Definícia. Ak sú dané dve čiary y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , potom ostrý roh medzi týmito riadkami budú definované ako

Dve priamky sú rovnobežné, ak k 1 = k 2 . Dve čiary sú kolmé, ak k 1 = -1/ k 2 .

Veta. Priamky Ax + Vy + C \u003d 0 a A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sú rovnobežné, keď sú koeficienty A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB úmerné. Ak aj С 1 = λС, potom sa čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.

Rovnica prechádzajúcej priamky daný bod

Kolmo na túto čiaru

Definícia.Čiara prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmá na priamku y \u003d kx + b je reprezentovaná rovnicou:

Vzdialenosť od bodu k čiare

Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom je vzdialenosť k priamke Ax + Vy + C \u003d 0 definovaná ako

.

Dôkaz. Nech je bod M 1 (x 1, y 1) základňou kolmice spadnutej z bodu M na danú priamku. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:

(1)

Súradnice x 1 a y 1 možno nájsť ako riešenie systému rovníc:

Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmým na danú priamku. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potom pri riešení dostaneme:

Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:

Veta bola dokázaná.

Príklad. Určte uhol medzi čiarami: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p/4.

Príklad. Ukážte, že priamky 3x - 5y + 7 = 0 a 10x + 6y - 3 = 0 sú kolmé.

Riešenie. Nájdeme: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, preto sú čiary kolmé.

Príklad. Uvedené sú vrcholy trojuholníka A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Nájdite rovnicu pre výšku nakreslenú z vrcholu C.

Riešenie. Nájdeme rovnicu strany AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3r + 3 = 0;

Požadovaná výšková rovnica je: Ax + By + C = 0 alebo y = kx + b. k = . Potom y =. Pretože výška prechádza bodom C, potom jej súradnice spĺňajú túto rovnicu: odkiaľ b = 17. Spolu: .

Odpoveď: 3x + 2 roky - 34 = 0.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom v danom smere. Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi. Uhol medzi dvoma čiarami. Podmienka rovnobežnosti a kolmosti dvoch priamok. Určenie priesečníka dvoch priamok

1. Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom A(X 1 , r 1) v danom smere, určenom sklonom k,

r - r 1 = k(X - X 1). (1)

Táto rovnica definuje ceruzku čiar prechádzajúcich bodom A(X 1 , r 1), ktorý sa nazýva stred lúča.

2. Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva body: A(X 1 , r 1) a B(X 2 , r 2) píše sa takto:

Sklon priamky prechádzajúcej cez dva dané body je určený vzorcom

3. Uhol medzi rovnými čiarami A a B je uhol, o ktorý sa musí otočiť prvá priamka A okolo priesečníka týchto čiar proti smeru hodinových ručičiek, kým sa nezhoduje s druhou čiarou B. Ak sú dve čiary dané rovnicami sklonu

r = k 1 X + B 1 ,

r = k 2 X + B 2 , (4)

potom je uhol medzi nimi určený vzorcom

Treba poznamenať, že v čitateli zlomku sa sklon prvej priamky odpočítava od sklonu druhej priamky.

Ak sú rovnice priamky uvedené v všeobecný pohľad

A 1 X + B 1 r + C 1 = 0,

A 2 X + B 2 r + C 2 = 0, (6)

uhol medzi nimi je určený vzorcom

4. Podmienky pre rovnobežnosť dvoch čiar:

a) Ak sú priamky dané rovnicami (4) so ​​sklonom, potom nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou ich rovnobežnosti je rovnosť ich sklonov:

k 1 = k 2 . (8)

b) Pre prípad, keď sú priamky dané rovnicami vo všeobecnom tvare (6), je nutnou a postačujúcou podmienkou ich rovnobežnosti, aby koeficienty na zodpovedajúcich súradniciach prúdu v ich rovniciach boli úmerné, t.j.

5. Podmienky pre kolmosť dvoch čiar:

a) V prípade, keď sú priamky dané rovnicami (4) so ​​sklonom, nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou ich kolmosti je, aby ich sklony boli veľkosťou vzájomné a opačného znamienka, t.j.

Túto podmienku je možné zapísať aj do formulára

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Ak sú rovnice priamok uvedené vo všeobecnom tvare (6), tak podmienkou ich kolmosti (nutnej a postačujúcej) je splnenie rovnosti

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Súradnice priesečníka dvoch priamok nájdeme riešením sústavy rovníc (6). Čiary (6) sa pretínajú vtedy a len vtedy

1. Napíšte rovnice priamok prechádzajúcich bodom M, z ktorých jedna je rovnobežná a druhá kolmá na danú priamku l.

Úloha 1

Nájdite kosínus uhla medzi čiarami $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ a $\left\( \začiatok(pole )(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \end(pole)\vpravo.$.

Nech sú v priestore uvedené dva riadky: $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_( 1) )(p_(1) ) $ a $\frac(x-x_(2) )(m_(2) ) =\frac(y-y_(2) )(n_(2) ) =\frac(z - z_(2) )(p_(2) ) $. Zvolíme si ľubovoľný bod v priestore a nakreslíme ním dve pomocné čiary, rovnobežné s údajmi. Uhol medzi danými čiarami je ktorýkoľvek z týchto dvoch priľahlé rohy tvorené pomocnými čiarami. Kosínus jedného z uhlov medzi čiarami možno nájsť od dobre známy vzorec$\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) +p_(1) \cdot p_(2) )(\sqrt(m_(1) ^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2)^(2) +n_(2)^(2) +p_(2) ^(2) ) ) $. Ak je hodnota $\cos \phi >0$, potom sa získa ostrý uhol medzi čiarami, ak $\cos \phi

Kanonické rovnice prvého riadku: $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $.

