^n_(i=1)(p_i(\vľavo(x_i-M\vľavo(X\vpravo)\vpravo))^2)=((1)\nad (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \bodky +((1)\viac ako (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\nad (12))\približne 2,92,$$

Príklad 7 . Je známe, že rozptyl náhodnej premennej $X$ sa rovná $D\left(X\right)=2$. Nájdite rozptyl náhodnej premennej $4X+1$.

Pomocou vyššie uvedených vlastností nájdeme $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ vľavo(X\vpravo)=16\cdot 2=32$.

Príklad 8 . Je známe, že rozptyl $X$ sa rovná $D\left(X\right)=3$. Nájdite rozptyl náhodnej premennej $3-2X$.

Pomocou vyššie uvedených vlastností nájdeme $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ vľavo(X\vpravo)=4\cdot 3=12$.

4. Distribučná funkcia diskrétnej náhodnej premennej.

Spôsob reprezentácie diskrétnej náhodnej premennej vo forme distribučného radu nie je jediný, a čo je najdôležitejšie, nie je univerzálny, pretože spojitú náhodnú premennú nemožno špecifikovať pomocou distribučného radu. Existuje ďalší spôsob, ako reprezentovať náhodnú premennú - distribučnú funkciu.

distribučná funkcia náhodná premenná $X$ je funkcia $F\left(x\right)$, ktorá určuje pravdepodobnosť, že náhodná premenná $X$ nadobudne hodnotu menšiu ako nejaká pevná hodnota $x$, t.j. $F\left(x\) vpravo)$ )=P\vľavo(X< x\right)$

Vlastnosti distribučnej funkcie:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Pravdepodobnosť, že náhodná premenná $X$ nadobudne hodnoty z intervalu $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, sa rovná rozdielu medzi hodnotami distribučnej funkcie na koncoch tohto intervalu : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - neklesá.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \vpravo)=1\ )$.

Príklad 9 . Nájdite distribučnú funkciu $F\left(x\right)$ pre distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej $X$ z príkladu $2$.

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(pole)$

Ak $x\le 1$, potom samozrejme $F\left(x\right)=0$ (vrátane $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Ak 1 dolár< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Ak 2 doláre< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Ak 3 doláre< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Ak 4 doláre< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Ak 5 dolárov< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Ak $x > 6$, potom $F\vľavo(x\vpravo)=P\vľavo(X=1\vpravo)+P\vľavo(X=2\vpravo)+P\vľavo(X=3\vpravo) + P\vľavo(X=4\vpravo)+P\vľavo(X=5\vpravo)+P\vľavo(X=6\vpravo)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Takže $F(x)=\vľavo\(\začiatok(matica)
0,\ v\ x\le 1,\\
1/6, o \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ na\ 2< x\le 3,\\
1/2, o \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ o\ 4< x\le 5,\\
6.5., \ o \ 4< x\le 5,\\
1,\ pre \ x > 6.
\end(matica)\right.$

Matematické očakávanie a rozptyl sú najčastejšie používané číselné charakteristiky náhodnej premennej. Charakterizujú najdôležitejšie znaky distribúcie: jej polohu a stupeň rozptylu. V mnohých problémoch praxe úplný, vyčerpávajúci opis náhodnej premennej - zákon rozdelenia - buď nemožno získať vôbec, alebo nie je vôbec potrebný. V týchto prípadoch sa obmedzujú na približný popis náhodnej premennej pomocou číselných charakteristík.

Matematické očakávanie sa často označuje jednoducho ako priemerná hodnota náhodnej premennej. Disperzia náhodnej premennej je charakteristika disperzie, rozptylu náhodnej premennej okolo jej matematického očakávania.

Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej

Pristúpme k pojmu matematické očakávanie, vychádzajúc najskôr z mechanickej interpretácie rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej. Nech je jednotková hmotnosť rozdelená medzi body osi x X1 , X 2 , ..., X n a každý hmotný bod má hmotnosť zodpovedajúcu tomu od p1 , p 2 , ..., p n. Je potrebné zvoliť jeden bod na osi x, charakterizujúci polohu celého systému hmotné body berúc do úvahy ich hmotnosti. Je prirodzené brať ako taký bod ťažisko sústavy hmotných bodov. Toto je vážený priemer náhodnej premennej X, v ktorom sú úsečka každého bodu Xi vstupuje s „váhou“ rovnajúcou sa zodpovedajúcej pravdepodobnosti. Takto získaná stredná hodnota náhodnej premennej X sa nazýva jeho matematické očakávanie.

Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je súčtom súčinov všetkých jej možných hodnôt a pravdepodobností týchto hodnôt:

Príklad 1 Bola zorganizovaná lotéria win-win. Existuje 1 000 výhier, z ktorých 400 je 10 rubľov. 300 - 20 rubľov každý 200 - 100 rubľov každý. a 100 - 200 rubľov každý. Čo priemerná veľkosť výhra pre osobu, ktorá si kúpi jeden tiket?

