Lekcia sa zaoberá riešením 12 USE priradenia v informatike vrátane úloh na rok 2017

Téma 12 - "Sieťové adresy" - je charakterizovaná ako úlohy základnej úrovne zložitosti, doba realizácie je cca 2 minúty, maximálne skóre je 1

Internetové adresovanie

Adresa dokumentu na internete (z angličtiny - URL - Uniform Resource Locator) pozostáva z týchto častí:

• protokol prenosu dát; možno:
• http(pre webové stránky) resp
• ftp(na prenos súborov)
• existuje aj zabezpečený protokol https;
• oddeľovacie znaky :// , oddelenie názvu protokolu od zvyšku adresy;
• názov domény webovej stránky (alebo adresa IP);
• môže byť prítomný aj: adresár na serveri, kde sa súbor nachádza;
• Názov súboru.

Adresáre na serveri sú oddelené lomkou " / »

1. názov protokolu sieťovej služby – definuje typ servera http(Hypertext Transfer Protocol);
2. oddeľovač vo forme dvojbodky a dvoch znakov Slash;
3. plne kvalifikovaný názov domény servera;
4. vyhľadávacia cesta pre webový dokument v počítači;
5. názov webového servera;
6. domény najvyššej úrovne "org";
7. názov národnej domény "ru";
8. katalóg hlavné na počítači;
9. katalóg správy v katalógu hlavné;
10. cieľ vyhľadávania - súbor main_news.html.

Sieťové adresy

Fyzická adresa alebo Mac adresa- jedinečná adresa "všitá" vo výrobe - 48-bitový kód sieťovej karty (v hexadecimálnom systéme):

00-17-E1-41-AD-73

IP adresa– adresa počítača (32-bitové číslo), pozostávajúca z: sieťového čísla + čísla počítača v sieti (hostiteľská adresa):

15.30.47.48

Masku podsiete:

• potrebné na určenie, ktoré počítače sú v rovnakej podsieti;

v 10. pohľade v 16. pohľade

255.255.255.0 -> FF.FF.FF.0

maska ​​v binárnom kóde má vždy štruktúru: najprv všetky jednotky, potom všetky nuly:

1…10…0

pri superponovaní na IP adresu (logická spojka A) dáva číslo siete:

Časť adresy IP, ktorá zodpovedá bitom masky rovnajúcej sa jednej, sa vzťahuje na sieťovú adresu a časť zodpovedajúca bitom masky nula je číselná adresa počítača

Je teda možné určiť, čo posledné číslo masky:

ak dva uzly patria do rovnakej siete, potom majú rovnakú sieťovú adresu.

Výpočet sieťového čísla z IP adresy a sieťovej masky

V maske podsiete vysoké bity pridelené v IP adrese počítača pre sieťové číslo, mať hodnotu 1 (255); nízke bity pridelené v IP adrese počítača pre adresy počítačov v podsieti, záležitosť 0 .

* Obrázok prevzatý z prezentácie K. Polyakova

Počet počítačov v sieti

Počet počítačov v sieti je určený maskou: najmenej významné bity masky - nuly - sú vyhradené v IP adrese počítača pre adresu počítača v podsieti.

Ak maska:

Počet počítačov v sieti:

2 7 = 128 adries

Z toho 2 sú špeciálne: sieťovú adresu a vysielaciu adresu

128 - 2 = 126 adries

Riešenie úloh 12 POUŽITIE v informatike

Úloha 12 FIPI v informatike 2017 možnosť 1 (Krylov S.S., Churkina T.E.):

V sieťovej terminológii TCP/IP je maska ​​siete binárne číslo, ktoré určuje, ktorá časť adresy IP hostiteľa odkazuje na sieťovú adresu a ktorá časť odkazuje na adresu samotného hostiteľa v tejto sieti. Zvyčajne sa maska ​​zapisuje podľa rovnakých pravidiel ako IP adresa – vo forme štyroch bajtov, pričom každý bajt je zapísaný ako desiatkové číslo. V tomto prípade sú v maske najprv (v najvyšších čísliciach) jednotky a potom od určitej číslice nuly. Sieťová adresa sa získa aplikáciou bitovej konjunkcie na danú IP adresu hostiteľa a masku.

Napríklad, ak je IP adresa hostiteľa 211.132.255.41 a maska ​​je 255.255.201.0, potom je sieťová adresa 211.132.201.0

Pre hostiteľa s IP adresou 200.15.70.23 sieťová adresa je 200.15.64.0 . Čo sa rovná najmenej možný význam tretieho bajtu masky zľava? Svoju odpoveď napíšte ako desatinné číslo.

✍ Riešenie:

• Tretí bajt zľava zodpovedá číslu 70 v IP adrese a 64 — v sieťovej adrese.
• Sieťová adresa je výsledkom bitového spojenia masky a adresy IP v binárnom formáte:

? ? ? ? ? ? ? ? -> tretí bajt masky A (&) 0 1 0 0 0 1 1 0 2 -> 70 10 = 0 1 0 0 0 0 0 0 2 -> 64 10

najmenej možný výsledok masky môžu byť:

1 1 0 0 0 0 0 0 - tretí bajt masky A (&) 0 1 0 0 0 1 1 0 2 -> 70 10 = 0 1 0 0 0 0 0 0 2 -> 64 10

Tu sa najvýznamnejší bit berie ako jedna, hoci za výsledok konjunkcie mohla byť braná nula (0 & 0 = 0). Keďže však nasleduje zaručená jednotka, znamená to, že vložíme aj najvýraznejší bit 1 . Ako viete, v maske sú najprv jednotky a potom nuly (nemôže to byť takto: 0100… , alebo možno len takto: 1100… ).

Poďme preložiť 11000000 2 do 10. číselnej sústavy a dostať 192 .

výsledok: 192

Krok za krokom riešenie tejto 12 úloh skúšky z informatiky je k dispozícii vo video lekcii:

12 úloha. Demo verzia skúšky z informatiky 2018:

V sieťovej terminológii TCP/IP je maska ​​siete binárne číslo, ktoré určuje, ktorá časť adresy IP hostiteľa odkazuje na sieťovú adresu a ktorá časť odkazuje na adresu samotného hostiteľa v tejto sieti. Zvyčajne sa maska ​​zapisuje podľa rovnakých pravidiel ako IP adresa – vo forme štyroch bajtov, pričom každý bajt je zapísaný ako desiatkové číslo. Zároveň sú v maske najprv (na najvyšších čísliciach) jednotky a potom od určitej číslice - nuly.
Sieťová adresa sa získa aplikáciou bitovej konjunkcie na danú IP adresu hostiteľa a masku.

Napríklad, ak je IP adresa hostiteľa 231.32.255.131 a maska ​​je 255.255.240.0, potom je sieťová adresa 231.32.240.0.

Pre hostiteľa s IP adresou 57.179.208.27 sieťová adresa je 57.179.192.0 . Čo je najväčší možné číslo Jednotky v radoch masky?

✍ Riešenie:

• Keďže sieťová adresa sa získava použitím bitovej konjunkcie na danú IP adresu hostiteľa a masku, dostaneme:

255,255.?.? -> maska ​​& 57.179.208.27 -> IP adresa = 57.179.192.0 -> sieťová adresa

Keďže prvé dva bajty vľavo v IP adrese hostiteľa a sieťovej adrese sú rovnaké, znamená to, že v maske na získanie takéhoto výsledku s bitovou konjunkciou v binárnom systéme musia byť všetky jednotky. Tie.:

11111111 2 = 255 10

Na nájdenie zvyšných dvoch bajtov masky je potrebné preložiť zodpovedajúce bajty v IP adrese a sieťovej adrese do 2. číselnej sústavy. Poďme na to:

208 10 = 11010000 2 192 10 = 11000000 2

Teraz sa pozrime, aká môže byť maska ​​pre tento bajt. Očíslujme bity masky sprava doľava:

7 6 5 4 3 2 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 -> maska ​​& 1 1 0 1 0 0 0 0 = 1 1 0 0 0 0 0 0

Pre 5. bit dostaneme: ? & 0 = 0 -> maska ​​môže obsahovať jedno aj 0 . Ale keďže zadanie sa nás pýta najväčší možný počet jednotiek, potom je potrebné povedať, že v maske sa tento bit rovná 1 .

Pre štvrtý bit dostaneme: ? & 1 = 0 -> v maske môže byť len 0 .

Keďže maska ​​najskôr ide o jednotky a potom všetky nuly, potom po tejto nule v 4. bite bude všetko ostatné nulami. A 4. bajt zľava masky bude 0 10 .

Zoberme si masku: 11111111.11111111.11100000.00000000 .

Spočítajme počet jednotiek v maske:

8 + 8 + 3 = 19

výsledok: 19

Podrobné riešenie úlohy 12 demo verzie USE z roku 2018 nájdete vo videu:

Riešenie úlohy 12 (Polyakov K., možnosť 25):

V sieťovej terminológii TCP/IP je maska ​​siete binárne číslo, ktoré udáva, koľko z IP adresy hostiteľa je sieťová adresa a koľko je adresa hostiteľa v tejto sieti. Sieťová adresa sa získa aplikáciou bitovej konjunkcie na danú adresu hostiteľa a jej masku.

Podľa zadanej adresy IP hostiteľa a masky určiť sieťovú adresu:

IP adresa: 145.92.137.88 Maska: 255.255.240.0

Pri písaní odpovede vyberte štyri prvky IP adresy z čísel uvedených v tabuľke a zapíšte zodpovedajúce písmená bez bodiek v správnom poradí.

A	B	C	D	E	F	G	H
0	145	255	137	128	240	88	92

✍ Riešenie:

• Na vyriešenie úlohy si treba pamätať, že IP adresa siete ako aj maska ​​siete sú uložené v 4 bajtoch písaných bodkou. To znamená, že každá z jednotlivých IP adries a čísel sieťovej masky je uložená v 8-bitovej binárnej forme. Ak chcete získať sieťovú adresu, musíte vykonať bitovú konjunkciu týchto čísel.
• Od čísla 255 v binárnom zobrazení je 8 jednotiek, potom s bitovým spojením s ľubovoľným číslom bude výsledkom rovnaké číslo. Nie je teda potrebné brať do úvahy tie bajty IP adresy, ktoré zodpovedajú číslu 255 v maske siete. Preto prvé dve čísla IP adresy zostanú rovnaké ( 145.92 ).
• Zostáva zvážiť čísla 137 a 88 IP Dares a 240 masky. číslo 0 v maskách zápasy osem núl v binárnej reprezentácii, to znamená, že bitová konjunkcia s ľubovoľným číslom zmení toto číslo na 0 .
• Skonvertujme obe čísla IP adresy a sieťovej masky na binárny systém a napíšme IP adresu a masku pod seba, aby sme vykonali bitové spojenie:

137:10001001 88:1011000 - IP adresa 240:11110000 0:00000000 - maska ​​siete 10000000 00000000 - výsledok bitovej konjunkcie

Preložíme výsledok:

10000000 2 = 128 10

Celkovo pre sieťovú adresu získame bajty:

145.92.128.0

Spojte písmená v tabuľke a získajte BHEA.

výsledok: BHEA

Ponúkame vám možnosť pozrieť si podrobnú analýzu videa:

Riešenie úlohy 12 (Polyakov K., možnosť 33):

Ak je maska ​​podsiete 255.255.255.128 a IP adresu počítača v sieti 122.191.12.189 , potom je číslo počítača v sieti _____.

✍ Riešenie:

• Jednotlivé bity masky (rovnajúce sa jednému) určujú adresu podsiete, od r adresa podsiete je výsledkom bitovej konjunkcie (logického násobenia) bitov masky s IP adresou.
• Zvyšok masky (začínajúc od prvej nuly) definuje číslo počítača.
• Keďže v binárnom vyjadrení číslo 255 je osem jednotiek 11111111 ), potom bitová konjunkcia s ľubovoľným číslom vráti rovnaké číslo (1 ∧ 0 = 0; 1 ∧ 1 = 1). Teda tie bajty v maske, ktoré sa rovnajú číslam 255 , nebudeme uvažovať, pretože definujú adresu podsiete.
• Začnime s bajtom rovným 128 . Zodpovedá bajtu 189 IP adresy. Preložme tieto čísla do binárnej číselnej sústavy:

128 = 10000000 2 189 = 10111101 2

Na určenie čísla počítača sa použijú tie bity IP adresy, ktoré zodpovedajú nulovým bitom masky. Preložme výsledné binárne číslo do desiatkovej číselnej sústavy:

0111101 2 = 61 10

výsledok: 61

Podrobné riešenie tejto úlohy nájdete vo videu:

Riešenie úlohy 12 (Polyakov K., možnosť 41):

V terminológii TCP / IP sietí je maska ​​podsiete 32-bitové binárne číslo, ktoré presne určuje, ktoré bity IP adresy počítača sú spoločné pre celú podsieť – tieto bity masky obsahujú 1. Masky sa zvyčajne píšu ako štyri desatinné čísla- podľa rovnakých pravidiel ako IP adresy.

Pre niektorú podsieť sa používa maska 255.255.255.192 . Koľko rôznych adresy počítačov teoreticky umožňuje túto masku, ak dve adresy (sieťovú adresu a vysielanie) nepoužívate?

✍ Riešenie:

• Jednotlivé bity masky (rovnajúce sa jednej) určujú adresu podsiete, zvyšok masky (od prvej nuly) určuje číslo počítača. To znamená, že existuje toľko možností pre adresu počítača, koľko je možné získať z nulových bitov v maske.
• V našom prípade nebudeme uvažovať prvé tri bajty masky vľavo, pretože číslo 255 v binárnom vyjadrení je to osem jednotiek ( 11111111 ).
• Zvážte posledný bajt masky, ktorý je 192 . Prevedieme číslo do dvojkovej číselnej sústavy:

192 10 = 11000000 2

Celkom prijatých 6 núl v maske siete. To znamená, že na adresovanie počítačov je alokovaných 6 bitov, alebo inými slovami, 2 6 adries počítačov. Ale keďže dve adresy sú už rezervované (podľa podmienky), dostaneme:

2 6 - 2 = 64 - 2 = 62

výsledok: 62

Pozrite si video s úlohou nižšie:

Riešenie úlohy 12 (Ohraničená práca, Ďaleký východ, 2018):

Pre hostiteľa s IP adresou 93.138.161.94 sieťová adresa je 93.138.160.0 .Za koľko rôzne hodnoty masky Je to možné?

✍ Riešenie:

výsledok: 5

Video analýza úlohy:

V dvanástej úlohe OGE z matematiky modulu Algebra si preveríme znalosť transformácií - pravidlá otvárania zátvoriek, vyberanie premenných zo zátvoriek, privádzanie zlomkov do spoločného menovateľa a znalosť vzorcov skráteného násobenia.

Podstatou úlohy je zjednodušiť výraz uvedený v podmienke: nenahrádzajte okamžite hodnoty v pôvodnom výraze. Najprv to musíte zjednodušiť a potom nahradiť hodnotu - všetky úlohy sú zostavené tak, že po zjednodušení stačí vykonať jednu alebo dve jednoduché akcie.

Je potrebné vziať do úvahy prípustné hodnoty premenných zahrnutých v algebraických výrazoch, použiť vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom, pravidlá pre extrakciu koreňov a skrátené vzorce násobenia.

Odpoveď v úlohe je celé číslo alebo posledný desatinný zlomok.

Teória pre úlohu číslo 12

Najprv si pripomeňme, čo je titul a

Okrem toho budeme potrebovať skrátené vzorce násobenia:

súčet štvorec

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Druhá mocnina rozdielu

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Rozdiel štvorcov

a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b)

súčet kocka

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

rozdielová kocka

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Súčet kociek

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

Rozdiel kociek

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

pravidlá operácie so zlomkami :

Analýza typických možností pre úlohu č. 12 OGE z matematiky

Prvá verzia úlohy

Nájdite hodnotu výrazu: (x + 5) 2 - x (x- 10) s x = - 1/20

Riešenie:

AT tento prípad, ako takmer vo všetkých úlohách č. 7, musíte výraz najskôr zjednodušiť, preto otvoríme zátvorky:

(x + 5) 2 - x (x - 10) = x 2 + 2 5 x + 25 - x 2 + 10x

Potom dáme podobné výrazy:

x 2 + 25 x + 25 - X 2 + 10x = 20x + 25

20 x + 25 = 20 (-1/20) + 25 = - 1 + 25 = 24

Druhá verzia zadania

Nájdite hodnotu výrazu:

pri a = 13, b = 6,8

Riešenie:

V tomto prípade, na rozdiel od prvého, výraz zjednodušíme tak, že ho vyjmeme zo zátvoriek a nerozšírime ich.

Okamžite si môžete všimnúť, že b je prítomné v prvom zlomku v čitateli a v druhom - v menovateli, takže ich môžeme znížiť. Sedem a štrnásť sú tiež znížené o sedem:

Skracujeme (a-b):

A dostaneme:

Dosaďte hodnotu a = 13:

Tretia verzia úlohy

Nájdite hodnotu výrazu:

pri x = √45, y = 0,5

Riešenie:

Takže v tejto úlohe pri odčítaní zlomkov ich musíme priviesť k spoločnému menovateľovi.

Spoločným menovateľom je 15 x r Ak to chcete urobiť, vynásobte prvý zlomok číslom 5 y- a čitateľ a menovateľ, samozrejme:

Vypočítajme čitateľa:

5r - (3x + 5r) = 5 r- 3 x - 5 r= - 3 x

Potom zlomok bude mať tvar:

Vykonaním jednoduchých redukcií čitateľa a menovateľa o 3 a x dostaneme:

Dosaďte hodnotu y = 0,5:

1 / (5 0,5) = - 1 / 2,5 = - 0,4

Odpoveď: - 0,4

Demo verzia OGE 2019

Nájdite hodnotu výrazu

kde a = 9, b = 36

Riešenie:

Po prvé, v úlohách tohto typu je potrebné zjednodušiť výraz a potom nahradiť čísla.

Prinášame výraz do spoločného menovateľa - toto je b, preto vynásobíme prvý člen b, po ktorom dostaneme v čitateli:

9b² + 5a - 9b²

Dávame podobné výrazy - sú to 9b² a - 9b², 5a zostáva v čitateli.

Napíšeme posledný zlomok:

Vypočítajme jej hodnotu dosadením čísel z podmienky:

Odpoveď: 1.25

Štvrtá možnosť

Nájdite hodnotu výrazu:

pri x = 12.

Riešenie:

Urobme identické transformácie výrazu, aby sme to zjednodušili.

1. krok - prechod od delenia zlomkov k ich násobeniu:

teraz zredukujeme výraz (v čitateli prvého zlomku a v menovateli druhého) a dostaneme sa do konečnej zjednodušenej podoby:

Do výsledného výrazu dosadíme číselnú hodnotu za x a nájdeme výsledok:

V úlohe č.12 Jednotnej štátnej skúšky z matematiky profilového stupňa potrebujeme nájsť najväčšie, resp. najmenšia hodnota funkcie. Na to je samozrejme potrebné použiť derivát. Pozrime sa na typický príklad.

Analýza typických možností pre zadanie č. 12 VYUŽITIE v matematike na úrovni profilu

Prvá verzia úlohy (demo verzia 2018)

Nájdite maximálny bod funkcie y = ln(x+4) 2 +2x+7.

Algoritmus riešenia:

1. Nájdeme derivát.
2. Odpoveď zapíšeme.

Riešenie:

1. Hľadáme hodnoty x, pre ktoré má logaritmus zmysel. Aby sme to dosiahli, riešime nerovnosť:

Pretože druhá mocnina akéhokoľvek čísla je nezáporná. Jediným riešením nerovnosti je hodnota x, pre ktorú x + 4 ≠ 0, t.j. pri x≠-4.

2. Nájdite deriváciu:

y'=(ln(x+4) 2 + 2x + 7)'

Vlastnosťou logaritmu dostaneme:

y'=(ln(x+4) 2)'+(2x)'+(7)'.

Podľa vzorca pre deriváciu komplexnej funkcie:

(lnf)'=(1/f)∙f'. Máme f=(x+4) 2

y, = (ln(x+4) 2)'+ 2 + 0 = (1/(x+4) 2)∙((x+4) 2)' + 2=(1/(x+4) 2 2) ∙ (x 2 + 8x + 16) ' + 2 \u003d 2 (x + 4) / ((x + 4) 2) + 2

y'= 2/(x + 4) + 2

3. Prirovnajte deriváciu k nule:

y, = 0 → (2+2∙(x + 4))/(x + 4)=0,

2 + 2x +8 = 0, 2x + 10 = 0,

Druhá verzia úlohy (od Yaschenka, č. 1)

Nájdite minimálny bod funkcie y = x - ln(x+6) + 3.

Algoritmus riešenia:

1. Definujeme rozsah funkcie.
2. Nájdeme derivát.
3. Určíme, v ktorých bodoch sa derivácia rovná 0.
4. Vylučujeme body, ktoré nepatria do oblasti definície.
5. Medzi zvyšnými bodmi hľadáme hodnoty x, pri ktorých má funkcia minimum.
6. Odpoveď zapíšeme.

Riešenie:

2. Nájdite deriváciu funkcie:

3. Výsledný výraz prirovnajte k nule:

4. Dostali sme jeden bod x=-5, ktorý patrí do definičného oboru funkcie.

5. V tomto bode má funkcia extrém. Pozrime sa, či je to minimum. Pri x=-4

Pri x = -5,5 je derivácia funkcie záporná, pretože

Preto bod x=-5 je minimálny bod.

Tretia verzia úlohy (od Yaschenka, č. 12)

Nájsť najvyššia hodnota funkcie na segmente [-3; jeden].

Algoritmus riešenia:.

1. Nájdeme derivát.
2. Určíme, v ktorých bodoch sa derivácia rovná 0.
3. Vylúčime body, ktoré nepatria do daného segmentu.
4. Medzi zvyšnými bodmi hľadáme hodnoty x, pri ktorých má funkcia maximum.
5. Hodnoty funkcie nájdeme na koncoch segmentu.
6. Hľadáme najväčšiu spomedzi získaných hodnôt.
7. Odpoveď zapíšeme.

Riešenie:

1. Vypočítame deriváciu funkcie, dostaneme

Slobodný Štátna skúška v matematike základnej úrovne pozostáva z 20 úloh. V úlohe 12 sa testujú zručnosti výberu najlepšej možnosti z navrhovaných možností. Študent musí vedieť posúdiť možné možnosti a vyberte si z nich tú najlepšiu. Tu sa dozviete, ako riešiť úlohu 12 Jednotnej štátnej skúšky z matematiky na základnej úrovni, ako aj študijné príklady a riešenia na základe podrobných úloh.

Všetky úlohy USE databázu všetky úlohy (263) USE databázovú úlohu 1 (5) USE databázovú úlohu 2 (6) USE databázovú úlohu 3 (45) USE databázovú úlohu 4 (33) USE databázovú úlohu 5 (2) USE databázovú úlohu 6 (44 ) ) USE základné priradenie 7 (1) USE základné priradenie 8 (12) USE základné priradenie 10 (22) USE základné priradenie 12 (5) USE základné priradenie 13 (20) USE základné priradenie 15 (13) USE základné priradenie 19 (23 ) POUŽIŤ základnú úlohu 20 (32)

Občan A. spotrebuje počas dňa elektrinu v priemere za mesiac

V priemere občan A. spotrebuje cez deň K kWh elektriny mesačne, v noci L kWh elektriny za mesiac. Predtým mal A. vo svojom byte nainštalovaný jednosadzbový elektromer a platil za všetku elektrinu v sadzbe M rubľov. za kWh Pred rokom A. nainštaloval dvojtarifný merač, pričom denná spotreba elektriny sa platí vo výške N rubľov. za kWh a nočná spotreba sa platí sadzbou P rub. za kWh Počas R mesiacov sa nemenil režim odberu a tarify platby za elektrinu. O koľko viac by za toto obdobie zaplatil A., ak by sa elektromer nemenil? Uveďte svoju odpoveď v rubľoch.

Pri stavbe vidieckeho domu môžete použiť jeden z dvoch typov základov

Pri stavbe vidieckeho domu je možné použiť jeden z dvoch typov základov: kameň alebo betón. Kamenný základ vyžaduje A ton prírodného kameňa a B vriec cementu. Na betónový základ je potrebných C ton drveného kameňa a D vriec cementu. Tona kameňa stojí E rubľov, suť stojí F rubľov za tonu a vrece cementu stojí G rubľov. Koľko rubľov bude stáť materiál pre nadáciu, ak si vyberiete najlacnejšiu možnosť?

Úloha je súčasťou USE v matematike základnej úrovne pre ročník 11 na čísle 12.

Koľko rubľov budete musieť zaplatiť za najlacnejšiu cestu pre troch

Trojčlenná rodina plánuje cestovať z Petrohradu do Vologdy. Môžete cestovať vlakom, alebo môžete jazdiť vlastným autom. Lístok na vlak pre jednu osobu stojí N rubľov. Auto spotrebuje K litrov benzínu na L kilometrov, vzdialenosť po diaľnici je M km a cena benzínu je P rubľov za liter. Koľko rubľov budete musieť zaplatiť za najlacnejšiu cestu pre troch?

Úloha je súčasťou USE v matematike základnej úrovne pre ročník 11 na čísle 12.

Pri stavbe domu spoločnosť používa jeden z typov základov

Pri stavbe domu spoločnosť používa jeden z typov základov: betónový alebo penový blok. Na založenie penových blokov potrebujete K kubických metrov penových blokov a L vriec cementu. Betónový základ vyžaduje M ton drveného kameňa a N vriec cementu. Kubický meter penových blokov stojí A rubľov, drvený kameň stojí B rubľov za tonu a vrece cementu stojí C rubľov. Koľko bude stáť materiál, ak si vyberiete najlacnejšiu možnosť?

Stredné všeobecné vzdelanie

Linka UMK G. K. Muravina. Algebra a začiatky matematickej analýzy (10-11) (hlboká)

Linka UMK Merzlyak. Algebra a začiatky analýzy (10-11) (U)

Matematika

Príprava na skúšku z matematiky ( úroveň profilu): úlohy, riešenia a vysvetlenia

S učiteľom rozoberáme úlohy a riešime príklady

Skúšobná práca na úrovni profilu trvá 3 hodiny 55 minút (235 minút).

Minimálny prah- 27 bodov.

Skúšobná práca pozostáva z dvoch častí, ktoré sa líšia obsahom, náročnosťou a počtom úloh.

Charakteristickým znakom každej časti práce je forma úloh:

• 1. časť obsahuje 8 úloh (úlohy 1-8) s krátkou odpoveďou v tvare celého čísla alebo koncového desatinného zlomku;
• 2. časť obsahuje 4 úlohy (úlohy 9-12) s krátkou odpoveďou v tvare celého čísla alebo konečného desatinného zlomku a 7 úloh (úlohy 13-19) s podrobnou odpoveďou (úplný záznam rozhodnutia s odôvodnením vykonané akcie).

Panova Svetlana Anatolievna, učiteľka matematiky najvyššej kategórie školy, prax 20 rokov:

„Na získanie vysvedčenia musí absolvent absolvovať dve povinné skúšky v r USE formulár, z ktorých jedna je matematika. V súlade s Koncepciou rozvoja matematického vzdelávania v r Ruská federácia POUŽITIE v matematike je rozdelené do dvoch úrovní: základná a špecializovaná. Dnes sa pozrieme na možnosti na úrovni profilu.“

Úloha číslo 1- preveruje schopnosť účastníkov USE aplikovať zručnosti získané v priebehu 5-9 ročníka v elementárnej matematike v praktických činnostiach. Účastník musí mať výpočtové schopnosti, vedieť pracovať s racionálnymi číslami, vedieť zaokrúhľovať desatinné miesta byť schopný previesť jednu mernú jednotku na inú.

Príklad 1 V byte, kde Petr býva, bol nainštalovaný merač nákladov studená voda(počítadlo). Na prvého mája meradlo ukazovalo spotrebu 172 metrov kubických. m vody a prvého júna - 177 metrov kubických. Akú sumu má Peter zaplatiť za studenú vodu za máj, ak je cena 1 cu. m studenej vody je 34 rubľov 17 kopejok? Uveďte svoju odpoveď v rubľoch.

Riešenie:

1) Zistite množstvo vody spotrebovanej za mesiac:

177 - 172 = 5 (m3)

2) Zistite, koľko peňazí zaplatíte za spotrebovanú vodu:

34,17 5 = 170,85 (rub)

odpoveď: 170,85.

Úloha číslo 2- je jednou z najjednoduchších úloh skúšky. Väčšina absolventov sa s ňou úspešne vyrovnáva, čo svedčí o držaní definície pojmu funkcia. Typ úlohy č.2 podľa kodifikátora požiadaviek je úlohou na využitie získaných vedomostí a zručností v praktických činnostiach a bežnom živote. Úloha č.2 spočíva v popísaní pomocou funkcií rôznych reálnych vzťahov medzi veličinami a interpretácii ich grafov. Úloha číslo 2 testuje schopnosť extrahovať informácie prezentované v tabuľkách, diagramoch, grafoch. Absolventi musia vedieť určiť hodnotu funkcie hodnotou argumentu s rôznymi spôsobmi špecifikácie funkcie a popísať správanie a vlastnosti funkcie podľa jej grafu. Taktiež je potrebné vedieť nájsť najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu z grafu funkcie a zostaviť grafy študovaných funkcií. Urobené chyby sú náhodného charakteru pri čítaní podmienok problému, čítaní diagramu.

#ADVERTISING_INSERT#

Príklad 2 Na obrázku je znázornená zmena výmennej hodnoty jednej akcie ťažobnej spoločnosti v prvej polovici apríla 2017. Podnikateľ 7. apríla kúpil 1000 akcií tejto spoločnosti. 10. apríla predal tri štvrtiny nakúpených akcií a 13. apríla predal všetky zvyšné. O koľko prišiel podnikateľ v dôsledku týchto operácií?

Riešenie:

2) 1000 3/4 = 750 (akcie) - tvoria 3/4 všetkých nakúpených akcií.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rubľov) - podnikateľ dostal po predaji 1 000 akcií.

7) 340 000 - 325 000 = 15 000 (rubľov) - podnikateľ stratil v dôsledku všetkých operácií.

odpoveď: 15000.

Úloha číslo 3- je úlohou základnej úrovne prvej časti, preveruje schopnosť vykonávať úkony s geometrické tvary o obsahu kurzu „Planimetria“. Úloha 3 testuje schopnosť vypočítať plochu obrazca na kockovanom papieri, schopnosť vypočítať mieru uhlov, vypočítať obvody atď.

Príklad 3 Nájdite oblasť obdĺžnika nakreslenej na kockovanom papieri s veľkosťou bunky 1 cm x 1 cm (pozri obrázok). Svoju odpoveď uveďte v centimetroch štvorcových.

Riešenie: Na výpočet plochy tohto obrázku môžete použiť vzorec Peak:

Na výpočet plochy tohto obdĺžnika používame vzorec Peak:

S= B+	G
	2

kde V = 10, G = 6, teda

S = 18 +	6
	2

odpoveď: 20.

Pozri tiež: Jednotná štátna skúška z fyziky: riešenie problémov s vibráciami

Úloha číslo 4- úloha kurzu "Teória pravdepodobnosti a štatistika". Testuje sa schopnosť vypočítať pravdepodobnosť udalosti v najjednoduchšej situácii.

Príklad 4 Na kruhu je 5 červených a 1 modrá bodka. Určte, ktoré polygóny sú väčšie: tie so všetkými červenými vrcholmi alebo tie s jedným z modrých vrcholov. Vo svojej odpovedi uveďte, o koľko viac jedného ako druhého.

Riešenie: 1) Vzorec použijeme na počet kombinácií z n prvky podľa k:

ktorého všetky vrcholy sú červené.

3) Jeden päťuholník so všetkými červenými vrcholmi.

4) 10 + 5 + 1 = 16 polygónov so všetkými červenými vrcholmi.

ktorých vrcholy sú červené alebo s jedným modrým vrcholom.

ktorých vrcholy sú červené alebo s jedným modrým vrcholom.

8) Jeden šesťuholník, ktorého vrcholy sú červené s jedným modrým vrcholom.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polygónov, ktoré majú všetky červené vrcholy alebo jeden modrý vrchol.

10) 42 - 16 = 26 polygónov, ktoré používajú modrú bodku.

11) 26 - 16 = 10 polygónov - koľko polygónov, v ktorých jeden z vrcholov je modrý bod, je viac ako polygónov, v ktorých sú všetky vrcholy iba červené.

odpoveď: 10.

Úloha číslo 5- základná úroveň prvej časti testuje schopnosť riešiť najjednoduchšie rovnice (iracionálne, exponenciálne, trigonometrické, logaritmické).

Príklad 5 Vyriešte rovnicu 2 3 + X= 0,453+ X .

Riešenie. Vydeľte obe strany tejto rovnice 5 3 + X≠ 0, dostaneme

2 3 + X	= 0,4 resp		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

z čoho vyplýva, že 3 + X = 1, X = –2.

odpoveď: –2.

Úloha číslo 6 v planimetrii na zisťovanie geometrických veličín (dĺžok, uhlov, plôch), modelovanie reálnych situácií v jazyku geometrie. Štúdium zostrojených modelov pomocou geometrických pojmov a viet. Zdrojom ťažkostí je spravidla neznalosť alebo nesprávna aplikácia potrebných teorém planimetrie.

Oblasť trojuholníka ABC rovná sa 129. DE- stredová čiara rovnobežná so stranou AB. Nájdite oblasť lichobežníka POSTEĽ.

Riešenie. Trojuholník CDE podobný trojuholníku TAXÍK na dvoch rohoch, od rohu na vrchole C všeobecný, uhol CDE rovný uhlu TAXÍK ako zodpovedajúce uhly pri DE || AB sekanta AC. Pretože DE je stredná čiara trojuholníka podľa podmienky a potom podľa vlastnosti stredná čiara | DE = (1/2)AB. Takže koeficient podobnosti je 0,5. Plochy podobných útvarov súvisia ako druhá mocnina koeficientu podobnosti, tzv

v dôsledku toho S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Úloha číslo 7- skontroluje aplikáciu derivácie na štúdium funkcie. Pre úspešnú implementáciu je potrebné zmysluplné, neformálne vlastníctvo konceptu derivátu.

Príklad 7 Ku grafu funkcie r = f(X) v bode s osou x X 0 je nakreslená dotyčnica, ktorá je kolmá na priamku prechádzajúcu bodmi (4; 3) a (3; -1) tohto grafu. Nájsť f′( X 0).

Riešenie. 1) Použijeme rovnicu priamky prechádzajúcej dvoma dané body a nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi (4; 3) a (3; -1).

(r – r 1)(X 2 – X 1) = (X – X 1)(r 2 – r 1)

(r – 3)(3 – 4) = (X – 4)(–1 – 3)

(r – 3)(–1) = (X – 4)(–4)

–r + 3 = –4X+ 16| · (-jedna)

r – 3 = 4X – 16

r = 4X– 13, kde k 1 = 4.

2) Nájdite sklon dotyčnice k 2, ktorý je kolmý na priamku r = 4X– 13, kde k 1 = 4 podľa vzorca:

3) Sklon dotyčnice je deriváciou funkcie v bode dotyku. znamená, f′( X 0) = k 2 = –0,25.

odpoveď: –0,25.

Úloha číslo 8- preverí znalosť elementárnej stereometrie u účastníkov skúšky, schopnosť aplikovať vzorce na zisťovanie plôch a objemov útvarov, dihedrálne uhly, porovnávať objemy podobných postáv, vedieť vykonávať akcie s geometrickými tvarmi, súradnicami a vektormi atď.

Objem kocky opísanej okolo gule je 216. Nájdite polomer gule.

Riešenie. 1) V kocka = a 3 (kde a je dĺžka hrany kocky), tak

a 3 = 216

a = 3 √216

2) Keďže guľa je vpísaná do kocky, znamená to, že dĺžka priemeru gule sa rovná dĺžke hrany kocky, teda d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Úloha číslo 9- vyžaduje od absolventa transformáciu a zjednodušenie algebraických výrazov. Úloha číslo 9 pokročilá úroveňŤažkosti s krátkymi odpoveďami. Úlohy zo sekcie „Výpočty a transformácie“ v USE sú rozdelené do niekoľkých typov:

transformácie číselných racionálnych výrazov;

transformácie algebraických výrazov a zlomkov;

transformácie číselných/písmenových iracionálnych výrazov;

akcie s titulmi;

transformácia logaritmické výrazy;

1. prevod číselných/písmenových trigonometrických výrazov.

Príklad 9 Vypočítajte tgα, ak je známe, že cos2α = 0,6 a

3π	< α < π.
4

Riešenie. 1) Použime vzorec dvojitý argument: cos2α = 2 cos 2 α – 1 a nájdite

tg 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Z toho vyplýva, že tan 2 a = ± 0,5.

3) Podľa podmienok

3π	< α < π,
4

teda α je uhol druhej štvrtiny a tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

odpoveď: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Úloha číslo 10- preveruje schopnosť žiakov využívať získané rané vedomosti a zručnosti v praktických činnostiach a bežnom živote. Môžeme povedať, že ide o problémy vo fyzike, a nie v matematike, ale všetky potrebné vzorce a množstvá sú uvedené v podmienke. Úlohy sa redukujú na riešenie lineárnej resp kvadratická rovnica alebo lineárna alebo kvadratická nerovnosť. Preto je potrebné vedieť riešiť takéto rovnice a nerovnice a určiť odpoveď. Odpoveď musí byť vo forme celého čísla alebo posledného desatinného zlomku.

Dve telesá hmoty m= 2 kg každý, pohybujúce sa rovnakou rýchlosťou v= 10 m/s pri vzájomnom uhle 2α. Energia (v jouloch) uvoľnená pri ich absolútne nepružnej zrážke je určená výrazom Q = mv 2sin2α. V akom najmenšom uhle 2α (v stupňoch) sa musia telesá pohybovať, aby sa v dôsledku zrážky uvoľnilo aspoň 50 joulov?
Riešenie. Na vyriešenie úlohy potrebujeme vyriešiť nerovnosť Q ≥ 50 na intervale 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 hriech 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin2α ≥ 50

Keďže α ∈ (0°; 90°), budeme len riešiť

Riešenie nerovnosti znázorníme graficky:

Keďže za predpokladu α ​​∈ (0°; 90°), znamená to, že 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Úloha číslo 11- je typický, ale pre žiakov sa ukazuje ako ťažký. Hlavným zdrojom ťažkostí je konštrukcia matematického modelu (zostavenie rovnice). Úloha číslo 11 testuje schopnosť riešiť slovné úlohy.

Príklad 11. Na jarné prázdninyŽiak 11-ky Vasya musel vyriešiť 560 tréningových úloh, aby sa pripravil na skúšku. 18. marca, v posledný deň školy, Vasya vyriešil 5 problémov. Každý deň potom riešil rovnaký počet problémov viac ako predchádzajúci deň. Určte, koľko problémov Vasya vyriešil 2. apríla v posledný deň dovolenky.

Riešenie: Označiť a 1 = 5 - počet úloh, ktoré Vasya vyriešil 18. d– denný počet úloh, ktoré rieši Vasya, n= 16 - počet dní od 18. marca do 2. apríla vrátane, S 16 = 560 – Celkomúlohy, a 16 - počet úloh, ktoré Vasya vyriešil 2. apríla. S vedomím, že Vasya každý deň vyriešil rovnaký počet úloh viac ako predchádzajúci deň, potom môžete použiť vzorce na nájdenie súčtu aritmetická progresia:

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

odpoveď: 65.

Úloha číslo 12- overiť schopnosť študentov vykonávať akcie s funkciami, vedieť aplikovať deriváciu na štúdium funkcie.

Nájdite maximálny bod funkcie r= 10 ln( X + 9) – 10X + 1.

Riešenie: 1) Nájdite doménu funkcie: X + 9 > 0, X> –9, teda x ∈ (–9; ∞).

2) Nájdite deriváciu funkcie:

4) Nájdený bod patrí do intervalu (–9; ∞). Definujeme znamienka derivácie funkcie a znázorňujeme správanie funkcie na obrázku:

Požadovaný maximálny bod X = –8.

Stiahnite si zadarmo pracovný program z matematiky do radu UMK G.K. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10.-11 Stiahnite si bezplatné príručky algebry

Úloha číslo 13- zvýšená úroveň zložitosti s podrobnou odpoveďou, ktorá testuje schopnosť riešiť rovnice, najúspešnejšie vyriešené spomedzi úloh s podrobnou odpoveďou so zvýšenou úrovňou zložitosti.

a) Vyriešte rovnicu 2log 3 2 (2cos X) – 5 log 3 (2kos X) + 2 = 0

b) Nájdite všetky korene tejto rovnice, ktoré patria do segmentu.

Riešenie: a) Nechajte log 3 (2cos X) = t, potom 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	denník 3 (2kos X) =	2	⇔		2cos X = 9	⇔		cos X =	4,5	⇔ pretože |cos X| ≤ 1,
	denník 3 (2kos X) =	1			2cos X = √3			cos X =	√3
		2							2

potom cos X =	√3
	2

	X =	π	+ 2π k
		6
	X = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Nájdite korene ležiace na segmente .

Z obrázku je vidieť, že daný segment má korene

11π	a	13π	.
6		6

odpoveď: a)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; b)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Úloha číslo 14- pokročilá úroveň odkazuje na úlohy druhej časti s podrobnou odpoveďou. Úloha testuje schopnosť vykonávať akcie s geometrickými tvarmi. Úloha obsahuje dve položky. V prvom odseku musí byť úloha preukázaná a v druhom odseku musí byť vypočítaná.

Obvodový priemer podstavy valca je 20, tvoriaca čiara valca je 28. Rovina pretína jej podstavy pozdĺž tetiv dĺžky 12 a 16. Vzdialenosť medzi tetivami je 2√197.

a) Dokážte, že stredy podstav valca ležia na rovnakej strane tejto roviny.

b) Nájdite uhol medzi touto rovinou a rovinou podstavy valca.

Riešenie: a) Tetiva dĺžky 12 je vo vzdialenosti = 8 od stredu základnej kružnice a tetiva dĺžky 16 je podobne vo vzdialenosti 6. Preto vzdialenosť medzi ich priemetmi do roviny, rovnobežne so základňami valcov je buď 8 + 6 = 14 alebo 8 − 6 = 2.

Potom je vzdialenosť medzi akordmi buď

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Podľa stavu bol realizovaný druhý prípad, v ktorom výstupky tetivy ležia na jednej strane osi valca. Os sa teda nepretína danej rovine vo valci, to znamená, že základne ležia na jeho jednej strane. Čo bolo potrebné dokázať.

b) Označme stredy báz O 1 a O 2. Nakreslíme od stredu podstavy s tetivou dĺžky 12 kolmicu na túto tetivu (má dĺžku 8, ako už bolo uvedené) a zo stredu druhej podstavy na inú tetivu. Ležia v rovnakej rovine β kolmej na tieto tetivy. Nazvime stred menšej tetivy B, väčší ako A, a priemet A na druhú základňu H (H ∈ β). Potom AB,AH ∈ β a teda AB,AH sú kolmé na tetivu, teda na priesečník podstavy s danou rovinou.

Takže požadovaný uhol je

∠ABH = arctan	AH	= arctg	28	= arctg14.
	BH		8 – 6

Úloha číslo 15- zvýšená úroveň zložitosti s podrobnou odpoveďou, preveruje schopnosť riešiť nerovnosti, najúspešnejšie vyriešené spomedzi úloh s podrobnou odpoveďou na zvýšenú úroveň zložitosti.

Príklad 15 Vyriešte nerovnosť | X 2 – 3X| denník 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 .

Riešenie: Oblasťou definície tejto nerovnosti je interval (–1; +∞). Zvážte tri prípady oddelene:

1) Nechajte X 2 – 3X= 0, t.j. X= 0 alebo X= 3. V tomto prípade sa táto nerovnosť stane pravdivou, preto sú tieto hodnoty zahrnuté do riešenia.

2) Nechaj teraz X 2 – 3X> 0, t.j. X∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). V tomto prípade je možné túto nerovnosť prepísať do tvaru ( X 2 – 3X) denník 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 a vydeliť kladným výrazom X 2 – 3X. Dostaneme denník 2 ( X + 1) ≤ –1, X + 1 ≤ 2 –1 , X≤ 0,5 -1 alebo X≤ -0,5. Ak vezmeme do úvahy doménu definície, máme X ∈ (–1; –0,5].

3) Nakoniec zvážte X 2 – 3X < 0, при этом X∈ (0; 3). V tomto prípade sa pôvodná nerovnosť prepíše do tvaru (3 X – X 2) denník 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2. Po vydelení kladným výrazom 3 X – X 2, dostaneme denník 2 ( X + 1) ≤ 1, X + 1 ≤ 2, X≤ 1. S prihliadnutím na oblasť máme X ∈ (0; 1].

Spojením získaných riešení získame X ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

odpoveď: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Úloha číslo 16- pokročilá úroveň odkazuje na úlohy druhej časti s podrobnou odpoveďou. Úloha testuje schopnosť vykonávať akcie s geometrickými tvarmi, súradnicami a vektormi. Úloha obsahuje dve položky. V prvom odseku musí byť úloha preukázaná a v druhom odseku musí byť vypočítaná.

V rovnoramennom trojuholníku ABC s uhlom 120° pri vrchole A je nakreslená os BD. Obdĺžnik DEFH je vpísaný do trojuholníka ABC tak, že strana FH leží na úsečke BC a vrchol E leží na úsečke AB. a) Dokážte, že FH = 2DH. b) Nájdite obsah obdĺžnika DEFH, ak AB = 4.

Riešenie: a)

1) ΔBEF - pravouhlý, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°) : 2 = 30°, potom EF = BE kvôli vlastnosti nohy oproti uhlu 30°.

2) Nech EF = DH = X, potom BE = 2 X, BF = X√3 podľa Pytagorovej vety.

3) Keďže ΔABC je rovnoramenné, potom ∠B = ∠C = 30˚.

BD je osou ∠B, takže ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Uvažujme ΔDBH - obdĺžnikový, pretože DH⊥BC.

2X	=	4 – 2X
2X(√3 + 1)		4

1	=	2 – X
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – X

X = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = ED EF = (3 - √3) 2(3 - √3)

S DEFH = 24 - 12√3.

odpoveď: 24 – 12√3.

Úloha číslo 17- úloha s podrobnou odpoveďou, táto úloha preveruje uplatnenie vedomostí a zručností v praktických činnostiach a bežnom živote, schopnosť stavať a skúmať matematických modelov. Táto úloha je textová úloha s ekonomickým obsahom.

Príklad 17. Vklad vo výške 20 miliónov rubľov sa plánuje otvoriť na štyri roky. Banka na konci každého roka zvyšuje vklad o 10 % v porovnaní s jeho veľkosťou na začiatku roka. Okrem toho na začiatku tretieho a štvrtého roku vkladateľ každoročne dopĺňa vklad o X miliónov rubľov, kde X - celýčíslo. Nájdite najvyššiu hodnotu X, pri ktorej banka za štyri roky pripíše na vklad necelých 17 miliónov rubľov.

Riešenie: Na konci prvého roka bude príspevok 20 + 20 · 0,1 = 22 miliónov rubľov a na konci druhého roka - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 milióna rubľov. Na začiatku tretieho roka bude príspevok (v miliónoch rubľov) (24,2 + X), a na konci - (24,2 + X) + (24,2 + X) 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Na začiatku štvrtého roka bude príspevok (26,62 + 2,1 X) a na konci - (26,62 + 2,1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Podľa podmienky musíte nájsť najväčšie celé číslo x, pre ktoré je nerovnosť

(29,282 + 2,31X) – 20 – 2X < 17

29,282 + 2,31X – 20 – 2X < 17

0,31X < 17 + 20 – 29,282

0,31X < 7,718

X <	7718
	310

X <	3859
	155

X < 24	139
	155

Najväčšie celočíselné riešenie tejto nerovnosti je číslo 24.

odpoveď: 24.

Úloha číslo 18- úloha so zvýšenou úrovňou zložitosti s podrobnou odpoveďou. Táto úloha je určená pre konkurenčný výber na vysoké školy so zvýšenými požiadavkami na matematickú prípravu uchádzačov. Cvičenie vysoký stupeň zložitosť nie je úlohou pre aplikáciu jednej metódy riešenia, ale pre kombináciu rôznych metód. Pre úspešné splnenie úlohy 18 je okrem solídnych matematických vedomostí potrebná aj vysoká úroveň matematickej kultúry.

Pod čím a systém nerovností

	X 2 + r 2 ≤ 2áno – a 2 + 1
	r + a ≤ |X| – a

má presne dve riešenia?

Riešenie: Tento systém je možné prepísať ako

	X 2 + (r– a) 2 ≤ 1
	r ≤ |X| – a

Ak nakreslíme na rovinu množinu riešení prvej nerovnosti, dostaneme vnútro kružnice (s hranicou) s polomerom 1 so stredom v bode (0, a). Množina riešení druhej nerovnice je tá časť roviny, ktorá leží pod grafom funkcie r = | X| – a, a druhý je grafom funkcie
r = | X| , posunuté nadol o a. Riešenie tejto sústavy je priesečníkom množín riešení každej z nerovníc.

V dôsledku toho bude mať tento systém dve riešenia iba v prípade znázornenom na obr. jeden.

Body dotyku medzi kružnicou a čiarami budú dve riešenia systému. Každá z priamych línií je naklonená k osám pod uhlom 45°. Takže trojuholník PQR- pravouhlý rovnoramenný. Bodka Q má súradnice (0, a) a pointa R– súradnice (0, – a). Okrem toho strihy PR a PQ sa rovnajú polomeru kruhu rovnému 1. Preto,

QR= 2a = √2, a =	√2	.
	2

odpoveď: a =	√2	.
	2

Úloha číslo 19- úloha so zvýšenou úrovňou zložitosti s podrobnou odpoveďou. Táto úloha je určená pre konkurenčný výber na vysoké školy so zvýšenými požiadavkami na matematickú prípravu uchádzačov. Úloha vysokej úrovne zložitosti nie je úlohou na aplikáciu jednej metódy riešenia, ale na kombináciu rôznych metód. Ak chcete úspešne dokončiť úlohu 19, musíte byť schopní hľadať riešenie výberom rôzne prístupy spomedzi známych modifikujúcich študované metódy.

Nechaj sn súčet Pčlenovia aritmetického postupu ( a p). To je známe S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Uveďte vzorec Pčlenom tohto postupu.

b) Nájdite najmenší súčet modulov S n.

c) Nájdite najmenšie P, na ktorom S n bude druhou mocninou celého čísla.

Riešenie: a) Samozrejme, a n = S n – S n- jeden . Pomocou tohto vzorca dostaneme:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

znamená, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) pretože S n = 2n 2 – 25n, potom zvážte funkciu S(X) = | 2X 2 – 25x|. Jej graf je možné vidieť na obrázku.

Je zrejmé, že najmenšiu hodnotu dosiahneme v celočíselných bodoch umiestnených najbližšie k nulám funkcie. Je jasné, že ide o body. X= 1, X= 12 a X= 13. Keďže S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, potom najmenšia hodnota je 12.

c) Z predchádzajúceho odseku vyplýva, že sn pozitívny od r n= 13. Odkedy S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), potom zrejmý prípad, keď je tento výraz dokonalým štvorcom, sa realizuje, keď n = 2n- 25, teda s P= 25.

Zostáva skontrolovať hodnoty od 13 do 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Ukazuje sa, že pre menšie hodnoty P plné námestie nie je dosiahnuté.

odpoveď: a) a n = 4n- 27; b) 12; c) 25.

________________

*Od mája 2017 je spoločná vydavateľská skupina DROFA-VENTANA súčasťou spoločnosti Russian Textbook Corporation. Súčasťou korporácie bolo aj vydavateľstvo Astrel a digital vzdelávacia platforma"lecta". Alexander Brychkin, absolvent Finančnej akadémie pri vláde Ruskej federácie, kandidát ekonomických vied, vedúci inovatívnych projektov vydavateľstva DROFA v oblasti digitálneho vzdelávania (elektronické formy učebníc, Ruská elektronická škola, digitálne vzdelávanie LECTA platformy) bol vymenovaný za generálneho riaditeľa. Pred príchodom do vydavateľstva DROFA zastával pozíciu viceprezidenta pre strategický rozvoj a investície vydavateľského holdingu EKSMO-AST. Dnes má ruské vydavateľstvo učebníc najväčšie portfólio učebníc zaradených do federálneho zoznamu – 485 titulov (približne 40 %, okrem učebníc pre nápravná škola). Vydavateľstvá spoločnosti vlastnia najobľúbenejšie ruské školy súbory učebníc fyziky, kreslenia, biológie, chémie, techniky, geografie, astronómie - oblasti vedomostí, ktoré sú potrebné na rozvoj produkčného potenciálu krajiny. Portfólio korporácie zahŕňa učebnice a študijné príručky pre Základná škola udelil prezidentskú cenu za vzdelávanie. Ide o učebnice a príručky o oblastiach, ktoré sú potrebné pre rozvoj vedeckého, technického a priemyselného potenciálu Ruska.