Zadajte funkciu, pre ktorú chcete nájsť integrál

Kalkulačka poskytuje DETAILNÉ riešenie určitých integrálov.

Táto kalkulačka rieši určitý integrál funkcie f(x) s danou hornou a dolnou hranicou.

Príklady

S použitím stupňa
(štvorec a kocka) a zlomky

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Odmocnina

Sqrt(x)/(x + 1)

koreň kocky

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Použitie sínusu a kosínusu

2*sin(x)*cos(x)

Arcsine

X*arcsin(x)

Oblúkový kosínus

x*arccos(x)

Aplikácia logaritmu

X*log(x, 10)

prirodzený logaritmus

Vystavovateľ

Tg(x)*sin(x)

Kotangens

Ctg(x)*cos(x)

Iracionálne zlomky

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Arktangens

X*arctg(x)

Oblúková dotyčnica

X*arсctg(x)

Hyberbolický sínus a kosínus

2*sh(x)*ch(x)

Hyberbolický tangens a kotangens

ctgh(x)/tgh(x)

Hyberbolický arkzín a arkkozín

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Hyberbolický arkustangens a arkotangens

X^2*arctgh(x)*arctgh(x)

Pravidlá pre zadávanie výrazov a funkcií

Výrazy môžu pozostávať z funkcií (zápisy sú uvedené v abecednom poradí): absolútne (x) Absolútna hodnota X
(modul X alebo |x|) arccos(x) Funkcia - oblúk kosínus of X arccosh(x) Arc cosine hyperbolic from X arcsin(x) Arcsine z X arcsinh(x) Arcsine hyperbolický od X arctg(x) Funkcia - oblúková tangens od X arctgh(x) Arkustangens je hyperbolický od X e ečíslo, ktoré sa približne rovná 2,7 exp(x) Funkcia - exponent od X(ktorý je e^X) log(x) alebo log(x) Prirodzený logaritmus X
(Získať log7(x), musíte zadať log(x)/log(7) (alebo napr log10(x)=log(x)/log(10)) piČíslo je "Pi", čo sa približne rovná 3,14 hriech(x) Funkcia - Sínus X cos(x) Funkcia - kosínus X sinh(x) Funkcia - Hyperbolický sínus X hotovosť (x) Funkcia - Hyperbolický kosínus of X sqrt(x) Funkcia je druhá odmocnina z X sqr(x) alebo x^2 Funkcia - Štvorec X tg(x) Funkcia - dotyčnica od X tgh(x) Funkcia - Hyperbolický tangens of X cbrt(x) Funkcia je odmocninou z X

Vo výrazoch môžete použiť nasledujúce operácie: Reálne čísla zadajte do formulára 7.5 , nie 7,5 2*x- násobenie 3/x- rozdelenie x^3- umocňovanie x + 7- prídavok x - 6- odčítanie
Ďalšie vlastnosti: poschodie (x) Funkcia - zaokrúhľovanie X dole (príklad poschodia (4,5)==4,0) strop (x) Funkcia - zaokrúhľovanie X hore (príklad stropu(4,5)==5,0) znak (x) Funkcia - Sign X erf(x) Chybová funkcia (alebo integrál pravdepodobnosti) laplace(x) Laplaceova funkcia

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami.

Riešenie.

Nájdeme priesečníky daných čiar. Aby sme to dosiahli, riešime sústavu rovníc:

Aby sme našli úsečky priesečníkov daných čiar, riešime rovnicu:

Nájdeme: X 1 = -2, X 2 = 4.

Takže tieto čiary, ktoré sú parabolou a priamkou, sa pretínajú v bodoch A(-2; 0), B(4; 6).

Tieto čiary tvoria uzavretý obrazec, ktorého plocha sa vypočíta podľa vyššie uvedeného vzorca:

Podľa Newtonovho-Leibnizovho vzorca zistíme:

Nájdite oblasť oblasti ohraničenej elipsou.

Riešenie.

Z rovnice elipsy pre I kvadrant máme . Odtiaľ podľa vzorca získame

Aplikujme substitúciu X = a hriech t, dx = a cos t dt. Nové limity integrácie t = α a t = β sú určené z rovníc 0 = a hriech t, a = a hriech t. Dá sa dať α = 0 a β = π /2.

Nájdeme štvrtinu požadovanej plochy

Odtiaľ S = pab.

Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiaramir = - X 2 + X + 4 ar = - X + 1.

Riešenie.

Nájdite priesečníky čiar r = -X 2 + X + 4, r = -X+ 1, pričom sa zhodujú ordináty čiar: - X 2 + X + 4 = -X+ 1 alebo X 2 - 2X- 3 = 0. Nájdite korene X 1 = -1, X 2 = 3 a im zodpovedajúce súradnice r 1 = 2, r 2 = -2.