Riešenie. Zisťujeme priemerný výnos, ak celková suma výhry, čo sa rovná 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 = 50 000 rubľov, delené 1 000 (celková suma výhier). Potom dostaneme 50 000/1 000 = 50 rubľov. Ale výraz na výpočet priemerného zisku môže byť reprezentovaný aj v tejto forme:

Na druhej strane, za týchto podmienok je výška výhry náhodná premenná, ktorá môže nadobudnúť hodnoty 10, 20, 100 a 200 rubľov. s pravdepodobnosťou rovnou 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Preto očakávaný priemerný výnos sa rovná súčtu produkty veľkosti výhier podľa pravdepodobnosti ich získania.

Príklad 2 Vydavateľstvo sa rozhodlo vydať nová kniha. Knihu sa chystá predať za 280 rubľov, z čoho 200 dostane jemu, 50 kníhkupectvu a 30 autorovi. Tabuľka poskytuje informácie o nákladoch na vydanie knihy a pravdepodobnosti predaja určitého počtu výtlačkov knihy.

Nájdite očakávaný zisk vydavateľa.

Riešenie. Náhodná premenná „zisk“ sa rovná rozdielu medzi príjmom z predaja a nákladmi na náklady. Napríklad, ak sa predá 500 kópií knihy, príjem z predaja je 200 * 500 = 100 000 a náklady na vydanie sú 225 000 rubľov. Vydavateľovi tak hrozí strata 125 000 rubľov. Nasledujúca tabuľka sumarizuje očakávané hodnoty náhodnej premennej - zisku:

číslo	Zisk Xi	Pravdepodobnosť pi	Xi p i
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Celkom:		1,00	25000

Takto získame matematické očakávanie zisku vydavateľa:

.

Príklad 3Šanca zasiahnuť jednou ranou p= 0,2. Určte spotrebu škrupín, ktoré poskytujú matematický predpoklad počtu zásahov rovný 5.

Riešenie. Vyjadrujeme z rovnakého vzorca očakávania, ktorý sme používali doteraz X- spotreba škrupín:

.

Príklad 4 Určte matematické očakávanie náhodnej premennej X počet zásahov pri troch výstreloch, ak je pravdepodobnosť zásahu pri každom výstrele p = 0,4 .

Tip: nájdite pravdepodobnosť hodnôt náhodnej premennej podľa Bernoulliho vzorec .

Vlastnosti očakávania

Zvážte vlastnosti matematického očakávania.

Nehnuteľnosť 1. Matematické očakávanie konštantnej hodnoty sa rovná tejto konštante:

Nehnuteľnosť 2. Konštantný faktor možno vyňať zo znamenia očakávania:

Nehnuteľnosť 3. Matematické očakávanie súčtu (rozdielu) náhodných premenných sa rovná súčtu (rozdielu) ich matematických očakávaní:

Nehnuteľnosť 4. Matematické očakávanie súčinu náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní:

Nehnuteľnosť 5. Ak sú všetky hodnoty náhodnej premennej X znížiť (zvýšiť) o rovnaké číslo OD, potom sa jeho matematické očakávanie zníži (zvýši) o rovnaké číslo:

Keď sa nemôžete obmedziť len na matematické očakávania

Vo väčšine prípadov len matematické očakávanie nedokáže adekvátne charakterizovať náhodnú premennú.

Nech náhodné premenné X a Y sú dané nasledujúcimi distribučnými zákonmi:

Význam X	Pravdepodobnosť
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Význam Y	Pravdepodobnosť
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Matematické očakávania týchto veličín sú rovnaké - rovné nule:

Ich distribúcia je však odlišná. Náhodná hodnota X môže nadobúdať iba hodnoty, ktoré sa málo líšia od matematického očakávania a náhodnej premennej Y môže nadobudnúť hodnoty, ktoré sa výrazne odchyľujú od matematického očakávania. Podobný príklad: priemerná mzda neumožňuje posúdiť podiel vysoko a nízko platených pracovníkov. Inými slovami, matematickým očakávaním nemožno posúdiť, aké odchýlky od neho, aspoň v priemere, sú možné. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť rozptyl náhodnej premennej.

Disperzia diskrétnej náhodnej premennej

disperzia diskrétna náhodná premenná X sa nazýva matematické očakávanie druhej mocniny jej odchýlky od matematického očakávania:

Smerodajná odchýlka náhodnej premennej X je aritmetická hodnota druhej odmocniny jej rozptylu:

.

Príklad 5 Vypočítajte rozptyly a smerodajné odchýlky náhodných premenných X a Y, ktorého distribučné zákony sú uvedené v tabuľkách vyššie.

Riešenie. Matematické očakávania náhodných premenných X a Y, ako je uvedené vyššie, sa rovnajú nule. Podľa disperzného vzorca pre E(X)=E(r)=0 dostaneme:

Potom smerodajné odchýlky náhodných premenných X a Y tvoria

.

Teda pri rovnakých matematických očakávaniach rozptyl náhodnej premennej X veľmi malé a náhodné Y- významný. Je to dôsledok rozdielu v ich rozdelení.

