Kvadratické rovnice sa študujú v 8. ročníku, takže tu nie je nič zložité. Schopnosť ich riešiť je nevyhnutná.

Kvadratická rovnica je rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde koeficienty a, b a c sú ľubovoľné čísla a a ≠ 0.

Pred štúdiom konkrétnych metód riešenia si všimneme, že všetky kvadratické rovnice možno rozdeliť do troch tried:

1. Nemať korene;
2. Majú presne jeden koreň;
3. Majú dva rôzne korene.

Toto je dôležitý rozdiel medzi kvadratickými a lineárnymi rovnicami, kde koreň vždy existuje a je jedinečný. Ako určiť, koľko koreňov má rovnica? Je na to úžasná vec - diskriminačný.

Diskriminačný

Nech je daná kvadratická rovnica ax 2 + bx + c = 0. Potom je diskriminantom jednoducho číslo D = b 2 − 4ac .

Tento vzorec musí byť známy naspamäť. Odkiaľ pochádza, nie je teraz dôležité. Ďalšia vec je dôležitá: podľa znamienka diskriminantu môžete určiť, koľko koreňov má kvadratická rovnica. menovite:

1. Ak D< 0, корней нет;
2. Ak D = 0, existuje práve jeden koreň;
3. Ak D > 0, budú existovať dva korene.

Upozorňujeme: diskriminant označuje počet koreňov a vôbec nie ich znaky, ako si z nejakého dôvodu mnohí ľudia myslia. Pozrite si príklady a sami všetko pochopíte:

Úloha. Koľko koreňov majú kvadratické rovnice:

1. x 2 - 8 x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Napíšeme koeficienty pre prvú rovnicu a nájdeme diskriminant:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Takže diskriminant je kladný, takže rovnica má dva rôzne korene. Druhú rovnicu analyzujeme rovnakým spôsobom:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminant je negatívny, neexistujú žiadne korene. Zostáva posledná rovnica:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant sa rovná nule - koreň bude jedna.

Všimnite si, že koeficienty boli napísané pre každú rovnicu. Áno, je to dlhé, áno, je to zdĺhavé – ale nebudete si miešať šance a neurobíte hlúpe chyby. Vyberte si sami: rýchlosť alebo kvalitu.

Mimochodom, ak si „naplníte ruku“, po chvíli už nebudete musieť vypisovať všetky koeficienty. Takéto operácie budete vykonávať v hlave. Väčšina ľudí to začne robiť niekde po 50-70 vyriešených rovniciach - vo všeobecnosti nie tak veľa.

Korene kvadratickej rovnice

Teraz prejdime k riešeniu. Ak je diskriminant D > 0, korene možno nájsť pomocou vzorcov:

Základný vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Keď D = 0, môžete použiť ktorýkoľvek z týchto vzorcov – dostanete rovnaké číslo, ktoré bude odpoveďou. Nakoniec, ak D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2 x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Prvá rovnica:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ rovnica má dva korene. Poďme ich nájsť:

Druhá rovnica:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ rovnica má opäť dva korene. Poďme ich nájsť

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(zarovnať)\]

Nakoniec tretia rovnica:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ rovnica má jeden koreň. Môže sa použiť akýkoľvek vzorec. Napríklad ten prvý:

Ako vidíte z príkladov, všetko je veľmi jednoduché. Ak poznáte vzorce a viete počítať, nebudú žiadne problémy. Najčastejšie sa chyby vyskytujú pri dosadení záporných koeficientov do vzorca. Tu opäť pomôže technika opísaná vyššie: pozrite sa na vzorec doslova, namaľte každý krok - a zbavte sa chýb veľmi skoro.

Neúplné kvadratické rovnice

Stáva sa, že kvadratická rovnica je trochu odlišná od toho, čo je uvedené v definícii. Napríklad:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Je ľahké vidieť, že v týchto rovniciach chýba jeden z členov. Takéto kvadratické rovnice sa riešia ešte ľahšie ako štandardné: nepotrebujú ani vypočítať diskriminant. Predstavme si teda nový koncept:

Rovnicu ax 2 + bx + c = 0 nazývame neúplnou kvadratickou rovnicou, ak b = 0 alebo c = 0, t.j. koeficient premennej x alebo voľného prvku sa rovná nule.

