body, ktoré neležia na tej istej čiare? a) pretínajú sa; b) nedá sa nič povedať; c) nepretínajú sa; d) zápas; e) majú tri spoločné body.
2. Ktoré z nasledujúcich tvrdení je správne? a) Ak dva body kružnice ležia v rovine, potom celá kružnica leží v tejto rovine; b) priamka ležiaca v rovine trojuholníka pretína dve jeho strany; c) ktorékoľvek dve roviny majú iba jeden spoločný bod; d) rovina prechádza dvoma bodmi a navyše iba jedným; e) priamka leží v rovine daného trojuholníka, ak pretína dve priamky obsahujúce strany trojuholníka.
3. Môžu mať dve rôzne roviny iba dva spoločné body? a) nikdy; b) môžem, ale za dodatočných podmienok; c) vždy mať; d) otázku nemožno zodpovedať; d) iná odpoveď.
4. Body K, L, M ležia na jednej priamke, bod N na nej neleží. Cez každé tri body sa pretiahne jedna rovina. Koľko rôznych rovín to malo za následok? a) 1; b) 2; na 3; d) 4; e) nekonečne veľa.
5. Vyberte správne tvrdenie. a) Rovina prechádza ľubovoľnými tromi bodmi a navyše iba jedným; b) ak dva body priamky ležia v rovine, potom všetky body priamky ležia v tejto rovine; c) ak majú dve roviny spoločný bod, potom sa nepretínajú; d) priamkou a bodom na nej ležiacim prechádza rovina a navyše iba jedna; e) Rovina nemôže byť nakreslená cez dve pretínajúce sa čiary.
6. Pomenujte spoločnú priamku rovín PBM a MAB. a) PM b) AB; c) PB; d) BM; d) nemožno určiť.
7. Priamky a a b sa pretínajú v bode M. Priamka c neprechádzajúca bodom M pretína priamky a a b. Čo možno povedať o vzájomnej polohe priamok a, b a c? a) Všetky čiary ležia v rôznych rovinách; b) priamky a a b ležia v rovnakej rovine; c) všetky čiary ležia v rovnakej rovine; d) nedá sa nič povedať e) čiara c sa zhoduje s jednou z čiar: buď s a alebo s b.
8. Priamky a a b sa pretínajú v bode O. A € a, B € b, Y € AB. Vyberte správny výrok. a) Body O a Y neležia v tej istej rovine; b) priamky OY a a sú rovnobežné; c) priamky a, b a bod Y ležia v tej istej rovine; d) body O a Y sa zhodujú; e) body Y a A sa zhodujú.
Možnosť 2.1. Čo možno povedať o vzájomnej polohe dvoch rovín, ktoré majú tri spoločné body, ktoré neležia na jednej priamke?
a) pretínajú sa; b) nedá sa nič povedať; c) nepretínajú sa; d) zápas; e) majú tri spoločné body.
2. Ktoré z nasledujúcich tvrdení je správne?
a) Ak dva body kružnice ležia v rovine, potom celá kružnica leží v tejto rovine; b) priamka ležiaca v rovine trojuholníka pretína dve jeho strany; c) ktorékoľvek dve roviny majú iba jeden spoločný bod; d) rovina prechádza dvoma bodmi a navyše iba jedným; e) priamka leží v rovine daného trojuholníka, ak pretína dve priamky obsahujúce strany trojuholníka.
3. Môžu mať dve rôzne roviny iba dva spoločné body?
a) nikdy; b) môžem, ale za dodatočných podmienok; c) vždy mať; d) otázku nemožno zodpovedať; d) iná odpoveď.
4. Body K, L, M ležia na jednej priamke, bod N na nej neleží. Cez každé tri body sa pretiahne jedna rovina. Koľko rôznych rovín to malo za následok?
a) 1; b) 2; na 3; d) 4; e) nekonečne veľa.
5. Vyberte správne tvrdenie.
a) Rovina prechádza ľubovoľnými tromi bodmi a navyše iba jedným; b) ak dva body priamky ležia v rovine, potom všetky body priamky ležia v tejto rovine; c) ak majú dve roviny spoločný bod, potom sa nepretínajú; d) priamkou a bodom na nej ležiacim prechádza rovina a navyše iba jedna; e) Rovina nemôže byť nakreslená cez dve pretínajúce sa čiary.
6. Pomenujte spoločnú priamku rovín PBM a MAB.
a) PM b) AB; c) PB; d) BM; d) nemožno určiť.
7. Ktorú z uvedených rovín pretína priamka RM (obr. 1)?
a) DD1C; b) D1PM; c) B1PM; d) ABC; e) CDA.
B1 C1
8. Dve roviny sa pretínajú v priamke c. Bod M leží len v jednej z rovín. Čo možno povedať o vzájomnej polohe bodu M a priamky c?
a) Nedá sa vyvodiť žiadny záver; b) priamka c prechádza bodom M; c) bod M leží na priamke c; d) priamka c neprechádza bodom M; d) iná odpoveď.
9. Priamky a a b sa pretínajú v bode M. Priamka c neprechádzajúca bodom M pretína priamky a a b. Čo možno povedať o vzájomnej polohe priamok a, b a c?
a) Všetky čiary ležia v rôznych rovinách; b) priamky a a b ležia v rovnakej rovine; c) všetky čiary ležia v rovnakej rovine; d) nedá sa nič povedať e) čiara c sa zhoduje s jednou z čiar: buď s a alebo s b.
10. Priamky a a b sa pretínajú v bode O. A € a, B € b, Y € AB. Vyberte správny výrok.
a) Body O a Y neležia v tej istej rovine; b) priamky OY a a sú rovnobežné; c) priamky a, b a bod Y ležia v tej istej rovine; d) body O a Y sa zhodujú; e) body Y a A sa zhodujú.
lúče AB a AC sú kolmé na jeho okraj? 2. Je pravda, že lineárny uhol BAC dihedrálny uhol ak lúče AB a AC ležia na stranách dihedrálneho uhla? 3. Je pravda, že uhol BAC je lineárnym uhlom dvojstenného uhla, ak sú lúče AB a AC kolmé na jeho okraj a body E a C ležia na stenách uhla? 4. Lineárny uhol dihedrálneho uhla je 80 stupňov. Je v jednej z plôch uhla čiara, ktorá je kolmá na druhú plochu? 5. Uhol ABC - lineárny uhol dihedrálneho uhla s alfa hranou. Je priamka alfa kolmá na rovinu ABC? Je pravda, že všetky priamky kolmé na danú rovinu a pretínajúce danú priamku ležia v tej istej rovine?
Axiómy stereometrie.
A1. Cez ľubovoľné tri body, ktoré neležia na danej priamke, prechádza rovina a navyše iba jedna;
Sl.1. Cez priamku a bod, ktorý na nej neleží, prechádza rovina a navyše iba jedna;
Sl.2. Cez dve pretínajúce sa čiary prechádza rovina a navyše iba jedna;
Sl.3. Rovina prechádza dvoma rovnobežnými čiarami a navyše iba jednou.
A2. Ak dva body priamky ležia v rovine, potom všetky body priamky ležia v tejto rovine;
A3. Ak majú dve roviny spoločný bod, potom majú spoločnú priamku, na ktorej ležia všetky spoločné body týchto rovín.
Hlavné postavy stereometrie- body (A, B, C...), rovný (a, b, c...), lietadlo ( …) , mnohosteny a telesá revolúcie.
Pod rovina rezu objemový obrazec budeme rozumieť rovine, na ktorej oboch stranách sú body tohto obrazca.
Za miera vzdialenosti medzi bodom, priamkou a rovinou zoberieme dĺžku ich spoločnej kolmice.
2. Vzájomné usporiadanie čiar v priestore.
V priestore môžu byť dve priame čiary byť rovnobežné, pretínať sa alebo pretínať.
| 1A | Def. Paralelné priamky v priestore sú priame čiary, ktoré ležia v rovnakej rovine a nepretínajú sa. Podľa 3. Rovina prechádza dvoma rovnobežnými priamkami a navyše iba jednou. | |
| 1B | T 1 (o prechodnosti). Dve čiary rovnobežné s treťou sú navzájom rovnobežné. | |
| 2A | Podľa slova 2. Po dvoch pretínajúci sa rovinou prechádzajú priamky a navyše iba jedna | |
| 3A | Def. Dva riadky sú tzv kríženie ak neležia v rovnakej rovine. | |
| T 2 (Znak pretínajúcich sa čiar). Ak jedna z dvoch čiar leží v určitej rovine a druhá čiara pretína túto rovinu v bode, ktorý nepatrí do prvej čiary, potom sú také čiary šikmé. | ||
| 3B | Def. Uhol medzi šikmými čiarami je uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami rovnobežnými s nimi. | |
| 3B | Def. Spoločná kolmica dvoch pretínajúcich sa čiar je úsečka, ktorá končí na týchto čiarach a je na ne kolmá. (vzdialenosť medzi šikmými čiarami). |
- Vzájomné usporiadanie čiar a rovín v priestore.
V priestore môže byť priamka a rovina rovnobežný, pretínajúci sa alebo rovno môže ležať úplne v rovine.
| 1A | Def. Rovno volal rovnobežná rovina, ak je rovnobežná s akoukoľvek priamkou ležiacou v tejto rovine. | |
| 1B | T 3 (Znak rovnobežnosti priamky a roviny). Čiara, ktorá neleží v rovine, je rovnobežná s rovinou, ak je rovnobežná s nejakou priamkou ležiacou v tejto rovine. | |
| 2A | Def. Priamy hovor kolmo na rovinu , ak je kolmá na akékoľvek pretínajúce sa čiary ležiace v tejto rovine. | |
| 2B | T 4 (znak kolmosti priamky a roviny) Ak je priamka pretínajúca sa s rovinou kolmá na ľubovoľné dve pretínajúce sa priamky ležiace v tejto rovine, potom je kolmá aj na ktorúkoľvek tretiu priamku ležiacu v tejto rovine. | |
| 2B | T 5 (asi dve rovnobežné čiary kolmé na tretiu). Ak je jedna z dvoch rovnobežných čiar kolmá na rovinu, potom je druhá čiara tiež kolmá na túto rovinu. | |
| 2G | Def. Uhol medzi priamkou a rovinou je uhol medzi danou priamkou a jej priemetom do roviny. | |
| 2D | Def.Akákoľvek iná priamka, ktorá sa líši od kolmice a pretína rovinu, sa nazýva šikmé do tejto roviny (obr. pozri nižšie). Def. Projekcia šikmá do roviny nazývaný segment spájajúci základňu kolmice a šikmú. T 6 (o dĺžke kolmej a šikmej). 1) Kolmica nakreslená k rovine je kratšia ako kolmica naklonená k tejto rovine; 2) Rovnaké šikmé zodpovedajú rovnakým projekciám; 3) Z dvoch naklonených je väčší ten, ktorého priemet je väčší. | |
| 2E | T 7 (asi tri kolmice). Priama čiara vedená v rovine cez základňu naklonenej projekcie, ktorá je na ňu kolmá, je tiež kolmá na najviac naklonenú. T 8 (spätne). Priamka vedená na rovine cez základňu naklonenej roviny a kolmá na ňu je tiež kolmá na priemet naklonenej roviny na túto rovinu. | |
| 3A | Podľa axiómy 2. Ak dva body priamky ležia v rovine, potom všetky body priamky ležia v tejto rovine |
- Vzájomné usporiadanie rovín v priestore.
Vo vesmíre môžu byť lietadlá paralelný alebo kríž.
| 1A | Def. Dva lietadlo volal paralelný ak sa nepretínajú. | |
| T 9 (znak rovnobežných rovín). Ak sú dve pretínajúce sa priamky jednej roviny rovnobežné s dvomi priamkami inej roviny, potom sú tieto roviny rovnobežné. | ||
| 1B | T 10 Ak dve rovnobežné roviny pretína tretia rovina, potom sú priame priesečníky rovnobežné (vlastnosť rovnobežných rovín 1). | |
| 1B | T 11 Segmenty rovnobežných čiar uzavreté medzi rovnobežnými rovinami sú rovnaké (vlastnosť rovnobežných rovín 2). | |
| 2A | Podľa axiómy 3. Ak majú dve roviny spoločný bod, potom majú spoločnú priamku, na ktorej ležia všetky spoločné body týchto rovín ( roviny sa pretínajú v priamke). | |
| 2B | T 12 (znak kolmosti rovín). Ak rovina prechádza priamkou kolmou na inú rovinu, potom sú tieto roviny kolmé. | |
| 2B | Def. dihedrálny uhol obrazec tvorený dvoma polrovinami vychádzajúcimi z jednej priamky sa nazýva. Rovina kolmá na hranu dihedrálneho uhla pretína jej plochy pozdĺž dvoch lúčov. Uhol tvorený týmito lúčmi sa nazýva lineárny uhol dihedrálneho uhla. Za dihedrálna miera uhla odoberie sa miera zodpovedajúceho lineárneho uhla. |
I5 Bez ohľadu na tri body, ktoré neležia na tej istej priamke, týmito bodmi prechádza najviac jedna rovina.
I6 Ak dva body A a B priamky ležia v rovine a, potom každý bod priamky a leží v rovine a. (V tomto prípade povieme, že priamka a leží v rovine a alebo že rovina a prechádza priamkou a.
I7 Ak majú dve roviny a a b spoločný bod A, potom majú ešte aspoň jeden spoločný bod B.
I8 Existujú najmenej štyri body, ktoré neležia v rovnakej rovine.
Už z týchto 8 axióm je možné odvodiť niekoľko teorém elementárnej geometrie, ktoré sú jasne zrejmé, a preto sa v kurze školskej geometrie nepreukazujú a niekedy sú dokonca z logických dôvodov zahrnuté v axiómach konkrétneho školského kurzu.
Napríklad:
1. Dve priamky majú najviac jeden spoločný bod.
2. Ak majú dve roviny spoločný bod, potom majú spoločnú priamku, na ktorej ležia všetky spoločné body týchto dvoch rovín
Dôkaz: (na predvádzanie sa):
Tým, že som 7 $ B, ktorý tiež patrí do a a b, pretože A, B "a, potom podľa I 6 AB "b. Čiara AB je teda spoločná pre dve roviny.
3. Cez priamku a bod, ktorý na nej neleží, ako aj cez dve pretínajúce sa priamky prechádza jedna rovina.
4. Na každej rovine sú tri body, ktoré neležia na jednej priamke.
KOMENTÁR: Pomocou týchto axióm môžete dokázať niekoľko viet a väčšina z nich je taká jednoduchá. Najmä z týchto axióm nemožno dokázať, že množina geometrické prvky nekonečne.
SKUPINA II Axiómy poriadku.
Ak sú tri body dané na priamke, potom jeden z nich môže byť umiestnený k ostatným dvom vo vzťahu „ležať medzi“, čo spĺňa nasledujúce axiómy:
II1 Ak B leží medzi A a C, potom A, B, C sú odlišné body tej istej priamky a B leží medzi C a A.
II2 Nech sú dva body A a B akékoľvek, na priamke AB je aspoň jeden bod C, takže B leží medzi A a C.
II3 Medzi akýmikoľvek tromi bodmi priamky je najviac jeden bod ležiaci medzi dvoma ďalšími.
Podľa Hilberta sa dvojica bodov A a B chápe ako úsečka AB(BA). Body A a B sa nazývajú konce úsečky a každý bod ležiaci medzi bodmi A a B sa nazýva vnútorný bod úsečky. AB(BA).
KOMENTÁR: Ale z II 1-II 3 ešte nevyplýva, že každý segment má vnútorné body, ale z II 2, z, že segment má vonkajšie body.
II4 (Paschova axióma) Nech A, B, C sú tri body, ktoré neležia na tej istej priamke, a nech A je priamka v rovine ABC, ktorá neprechádza žiadnou body A, B, C. Ak potom priamka a prechádza bodom úsečky AB, potom prechádza aj bodom úsečky AC alebo BC.
Sl.1: Bez ohľadu na body A a C existuje aspoň jeden bod D na priamke AC ležiacej medzi A a C.
Doc-in: I 3 Þ$ t. j. neležiac na čiare AC
Sl.2. Ak C leží na segmente AD a B medzi A a C, potom B leží medzi A a D a C leží medzi B a D.Teraz môžeme dokázať dve tvrdenia
DC3 Tvrdenie II 4 platí aj vtedy, ak body A, B a C ležia na tej istej priamke.
A najzaujímavejšie.
Sl.4 . Medzi ľubovoľnými dvoma bodmi priamky je na nej nekonečne veľa ďalších bodov (sebestačných).
Nedá sa však stanoviť, že množina bodov priamky je nespočetná. .
Axiómy skupín I a II nám umožňujú zaviesť také dôležité pojmy ako polrovina, lúč, polopriestor a uhol. Najprv dokážme vetu.
Št1. Priamka a ležiaca v rovine a rozdeľuje množinu bodov tejto roviny, ktoré neležia na priamke a, na dve neprázdne podmnožiny tak, že ak body A a B patria do tej istej podmnožiny, potom úsečka AB nemá spoločnú množinu. body s priamkou a; ak tieto body patria do rôznych podmnožín, potom má úsečka AB spoločný bod s priamkou a.
Idea: zavádza sa vzťah, a to t. A a B Ï a sú vo vzťahu k Δ, ak úsečka AB nemá spoločné body s priamkou a alebo sa tieto body zhodujú. Potom sa zvážili množiny tried ekvivalencie vzhľadom na Δ. Je dokázané, že sú len dvaja pomocou jednoduchých argumentov.
ODA1 Každá z podmnožín bodov definovaných predchádzajúcou vetou sa nazýva polrovina s hranicou a.
Podobne môžeme zaviesť pojmy lúč a polpriestor.
Ray- h a priamka je .
ODA2 Uhol je dvojica lúčov h a k vychádzajúcich z rovnakého bodu O a neležiacich na rovnakej priamke. takže O sa nazýva vrchol uhla a lúče h a k sa nazývajú strany uhla. Označuje sa obvyklým spôsobom: Ðhk.
Bod M nazývame vnútorným bodom uhla hk, ak bod M a lúč k ležia v tej istej polrovine s hranicou a bod M a lúč k ležia v tej istej polrovine s hranicou. Množina všetkých vnútorných bodov sa nazýva vnútro uhla.
vonkajšia oblasť uhol - nekonečná množina, pretože všetky body segmentu s koncami na rôznych stranách uhla sú vnútorné. Z metodických dôvodov sa do axióm často zaraďuje nasledujúca vlastnosť.
Nehnuteľnosť: Ak lúč vychádza z vrcholu uhla a prechádza aspoň jedným vnútorným bodom tohto uhla, potom pretína ľubovoľný segment s koncami na rôznych stranách uhla. (Ja.)
SKUPINA III. Axiómy kongruencie (rovnosť)
Na množinu úsečiek a uhlov je zavedený vzťah zhodnosti alebo rovnosti (označený „=“), ktorý spĺňa axiómy:
III 1 Ak je daný segment AB a lúč vychádzajúci z bodu A / , potom $ t.B / patriaci tomuto lúču, takže AB=A / B / .
III 2 Ak A / B / =AB a A // B // =AB, potom A / B / =A // B // .
III 3 Nech А-В-С, А / -В / -С / , АВ=А / В / a ВС=В / С / , potom AC=А / С /
ODA3 Ak O / je bod, h / je lúč vychádzajúci z tohto bodu a l / je polrovina s hranicou , potom trojica objektov O / ,h / a l / sa nazýva vlajka (O / ,h / ,l /).
III 4 Nech je dané Ðhk a vlajka (O / ,h / ,l /). Potom v polrovine l / je jedinečný lúč k / vychádzajúci z bodu O / taký, že Ðhk = Ðh / k / .
III 5 Nech A, B a C sú tri body, ktoré neležia na tej istej priamke. Ak súčasne AB=A / B / , AC=A / C / , ÐB / A / C / = ÐBAC, potom RABC = ÐA / B / C / .
1. Bod B / B III 1 je jediný na tomto nosníku (vlastný)
2. Vzťah kongruencie segmentov je vzťah ekvivalencie na množine segmentov.
3. V rovnoramennom trojuholníku sú uhly v základniach rovnaké. (Podľa III 5).
4. Znaky rovnosti trojuholníkov.
5. Vzťah zhody uhla je vzťah ekvivalencie na množine uhlov. (Správa)
6. Vonkajší uhol trojuholníka je väčší ako každý uhol trojuholníka, ktorý s ním nesusedí.
7. V každom trojuholníku leží väčší uhol oproti väčšej strane.
8. Každý segment má jeden a len jeden stred
9. Každý uhol má jednu a iba jednu os
Môžete zaviesť nasledujúce pojmy:
ODA4 Uhol rovný jeho susednému uhlu sa nazýva pravý uhol..
Dokáže definovať vertikálne uhly, kolmé a šikmé atď.
Je možné dokázať jedinečnosť ^. Môžete predstaviť pojmy > a< для отрезков и углов:
ODA5 Ak sú zadané segmenty AB a A / B / a $ t.C, takže A / -C-B / a A / C \u003d AB, potom A / B / > AB.
ODA6 Ak sú dané dva uhly Ðhk a Ðh / k / a ak lúč l možno pretiahnuť vnútrom Ðhk a jeho vrcholom tak, že Ðh / k / = Ðhl, potom Ðhk > Ðh / k / .
A najzaujímavejšie je, že pomocou axióm skupín I-III je možné zaviesť pojem pohybu (overlay).
Robí sa to takto:
Nech sú dané dve množiny bodov p a p / Predpokladajme, že medzi bodmi týchto množín existuje korešpondencia jedna k jednej. Každá dvojica bodov M a N množiny p určuje segment MN. Nech М / a N / sú body množiny p / zodpovedajúce bodom МN. Dohodneme sa na volaní segmentu M / N / zodpovedajúcemu segmentu MN.
ODA7 Ak $ je korešpondencia medzi p a p / taká, že zodpovedajúce segmenty sa vždy ukážu ako vzájomne zhodné, potom súpravy p a p / sa nazývajú zhodné . Hovorí sa tiež, že každá z množín p a p / sa získa pohyb z inej alebo že jedna z týchto množín môže byť superponovaná na inú. Zodpovedajúce body množiny p a p / sa nazývajú superponované.
Aplikácia 1: Body ležiace na priamke pri pohybe prechádzajú do bodov ležiacich tiež na nejakej priamke.
Utv2 Uhol medzi dvoma segmentmi spájajúcimi ktorýkoľvek bod množiny s dvoma ďalšími bodmi je zhodný s uhlom medzi zodpovedajúcimi segmentmi zhodnej množiny.
Môžete zaviesť pojem rotácia, posun, skladba pohybov atď.
SKUPINA IV. Axiómy kontinuity a.
IV 1 (Archiedova axióma). Nech AB a CD sú nejaké segmenty. Potom na priamke AB existuje konečná množina bodov А 1 , А 2 , ..., А n tak, že sú splnené tieto podmienky:
1. A-A 1 -A 2, A 1 -A 2 -A 3, ..., A n -2 -A n -1 -A n
2. AA 1 = A 1 A 2 = … = A n-1 A n = CD
3. A-B-An
IV2 (Cantorova axióma) Nech je na ľubovoľnej priamke a daná nekonečná postupnosť segmentov А1В1, А2В2,…, z ktorých každý nasledujúci leží vo vnútri predchádzajúcej a navyše pre každý segment CD existuje prirodzené číslo n také, že AnBn< СD. Тогда на прямой а существует т.М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.
