najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok sú kľúčové aritmetické pojmy, ktoré vám umožňujú pracovať bez námahy obyčajné zlomky. LCM a sa najčastejšie používajú na nájdenie spoločného menovateľa viacerých zlomkov.

Základné pojmy

Deliteľ celého čísla X je ďalšie celé číslo Y, ktorým je X deliteľné bezo zvyšku. Napríklad deliteľ 4 je 2 a 36 je 4, 6, 9. Násobkom celého čísla X je číslo Y, ktoré je deliteľné X bezo zvyšku. Napríklad 3 je násobok 15 a 6 je násobok 12.

Pre každú dvojicu čísel môžeme nájsť ich spoločných deliteľov a násobkov. Napríklad pre 6 a 9 je spoločný násobok 18 a spoločný deliteľ je 3. Je zrejmé, že páry môžu mať niekoľko deliteľov a násobkov, takže pri výpočtoch sa používa najväčší deliteľ GCD a najmenší násobok LCM. .

Najmenší deliteľ nedáva zmysel, pretože pre každé číslo je vždy jedna. Najväčší násobok je tiež nezmyselný, pretože postupnosť násobkov má tendenciu k nekonečnu.

Nájdenie GCD

Existuje mnoho metód na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa, z ktorých najznámejšie sú:

• postupné vyčíslenie deliteľov, výber spoločných pre pár a hľadanie najväčšieho z nich;
• rozklad čísel na nedeliteľné faktory;
• Euklidov algoritmus;
• binárny algoritmus.

Dnes o vzdelávacie inštitúcie Najpopulárnejšie metódy sú rozklad na hlavné faktory a Euklidov algoritmus. Ten sa zase používa pri riešení diofantických rovníc: hľadanie GCD je potrebné na kontrolu rovnice, či je možné ju vyriešiť v celých číslach.

Nájdenie NOC

Najmenší spoločný násobok je tiež presne určený iteratívnym sčítaním alebo rozkladom na nedeliteľné faktory. Okrem toho je ľahké nájsť LCM, ak už bol určený najväčší deliteľ. Pre čísla X a Y sú LCM a GCD spojené nasledujúcim vzťahom:

LCM(X,Y) = X x Y/GCM(X,Y).

Napríklad, ak gcd(15,18) = 3, potom LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Najzrejmejším použitím LCM je nájsť spoločného menovateľa, ktorý je najmenším spoločným násobkom dané zlomky.

Coprime čísla

Ak dvojica čísel nemá spoločných deliteľov, potom sa takáto dvojica nazýva koprimá. GCM pre takéto páry sa vždy rovná jednej a na základe spojenia deliteľov a násobkov sa GCM pre coprime rovná ich súčinu. Napríklad čísla 25 a 28 sú koprimé, pretože nemajú spoločných deliteľov, a LCM(25, 28) = 700, čo zodpovedá ich súčinu. Akékoľvek dve nedeliteľné čísla budú vždy rovnaké.

Spoločný deliteľ a viacnásobná kalkulačka

Pomocou našej kalkulačky môžete vypočítať GCD a LCM pre ľubovoľný počet čísel, z ktorých si môžete vybrať. Úlohy na výpočet spoločných deliteľov a násobkov sa nachádzajú v aritmetike ročníkov 5 a 6, avšak GCD a LCM sú kľúčové pojmy matematiky a používajú sa v teórii čísel, planimetrii a komunikačnej algebre.

Príklady zo života

Spoločný menovateľ zlomkov

Najmenší spoločný násobok sa používa pri hľadaní spoločného menovateľa viacerých zlomkov. Predpokladajme, že v aritmetickej úlohe je potrebné sčítať 5 zlomkov:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Ak chcete pridať zlomky, výraz sa musí zredukovať na spoločného menovateľa, čím sa zníži problém s nájdením LCM. Ak to chcete urobiť, vyberte 5 čísel v kalkulačke a zadajte hodnoty menovateľa do príslušných buniek. Program vypočíta LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Teraz musíte pre každý zlomok vypočítať ďalšie faktory, ktoré sú definované ako pomer LCM k menovateľovi. Dodatočné multiplikátory by teda vyzerali takto:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Potom vynásobíme všetky zlomky zodpovedajúcim dodatočným faktorom a dostaneme:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Takéto zlomky môžeme jednoducho sčítať a dostaneme výsledok v tvare 159/360. Zlomok znížime o 3 a uvidíme konečnú odpoveď - 53/120.