Samozrejme, je možný veľmi ťažký prípad, keď sa oba tieto koeficienty rovnajú nule: b \u003d c \u003d 0. V tomto prípade má rovnica tvar ax 2 \u003d 0. Je zrejmé, že takáto rovnica má jedinú koreň: x \u003d 0.

Pozrime sa na ďalšie prípady. Nech b \u003d 0, potom dostaneme neúplnú kvadratickú rovnicu tvaru ax 2 + c \u003d 0. Poďme ju mierne transformovať:

Keďže aritmetická druhá odmocnina existuje len z nezáporného čísla, posledná rovnosť má zmysel len vtedy, keď (−c / a ) ≥ 0. Záver:

1. Ak neúplná kvadratická rovnica v tvare ax 2 + c = 0 spĺňa nerovnosť (−c / a ) ≥ 0, korene budú dva. Vzorec je uvedený vyššie;
2. Ak (-c / a)< 0, корней нет.

Ako vidíte, diskriminant nebol potrebný - v neúplných kvadratických rovniciach neexistujú vôbec žiadne zložité výpočty. V skutočnosti si ani netreba pamätať nerovnosť (−c / a ) ≥ 0. Stačí vyjadriť hodnotu x 2 a pozrieť sa, čo je na druhej strane znamienka rovnosti. Ak existuje kladné číslo, budú existovať dva korene. Ak je negatívny, nebudú tam žiadne korene.

Teraz sa pozrime na rovnice tvaru ax 2 + bx = 0, v ktorých sa voľný prvok rovná nule. Všetko je tu jednoduché: vždy budú existovať dva korene. Polynóm stačí rozložiť na faktor:

Vyňatie spoločného faktora zo zátvorky

Súčin sa rovná nule, keď sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. Odtiaľ pochádzajú korene. Na záver analyzujeme niekoľko z týchto rovníc:

Úloha. Riešte kvadratické rovnice:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Neexistujú žiadne korene, pretože štvorec sa nemôže rovnať zápornému číslu.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Mestská vzdelávacia inštitúcia
"Základná komplexná škola Kosinskaya"

Lekcia s využitím IKT

Riešenie kvadratických rovníc podľa vzorca.

Vývojár:
Čerevina Oksana Nikolaevna
učiteľ matematiky

Cieľ:
opraviť riešenie kvadratických rovníc vzorcom,
prispievať k rozvoju túžby a potreby študentov zovšeobecňovať skúmané fakty,
rozvíjať samostatnosť a kreativitu.

Vybavenie:
matematický diktát (1. prezentácia),
karty s viacúrovňovými úlohami pre samostatnú prácu,
tabuľku vzorcov na riešenie kvadratických rovníc (v rohu „Na pomoc s lekciou“),
výtlačok „Starého problému“ (počet študentov),
bodovacia tabuľka na tabuli.

Celkový plán:
Kontrola domácich úloh
Matematický diktát.
ústne cvičenia.
Riešenie posilňovacích cvičení.
Samostatná práca.
Odkaz na históriu.

Počas vyučovania.
Organizačný moment.

Kontrola domácich úloh.
- Chlapci, s akými rovnicami sme sa stretli na posledných hodinách?
Ako môžete vyriešiť kvadratické rovnice?
- Doma ste museli vyriešiť 1 rovnicu dvoma spôsobmi.
(Rovnica bola uvedená v 2 úrovniach, navrhnutá pre slabých a silných študentov)
Overme si to so mnou. Ako ste dokončili úlohu.
(na tabuľu učiteľ pred vyučovaním zapíše riešenie domácej úlohy)
Študenti skontrolujú a vyvodia záver: neúplné kvadratické rovnice sa ľahšie riešia faktorizáciou alebo bežným spôsobom, úplné - podľa vzorca.
Učiteľ zdôrazňuje: nie nadarmo sa takto rieši štvorec. rovnice podľa vzorca sa nazývajú univerzálne.

Opakovanie.

