- (Math.) Funkcia y \u003d f (x) sa volá aj vtedy, ak sa nezmení, keď nezávislá premenná zmení iba znamienko, teda ak f (x) \u003d f (x). Ak f (x) = f (x), potom sa funkcia f (x) nazýva nepárna. Napríklad y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = x je príklad nepárnej funkcie. f(x) = x2 je príkladom párnej funkcie. f(x) = x3 ... Wikipedia

Funkcia, ktorá spĺňa rovnosť f (x) = f (x). Pozrite si párne a nepárne funkcie... Veľká sovietska encyklopédia

F(x) = x je príklad nepárnej funkcie. f(x) = x2 je príkladom párnej funkcie. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x je príklad nepárnej funkcie. f(x) = x2 je príkladom párnej funkcie. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x je príklad nepárnej funkcie. f(x) = x2 je príkladom párnej funkcie. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x je príklad nepárnej funkcie. f(x) = x2 je príkladom párnej funkcie. f(x) = x3 ... Wikipedia

Špeciálne funkcie zaviedol francúzsky matematik E. Mathieu v roku 1868 pri riešení úloh o kmitaní eliptickej membrány. M. f. sa používajú aj pri štúdiu distribúcie elektromagnetické vlny v eliptickom valci... Veľká sovietska encyklopédia

Požiadavka „hriech“ je presmerovaná sem; pozri aj iné významy. Požiadavka "sec" je presmerovaná sem; pozri aj iné významy. „Sine“ presmeruje tu; pozri aj iné významy ... Wikipedia

Funkcia sa nazýva párna (nepárna), ak je akákoľvek a rovnosť

.

Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi
.

Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu.

Príklad 6.2. Preskúmajte párne alebo nepárne funkcie

1)
; 2)
; 3)
.

Riešenie.

1) Funkcia je definovaná pomocou
. Poďme nájsť
.

Tie.
. znamená, danú funkciu je párny.

2) Funkcia je definovaná pre

Tie.
. Táto funkcia je teda zvláštna.

3) funkcia je definovaná pre , t.j. pre

,
. Preto funkcia nie je ani párna, ani nepárna. Nazvime to všeobecná funkcia.

3. Skúmanie funkcie pre monotónnosť.

Funkcia
sa nazýva zvyšovanie (klesanie) v určitom intervale, ak v tomto intervale každá väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej (menšej) hodnote funkcie.

Funkcie rastúce (klesajúce) v určitom intervale sa nazývajú monotónne.

Ak funkcia
diferencovateľné na intervale
a má kladnú (negatívnu) deriváciu
, potom funkciu
v tomto intervale stúpa (klesá).

Príklad 6.3. Nájdite intervaly monotónnosti funkcií

1)
; 3)
.

Riešenie.

1) Táto funkcia je definovaná na celej číselnej osi. Poďme nájsť derivát.

Derivácia je nula, ak
a
. Oblasť definície - číselná os, delená bodmi
,
pre intervaly. Určme znamienko derivácie v každom intervale.

V intervale
derivácia je záporná, funkcia na tomto intervale klesá.

V intervale
derivácia je kladná, preto funkcia na tomto intervale rastie.

2) Táto funkcia je definovaná, ak
alebo

.

V každom intervale určíme znamienko štvorcovej trojčlenky.

Teda rozsah funkcie

Poďme nájsť derivát
,
, ak
, t.j.
, ale
. Určme znamienko derivácie v intervaloch
.

V intervale
derivácia je záporná, preto funkcia na intervale klesá
. V intervale
derivácia je kladná, funkcia na intervale rastie
.

4. Skúmanie funkcie pre extrém.

Bodka
sa nazýva maximálny (minimálny) bod funkcie
, ak existuje takéto okolie bodu že pre všetkých
toto okolie spĺňa nerovnosť

.

Maximálne a minimálne body funkcie sa nazývajú extrémne body.

Ak funkcia
v bode má extrém, potom sa derivácia funkcie v tomto bode rovná nule alebo neexistuje (nevyhnutná podmienka existencie extrému).

Body, v ktorých sa derivácia rovná nule alebo neexistuje, sa nazývajú kritické.