Kanonické rovnice druhej priamky možno získať z parametrických:

\ \ \

Kanonické rovnice tohto riadku sú teda: $\frac(x+3)(2) =\frac(y-1)(-1) =\frac(z-5)(3) $.

Vypočítame:

\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\left(-3\right)\cdot \left(-1\right)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\ left(-3\right)^(2) +4^(2) ) \cdot \sqrt(2^(2) +\left(-1\right)^(2) +3^(2) ) ) = \frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) ) \približne 0,9449.\]

Úloha 2

Prvý riadok prechádza dané body$A\left(2,-4,-1\right)$ a $B\left(-3,5,6\right)$, druhý riadok je cez dané body $C\left(1,-2 , 8\vpravo)$ a $D\vľavo(6,7,-2\vpravo)$. Nájdite vzdialenosť medzi týmito čiarami.

Nech je nejaká priamka kolmá na priamky $AB$ a $CD$ a pretína ich v bodoch $M$ a $N$. Za týchto podmienok sa dĺžka segmentu $MN$ rovná vzdialenosti medzi čiarami $AB$ a $CD$.

Zostavíme vektor $\overline(AB)$:

\[\overline(AB)=\left(-3-2\right)\cdot \bar(i)+\left(5-\left(-4\right)\right)\cdot \bar(j)+ \left(6-\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k ).\]

Nechajte úsečku predstavujúcu vzdialenosť medzi priamkami prechádzať bodom $M\left(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \right)$ na priamke $AB$.

Zostavíme vektor $\overline(AM)$:

\[\overline(AM)=\left(x_(M) -2\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(M) -\left(-4\right)\right)\cdot \ pruh(j)+\vľavo(z_(M) -\vľavo(-1\vpravo)\vpravo)\cdot \bar(k)=\] \[=\vľavo(x_(M) -2\vpravo)\ cdot \bar(i)+\left(y_(M) +4\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(M) +1\right)\cdot \bar(k).\]

Vektory $\overline(AB)$ a $\overline(AM)$ sú rovnaké, preto sú kolineárne.

Je známe, že ak vektory $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ a $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$ sú kolineárne, potom ich súradnice sú úmerné, potom je $\frac(x_((\it 2)) )((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2)) )((\it y)_( (\it 1)) ) =\frac(z_((\it 2)) )((\it z)_((\it 1)) ) $.

$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, kde $m $ je výsledkom delenia.

Odtiaľ dostaneme: $x_(M) -2=-5\cdot m$; $y_(M) +4=9\cdot m$; $z_(M) +1=7\cdot m$.

Nakoniec získame výrazy pre súradnice bodu $M$:

Vytvoríme vektor $\overline(CD)$:

\[\overline(CD)=\left(6-1\right)\cdot \bar(i)+\left(7-\left(-2\right)\right)\cdot \bar(j)+\ left(-2-8\right)\cdot \bar(k)=5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)-10\cdot \bar(k).\]

Nechajte úsečku predstavujúcu vzdialenosť medzi čiarami prechádzať bodom $N\left(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ na priamke $CD$.

Zostrojíme vektor $\overline(CN)$:

\[\overline(CN)=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -\left(-2\right)\right)\cdot \ pruh(j)+\vľavo(z_(N) -8\vpravo)\cdot \bar(k)=\] \[=\vľavo(x_(N) -1\vpravo)\cdot \bar(i)+ \left(y_(N) +2\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k).\]

Vektory $\overline(CD)$ a $\overline(CN)$ sú rovnaké, preto sú kolineárne. Aplikujeme podmienku kolineárnych vektorov:

$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8)(-10) =n$ kde $n $ je výsledkom rozdelenia.

Odtiaľ dostaneme: $x_(N) -1=5\cdot n$; $y_(N) +2=9\cdot n$; $z_(N) -8=-10\cdot n$.

Nakoniec získame výrazy pre súradnice bodu $N$:

Vytvoríme vektor $\overline(MN)$:

\[\overline(MN)=\left(x_(N) -x_(M) \right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -y_(M) \right)\cdot \bar (j)+\vľavo(z_(N) -z_(M) \vpravo)\cdot \bar(k).\]

Dosadíme výrazy za súradnice bodov $M$ a $N$:

\[\overline(MN)=\left(1+5\cdot n-\left(2-5\cdot m\right)\right)\cdot \bar(i)+\] \[+\left(- 2+9\cdot n-\vľavo(-4+9\cdot m\vpravo)\vpravo)\cdot \bar(j)+\vľavo(8-10\cbodka n-\vľavo(-1+7\cdot m\vpravo)\vpravo)\cdot \bar(k).\]

Po dokončení krokov dostaneme:

\[\overline(MN)=\left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)\cdot \bar(i)+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\right )\cdot \bar(j)+\left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)\cdot \bar(k).\]

Keďže čiary $AB$ a $MN$ sú kolmé, skalárny súčin zodpovedajúcich vektorov sa rovná nule, t.j. $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:

\[-5\cdot \left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)+9\cdot \left(2+9\cdot n-9\cdot m\right)+7\cdot \ left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)=0;\] \

Po dokončení krokov dostaneme prvú rovnicu na určenie $m$ a $n$: $155\cdot m+14\cdot n=86$.

Keďže čiary $CD$ a $MN$ sú kolmé, skalárny súčin zodpovedajúcich vektorov sa rovná nule, t.j. $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:

\ \[-5+25\cdot n+25\cdot m+18+81\cdot n-81\cdot m-90+100\cdot n+70\cdot m=0.\]

Po dokončení krokov získame druhú rovnicu na určenie $m$ a $n$: $14\cdot m+206\cdot n=77$.

Nájdite $m$ a $n$ vyriešením sústavy rovníc $\left\(\begin(pole)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206\ cdot n =77) \end(pole)\vpravo.$.