Dnes v lekcii budeme s vami pokračovať v riešení kvadratických rovníc. Naša lekcia bude nezvyčajná, pretože dnes vás nebudem hodnotiť len ja, ale aj vy sami. Aby ste získali dobrú známku a boli úspešní v samoštúdiu, musíte získať čo najviac bodov. Každý jeden bod, myslím, že ste si už zarobili robením domácich úloh.
- A teraz chcem, aby ste si zapamätali a zopakovali definície a vzorce, ktoré sme študovali na túto tému. (Odpovede študentov sú hodnotené 1 bodom za správnu odpoveď a 0 bodov za nesprávnu)
- A teraz, chlapci, dokončíme matematický diktát, pozorne a rýchlo si prečítame úlohu na monitore počítača. (Prezentácia 1)
Študenti robia prácu a používajú kľúč na hodnotenie svojej práce.

Matematický diktát.

Kvadratická rovnica je rovnica tvaru...
V kvadratickej rovnici je 1. koeficient ..., 2. koeficient je ..., voľný člen je ...
Kvadratická rovnica sa nazýva redukovaná, ak...
Napíšte vzorec na výpočet diskriminantu kvadratickej rovnice
Napíšte vzorec na výpočet koreňa kvadratickej rovnice, ak je v rovnici iba jeden koreň.
Za akých podmienok nemá kvadratická rovnica korene?

(samotest pomocou PC, za každú správnu odpoveď - 1 bod).

ústne cvičenia. (na zadnej strane dosky)
Koľko koreňov má každá rovnica? (úloha sa tiež odhaduje na 1 bod)
1. (x - 1) (x + 11) = 0;
2. (x - 2)² + 4 \u003d 0;
3. (2x - 1) (4 + x) \u003d 0;
4. (x – 0,1) x = 0;
5. x² + 5 = 0;
6. 9x² - 1 \u003d 0;
7. x² - 3x \u003d 0;
8. x + 2 = 0;
9. 16x² + 4 = 0;
10. 16x² - 4 \u003d 0;
11. 0,07x² \u003d 0.

Riešenie cvičení na upevnenie učiva.

Z rovníc navrhnutých na monitore PC sa vykonávajú samostatne (CD-7), pri kontrole študenti, ktorí správne dokončili výpočty, zdvihnú ruky (1 bod); v tomto čase slabší žiaci riešia jednu rovnicu na tabuli a tí, ktorí si s úlohou poradili sami, dostanú po 1 bode.

Samostatná práca v 2 variantoch.
Tí, ktorí dosiahli 5 a viac bodov, začínajú samostatnú prácu od čísla 5.
Kto skóroval 3 a menej - od 1.

Možnosť 1.

a) 3x² + 6x - 6 = 0, b) x² - 4x + 4 = 0, c) x² - x + 1 = 0.

č. 2. Pokračujte vo výpočte diskriminantu D kvadratickej rovnice ax² + bx + c = 0 pomocou vzorca D = b² - 4ac.

a) 5x² - 7x + 2 = 0,
D = b2-4ac
D \u003d (-7²) - 4 5 2 \u003d 49 - 40 \u003d ...;
b) x² - x - 2 = 0,
D = b2-4ac
D \u003d (-1) ² - 4 1 (-2) \u003d ...;

číslo 3. Dokončite rovnicu
3x² - 5x - 2 = 0.
D = b2-4ac
D \u003d (-5) ² - 4 3 (-2) \u003d 49.
x =...

č. 4. Vyriešte rovnicu.

a) (x - 5) (x + 3) = 0; b) x² + 5x + 6 = 0

a) (x-3)^2=3x-5; b) (x+4)(2x-1)=x(3x+11)

č. 6. Vyriešte rovnicu x2+2√2 x+1=0
č. 7. Pri akej hodnote a má rovnica x² - 2ax + 3 = 0 jeden koreň?

Možnosť 2.

č. 1. Pre každú rovnicu v tvare ax² + bx + c = 0 napíšte hodnoty a, b, c.

a) 4x² - 8x + 6 = 0, b) x² + 2x - 4 = 0, c) x² - x + 2 = 0.