Príklad 6 Investor má 4 alternatívne investičné projekty. Tabuľka sumarizuje údaje o očakávanom zisku v týchto projektoch s príslušnou pravdepodobnosťou.

Projekt 1	Projekt 2	Projekt 3	Projekt 4
500, P=1	1000, P=0,5	500, P=0,5	500, P=0,5
	0, P=0,5	1000, P=0,25	10500, P=0,25
		0, P=0,25	9500, P=0,25

Nájdite pre každú alternatívu matematické očakávanie, rozptyl a smerodajnú odchýlku.

Riešenie. Ukážme, ako sa tieto množstvá počítajú pre 3. alternatívu:

Tabuľka sumarizuje zistené hodnoty pre všetky alternatívy.

Všetky alternatívy majú rovnaké matematické očakávania. To znamená, že z dlhodobého hľadiska majú všetci rovnaký príjem. Smerodajnú odchýlku možno interpretovať ako mieru rizika – čím je väčšia, tým väčšie je riziko investície. Investor, ktorý nechce veľa riskovať, si vyberie projekt 1, pretože má najmenšiu smerodajnú odchýlku (0). Ak investor uprednostňuje riziko a vysoké výnosy v krátkom období, vyberie si projekt s najväčšou smerodajnou odchýlkou ​​– projekt 4.

Vlastnosti disperzie

Uveďme si vlastnosti disperzie.

Nehnuteľnosť 1. Disperzia konštantnej hodnoty je nula:

Nehnuteľnosť 2. Konštantný faktor možno zo znamienka disperzie odstrániť jeho umocnením:

.

Nehnuteľnosť 3. Rozptyl náhodnej premennej sa rovná matematickému očakávaniu druhej mocniny tejto hodnoty, od ktorej sa odpočíta druhá mocnina matematického očakávania samotnej hodnoty:

,

kde .

Nehnuteľnosť 4. Rozptyl súčtu (rozdielu) náhodných premenných sa rovná súčtu (rozdielu) ich rozptylov:

Príklad 7 Je známe, že diskrétna náhodná premenná X má iba dve hodnoty: −3 a 7. Okrem toho je známe matematické očakávanie: E(X) = 4. Nájdite rozptyl diskrétnej náhodnej premennej.

Riešenie. Označiť podľa p pravdepodobnosť, s ktorou náhodná premenná nadobudne hodnotu X1 = −3 . Potom pravdepodobnosť hodnoty X2 = 7 bude 1 - p. Odvoďme rovnicu pre matematické očakávania:

E(X) = X 1 p + X 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,

kde dostaneme pravdepodobnosti: p= 0,3 a 1 - p = 0,7 .

Zákon rozdelenia náhodnej premennej:

X	−3	7
p	0,3	0,7

Rozptyl tejto náhodnej premennej vypočítame pomocou vzorca z vlastnosti 3 rozptylu:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej sami a potom uvidíte riešenie

Príklad 8 Diskrétna náhodná premenná X má iba dve hodnoty. Má väčšiu hodnotu 3 s pravdepodobnosťou 0,4. Okrem toho je známy rozptyl náhodnej premennej D(X) = 6. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej.

Príklad 9 Urna obsahuje 6 bielych a 4 čierne gule. Z urny sa odoberú 3 loptičky. Počet bielych guľôčok medzi vyžrebovanými guľami je diskrétna náhodná premenná X. Nájdite matematické očakávanie a rozptyl tejto náhodnej premennej.

Riešenie. Náhodná hodnota X môže nadobúdať hodnoty 0, 1, 2, 3. Zodpovedajúce pravdepodobnosti je možné vypočítať z pravidlo násobenia pravdepodobností. Zákon rozdelenia náhodnej premennej:

X	0	1	2	3
p	1/30	3/10	1/2	1/6

Z toho vyplýva matematické očakávanie tejto náhodnej premennej:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Rozptyl danej náhodnej premennej je:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Matematické očakávanie a disperzia spojitej náhodnej premennej

Pre spojitú náhodnú premennú si mechanická interpretácia matematického očakávania zachová rovnaký význam: ťažisko pre jednotkovú hmotnosť rozloženú súvisle na osi x s hustotou f(X). Na rozdiel od diskrétnej náhodnej premennej, pre ktorú je argument funkcie Xi mení sa náhle, pre spojitú náhodnú premennú sa argument mení nepretržite. Ale matematické očakávanie spojitej náhodnej premennej súvisí aj s jej strednou hodnotou.

Ak chcete nájsť matematické očakávanie a rozptyl spojitej náhodnej premennej, musíte nájsť určité integrály . Ak je daná funkcia hustoty spojitej náhodnej premennej, vstupuje priamo do integrandu. Ak je daná funkcia rozdelenia pravdepodobnosti, potom jej diferencovaním musíte nájsť funkciu hustoty.

Aritmetický priemer všetkých možných hodnôt spojitej náhodnej premennej sa nazýva jeho matematické očakávanie, označené alebo .