Ak sú uhlopriečky v rovnoramennom lichobežníku kolmé, pri riešení problému bude užitočný nasledujúci teoretický materiál.

1. Ak sú uhlopriečky v rovnoramennom lichobežníku kolmé, výška lichobežníka je polovicou súčtu základní.

Nakreslíme priamku CF cez bod C rovnobežnú s BD a predĺžime priamku AD, kým nepretína CF.

Štvoruholník BCFD je rovnobežník (BC∥ DF ako základňa lichobežníka, BD∥ CF podľa konštrukcie). Takže CF=BD, DF=BC a AF=AD+BC.

Trojuholník ACF je pravouhlý (ak je čiara kolmá na jednu z dvoch rovnobežných čiar, potom je tiež kolmá na druhú čiaru). Pretože uhlopriečky v rovnoramennom lichobežníku sú rovnaké a CF=BD, potom CF=AC, čiže trojuholník ACF je rovnoramenný so základňou AF. Preto je jeho výška CN tiež mediánom. A keďže medián pravouhlého trojuholníka nakresleného na preponu sa rovná jeho polovici

čo v všeobecný pohľad možno napísať ako

kde h je výška lichobežníka, a a b sú jeho základne.

2. Ak v rovnoramennom lichobežníku sú uhlopriečky kolmé, potom sa jeho výška rovná stredná čiara.

Keďže stredová čiara lichobežníka m sa rovná polovici súčtu základov, potom

3. Ak sú uhlopriečky kolmé v rovnoramennom lichobežníku, potom sa plocha lichobežníka rovná štvorcu výšky lichobežníka (alebo štvorcu polovičného súčtu základov alebo štvorcu stredovej čiary ).

Pretože oblasť lichobežníka sa nachádza podľa vzorca

a výška, polovica súčtu základní a stredová čiara rovnoramenného lichobežníka s kolmými uhlopriečkami sa navzájom rovnajú:

4. Ak sú uhlopriečky v rovnoramennom lichobežníku kolmé, potom sa druhá mocnina jeho uhlopriečky rovná polovici druhej mocniny súčtu základní, ako aj dvojnásobku druhej mocniny výšky a dvojnásobku druhej mocniny stredovej čiary.

Pretože oblasť konvexného štvoruholníka možno nájsť pomocou jeho uhlopriečok a uhla medzi nimi pomocou vzorca

1. Segment spájajúci stredy uhlopriečok lichobežníka sa rovná polovici rozdielu základní
2. Trojuholníky tvorené základňami lichobežníka a úsečkami uhlopriečok až po ich priesečník sú podobné
3. Trojuholníky tvorené segmentmi uhlopriečok lichobežníka, ktorých strany ležia na stranách lichobežníka - sú rovnaké (majú rovnakú plochu)
4. Ak predĺžime strany lichobežníka smerom k menšej základni, potom sa budú pretínať v jednom bode s priamkou spájajúcou stredy základov
5. Segment spájajúci základne lichobežníka a prechádzajúci priesečníkom uhlopriečok lichobežníka je rozdelený týmto bodom v pomere, ktorý sa rovná pomeru dĺžok základov lichobežníka.
6. Segment rovnobežný so základňami lichobežníka a pretiahnutý cez priesečník uhlopriečok je rozpolený týmto bodom a jeho dĺžka je 2ab / (a ​​​​+ b), kde a a b sú základne lichobežníka.

Vlastnosti segmentu spájajúceho stredy uhlopriečok lichobežníka

Pripojte stredy uhlopriečok lichobežníka ABCD, v dôsledku čoho budeme mať segment LM.
Úsečka, ktorá spája stredy uhlopriečok lichobežníka leží na strednej čiare lichobežníka.

Tento segment rovnobežne so základňami lichobežníka.

Dĺžka segmentu spájajúceho stredy uhlopriečok lichobežníka sa rovná polovičnému rozdielu jeho základní.

LM = (AD - BC)/2
alebo
LM = (a-b)/2

Vlastnosti trojuholníkov tvorených uhlopriečkami lichobežníka

Trojuholníky, ktoré sú tvorené základňami lichobežníka a priesečníkom uhlopriečok lichobežníka - sú podobné.
Trojuholníky BOC a AOD sú podobné. Pretože uhly BOC a AOD sú vertikálne, sú rovnaké.
Uhly OCB a OAD sú vnútorné priečne ležiace na rovnobežných priamkach AD a BC (základy lichobežníka sú navzájom rovnobežné) a sečna AC sú teda rovnaké.
Uhly OBC a ODA sú rovnaké z rovnakého dôvodu (vnútorné priečne ležiace).

Pretože všetky tri uhly jedného trojuholníka sa rovnajú zodpovedajúcim uhlom iného trojuholníka, tieto trojuholníky sú podobné.

Čo z toho vyplýva?