č. 2. Pokračujte vo výpočte diskriminantu D kvadratickej rovnice ax² + bx + c = 0 pomocou vzorca D = b² - 4ac.

a) 5x² + 8x - 4 \u003d 0,
D = b2-4ac
D \u003d 8² - 4 5 (- 4) \u003d 64 - 60 \u003d ...;

b) x² - 6x + 5 = 0,
D = b2-4ac
D \u003d (-6) ² - 4 1 5 \u003d ...;

3 č. Dokončite rovnicu
x² - 6x + 5 = 0.
D = b2-4ac
D \u003d (-6) ² - 4 1 5 \u003d 16.
x =...

č. 4. Vyriešte rovnicu.

a) (x + 4) (x - 6) = 0; b) 4x² - 5x + 1 = 0

č. 5. Preveďte rovnicu na kvadratickú a vyriešte ju:

a) (x-2)^2=3x-8; b) (3x-1)(x+3)+1=x(1+6x)

č. 6. Vyriešte rovnicu x2+4√3 x+12=0

č. 7. Pri akej hodnote a má rovnica x² + 3ax + a = 0 jeden koreň.

Zhrnutie lekcie.
Zhrnutie výsledkov v tabuľke bodového hodnotenia.

Historický odkaz a úloha.
Problémy s kvadratickými rovnicami sa nachádzajú už v 499. V starovekej Indii boli verejné súťaže v riešení zložitých problémov bežné. Jedna zo starých indických kníh hovorí: „Ako slnko prežiari hviezdy svojou žiarou, tak vzdelaný človek zažiari slávu druhého na verejných stretnutiach, kde navrhuje a rieši algebraické problémy.“ Často boli v poetickej podobe. Tu je jeden z problémov slávneho indického matematika Bhaskaru z 12. storočia:
Špinavý kŕdeľ opíc
Po najedení do sýtosti som sa zabavil
Odmocnili časť osem
Zábava na lúke.
A 12 od viniča...
Začali skákať, visiac.
Koľko bolo opíc
Povieš mi, v tomto stáde?

VII. Domáca úloha.
Navrhuje sa vyriešiť tento historický problém a usporiadať ho na samostatných listoch s obrázkom.

DODATOK

Nie. F.I.
študentské aktivity SPOLU
Domáca úloha Diktát Ústne cvičenia Upevnenie učiva
Práca s PC Práca s tabuľou
1 Ivanov I.
2 Fedorov G.
3 Jakovleva Ya.
…

Maximálny počet je 22-23 bodov.
Minimálne - 3-5 bodov

3-10 bodov - skóre "3",
11-20 bodov - skóre "4",
21-23 bodov - skóre "5"

Pripomíname, že úplná kvadratická rovnica je rovnica v tvare:

Riešenie úplných kvadratických rovníc je o niečo zložitejšie (iba o trochu) ako tie, ktoré sú uvedené.

zapamätaj si, pomocou diskriminantu je možné vyriešiť akúkoľvek kvadratickú rovnicu!

Dokonca neúplné.

Zvyšné metódy vám to pomôžu rýchlejšie, ale ak máte problémy s kvadratickými rovnicami, najprv si osvojte riešenie pomocou diskriminantu.

1. Riešenie kvadratických rovníc pomocou diskriminantu.

Riešenie kvadratických rovníc týmto spôsobom je veľmi jednoduché, hlavnou vecou je zapamätať si postupnosť akcií a niekoľko vzorcov.

Ak, potom má rovnica 2 korene. Venujte zvláštnu pozornosť kroku 2.

Diskriminant D nám hovorí o počte koreňov rovnice.

• Ak, potom sa vzorec v kroku zredukuje na. Rovnica teda bude mať iba koreň.
• Ak, potom nebudeme môcť extrahovať koreň diskriminantu v kroku. To znamená, že rovnica nemá korene.

Vráťme sa ku geometrickému významu kvadratickej rovnice.

Grafom funkcie je parabola:

Vráťme sa k našim rovniciam a pozrime sa na niekoľko príkladov.

Príklad 9

Vyriešte rovnicu

Krok 1 preskočiť.

Krok 2

Nájdenie diskriminantu:

Takže rovnica má dva korene.

Krok 3

odpoveď:

Príklad 10

Vyriešte rovnicu

Rovnica je v štandardnom tvare, takže Krok 1 preskočiť.

Krok 2

Nájdenie diskriminantu:

Takže rovnica má jeden koreň.

odpoveď:

Príklad 11

Vyriešte rovnicu

Rovnica je v štandardnom tvare, takže Krok 1 preskočiť.

