Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných udalostiach a Pripravované akcie.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Y \u003d f (x) a ak sa v tomto bode dá nakresliť ku grafu funkcie dotyčnica, ktorá nie je kolmá na os x, potom sklon dotyčnice je f "(a). Už sme to použili niekoľko Napríklad v § 33 bolo ustanovené, že graf funkcie y \u003d sin x (sínusoida) v počiatku zviera s osou x (presnejšie dotyčnica ku grafu v bode 1) uhol 45° počiatok zviera uhol 45° s kladným smerom osi x) a v príklade 5 z § 33 boli nájdené body v danom rozvrhu funkcie, v ktorom je dotyčnica rovnobežná s osou x. V príklade 2 § 33 bola zostavená rovnica pre dotyčnicu ku grafu funkcie y \u003d x 2 v bode x \u003d 1 (presnejšie v bode (1; 1), ale častejšie len je označená hodnota úsečky za predpokladu, že ak je známa hodnota úsečky, potom hodnotu ordináty možno zistiť z rovnice y = f(x)). V tejto časti vyvinieme algoritmus na zostavenie rovnice dotyčnice ku grafu ľubovoľnej funkcie.

Nech je daná funkcia y \u003d f (x) a bod M (a; f (a)) a je tiež známe, že f "(a) existuje. Zostavme rovnicu dotyčnice ku grafu daná funkcia v danom bode. Táto rovnica je ako rovnica akejkoľvek priamky, nie rovnobežná s osou y, má tvar y = kx + m, takže problém je nájsť hodnoty koeficientov k a m.

So sklonom k ​​nie sú žiadne problémy: vieme, že k \u003d f "(a). Na výpočet hodnoty m využívame skutočnosť, že požadovaná čiara prechádza bodom M (a; f (a)). To znamená, že ak dosadíme súradnice bodov M do rovnice priamky, dostaneme správnu rovnosť: f (a) \u003d ka + m, odkiaľ zistíme, že m \u003d f (a) - ka.
Zostáva nahradiť nájdené hodnoty koeficientov veľrýb rovnica rovno:

Získali sme rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y \u003d f (x) v bode x \u003d a.
Ak povedzme
Nahradením zistených hodnôt a \u003d 1, f (a) \u003d 1 f "(a) \u003d 2 v rovnici (1) dostaneme: y \u003d 1 + 2 (x-f), t.j. y \u003d 2x -1.
Porovnajte tento výsledok s výsledkom získaným v príklade 2 § 33. Prirodzene, stalo sa to isté.
Zostavme rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y \u003d tg x v počiatku. Máme: teda cos x f "(0) = 1. Dosadením nájdených hodnôt a \u003d 0, f (a) \u003d 0, f "(a) \u003d 1 do rovnice (1) dostaneme: y \u003d x .
Preto sme tangencioidu v § 15 (pozri obr. 62) nakreslili cez začiatok súradníc pod uhlom 45° k osi x.
Vyriešiť to stačí jednoduché príklady, v skutočnosti sme použili určitý algoritmus, ktorý je vložený do vzorca (1). Urobme tento algoritmus explicitným.

ALGORITHM NA ZOSTAVENIE ROVNICE FUNKCIE TANGENTY KU GRAFU y \u003d f (x)

1) Označte úsečku styčného bodu písmenom a.
2) Vypočítajte 1 (a).
3) Nájdite f "(x) a vypočítajte f" (a).
4) Dosaďte nájdené čísla a, f(a), (a) do vzorca (1).