Riešenie lineárnych diofantických rovníc

Lineárne diofantické rovnice sú vyjadrením tvaru ax + by = d. Ak je pomer d / gcd(a, b) celé číslo, potom je rovnica riešiteľná v celých číslach. Pozrime sa na niekoľko rovníc na možnosť celočíselného riešenia. Najprv skontrolujte rovnicu 150x + 8y = 37. Pomocou kalkulačky zistíme gcd (150,8) = 2. Vydelte 37/2 = 18,5. Číslo nie je celé číslo, preto rovnica nemá celé korene.

Skontrolujeme rovnicu 1320x + 1760y = 10120. Pomocou kalkulačky nájdite gcd(1320, 1760) = 440. Vydeľte 10120/440 = 23. Výsledkom je celé číslo, preto je diofantínska rovnica riešiteľná v .

Záver

GCD a LCM zohrávajú dôležitú úlohu v teórii čísel a samotné pojmy sú široko používané v rôznych oblastiach matematiky. Použite našu kalkulačku na výpočet najväčších deliteľov a najmenších násobkov ľubovoľného počtu čísel.

Nižšie uvedený materiál je logickým pokračovaním teórie z článku pod názvom LCM - najmenší spoločný násobok, definícia, príklady, vzťah medzi LCM a GCD. Tu budeme hovoriť o nájdenie najmenšieho spoločného násobku (LCM), a venovať osobitnú pozornosť riešeniu príkladov. Najprv ukážme, ako sa vypočíta LCM dvoch čísel z hľadiska GCD týchto čísel. Ďalej zvážte nájdenie najmenšieho spoločného násobku rozkladom čísel na prvočísla. Potom sa zameriame na nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel a venujeme pozornosť aj výpočtu LCM záporných čísel.

Navigácia na stránke.

Výpočet najmenšieho spoločného násobku (LCM) prostredníctvom gcd

Jeden spôsob, ako nájsť najmenší spoločný násobok, je založený na vzťahu medzi LCM a GCD. Existujúci vzťah medzi LCM a GCD vám umožňuje vypočítať najmenší spoločný násobok dvoch kladných celých čísel prostredníctvom známeho najväčšieho spoločného deliteľa. Zodpovedajúci vzorec má tvar LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Zvážte príklady nájdenia LCM pomocou vyššie uvedeného vzorca.

Príklad.

Nájdite najmenší spoločný násobok dvoch čísel 126 a 70 .

Riešenie.

V tomto príklade a=126, b=70. Využime vzťah medzi LCM a GCD vyjadrený vzorcom LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). To znamená, že najprv musíme nájsť najväčšieho spoločného deliteľa čísel 70 a 126, potom môžeme vypočítať LCM týchto čísel podľa napísaného vzorca.

Nájdite gcd(126, 70) pomocou Euklidovho algoritmu: 126=70 1+56, 70=56 1+14, 56=14 4, teda gcd(126, 70)=14.

Teraz nájdeme požadovaný najmenší spoločný násobok: LCM(126; 70)=126 70: LCM(126; 70)= 126 70:14=630.

odpoveď:

LCM(126,70)=630.

Príklad.

Čo je LCM(68, 34)?

Riešenie.

Pretože 68 je rovnomerne deliteľné 34 , potom gcd(68, 34)=34 . Teraz vypočítame najmenší spoločný násobok: LCM(68; 34)=68 34: LCM(68; 34)= 68 34:34=68.

odpoveď:

LCM(68,34)=68.

Všimnite si, že predchádzajúci príklad vyhovuje nasledujúcemu pravidlu na nájdenie LCM pre kladné celé čísla aab: ak je číslo a deliteľné b, potom najmenší spoločný násobok týchto čísel je a.

Nájdenie LCM rozdelením čísel na hlavné faktory

Ďalší spôsob, ako nájsť najmenší spoločný násobok, je založený na rozklade čísel na prvočísla. Ak vytvoríme súčin všetkých prvočiniteľov týchto čísel, potom z tohto súčinu vylúčime všetky spoločné prvočísla, ktoré sú prítomné v rozšíreniach týchto čísel, potom sa výsledný súčin bude rovnať najmenšiemu spoločnému násobku týchto čísel.

Vyhlásené pravidlo pre hľadanie LCM vyplýva z rovnosti LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). V skutočnosti sa súčin čísel a a b rovná súčinu všetkých faktorov podieľajúcich sa na expanziách čísel a a b. Na druhej strane, gcd(a, b) sa rovná produktu všetky prvočísla, ktoré sú súčasne prítomné v rozšíreniach čísel a a b (čo je popísané v časti o hľadaní GCD pomocou rozkladu čísel na prvočiniteľa).

Vezmime si príklad. Nech vieme, že 75=3 5 5 a 210=2 3 5 7 . Zostavte súčin všetkých faktorov týchto expanzií: 2 3 3 5 5 5 7 . Teraz z tohto produktu vylúčime všetky faktory, ktoré sú prítomné tak v rozšírení čísla 75, ako aj v rozšírení čísla 210 (takými faktormi sú 3 a 5), ​​potom bude produkt mať tvar 2 3 5 5 7 . Hodnota tohto súčinu sa rovná najmenšiemu spoločnému násobku čísel 75 a 210, tj. LCM(75; 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Príklad.

Po rozklade čísel 441 a 700 na prvočísla nájdite najmenší spoločný násobok týchto čísel.

Riešenie.

Rozložme čísla 441 a 700 na prvočísla:

Dostaneme 441 = 3 3 7 7 a 700 = 2 2 5 5 7 .

Teraz urobme súčin všetkých faktorov podieľajúcich sa na expanziách týchto čísel: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Vylúčme z tohto produktu všetky faktory, ktoré sú súčasne prítomné v oboch expanziách (existuje len jeden taký faktor - toto je číslo 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Touto cestou, LCM(441; 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

odpoveď:

LCM(441,700)= 44100.

Pravidlo na nájdenie LCM pomocou rozkladu čísel na prvočísla možno formulovať trochu inak. Ak pripočítame chýbajúce faktory z rozšírenia čísla b k faktorom z rozkladu čísla a, potom sa hodnota výsledného súčinu bude rovnať najmenšiemu spoločnému násobku čísel a a b..

Vezmime si napríklad všetky rovnaké čísla 75 a 210, ich expanzie na prvočísla sú nasledovné: 75=3 5 5 a 210=2 3 5 7 . K faktorom 3, 5 a 5 z rozšírenia čísla 75 pripočítame chýbajúce faktory 2 a 7 z rozšírenia čísla 210, dostaneme súčin 2 3 5 5 7, ktorého hodnota je LCM(75 , 210).

Príklad.

Nájdite najmenší spoločný násobok 84 a 648.

Riešenie.

Najprv získame rozklad čísel 84 a 648 na prvočísla. Vyzerajú ako 84=2 2 3 7 a 648=2 2 2 3 3 3 3 . K faktorom 2 , 2 , 3 a 7 z rozšírenia čísla 84 pripočítame chýbajúce faktory 2 , 3 , 3 a 3 z rozšírenia čísla 648 , dostaneme súčin 2 2 2 3 3 3 3 7 , čo sa rovná 4 536 . Požadovaný najmenší spoločný násobok čísel 84 a 648 je teda 4536.

odpoveď:

LCM(84,648)=4536.

Nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel

Najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel možno nájsť postupným nájdením LCM dvoch čísel. Pripomeňme si príslušnú vetu, ktorá umožňuje nájsť LCM troch alebo viacerých čísel.

Veta.

Nech sú dané kladné celé čísla a 1 , a 2 , …, a k, najmenší spoločný násobok m k týchto čísel nájdeme v sekvenčnom výpočte m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2, a 3) , ..., mk = LCM(mk-1, ak).

Zvážte aplikáciu tejto vety na príklade hľadania najmenšieho spoločného násobku štyroch čísel.

Príklad.

Nájdite LCM štyroch čísel 140, 9, 54 a 250.

Riešenie.

V tomto príklade a1=140, a2=9, a3=54, a4=250.

Najprv nájdeme m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Aby sme to dosiahli, pomocou euklidovského algoritmu určíme gcd(140, 9) , máme 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , teda gcd( 140, 9) = 1, odkiaľ LCM(140; 9)=140 9: LCM(140; 9)= 140 9:1=1260. To znamená, m2 = 1 260.

Teraz nájdeme m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Vypočítajme to pomocou gcd(1 260, 54) , ktorý je tiež určený Euklidovým algoritmom: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Potom gcd(1260,54)=18, odkiaľ LCM(1260,54)= 126054:gcd(1260,54)= 1260 54:18=3780. To znamená, m 3 \u003d 3 780.

Zostáva nájsť m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Aby sme to dosiahli, nájdeme GCD(3 780, 250) pomocou Euklidovho algoritmu: 3 780=250 15+30, 250=30 8+10, 30=10 3 . Preto gcd(3 780, 250)=10 , odkiaľ gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500. To znamená, m 4 \u003d 94 500.

Takže najmenší spoločný násobok pôvodných štyroch čísel je 94 500.

odpoveď:

LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.

V mnohých prípadoch sa najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel pohodlne nájde použitím prvočíselných rozkladov daných čísel. V tomto prípade je potrebné dodržiavať nasledujúce pravidlo. Najmenší spoločný násobok viacerých čísel sa rovná súčinu, ktorý sa skladá takto: chýbajúce činitele z rozšírenia druhého čísla sa pripočítajú ku všetkým činiteľom z rozšírenia prvého čísla, chýbajúce činitele z rozšírenia prvého čísla tretie číslo sa pripočíta k získaným faktorom atď.

Uvažujme o príklade hľadania najmenšieho spoločného násobku pomocou rozkladu čísel na prvočísla.

Príklad.

Nájdite najmenší spoločný násobok piatich čísel 84, 6, 48, 7, 143.

Riešenie.

Najprv získame expanzie týchto čísel na prvočísla: 84=2 2 3 7, 6=2 3, 48=2 2 2 2 3, 7 prvočiniteľov) a 143=11 13 .

Ak chcete nájsť LCM týchto čísel, k faktorom prvého čísla 84 (sú to 2 , 2 , 3 a 7 ) musíte pridať chýbajúce faktory z rozšírenia druhého čísla 6 . Rozšírenie čísla 6 neobsahuje chýbajúce faktory, keďže 2 aj 3 sú už prítomné v rozšírení prvého čísla 84 . K faktorom 2 , 2 , 3 a 7 pripočítame chýbajúce faktory 2 a 2 z rozšírenia tretieho čísla 48 , dostaneme množinu faktorov 2 , 2 , 2 , 2 , 3 a 7 . V ďalšom kroku nie je potrebné pridávať faktory do tejto sady, pretože 7 je v nej už obsiahnutých. Nakoniec k faktorom 2 , 2 , 2 , 2 , 3 a 7 pridáme chýbajúce faktory 11 a 13 z rozšírenia čísla 143 . Dostaneme súčin 2 2 2 2 3 7 11 13 , čo sa rovná 48 048 .

Druhé číslo: b=

Oddeľovač číslicŽiadny oddeľovač medzery „ “

výsledok:

Najväčší spoločný deliteľ gcd( a,b)=6

Najmenší spoločný násobok LCM( a,b)=468

Najväčší prirodzené číslo, ktorými sú čísla a a b deliteľné bezo zvyšku, sa nazýva najväčší spoločný deliteľ(gcd) týchto čísel. Označuje sa gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) alebo hcf(a,b).

Najmenší spoločný násobok(LCM) dvoch celých čísel aab je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľné aab bezo zvyšku. Označené LCM(a,b) alebo lcm(a,b).

Celé čísla a a b sa nazývajú nesúdeliteľné ak nemajú iných spoločných deliteľov ako +1 a -1.

Najväčší spoločný deliteľ

Nech sú dané dve kladné čísla a 1 a a 2 1). Je potrebné nájsť spoločného deliteľa týchto čísel, t.j. nájsť také číslo λ , ktorý delí čísla a 1 a a 2 v rovnakom čase. Poďme si popísať algoritmus.

1) V tomto článku bude slovo číslo znamenať celé číslo.

Nechaj a 1 ≥ a 2 a nechať

kde m 1 , a 3 sú nejaké celé čísla, a 3 <a 2 (zvyšok z rozdelenia a 1 na a 2 by malo byť menej a 2).

Predstierajme to λ rozdeľuje a 1 a a 2, potom λ rozdeľuje m 1 a 2 a λ rozdeľuje a 1 −m 1 a 2 =a 3 (2. tvrdenie článku "Deliteľnosť čísel. Znak deliteľnosti"). Z toho vyplýva, že každý spoločný deliteľ a 1 a a 2 je spoločný deliteľ a 2 a a 3. Opak platí aj vtedy, ak λ spoločný deliteľ a 2 a a 3, potom m 1 a 2 a a 1 =m 1 a 2 +a 3 sa tiež delia na λ . Preto spoločný deliteľ a 2 a a 3 je tiež spoločný deliteľ a 1 a a 2. Pretože a 3 <a 2 ≤a 1 , potom môžeme povedať, že riešenie problému nájdenia spoločného deliteľa čísel a 1 a a 2 zredukovaný na jednoduchší problém hľadania spoločného deliteľa čísel a 2 a a 3 .

Ak a 3 ≠0, potom môžeme deliť a 2 na a 3. Potom

,

kde m 1 a a 4 sú nejaké celé čísla, ( a 4 zvyšok divízie a 2 na a 3 (a 4 <a 3)). Podobným uvažovaním dospejeme k záveru, že spoločné deliče čísel a 3 a a 4 je rovnaký ako spoločný deliteľ čísel a 2 a a 3 a tiež so spoločnými deliteľmi a 1 a a 2. Pretože a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... čísla, ktoré neustále klesajú, a keďže medzi nimi je konečný počet celých čísel a 2 a 0, potom v určitom kroku n, zvyšok divízie a n na a n+1 sa bude rovnať nule ( a n+2=0).

.

Každý spoločný deliteľ λ čísla a 1 a a 2 je tiež deliteľ čísel a 2 a a 3 , a 3 a a 4 , .... a n a a n+1. Platí to aj naopak, spoločné deliče čísel a n a a n+1 sú tiež deliče čísel a n-1 a a n , .... , a 2 a a 3 , a 1 a a 2. Ale spoločný deliteľ a n a a n+1 je číslo a n+1, pretože a n a a n+1 sú deliteľné číslom a n+1 (pripomeňme si to a n+2=0). V dôsledku toho a n+1 je tiež deliteľ čísel a 1 a a 2 .

Všimnite si, že číslo a n+1 je najväčší deliteľ čísla a n a a n+1 , keďže najväčší deliteľ a n+1 je samo o sebe a n+1. Ak a n + 1 môže byť reprezentované ako súčin celých čísel, potom sú tieto čísla tiež spoločnými deliteľmi čísel a 1 a a 2. číslo a n+1 sa nazývajú najväčší spoločný deliteľčísla a 1 a a 2 .

čísla a 1 a a 2 môžu byť kladné aj záporné čísla. Ak sa jedno z čísel rovná nule, potom sa najväčší spoločný deliteľ týchto čísel bude rovnať absolútnej hodnote druhého čísla. Najväčší spoločný deliteľ nulových čísel nie je definovaný.

Vyššie uvedený algoritmus sa nazýva Euklidov algoritmus nájsť najväčšieho spoločného deliteľa dvoch celých čísel.

Príklad nájdenia najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel

Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel 630 a 434.

• Krok 1. Vydeľte číslo 630 číslom 434. Zvyšok je 196.
• Krok 2. Vydeľte číslo 434 číslom 196. Zvyšok je 42.
• Krok 3. Vydeľte číslo 196 číslom 42. Zvyšok je 28.
• Krok 4. Vydeľte číslo 42 číslom 28. Zvyšok je 14.
• Krok 5. Vydeľte číslo 28 číslom 14. Zvyšok je 0.

V kroku 5 je zvyšok delenia 0. Preto je najväčší spoločný deliteľ čísel 630 a 434 14. Všimnite si, že čísla 2 a 7 sú tiež deliteľmi čísel 630 a 434.

Coprime čísla

Definícia 1. Nech je najväčší spoločný deliteľ čísel a 1 a a 2 sa rovná jednej. Potom sa volajú tieto čísla coprime čísla ktoré nemajú spoločného deliteľa.

Veta 1. Ak a 1 a a 2 relatívne prvočísla, a λ nejaké číslo, potom ľubovoľný spoločný deliteľ čísel λa 1 a a 2 je tiež spoločný deliteľ čísel λ a a 2 .

Dôkaz. Zvážte Euklidov algoritmus na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa čísel a 1 a a 2 (pozri vyššie).

.

Z podmienok vety vyplýva, že najväčší spoločný deliteľ čísel a 1 a a 2, a preto a n a a n+1 je 1. T.j. a n+1=1.

Všetky tieto rovnosti vynásobme λ , potom

.

Nech je spoločný deliteľ a 1 λ a a 2 je δ . Potom δ vstupuje ako faktor v a 1 λ , m 1 a 2 λ a v a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (Pozri "Deliteľnosť čísel", vyhlásenie 2). Ďalej δ vstupuje ako faktor v a 2 λ a m 2 a 3 λ , a teda vstupuje ako faktor do a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Takýmto uvažovaním sme o tom presvedčení δ vstupuje ako faktor v a n-1 λ a m n-1 a n λ , a teda v a n-1 λ −m n-1 a n λ =a n+1 λ . Pretože a n+1 = 1, potom δ vstupuje ako faktor v λ . Preto to číslo δ je spoločný deliteľ čísel λ a a 2 .

Zvážte špeciálne prípady vety 1.

Dôsledok 1. Nechaj a a c prvočísla sú relatívne b. Potom ich produkt ac je prvočíslo vzhľadom na b.

Naozaj. Z vety 1 ac a b majú rovnakých spoločných deliteľov ako c a b. Ale čísla c a b coprime, t.j. majú jediného spoločného deliteľa 1. Potom ac a b majú tiež jediného spoločného deliteľa 1. Preto ac a b obojstranne jednoduché.

Dôsledok 2. Nechaj a a b coprime čísla a nech b rozdeľuje ak. Potom b rozdeľuje a k.

Naozaj. Z podmienky tvrdenia ak a b majú spoločného deliteľa b. Na základe vety 1, b musí byť spoločným deliteľom b a k. V dôsledku toho b rozdeľuje k.

Dôsledok 1 možno zovšeobecniť.

Dôsledok 3. 1. Nechajte čísla a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m sú prvočísla relatívne k číslu b. Potom a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m , súčin týchto čísel je prvočíslo vzhľadom na číslo b.

2. Nech máme dva rady čísel

tak, že každé číslo v prvom rade je prvočíslo vzhľadom na každé číslo v druhom rade. Potom produkt

Je potrebné nájsť také čísla, ktoré sú deliteľné každým z týchto čísel.

Ak je číslo deliteľné a 1, potom to vyzerá sa 1, kde s nejaké číslo. Ak q je najväčší spoločný deliteľ čísel a 1 a a 2, potom

kde s 1 je nejaké celé číslo. Potom

je najmenší spoločný násobok čísel a 1 a a 2 .

a 1 a a 2 coprime, potom najmenší spoločný násobok čísel a 1 a a 2:

Nájdite najmenší spoločný násobok týchto čísel.

Z uvedeného vyplýva, že ľubovoľný násobok čísel a 1 , a 2 , a 3 musí byť násobkom čísel ε a a 3 a naopak. Nech je najmenší spoločný násobok čísel ε a a 3 je ε jeden . Ďalej násobok čísel a 1 , a 2 , a 3 , a 4 musí byť násobkom čísel ε 1 a aštyri . Nech je najmenší spoločný násobok čísel ε 1 a a 4 je ε 2. Zistili sme teda, že všetky násobky čísel a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m sa zhodujú s násobkami nejakého konkrétneho čísla ε n , ktorý sa nazýva najmenší spoločný násobok daných čísel.

V konkrétnom prípade, keď čísla a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m coprime, potom najmenší spoločný násobok čísel a 1 , a 2, ako je znázornené vyššie, má tvar (3). Ďalej od r a 3 prvočíslo vzhľadom na čísla a 1 , a 2, potom a 3 je prvočíslo relatívne číslo a jeden · a 2 (dôsledok 1). Čiže najmenší spoločný násobok čísel a 1 ,a 2 ,a 3 je číslo a jeden · a 2 · a 3. Argumentujúc podobným spôsobom, dospejeme k nasledujúcim tvrdeniam.

Vyhlásenie 1. Najmenší spoločný násobok prvočíselných čísel a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m sa rovná ich súčinu a jeden · a 2 · a 3 ··· a m .

Vyhlásenie 2. Akékoľvek číslo, ktoré je deliteľné každým zo základných čísel a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je deliteľné aj ich súčinom a jeden · a 2 · a 3 ··· a m .

Online kalkulačka vám umožňuje rýchlo nájsť najväčšieho spoločného deliteľa a najmenšieho spoločného násobku dvoch alebo akéhokoľvek iného počtu čísel.

Kalkulačka na nájdenie GCD a NOC

Nájdite GCD a NOC

GCD a NOC nájdené: 5806

Ako používať kalkulačku

• Do vstupného poľa zadajte čísla
• V prípade zadania nesprávnych znakov bude vstupné pole zvýraznené červenou farbou
• stlačte tlačidlo "Nájsť GCD a NOC"

Ako zadávať čísla

• Čísla sa zadávajú oddelené medzerami, bodkami alebo čiarkami
• Dĺžka zadávaných čísel nie je obmedzená, takže nájdenie gcd a lcm dlhých čísel nebude ťažké

Čo je NOD a NOK?

Najväčší spoločný deliteľ viacerých čísel je najväčšie prirodzené celé číslo, ktorým sú všetky pôvodné čísla bezo zvyšku deliteľné. Najväčší spoločný deliteľ je skrátený ako GCD.
Najmenší spoločný násobok niekoľko čísel je najmenšie číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné každým z pôvodných čísel. Najmenší spoločný násobok sa označuje skratkou NOC.

Ako skontrolovať, či je číslo bezo zvyšku deliteľné iným číslom?

Ak chcete zistiť, či je jedno číslo deliteľné druhým bezo zvyšku, môžete použiť niektoré vlastnosti deliteľnosti čísel. Potom ich kombináciou možno skontrolovať deliteľnosť niektorými z nich a ich kombináciami.

Niektoré znaky deliteľnosti čísel

1. Znamienko deliteľnosti čísla 2
Ak chcete zistiť, či je číslo deliteľné dvoma (či je párne), stačí sa pozrieť na poslednú číslicu tohto čísla: ak sa rovná 0, 2, 4, 6 alebo 8, potom je číslo párne, čo znamená, že je deliteľné 2.
Príklad: zisti, či je číslo 34938 deliteľné 2.
Riešenie: pozrite sa na poslednú číslicu: 8 znamená, že číslo je deliteľné dvoma.