Aplikujeme Cramerovu metódu:

\[\Delta =\left|\begin(pole)(cc) (155) & (14) \\ (14) & (206) \end(pole)\right|=31734; \] \[\Delta _(m) =\left|\začiatok(pole)(cc) (86) & (14) \\ (77) & (206) \koniec(pole)\vpravo|=16638; \] \[\Delta _(n) =\left|\začiatok(pole)(cc) (155) & (86) \\ (14) & (77) \koniec(pole)\vpravo|=10731;\ ]\

Nájdite súradnice bodov $M$ a $N$:

\ \

Nakoniec:

Nakoniec napíšeme vektor $\overline(MN)$:

$\overline(MN)=\left(2,691-\left(-0,6215\right)\right)\cdot \bar(i)+\left(1,0438-0,7187\right)\cdot \bar (j)+\vľavo (4,618-2,6701\right)\cdot \bar(k)$ alebo $\overline(MN)=3,3125\cdot \bar(i)+0,3251\cdot \bar(j)+1,9479\cdot \bar(k)$.

Vzdialenosť medzi čiarami $AB$ a $CD$ je dĺžka vektora $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3,3125^(2) +0,3251^(2) +1,9479^( 2) ) \ približne 3,8565 $ lin. Jednotky

Ach-och-och-och-och ... no je to plechové, ako keby ste si tú vetu prečítali sami =) Vtedy však pomôže relax, hlavne, že dnes som si kúpila vhodné doplnky. Preto prejdime k prvej časti, dúfam, že do konca článku si zachovám veselú náladu.

Vzájomné usporiadanie dvoch priamych línií

Prípad, keď sála spieva v zbore. Môžu byť dva riadky:

1) zápas;

2) byť paralelné: ;

3) alebo sa pretínajú v jednom bode: .

Pomoc pre figuríny : zapamätajte si prosím matematické znamienko križovatky , vyskytuje sa veľmi často. Zadanie znamená, že čiara sa pretína s čiarou v bode.

Ako určiť vzájomnú polohu dvoch čiar?

Začnime prvým prípadom:

Dve čiary sa zhodujú vtedy a len vtedy, ak sú ich príslušné koeficienty proporcionálne, teda je tam také číslo "lambda", že tie rovnosti

Uvažujme rovné čiary a zo zodpovedajúcich koeficientov zostavme tri rovnice: . Z každej rovnice vyplýva, že tieto čiary sa teda zhodujú.

Vskutku, ak sú všetky koeficienty rovnice vynásobte -1 (zmeníte znamienka) a znížte všetky koeficienty rovnice o 2, dostanete rovnakú rovnicu: .

Druhý prípad, keď sú čiary rovnobežné:

Dve čiary sú rovnobežné vtedy a len vtedy, ak sú ich koeficienty v premenných proporcionálne: , ale.

Ako príklad zvážte dve priame čiary. Skontrolujeme proporcionalitu zodpovedajúcich koeficientov pre premenné:

Je však jasné, že .

A tretí prípad, keď sa čiary pretínajú:

Dve čiary sa pretínajú vtedy a len vtedy, ak ich koeficienty premenných NIE sú proporcionálne, to znamená, že NIE JE taká hodnota "lambda", aby boli splnené rovnosti

Takže pre priame čiary zostavíme systém:

Z prvej rovnice vyplýva, že a z druhej rovnice: , teda, systém je nekonzistentný(žiadne riešenia). Koeficienty premenných teda nie sú proporcionálne.

Záver: čiary sa pretínajú

V praktických problémoch možno použiť práve uvažovanú schému riešenia. Mimochodom, je to veľmi podobné algoritmu na kontrolu kolinearity vektorov, o ktorom sme uvažovali v lekcii. Pojem lineárnej (ne)závislosti vektorov. Vektorový základ. Existuje však civilizovanejší balík:

Príklad 1

Zistite relatívnu polohu čiar:

Riešenie založené na štúdiu smerových vektorov priamych čiar:

a) Z rovníc nájdeme smerové vektory priamok: .

, takže vektory nie sú kolineárne a čiary sa pretínajú.

Pre každý prípad dám na križovatku kameň s ukazovateľmi:

Zvyšok preskočí kameň a pokračuje priamo ku Kašcheiovi Smrťujúcemu =)

b) Nájdite smerové vektory čiar:

Čiary majú rovnaký smerový vektor, čo znamená, že sú buď rovnobežné, alebo rovnaké. Tu determinant nie je potrebný.

Je zrejmé, že koeficienty neznámych sú úmerné, zatiaľ čo .

Poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá:

Touto cestou,

c) Nájdite smerové vektory čiar:

Vypočítajme determinant zložený zo súradníc týchto vektorov:
, preto sú smerové vektory kolineárne. Čiary sú buď rovnobežné, alebo sa zhodujú.

Faktor proporcionality "lambda" je ľahko viditeľný priamo z pomeru vektorov kolineárneho smeru. Dá sa to však zistiť aj prostredníctvom koeficientov samotných rovníc: .

Teraz poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá. Oba voľné termíny sú nulové, takže:

Výsledná hodnota spĺňa túto rovnicu (vo všeobecnosti ju spĺňa akékoľvek číslo).

Čiary sa teda zhodujú.

Odpoveď:

Veľmi skoro sa naučíte (alebo dokonca ste sa už naučili) riešiť uvažovaný problém slovne doslova v priebehu niekoľkých sekúnd. V tomto ohľade nevidím dôvod ponúkať niečo pre nezávislé riešenie, je lepšie položiť do geometrického základu ešte jednu dôležitú tehlu:

Ako nakresliť čiaru rovnobežnú s danou?