Na riešenie problémov v geometrii sa podobnosť trojuholníkov používa nasledovne. Ak poznáme dĺžky dvoch zodpovedajúcich prvkov podobných trojuholníkov, potom nájdeme koeficient podobnosti (jeden delíme druhým). Odkiaľ sú dĺžky všetkých ostatných prvkov vo vzájomnom vzťahu presne rovnakou hodnotou.

Vlastnosti trojuholníkov ležiacich na bočnej strane a uhlopriečok lichobežníka

Uvažujme dva trojuholníky ležiace po stranách lichobežníka AB a CD. Sú to trojuholníky AOB a COD. Napriek tomu, že veľkosti jednotlivých strán týchto trojuholníkov môžu byť úplne odlišné, ale plochy trojuholníkov tvorené stranami a priesečníkom uhlopriečok lichobežníka sú, to znamená, že trojuholníky sú rovnaké.

Ak sú strany lichobežníka predĺžené smerom k menšej základni, potom bude priesečník strán sa zhodujú s priamkou, ktorá prechádza strednými bodmi základov.

Akýkoľvek lichobežník sa teda môže rozšíriť na trojuholník. kde:

• Trojuholníky tvorené základňami lichobežníka so spoločným vrcholom v priesečníku predĺžených strán sú podobné
• Priamka spájajúca stredy podstav lichobežníka je zároveň stredom zostrojeného trojuholníka.

Vlastnosti segmentu spájajúceho základne lichobežníka

Ak nakreslíte segment, ktorého konce ležia na základniach lichobežníka, ktorý leží v priesečníku uhlopriečok lichobežníka (KN), potom pomer jeho základných segmentov od strany základne k priesečníku uhlopriečky (KO / ON) sa bude rovnať pomeru základov lichobežníka(BC/AD).

KO/ON=BC/AD

Táto nehnuteľnosť vyplýva z podobnosti zodpovedajúcich trojuholníkov (pozri vyššie).

Vlastnosti segmentu rovnobežného so základňami lichobežníka

Ak nakreslíme segment rovnobežný so základňami lichobežníka a prechádzajúci priesečníkom uhlopriečok lichobežníka, bude mať nasledujúce vlastnosti:

• Prednastavená vzdialenosť (KM) rozpolí priesečník uhlopriečok lichobežníka
• Dĺžka rezu, prechádzajúci priesečníkom uhlopriečok lichobežníka a rovnobežný so základňami, sa rovná KM = 2ab/(a + b)

Vzorce na nájdenie uhlopriečok lichobežníka

a, b- základy lichobežníka

c, d- strany lichobežníka

d1 d2- uhlopriečky lichobežníka

α β - uhly s väčšou základňou lichobežníka

Vzorce na nájdenie uhlopriečok lichobežníka cez základne, strany a uhly na základni

Prvá skupina vzorcov (1-3) odráža jednu z hlavných vlastností lichobežníkových uhlopriečok:

1. Súčet druhých mocnín uhlopriečok lichobežníka sa rovná súčtu druhých mocnín strán plus dvojnásobku súčinu jeho základní. Túto vlastnosť uhlopriečok lichobežníka možno dokázať ako samostatnú vetu

2 . Tento vzorec sa získa transformáciou predchádzajúceho vzorca. Druhá mocnina druhej uhlopriečky sa prehodí cez znamienko rovnosti a potom sa z ľavej a pravej strany výrazu vyberie druhá odmocnina.

3 . Tento vzorec na zistenie dĺžky uhlopriečky lichobežníka je podobný predchádzajúcemu s tým rozdielom, že na ľavej strane výrazu je ponechaná ďalšia uhlopriečka.

Ďalšia skupina vzorcov (4-5) je významovo podobná a vyjadruje podobný vzťah.

Skupina vzorcov (6-7) vám umožňuje nájsť uhlopriečku lichobežníka, ak poznáte väčšiu základňu lichobežníka, jednu stranu a uhol v základni.

Vzorce na nájdenie uhlopriečok lichobežníka z hľadiska výšky

Poznámka. V tejto lekcii je uvedené riešenie úloh z geometrie o lichobežníkoch. Ak ste nenašli riešenie problému geometrie typu, ktorý vás zaujíma - položte otázku na fóre.

Úloha.
Uhlopriečky lichobežníka ABCD (AD | | BC) sa pretínajú v bode O. Nájdite dĺžku základne BC lichobežníka, ak základňa AD = 24 cm, dĺžka AO = 9 cm, dĺžka OS = 6 cm.

Riešenie.
Riešenie tejto úlohy je z hľadiska ideológie absolútne totožné s predchádzajúcimi úlohami.

Trojuholníky AOD a BOC sú podobné v troch uhloch - AOD a BOC sú vertikálne a ostatné uhly sú párovo rovnaké, pretože sú tvorené priesečníkom jednej čiary a dvoch rovnobežných čiar.

Keďže trojuholníky sú podobné, všetky ich geometrické rozmery spolu súvisia, ako nám známe geometrické rozmery úsečiek AO a OC podľa stavu úlohy. Teda

AO/OC=AD/BC
9 / 6 = 24 / pred Kr.
BC = 24 * 6/9 = 16

Odpoveď: 16 cm

Úloha .
V lichobežníku ABCD je známe, že AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Nájdite oblasť lichobežníka.

Riešenie .
Aby sme našli výšku lichobežníka z vrcholov menšej základne B a C, znížime dve výšky na väčšiu základňu. Keďže lichobežník je nerovný, označíme dĺžku AM = a, dĺžku KD = b ( nezamieňať so symbolmi vo vzorci nájdenie oblasti lichobežníka). Keďže základne lichobežníka sú rovnobežné a vynechali sme dve výšky kolmé na väčšiu základňu, potom MBCK je obdĺžnik.

Prostriedky
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Trojuholníky DBM a ACK sú pravouhlé, takže ich pravé uhly tvoria výšky lichobežníka. Označme výšku lichobežníka ako h. Potom podľa Pytagorovej vety

H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
a
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2

Zvážte, že a \u003d 16 - b, potom v prvej rovnici
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2

Dosaďte hodnotu druhej mocniny výšky do druhej rovnice, získanej Pytagorovou vetou. Dostaneme:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Takže KD = 12
Kde
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5

Nájdite plochu lichobežníka pomocou jeho výšky a polovice súčtu základov
, kde a b - základy lichobežníka, h - výška lichobežníka
S \u003d (24 + 8) * 5 / 2 \u003d 80 cm 2

Odpoveď: plocha lichobežníka je 80 cm2.

Opäť pytagorovský trojuholník :))) Ak kúsok veľkej uhlopriečky od veľkej základne po priesečník označíme x, potom zo zjavnej podobnosti pravouhlých trojuholníkov s rovnakými uhlami vyplýva x / 64 = 36 / x, teda x = 48; 48/64 = 3 / 4, takže VŠETKY pravouhlé trojuholníky tvorené základňami, uhlopriečkami a stranou kolmou na základňu sú podobné trojuholníku so stranami 3, 4, 5. Výnimkou je len trojuholník tvorený kúskami uhlopriečok a šikmou stranou, ale ten nás nezaujíma :). (Aby bolo jasné, predmetná podobizeň je len POMENOVANÁ INÝM goniometrické funkcie uhly :) už poznáme tangens uhla medzi veľkou uhlopriečkou a veľkou základňou, je to 3/4, čiže sínus je 3/5, a kosínus 4/5 :)) Hneď môžete písať

Odpovede. Spodná základňa je 80, výška lichobežníka bude 60 a horná 45. (36*5/4 = 45, 64*5/4 = 80, 100*3/5 = 60)

Súvisiace úlohy:

1. Základňa hranola je trojuholník, ktorého jedna strana má 2 cm a ďalšie dve 3 cm. Bočná hrana má 4 cm a zviera so základnou rovinou uhol 45. Nájdite hranu hranola rovnaká kocka.

2. Podstava nakloneného hranola je rovnostranný trojuholník so stranou a; jedna z bočných plôch je kolmá na rovinu základne a je to kosoštvorec, ktorého menšia uhlopriečka je c. Nájdite objem hranola.

3. V naklonenom hranole je základňa správny trojuholník, ktorého prepona je c, jedna ostrý roh 30 je bočná hrana rovná a zviera so základnou rovinou uhol 60. Nájdite objem hranola.

1. Nájdite stranu štvorca, ak je jeho uhlopriečka 10 cm

2. V rovnoramennom lichobežníku je tupý uhol o 135 stupňov menší ako základňa je 4 cm a výška je 2 cm, nájdite oblasť lichobežníka?

3. Výška lichobežníka je 3-krát väčšia ako jedna zo základov, ale polovica druhej. Nájdite základne lichobežníka a výšku, ak je plocha lichobežníka 168 cm štvorcových?

4. V trojuholníku ABC je uhol A = Uhol = 75 stupňov. Nájdite BC, ak je plocha trojuholníka 36 cm na druhú.

1. V lichobežníku ABCD so stranami AB a CD sa diagonály pretínajú v bode O

a) Porovnajte obsahy trojuholníkov ABD a ACD

b) Porovnajte obsahy trojuholníkov ABO a CDO

c) Dokážte, že OA*OB=OC*OD

2. Základňa rovnoramenného trojuholníka súvisí so stranou v pomere 4:3 a výška nakreslená k základni je 30 cm Nájdite segmenty, na ktoré je táto výška rozdelená osou uhla v základni.

3. Priamka AM - dotyčnica ku kružnici, AB-tetiva tejto kružnice. Dokážte, že uhol MAB sa meria polovicou oblúka AB nachádzajúceho sa vo vnútri uhla MAB.