2. Znamienko deliteľnosti čísla 3
Číslo je deliteľné tromi, keď súčet jeho číslic je deliteľný tromi. Ak teda chcete zistiť, či je číslo deliteľné 3, musíte vypočítať súčet číslic a skontrolovať, či je deliteľné 3. Aj keď sa ukázalo, že súčet číslic je veľmi veľký, môžete zopakovať rovnaký postup znova.
Príklad: určite, či je číslo 34938 deliteľné 3.
Riešenie: spočítame súčet číslic: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je deliteľné 3, čo znamená, že číslo je deliteľné tromi.

3. Znamienko deliteľnosti čísla 5
Číslo je deliteľné 5, ak je jeho posledná číslica nula alebo päť.
Príklad: určite, či je číslo 34938 deliteľné 5.
Riešenie: pozrite sa na poslednú číslicu: 8 znamená, že číslo NIE JE deliteľné piatimi.

4. Znamienko deliteľnosti čísla 9
Toto znamienko je veľmi podobné znamienku deliteľnosti tromi: číslo je deliteľné 9, ak súčet jeho číslic je deliteľný 9.
Príklad: určite, či je číslo 34938 deliteľné 9.
Riešenie: vypočítame súčet číslic: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je deliteľné 9, čo znamená, že číslo je deliteľné deviatimi.

Ako nájsť GCD a LCM dvoch čísel

Ako nájsť GCD dvoch čísel

Najjednoduchší spôsob, ako vypočítať najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel, je nájsť všetkých možných deliteľov týchto čísel a vybrať najväčšieho z nich.

Zvážte túto metódu pomocou príkladu hľadania GCD(28, 36):

1. Obe čísla rozkladáme na faktor: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Nájdeme spoločné faktory, teda tie, ktoré majú obe čísla: 1, 2 a 2.
3. Vypočítame súčin týchto faktorov: 1 2 2 \u003d 4 - toto je najväčší spoločný deliteľ čísel 28 a 36.

Ako nájsť LCM dvoch čísel

Existujú dva najbežnejšie spôsoby, ako nájsť najmenší násobok dvoch čísel. Prvým spôsobom je, že si môžete vypísať prvé násobky dvoch čísel a potom si z nich vybrať také číslo, ktoré bude spoločné pre obe čísla a zároveň najmenšie. A druhým je nájsť GCD týchto čísel. Len to zvážme.

Ak chcete vypočítať LCM, musíte vypočítať súčin pôvodných čísel a potom ho rozdeliť na predtým nájdené GCD. Nájdite LCM pre rovnaké čísla 28 a 36:

1. Nájdite súčin čísel 28 a 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) je už známe ako 4
3. LCM(28,36) = 1008/4 = 252.

Hľadanie GCD a LCM pre viac čísel

Najväčší spoločný deliteľ možno nájsť pre niekoľko čísel, nielen pre dve. Na tento účel sa čísla, v ktorých sa má hľadať najväčší spoločný deliteľ, rozložia na prvočísla a potom sa nájde súčin spoločných prvočísel týchto čísel. Ak chcete nájsť GCD niekoľkých čísel, môžete použiť nasledujúci vzťah: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Podobný vzťah platí aj pre najmenší spoločný násobok čísel: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Príklad: nájdite GCD a LCM pre čísla 12, 32 a 36.

1. Najprv rozložme čísla na faktor: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Poďme nájsť spoločné faktory: 1, 2 a 2 .
3. Ich súčin dá gcd: 1 2 2 = 4
4. Teraz nájdime LCM: najprv nájdeme LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Ak chcete nájsť LCM všetkých troch čísel, musíte nájsť GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3, GCD = 1 2. 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36/12 = 288.

Študenti dostávajú veľa matematických úloh. Medzi nimi sú veľmi často úlohy s nasledujúcou formuláciou: existujú dve hodnoty. Ako nájsť najmenší spoločný násobok daných čísel? Je potrebné vedieť vykonávať takéto úlohy, pretože získané zručnosti sa používajú na prácu so zlomkami s rôznymi menovateľmi. V článku rozoberieme, ako nájsť LCM a základné pojmy.

Pred nájdením odpovede na otázku, ako nájsť LCM, musíte definovať pojem násobok. Najčastejšie je znenie tohto pojmu nasledovné: násobok nejakej hodnoty A je prirodzené číslo, ktoré bude bezo zvyšku deliteľné číslom A. Takže pre 4, 8, 12, 16, 20 atď. požadovaný limit.

V tomto prípade môže byť počet deliteľov pre určitú hodnotu obmedzený a násobkov je nekonečne veľa. Rovnakú hodnotu majú aj prírodné hodnoty. Toto je ukazovateľ, ktorý sa nimi bezo zvyšku delí. Keď sme sa zaoberali konceptom najmenšej hodnoty pre určité ukazovatele, prejdime k tomu, ako ju nájsť.

Nájdenie NOC

Najmenší násobok dvoch alebo viacerých exponentov je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je plne deliteľné všetkými danými číslami.

Existuje niekoľko spôsobov, ako nájsť takúto hodnotu. Uvažujme o nasledujúcich metódach:

1. Ak sú čísla malé, napíšte do riadku všetky ním deliteľné. Pokračujte v tom, kým medzi nimi nenájdete niečo spoločné. V zázname sú označené písmenom K. Napríklad pre 4 a 3 je najmenší násobok 12.
2. Ak sú veľké alebo potrebujete nájsť násobok pre 3 alebo viac hodnôt, mali by ste tu použiť inú techniku, ktorá zahŕňa rozklad čísel na prvočísla. Najprv rozložte najväčšie z uvedených a potom všetky ostatné. Každý z nich má svoj vlastný počet násobiteľov. Ako príklad si rozložme 20 (2*2*5) a 50 (5*5*2). Pri menšom z nich podčiarknite faktory a pridajte k najväčšiemu. Výsledkom bude 100, čo bude najmenší spoločný násobok vyššie uvedených čísel.
3. Pri hľadaní 3 čísel (16, 24 a 36) sú princípy rovnaké ako pri ostatných dvoch. Rozviňme každý z nich: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Do rozšírenia najväčšieho neboli zahrnuté len dve dvojky z rozkladu čísla 16. Sčítame ich a dostaneme 144, čo je najmenší výsledok pre predtým uvedené číselné hodnoty.

Teraz vieme, aká je všeobecná technika na nájdenie najmenšej hodnoty pre dve, tri alebo viac hodnôt. Existujú však aj súkromné ​​metódy, pomoc pri hľadaní NOC, ak predchádzajúce nepomáhajú.

Ako nájsť GCD a NOC.

Súkromné ​​spôsoby hľadania

Ako pri každej matematickej sekcii, existujú špeciálne prípady nájdenia LCM, ktoré pomáhajú v špecifických situáciách:

• ak je jedno z čísel deliteľné ostatnými bezo zvyšku, potom sa mu rovná najnižší násobok týchto čísel (NOC 60 a 15 sa rovná 15);
• Prvočísla nemajú spoločných prvočíselných deliteľov. Ich najmenšia hodnota sa rovná súčinu týchto čísel. Takže pre čísla 7 a 8 to bude 56;
• rovnaké pravidlo platí aj pre iné prípady, vrátane špeciálnych, o ktorých sa možno dočítať v odbornej literatúre. To by malo zahŕňať aj prípady rozkladu zložených čísel, ktoré sú predmetom samostatných článkov a dokonca aj dizertačných prác doktorandov.

Špeciálne prípady sú menej bežné ako štandardné príklady. Ale vďaka nim sa môžete naučiť pracovať so zlomkami rôzneho stupňa zložitosti. To platí najmä pre zlomky., kde sú rôzni menovatelia.

Niekoľko príkladov

Pozrime sa na niekoľko príkladov, vďaka ktorým pochopíte princíp hľadania najmenšieho násobku:

1. Nájdeme LCM (35; 40). Najprv rozložíme 35 = 5*7, potom 40 = 5*8. K najmenšiemu číslu pridáme 8 a dostaneme NOC 280.
2. NOC (45; 54). Každý z nich rozložíme: 45 = 3*3*5 a 54 = 3*3*6. Pripočítame číslo 6 k 45. Dostaneme NOC rovné 270.
3. No a posledný príklad. Existuje 5 a 4. Neexistujú pre ne jednoduché násobky, takže najmenší spoločný násobok bude v tomto prípade ich súčin rovný 20.

Vďaka príkladom môžete pochopiť, ako sa NOC nachádza, aké sú nuansy a aký je význam takýchto manipulácií.

Nájsť NOC je oveľa jednoduchšie, ako by sa na prvý pohľad mohlo zdať. Na tento účel sa používa jednoduchá expanzia aj násobenie jednoduchých hodnôt navzájom.. Schopnosť pracovať s týmto úsekom matematiky pomáha pri ďalšom štúdiu matematických tém, najmä zlomkov rôzneho stupňa zložitosti.

Nezabudnite pravidelne riešiť príklady rôznymi metódami, rozvíja sa tým logický aparát a umožňuje vám zapamätať si množstvo výrazov. Naučte sa metódy na nájdenie takéhoto ukazovateľa a budete vedieť dobre pracovať so zvyškom matematických častí. Šťastné učenie matematiky!

Video

Toto video vám pomôže pochopiť a zapamätať si, ako nájsť najmenší spoločný násobok.