Za neznalosť tejto najjednoduchšej úlohy slávik zbojník tvrdo trestá.

Príklad 2

Priamka je daná rovnicou . Napíšte rovnicu pre rovnobežku, ktorá prechádza bodom.

Riešenie: Neznámy riadok označte písmenom . Čo o tom hovorí podmienka? Čiara prechádza bodom. A ak sú priamky rovnobežné, tak je zrejmé, že smerový vektor priamky „ce“ je vhodný aj na zostrojenie priamky „de“.

Z rovnice vyberieme smerový vektor:

Odpoveď:

Geometria príkladu vyzerá jednoducho:

Analytické overenie pozostáva z nasledujúcich krokov:

1) Skontrolujeme, či priamky majú rovnaký smerový vektor (ak rovnica priamky nie je správne zjednodušená, vektory budú kolineárne).

2) Skontrolujte, či bod vyhovuje výslednej rovnici.

Analytické overenie je vo väčšine prípadov jednoduché vykonať ústne. Pozrite sa na dve rovnice a mnohí z vás rýchlo prídu na to, ako sú čiary rovnobežné bez akéhokoľvek kreslenia.

Príklady na samoriešenie dnes budú kreatívne. Pretože stále musíte súťažiť s Babou Yagou a ona, viete, je milovníčkou všetkých druhov hádaniek.

Príklad 3

Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom rovnobežným s priamkou ak

Existuje racionálny a nie veľmi racionálny spôsob riešenia. Najkratšia cesta je na konci hodiny.

Trochu sme pracovali s paralelnými čiarami a vrátime sa k nim neskôr. Prípad zhodujúcich sa čiar je málo zaujímavý, preto zvážte problém, ktorý je vám dobre známy školské osnovy:

Ako nájsť priesečník dvoch čiar?

Ak rovno pretínajú v bode , potom sú riešením jeho súradnice sústavy lineárnych rovníc

Ako nájsť priesečník čiar? Vyriešte systém.

Tu je pre vás geometrický význam sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi sú dve pretínajúce sa (najčastejšie) priamky v rovine.

Príklad 4

Nájdite priesečník čiar

Riešenie: Existujú dva spôsoby riešenia - grafický a analytický.

Grafický spôsob je jednoducho nakresliť dané čiary a zistiť priesečník priamo z výkresu:

Tu je naša pointa: . Pre kontrolu by ste mali nahradiť jej súradnice do každej rovnice priamky, mali by sa zmestiť tam aj tam. Inými slovami, súradnice bodu sú riešením systému . V skutočnosti sme zvažovali grafický spôsob riešenia sústavy lineárnych rovníc s dvoma rovnicami, dvoma neznámymi.

Grafická metóda, samozrejme, nie je zlá, ale existujú značné nevýhody. Nie, nejde o to, že siedmaci sa takto rozhodujú, ide o to, že správny a PRESNÝ nákres potrvá. Navyše, niektoré čiary nie je také ľahké zostrojiť a samotný priesečník môže byť niekde v tridsiatom kráľovstve mimo listu zošita.

Preto je vhodnejšie hľadať priesečník analytická metóda. Poďme vyriešiť systém:

Na riešenie systému bola použitá metóda termického sčítania rovníc. Ak chcete rozvíjať príslušné zručnosti, navštívte lekciu Ako vyriešiť sústavu rovníc?

Odpoveď:

Overenie je triviálne - súradnice priesečníka musia spĺňať každú rovnicu systému.

Príklad 5

Nájdite priesečník čiar, ak sa pretínajú.

Toto je príklad „urob si sám“. Úlohu možno pohodlne rozdeliť do niekoľkých etáp. Analýza stavu naznačuje, že je potrebné:
1) Napíšte rovnicu priamky.
2) Napíšte rovnicu priamky.
3) Zistite vzájomnú polohu čiar.
4) Ak sa čiary pretínajú, nájdite priesečník.

Pre mnohých je typický vývoj akčného algoritmu geometrické problémy, a budem sa tomu venovať opakovane.

Kompletné riešenie a odpoveď na konci lekcie:

Pár topánok ešte nebol opotrebovaný, pretože sme sa dostali k druhej časti lekcie:

Kolmé čiary. Vzdialenosť od bodu k čiare.
Uhol medzi čiarami

Začnime typickou a veľmi dôležitou úlohou. V prvej časti sme sa naučili postaviť priamku rovnobežnú s danou a teraz sa chatrč na kuracích stehnách otočí o 90 stupňov:

Ako nakresliť čiaru kolmú na danú?

Príklad 6

Priamka je daná rovnicou . Napíšte rovnicu pre kolmicu prechádzajúcu bodom.

Riešenie: Je známe, že . Bolo by pekné nájsť smerový vektor priamky. Keďže čiary sú kolmé, trik je jednoduchý:

Z rovnice „odstránime“ normálový vektor: , ktorý bude smerovacím vektorom priamky.

Zostavíme rovnicu priamky bodom a smerovacím vektorom:

Odpoveď:

Rozvinieme geometrický náčrt:

Hmmm... Oranžová obloha, oranžové more, oranžová ťava.

Analytické overenie riešenia:

1) Vytiahnite smerové vektory z rovníc a s pomocou bodový súčin vektorov dospejeme k záveru, že priamky sú skutočne kolmé: .

Mimochodom, môžete použiť normálne vektory, je to ešte jednoduchšie.

2) Skontrolujte, či bod vyhovuje výslednej rovnici .

Overenie je opäť jednoduché vykonať verbálne.

Príklad 7

Nájdite priesečník kolmých čiar, ak je rovnica známa a bodka.

Toto je príklad „urob si sám“. V úlohe je viacero akcií, preto je vhodné usporiadať riešenie bod po bode.