Pomocou vzorca oblasti postavy dostaneme

Nájdite oblasť ohraničenú parabolour = X 2 + 1 a priamyX + r = 3.

Riešenie.

Riešenie sústavy rovníc

nájdite úsečky priesečníkov X 1 = -2 a X 2 = 1.

Za predpokladu r 2 = 3 - X a r 1 = X 2 + 1, na základe vzorca, ktorý dostaneme

Vypočítajte plochu obsiahnutú v Bernoulliho lemniskáter 2 = a 2 cos 2 φ .

Riešenie.

V polárnom súradnicovom systéme je oblasť obrázku ohraničená oblúkom krivky r = f(φ ) a dva polárne polomery φ 1 = ʅ a φ 2 = ʆ , sa vyjadruje integrálom

Vzhľadom na symetriu krivky najprv určíme jednu štvrtinu požadovanej plochy

Celková plocha je teda S = a 2 .

Vypočítajte dĺžku oblúka astroideaX 2/3 + r 2/3 = a 2/3 .

Riešenie.

Rovnicu astroidea zapíšeme do tvaru

(X 1/3) 2 + (r 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .

Položme X 1/3 = a 1/3 cos t, r 1/3 = a 1/3 hriechu t.

Odtiaľ získame parametrické rovnice astroidu

X = a pretože 3 t, r = a hriech 3 t, (*)

kde 0 ≤ t ≤ 2π .

Vzhľadom na symetriu krivky (*) stačí nájsť jednu štvrtinu dĺžky oblúka L zodpovedajúce zmene parametra t od 0 do π /2.

Dostaneme

dx = -3a pretože 2 t hriech t dt, D Y = 3a hriech 2 t cos t dt.

Odtiaľto nájdeme

Integrácia výsledného výrazu v rozsahu od 0 do π /2, dostaneme

Odtiaľ L = 6a.

Nájdite oblasť ohraničenú Archimedovou špirálour = aφ a dva polomerové vektory, ktoré zodpovedajú polárnym uhlomφ 1 aφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Riešenie.

Oblasť ohraničená krivkou r = f(φ ) sa vypočíta podľa vzorca , kde α a β - hranice zmeny polárneho uhla.

Tak dostaneme

(*)

Z (*) vyplýva, že oblasť ohraničená polárnou osou a prvým otočením Archimedovej špirály ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

Podobne nájdeme oblasť ohraničenú polárnou osou a druhým otočením Archimedovej špirály ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Požadovaná plocha sa rovná rozdielu týchto plôch

Vypočítajte objem telesa získaného rotáciou okolo osiVôl postava ohraničená parabolamir = X 2 aX = r 2 .

Riešenie.

Poďme riešiť sústavu rovníc

a získať X 1 = 0, X 2 = 1, r 1 = 0, r 2 = 1, odkiaľ sú priesečníky kriviek O(0; 0), B(jedenásť). Ako je možné vidieť na obrázku, požadovaný objem rotačného telesa sa rovná rozdielu medzi dvoma objemami vytvorenými rotáciou okolo osi Vôl krivočiare lichobežníky OCBA a ODBA:

Vypočítajte plochu ohraničenú osouVôl a sínusoidar = hriechX na segmentoch: a); b) .

Riešenie.

a) Na segmente funkcia sin X zachováva znamienko, a teda podľa vzorca , za predpokladu r= hriech X, nájdeme

b) Na segmente , funkcia sin X znamenie zmien. Pre správne riešenie úlohy je potrebné rozdeliť segment na dva a [ π , 2π ], v každom z nich si funkcia zachováva svoje znamienko.

Podľa pravidla znakov na segmente [ π , 2π ] oblasť je označená znamienkom mínus.

V dôsledku toho sa požadovaná oblasť rovná

Určte objem telesa ohraničeného povrchom získaným rotáciou elipsyokolo hlavnej osia .

Riešenie.

Vzhľadom na to, že elipsa je symetrická podľa súradnicových osí, stačí nájsť objem vytvorený rotáciou okolo osi Vôl oblasť OAB rovná štvrtine plochy elipsy a zdvojnásobte výsledok.

Označme objem rotačného telesa cez V X; potom na základe vzorca máme , kde 0 a a- úsečka bodov B a A. Z rovnice elipsy nájdeme . Odtiaľ

Požadovaný objem sa teda rovná . (Keď sa elipsa otáča okolo vedľajšej osi b, objem tela je )

Nájdite oblasť ohraničenú parabolamir 2 = 2 px aX 2 = 2 py .