5. Dostatočné podmienky pre existenciu extrému.

Pravidlo 1. Ak pri prechode (zľava doprava) cez kritický bod derivát
zmení znamienko z "+" na "-", potom na bod funkciu
má maximum; ak od "-" po "+", potom minimum; ak
nezmení znamienko, potom neexistuje extrém.

Pravidlo 2. Nech v bode
prvá derivácia funkcie
nula
a druhá derivácia existuje a je nenulová. Ak
, potom je maximálny bod, ak
, potom je minimálny bod funkcie.

Príklad 6.4 . Preskúmajte maximálne a minimálne funkcie:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Riešenie.

1) Funkcia je definovaná a spojitá na intervale
.

Poďme nájsť derivát
a vyriešiť rovnicu
, t.j.
.odtiaľ
sú kritické body.

Určme znamienko derivácie v intervaloch ,
.

Pri prechode cez body
a
derivácia mení znamienko z „-“ na „+“, preto podľa pravidla 1
sú minimálne body.

Pri prechode cez bod
derivácia mení znamienko z "+" na "-", takže
je maximálny bod.

,
.

2) Funkcia je definovaná a spojitá v intervale
. Poďme nájsť derivát
.

Riešením rovnice
, Nájsť
a
sú kritické body. Ak je menovateľ
, t.j.
, potom derivát neexistuje. takže,
je tretí kritický bod. Určme znamienko derivácie v intervaloch.

Preto má funkcia v bode minimum
, maximálne v bodoch
a
.

3) Funkcia je definovaná a spojitá, ak
, t.j. pri
.

Poďme nájsť derivát

.

Poďme nájsť kritické body:

Okolie bodov
nepatria do domény definície, teda nie sú extrémnymi t. Poďme teda preskúmať kritické body
a
.

4) Funkcia je definovaná a spojitá na intervale
. Použijeme pravidlo 2. Nájdite deriváciu
.

Poďme nájsť kritické body:

Poďme nájsť druhú deriváciu
a určiť jej znamienko v bodoch

V bodoch
funkcia má minimum.

V bodoch
funkcia má max.

Závislosť premennej y od premennej x, v ktorej každej hodnote x zodpovedá jedna hodnota y, sa nazýva funkcia. Zápis je y=f(x). Každá funkcia má množstvo základných vlastností, ako je monotónnosť, parita, periodicita a iné.

Zvážte paritnú vlastnosť podrobnejšie.

Funkcia y=f(x) sa volá aj vtedy, ak spĺňa nasledujúce dve podmienky:

2. Hodnota funkcie v bode x patriaca do rozsahu funkcie sa musí rovnať hodnote funkcie v bode -x. To znamená, že pre ľubovoľný bod x z oblasti funkcie musí platiť nasledujúca rovnosť f (x) \u003d f (-x).

Graf párnej funkcie

Ak vytvoríte graf párnej funkcie, bude symetrický okolo osi y.

Napríklad funkcia y=x^2 je párna. Poďme si to overiť. Oblasťou definície je celá číselná os, čo znamená, že je symetrická okolo bodu O.

Vezmite ľubovoľné x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Preto f(x) = f(-x). Obidve podmienky sú teda pre nás splnené, čo znamená, že funkcia je párna. Nižšie je uvedený graf funkcie y=x^2.

Obrázok ukazuje, že graf je symetrický okolo osi y.

Graf nepárnej funkcie

Funkcia y=f(x) sa nazýva nepárna, ak spĺňa tieto dve podmienky:

1. Definičný obor danej funkcie musí byť symetrický vzhľadom na bod O. To znamená, že ak nejaký bod a patrí do definičného oboru funkcie, potom aj príslušný bod -a musí patriť do definičného oboru danej funkcie.

2. Pre ľubovoľný bod x z oblasti funkcie musí byť splnená nasledujúca rovnosť f (x) \u003d -f (x).

Graf nepárnej funkcie je symetrický vzhľadom na bod O - počiatok. Napríklad funkcia y=x^3 je nepárna. Poďme si to overiť. Oblasťou definície je celá číselná os, čo znamená, že je symetrická okolo bodu O.

Vezmite ľubovoľné x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Preto f(x) = -f(x). Obe podmienky sú teda pre nás splnené, čo znamená, že funkcia je nepárna. Nižšie je uvedený graf funkcie y=x^3.

Obrázok jasne ukazuje, že nepárna funkcia y=x^3 je symetrická vzhľadom na počiatok.

Definícia 1. Funkcia sa volá dokonca (zvláštny ), ak spolu s každou hodnotou premennej
význam - X tiež patrí
a rovnosť

Funkcia teda môže byť párna alebo nepárna len vtedy, ak je jej definičný obor symetrický vzhľadom na počiatok na reálnej čiare (čísla X a - X zároveň patrí
). Napríklad funkcia
nie je ani párne, ani nepárne, keďže ide o doménu definície
nie sú symetrické podľa pôvodu.

Funkcia
dokonca, pretože
symetrické vzhľadom na počiatok súradníc a.

Funkcia
zvláštne, pretože
a
.

Funkcia
nie je párne ani nepárne, keďže hoci
a je symetrický vzhľadom na pôvod, nie sú splnené rovnosti (11.1). Napríklad,.

Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi OU, keďže ako bod

patrí aj do grafu. Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu, pretože ak
patrí do grafu, potom bod
patrí aj do grafu.

Pri dokazovaní, či je funkcia párna alebo nepárna, sú užitočné nasledujúce tvrdenia.

Veta 1. a) Súčet dvoch párnych (nepárnych) funkcií je párna (nepárna) funkcia.

b) Súčin dvoch párnych (nepárnych) funkcií je párna funkcia.

c) Súčin párnej a nepárnej funkcie je nepárna funkcia.

d) Ak f je rovnomerná funkcia na súprave X a funkciu g definované na súprave
, potom funkciu
- dokonca.

e) Ak f je nepárna funkcia na súprave X a funkciu g definované na súprave
a párne (nepárne), potom funkcia
- Párny Nepárny).

Dôkaz. Dokážme napríklad b) ad).

b) Nechajte
a
sú dokonca funkcie. Potom teda. Prípad nepárnych funkcií sa posudzuje podobne
a
.

d) Nechajte f je rovnomerná funkcia. Potom.

Ostatné tvrdenia vety sú dokázané podobne. Veta bola dokázaná.

Veta 2. Akákoľvek funkcia
, definované na súprave X, ktorý je symetrický vzhľadom na počiatok, možno znázorniť ako súčet párnej a nepárnej funkcie.

Dôkaz. Funkcia
možno napísať vo forme

.

Funkcia
je párny, pretože
a funkciu
je zvláštne, pretože. Touto cestou,
, kde
- párne a
je zvláštna funkcia. Veta bola dokázaná.

Definícia 2. Funkcia
volal periodikum ak je tam číslo
, a to tak, že pre akékoľvek
čísla
a
patria tiež do oblasti definície
a rovnosť

Takéto číslo T volal obdobie funkcie
.

Z definície 1 vyplýva, že ak T– funkčné obdobie
, potom číslo T tiež je obdobie funkcie
(pretože pri výmene T na - T je zachovaná rovnosť). Pomocou metódy matematickej indukcie možno ukázať, že ak T– funkčné obdobie f, potom a
, je tiež obdobie. Z toho vyplýva, že ak má funkcia periódu, potom má nekonečne veľa periód.

Definícia 3. Najmenšia z kladných periód funkcie sa nazýva jej hlavné obdobie.

Veta 3. Ak T je hlavným obdobím funkcie f, potom zostávajúce obdobia sú jeho násobky.

Dôkaz. Predpokladajme opak, teda že existuje obdobie funkcie f (>0), nie viacnásobné T. Potom delenie na T so zvyškom dostaneme
, kde
. Preto

to jest – funkčné obdobie f, a
, čo odporuje skutočnosti, že T je hlavným obdobím funkcie f. Tvrdenie vety vyplýva zo získaného rozporu. Veta bola dokázaná.

Je dobre známe, že goniometrické funkcie sú periodické. Hlavné obdobie
a
rovná sa
,
a
. Nájdite periódu funkcie
. Nechaj
je obdobie tejto funkcie. Potom

(pretože
.

ororor
.

Význam T, určená z prvej rovnosti, nemôže byť bodkou, keďže závisí od X, t.j. je funkciou X, nie konštantné číslo. Obdobie sa určuje od druhej rovnosti:
. Období je nekonečne veľa
najmenšie kladné obdobie sa získa, keď
:
. Toto je hlavné obdobie funkcie
.

Príkladom zložitejšej periodickej funkcie je Dirichletova funkcia

Všimnite si, že ak T je teda racionálne číslo
a
sú racionálne čísla pod racionálnymi X a iracionálne, keď iracionálne X. Preto

pre akékoľvek racionálne číslo T. Preto akékoľvek racionálne číslo T je obdobie Dirichletovej funkcie. Je jasné, že táto funkcia nemá žiadnu hlavnú periódu, pretože existujú kladné racionálne čísla ľubovoľne blízke nule (napríklad racionálne číslo možno vytvoriť výberom nľubovoľne blízko nule).

Veta 4. Ak funkcia f nastaviť na súprave X a má obdobie T a funkciu g nastaviť na súprave
, potom komplexná funkcia
má tiež obdobie T.

Dôkaz. Preto máme

to znamená, že tvrdenie vety je dokázané.

Napríklad od r cos X má obdobie
, potom funkcie
mať obdobie
.

Definícia 4. Volajú sa funkcie, ktoré nie sú periodické neperiodické .

Skryť reláciu

Spôsoby nastavenia funkcie

Nech je funkcia daná vzorcom: y=2x^(2)-3 . Priradením ľubovoľnej hodnoty nezávislej premennej x môžete tento vzorec použiť na výpočet zodpovedajúcich hodnôt závislej premennej y. Napríklad, ak x=-0,5 , potom pomocou vzorca dostaneme, že zodpovedajúca hodnota y je y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 .

Vzhľadom na akúkoľvek hodnotu získanú argumentom x vo vzorci y=2x^(2)-3 možno vypočítať iba jednu funkčnú hodnotu, ktorá jej zodpovedá. Funkcia môže byť reprezentovaná ako tabuľka:

X	−2	−1	0	1	2	3
r	−4	−3	−2	−1	0	1

Pomocou tejto tabuľky môžete zistiť, že pre hodnotu argumentu -1 bude zodpovedať hodnota funkcie -3; a hodnota x=2 bude zodpovedať y=0 atď. Je tiež dôležité vedieť, že každá hodnota argumentu v tabuľke zodpovedá iba jednej funkčnej hodnote.

Viac funkcií je možné nastaviť pomocou grafov. Pomocou grafu sa zistí, ktorá hodnota funkcie koreluje s určitou hodnotou x. Najčastejšie to bude približná hodnota funkcie.

Párna a nepárna funkcia

Funkcia je dokonca funkciu, keď f(-x)=f(x) pre ľubovoľné x z domény. Takáto funkcia bude symetrická okolo osi Oy.

Funkcia je nepárna funkcia keď f(-x)=-f(x) pre ľubovoľné x v doméne. Takáto funkcia bude symetrická okolo začiatku O (0;0) .

Funkcia je ani, ani nepárne a volal funkciu všeobecný pohľad keď nemá symetriu okolo osi alebo pôvodu.

Skúmame nasledujúcu funkciu pre paritu:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) so symetrickou doménou definície pôvodu. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Preto je funkcia f(x)=3x^(3)-7x^(7) nepárna.

Periodická funkcia

Funkcia y=f(x) , v ktorej definičnom obore pre ľubovoľné x platí rovnosť f(x+T)=f(x-T)=f(x) , sa nazýva periodická funkcia s periódou T \neq 0 .

Opakovanie grafu funkcie na ľubovoľnom segmente osi x, ktorý má dĺžku T .

Intervaly, kde je funkcia kladná, to znamená f (x) > 0 - segmenty osi x, ktoré zodpovedajú bodom grafu funkcie, ktoré ležia nad osou x.

f(x) > 0 zapnuté (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Medzery, kde je funkcia záporná, t.j. f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \pohár (x_(2); x_(3))

Obmedzenie funkcie

ohraničené zdola je zvykom volať funkciu y=f(x), x \in X, keď existuje číslo A, pre ktoré platí nerovnosť f(x) \geq A pre ľubovoľné x \in X .

Príklad funkcie ohraničenej nižšie: y=\sqrt(1+x^(2)) keďže y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 pre ľubovoľné x .

ohraničené zhora funkcia y=f(x), x \in X sa volá, ak existuje číslo B, pre ktoré platí nerovnosť f(x) \neq B pre ľubovoľné x \in X .

Príklad funkcie ohraničenej nižšie: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] keďže y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 pre ľubovoľné x \in [-1;1] .

Obmedzené je zvykom volať funkciu y=f(x), x \in X, keď existuje číslo K > 0, pre ktoré platí nerovnosť \left | f(x) \vpravo | \neq K pre ľubovoľné x \in X .

Príklad obmedzená funkcia: y=\sin x je obmedzené na celej číselnej osi, pretože \left | \sin x \vpravo | \neq 1.

Zvyšovanie a znižovanie funkcie

Je zvykom hovoriť o funkcii, ktorá sa zvyšuje v uvažovanom intervale ako zvýšenie funkcie keď väčšia hodnota x bude zodpovedať väčšej hodnote funkcie y=f(x) . Odtiaľ sa ukazuje, že ak vezmeme z uvažovaného intervalu dve ľubovoľné hodnoty argumentu x_(1) a x_(2) a x_(1) > x_(2) , bude to y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Volá sa funkcia, ktorá klesá v uvažovanom intervale klesajúca funkcia keď väčšia hodnota x bude zodpovedať menšej hodnote funkcie y(x) . Odtiaľ sa ukazuje, že ak vezmeme z uvažovaného intervalu dve ľubovoľné hodnoty argumentu x_(1) a x_(2) a x_(1) > x_(2) , bude to y(x_(1))< y(x_{2}) .

Korene funkcie je zvykom pomenovať body, v ktorých funkcia F=y(x) pretína os x (získame ich ako výsledok riešenia rovnice y(x)=0 ).

a) Ak sa párna funkcia zvýši pre x > 0, potom sa pre x zníži< 0

b) Keď párna funkcia klesá pre x > 0, potom sa zvyšuje pre x< 0

c) Keď sa nepárna funkcia zvýši pre x > 0, potom sa zvýši aj pre x< 0

d) Keď sa nepárna funkcia zníži pre x > 0, potom sa zníži aj pre x< 0

Funkčné extrémy

Minimálny bod funkcie y=f(x) je zvykom nazývať taký bod x=x_(0) , v ktorom jeho okolie bude mať ďalšie body (okrem bodu x=x_(0) ), a potom nerovnosť f(x) > f (x_(0)) . y_(min) - označenie funkcie v bode min.

Maximálny bod funkcie y=f(x) je zvykom nazývať taký bod x=x_(0) , v ktorom jeho okolie bude mať ďalšie body (okrem bodu x=x_(0) ), a potom nerovnosť f(x) bude pre nich spokojný< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Nevyhnutná podmienka

Podľa Fermatovej vety: f"(x)=0, potom keď funkcia f(x) , ktorá je diferencovateľná v bode x_(0) , objaví sa v tomto bode extrém.

Dostatočný stav

1. Keď sa znamienko derivácie zmení z plus na mínus, potom x_(0) bude minimálny bod;
2. x_(0) - bude maximálnym bodom iba vtedy, keď derivácia zmení znamienko z mínus na plus pri prechode cez stacionárny bod x_(0) .

Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie na intervale

Kroky výpočtu:

1. Hľadá sa derivácia f"(x) ;
2. Nájdu sa stacionárne a kritické body funkcie a vyberú sa tie, ktoré patria do intervalu;
3. Hodnoty funkcie f(x) sa nachádzajú v stacionárnych a kritických bodoch a na koncoch segmentu. Najmenší z výsledkov bude najmenšia hodnota funkcie, a viac - najväčší.