Naša vzrušujúca cesta pokračuje:

Vzdialenosť od bodu k čiare

Pred nami je rovný pás rieky a našou úlohou je dostať sa k nemu čo najkratšou cestou. Neexistujú žiadne prekážky a najoptimálnejšou trasou bude pohyb po kolmici. To znamená, že vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmého segmentu.

Vzdialenosť v geometrii sa tradične označuje gréckym písmenom "ro", napríklad: - vzdialenosť od bodu "em" k priamke "de".

Vzdialenosť od bodu k čiare sa vyjadruje vzorcom

Príklad 8

Nájdite vzdialenosť od bodu k čiare

Riešenie: všetko, čo potrebujete, je starostlivo nahradiť čísla do vzorca a vykonať výpočty:

Odpoveď:

Vykonajte kreslenie:

Zistená vzdialenosť od bodu k čiare je presne dĺžka červeného segmentu. Ak kreslíte na kockovaný papier v mierke 1 jednotky. \u003d 1 cm (2 bunky), potom je možné vzdialenosť zmerať bežným pravítkom.

Zvážte ďalšiu úlohu podľa toho istého výkresu:

Úlohou je nájsť súradnice bodu, ktorý je symetrický k bodu vzhľadom na priamku . Navrhujem vykonať akcie sami, načrtnem však algoritmus riešenia s priebežnými výsledkami:

1) Nájdite priamku, ktorá je kolmá na priamku.

2) Nájdite priesečník čiar: .

Obe akcie sú podrobne diskutované v tejto lekcii.

3) Bod je stredom segmentu. Poznáme súradnice stredu a jedného z koncov. Autor: vzorce pre súradnice stredu segmentu Nájsť .

Nebude zbytočné kontrolovať, či sa vzdialenosť rovná aj 2,2 jednotkám.

Ťažkosti tu môžu nastať pri výpočtoch, ale vo veži veľmi pomáha mikrokalkulačka, ktorá vám umožní počítať bežné zlomky. Radil som mnohokrát a budem odporúčať znova.

Ako nájsť vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami?

Príklad 9

Nájdite vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami

Toto je ďalší príklad nezávislého riešenia. Malá nápoveda: spôsobov riešenia je nekonečne veľa. Zhrnutie na konci hodiny, ale radšej si to skúste uhádnuť sami, myslím, že sa vám podarilo dobre rozptýliť svoju vynaliezavosť.

Uhol medzi dvoma čiarami

Akýkoľvek roh, potom zárubňa:


V geometrii sa uhol medzi dvoma priamkami berie ako MENŠÍ uhol, z čoho automaticky vyplýva, že nemôže byť tupý. Na obrázku sa uhol označený červeným oblúkom nepovažuje za uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami. A jeho “zelený” sused resp opačne orientované karmínový roh.

Ak sú čiary kolmé, potom ktorýkoľvek zo 4 uhlov možno považovať za uhol medzi nimi.

Ako sa líšia uhly? Orientácia. Po prvé, smer „rolovania“ rohu je zásadne dôležitý. Po druhé, negatívne orientovaný uhol sa zapíše so znamienkom mínus, napríklad ak .

Prečo som to povedal? Zdá sa, že si vystačíte s obvyklou koncepciou uhla. Faktom je, že vo vzorcoch, podľa ktorých nájdeme uhly, možno ľahko získať negatívny výsledok, čo by vás nemalo prekvapiť. Uhol so znamienkom mínus nie je o nič horší a má veľmi špecifický geometrický význam. Na výkrese pre záporný uhol je nevyhnutné označiť jeho orientáciu (v smere hodinových ručičiek) šípkou.

Ako nájsť uhol medzi dvoma čiarami? Existujú dva pracovné vzorce:

Príklad 10

Nájdite uhol medzi čiarami

Riešenie a Metóda jedna

Zvážte dva riadky dané rovnicami všeobecne:

Ak rovno nie kolmá, potom orientovaný uhol medzi nimi možno vypočítať pomocou vzorca:

Pozorne si všímajme menovateľa – presne taký je skalárny produkt smerové vektory priamych čiar:

Ak , potom menovateľ vzorca zmizne a vektory budú ortogonálne a čiary budú kolmé. Preto bola vznesená výhrada k nekolmosti čiar vo formulácii.

Na základe vyššie uvedeného je riešenie pohodlne formalizované v dvoch krokoch:

1) Vypočítajte skalárny súčin smerových vektorov priamych čiar:
takže čiary nie sú kolmé.

2) Uhol medzi čiarami nájdeme podľa vzorca:

Používaním inverzná funkciaľahké nájsť samotný roh. V tomto prípade použijeme nepárnosť arkus tangenty (pozri obr. Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií):

Odpoveď:

V odpovedi uvádzame presnú hodnotu, ako aj približnú hodnotu (najlepšie v stupňoch aj v radiánoch), vypočítanú pomocou kalkulačky.

No mínus, tak mínus, je to v poriadku. Tu je geometrická ilustrácia:

Nie je prekvapujúce, že sa ukázalo, že uhol má negatívnu orientáciu, pretože v stave problému je prvé číslo priamka a „krútenie“ uhla začalo presne od nej.

Ak naozaj chcete získať kladný uhol, musíte zameniť priame čiary, to znamená vziať koeficienty z druhej rovnice a zoberte koeficienty z prvej rovnice. Stručne povedané, musíte začať s priamym .

Budem stručný. Uhol medzi dvoma čiarami rovný uhlu medzi ich smerovými vektormi. Ak sa vám teda podarí nájsť súradnice smerových vektorov a \u003d (x 1; y 1; z 1) a b \u003d (x 2; y 2; z 2), môžete nájsť uhol. Presnejšie, kosínus uhla podľa vzorca:

Pozrime sa, ako tento vzorec funguje na konkrétnych príkladoch:

Úloha. Body E a F sú označené v kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - stredy hrán A 1 B 1 a B 1 C 1, v tomto poradí. Nájdite uhol medzi čiarami AE a BF.

