Identitné transformácie goniometrických výrazov. Lekcia "zjednodušenie goniometrických výrazov" Goniometrické výrazy a ich transformácie

Sekcie: Matematika

Trieda: 11

Lekcia 1

téma: 11. ročník (príprava na skúšku)

Zjednodušenie goniometrických výrazov.

Riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc. (2 hodiny)

Ciele:

Systematizovať, zovšeobecňovať, rozširovať vedomosti a zručnosti žiakov súvisiace s používaním trigonometrických vzorcov a riešením najjednoduchších goniometrických rovníc.

Vybavenie na lekciu:

Štruktúra lekcie:

Orgmoment
Testovanie na notebookoch. Diskusia o výsledkoch.
Zjednodušenie goniometrických výrazov
Riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc
Samostatná práca.
Zhrnutie lekcie. Vysvetlenie domácej úlohy.

1. Organizačný moment. (2 minúty.)

Učiteľ privíta poslucháčov, oznámi tému hodiny, pripomenie, že predtým bola zadaná úloha zopakovať trigonometrické vzorce a pripraví žiakov na testovanie.

2. Testovanie. (15 minút + 3 minúty diskusia)

Cieľom je preveriť znalosti goniometrických vzorcov a schopnosť ich aplikovať. Každý žiak má na stole notebook, v ktorom je možnosť testu.

Možností môže byť toľko, koľko chcete, tu je príklad jednej z nich:

I možnosť.

Zjednodušte výrazy:

a) základné trigonometrické identity

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) adičné vzorce

3. hriech5x - hriech3x;

c) prevod produktu na sumu

6. 2sin8y cos3y;

d) vzorce dvojitého uhla

7,2 sin5x cos5x;

e) vzorce polovičného uhla

f) vzorce trojitého uhla

g) univerzálna substitúcia

h) zníženie stupňa

16. cos 2 (3x/7);

Študenti na notebooku pred každým vzorcom vidia svoje odpovede.

Práca je okamžite kontrolovaná počítačom. Výsledky sa zobrazia na veľkej obrazovke pre každého.

Taktiež po skončení práce sa správne odpovede zobrazujú žiakom na notebookoch. Každý žiak vidí, kde sa stala chyba a aké vzorce potrebuje zopakovať.

3. Zjednodušenie goniometrických výrazov. (25 min.)

Cieľom je zopakovať, vypracovať a upevniť aplikáciu základných vzorcov trigonometrie. Riešenie úloh B7 zo skúšky.

V tejto fáze je vhodné rozdeliť triedu na skupiny silných (pracujú samostatne s následným overením) a slabých žiakov, ktorí spolupracujú s učiteľom.

Zadanie pre silných študentov (pripravené vopred na tlačenom základe). Hlavný dôraz sa kladie na vzorce zmenšenia a dvojitého uhla podľa USE 2011.

Zjednodušte výrazy (pre silných študentov):

Paralelne učiteľ pracuje so slabými žiakmi, diskutuje a rieši úlohy na obrazovke pod diktátom žiakov.

Vypočítať:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

Zjednodušiť:

Na rad prišla diskusia o výsledkoch práce silnej skupiny.

Odpovede sa zobrazia na obrazovke a tiež pomocou videokamery sa zobrazia práce 5 rôznych študentov (pre každého jedna úloha).

Slabá skupina vidí podmienku a spôsob riešenia. Existuje diskusia a analýza. S využitím technických prostriedkov sa to deje rýchlo.

4. Riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc. (30 minút.)

Cieľom je zopakovať, systematizovať a zovšeobecniť riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc so zaznamenaním ich koreňov. Riešenie úlohy B3.

Akákoľvek goniometrická rovnica, bez ohľadu na to, ako ju vyriešime, vedie k najjednoduchšej.

Pri plnení úlohy by študenti mali venovať pozornosť písaniu koreňov rovníc konkrétnych prípadov a všeobecného tvaru a výberu koreňov v poslednej rovnici.

Riešiť rovnice:

Napíšte najmenší kladný koreň odpovede.

5. Samostatná práca (10 min.)

Cieľom je otestovať nadobudnuté zručnosti, identifikovať problémy, chyby a spôsoby ich odstránenia.

Podľa výberu študenta sú ponúkané rôzne práce.

Možnosť pre "3"

1) Nájdite hodnotu výrazu

2) Zjednodušte výraz 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Vyriešte rovnicu

Možnosť pre "4"

1) Nájdite hodnotu výrazu

2) Vyriešte rovnicu Napíšte najmenší kladný koreň svojej odpovede.

Možnosť pre "5"

1) Nájdite tgα, ak

2) Nájdite koreň rovnice Napíšte najmenší kladný koreň svojej odpovede.

6. Zhrnutie hodiny (5 min.)

Učiteľ zhŕňa skutočnosť, že hodina opakovala a upevňovala goniometrické vzorce, riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc.

Domáca úloha sa zadáva (vopred vytlačená) s náhodnou kontrolou na nasledujúcej hodine.

Riešiť rovnice:

10) Svoju odpoveď uveďte ako najmenší kladný koreň.

2. lekcia

téma: 11. ročník (príprava na skúšku)

Metódy riešenia goniometrických rovníc. Výber koreňa. (2 hodiny)

Ciele:

Zovšeobecniť a systematizovať poznatky o riešení goniometrických rovníc rôznych typov.
Podporovať rozvoj matematického myslenia žiakov, schopnosť pozorovať, porovnávať, zovšeobecňovať, klasifikovať.
Povzbudzovať žiakov k prekonávaniu ťažkostí v procese duševnej činnosti, k sebakontrole, introspekcii svojich činností.

Vybavenie na lekciu: KRMu, notebooky pre každého študenta.

Štruktúra lekcie:

Orgmoment
Diskusia d/sa samot. práca z poslednej lekcie
Opakovanie metód riešenia goniometrických rovníc.
Riešenie goniometrických rovníc
Výber koreňov v goniometrických rovniciach.
Samostatná práca.
Zhrnutie lekcie. Domáca úloha.