Riešenie.

Najprv nájdeme súradnice priesečníkov parabol, aby sme určili integračný interval. Transformáciou pôvodných rovníc získame a . Porovnaním týchto hodnôt dostaneme resp X 4 - 8p 3 X = 0.

X 4 - 8p 3 X = X(X 3 - 8p 3) = X(X - 2p)(X 2 + 2px + 4p 2) = 0.

Nájdeme korene rovníc:

Vzhľadom na skutočnosť, že bod A priesečník parabol je v prvej štvrtine, potom hranice integrácie X= 0 a X = 2p.

Požadovaná oblasť sa nájde podľa vzorca

Príklad 1 . Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 a x = 2

Postavme postavu (pozri obr.) Postavíme priamku x + 2y - 4 \u003d 0 pozdĺž dvoch bodov A (4; 0) a B (0; 2). Vyjadrením y ako x dostaneme y \u003d -0,5x + 2. Podľa vzorca (1), kde f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2 Nájsť

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 m2 Jednotky

Príklad 2 Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 a y \u003d 0.

Riešenie. Postavme si postavu.

Zostavme priamku x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Zostrojme priamku x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Nájdite priesečník priamok riešením sústavy rovníc:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Na výpočet potrebnej plochy rozdelíme trojuholník AMC na dva trojuholníky AMN a NMC, keďže pri zmene x z A na N je plocha ohraničená priamkou a pri zmene x z N na C ide o priamku.

Pre trojuholník AMN máme: ; y \u003d 0,5x + 2, t.j. f (x) \u003d 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

Pre trojuholník NMC platí: y = - x + 5, t.j. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Výpočtom plochy každého z trojuholníkov a pridaním výsledkov zistíme:

sq Jednotky

sq Jednotky

9 + 4, 5 = 13,5 štvorcových. Jednotky Kontrola: = 0,5 AC = 0,5 štvorcových. Jednotky

Príklad 3 Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

V tomto prípade je potrebné vypočítať plochu krivočiareho lichobežníka ohraničeného parabolou y = x 2 , priamky x \u003d 2 a x \u003d 3 a os Ox (pozri obr.) Podľa vzorca (1) nájdeme oblasť krivočiareho lichobežníka

= = 6kv. Jednotky

Príklad 4 Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami: y \u003d - x 2 + 4 a y = 0

Postavme si postavu. Požadovaná oblasť je uzavretá medzi parabolou y \u003d - x 2 + 4 a os Oh.

Nájdite priesečníky paraboly s osou x. Za predpokladu, že y \u003d 0, nájdeme x \u003d Keďže toto číslo je symetrické okolo osi Oy, vypočítame plochu čísla umiestnenej napravo od osi Oy a výsledok zdvojnásobíme: \u003d + 4x] štvorec. Jednotky 2 = 2 štvorcových. Jednotky

Príklad 5 Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Tu je potrebné vypočítať plochu krivočiareho lichobežníka ohraničeného hornou vetvou paraboly y 2 \u003d x, os Ox a priame čiary x \u003d 1x \u003d 4 (pozri obr.)

Podľa vzorca (1), kde f(x) = a = 1 a b = 4, máme = (= štvorcových jednotiek

Príklad 6 . Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Požadovaná oblasť je ohraničená sínusoidou polovičnej vlny a osou Ox (pozri obr.).

Máme - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 metre štvorcových. Jednotky

Príklad 7 Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami: y \u003d - 6x, y \u003d 0 a x \u003d 4.

Obrázok sa nachádza pod osou Ox (pozri obr.).

Preto sa jeho plocha zistí podľa vzorca (3)

= =

Príklad 8 Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami: y \u003d a x \u003d 2. Krivku y \u003d zostavíme podľa bodov (pozri obrázok). Plocha obrázku sa teda nachádza podľa vzorca (4)

Príklad 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Tu je potrebné vypočítať plochu ohraničenú kružnicou x 2 + y 2 = r 2 t.j. oblasť kruhu s polomerom r so stredom v počiatku. Nájdite štvrtú časť tejto oblasti, pričom hranice integrácie si vezmeme od 0

dor; máme: 1 = = [

v dôsledku toho 1 =

Príklad 10 Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami: y \u003d x 2 a y = 2x

Toto číslo je obmedzené parabolou y \u003d x 2 a priamka y \u003d 2x (pozri obr.) Na určenie priesečníkov daných čiar riešime sústavu rovníc: x 2 – 2x = 0 x = 0 a x = 2

Pomocou vzorca (5) na nájdenie oblasti získame

= }