Keďže hrana kocky nie je špecifikovaná, nastavíme AB = 1. Zavedieme štandardný súradnicový systém: počiatok je v bode A a osi x, y, z smerujú pozdĺž AB, AD a AA 1, v tomto poradí. . Jednotkový segment sa rovná AB = 1. Teraz nájdime súradnice smerových vektorov pre naše čiary.

Nájdite súradnice vektora AE. Na to potrebujeme body A = (0; 0; 0) a E = (0,5; 0; 1). Pretože bod E je stredom úsečky A 1 B 1, jeho súradnice sa rovnajú aritmetickému priemeru súradníc koncov. Všimnite si, že počiatok vektora AE sa zhoduje s počiatkom, takže AE = (0,5; 0; 1).

Teraz sa poďme zaoberať BF vektorom. Podobne analyzujeme body B = (1; 0; 0) a F = (1; 0,5; 1), pretože F - stred segmentu B 1 C 1 . Máme:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Smerové vektory sú teda pripravené. Kosínus uhla medzi čiarami je kosínus uhla medzi smerovými vektormi, takže máme:

Úloha. V pravidelnom trojstennom hranole ABCA 1 B 1 C 1, ktorého všetky hrany sú rovné 1, sú vyznačené body D a E - stredy hrán A 1 B 1 a B 1 C 1, v tomto poradí. Nájdite uhol medzi čiarami AD a BE.

Zavádzame štandardný súradnicový systém: počiatok je v bode A, os x smeruje pozdĺž AB, z - pozdĺž AA 1 . Os y nasmerujeme tak, aby sa rovina OXY zhodovala s rovinou ABC. Jednotkový segment sa rovná AB = 1. Nájdite súradnice smerových vektorov pre požadované čiary.

Najprv nájdime súradnice vektora AD. Zvážte body: A = (0; 0; 0) a D = (0,5; 0; 1), pretože D - stred segmentu A 1 B 1 . Keďže začiatok vektora AD sa zhoduje s počiatkom, dostaneme AD = (0,5; 0; 1).

Teraz nájdime súradnice vektora BE. Bod B = (1; 0; 0) sa dá ľahko vypočítať. S bodom E - stredom segmentu C 1 B 1 - trochu komplikovanejšie. Máme:

Zostáva nájsť kosínus uhla:

Úloha. V pravidelnom šesťhrannom hranole ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, ktorého všetky hrany sú rovné 1, sú označené body K a L - stredy hrán A 1 B 1 a B 1 C 1, resp. Nájdite uhol medzi čiarami AK a BL.

Zavádzame štandardný súradnicový systém pre hranol: počiatok súradníc umiestnime do stredu spodnej základne, nasmerujeme os x pozdĺž FC, os y cez stredy segmentov AB a DE a os z kolmo nahor. Jednotkový segment sa opäť rovná AB = 1. Vypíšme súradnice bodov záujmu, ktoré nás zaujímajú:

Body K a L sú stredovými bodmi segmentov A 1 B 1 a B 1 C 1, takže ich súradnice sa nachádzajú aritmetickým priemerom. Keď poznáme body, nájdeme súradnice smerových vektorov AK a BL:

Teraz nájdime kosínus uhla:

Úloha. V pravidelnej štvorhrannej pyramíde SABCD, ktorej všetky hrany sú rovné 1, sú označené body E a F - stredy strán SB a SC. Nájdite uhol medzi čiarami AE a BF.

Zavádzame štandardný súradnicový systém: počiatok je v bode A, osi x a y sú nasmerované pozdĺž AB a AD a os z smeruje vertikálne nahor. Jednotkový segment sa rovná AB = 1.

Body E a F sú stredovými bodmi segmentov SB a SC, takže ich súradnice sa nachádzajú ako aritmetický priemer koncov. Zapisujeme si súradnice bodov záujmu:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Keď poznáme body, nájdeme súradnice smerových vektorov AE a BF:

Súradnice vektora AE sa zhodujú so súradnicami bodu E, keďže bod A je počiatok. Zostáva nájsť kosínus uhla:

Článok hovorí o hľadaní uhla medzi rovinami. Po prinesení definície nastavíme grafické znázornenie, zvážime podrobnú metódu hľadania súradníc metódou. Získame vzorec pre pretínajúce sa roviny, ktorý obsahuje súradnice normálne vektory.

Materiál bude využívať údaje a koncepty, ktoré boli predtým študované v článkoch o rovine a priamke vo vesmíre. Na začiatok je potrebné prejsť k úvahám, ktoré umožňujú určitý prístup k určovaniu uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Sú dané dve pretínajúce sa roviny γ 1 a γ 2. Ich priesečník dostane označenie c . Konštrukcia roviny χ je spojená s priesečníkom týchto rovín. Rovina χ prechádza bodom M ako priamka c. Roviny γ 1 a γ 2 budú pretínané pomocou roviny χ. Prijmeme označenie priamky pretínajúcej γ 1 a χ pre priamku a a pretínajúcej γ 2 a χ pre priamku b. Dostaneme, že priesečník priamok a a b dáva bod M .

Umiestnenie bodu M neovplyvňuje uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b a bod M leží na priamke c, ktorou prechádza rovina χ.

Je potrebné zostrojiť rovinu χ 1 kolmú na priamku c a odlišnú od roviny χ . Priesečník rovín γ 1 a γ 2 pomocou χ 1 dostane označenie priamok a 1 a b 1 .

