Jednou vecou si môžete byť stopercentne istí, že na otázku, aká je druhá mocnina prepony, každý dospelý smelo odpovie: "Súčet štvorcov nôh." Táto teória je pevne zakorenená v mysli každého. vzdelaný človek, ale stačí len niekoho požiadať, aby to dokázal, a potom môžu nastať ťažkosti. Preto si zapamätajme a pouvažujme o rôznych spôsoboch dokazovania Pytagorovej vety.
Stručný prehľad životopisu
Pytagorova veta je známa takmer každému, ale z nejakého dôvodu nie je biografia osoby, ktorá ju vytvorila, taká populárna. Opravíme to. Preto pred štúdiom rôznych spôsobov dokazovania Pytagorovej vety sa musíte krátko zoznámiť s jeho osobnosťou.
Pytagoras - filozof, matematik, mysliteľ, pôvodom z roku Dnes je veľmi ťažké odlíšiť jeho životopis od legiend, ktoré vznikli na pamiatku tohto velikána. Ale ako vyplýva zo spisov jeho nasledovníkov, Pytagoras zo Samosu sa narodil na ostrove Samos. Jeho otec bol obyčajný kamenár, ale matka pochádzala zo šľachtickej rodiny.
Podľa legendy narodenie Pythagorasa predpovedala žena menom Pythia, na počesť ktorej bol chlapec pomenovaný. Podľa jej predpovede mal narodený chlapec priniesť ľudstvu veľa výhod a dobra. Čo v skutočnosti urobil.
Zrod vety
V mladosti sa Pytagoras presťahoval do Egypta, aby sa tam stretol so slávnymi egyptskými mudrcami. Po stretnutí s nimi bol prijatý na štúdium, kde spoznal všetky veľké úspechy egyptskej filozofie, matematiky a medicíny.
Pravdepodobne to bolo v Egypte, kde sa Pytagoras inšpiroval majestátnosťou a krásou pyramíd a vytvoril svoju vlastnú skvelá teória. Čitateľov to môže šokovať, no moderní historici veria, že Pytagoras svoju teóriu nepreukázal. Svoje poznatky ale len odovzdal svojim nasledovníkom, ktorí neskôr dokončili všetky potrebné matematické výpočty.
Nech je to akokoľvek, dnes nie je známa jedna technika na dokázanie tejto vety, ale niekoľko naraz. Dnes môžeme len hádať, ako presne starí Gréci robili svoje výpočty, takže tu zvážime rôzne spôsoby dokázania Pytagorovej vety.
Pytagorova veta
Skôr ako začnete s akýmikoľvek výpočtami, musíte zistiť, ktorú teóriu chcete dokázať. Pytagorova veta znie takto: "V trojuholníku, v ktorom je jeden z uhlov 90 o, sa súčet štvorcov nôh rovná druhej mocnine prepony."
Celkovo existuje 15 rôznych spôsobov, ako dokázať Pytagorovu vetu. Ide o pomerne veľké číslo, preto venujme pozornosť najobľúbenejším z nich.
Metóda jedna
Najprv si definujme, čo máme. Tieto údaje budú platiť aj pre iné spôsoby dokazovania Pytagorovej vety, takže by ste si mali okamžite zapamätať všetky dostupné zápisy.
Predpokladajme, že je daný pravouhlý trojuholník s nohami a, b a preponou rovnou c. Prvý spôsob dôkazu je založený na tom, že správny trojuholník musíte nakresliť štvorec.
Aby ste to dosiahli, musíte nakresliť segment rovný nohe do dĺžky nohy a a naopak. Takže by sa mali ukázať dve rovnaké strany štvorca. Zostáva len nakresliť dve rovnobežné čiary a štvorec je pripravený.
Vo výslednom obrázku musíte nakresliť ďalší štvorec so stranou rovnajúcou sa prepone pôvodného trojuholníka. Aby ste to urobili, z vrcholov ac a s musíte nakresliť dva paralelný segment rovná sa. Tak dostaneme tri strany štvorca, z ktorých jedna je prepona pôvodného pravouhlého trojuholníka. Zostáva len nakresliť štvrtý segment.
Na základe výsledného čísla môžeme konštatovať, že plocha vonkajšieho štvorca je (a + b) 2. Ak sa pozriete dovnútra obrázku, môžete vidieť, že okrem vnútorného štvorca má štyri pravouhlé trojuholníky. Plocha každého je 0,5 priem.
Preto je oblasť: 4 * 0,5av + s 2 \u003d 2av + s 2
Preto (a + c) 2 \u003d 2av + c 2
A preto s 2 \u003d a 2 + v 2
Veta bola dokázaná.
Metóda dva: podobné trojuholníky
Tento vzorec na dôkaz Pytagorovej vety bol odvodený na základe výroku z časti geometrie o podobných trojuholníkoch. Hovorí, že rameno pravouhlého trojuholníka je stred úmerný jeho prepone a úsečke prepony vychádzajúcej z vrcholu uhla 90°.
Počiatočné údaje zostávajú rovnaké, takže začnime hneď s dôkazom. Nakreslíme úsečku CD kolmú na stranu AB. Na základe vyššie uvedeného tvrdenia sú nohy trojuholníkov rovnaké:
AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.
Aby sme odpovedali na otázku, ako dokázať Pytagorovu vetu, dôkaz musí byť podaný umocnením oboch nerovností.
AC 2 \u003d AB * HELL a SV 2 \u003d AB * DV
Teraz musíme pridať výsledné nerovnosti.
AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), kde AD + DV \u003d AB
Ukazuje sa, že:
AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB
A preto:
AC 2 + CB 2 \u003d AB 2
Dôkaz Pytagorovej vety a rôzne spôsoby jej riešenia si vyžadujú všestranný prístup k tomuto problému. Táto možnosť je však jednou z najjednoduchších.
Ďalší spôsob výpočtu
Opis rôznych spôsobov dokazovania Pytagorovej vety nemusí nič povedať, kým nezačnete cvičiť sami. Mnohé metódy zahŕňajú nielen matematické výpočty, ale aj konštrukciu nových útvarov z pôvodného trojuholníka.
AT tento prípad z nohy lietadla je potrebné doplniť ešte jeden pravouhlý trojuholník VSD. Takže teraz existujú dva trojuholníky so spoločnou nohou BC.
S vedomím, že plochy podobných útvarov majú pomer ako štvorce ich podobných lineárnych rozmerov, potom:
S avs * s 2 - S avd * v 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2
S avs * (od 2 do 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)
od 2 do 2 \u003d a 2
c 2 \u003d a 2 + v 2
Keďže táto možnosť je sotva vhodná z rôznych metód dokazovania Pytagorovej vety pre ročník 8, môžete použiť nasledujúcu techniku.