1. Organizačný moment (2 min.)

Učiteľ pozdraví poslucháčov, oznámi tému hodiny a plán práce.

2. a) Rozbor domácej úlohy (5 min.)

Cieľom je skontrolovať výkon. Jedno dielo s pomocou videokamery sa zobrazí na obrazovke, ostatné sa selektívne zbierajú pre kontrolu učiteľa.

b) Analýza samostatnej práce (3 min.)

Cieľom je vyriešiť chyby, naznačiť spôsoby, ako ich prekonať.

Na obrazovke sú odpovede a riešenia, študenti vopred vydali svoje práce. Analýza prebieha rýchlo.

3. Opakovanie metód riešenia goniometrických rovníc (5 min.)

Cieľom je pripomenúť si metódy riešenia goniometrických rovníc.

Opýtajte sa žiakov, aké metódy riešenia goniometrických rovníc poznajú. Zdôraznite, že existujú takzvané základné (často používané) metódy:

variabilná substitúcia,
faktorizácia,
homogénne rovnice,

a tam sú použité metódy:

podľa vzorcov na prepočet sumy na súčin a súčinu na súčet,
podľa redukčných vzorcov,
univerzálna trigonometrická substitúcia
zavedenie pomocného uhla,
násobenie nejakou goniometrickou funkciou.

Treba tiež pripomenúť, že jedna rovnica môže byť vyriešená rôznymi spôsobmi.

4. Riešenie goniometrických rovníc (30 min.)

Cieľom je zovšeobecniť a upevniť vedomosti a zručnosti na túto tému, pripraviť sa na riešenie C1 z USE.

Považujem za účelné riešiť rovnice pre každú metódu spolu so žiakmi.

Žiak nadiktuje riešenie, učiteľ zapíše na tablet, celý proces sa zobrazí na obrazovke. To vám umožní rýchlo a efektívne obnoviť predtým pokrytý materiál vo vašej pamäti.

Riešiť rovnice:

1) zmena premennej 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorizácia 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogénne rovnice sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) prevod súčtu na súčin cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) prevod súčinu na súčet 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) zníženie stupňa sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) univerzálna trigonometrická substitúcia sinx + 5cosx + 5 = 0.

Pri riešení tejto rovnice je potrebné poznamenať, že použitie tejto metódy vedie k zúženiu oblasti definície, pretože sínus a kosínus sú nahradené tg(x/2). Pred vypísaním odpovede je preto potrebné skontrolovať, či čísla z množiny π + 2πn, n Z sú koňmi tejto rovnice.

8) zavedenie pomocného uhla √3sinx + cosx - √2 = 0

9) násobenie nejakou goniometrickou funkciou cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Výber koreňov goniometrických rovníc (20 min.)

Keďže v podmienkach tvrdej konkurencie pri nástupe na vysoké školy nestačí riešenie jednej prvej časti skúšky, väčšina študentov by mala venovať pozornosť úlohám druhej časti (C1, C2, C3).

Účelom tejto fázy lekcie je preto pripomenúť si predtým preštudovaný materiál, pripraviť sa na riešenie problému C1 z USE v roku 2011.

Existujú trigonometrické rovnice, v ktorých musíte pri písaní odpovede vybrať korene. Je to spôsobené niektorými obmedzeniami, napríklad: menovateľ zlomku sa nerovná nule, výraz pod koreňom párneho stupňa je nezáporný, výraz pod znamienkom logaritmu je kladný atď.

Takéto rovnice sú považované za rovnice so zvýšenou zložitosťou a vo verzii USE sú v druhej časti, konkrétne C1.

Vyriešte rovnicu:

Zlomok je nula, ak potom pomocou jednotkového kruhu vyberieme korene (pozri obrázok 1)

Obrázok 1.

dostaneme x = π + 2πn, n Z

Odpoveď: π + 2πn, n Z

Na obrazovke je výber koreňov zobrazený v kruhu na farebnom obrázku.

Súčin sa rovná nule, keď sa aspoň jeden z faktorov rovná nule a oblúk zároveň nestráca svoj význam. Potom

Pomocou jednotkového kruhu vyberte korene (pozri obrázok 2)

Obrázok 2

Poďme do systému:

V prvej rovnici systému urobíme zmenu log 2 (sinx) = y, získame rovnicu potom , späť do systému

pomocou jednotkového kruhu vyberieme korene (pozri obrázok 5),

Obrázok 5

6. Samostatná práca (15 min.)

Cieľom je upevniť a skontrolovať asimiláciu materiálu, identifikovať chyby a načrtnúť spôsoby ich opravy.

Práca je ponúkaná v troch verziách, pripravených vopred v tlačenej podobe, podľa výberu študentov.

Rovnice sa dajú riešiť akýmkoľvek spôsobom.

Možnosť pre "3"

Riešiť rovnice:

1) 2 sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

Možnosť pre "4"

Riešiť rovnice:

1) cos2x = 11 sinx - 5

2) (2sinx + √3) log 8 (cosx) = 0

Možnosť pre "5"

Riešiť rovnice:

1) 2sinx - 3cosx = 2

7. Zhrnutie hodiny, domáca úloha (5 min.)

Učiteľ zhrnie lekciu, ešte raz upozorní na skutočnosť, že goniometrickú rovnicu je možné riešiť viacerými spôsobmi. Najlepší spôsob, ako dosiahnuť rýchly výsledok, je ten, ktorý sa najlepšie naučí konkrétny študent.

Pri príprave na skúšku je potrebné systematicky opakovať vzorce a metódy riešenia rovníc.

Domáce úlohy (vopred pripravené na tlačenom základe) sú rozdané a spôsoby riešenia niektorých rovníc sú komentované.

Riešiť rovnice:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2x + sin2x = 3

4) hriech 2 x + hriech 2 2x - hriech 2 3x - hriech 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx) log 7 (-tgx) = 0

11)

Video lekcia „Zjednodušenie goniometrických výrazov“ je určená na rozvoj zručností žiakov pri riešení goniometrických úloh pomocou základných goniometrických identít. Počas video lekcie sa zvažujú typy trigonometrických identít, príklady riešenia problémov pomocou nich. Pomocou názorných pomôcok je pre učiteľa jednoduchšie dosiahnuť ciele hodiny. Živá prezentácia materiálu prispieva k zapamätaniu dôležitých bodov. Použitie animačných efektov a hlasového prejavu vám umožňuje úplne nahradiť učiteľa vo fáze vysvetľovania látky. Využitím tejto názornej pomôcky na hodinách matematiky môže učiteľ zvýšiť efektivitu vyučovania.

Na začiatku video lekcie je oznámená jej téma. Potom sa vybavia skôr študované trigonometrické identity. Na obrazovke sa zobrazia rovnosti sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, kde t≠π/2+πk pre kϵZ, ctg t=cos t/sin t, platí pre t≠πk, kde kϵZ, tan t · ctg t=1, pri t≠πk/2, kde kϵZ, nazývané základné goniometrické identity. Je potrebné poznamenať, že tieto identity sa často používajú pri riešení problémov, kde je potrebné dokázať rovnosť alebo zjednodušiť výraz.

Ďalej sú zvažované príklady použitia týchto identít pri riešení problémov. Najprv sa navrhuje zvážiť riešenie problémov so zjednodušením výrazov. V príklade 1 je potrebné zjednodušiť výraz cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Na vyriešenie príkladu sa najprv uvedie spoločný faktor cos 2 t do zátvoriek. Výsledkom takejto transformácie v zátvorke sa získa výraz 1-cos 2 t, ktorého hodnota zo základnej identity trigonometrie sa rovná sin 2 t. Po transformácii výrazu je zrejmé, že zo zátvoriek možno vyňať ešte jeden spoločný činiteľ sin 2 t, po ktorom výraz nadobúda tvar sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t). Z rovnakej základnej identity odvodíme hodnotu výrazu v zátvorke rovnú 1. Výsledkom zjednodušenia je cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

V príklade 2 je tiež potrebné zjednodušiť výraz náklady/(1- sint)+ náklady/(1+ sint). Keďže cena výrazu je v čitateloch oboch zlomkov, možno ju vymedziť ako spoločný faktor. Potom sa zlomky v zátvorkách zredukujú na spoločného menovateľa vynásobením (1- sint) (1+ sint). Po zmenšení podobných členov zostáva 2 v čitateli a 1 - sin 2 t v menovateli. Na pravej strane obrazovky sa zobrazí základná trigonometrická identita sin 2 t+cos 2 t=1. Pomocou neho nájdeme menovateľ zlomku cos 2 t. Po zmenšení zlomku dostaneme zjednodušený tvar výrazu náklady/(1- sint)+ náklady/(1+ sint)=2/náklady.

Ďalej uvažujeme o príkladoch dokazovania identít, v ktorých sa uplatňujú získané poznatky o základných identitách trigonometrie. V príklade 3 je potrebné preukázať totožnosť (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Pravá strana obrazovky zobrazuje tri identity, ktoré budú potrebné na dôkaz - tg t ctg t=1, ctg t=cos t/sin t a tg t=sin t/cc t s obmedzeniami. Na preukázanie identity sa najprv otvoria zátvorky, potom sa vytvorí súčin, ktorý odráža vyjadrenie hlavnej goniometrickej identity tg t·ctg t=1. Potom sa podľa identity z definície kotangens transformuje ctg 2 t. V dôsledku transformácií sa získa výraz 1-cos 2 t. Pomocou základnej identity nájdeme hodnotu výrazu. Je teda dokázané, že (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

V príklade 4 musíte nájsť hodnotu výrazu tg 2 t+ctg 2 t, ak tg t+ctg t=6. Na vyhodnotenie výrazu sa pravá a ľavá strana rovnice (tg t+ctg t) 2 =6 2 najprv odmocní. Na pravej strane obrazovky sa zobrazí skrátený vzorec násobenia. Po otvorení zátvoriek na ľavej strane výrazu vznikne súčet tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t, na transformáciu ktorého možno použiť jednu z goniometrických identít tg t ctg t=1, ktorého forma je vyvolaná na pravej strane obrazovky. Po transformácii sa získa rovnosť tg2t+ctg2t=34. Ľavá strana rovnosti sa zhoduje s podmienkou úlohy, takže odpoveď je 34. Úloha je vyriešená.

Video lekcia „Zjednodušenie goniometrických výrazov“ sa odporúča použiť na tradičnej školskej hodine matematiky. Materiál bude užitočný aj pre učiteľa, ktorý poskytuje dištančné vzdelávanie. S cieľom vytvoriť zručnosť pri riešení goniometrických problémov.

TEXTOVÉ VYSVETLENIE:

„Zjednodušenie goniometrických výrazov“.

Rovnosť

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sínusová druhá mocnina te plus kosínusová druhá mocnina te sa rovná jednej)

2) tgt =, pri t ≠ + πk, kϵZ (tangens te sa rovná pomeru sínusu te ku kosínu te, keď te sa nerovná pi o dva plus pi ka, ka patrí k zet)

3) ctgt = , pri t ≠ πk, kϵZ (kotangens te sa rovná pomeru kosínusu te k sínusu te, keď te sa nerovná vrcholu ka, ktorý patrí do z).

4)tgt ∙ ctgt = 1 pre t ≠ , kϵZ

sa nazývajú základné goniometrické identity.

Často sa používajú pri zjednodušovaní a dokazovaní goniometrických výrazov.

Zvážte príklady použitia týchto vzorcov pri zjednodušovaní goniometrických výrazov.

PRÍKLAD 1. Zjednodušte výraz: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (výraz kosínus na druhú te mínus kosínus štvrtého stupňa te plus sínus štvrtého stupňa te).

Riešenie. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = hriech 2 t 1 = hriech 2 t

(vyberieme spoločný činiteľ kosínusová kvadráta te, v zátvorkách dostaneme rozdiel medzi jednotou a druhou mocninou kosínusu te, ktorý sa rovná druhej mocnine sínusu te pri prvej identite. Dostaneme súčet sínusov štvrtého stupeň te súčinu kosínusovej kvadráty te a sínusovej kvadráty te Spoločný činiteľ sínusová kvadráta te vytiahneme mimo zátvorky, v zátvorkách dostaneme súčet druhých mocnín kosínusu a sínusu, ktorý podľa základnej trigonometrie identity, sa rovná 1. V dôsledku toho dostaneme druhú mocninu sínusu te).

PRÍKLAD 2. Zjednodušte výraz: + .

(výraz je súčet dvoch zlomkov v čitateli prvého kosínusu te v menovateli jedna mínus sínus te, v čitateli druhého kosínusu te v menovateli druhého plus sínus te).

(Vyberieme spoločný činiteľ kosínus te zo zátvoriek a v zátvorkách ho privedieme k spoločnému menovateľovi, ktorý je súčinom jedného mínus sínus te a jedného plus sínus te.

V čitateli dostaneme: jeden plus sine te plus jeden mínus sine te, dáme podobné, v čitateli sa po prinesení podobných rovná dvom.

V menovateli môžete použiť skrátený vzorec násobenia (rozdiel štvorcov) a získať rozdiel medzi jednotkou a druhou mocninou sínusu te, ktorý podľa základnej goniometrickej identity

sa rovná druhej mocnine kosínusu te. Po zmenšení o kosínus te dostaneme konečnú odpoveď: dve delené kosínusom te).

Zvážte príklady použitia týchto vzorcov pri dôkaze goniometrických výrazov.

PRÍKLAD 3. Dokážte identitu (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (súčin rozdielu medzi druhými mocninami tangens te a sínusom te a druhou mocninou kotangensu te sa rovná druhej mocnine sínusu te).

Dôkaz.

Transformujme ľavú stranu rovnosti:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t - cos 2 t = hriech 2 t

(Otvorme zátvorky, z predtým získaného vzťahu je známe, že súčin druhých mocnín tangenta te kotangensom te sa rovná jednej. Pripomeňme, že kotangens te sa rovná podielu kosínusu te k sínusu te, čo znamená, že druhá mocnina kotangensu je pomer druhej mocniny kosínusu te k druhej mocnine sínusu te.

Po zmenšení o sínusovú druhú mocninu te dostaneme rozdiel medzi jednotkou a kosínusom druhej mocniny te, ktorý sa rovná sínusovej mocnine druhej mocniny te). Q.E.D.

PRÍKLAD 4. Nájdite hodnotu výrazu tg 2 t + ctg 2 t, ak tgt + ctgt = 6.

(súčet druhých mocnín tangensu te a kotangensu te, ak súčet tangensu a kotangensu je šesť).

Riešenie. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg2t + 2 + ctg2t = 36

tg2t + ctg2t = 36-2

tg2t + ctg2t = 34

Odmocnime obe časti pôvodnej rovnosti:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (druhá mocnina súčtu tangens te a kotangens te je šesť na druhú). Pripomeňme si skrátený vzorec na násobenie: Druhá mocnina súčtu dvoch veličín sa rovná druhej mocnine prvej plus dvojnásobku súčinu prvej a druhej plus druhej mocniny druhej. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Dostaneme tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 .

Pretože súčin tangens te a kotangens te sa rovná jednej, potom tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (súčet druhých mocnín tangens te a kotangens te a dva je tridsaťšesť),

Sekcie: Matematika

Trieda: 11

Lekcia 1

téma: 11. ročník (príprava na skúšku)

Zjednodušenie goniometrických výrazov.

Riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc. (2 hodiny)

Ciele:

Systematizovať, zovšeobecňovať, rozširovať vedomosti a zručnosti žiakov súvisiace s používaním trigonometrických vzorcov a riešením najjednoduchších goniometrických rovníc.

Vybavenie na lekciu:

Štruktúra lekcie:

Orgmoment
Testovanie na notebookoch. Diskusia o výsledkoch.
Zjednodušenie goniometrických výrazov
Riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc
Samostatná práca.
Zhrnutie lekcie. Vysvetlenie domácej úlohy.

1. Organizačný moment. (2 minúty.)

Učiteľ privíta poslucháčov, oznámi tému hodiny, pripomenie, že predtým bola zadaná úloha zopakovať trigonometrické vzorce a pripraví žiakov na testovanie.

2. Testovanie. (15 minút + 3 minúty diskusia)

Cieľom je preveriť znalosti goniometrických vzorcov a schopnosť ich aplikovať. Každý žiak má na stole notebook, v ktorom je možnosť testu.

Možností môže byť toľko, koľko chcete, tu je príklad jednej z nich:

I možnosť.

Zjednodušte výrazy:

a) základné trigonometrické identity

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) adičné vzorce

3. hriech5x - hriech3x;

c) prevod produktu na sumu

6. 2sin8y cos3y;

d) vzorce dvojitého uhla

7,2 sin5x cos5x;

e) vzorce polovičného uhla

f) vzorce trojitého uhla

g) univerzálna substitúcia

h) zníženie stupňa

16. cos 2 (3x/7);

Študenti na notebooku pred každým vzorcom vidia svoje odpovede.

Práca je okamžite kontrolovaná počítačom. Výsledky sa zobrazia na veľkej obrazovke pre každého.

Taktiež po skončení práce sa správne odpovede zobrazujú žiakom na notebookoch. Každý žiak vidí, kde sa stala chyba a aké vzorce potrebuje zopakovať.

3. Zjednodušenie goniometrických výrazov. (25 min.)

Cieľom je zopakovať, vypracovať a upevniť aplikáciu základných vzorcov trigonometrie. Riešenie úloh B7 zo skúšky.

V tejto fáze je vhodné rozdeliť triedu na skupiny silných (pracujú samostatne s následným overením) a slabých žiakov, ktorí spolupracujú s učiteľom.

Zadanie pre silných študentov (pripravené vopred na tlačenom základe). Hlavný dôraz sa kladie na vzorce zmenšenia a dvojitého uhla podľa USE 2011.

Zjednodušte výrazy (pre silných študentov):

Paralelne učiteľ pracuje so slabými žiakmi, diskutuje a rieši úlohy na obrazovke pod diktátom žiakov.

Vypočítať:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

Zjednodušiť:

Na rad prišla diskusia o výsledkoch práce silnej skupiny.

Odpovede sa zobrazia na obrazovke a tiež pomocou videokamery sa zobrazia práce 5 rôznych študentov (pre každého jedna úloha).

Slabá skupina vidí podmienku a spôsob riešenia. Existuje diskusia a analýza. S využitím technických prostriedkov sa to deje rýchlo.

4. Riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc. (30 minút.)

Cieľom je zopakovať, systematizovať a zovšeobecniť riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc so zaznamenaním ich koreňov. Riešenie úlohy B3.

Akákoľvek goniometrická rovnica, bez ohľadu na to, ako ju vyriešime, vedie k najjednoduchšej.

Pri plnení úlohy by študenti mali venovať pozornosť písaniu koreňov rovníc konkrétnych prípadov a všeobecného tvaru a výberu koreňov v poslednej rovnici.

Riešiť rovnice:

Napíšte najmenší kladný koreň odpovede.

5. Samostatná práca (10 min.)

Cieľom je otestovať nadobudnuté zručnosti, identifikovať problémy, chyby a spôsoby ich odstránenia.

Podľa výberu študenta sú ponúkané rôzne práce.

Možnosť pre "3"

1) Nájdite hodnotu výrazu

2) Zjednodušte výraz 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Vyriešte rovnicu

Možnosť pre "4"

1) Nájdite hodnotu výrazu

2) Vyriešte rovnicu Napíšte najmenší kladný koreň svojej odpovede.

Možnosť pre "5"

1) Nájdite tgα, ak

2) Nájdite koreň rovnice Napíšte najmenší kladný koreň svojej odpovede.

6. Zhrnutie hodiny (5 min.)

Učiteľ zhŕňa skutočnosť, že hodina opakovala a upevňovala goniometrické vzorce, riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc.

Domáca úloha sa zadáva (vopred vytlačená) s náhodnou kontrolou na nasledujúcej hodine.

Riešiť rovnice:

10) Svoju odpoveď uveďte ako najmenší kladný koreň.

2. lekcia

téma: 11. ročník (príprava na skúšku)

Metódy riešenia goniometrických rovníc. Výber koreňa. (2 hodiny)

Ciele:

Zovšeobecniť a systematizovať poznatky o riešení goniometrických rovníc rôznych typov.
Podporovať rozvoj matematického myslenia žiakov, schopnosť pozorovať, porovnávať, zovšeobecňovať, klasifikovať.
Povzbudzovať žiakov k prekonávaniu ťažkostí v procese duševnej činnosti, k sebakontrole, introspekcii svojich činností.

Vybavenie na lekciu: KRMu, notebooky pre každého študenta.

Štruktúra lekcie:

Orgmoment
Diskusia d/sa samot. práca z poslednej lekcie
Opakovanie metód riešenia goniometrických rovníc.
Riešenie goniometrických rovníc
Výber koreňov v goniometrických rovniciach.
Samostatná práca.
Zhrnutie lekcie. Domáca úloha.

1. Organizačný moment (2 min.)

Učiteľ pozdraví poslucháčov, oznámi tému hodiny a plán práce.

2. a) Rozbor domácej úlohy (5 min.)

Cieľom je skontrolovať výkon. Jedno dielo s pomocou videokamery sa zobrazí na obrazovke, ostatné sa selektívne zbierajú pre kontrolu učiteľa.

b) Analýza samostatnej práce (3 min.)

Cieľom je vyriešiť chyby, naznačiť spôsoby, ako ich prekonať.

Na obrazovke sú odpovede a riešenia, študenti vopred vydali svoje práce. Analýza prebieha rýchlo.

3. Opakovanie metód riešenia goniometrických rovníc (5 min.)

Cieľom je pripomenúť si metódy riešenia goniometrických rovníc.

Opýtajte sa žiakov, aké metódy riešenia goniometrických rovníc poznajú. Zdôraznite, že existujú takzvané základné (často používané) metódy:

variabilná substitúcia,
faktorizácia,
homogénne rovnice,

a tam sú použité metódy:

podľa vzorcov na prepočet sumy na súčin a súčinu na súčet,
podľa redukčných vzorcov,
univerzálna trigonometrická substitúcia
zavedenie pomocného uhla,
násobenie nejakou goniometrickou funkciou.

Treba tiež pripomenúť, že jedna rovnica môže byť vyriešená rôznymi spôsobmi.

4. Riešenie goniometrických rovníc (30 min.)

Cieľom je zovšeobecniť a upevniť vedomosti a zručnosti na túto tému, pripraviť sa na riešenie C1 z USE.

Považujem za účelné riešiť rovnice pre každú metódu spolu so žiakmi.

Žiak nadiktuje riešenie, učiteľ zapíše na tablet, celý proces sa zobrazí na obrazovke. To vám umožní rýchlo a efektívne obnoviť predtým pokrytý materiál vo vašej pamäti.

Riešiť rovnice:

1) zmena premennej 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorizácia 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogénne rovnice sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) prevod súčtu na súčin cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) prevod súčinu na súčet 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) zníženie stupňa sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) univerzálna trigonometrická substitúcia sinx + 5cosx + 5 = 0.

8) zavedenie pomocného uhla √3sinx + cosx - √2 = 0

9) násobenie nejakou goniometrickou funkciou cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Výber koreňov goniometrických rovníc (20 min.)

Účelom tejto fázy lekcie je preto pripomenúť si predtým preštudovaný materiál, pripraviť sa na riešenie problému C1 z USE v roku 2011.

Takéto rovnice sú považované za rovnice so zvýšenou zložitosťou a vo verzii USE sú v druhej časti, konkrétne C1.

Vyriešte rovnicu:

Zlomok je nula, ak potom pomocou jednotkového kruhu vyberieme korene (pozri obrázok 1)

Obrázok 1.

dostaneme x = π + 2πn, n Z

Odpoveď: π + 2πn, n Z

Na obrazovke je výber koreňov zobrazený v kruhu na farebnom obrázku.

Súčin sa rovná nule, keď sa aspoň jeden z faktorov rovná nule a oblúk zároveň nestráca svoj význam. Potom

Pomocou jednotkového kruhu vyberte korene (pozri obrázok 2)

Voronková Oľga Ivanovna

MBOU „Stredná škola

č. 18"

Engels, región Saratov.

Učiteľ matematiky.

"Trigonometrické výrazy a ich transformácie"

Úvod ………………………………………………………………………………………….. 3

Kapitola 1 Klasifikácia úloh na použitie transformácií goniometrických výrazov ………………………….…………………………...5

1.1. Výpočtové úlohy hodnoty goniometrických výrazov……….5

1.2.Úlohy na zjednodušenie goniometrických výrazov .... 7

1.3. Úlohy na prevod číselných goniometrických výrazov ... ..7

1.4 Zmiešané úlohy ……………………………………………………………… 9

Kapitola 2

2.1 Tematické opakovanie v 10. ročníku………………………………………………...11

Test 1……………………………………………………………………………………….. 12

Test 2………………………………………………………………………………………..13

Test 3………………………………………………………………………………………..14

2.2 Záverečné opakovanie v 11. ročníku………………………………………………………...15

Test 1………………………………………………………………………………………..17

Test 2……………………………………………………………………………………….. 17

Test 3………………………………………………………………………………………..18

Záver ………………………………………………………………………………… 19

Zoznam použitej literatúry………………………………………..…….20

Úvod.

V dnešných podmienkach je najdôležitejšia otázka: "Ako môžeme pomôcť odstrániť niektoré medzery vo vedomostiach študentov a varovať ich pred prípadnými chybami na skúške?" Na vyriešenie tohto problému je potrebné od študentov dosiahnuť nie formálnu asimiláciu programového materiálu, ale jeho hlboké a vedomé pochopenie, rozvoj rýchlosti ústnych výpočtov a transformácií, ako aj rozvoj zručností na riešenie najjednoduchších problémy „v mysli“. Je potrebné presvedčiť študentov, že iba za prítomnosti aktívnej pozície, pri štúdiu matematiky, za predpokladu získania praktických zručností, zručností a ich využitia, možno počítať so skutočným úspechom. Je potrebné využiť každú príležitosť na prípravu na skúšku, vrátane voliteľných predmetov v ročníkoch 10-11, pravidelne analyzovať zložité úlohy so študentmi, zvoliť najracionálnejší spôsob ich riešenia v triede a mimo vyučovania.pozitívny výsledok voblasť riešenia typických problémov sa dá dosiahnuť, ak učitelia matematiky vytvárajúdobrú základnú prípravu žiakov, hľadať nové spôsoby riešenia problémov, ktoré sa pred nami otvorili, aktívne experimentovať, uplatňovať moderné pedagogické technológie, metódy, techniky, ktoré vytvárajú priaznivé podmienky pre efektívnu sebarealizáciu a sebaurčenie žiakov v r. nové spoločenské podmienky.

Trigonometria je neoddeliteľnou súčasťou školského kurzu matematiky. Dobré znalosti a silné zručnosti v trigonometrii sú dôkazom dostatočnej úrovne matematickej kultúry, nevyhnutnou podmienkou úspešného štúdia matematiky, fyziky a mnohých technických disciplín.

Relevantnosť práce. Značná časť absolventov škôl vykazuje z roka na rok veľmi slabú prípravu v tomto dôležitom úseku matematiky, o čom svedčia aj výsledky minulých rokov (percento ukončenia v rokoch 2011-48,41 %, 2012-51,05 %), keďže analýza prob. jednotná štátna skúška ukázala, že študenti pri plnení zadaní z tejto časti robia veľa chýb alebo sa do takýchto zadaní vôbec nepúšťajú. V jednom Otázky na štátnu skúšku z trigonometrie sa nachádzajú takmer v troch typoch úloh. Ide o riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc v úlohe B5 a prácu s goniometrickými výrazmi v úlohe B7 a štúdium goniometrických funkcií v úlohe B14, ako aj úlohy B12, v ktorých sú vzorce popisujúce fyzikálne javy a obsahujúce goniometrické funkcie. . A to je len časť úloh B! Existujú však aj obľúbené goniometrické rovnice s výberom koreňov C1 a „nie veľmi obľúbené“ geometrické úlohy C2 a C4.

Cieľ. Analyzovať látku USE úloh B7, venovanú transformácii goniometrických výrazov a klasifikovať úlohy podľa formy ich prezentácie v testoch.

Práca pozostáva z dvoch kapitol, úvodu a záveru. V úvode sa zdôrazňuje relevantnosť práce. Prvá kapitola poskytuje klasifikáciu úloh pre použitie transformácií goniometrických výrazov v testových úlohách pre USE (2012).

V druhej kapitole sa uvažuje o organizácii opakovania témy „Prevod goniometrických výrazov“ v ročníkoch 10, 11 a sú vypracované testy na túto tému.

Zoznam použitej literatúry obsahuje 17 zdrojov.

Kapitola 1. Klasifikácia úloh na využitie transformácií goniometrických výrazov.

V súlade so štandardom stredného (úplného) vzdelania a požiadavkami na úroveň prípravy žiakov sú v kodifikátore požiadaviek zaradené úlohy na poznanie základov trigonometrie.

Naučiť sa základy trigonometrie bude najúčinnejšie, keď:

študenti budú pozitívne motivovaní k tomu, aby si zopakovali už preštudovanú látku;

vo výchovno-vzdelávacom procese bude implementovaný prístup zameraný na študenta;

bude sa uplatňovať systém úloh, ktorý prispieva k rozšíreniu, prehĺbeniu, systematizácii vedomostí žiakov;

budú využívané pokročilé pedagogické technológie.

Po analýze literatúry a internetových zdrojov na prípravu na skúšku sme navrhli jednu z možných klasifikácií úloh B7 (KIM USE 2012-trigonometria): úlohy na výpočethodnoty goniometrických výrazov; úlohy preprevod číselných goniometrických výrazov; úlohy na transformáciu doslovných goniometrických výrazov; zmiešané úlohy.

1.1. Výpočtové úlohy hodnoty goniometrických výrazov.

Jedným z najbežnejších typov jednoduchých problémov s trigonometriou je výpočet hodnôt goniometrických funkcií hodnotou jednej z nich:

a) Použitie základnej goniometrickej identity a jej dôsledkov.

Príklad 1 . Nájdite ak
a
.

Riešenie.
,
,

Pretože , potom
.

Odpoveď.

Príklad 2 . Nájsť
, ak
a .

Riešenie.
,
,
.

Pretože , potom
.

Odpoveď. .

b) Použitie vzorcov dvojitého uhla.

Príklad 3 . Nájsť
, ak
.

Riešenie. , .

Odpoveď.
.

Príklad 4 . Nájdite hodnotu výrazu
.

Riešenie. .

Odpoveď.
.

1. Nájsť , ak

. Odpoveď. -0,2

2. Nájsť , ak
a
. Odpoveď. 0,4

3. Nájsť

, ak . Odpoveď. -12,884. Nájsť

, ak

. Odpoveď. -0,845. Nájdite hodnotu výrazu:

. Odpoveď. 66. Nájdite hodnotu výrazu

.Odpoveď. -19

1.2.Úlohy na zjednodušenie goniometrických výrazov. Redukčné vzorce by mali žiaci dobre ovládať, pretože ich ďalej využijú na hodinách geometrie, fyziky a iných príbuzných odborov.

Príklad 5 . Zjednodušte výrazy
.

Riešenie. .

Odpoveď.
.

Úlohy na samostatné riešenie:

1. Zjednodušte výraz

. Odpoveď. 0,62. Nájsť

, ak

a. Odpoveď. 10.563. Nájdite hodnotu výrazu

, ak

. Odpoveď. 2

1.3. Úlohy na transformáciu číselných goniometrických výrazov.

Pri rozvíjaní zručností a schopností úloh na prevod numerických goniometrických výrazov by sa mala venovať pozornosť znalostiam tabuľky hodnôt goniometrických funkcií, vlastnostiam parity a periodicity goniometrických funkcií.

a) Použitie presných hodnôt goniometrických funkcií pre niektoré uhly.

Príklad 6 . Vypočítajte
.

Riešenie.
.

Odpoveď.
.

b) Použitie vlastností parity goniometrické funkcie.

Príklad 7 . Vypočítajte
.

Riešenie. .

Odpoveď.

v) Použitie vlastností periodicitygoniometrické funkcie.

Príklad 8 . Nájdite hodnotu výrazu
.

Riešenie. .

Odpoveď.
.

Úlohy na samostatné riešenie:

1. Nájdite hodnotu výrazu

. Odpoveď. -40,52. Nájdite hodnotu výrazu

. Odpoveď. 17

3. Nájdite hodnotu výrazu
. Odpoveď. 6

. Odpoveď. -24

Odpoveď. -64

1.4 Zmiešané úlohy.

Testovacia forma certifikácie má veľmi výrazné znaky, preto je dôležité venovať pozornosť úlohám spojeným s používaním viacerých goniometrických vzorcov súčasne.

Príklad 9 Nájsť
, ak
.

Riešenie.
.

Odpoveď.
.

Príklad 10 . Nájsť
, ak
a
.

Riešenie. .

Pretože , potom
.

Odpoveď.
.

Príklad 11. Nájsť
, ak .

Riešenie. , ,
,
,
,
,
.

Odpoveď.

Príklad 12 Vypočítajte
.

Riešenie. .

Odpoveď.
.

Príklad 13. Nájdite hodnotu výrazu
, ak
.

Riešenie. .

Odpoveď.
.

Úlohy na samostatné riešenie:

1. Nájsť

, ak

. Odpoveď. -1,75
2. Nájsť

, ak

. Odpoveď. 33. Nájdite

, ak .Odpoveď. 0,254. Nájdite hodnotu výrazu

, ak

. Odpoveď. 0,35. Nájdite hodnotu výrazu

, ak

. Odpoveď. 5

Kapitola 2. Metodologické aspekty organizácia záverečného opakovania témy "Transformácia goniometrických výrazov."

Jednou z najdôležitejších otázok, ktoré prispievajú k ďalšiemu zlepšovaniu akademických výsledkov, k dosiahnutiu hlbokých a solídnych vedomostí medzi študentmi, je otázka opakovania už preštudovanej látky. Prax ukazuje, že v 10. ročníku je účelnejšie organizovať tematické opakovanie; v 11. ročníku - záverečné opakovanie.

2.1. Tematické opakovanie v 10. ročníku.

V procese práce na matematickom materiáli je obzvlášť dôležité opakovanie každej dokončenej témy alebo celej časti kurzu.

Pri tematickom opakovaní sa vedomosti študentov o téme systematizujú v záverečnej fáze jej prechodu alebo po prestávke.

Na tematické opakovanie sú vyčlenené špeciálne hodiny, na ktorých sa sústreďuje a zovšeobecňuje materiál jednej konkrétnej témy.

Opakovanie v lekcii sa uskutočňuje prostredníctvom rozhovoru so širokým zapojením študentov do tohto rozhovoru. Potom dostanú študenti za úlohu zopakovať si určitú tému a sú upozornení, že bude zápočtová práca na testoch.

Test na tému by mal obsahovať všetky jej hlavné otázky. Po dokončení práce sa analyzujú charakteristické chyby a organizuje sa opakovanie na ich odstránenie.

Na lekcie tematického opakovania ponúkame rozvité testovacie papiere na tému „Prevod goniometrických výrazov“.

Test č. 1

Test č. 2

Test č. 3

Tabuľka odpovedí

Test

2.2. Záverečné opakovanie v 11. ročníku.

Záverečné opakovanie sa vykonáva v záverečnej fáze štúdia hlavných problémov kurzu matematiky a uskutočňuje sa v logickej súvislosti so štúdiom vzdelávacieho materiálu pre túto časť alebo kurz ako celok.

Záverečné opakovanie vzdelávacieho materiálu má tieto ciele:

1. Aktivizácia materiálu celého vzdelávacieho kurzu na objasnenie jeho logickej štruktúry a vybudovanie systému v rámci predmetových a medzipredmetových vzťahov.

2. Prehlbovanie a podľa možnosti rozširovanie vedomostí študentov o hlavných problémoch predmetu v procese opakovania.

V súvislosti s povinnou skúškou z matematiky pre všetkých absolventov postupné zavádzanie USE núti učiteľov zaujať nový prístup k príprave a vedeniu vyučovacích hodín, berúc do úvahy potrebu zabezpečiť, aby všetci študenti zvládli vzdelávací materiál na základnej úrovni, ako aj príležitosť pre motivovaných študentov so záujmom získať vysoké skóre pri prijatí na univerzitu, dynamický pokrok v zvládnutí látky na zvýšenej a vysokej úrovni.

V lekciách posledného opakovania môžete zvážiť nasledujúce úlohy:

Príklad 1 . Vypočítajte hodnotu výrazu.Riešenie. =

= =

=0,5. Odpoveď. 0,5. Príklad 2 Zadajte najväčšiu celočíselnú hodnotu, ktorú môže výraz nadobudnúť

Riešenie. Pretože
môže mať akúkoľvek hodnotu patriacu do segmentu [–1; 1], potom
má akúkoľvek hodnotu segmentu [–0,4; 0,4], preto . Celočíselná hodnota výrazu je jedna - číslo 4.

odpoveď: 4 Príklad 3 . Zjednodušte výraz

Riešenie: Použime vzorec na rozklad súčtu kociek: . Máme

Máme:
.

odpoveď: 1

Príklad 4 Vypočítajte
.

Riešenie. .

Odpoveď: 0,28

Na hodiny záverečného opakovania ponúkame vypracované testy na tému „Prevod goniometrických výrazov“.

Zadajte najväčšie celé číslo nepresahujúce 1

Záver.

Po preštudovaní relevantnej metodologickej literatúry na túto tému môžeme konštatovať, že schopnosť a zručnosti riešiť úlohy súvisiace s goniometrickými transformáciami v kurze školskej matematiky sú veľmi dôležité.

V rámci vykonaných prác bola vykonaná klasifikácia úloh B7. Zohľadňujú sa trigonometrické vzorce najčastejšie používané v CMM z roku 2012. Uvádzajú sa príklady úloh s riešeniami. Na organizáciu opakovania a systematizácie vedomostí pri príprave na skúšku boli vyvinuté diferencovateľné testy.

Je vhodné pokračovať v začatej práci, zvažovať riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc v úlohe B5, náuka o goniometrických funkciách v úlohe B14, v úlohe B12, v ktorých sú vzorce popisujúce fyzikálne javy a obsahujúce goniometrické funkcie.

Na záver by som rád poznamenal, že efektívnosť absolvovania skúšky je do značnej miery daná tým, ako efektívne je zorganizovaný proces prípravy na všetkých stupňoch vzdelávania, so všetkými kategóriami študentov. A ak sa nám podarí formovať u žiakov samostatnosť, zodpovednosť a pripravenosť pokračovať v učení po celý ich ďalší život, naplníme tým nielen poriadok štátu a spoločnosti, ale aj zvýšime vlastnú sebaúctu.

Opakovanie vzdelávacieho materiálu vyžaduje od učiteľa tvorivú prácu. Musí poskytnúť jasné spojenie medzi typmi opakovania, implementovať hlboko premyslený systém opakovania. Zvládnuť umenie organizovať opakovanie je úlohou učiteľa. Sila vedomostí žiakov do značnej miery závisí od jej riešenia.

Literatúra.

Vygodsky Ya.Ya., Príručka elementárnej matematiky. -M.: Nauka, 1970.

Úlohy zvýšenej náročnosti v algebre a začiatky rozboru: Učebnica pre 10-11 ročníkov SŠ / B.M. Ivlev, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn, S.I. Schwarzburd. – M.: Osveta, 1990.

Aplikácia základných goniometrických vzorcov na transformáciu výrazov (10. ročník) // Festival pedagogických nápadov. 2012-2013.

Koryanov A.G. , Prokofiev A.A. Na skúšku pripravujeme dobrých študentov a výborných študentov. - M.: Vysoká škola pedagogická "Prvý september", 2012.- 103 s.

Kuznecovová E.N. Zjednodušenie goniometrických výrazov. Riešenie goniometrických rovníc rôznymi metódami (príprava na skúšku). 11. trieda. 2012-2013.

Kulanin E.D. 3000 konkurenčných problémov v matematike. 4. id., správne. a dodatočné – M.: Rolf, 2000.

Mordkovich A.G. Metodické problémy štúdia trigonometrie na všeobecnovzdelávacej škole // Matematika v škole. 2002. Číslo 6.

Pichurin L.F. O trigonometrii a nielen o nej: -M. Osvietenstvo, 1985

Rešetnikov N.N. Trigonometria v škole: -M. : Vysoká škola pedagogická "Prvý september", 2006, lk 1.

Shabunin M.I., Prokofiev A.A. Matematika. Algebra. Začiatky matematickej analýzy Profilová úroveň: učebnica pre ročník 10 - M .: BINOM. Knowledge Lab, 2007.

Vzdelávací portál na prípravu na skúšku.

Príprava na skúšku z matematiky „Ach, táto trigonometria! http://festival.1september.ru/articles/621971/

Projekt "Matematika? Ľahko!!!" http://www.resolventa.ru/