Je vidieť, že pri zostrojení χ a χ 1 sú priamky a a b kolmé na priamku c, potom a 1, b 1 sú kolmé na priamku c. Ak nájdeme priamky a a a 1 v rovine γ 1 s kolmosťou na priamku c, môžeme ich považovať za rovnobežné. Rovnakým spôsobom umiestnenie b a b 1 v rovine γ 2 s kolmosťou priamky c naznačuje ich rovnobežnosť. To znamená, že je potrebné vykonať paralelný prenos roviny χ 1 na χ, kde dostaneme dve zhodné priamky a a a 1 , b a b 1 . Dostaneme, že uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b 1 sa rovná uhlu pretínajúcich sa priamok a a b.

Zvážte obrázok nižšie.

Tento úsudok dokazuje skutočnosť, že medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b je uhol, ktorý nezávisí od polohy bodu M, teda od priesečníka. Tieto čiary sa nachádzajú v rovinách γ 1 a γ 2 . V skutočnosti si výsledný uhol možno predstaviť ako uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Prejdime k určeniu uhla medzi existujúcimi pretínajúcimi sa rovinami γ 1 a γ 2 .

Definícia 1

Uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami γ 1 a γ 2 nazývame uhol, ktorý zviera priesečník priamok a a b, kde roviny γ 1 a γ 2 sa pretínajú s rovinou χ kolmou na priamku c.

Zvážte obrázok nižšie.

Definíciu možno predložiť v inej forme. V priesečníku rovín γ 1 a γ 2, kde c je priamka, na ktorej sa pretínajú, označte bod M, cez ktorý vedú priamky a a b, kolmé na priamku c ležiace v rovinách γ 1 a γ 2. , potom uhol medzi priamkami a a b bude uhlom medzi rovinami. V praxi je to použiteľné pri konštrukcii uhla medzi rovinami.

V priesečníku sa vytvorí uhol, ktorého hodnota je menšia ako 90 stupňov, to znamená, že miera uhla platí na intervale tohto typu (0, 90] . Zároveň sa tieto roviny nazývajú kolmé ak sa v priesečníku vytvorí pravý uhol.uhol medzi rovnobežnými rovinami sa považuje za rovný nule.

Zvyčajný spôsob, ako nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami, je vykonať dodatočné konštrukcie. Pomáha to určiť presnosť, a to sa dá urobiť pomocou znakov rovnosti alebo podobnosti trojuholníka, sínusov, kosínusov uhla.

Zvážte riešenie úloh na príklade z problematiky Jednotnej štátnej skúšky bloku C 2.

Príklad 1

Je uvedený obdĺžnikový rovnobežnosten A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, kde strana A B \u003d 2, A D \u003d 3, A A 1 \u003d 7, bod E oddeľuje stranu A 1 v pomere 4: 3. Nájdite uhol medzi rovinami A B C a B E D 1 .

Riešenie

Pre prehľadnosť musíte urobiť kresbu. Chápeme to

Na uľahčenie práce s uhlom medzi rovinami je potrebné vizuálne znázornenie.

Definujeme priamku, pozdĺž ktorej sa roviny A B C a B E D 1 pretínajú. Bod B je spoločný bod. Mal by sa nájsť ešte jeden spoločný priesečník. Uvažujme priamky D A a D 1 E , ktoré sa nachádzajú v rovnakej rovine A D D 1 . Ich umiestnenie nenaznačuje rovnobežnosť, čo znamená, že majú spoločný priesečník.

Avšak priamka DA leží v rovine A B C a D 1 E v B E D 1 . Dostávame teda riadky D A a D 1 E majú spoločný priesečník, ktorý je spoločný aj pre roviny A B C a B E D 1 . Označuje priesečník čiar D A a D1E písmeno F. Odtiaľto dostaneme, že B F je priamka, pozdĺž ktorej sa pretínajú roviny A B C a B E D 1 .

Zvážte obrázok nižšie.

Na získanie odpovede je potrebné zostrojiť priamky ležiace v rovinách A B C a B E D 1 s prechodom bodom ležiacim na priamke B F a kolmým na ňu. Potom sa výsledný uhol medzi týmito čiarami považuje za požadovaný uhol medzi rovinami A B C a B E D 1.

Z toho vidno, že bod A je priemetom bodu E do roviny A B C. Je potrebné nakresliť priamku pretínajúcu priamku B F v pravom uhle v bode M. Je vidieť, že priamka A M je priemet priamky E M do roviny A B C na základe vety o tých kolmiciach A M ⊥ B F . Zvážte obrázok nižšie.

∠ A ME je požadovaný uhol, ktorý zvierajú roviny A B C a B E D 1 . Z výsledného trojuholníka A E M nájdeme sínus, kosínus alebo tangens uhla, po ktorom nasleduje samotný uhol, len s jeho dvoma známymi stranami. Podľa podmienky máme, že dĺžka A E sa zistí týmto spôsobom: čiara A A 1 je rozdelená bodom E v pomere 4: 3, čo znamená, že celková dĺžka čiary je 7 častí, potom A E \u003d 4 diely. Nájdeme A.M.

Treba zvážiť správny trojuholník A B F. Máme pravý uhol A s výškou A M. Z podmienky A B \u003d 2 potom môžeme nájsť dĺžku A F podľa podobnosti trojuholníkov D D 1 F a A E F. Dostaneme, že A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Je potrebné zistiť dĺžku strany B F z trojuholníka A B F pomocou Pytagorovej vety. Dostaneme, že B F   = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Dĺžka strany A M sa nachádza cez oblasť trojuholníka A B F. Máme, že plocha sa môže rovnať S A B C = 1 2 · A B · A F a S A B C = 1 2 · B F · A M .