Príklad 1 Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v bode x = 1.
Použime algoritmus, berúc do úvahy, že v tomto príklade

Na obr. 126 ukazuje hyperbolu, vytvorí sa priamka y \u003d 2x.
Nákres potvrdzuje dané výpočty: priamka y \u003d 2-x sa skutočne dotýka hyperboly v bode (1; 1).

odpoveď: y \u003d 2-x.
Príklad 2 Nakreslite dotyčnicu ku grafu funkcie tak, aby bola rovnobežná s priamkou y \u003d 4x - 5.
Upresnime formuláciu problému. Požiadavka „nakresliť dotyčnicu“ zvyčajne znamená „vytvoriť rovnicu pre dotyčnicu“. Je to logické, pretože ak bol človek schopný zostaviť rovnicu pre dotyčnicu, je nepravdepodobné, že by mal ťažkosti stavať na súradnicová rovina priamka podľa jej rovnice.
Použime algoritmus na zostavenie dotyčnicovej rovnice vzhľadom na to, že v tomto príklade je tu však na rozdiel od predchádzajúceho príkladu nejednoznačnosť: úsečka dotykového bodu nie je explicitne uvedená.
Začnime sa rozprávať takto. Požadovaná dotyčnica musí byť rovnobežná s priamkou y \u003d 4x-5. Dve čiary sú rovnobežné práve vtedy, ak sú ich sklony rovnaké. To znamená, že sklon dotyčnice sa musí rovnať sklonu danej priamky: Hodnotu a teda môžeme nájsť z rovnice f "(a) \u003d 4.
Máme:
Z rovnice So sú dve dotyčnice, ktoré spĺňajú podmienky úlohy: jedna v bode s osou 2, druhá v bode s osou -2.
Teraz môžete konať podľa algoritmu.

Príklad 3 Z bodu (0; 1) nakreslite dotyčnicu ku grafu funkcie
Použime algoritmus na zostavenie dotyčnicovej rovnice, berúc do úvahy, že v tomto príklade Všimnite si, že tu, ako v príklade 2, úsečka dotyčnice nie je explicitne uvedená. Napriek tomu konáme podľa algoritmu.

Podľa podmienky dotyčnica prechádza bodom (0; 1). Dosadením hodnôt x = 0, y = 1 do rovnice (2) dostaneme:
Ako vidíte, v tomto príklade sa nám až vo štvrtom kroku algoritmu podarilo nájsť úsečku bodu dotyku. Nahradením hodnoty a \u003d 4 do rovnice (2) dostaneme:

Na obr. 127 geometrické znázornenie uvažovaného príkladu: graf funkcie

V § 32 sme si všimli, že pre funkciu y = f(x), ktorá má deriváciu v pevnom bode x, platí približná rovnosť:

Pre uľahčenie ďalšieho uvažovania zmeníme zápis: namiesto x napíšeme a, namiesto toho napíšeme x a podľa toho napíšeme x-a. Potom bude mať vyššie napísaná približná rovnosť podobu:

Teraz sa pozrite na obr. 128. Ku grafu funkcie y \u003d f (x) sa nakreslí dotyčnica v bode M (a; f (a)). Označený bod x na osi x blízko a. Je jasné, že f(x) je ordináta grafu funkcie v zadanom bode x. A čo je f (a) + f "(a) (x-a)? Toto je ordináta dotyčnice zodpovedajúcej rovnakému bodu x - pozri vzorec (1). Čo znamená približná rovnosť (3)? To vypočítajte približnú hodnotu funkcie, berie sa hodnota tečnovej ordináty.

Príklad 4 Nájdite približnú hodnotu číselného výrazu 1,02 7 .
Hovoríme o nájdení hodnoty funkcie y \u003d x 7 v bode x \u003d 1,02. Používame vzorec (3), berúc do úvahy, že v tomto príklade
V dôsledku toho dostaneme:

Ak použijeme kalkulačku, dostaneme: 1,02 7 = 1,148685667...
Ako vidíte, presnosť aproximácie je celkom prijateľná.
odpoveď: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkovičova algebra 10. ročník

Kalendár-tematické plánovanie v matematike, video v matematike online, Matematika v škole na stiahnutie

Obsah lekcie zhrnutie lekcie podpora rámcová lekcia prezentácia akceleračné metódy interaktívne technológie Prax úlohy a cvičenia samovyšetrenie workshopy, školenia, prípady, questy domáce úlohy diskusia otázky rétorické otázky od študentov Ilustrácie audio, videoklipy a multimédiá fotografie, obrázky, grafika, tabuľky, schémy humor, anekdoty, vtipy, komiksové podobenstvá, výroky, krížovky, citáty Doplnky abstraktyčlánky čipy pre zvedavých cheat sheets učebnice základný a doplnkový slovník pojmov iné Zdokonaľovanie učebníc a vyučovacích hodínoprava chýb v učebnici aktualizácia fragmentu v učebnici prvky inovácie v lekcii nahradenie zastaraných vedomostí novými Len pre učiteľov perfektné lekcie kalendárny plán na rok usmernenia diskusné programy Integrované lekcie

Typ práce: 7

Podmienka

Priamka y=3x+2 je dotyčnicou ku grafu funkcie y=-12x^2+bx-10. Nájdite b za predpokladu, že úsečka bodu dotyku je menšia ako nula.

Zobraziť riešenie

Riešenie

Nech x_0 je úsečka bodu na grafe funkcie y=-12x^2+bx-10, ktorým prechádza dotyčnica k tomuto grafu.

Hodnota derivácie v bode x_0 sa rovná sklonu dotyčnice, t.j. y"(x_0)=-24x_0+b=3. Na druhej strane dotykový bod patrí do grafu funkcie aj do dotyčnica, t.j. -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Dostaneme sústavu rovníc \begin(prípady) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)

Vyriešením tohto systému dostaneme x_0^2=1, čo znamená buď x_0=-1 alebo x_0=1. Podľa podmienky úsečky sú dotykové body menšie ako nula, preto x_0=-1, potom b=3+24x_0=-21.

Odpoveď

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácie. Graf dotyčnice k funkcii

Podmienka

Priamka y=-3x+4 je rovnobežná s dotyčnicou ku grafu funkcie y=-x^2+5x-7. Nájdite úsečku bodu kontaktu.

Zobraziť riešenie

Riešenie

Sklon priamky ku grafu funkcie y=-x^2+5x-7 v ľubovoľnom bode x_0 je y"(x_0). Ale y"=-2x+5, takže y"(x_0)=- 2x_0+5 Uhlový koeficient úsečky y=-3x+4 zadaný v podmienke je -3. Rovnobežné čiary majú rovnaké koeficienty sklonu.Preto nájdeme takú hodnotu x_0, že =-2x_0 +5=-3.

Dostaneme: x_0 = 4.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. Úroveň profilu". Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácie. Graf dotyčnice k funkcii

Podmienka

Zobraziť riešenie

Riešenie

Z obrázku určíme, že dotyčnica prechádza bodmi A(-6; 2) a B(-1; 1). Označme C(-6; 1) priesečník priamok x=-6 a y=1 a \alpha uhol ABC (na obrázku je vidieť, že je ostrý). Potom priamka AB zviera tupý uhol \pi -\alpha s kladným smerom osi Ox.

Ako viete, tg(\pi -\alpha) bude hodnota derivácie funkcie f(x) v bode x_0. Všimni si tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Odtiaľ pomocou redukčných vzorcov získame: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácie. Graf dotyčnice k funkcii

Podmienka

Priamka y=-2x-4 je dotyčnicou grafu funkcie y=16x^2+bx+12. Nájdite b za predpokladu, že úsečka bodu dotyku je väčšia ako nula.

Zobraziť riešenie

Riešenie

Nech x_0 je úsečka bodu na grafe funkcie y=16x^2+bx+12, cez ktorý

je dotyčnicou tohto grafu.

Hodnota derivácie v bode x_0 sa rovná sklonu dotyčnice, t.j. y "(x_0)=32x_0+b=-2. Na druhej strane dotykový bod patrí do grafu funkcie aj do dotyčnica, t.j. 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Dostaneme sústavu rovníc \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(cases)

Vyriešením systému dostaneme x_0^2=1, čo znamená buď x_0=-1 alebo x_0=1. Podľa podmienky úsečky sú dotykové body väčšie ako nula, preto x_0=1, potom b=-2-32x_0=-34.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácie. Graf dotyčnice k funkcii

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) definovanej na intervale (-2; 8). Určte počet bodov, kde dotyčnica ku grafu funkcie je rovnobežná s priamkou y=6.

Zobraziť riešenie

Riešenie

Čiara y=6 je rovnobežná s osou Ox. Preto nájdeme také body, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná s osou Ox. Na tento graf takéto body sú extrémne body (maximálne alebo minimálne body). Ako vidíte, existujú 4 extrémne body.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácie. Graf dotyčnice k funkcii

Podmienka

Priamka y=4x-6 je rovnobežná s dotyčnicou ku grafu funkcie y=x^2-4x+9. Nájdite úsečku bodu kontaktu.

Zobraziť riešenie

Riešenie

Sklon dotyčnice ku grafu funkcie y \u003d x ^ 2-4x + 9 v ľubovoľnom bode x_0 je y "(x_0). Ale y" \u003d 2x-4, čo znamená y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. Sklon dotyčnice y \u003d 4x-7 zadaný v podmienke sa rovná 4. Rovnobežné čiary majú rovnaké sklony. Preto nájdeme takú hodnotu x_0, že 2x_0-4 \u003d 4. Získame : x_0 \u003d 4.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácie. Graf dotyčnice k funkcii

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) a dotyčnica k nej v bode s osou x_0. Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x_0.

Zobraziť riešenie

Riešenie

Z obrázku určíme, že dotyčnica prechádza bodmi A(1; 1) a B(5; 4). Označme C(5; 1) priesečník priamok x=5 a y=1 a \alpha uhol BAC (na obrázku je vidieť, že je ostrý). Potom priamka AB zviera uhol \alpha s kladným smerom osi Ox.

Tangenta je priamka prechádzajúca bodom krivky a zhodujúca sa s ním v tomto bode až do prvého rádu (obr. 1).

Iná definícia: toto je limitná poloha sečnice v Δ X→0.

Vysvetlenie: Vezmite čiaru, ktorá pretína krivku v dvoch bodoch: ALE a b(pozri obrázok). Toto je sekta. Otáčame v smere hodinových ručičiek, kým nebude mať len jednu spoločný bod s krivkou. Takže dostaneme tangens.

Presná definícia dotyčnice:

Graf dotyčnice k funkcii f, diferencovateľné v bode Xo, je priamka prechádzajúca bodom ( Xo; f(Xo)) a má sklon f′( Xo).

Svah má priamku y=kx +b. Koeficient k a je faktor sklonu túto priamku.

Uhlový koeficient sa rovná dotyčnici ostrý uhol tvorená touto priamkou s osou x:

k = tgα

Tu je uhol α uhol medzi čiarou y=kx +b a kladný (t.j. proti smeru hodinových ručičiek) smer osi x. To sa nazýva uhol sklonu rovný(Obr. 1 a 2).

Ak je uhol sklonu rovný y=kx +b akútna, potom je sklon kladné číslo. Graf sa zväčšuje (obr. 1).

Ak je uhol sklonu rovný y=kx +b tupý, potom je sklon záporné číslo. Graf je klesajúci (obr. 2).

Ak je priamka rovnobežná s osou x, potom je sklon priamky nula. V tomto prípade je sklon priamky tiež nulový (keďže dotyčnica nuly je nula). Rovnica s priamkou bude vyzerať ako y = b (obr. 3).

Ak je uhol sklonu priamky 90º (π/2), to znamená, že je kolmá na os x, potom je priamka daná rovnosťou x=c, kde c- nejaké reálne číslo (obr. 4).

Rovnica dotyčnice ku grafu funkcier = f(X) v bode Xo:

Príklad : Nájdite rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f(X) = X 3 – 2X 2 + 1 v bode s osou 2.

Riešenie .

Postupujeme podľa algoritmu.

1) Dotykový bod Xo rovná sa 2. Vypočítajte f(Xo):

f(Xo) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Nájdite f′( X). Na tento účel používame vzorce diferenciácie uvedené v predchádzajúcej časti. Podľa týchto vzorcov, X 2 = 2X, a X 3 = 3X 2. znamená:

f′( X) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Teraz použite výslednú hodnotu f′( X), vypočítať f′( Xo):

f′( Xo) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Takže máme všetky potrebné údaje: Xo = 2, f(Xo) = 1, f ′( Xo) = 4. Tieto čísla dosadíme do rovnice dotyčnice a nájdeme konečné riešenie:

y= f(Xo) + f′( Xo) (x – x o) \u003d 1 + 4 ∙ (x - 2) \u003d 1 + 4x - 8 \u003d -7 + 4x \u003d 4x - 7.

Odpoveď: y \u003d 4x - 7.

Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Čeľabinská oblasť

Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie

Článok vyšiel s podporou Hotelového komplexu ITAKA+. Pri pobyte v meste staviteľov lodí Severodvinsk nebudete čeliť problému nájsť dočasné bývanie. , na webovej stránke hotelového komplexu "ITAKA +" http://itakaplus.ru si môžete jednoducho a rýchlo prenajať byt v meste na akékoľvek obdobie s dennou platbou.

Na súčasné štádium rozvoj vzdelávania ako jedna z jeho hlavných úloh je formovanie tvorivo mysliacej osobnosti. Schopnosť tvorivosti u žiakov možno rozvíjať len vtedy, ak sa systematicky zapájajú do základov výskumnej činnosti. Základom pre uplatnenie tvorivých síl, schopností a talentu študentov sú plnohodnotné vedomosti a zručnosti. V tomto smere je nemenej dôležitý problém vytvorenia systému základných vedomostí a zručností pre každú tému školského kurzu matematiky. Plnohodnotné zručnosti by zároveň mali byť didaktickým cieľom nie jednotlivých úloh, ale ich dôkladne premysleného systému. V najširšom zmysle je systém chápaný ako súbor vzájomne prepojených interagujúcich prvkov, ktoré majú celistvosť a stabilnú štruktúru.

Zvážte metodológiu na výučbu študentov, ako zostaviť rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie. V podstate sú všetky úlohy na nájdenie dotyčnicovej rovnice redukované na potrebu vybrať z množiny (zväzku, rodiny) čiar tie z nich, ktoré spĺňajú určitú požiadavku - sú dotyčnicami ku grafu určitej funkcie. V tomto prípade je možné množinu riadkov, z ktorých sa vykonáva výber, určiť dvoma spôsobmi:

a) bod ležiaci v rovine xOy (stredová ceruzka čiar);
b) uhlový koeficient (paralelný zväzok priamok).

V tomto ohľade sme pri štúdiu témy „Dotyčnica ku grafu funkcie“ s cieľom izolovať prvky systému identifikovali dva typy úloh:

1) úlohy na dotyčnici danej bodom, ktorým prechádza;
2) úlohy na dotyčnici danej jej sklonom.

Učenie sa riešiť problémy na dotyčnici sa uskutočnilo pomocou algoritmu navrhnutého A.G. Mordkovič. Jeho zásadný rozdiel od už známych je v tom, že úsečka dotykového bodu sa označuje písmenom a (namiesto x0), v súvislosti s ktorým nadobúda rovnica dotyčnice tvar

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(porovnaj s y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Táto metodická technika podľa nášho názoru umožňuje študentom rýchlo a jednoducho si uvedomiť, kde sú zapísané súradnice aktuálneho bodu vo všeobecnej tangentovej rovnici a kde sú body dotyku.

Algoritmus na zostavenie rovnice dotyčnice ku grafu funkcie y = f(x)

1. Označte písmenom a úsečku bodu kontaktu.
2. Nájdite f(a).
3. Nájdite f "(x) a f "(a).
4. Nájdené čísla a, f (a), f "(a) dosaďte do všeobecná rovnica dotyčnica y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a).

Tento algoritmus je možné zostaviť na základe nezávislého výberu operácií študentmi a postupnosti ich vykonávania.

Prax ukázala, že konzistentné riešenie každej z kľúčových úloh pomocou algoritmu vám umožňuje vytvoriť schopnosť zapísať rovnicu dotyčnice do grafu funkcie v etapách a kroky algoritmu slúžia ako silné body pre akcie. . Tento prístup zodpovedá teórii postupného formovania mentálnych akcií, ktorú vyvinul P.Ya. Galperin a N.F. Talyzina.

V prvom type úloh boli identifikované dve kľúčové úlohy:

• dotyčnica prechádza bodom ležiacim na krivke (úloha 1);
• dotyčnica prechádza bodom, ktorý neleží na krivke (úloha 2).

Úloha 1. Prirovnajte dotyčnicu ku grafu funkcie v bode M(3; – 2).

Riešenie. Bod M(3; – 2) je bod dotyku, pretože

1. a = 3 - úsečka bodu dotyku.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 je rovnica dotyčnice.

Úloha 2. Napíšte rovnice všetkých dotyčníc ku grafu funkcie y = - x 2 - 4x + 2, prechádzajúceho bodom M(- 3; 6).

Riešenie. Bod M(– 3; 6) nie je dotykový bod, pretože f(– 3) 6 (obr. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - rovnica dotyčnice.

Dotyčnica prechádza bodom M(– 3; 6), preto jej súradnice vyhovujú rovnici dotyčnice.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2 (a + 2) (– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Ak a = – 4, potom rovnica dotyčnice je y = 4x + 18.

Ak a \u003d - 2, potom rovnica dotyčnice má tvar y \u003d 6.

V druhom type budú kľúčové úlohy nasledovné:

• dotyčnica je rovnobežná s nejakou priamkou (úloha 3);
• dotyčnica prechádza pod určitým uhlom k danej priamke (úloha 4).

Úloha 3. Napíšte rovnice všetkých dotyčníc ku grafu funkcie y \u003d x 3 - 3x 2 + 3 rovnobežne s priamkou y \u003d 9x + 1.

Riešenie.

1. a - úsečka bodu dotyku.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.

Ale na druhej strane, f "(a) \u003d 9 (podmienka paralelnosti). Musíme teda vyriešiť rovnicu 3a 2 - 6a \u003d 9. Jej korene a \u003d - 1, a \u003d 3 (obr. 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 je rovnica dotyčnice;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f"(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x – 24 je rovnica dotyčnice.

Úloha 4. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y = 0,5x 2 - 3x + 1, prechádzajúcej pod uhlom 45° k priamke y = 0 (obr. 4).

Riešenie. Z podmienky f "(a) \u003d tg 45 ° nájdeme a: a - 3 \u003d 1^a=4.

1. a = 4 - úsečka bodu dotyku.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - rovnica dotyčnice.

Je ľahké ukázať, že riešenie akéhokoľvek iného problému sa redukuje na riešenie jedného alebo niekoľkých kľúčových problémov. Zvážte nasledujúce dva problémy ako príklad.

1. Napíšte rovnice dotyčníc k parabole y = 2x 2 - 5x - 2, ak sa dotyčnice pretínajú v pravom uhle a jedna z nich sa dotýka paraboly v bode s osou 3 (obr. 5).

Riešenie. Keďže je daná úsečka bodu kontaktu, prvá časť riešenia je zredukovaná na kľúčový problém 1.

1. a \u003d 3 - súradnica bodu dotyku jednej zo strán pravého uhla.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - rovnica prvej dotyčnice.

Nechajte a je uhol sklonu prvej dotyčnice. Pretože dotyčnice sú kolmé, potom je uhol sklonu druhej dotyčnice. Z rovnice y = 7x – 20 prvej dotyčnice máme tg a = 7. Nájdite

To znamená, že sklon druhej dotyčnice je .

Ďalšie riešenie je zredukované na kľúčovú úlohu 3.

Nech B(c; f(c)) je dotykový bod druhej priamky

1. - úsečka druhého styčného bodu.
2.
3.
4.
je rovnica druhej dotyčnice.

Poznámka. Uhlový koeficient dotyčnice ľahšie zistíme, ak žiaci poznajú pomer koeficientov kolmých priamok k 1 k 2 = - 1.

2. Napíšte rovnice všetkých spoločných dotyčníc k funkčným grafom

Riešenie. Úloha sa redukuje na nájdenie úsečiek styčných bodov spoločných dotyčníc, teda na riešenie kľúčovej úlohy 1 vo všeobecnosti, zostavenie sústavy rovníc a jej následné riešenie (obr. 6).

1. Nech a je úsečka bodu dotyku ležiaceho na grafe funkcie y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Nech c je úsečka dotykového bodu ležiaceho na grafe funkcie
2.
3. f "(c) = c.
4.

Keďže dotyčnice sú spoločné, teda

Takže y = x + 1 a y = - 3x - 3 sú spoločné dotyčnice.

Hlavným cieľom uvažovaných úloh je pripraviť študentov na sebapoznanie typu kľúčovej úlohy pri riešení zložitejších úloh, ktoré si vyžadujú určité výskumné zručnosti (schopnosť analyzovať, porovnávať, zovšeobecňovať, predkladať hypotézy atď.). Takéto úlohy zahŕňajú akúkoľvek úlohu, v ktorej je kľúčová úloha zahrnutá ako komponent. Uvažujme ako príklad problém (inverzný k problému 1) nájsť funkciu z rodiny jej dotyčníc.

3. Pre čo b a c sú priamky y \u003d x a y \u003d - 2x dotyčnica ku grafu funkcie y \u003d x 2 + bx + c?

Riešenie.

Nech t je úsečka bodu dotyku priamky y = x s parabolou y = x 2 + bx + c; p je úsečka bodu dotyku priamky y = - 2x s parabolou y = x 2 + bx + c. Potom rovnica dotyčnice y = x bude mať tvar y = (2t + b)x + c - t 2 a rovnica dotyčnice y = - 2x bude mať tvar y = (2p + b)x + c - p 2 .

Zostavte a vyriešte sústavu rovníc

odpoveď:

Úlohy na samostatné riešenie

1. Napíšte rovnice dotyčníc nakreslených ku grafu funkcie y = 2x 2 - 4x + 3 v priesečníkoch grafu s priamkou y = x + 3.

Odpoveď: y \u003d - 4x + 3, y \u003d 6x - 9,5.

2. Pre aké hodnoty a prechádza dotyčnica nakreslená ku grafu funkcie y \u003d x 2 - os v bode grafu s os x 0 \u003d 1 cez bod M (2; 3) ?

Odpoveď: a = 0,5.

3. Pre aké hodnoty p sa priamka y = px - 5 dotýka krivky y = 3x 2 - 4x - 2?

Odpoveď: p 1 \u003d - 10, p 2 \u003d 2.

4. Nájdite všetky spoločné body grafu funkcie y = 3x - x 3 a dotyčnicu nakreslenú k tomuto grafu cez bod P(0; 16).

Odpoveď: A(2; - 2), B (- 4; 52).

5. Nájdite najkratšiu vzdialenosť medzi parabolou y = x 2 + 6x + 10 a priamkou

odpoveď:

6. Na krivke y \u003d x 2 - x + 1 nájdite bod, v ktorom je dotyčnica ku grafu rovnobežná s priamkou y - 3x + 1 \u003d 0.

Odpoveď: M(2; 3).

7. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y = x 2 + 2x - | 4x | ktorý sa ho dotýka v dvoch bodoch. Urobte si kresbu.

Odpoveď: y = 2x - 4.

8. Dokážte, že priamka y = 2x – 1 nepretína krivku y = x 4 + 3x 2 + 2x. Nájdite vzdialenosť medzi ich najbližšími bodmi.

odpoveď:

9. Na parabole y \u003d x 2 sa zoberú dva body s úsečkami x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 3. Cez tieto body sa nakreslí sečna. V ktorom bode paraboly bude dotyčnica k nej rovnobežná s nakreslenou sečnicou? Napíšte rovnice pre sečnicu a dotyčnicu.

Odpoveď: y \u003d 4x - 3 - rovnica sečny; y = 4x – 4 je rovnica dotyčnice.

10. Nájdite uhol q medzi dotyčnicami ku grafu funkcie y \u003d x 3 - 4x 2 + 3x + 1, nakreslených v bodoch s os 0 a 1.

Odpoveď: q = 45°.

11. V ktorých bodoch zviera dotyčnica ku grafu funkcie s osou Ox uhol 135°?

Odpoveď: A(0; - 1), B(4; 3).

12. V bode A(1; 8) ku krivke nakreslí sa dotyčnica. Nájdite dĺžku dotyčnicového segmentu uzavretého medzi súradnicovými osami.

odpoveď:

13. Napíšte rovnicu všetkých spoločných dotyčníc ku grafom funkcií y \u003d x 2 - x + 1 a y \u003d 2x 2 - x + 0,5.

Odpoveď: y = - 3x a y = x.

14. Nájdite vzdialenosť medzi dotyčnicami ku grafu funkcie rovnobežne s osou x.

odpoveď:

15. Určte, pod akými uhlami parabola y \u003d x 2 + 2x - 8 pretína os x.

Odpoveď: q 1 \u003d arctan 6, q 2 \u003d arctan (- 6).

16. Na grafe funkcie nájdite všetky body, z ktorých dotyčnica k tomuto grafu pretína kladné poloosi súradníc a oddeľuje od nich rovnaké segmenty.

Odpoveď: A(-3; 11).

17. Priamka y = 2x + 7 a parabola y = x 2 – 1 sa pretínajú v bodoch M a N. Nájdite priesečník K priamok dotýkajúcich sa paraboly v bodoch M a N.

Odpoveď: K(1; - 9).

18. Pre aké hodnoty b je priamka y \u003d 9x + b dotyčnica ku grafu funkcie y \u003d x 3 - 3x + 15?

Odpoveď: - 1; 31.

19. Pre aké hodnoty k má priamka y = kx – 10 iba jeden spoločný bod s grafom funkcie y = 2x 2 + 3x – 2? Pre nájdené hodnoty k určite súradnice bodu.

Odpoveď: k1 = - 5, A(- 2; 0); k2 = 11, B(2; 12).

20. Pre aké hodnoty b prechádza dotyčnica nakreslená ku grafu funkcie y = bx 3 – 2x 2 – 4 v bode s os x 0 = 2 bodom M(1; 8)?

Odpoveď: b = - 3.

21. Parabola s vrcholom na osi Ox sa dotýka priamky prechádzajúcej bodmi A(1; 2) a B(2; 4) v bode B. Nájdite rovnicu paraboly.

odpoveď:

22. Pri akej hodnote koeficientu k sa parabola y \u003d x 2 + kx + 1 dotýka osi Ox?

Odpoveď: k = q 2.

23. Nájdite uhly medzi priamkou y = x + 2 a krivkou y = 2x 2 + 4x - 3.

29. Nájdite vzdialenosť medzi dotyčnicami ku grafu generátorov funkcií s kladným smerom osi Ox pod uhlom 45°.

odpoveď:

30. Nájdite ťažisko vrcholov všetkých parabol v tvare y = x 2 + ax + b dotýkajúcich sa priamky y = 4x - 1.

Odpoveď: priamka y = 4x + 3.

Literatúra

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra a začiatky analýzy: 3600 problémov pre školákov a uchádzačov o univerzitu. - M., Drop, 1999.
2. Mordkovich A. Štvrtý seminár pre mladých učiteľov. Témou je „Aplikácie odvodených“. - M., "Matematika", č. 21/94.
3. Formovanie vedomostí a zručností na základe teórie postupnej asimilácie mentálnych akcií. / Ed. P.Ya. Galperin, N.F. Talyzina. - M., Moskovská štátna univerzita, 1968.