Najjednoduchší spôsob, ako dokázať Pytagorovu vetu. Recenzie
Historici sa domnievajú, že táto metóda bola prvýkrát použitá na preukázanie vety v starovekom Grécku. Je to najjednoduchšie, pretože nevyžaduje absolútne žiadne výpočty. Ak nakreslíte obrázok správne, bude jasne viditeľný dôkaz tvrdenia, že a 2 + b 2 \u003d c 2.
Podmienky pre túto metódu sa bude mierne líšiť od predchádzajúceho. Na dôkaz vety predpokladajme, že pravouhlý trojuholník ABC je rovnoramenný.
Zoberieme preponu AC ako stranu štvorca a nakreslíme jeho tri strany. Okrem toho je potrebné vo výslednom štvorci nakresliť dve diagonálne čiary. Takže vo vnútri dostanete štyri rovnoramenné trojuholníky.
K nohám AB a CB musíte tiež nakresliť štvorec a nakresliť jednu diagonálnu čiaru v každej z nich. Prvý riadok nakreslíme z vrcholu A, druhý - z C.
Teraz sa musíte dôkladne pozrieť na výsledný obrázok. Keďže na prepone AC sú štyri trojuholníky, ktoré sa rovnajú pôvodnej prepone, a dva na nohách, naznačuje to pravdivosť tejto vety.
Mimochodom, vďaka tejto metóde dokazovania Pytagorovej vety sa zrodila slávna fráza: "Pytagorove nohavice sú si vo všetkých smeroch rovné."
Dôkaz od J. Garfielda
James Garfield je 20. prezidentom Spojených štátov amerických. Okrem toho, že ako vládca USA zanechal stopu v histórii, bol aj nadaným samoukom.
Na začiatku svojej kariéry bol obyčajným učiteľom na ľudovej škole, no čoskoro sa stal riaditeľom jednej z vyšších vzdelávacie inštitúcie. Túžba po sebarozvoji mu umožnila ponúknuť nová teória dôkaz Pytagorovej vety. Veta a príklad jej riešenia sú nasledovné.
Najprv musíte na kus papiera nakresliť dva pravouhlé trojuholníky tak, aby noha jedného z nich bola pokračovaním druhého. Vrcholy týchto trojuholníkov musia byť spojené, aby skončili lichobežníkom.
Ako viete, plocha lichobežníka sa rovná súčinu polovice súčtu jeho základov a výšky.
S=a+b/2 * (a+b)
Ak vezmeme do úvahy výsledný lichobežník ako obrazec pozostávajúci z troch trojuholníkov, potom jeho oblasť možno nájsť takto:
S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2
Teraz musíme vyrovnať dva pôvodné výrazy
2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2
c 2 \u003d a 2 + v 2
O Pytagorovej vete a o tom, ako ju dokázať, možno napísať viac ako jeden zväzok študijná príručka. Má to však zmysel, keď sa tieto poznatky nedajú uviesť do praxe?
Praktická aplikácia Pytagorovej vety
Bohužiaľ, v modernom školské programy Táto veta je určená na použitie iba v geometrické problémy. Absolventi už čoskoro opustia steny školy bez toho, aby vedeli, ako môžu svoje vedomosti a zručnosti uplatniť v praxi.
Pytagorovu vetu môže v bežnom živote použiť naozaj každý. A nielen v odborná činnosť ale aj pri bežných domácich prácach. Uvažujme o niekoľkých prípadoch, keď Pytagorova veta a metódy jej dôkazu môžu byť mimoriadne potrebné.
Spojenie vety a astronómie
Zdalo by sa, ako môžu byť hviezdy a trojuholníky spojené na papieri. V skutočnosti je astronómia vedecký odbor, v ktorom sa Pytagorova veta široko používa.
Uvažujme napríklad o pohybe svetelného lúča v priestore. Vieme, že svetlo sa šíri oboma smermi rovnakou rýchlosťou. Trajektóriu nazývame AB, po ktorej sa svetelný lúč pohybuje l. A polovicu času, ktorý trvá, kým sa svetlo dostane z bodu A do bodu B, hovorme t. A rýchlosť lúča - c. Ukazuje sa, že: c*t=l
Ak sa na ten istý lúč pozriete z inej roviny, napríklad z vesmírneho parníka, ktorý sa pohybuje rýchlosťou v, tak pri takomto pozorovaní telies sa ich rýchlosť zmení. V tomto prípade sa aj stacionárne prvky budú pohybovať rýchlosťou v v opačnom smere.
Povedzme, že komiksová vložka pláva doprava. Potom sa body A a B, medzi ktorými sa lúč ponáhľa, presunú doľava. Navyše, keď sa lúč presunie z bodu A do bodu B, bod A má čas sa pohnúť, a preto svetlo už dorazí do nového bodu C. Ak chcete nájsť polovičnú vzdialenosť, o ktorú sa bod A posunul, musíte vynásobiť rýchlosť vložky o polovicu doby prejazdu lúča (t ").
A aby ste zistili, ako ďaleko by sa mohol lúč svetla dostať počas tejto doby, musíte určiť polovicu dráhy nového buku s a získať nasledujúci výraz:
Ak si predstavíme, že svetelné body C a B, ako aj priestorová vložka sú vrcholmi rovnoramenného trojuholníka, potom ho úsečka z bodu A po vložku rozdelí na dva pravouhlé trojuholníky. Preto vďaka Pytagorovej vete môžete nájsť vzdialenosť, ktorú by mohol prejsť lúč svetla.
Tento príklad, samozrejme, nie je najúspešnejší, keďže len málokomu sa pošťastí vyskúšať si ho v praxi. Preto uvažujeme o všednejších aplikáciách tejto vety.
Rozsah prenosu mobilného signálu
Moderný život si už nemožno predstaviť bez existencie smartfónov. Nakoľko by však boli užitočné, keby nemohli pripojiť účastníkov prostredníctvom mobilnej komunikácie?!
Kvalita mobilnej komunikácie priamo závisí od výšky, v ktorej sa nachádza anténa mobilného operátora. Ak chcete vypočítať, ako ďaleko od mobilnej veže môže telefón prijať signál, môžete použiť Pytagorovu vetu.
Povedzme, že potrebujete nájsť približnú výšku stacionárnej veže, aby mohla šíriť signál v okruhu 200 kilometrov.
AB (výška veže) = x;
BC (polomer prenosu signálu) = 200 km;
OS (polomer glóbus) = 6380 km;
OB=OA+ABOB=r+x
Aplikovaním Pytagorovej vety zistíme, že minimálna výška veže by mala byť 2,3 kilometra.
Pytagorova veta v každodennom živote
Napodiv, Pytagorova veta môže byť užitočná aj v každodenných záležitostiach, ako je napríklad určenie výšky skrine. Na prvý pohľad nie je potrebné používať také zložité výpočty, pretože môžete jednoducho vykonať merania pomocou pásky. Mnohí sú však prekvapení, prečo počas procesu montáže vznikajú určité problémy, ak boli všetky merania vykonané viac než presne.
Faktom je, že šatník je zostavený v horizontálnej polohe a až potom stúpa a je inštalovaný proti stene. Preto musí bočná stena skrine v procese zdvíhania konštrukcie voľne prechádzať pozdĺž výšky aj diagonálne miestnosti.
Predpokladajme, že existuje šatníková skriňa s hĺbkou 800 mm. Vzdialenosť od podlahy po strop - 2600 mm. Skúsený výrobca nábytku povie, že výška skrinky by mala byť o 126 mm menšia ako výška miestnosti. Ale prečo práve 126 mm? Pozrime sa na príklad.
Pri ideálnych rozmeroch skrine si overme fungovanie Pytagorovej vety:
AC \u003d √AB 2 + √BC 2
AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - všetko sa zbieha.
Povedzme, že výška skrine nie je 2474 mm, ale 2505 mm. potom:
AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.
Preto táto skrinka nie je vhodná na inštaláciu v tejto miestnosti. Keďže pri zdvíhaní do zvislej polohy môže dôjsť k poškodeniu jeho tela.
Možno, po zvážení rôznych spôsobov dokazovania Pytagorovej vety rôznymi vedcami, môžeme dospieť k záveru, že je to viac než pravda. Teraz môžete získané informácie použiť vo svojom každodennom živote a byť si úplne istí, že všetky výpočty budú nielen užitočné, ale aj správne.
» Ctihodný profesor matematiky na University of Warwick, známy popularizátor vedy Ian Stewart, ktorý sa venuje úlohe čísel v dejinách ľudstva a významu ich štúdia v našej dobe.
Pytagorova prepona
Pytagorejské trojuholníky majú pravý uhol a celočíselné strany. V najjednoduchšom z nich má najdlhšia strana dĺžku 5, ostatné sú 3 a 4. Je ich 5 pravidelné mnohosteny. Rovnicu piateho stupňa nemožno vyriešiť koreňmi piateho stupňa – ani žiadnymi inými koreňmi. Mriežky v rovine a v trojrozmernom priestore nemajú päťlalokovú rotačnú symetriu, preto takéto symetrie chýbajú aj v kryštáloch. Môžu však byť pri mriežkach v štvorrozmerný priestor a vo zvláštnych štruktúrach známych ako kvázikryštály.
Prepona najmenšej pytagorovej trojky
Pytagorova veta hovorí, že najdlhšia strana pravouhlého trojuholníka (príslovečná prepona) súvisí s ďalšími dvoma stranami tohto trojuholníka veľmi jednoduchým a krásnym spôsobom: druhou mocninou prepony. sa rovná súčtuštvorce ostatných dvoch strán.
Tradične túto vetu nazývame po Pytagorasovi, ale v skutočnosti je jej história dosť nejasná. Hlinené tabuľky naznačujú, že starí Babylončania poznali Pytagorovu vetu dávno pred samotným Pytagorasom; slávu objaviteľa mu priniesol matematický kult Pytagorejcov, ktorých priaznivci verili, že vesmír je založený na číselných vzoroch. Starovekí autori pripisovali Pytagorejcom – a teda Pytagorasovi – rôzne matematické teorémy, no v skutočnosti netušíme, akým druhom matematiky sa zaoberal samotný Pytagoras. Ani nevieme, či Pytagorovci dokázali Pytagorovu vetu, alebo či jednoducho verili, že je pravdivá. Alebo, čo je pravdepodobnejšie, mali presvedčivé údaje o jej pravdivosti, čo by však nestačilo na to, čo dnes považujeme za dôkaz.
Dôkazy Pytagoras
Prvý známy dôkaz Pytagorovej vety sa nachádza v Euklidových Prvkoch. Ide o pomerne komplikovaný dôkaz pomocou kresby, ktorú by viktoriánski školáci okamžite spoznali ako „pytagorejské nohavice“; kresba naozaj pripomína spodky sušiace sa na lane. Známe sú doslova stovky ďalších dôkazov, z ktorých väčšina robí toto tvrdenie zrejmejším.
// Ryža. 33. Pytagoriánske nohavice
Jedným z najjednoduchších dôkazov je akási matematická hádanka. Vezmite ľubovoľný pravouhlý trojuholník, vytvorte z neho štyri kópie a pozbierajte ich vo vnútri štvorca. Pri jednom položení vidíme štvorec na prepone; s ostatnými - štvorcami na ďalších dvoch stranách trojuholníka. Je zrejmé, že oblasti sú v oboch prípadoch rovnaké.
// Ryža. 34. Vľavo: štvorec na prepone (plus štyri trojuholníky). Vpravo: súčet štvorcov na ďalších dvoch stranách (plus rovnaké štyri trojuholníky). Teraz odstráňte trojuholníky
Pitva Perigala je ďalším kúskom puzzle dôkazov.
// Ryža. 35. Pitva Perigalu
Existuje aj dôkaz vety pomocou skladania štvorcov v rovine. Možno práve takto objavili túto vetu Pytagorejci alebo ich neznámi predchodcovia. Ak sa pozriete na to, ako šikmý štvorec prekrýva ďalšie dva štvorce, môžete vidieť, ako rozrezať veľký štvorec na kúsky a potom ich poskladať na dva menšie štvorce. Môžete tiež vidieť pravouhlé trojuholníky, ktorých strany udávajú rozmery troch zahrnutých štvorcov.
// Ryža. 36. Dôkaz dlažbou
Existujú zaujímavé dôkazy pomocou podobných trojuholníkov v trigonometrii. Je známych najmenej päťdesiat rôznych dôkazov.
Pytagorove trojky
V teórii čísel sa Pytagorova veta stala zdrojom plodnej myšlienky: nájsť celočíselné riešenia algebraických rovníc. Pytagorova trojica je množina celých čísel a, b a c takých, že
Geometricky takáto trojica definuje pravouhlý trojuholník s celočíselnými stranami.
Najmenšia prepona Pytagorovej trojice je 5.
Ďalšie dve strany tohto trojuholníka sú 3 a 4. Tu
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.
Ďalšia najväčšia prepona je 10, pretože
62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.
Ide však v podstate o rovnaký trojuholník so zdvojenými stranami. Ďalšia najväčšia a skutočne odlišná prepona je 13, pre ktorú
52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.
Euklides vedel, že existuje nekonečné množstvo rôznych variácií pytagorejských trojíc, a dal niečo, čo by sa dalo nazvať, ako ich všetky nájsť. Neskôr Diophantus Alexandrijský ponúkol jednoduchý recept, v podstate rovnaký ako Euklidovský.
Vezmite ľubovoľné dve prirodzené čísla a vypočítajte:
ich dvojitý produkt;
rozdiel ich štvorcov;
súčet ich štvorcov.
Tri výsledné čísla budú stranami Pytagorovho trojuholníka.
Vezmime si napríklad čísla 2 a 1. Vypočítajte:
dvojitý súčin: 2 × 2 × 1 = 4;
rozdiel štvorcov: 22 - 12 = 3;
súčet štvorcov: 22 + 12 = 5,
a dostali sme známy trojuholník 3-4-5. Ak namiesto toho vezmeme čísla 3 a 2, dostaneme:
dvojitý produkt: 2 × 3 × 2 = 12;
rozdiel štvorcov: 32 - 22 = 5;
súčet štvorcov: 32 + 22 = 13,
a dostaneme ďalší známy trojuholník 5 - 12 - 13. Skúsme zobrať čísla 42 a 23 a dostaneme:
dvojitý produkt: 2 × 42 × 23 = 1932;
rozdiel štvorcov: 422 - 232 = 1235;
súčet štvorcov: 422 + 232 = 2293,
nikto nikdy nepočul o trojuholníku 1235-1932-2293.
Ale fungujú aj tieto čísla:
12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.
V diofantínskom pravidle je ešte jedna vlastnosť, ktorá už bola naznačená: po prijatí troch čísel môžeme vziať ďalšie ľubovoľné číslo a všetky ním vynásobiť. Trojuholník 3-4-5 sa teda môže zmeniť na trojuholník 6-8-10 vynásobením všetkých strán 2 alebo na trojuholník 15-20-25 vynásobením všetkého 5.
Ak prejdeme do jazyka algebry, pravidlo má nasledujúcu podobu: nech u, v a k sú prirodzené čísla. Potom pravouhlý trojuholník so stranami
2kuv ak (u2 - v2) má preponu
Existujú aj iné spôsoby prezentácie hlavnej myšlienky, ale všetky sa scvrkávajú na ten, ktorý je opísaný vyššie. Táto metóda vám umožňuje získať všetky pytagorejské trojky.
Pravidelné mnohosteny
Pravidelných mnohostenov je presne päť. Pravidelný mnohosten (alebo mnohosten) je trojrozmerná postava s konečným počtom plochých plôch. Fazety sa navzájom zbiehajú na čiarach nazývaných hrany; hrany sa stretávajú v bodoch nazývaných vrcholy.
Vyvrcholením euklidovských „začiatkov“ je dôkaz, že môže existovať iba päť pravidelných mnohostenov, teda mnohostenov, v ktorých každá plocha predstavuje pravidelný mnohouholník (rovnaké strany, rovnaké uhly), všetky steny sú identické a všetky vrcholy sú obklopené rovnakým počtom rovnako vzdialených plôch. Tu je päť pravidelných mnohostenov:
štvorsten so štyrmi trojuholníkovými plochami, štyrmi vrcholmi a šiestimi hranami;
kocka alebo šesťsten so 6 štvorcovými plochami, 8 vrcholmi a 12 hranami;
osemsten s 8 trojuholníkovými plochami, 6 vrcholmi a 12 hranami;
dvanásťsten s 12 päťuholníkovými plochami, 20 vrcholmi a 30 hranami;
dvadsaťsten s 20 trojuholníkovými plochami, 12 vrcholmi a 30 hranami.
// Ryža. 37. Päť pravidelných mnohostenov
Pravidelné mnohosteny možno nájsť aj v prírode. V roku 1904 Ernst Haeckel publikoval kresby drobných organizmov známych ako rádiolariáni; mnohé z nich majú tvar rovnakých piatich pravidelných mnohostenov. Možno však trochu poopravil prírodu a kresby úplne neodrážajú tvar konkrétnych živých bytostí. Prvé tri štruktúry sú tiež pozorované v kryštáloch. V kryštáloch nenájdete dvanásťsten a dvadsaťsten, hoci sa tam občas vyskytujú nepravidelné dvanásťsteny a dvadsaťsteny. Skutočné dvanásťsteny sa môžu vyskytovať ako kvázikryštály, ktoré sú vo všetkých smeroch podobné kryštálom, až na to, že ich atómy netvoria periodickú mriežku.
// Ryža. 38. Kresby od Haeckela: rádiolariáni vo forme pravidelných mnohostenov
// Ryža. 39. Vývoj pravidelných mnohostenov
Môže byť zaujímavé vyrobiť modely pravidelných mnohostenov z papiera tak, že najprv vystrihnete sadu vzájomne prepojených plôch - nazýva sa to zametanie mnohostenov; sken je zložený pozdĺž okrajov a príslušné okraje sú zlepené dohromady. Je užitočné pridať ďalšiu oblasť pre lepidlo na jeden z okrajov každého takéhoto páru, ako je znázornené na obr. 39. Ak takáto platforma neexistuje, môžete použiť lepiacu pásku.
Rovnica piateho stupňa
Na riešenie rovníc 5. stupňa neexistuje algebraický vzorec.
AT všeobecný pohľad Piata rovnica vyzerá takto:
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.
Problémom je nájsť vzorec na riešenie takejto rovnice (môže mať až päť riešení). Skúsenosti s prácou s kvadratickými a kubickými rovnicami, ako aj s rovnicami štvrtého stupňa naznačujú, že takýto vzorec by mal existovať aj pre rovnice piateho stupňa a teoreticky by mali korene piateho, tretieho a druhého stupňa objaviť sa v ňom. Opäť možno bezpečne predpokladať, že takýto vzorec, ak existuje, sa ukáže ako veľmi, veľmi zložitý.
Tento predpoklad sa nakoniec ukázal ako nesprávny. V skutočnosti žiadny takýto vzorec neexistuje; prinajmenšom neexistuje vzorec pozostávajúci z koeficientov a, b, c, d, e a f, zložený pomocou sčítania, odčítania, násobenia a delenia a odmocňovania. Na čísle 5 je teda niečo veľmi zvláštne. Dôvody tohto neobvyklého správania piatich sú veľmi hlboké a trvalo veľa času, kým sa na ne dostali.
Prvým znakom problému bolo, že bez ohľadu na to, ako tvrdo sa matematici snažili nájsť takýto vzorec, bez ohľadu na to, akí boli šikovní, vždy zlyhali. Na nejaký čas všetci verili, že dôvody spočívajú v neuveriteľnej zložitosti vzorca. Verilo sa, že nikto jednoducho nedokáže správne pochopiť túto algebru. Postupom času však niektorí matematici začali pochybovať, že takýto vzorec vôbec existuje a Niels Hendrik Abel dokázal v roku 1823 dokázať opak. Taký vzorec neexistuje. Krátko nato Évariste Galois našiel spôsob, ako určiť, či rovnica jedného alebo druhého stupňa – 5., 6., 7., vo všeobecnosti ľubovoľná – je riešiteľná pomocou tohto druhu vzorca.
Záver z toho všetkého je jednoduchý: číslo 5 je špeciálne. Môžete riešiť algebraické rovnice (pomocou korene n-tého stupne pre rôzne hodnoty n) pre stupne 1, 2, 3 a 4, ale nie pre 5. stupeň. Tu sa zjavný vzorec končí.
Nikoho neprekvapí, že mocninné rovnice väčšie ako 5 sa správajú ešte horšie; najmä majú rovnaké ťažkosti: nie všeobecné vzorce pre ich riešenie. To neznamená, že rovnice nemajú riešenia; neznamená to tiež, že nie je možné nájsť veľmi presné číselné hodnoty týchto riešení. Je to všetko o obmedzeniach tradičných nástrojov algebry. To pripomína nemožnosť trisekcie uhla pomocou pravítka a kružidla. Existuje odpoveď, ale uvedené metódy nie sú dostatočné a neumožňujú vám určiť, čo to je.
Kryštalografické obmedzenie
Kryštály v dvoch a troch rozmeroch nemajú 5-lúčovú rotačnú symetriu.
Atómy v kryštáli tvoria mriežku, čiže štruktúru, ktorá sa periodicky opakuje v niekoľkých nezávislých smeroch. Napríklad vzor na tapete sa opakuje po celej dĺžke kotúča; okrem toho sa zvyčajne opakuje v horizontálnom smere, niekedy s posunom z jedného kusu tapety na druhý. Tapeta je v podstate dvojrozmerný kryštál.
V lietadle je 17 druhov vzorov tapiet (pozri kapitolu 17). Líšia sa typmi symetrie, teda spôsobmi strnulého posúvania vzoru tak, aby ležal presne na sebe vo svojej pôvodnej polohe. K typom symetrie patria najmä rôzne varianty rotačnej symetrie, kedy má byť vzor pootočený o určitý uhol okolo určitého bodu – stredu symetrie.
Poradie symetrie otáčania je, koľkokrát môžete otočiť telo do celého kruhu, aby sa všetky detaily obrázka vrátili do svojich pôvodných polôh. Napríklad otočenie o 90° je rotačná symetria 4. rádu*. Zoznam možných typov rotačnej symetrie v kryštálovej mriežke opäť poukazuje na nezvyčajnosť čísla 5: nie je tam. Existujú varianty s rotačnou symetriou 2., 3., 4. a 6. rádu, ale žiadny vzor tapety nemá rotačnú symetriu 5. rádu. V kryštáloch tiež neexistuje rotačná symetria rádu väčšia ako 6, ale prvé porušenie sekvencie sa stále vyskytuje pri čísle 5.
To isté sa deje s kryštalografickými systémami v trojrozmernom priestore. Tu sa mriežka opakuje v troch nezávislých smeroch. Je ich 219 rôzne druhy symetria alebo 230, ak počítate zrkadlový odraz kresba ako jeho samostatná verzia - navyše v tomto prípade neexistuje zrkadlová symetria. Opäť sú pozorované rotačné symetrie rádov 2, 3, 4 a 6, ale nie 5. Táto skutočnosť sa nazýva kryštalografické obmedzenie.
V štvorrozmernom priestore existujú mriežky so symetriou 5. rádu; vo všeobecnosti je pre mriežky dostatočne veľkých rozmerov možné akékoľvek vopred určené poradie rotačnej symetrie.
// Ryža. 40. Kryštálová bunka stolová soľ. Tmavé guľôčky predstavujú atómy sodíka, svetlé gule atómy chlóru.
Kvázikryštály
Zatiaľ čo rotačná symetria 5. rádu nie je možná v 2D a 3D mriežkach, môže existovať v o niečo menej pravidelných štruktúrach známych ako kvázikryštály. Pomocou Keplerovych náčrtov objavil Roger Penrose ploché systémy s viacerými bežný typ päťnásobná symetria. Nazývajú sa kvázikryštály.
V prírode existujú kvázikryštály. V roku 1984 Daniel Shechtman objavil, že zliatina hliníka a mangánu môže vytvárať kvázi kryštály; spočiatku kryštalografi privítali jeho posolstvo s určitou skepsou, ale neskôr sa objav potvrdil a v roku 2011 bol Shekhtman ocenený nobelová cena v chémii. V roku 2009 tím vedcov pod vedením Luca Bindiho objavil kvázi kryštály v minerále z ruskej Koryackej vrchoviny – zlúčeninu hliníka, medi a železa. Dnes sa tento minerál nazýva ikosahedrit. Meraním obsahu rôznych izotopov kyslíka v minerále pomocou hmotnostného spektrometra vedci ukázali, že tento minerál nepochádza zo Zeme. Vznikla asi pred 4,5 miliardami rokov, v čase, keď slnečná sústava bola v plienkach a väčšinu času trávila v páse asteroidov obiehajúcich okolo Slnka, kým nejaká porucha nezmenila jej dráhu a nepriviedla ju nakoniec na Zem.
// Ryža. 41. Vľavo: jedna z dvoch kvázikryštalických mriežok s presnou päťnásobnou symetriou. Vpravo: Atómový model ikosaedrického kvázikryštálu hliník-paládium-mangán
Pytagorova veta je každému známa už od školských čias. Vynikajúci matematik dokázal skvelý dohad, ktorý v súčasnosti používa veľa ľudí. Pravidlo znie takto: štvorec dĺžky prepony pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov nôh. Po mnoho desaťročí nebol ani jeden matematik schopný argumentovať týmto pravidlom. Koniec koncov, Pytagoras kráčal dlho k svojmu cieľu, takže kresby sa v dôsledku toho odohrávali v každodennom živote.
- Malý verš k tejto vete, ktorý bol vynájdený krátko po dôkaze, priamo dokazuje vlastnosti hypotézy: "Pytagorove nohavice sú si vo všetkých smeroch rovné." Tento dvojriadok bol uložený v pamäti mnohých ľudí - dodnes je báseň zapamätaná vo výpočtoch.
- Táto veta sa nazývala "Pytagorove nohavice" kvôli skutočnosti, že pri kreslení v strede sa získal pravouhlý trojuholník, po stranách ktorého boli štvorce. Vo vzhľade táto kresba pripomínala nohavice - odtiaľ názov hypotézy.
- Pytagoras bol hrdý na rozvinutú vetu, pretože táto hypotéza sa líši od podobných hypotéz maximálnym množstvom dôkazov. Dôležité: rovnica bola uvedená v Guinessovej knihe rekordov kvôli 370 pravdivým dôkazom.
- Hypotézu dokázalo obrovské množstvo matematikov a profesorov z r rozdielne krajiny v mnohých ohľadoch. Anglický matematik Jones ju krátko po vyhlásení hypotézy dokázal pomocou diferenciálnej rovnice.
- V súčasnosti nikto nepozná dôkaz vety samotným Pytagorasom. Fakty o dôkazoch matematika dnes nie sú známe nikomu. Verí sa, že dôkaz kresieb Euklida je dôkazom Pytagoras. Niektorí vedci však argumentujú týmto tvrdením: mnohí veria, že Euclid nezávisle dokázal teorém, bez pomoci tvorcu hypotézy.
- Súčasní vedci zistili, že veľký matematik nebol prvý, kto objavil túto hypotézu.. Rovnica bola známa dávno pred objavom Pytagorasom. Tomuto matematikovi sa podarilo iba zjednotiť hypotézu.
- Pytagoras nedal rovnici názov „Pytagorova veta“. Tento názov bol opravený po „hlasnej dvojriadke“. Matematik len chcel, aby celý svet uznal a využil jeho úsilie a objavy.
- Moritz Kantor - veľký najväčší matematik našiel a videl poznámky s kresbami na starovekom papyruse. Krátko nato si Cantor uvedomil, že táto veta bola Egypťanom známa už v roku 2300 pred Kristom. Len to potom nikto nezneužil a nesnažil sa to dokázať.
- Súčasní vedci sa domnievajú, že hypotéza bola známa už v 8. storočí pred Kristom. Indickí vedci tej doby objavili približný výpočet prepony trojuholníka vybaveného pravými uhlami. Pravda, rovnicu vtedy nikto nevedel s istotou dokázať približnými výpočtami.
- Veľký matematik Bartel van der Waerden po dokázaní hypotézy dospel k dôležitému záveru: „Za zásluhy gréckeho matematika sa nepovažuje objav smeru a geometrie, ale iba jeho opodstatnenie. V rukách Pytagora boli výpočtové vzorce, ktoré boli založené na predpokladoch, nepresných výpočtoch a nejasných predstavách. Vynikajúci vedec ju však dokázal premeniť na exaktnú vedu.“
- Slávny básnik povedal, že v deň objavenia jeho kresby vztýčil býkom slávnu obetu.. Bolo to po objavení hypotézy, ktorá sa rozšírila o tom, že obeť sto býkov „prešla po stránkach kníh a publikácií“. Wits dodnes žartuje, že odvtedy sa všetci býci boja nového objavu.
- Dôkaz, že Pytagoras neprišiel s básňou o nohaviciach, aby dokázal kresby, ktoré predložil: za života veľkého matematika ešte neboli nohavice. Boli vynájdené o niekoľko desaťročí neskôr.
- Pekka, Leibniz a niekoľko ďalších vedcov sa pokúsilo dokázať predtým známu vetu, ale nikto neuspel.
- Názov kresieb „Pytagorova veta“ znamená „presviedčanie rečou“. Toto je preklad slova Pytagoras, ktorý matematik prevzal ako pseudonym.
- Úvahy Pytagora o jeho vlastnej vláde: tajomstvo toho, čo existuje na Zemi, spočíva v číslach. Koniec koncov, matematik, spoliehajúc sa na svoju vlastnú hypotézu, študoval vlastnosti čísel, odhalil párnosť a nepárnosť a vytvoril proporcie.
Dúfame, že sa vám páčil výber obrázkov - Zaujímavosti o Pytagorovej vete: naučte sa nové veci o slávnej vete (15 fotografií) online dobrá kvalita. Zanechajte prosím svoj názor v komentároch! Každý názor je pre nás dôležitý.
Pytagorove nohavice Komický názov Pytagorovej vety, ktorý vznikol vďaka tomu, že štvorce postavené na stranách obdĺžnika a rozbiehajúce sa v rôznych smeroch pripomínajú strih nohavíc. Miloval som geometriu ... a tak ďalej vstupný test na univerzitu dokonca dostal pochvalu od Chumakova, profesora matematiky, za vysvetlenie vlastností rovnobežné čiary a pythagorejské nohavice(N. Pirogov. Denník starého lekára).
Slovníček fráz ruský spisovný jazyk. - M.: Astrel, AST. A. I. Fedorov. 2008.
Pozrite sa, čo sú „pythagorejské nohavice“ v iných slovníkoch:
Nohavice – získajte funkčný SuperStep zľavový kupón v Akademike alebo si kúpte lacné nohavice s dopravou zadarmo v akcii SuperStep
Pytagorove nohavice- ... Wikipedia
Pytagorove nohavice- Zharg. školy Kyvadlová doprava. Pytagorova veta, ktorá stanovuje vzťah medzi plochami štvorcov postavených na prepone a nohami pravouhlého trojuholníka. BTS, 835... Veľký slovník Ruské výroky
Pytagorove nohavice- Hravý názov pre Pytagorovu vetu, ktorá stanovuje pomer medzi plochami štvorcov postavených na prepone a nohami pravouhlého trojuholníka, ktorý vyzerá ako strih nohavíc na výkresoch ... Slovník mnohých výrazov
Pythagorejské nohavice (vynález)- cudzinec: o nadanej osobe Porov. To je istota mudrca. V dávnych dobách by pravdepodobne vynašiel pythagorejské nohavice ... Saltykov. Pestré písmená. Pythagorejské nohavice (geom.): v obdĺžniku sa štvorec prepony rovná štvorcom nôh (učenie ... ... Michelsonov veľký vysvetľujúci frazeologický slovník
Pythagorean nohavice sú rovnaké na všetkých stranách- Počet tlačidiel je známy. Prečo je péro stiesnené? (zhruba) o nohaviciach a mužskom pohlavnom orgáne. Pythagorean nohavice sú rovnaké na všetkých stranách. Aby sme to dokázali, je potrebné odstrániť a ukázať 1) o Pytagorovej vete; 2) o širokých nohaviciach... Živá reč. Slovník hovorových výrazov
Pytagorove nohavice vynašli- Pythagorejské nohavice (vynájsť) cudzinec. o nadaného človeka. St Toto je nepochybný mudrc. V dávnych dobách by pravdepodobne vynašiel pythagorejské nohavice ... Saltykov. Pestré písmená. Pythagorejské nohavice (geom.): v obdĺžniku, štvorec prepony ... ... Michelsonov veľký vysvetľujúci frazeologický slovník (pôvodný pravopis)
Pythagorejské nohavice sú rovnaké vo všetkých smeroch- Žartovný dôkaz Pytagorovej vety; tiež zo žartu o kamarátových širokých nohaviciach... Slovník ľudovej frazeológie
Adj., hrubý...
PYTAGORISKÉ NOHAVICE SÚ ROVNAKÉ NA VŠETKÝCH STRANÁCH (POČET TLAČIDIEL JE ZNÁMÝ. PREČO JE ZABLOKOVANÝ? / NA DÔKAZ JE NUTNÉ ODŇAŤ A ZOBRAZIŤ)- adj., hrubý ... Slovník súčasný hovorové frazeologické jednotky a výroky
nohavice- podstatné meno, pl., použiť komp. často Morfológia: pl. čo? nohavice, (nie) čo? nohavice na čo? nohavice, (pozri) čo? nohavice čo? nohavice, čo? o nohaviciach 1. Nohavice sú kus odevu, ktorý má dve krátke alebo dlhé nohavice a zakrýva spodok ... ... Slovník Dmitriev
knihy
- Pytagorové nohavice, . V tejto knihe nájdete fantáziu a dobrodružstvo, zázraky a fikciu. Vtipné aj smutné, obyčajné aj tajomné... A čo ešte treba na zábavné čítanie? Hlavná vec je byť…
Rímsky architekt Vitruvius vybral Pytagorovu vetu „z početných objavov, ktoré prispeli k rozvoju ľudského života“ a vyzval, aby sa s ňou zaobchádzalo s najväčšou úctou. Bolo to v 1. storočí pred Kristom. e. Slávny nemecký astronóm Johannes Kepler ho na prelome 16. – 17. storočia nazval jedným z pokladov geometrie, porovnateľným s mierou zlata. Je nepravdepodobné, že v celej matematike existuje závažnejšie a významnejšie tvrdenie, pretože z hľadiska počtu vedeckých a praktických aplikácií sa Pytagorovej vete nevyrovná.
Pytagorova veta pre prípad rovnoramenného pravouhlého trojuholníka.
Veda a život // Ilustrácie
Ilustrácia Pytagorovej vety z Pojednania o meracom póle (Čína, 3. storočie pred Kristom) a na jej základe zrekonštruovaný dôkaz.
Veda a život // Ilustrácie
S. Perkins. Pytagoras.
Nákres pre možný dôkaz Pytagoras.
"Pytagorova mozaika" a rozdelenie an-Nairizi na tri štvorce v dôkaze Pytagorovej vety.
P. de Hoch. Pani a slúžka na nádvorí. Okolo roku 1660.
I. Ottervelt. Potulní hudobníci pri dverách bohatého domu. 1665.
Pytagorove nohavice
Pytagorova veta je možno najznámejšou a nepochybne aj najslávnejšou v histórii matematiky. V geometrii sa používa doslova na každom kroku. Napriek jednoduchosti formulácie nie je táto veta v žiadnom prípade zrejmá: pri pohľade na pravouhlý trojuholník so stranami a< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, - и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Его рассуждения, по сути, сводились к доказательству теоремы Пифагора, пусть и для конкретного треугольника.
Postavy znázornené na obr. 1 a 2, pripomínajú najjednoduchší ornament zo štvorcov a ich rovnakých častí - geometrický vzor známy od nepamäti. Dokážu úplne zakryť lietadlo. Matematik by takéto prekrytie roviny polygónmi nazval parketou, prípadne obkladom. Prečo je tu Pytagoras? Ukazuje sa, že ako prvý vyriešil problém bežných parkiet, čím sa začalo štúdium obkladov rôznych povrchov. Pytagoras teda ukázal, že rovinu okolo bodu možno bez medzier pokryť iba rovnakými pravidelnými polygónmi tri typy: šesť trojuholníkov, štyri štvorce a tri šesťuholníky.
4000 rokov neskôr
História Pytagorovej vety siaha až do staroveku. Zmienky o ňom sú obsiahnuté v babylonských klinopisných textoch z čias kráľa Hammurabiho (XVIII. storočie pred Kristom), teda 1200 rokov pred narodením Pytagorasa. Veta bola aplikovaná ako hotové pravidlo v mnohých problémoch, z ktorých najjednoduchšie je nájsť uhlopriečku štvorca pozdĺž jeho strany. Je možné, že vzťah a 2 + b 2 = c 2 pre ľubovoľný pravouhlý trojuholník získali Babylončania jednoducho „zovšeobecnením“ rovnosti a 2 + a 2 = c 2 . Ale to je pre nich ospravedlniteľné - pre praktickú geometriu staroveku, ktorá bola zredukovaná na merania a výpočty, sa nevyžadovalo prísne odôvodnenie.
Teraz, takmer o 4000 rokov neskôr, máme čo do činenia s rekordnou vetou, pokiaľ ide o počet možných dôkazov. Mimochodom, ich zber má dlhoročnú tradíciu. Vrchol záujmu o Pytagorovu vetu padol na dvojku polovice XIX- začiatok XX storočia. A ak prvé zbierky neobsahovali viac ako dva alebo tri desiatky dôkazov, potom k koniec XIX storočia sa ich počet priblížil k 100 a po ďalšom polstoročí prekročil 360, a to sú len tie, ktoré boli zozbierané z rôznych zdrojov. Kto sa len nechopil riešenia tejto nestarnúcej úlohy – od významných vedcov a popularizátorov vedy až po kongresmanov a školákov. A čo je pozoruhodné, v originalite a jednoduchosti riešenia neboli iní amatéri horší ako profesionáli!
Najstarší dôkaz Pytagorovej vety, ktorý sa k nám dostal, je starý asi 2300 rokov. Jedna z nich – prísna axiomatická – patrí starogréckemu matematikovi Euklidovi, ktorý žil v 4. – 3. storočí pred Kristom. e. V prvej knihe prvkov je Pytagorova veta uvedená ako výrok 47. Najviditeľnejšie a najkrajšie dôkazy sú postavené na prekreslení „pytagorových nohavíc“. Vyzerajú ako dômyselné puzzle hranaté do štvorca. Nechajte však figúrky pohybovať sa správne - a prezradia vám tajomstvo slávnej vety.
Tu je elegantný dôkaz získaný na základe kresby z jedného starovekého čínskeho pojednania (obr. 3) a jeho spojenie s problémom zdvojnásobenia plochy štvorca je okamžite jasné.
Práve tento dôkaz sa snažil vysvetliť svojmu mladšiemu priateľovi sedemročný Guido, bystrý hrdina z poviedky „Malý Archimedes“ od anglického spisovateľa Aldousa Huxleyho. Je zvláštne, že rozprávač, ktorý pozoroval tento obraz, si všimol jednoduchosť a presvedčivosť dôkazov, a preto ich pripísal ... samotnému Pytagorasovi. ale Hlavná postava fantastický príbeh Evgenyho Veltistova "Elektronika - chlapec z kufra" poznal 25 dôkazov Pytagorovej vety, vrátane tých, ktoré uviedol Euclid; Pravda, omylom ho označil za najjednoduchší, hoci v skutočnosti v modernom vydaní Počiatkov zaberá jeden a pol strany!
Prvý matematik
Pytagoras zo Samosu (570-495 pred n. l.), ktorého meno bolo oddávna neoddeliteľne spojené s pozoruhodnou teorémou, možno v istom zmysle nazvať prvým matematikom. Tu začína matematika. exaktná veda, kde akékoľvek nové poznatky nie sú výsledkom vizuálnych reprezentácií a pravidiel naučených skúsenosťou, ale výsledkom logického uvažovania a záverov. Toto je jediný spôsob, ako raz a navždy stanoviť pravdivosť akéhokoľvek matematického tvrdenia. Pred Pytagorasom dedukčnú metódu používal iba starogrécky filozof a vedec Thales z Milétu, ktorý žil na prelome 7. – 6. storočia pred Kristom. e. Vyjadril samotnú myšlienku dôkazu, ale spravidla ju aplikoval nesystematicky, selektívne, na zrejmé geometrické výroky, ako napríklad „priemer rozpolí kruh“. Pytagoras zašiel oveľa ďalej. Predpokladá sa, že zaviedol prvé definície, axiómy a metódy dokazovania a tiež vytvoril prvý kurz geometrie, ktorý starí Gréci poznali pod názvom „Pytagorasova tradícia“. A stál pri počiatkoch teórie čísel a stereometrie.
Ďalšou významnou zásluhou Pytagora je založenie slávnej školy matematikov, ktorá na viac ako storočie určovala vývoj tejto vedy v r. Staroveké Grécko. Samotný pojem „matematika“ je spojený s jeho menom (od Grécke slovoμαθημa - učenie, veda), ktorý spájal štyri príbuzné disciplíny vytvorené Pytagorasom a jeho prívržencami - Pytagorejcami - systém vedomostí: geometria, aritmetika, astronómia a harmonická.
Nie je možné oddeliť úspechy Pythagorasa od úspechov jeho študentov: podľa zvyku pripisovali svoje vlastné nápady a objavy svojmu učiteľovi. Prví Pythagorejci nezanechali žiadne písomnosti, všetky informácie si navzájom odovzdávali ústne. Takže o 2500 rokov neskôr historikom nezostáva nič iné, ako zrekonštruovať stratené poznatky podľa prepisov iných, neskorších autorov. Dajme uznanie Grékom: hoci meno Pytagoras opreli mnohými legendami, nepripisovali mu nič, čo by nemohol objaviť alebo rozvinúť do teórie. A veta nesúca jeho meno nie je výnimkou.
Taký jednoduchý dôkaz
Nie je známe, či Pytagoras sám objavil pomer medzi dĺžkami strán v pravouhlom trojuholníku alebo si tieto poznatky požičal. Starovekí autori tvrdili, že on sám a rád prerozprával legendu o tom, ako Pytagoras na počesť svojho objavu obetoval býka. Moderní historici sa prikláňajú k názoru, že sa o vete dozvedel tak, že sa zoznámil s matematikou Babylončanov. Tiež nevieme, v akej forme Pytagoras formuloval vetu: aritmeticky, ako je dnes zvykom, druhá mocnina prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh, alebo geometricky, v duchu staroveku, štvorec postavený na prepone pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov postavených na jeho korčuliach.
Verí sa, že to bol Pytagoras, ktorý dal prvý dôkaz vety, ktorá nesie jeho meno. Neprežilo, samozrejme. Podľa jednej verzie mohol Pytagoras použiť doktrínu proporcií vyvinutú v jeho škole. Na ňom bola založená najmä teória podobnosti, na ktorej je založené uvažovanie. Narysujme výšku k prepone c v pravouhlom trojuholníku s nohami a a b. Získame tri podobné trojuholníky vrátane pôvodného. Ich príslušné strany sú úmerné, a: c = m: a a b: c = n: b, odkiaľ a 2 = c · m a b 2 = c · n. Potom a 2 + b 2 = = c (m + n) = c 2 (obr. 4).
Toto je len rekonštrukcia navrhnutá jedným z historikov vedy, ale dôkaz, vidíte, je celkom jednoduchý: zaberie vám to len pár riadkov, nemusíte nič dokončovať, prestavovať, počítať... nie je prekvapujúce, že bol znovu objavený viac ako raz. Je obsiahnutá napríklad v „Cvičení geometrie“ od Leonarda z Pisy (1220) a dodnes sa uvádza v učebniciach.
Takýto dôkaz nebol v rozpore s predstavami Pytagorejcov o porovnateľnosti: spočiatku verili, že pomer dĺžok akýchkoľvek dvoch segmentov, a teda aj plôch priamočiarych útvarov, možno vyjadriť pomocou prirodzených čísel. Nebrali do úvahy žiadne iné čísla, nepovolili ani zlomky, nahradili ich pomermi 1: 2, 2: 3 atď. Iróniou osudu však bola práve Pytagorova veta, ktorá viedla Pytagorovcov k objavu nesúmerateľnosti uhlopriečky. námestia a jeho strany. Všetky pokusy o číselné vyjadrenie dĺžky tejto uhlopriečky – pre jednotkový štvorec sa rovná √2 – neviedli k ničomu. Ukázalo sa, že je jednoduchšie dokázať, že problém je neriešiteľný. V takom prípade majú matematici osvedčenú metódu – dôkaz protirečením. Mimochodom, pripisuje sa aj Pytagorasovi.
Existencia vzťahu nie je vyjadrená prirodzené čísla, ukončili mnohé myšlienky Pytagorejcov. Bolo jasné, že čísla, ktoré poznali, nestačia na vyriešenie ani jednoduchých problémov, nehovoriac o celej geometrii! Tento objav bol zlomom vo vývoji gréckej matematiky, jej centrálny problém. Najprv to viedlo k rozvoju doktríny o nesúmerateľných veličinách – iracionalite a potom k rozšíreniu pojmu číslo. Inými slovami, stáročná história štúdia množiny reálnych čísel začala práve ním.
Mozaika Pytagoras
Ak pokryjete rovinu štvorcami dvoch rôznych veľkostí, pričom každý malý štvorec obklopíte štyrmi veľkými, získate parkety z pytagorejskej mozaiky. Takýto vzor už dlho zdobí kamenné podlahy, pripomínajúce staroveké dôkazy Pytagorovej vety (odtiaľ jej názov). Vložením štvorcovej siete na parkety rôznymi spôsobmi je možné získať priečky štvorcov postavené na stranách pravouhlého trojuholníka, ktoré navrhli rôzni matematici. Napríklad, ak usporiadate mriežku tak, aby sa všetky jej uzly zhodovali s pravými hornými vrcholmi malých štvorcov, objavia sa fragmenty kresby ako dôkaz stredovekého perzského matematika an-Nairiziho, ktorý umiestnil do komentárov k Euklidovmu „ Zásady“. Je ľahké vidieť, že súčet plôch veľkých a malých štvorcov, počiatočných prvkov parkiet, sa rovná ploche jedného štvorca mriežky, ktorá je na ňom umiestnená. A to znamená, že špecifikovaná priečka je skutočne vhodná na kladenie parkiet: spojením výsledných mnohouholníkov do štvorcov, ako je znázornené na obrázku, nimi môžete vyplniť celú rovinu bez medzier a presahov.