Dostaneme, že A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Potom môžeme nájsť hodnotu tangens uhla trojuholníka A E M. Dostaneme:

t g ∠ A ME = A E A M = 4 4 5 5 = 5

Požadovaný uhol získaný priesečníkom rovín A B C a B E D 1 sa rovná a r c t g 5, potom pri zjednodušení dostaneme a r c t g 5 = a rc sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

odpoveď: a r c t g 5 = a rc sin 30 6 = a rc cos 6 6 .

Niektoré prípady nájdenia uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami sú uvedené pomocou súradnicová rovina O x y z a súradnicovej metóde. Uvažujme podrobnejšie.

Ak je zadaná úloha, kde je potrebné nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami γ 1 a γ 2, požadovaný uhol označíme α.

Potom daný súradnicový systém ukazuje, že máme súradnice normálových vektorov pretínajúcich sa rovín γ 1 a γ 2 . Potom označíme, že n 1 → = n 1 x , n 1 y , n 1 z je normálový vektor roviny γ 1 a n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) - pre rovina γ 2 . Zvážte podrobné zistenie uhla medzi týmito rovinami podľa súradníc vektorov.

Je potrebné označiť priamku, pozdĺž ktorej sa roviny γ 1 a γ 2 pretínajú s písmenom c. Na priamke s máme bod M, cez ktorý vedieme rovinu χ, kolmú na c. Rovina χ pozdĺž priamok aab pretína roviny γ 1 a γ 2 v bode M . z definície vyplýva, že uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami γ 1 a γ 2 sa rovná uhlu pretínajúcich sa priamok a a b patriacich týmto rovinám.

V rovine χ vyčleníme normálové vektory z bodu M a označíme ich n 1 → a n 2 →. Vektor n 1 → sa nachádza na priamke kolmej na priamku a a vektor n 2 → na priamke kolmej na priamku b. Odtiaľto dostaneme, že daná rovina χ má normálový vektor priamky a rovný n 1 → a pre priamku b rovný n 2 → . Zvážte obrázok nižšie.

Odtiaľto získame vzorec, pomocou ktorého môžeme pomocou súradníc vektorov vypočítať sínus uhla pretínajúcich sa čiar. Zistili sme, že kosínus uhla medzi priamkami a a b je rovnaký ako kosínus medzi pretínajúcimi sa rovinami γ 1 a γ 2 je odvodený zo vzorca cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, kde platí, že n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) a n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) sú súradnice vektorov znázornených rovín.

Uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami sa vypočíta pomocou vzorca

α = ar c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

Príklad 2

Podľa podmienky je daný rovnobežnosten А В С D A 1 B 1 C 1 D 1 , kde A B \u003d 2, A D \u003d 3, A A 1 \u003d 7 a bod E oddeľuje stranu A A 1 4: 3. Nájdite uhol medzi rovinami A B C a B E D 1 .

Riešenie

Je to vidieť z podmienky, že jeho strany sú párovo kolmé. To znamená, že je potrebné zaviesť súradnicový systém O x y z s vrcholom v bode C a súradnicovými osami O x, O y, O z. Je potrebné dať smer na príslušné strany. Zvážte obrázok nižšie.

Pretínajúce sa roviny A B C a B E D 1 tvoria uhol, ktorý možno nájsť podľa vzorca 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , kde n 1 → = (n 1 x , n 1 y, n 1 z) a n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z ) sú normálové vektory týchto rovín. Je potrebné určiť súradnice. Z obrázku vidíme, že súradnicová os O x y sa zhoduje v rovine A B C, čo znamená, že súradnice normálového vektora k → sa rovnajú hodnote n 1 → = k → = (0, 0, 1) .

Normálny vektor roviny B E D 1 je vektorovým súčinom B E → a B D 1 → , kde ich súradnice sa nachádzajú podľa súradníc extrémne body B, E, D 1 , ktoré sú určené na základe stavu problému.

Dostaneme, že B (0 , 3 , 0) , D 1 (2 , 0 , 7) . Pretože A E E A 1 = 4 3 , zo súradníc bodov A 2 , 3 , 0 , A 1 2 , 3 , 7 nájdeme E 2 , 3 , 4 . Dostaneme, že B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12, - 6, - 6)

Nájdené súradnice je potrebné dosadiť do vzorca na výpočet uhla cez kosínus oblúka. Dostaneme

α = a rc cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a rc cos 6 6 6 = a rc cos 6 6

Súradnicová metóda poskytuje podobný výsledok.

odpoveď: a r c cos 6 6 .

Posledný problém sa uvažuje s cieľom nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami s dostupnými známymi rovnicami rovín.

Príklad 3

Vypočítajte sínus, kosínus uhla a hodnotu uhla, ktorú tvoria dve pretínajúce sa priamky, ktoré sú definované v súradnicovom systéme O x y z a dané rovnicami 2 x - 4 y + z + 1 = 0 a 3 y - z-1 = 0.

Riešenie

Pri štúdiu témy všeobecná rovnicačiara tvaru A x + B y + C z + D = 0 odhalila, že A, B, C sú koeficienty rovné súradniciam normálového vektora. Teda n 1 → = 2 , - 4 , 1 a n 2 → = 0 , 3 , - 1 sú normálové vektory daných čiar.

Do vzorca na výpočet požadovaného uhla pretínajúcich sa rovín je potrebné dosadiť súradnice normálových vektorov rovín. Potom to dostaneme

α = a rc cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a rc cos 13 210

Z toho vyplýva, že kosínus uhla má tvar cos α = 13 210 . Potom uhol pretínajúcich sa čiar nie je tupý. Nahrádzanie v trigonometrická identita, dostaneme, že hodnota sínusu uhla sa rovná výrazu. Vypočítame a dostaneme to

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

odpoveď: sin α = 41 210 , cos α = 13 210 , α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210 .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter