, prerušovaná čiara atď.:

Ak sa pozriete pozorne na všetky tieto obrázky, môžete vybrať dve z nich, ktoré sú tvorené uzavretými čiarami (kruh a trojuholník). Tieto postavy majú akúsi hranicu oddeľujúcu to, čo je vnútri, od toho, čo je vonku. To znamená, že hranica rozdeľuje rovinu na dve časti: vnútornú a vonkajšia oblasťčo sa týka čísla, na ktoré sa vzťahuje:

Obvod

Obvod je uzavretá hranica roviny geometrický obrazec oddeľuje jeho vnútornú časť od vonkajšej.

Akýkoľvek uzavretý geometrický útvar má obvod:

Na obrázku sú obvody označené červenou čiarou. Všimnite si, že obvod kruhu sa často označuje ako dĺžka.

Obvod sa meria v dĺžkových jednotkách: mm, cm, dm, m, km.

Pre všetky polygóny sa nájdenie obvodu zredukuje na sčítanie dĺžok všetkých strán, to znamená, že obvod polygónu je vždy sa rovná súčtu dĺžka jeho strán. Pri výpočte obvodu sa často označuje veľkým latinským písmenom P:

Námestie

Plocha je časť roviny, ktorú zaberá uzavretý plochý geometrický útvar.

Akýkoľvek plochý uzavretý geometrický útvar má určitú plochu. Na výkresoch je oblasťou geometrických tvarov vnútorná oblasť, to znamená časť roviny, ktorá je vo vnútri obvodu.

oblasť meraniačísla - znamená zistiť, koľkokrát je na danom obrázku umiestnená iná postava, ktorá sa berie ako merná jednotka. Zvyčajne sa štvorec považuje za jednotku merania plochy, v ktorej sa strana rovná jednotke merania dĺžky: milimeter, centimeter, meter atď.

Obrázok ukazuje centimeter štvorcový. - štvorec s dĺžkou každej strany 1 cm:

Plocha sa meria v štvorcových jednotiek ah meranie dĺžky. Plošné jednotky zahŕňajú: mm 2, cm 2, m 2, km 2 atď.

Prevodová tabuľka štvorcových jednotiek

	mm 2	cm 2	dm 2	m 2	ar (tkať)	hektár (ha)	km 2
mm 2	1 mm2	0,01 cm2	10-4 dm2	10 -6 m2	10-8 ar	10 -10 ha	10-12 km 2
cm 2	100 mm2	1 cm2	0,01 dm2	10 -4 m2	10-6 sú	10 -8 ha	10-10 km 2
dm 2	104 mm2	100 cm2	1 dm 2	0,01 m2	10-4 ar	10 -6 ha	10-8 km 2
m 2	106 mm2	104 cm2	100 dm2	1 m2	0,01 sú	10 -4 ha	10-6 km 2
ar	108 mm2	106 cm2	104 dm2	100 m2	1 sú	0,01 ha	10-4 km 2
ha	10 10 mm2	108 cm2	106 dm2	104 m2	100 sú	1 ha	0,01 km2
km 2	10 12 mm2	10 10 cm2	108 dm2	106 m2	10 4 ar	100 ha	1 km 2

10 4 = 10 000	10 -4 = 0,000 1
10 6 = 1 000 000	10 -6 = 0,000 001
10 8 = 100 000 000	10 -8 = 0,000 000 01
10 10 = 10 000 000 000	10 -10 = 0,000 000 000 1
10 12 = 1 000 000 000 000	10 -12 = 0,000 000 000 001

Vedomosti o tom, ako nájsť obvod, žiaci získajú v Základná škola. Potom sa tieto informácie neustále používajú počas celého kurzu matematiky a geometrie.

Teória spoločná pre všetky postavy

Strany sú zvyčajne označené latinkou. Okrem toho môžu byť označené ako segmenty. Potom budete potrebovať dve písmená pre každú stranu a napísané veľkými písmenami. Alebo zadajte označenie jedným písmenom, ktoré bude nevyhnutne malé.
Písmená sa vždy vyberajú podľa abecedy. V prípade trojuholníka to budú prví traja. Šesťuholník ich bude mať 6 – od a do f. Je to užitočné pri zadávaní vzorcov.

Teraz o tom, ako nájsť obvod. Je to súčet dĺžok všetkých strán postavy. Počet termínov závisí od jeho typu. Obvod je označený latinským písmenom P. Jednotky merania sú rovnaké ako pre strany.

Obvodové vzorce pre rôzne tvary

Pre trojuholník: P \u003d a + b + c. Ak je rovnoramenný, vzorec sa prevedie: P \u003d 2a + c. Ako zistiť obvod trojuholníka, ak je rovnostranný? Pomôže to: P \u003d 3a.

Pre ľubovoľný štvoruholník: P=a+b+c+d. Jeho špeciálnym prípadom je štvorec, obvodový vzorec: P=4a. Existuje aj obdĺžnik, potom sa vyžaduje nasledujúca rovnosť: P \u003d 2 (a + b).

Čo ak nepoznáte dĺžku jednej alebo viacerých strán trojuholníka?

Kosínusovú vetu použite, ak sú medzi údajmi dve strany a uhol medzi nimi, ktorý je označený písmenom A. Potom pred nájdením obvodu budete musieť vypočítať tretiu stranu. Na tento účel je užitočný nasledujúci vzorec: c² \u003d a² + b² - 2 av cos (A).

Špeciálny prípad tejto vety je ten, ktorý sformuloval Pytagoras pre pravouhlý trojuholník. Obsahuje hodnotu kosínusu pravý uhol sa stáva nula, čo znamená, že posledný výraz jednoducho zmizne.

Existujú situácie, keď môžete zistiť, ako nájsť obvod trojuholníka na jednej strane. Ale zároveň sú známe aj uhly postavy. Tu prichádza na pomoc sínusová veta, keď sú pomery dĺžok strán k sínusom zodpovedajúcich opačných uhlov rovnaké.

V situácii, keď je potrebné nájsť obvod obrazca podľa plochy, prídu vhod iné vzorce. Napríklad, ak je známy polomer vpísanej kružnice, potom v otázke, ako nájsť obvod trojuholníka, je užitočný nasledujúci vzorec: S \u003d p * r, tu p je polobvod. Musí byť odvodený z tohto vzorca a vynásobený dvoma.

Príklady úloh

Prvá podmienka. Nájdite obvod trojuholníka, ktorého strany sú 3, 4 a 5 cm.
Riešenie. Musíte použiť rovnosť, ktorá je uvedená vyššie, a jednoducho do nej nahradiť údaje v úlohe hodnoty. Výpočty sú jednoduché, vedú k číslu 12 cm.
Odpoveď. Obvod trojuholníka je 12 cm.

Druhá podmienka. Jedna strana trojuholníka je 10 cm. Je známe, že druhá je o 2 cm väčšia ako prvá a tretia je 1,5-krát väčšia ako prvá. Je potrebné vypočítať jeho obvod.
Riešenie. Aby ste to zistili, musíte počítať dve strany. Druhý je definovaný ako súčet 10 a 2, tretí sa rovná súčinu 10 a 1,5. Potom zostáva len spočítať súčet troch hodnôt: 10, 12 a 15. Výsledok bude 37 cm.
Odpoveď. Obvod je 37 cm.

Tretia podmienka. Je tam obdĺžnik a štvorec. Jedna strana obdĺžnika je 4 cm a druhá je o 3 cm dlhšia. Je potrebné vypočítať hodnotu strany štvorca, ak je jeho obvod o 6 cm menší ako obvod obdĺžnika.
Riešenie. Druhá strana obdĺžnika je 7. Keď to vieme, je ľahké vypočítať jeho obvod. Výpočet dáva 22 cm.
Ak chcete zistiť stranu štvorca, musíte najprv odpočítať 6 od obvodu obdĺžnika a potom rozdeliť výsledné číslo o 4. Výsledkom je číslo 4.
Odpoveď. Strana štvorca je 4 cm.

Určite každý z nás sa v škole naučil takú dôležitú zložku geometrie, akou je obvod. Nájdenie obvodu je jednoducho potrebné na vyriešenie mnohých problémov. Náš článok vám povie, ako nájsť obvod.

Je potrebné si uvedomiť, že obvod každej postavy je takmer vždy súčtom jej strán. Pozrime sa na niekoľko rôznych geometrických tvarov.

1. Obdĺžnik je štvoruholník, ktorého rovnobežné strany sú v pároch rovnaké. Ak je jedna strana X a druhá Y, potom dostaneme nasledujúci vzorec na nájdenie obvodu tohto obrázku:

   P = 2(X+Y) = X+Y+X+Y = 2X+2Y.

   Príklad riešenia problému:

   Povedzme, že strana X = 5 cm, strana Y = 10 cm. Takže dosadením týchto hodnôt do nášho vzorca dostaneme - P = 2*5 cm + 2* 10cm = 30 cm.

2. Lichobežník je štvoruholník, ktorého dve protiľahlé strany sú rovnobežné, ale nie rovnaké. Obvod lichobežníka je súčtom všetkých štyroch jeho strán:

   P = X+Y+Z+W, kde X, Y, Z, W sú strany obrázku.

   Príklad riešenia problému:

   Povedzme, že strana X = 5 cm, strana Y = 10 cm, strana Z = 8 cm, strana W = 20 cm. Takže dosadením týchto hodnôt do nášho vzorca dostaneme - P = 5 cm + 10 cm + 8 cm + 20 cm = 43 cm.

3. Obvod kruhu (obvod) možno vypočítať pomocou vzorca:

   P = 2rπ = dπ, kde r je polomer kruhu, d je priemer kruhu.

   Príklad riešenia problému:

   Povedzme, že polomer r nášho kruhu je 5 cm, potom priemer d bude 2 * 5 cm = 10 cm.Je známe, že π = 3,14. Nahradením týchto hodnôt do nášho vzorca teda dostaneme - P = 2 * 5 cm * 3,14 = 31,4 cm.

4. Ak potrebujete nájsť obvod trojuholníka, môžete pri tom naraziť na množstvo problémov, pretože trojuholníky môžu mať veľmi odlišné tvary. Napríklad existujú ostré, tupé, rovnoramenné, pravé alebo rovnostranné trojuholníky. Aj keď vzorec pre všetky typy trojuholníkov je:

   P = X+Y+Z, kde X, Y, Z sú strany obrázku.

   Problém je v tom, že pri riešení mnohých problémov hľadania obvodu tohto obrazca nebudete vždy poznať dĺžky všetkých strán. Napríklad namiesto informácie o dĺžke jednej zo strán môžete mať stupeň uhla alebo dĺžku výšky konkrétneho trojuholníka. Úlohu to výrazne skomplikuje, no jej riešenie nebude nereálne. Ako nájsť obvod trojuholníka, bez ohľadu na to, aký je tvar, si môžete prečítať "".

5. Obvod takejto postavy ako kosoštvorca sa nachádza rovnakým spôsobom ako obvod štvorca, pretože kosoštvorec je rovnobežník, ktorý má rovnaké strany. Ako nájsť obvod štvorca sa dozviete v článku na našej webovej stránke "".

   Teraz viete, ako nájsť stranu obvodu geometrického útvaru, ktorý potrebujete!

V ďalšom testovacie úlohy Nájdite obvod obrázku znázorneného na obrázku.

Existuje mnoho spôsobov, ako zistiť obvod tvaru. Pôvodný tvar môžete transformovať tak, aby sa dal ľahko vypočítať obvod nového tvaru (napríklad zmeniť na obdĺžnik).

Ďalším riešením je hľadať obvod postavy priamo (ako súčet dĺžok všetkých jej strán). V tomto prípade sa však nemožno spoliehať iba na výkres, ale nájsť dĺžky segmentov na základe údajov o probléme.

Chcem vás upozorniť: v jednej z úloh som medzi navrhovanými odpoveďami nenašiel tú, ktorá mi vyšla.

c) .

Presuňme strany malých obdĺžnikov z vnútornej oblasti do vonkajšej. V dôsledku toho je veľký obdĺžnik uzavretý. Vzorec na nájdenie obvodu obdĺžnika

V tomto prípade a=9a, b=3a+a=4a. Teda P=2(9a+4a)=26a. K obvodu veľkého obdĺžnika pridáme súčet dĺžok štyroch segmentov, z ktorých každý sa rovná 3a. Výsledkom je, že P=26a+4∙3a= 38a .

c) .

Po prenesení vnútorných strán malých obdĺžnikov do vonkajšej oblasti dostaneme veľký obdĺžnik, ktorého obvod je P=2(10x+6x)=32x a štyri segmenty, dva s dĺžkou x, dva s dĺžkou 2x.

Celkom, P=32x+2∙2x+2∙x= 38x .

?) .

Presuňme 6 horizontálnych „krokov“ z vnútra von. Obvod výsledného veľkého obdĺžnika je P=2(6y+8y)=28y. Zostáva nájsť súčet dĺžok úsečiek vo vnútri obdĺžnika 4y+6∙y=10y. Obvod obrázku je teda P=28y+10y= 38r .

D) .

Presuňme vertikálne segmenty z vnútornej oblasti obrázku doľava do vonkajšej oblasti. Ak chcete získať veľký obdĺžnik, presuňte jednu zo 4x dĺžok do ľavého dolného rohu.

Obvod pôvodného obrazca nájdeme ako súčet obvodu tohto veľkého obdĺžnika a dĺžok zostávajúcich troch segmentov P=2(10x+8x)+6x+4x+2x= 48x .

e) .

Presunutím vnútorných strán malých obdĺžnikov do vonkajšej oblasti dostaneme veľký štvorec. Jeho obvod je P=4∙10x=40x. Ak chcete získať obvod pôvodnej figúry, musíte k obvodu štvorca pridať súčet dĺžok ôsmich segmentov, každý 3x dlhý. Celkom, P=40x+8∙3x= 64x .

b) .

Presuňme všetky horizontálne "kroky" a vertikálne horné segmenty do vonkajšej oblasti. Obvod výsledného obdĺžnika je P=2(7y+4y)=22y. Ak chcete zistiť obvod pôvodného obrazca, musíte k obvodu obdĺžnika pridať súčet dĺžok štyroch segmentov, z ktorých každý má dĺžku y: P=22y+4∙y= 26r .

D) .

Presuňte všetky vodorovné čiary z vnútornej oblasti do vonkajšej a posuňte dve zvislé vonkajšie čiary v ľavom a pravom rohu, z doľava a doprava. V dôsledku toho dostaneme veľký obdĺžnik, ktorého obvod je P=2(11z+3z)=28z.

Obvod pôvodného obrazca sa rovná súčtu obvodu veľkého obdĺžnika a dĺžok šiestich segmentov v z: P=28z+6∙z= 34z .

b) .

Riešenie je úplne podobné riešeniu v predchádzajúcom príklade. Po transformácii obrázku nájdeme obvod veľkého obdĺžnika:

P=2(5z+3z)=16z. K obvodu obdĺžnika pripočítame súčet dĺžok zostávajúcich šiestich segmentov, z ktorých každý sa rovná z: P=16z+6∙z= 22z .

Geometria, ak sa nemýlim, sa za mojich čias učila od piateho ročníka a obvod bol a je jedným z kľúčových pojmov. takže, obvod je súčet dĺžok všetkých strán (označený latinským písmenom P). Vo všeobecnosti sa tento pojem vykladá rôznymi spôsobmi, napr.

• celková dĺžka okraja postavy,
• dĺžka všetkých jeho strán,
• súčet dĺžok jeho plôch,
• dĺžka ohraničujúcej čiary,
• súčet všetkých dĺžok strán mnohouholníka

Rôzne tvary majú svoje vzorce na určenie obvodu. Aby som pochopil samotný význam, navrhujem nezávisle odvodiť niekoľko jednoduchých vzorcov:

1. za štvorec
2. pre obdĺžnik
3. pre rovnobežník
4. pre kocku
5. za krabicu

Obvod štvorca

Napríklad, zoberme si najjednoduchšie - obvod štvorca.

Všetky strany štvorca sú rovnaké. Nech sa teda jedna strana volá „a“ (rovnako ako ostatné tri).

P = a + a + a + a

alebo kompaktnejší zápis

Obvod obdĺžnika

Skomplikujme si úlohu a zoberme si obdĺžnik. V tomto prípade už nie je možné povedať, že všetky strany sú rovnaké, preto nech sú dĺžky strán obdĺžnika rovné a a b.

Potom bude vzorec vyzerať takto:

P = a + b + a + b

Paralelogramový obvod

Podobná situácia bude s rovnobežníkom (pozri obvod obdĺžnika)

obvod kocky

Čo robiť, ak máme do činenia s trojrozmernou postavou? Vezmite napríklad kocku. Kocka má 12 strán a všetky sú rovnaké. Podľa toho možno obvod kocky vypočítať takto:

Obvod krabice

Na upevnenie materiálu vypočítame obvod rovnobežnostenu. Tu je potrebné sa trochu zamyslieť. Urobme to spolu. Ako vieme, kváder je postava, ktorej strany sú obdĺžniky. Každý rovnobežnosten má dve základne. Zoberme si jeden zo základov a pozrime sa na jeho strany - majú dĺžky a a b. V súlade s tým je obvod základne P = 2a + 2b. Potom je obvod dvoch základov

(2a + 2b) * 2 = 4a + 4b

Ale máme aj stranu "c". Takže vzorec na výpočet obvodu rovnobežnostena bude vyzerať takto:

P = 4a + 4b + 4c

Ako môžete vidieť z vyššie uvedených príkladov, všetko, čo je potrebné urobiť na určenie obvodu tvaru, je nájsť dĺžku každej zo strán a potom ich sčítať.

Na záver by som rád poznamenal, že nie každá postava má obvod. Napríklad, Guľa nemá obvod.