Krok 2

Nájdenie diskriminantu:

To znamená, že nebudeme môcť extrahovať koreň z diskriminantu. Neexistujú žiadne korene rovnice.

Teraz už vieme, ako si takéto odpovede správne zapísať.

odpoveď:žiadne korene

2. Riešenie kvadratických rovníc pomocou Vietovej vety

Ak si pamätáte, potom existuje taký typ rovníc, ktoré sa nazývajú redukované (keď sa koeficient a rovná):

Takéto rovnice sa dajú veľmi ľahko vyriešiť pomocou Vietovej vety:

Súčet koreňov daný kvadratická rovnica sa rovná a súčin koreňov sa rovná.

Stačí si vybrať pár čísel, ktorých súčin sa rovná voľnému členu rovnice a súčet sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom.

Príklad 12

Vyriešte rovnicu

Táto rovnica je vhodná na riešenie pomocou Vietovej vety, pretože .

Súčet koreňov rovnice je, t.j. dostaneme prvú rovnicu:

A produkt je:

Poďme vytvoriť a vyriešiť systém:

• a. Suma je;
• a. Suma je;
• a. Suma je rovnaká.

a sú riešením systému:

odpoveď: ; .

Príklad 13

Vyriešte rovnicu

odpoveď:

Príklad 14

Vyriešte rovnicu

Rovnica je redukovaná, čo znamená:

odpoveď:

KVADRATICKÉ ROVNICE. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

Čo je to kvadratická rovnica?

Inými slovami, kvadratická rovnica je rovnica tvaru, kde navyše - neznáme, - nejaké čísla.

Číslo sa nazýva najvyššie resp prvý koeficient kvadratická rovnica, - druhý koeficient, a - voľný člen.

Pretože ak, rovnica sa okamžite stane lineárnou, pretože zmizne.

V tomto prípade a môže byť rovný nule. V tejto stoličke je rovnica tzv neúplné.

Ak sú na mieste všetky pojmy, teda rovnica - kompletný.

Metódy riešenia neúplných kvadratických rovníc

Na začiatok si rozoberieme metódy riešenia neúplných kvadratických rovníc - sú jednoduchšie.

Je možné rozlíšiť nasledujúce typy rovníc:

I. , v tejto rovnici sa koeficient a voľný člen rovnajú.

II. , v tejto rovnici je koeficient rovný.

III. , v tejto rovnici sa voľný člen rovná.

Teraz zvážte riešenie každého z týchto podtypov.

Je zrejmé, že táto rovnica má vždy iba jeden koreň:

Druhá mocnina nemôže byť záporná, pretože pri vynásobení dvoch záporných alebo dvoch kladných čísel bude výsledkom vždy kladné číslo. Preto:

ak, potom rovnica nemá riešenia;

ak máme dva korene

Tieto vzorce sa netreba učiť naspamäť. Hlavná vec na zapamätanie je, že to nemôže byť menej.

Príklady riešenia kvadratických rovníc

Príklad 15

odpoveď:

Nikdy nezabudnite na korene so záporným znamienkom!

Príklad 16

Druhá mocnina čísla nemôže byť záporná, čo znamená, že rovnica

žiadne korene.

Aby sme stručne napísali, že problém nemá riešenia, použijeme ikonu prázdnej sady.

odpoveď:

Príklad 17

Takže táto rovnica má dva korene: a.

odpoveď:

Vyberme spoločný faktor zo zátvoriek:

Súčin sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. To znamená, že rovnica má riešenie, keď:

Takže táto kvadratická rovnica má dva korene: a.

Príklad:

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Rozdelíme ľavú stranu rovnice na faktor a nájdeme korene:

odpoveď:

Metódy riešenia úplných kvadratických rovníc

1. Diskriminačný

Riešenie kvadratických rovníc týmto spôsobom je jednoduché, hlavnou vecou je zapamätať si postupnosť akcií a niekoľko vzorcov. Pamätajte, že každá kvadratická rovnica môže byť vyriešená pomocou diskriminantu! Dokonca neúplné.

Všimli ste si koreň diskriminantu v koreňovom vzorci?

Ale diskriminant môže byť negatívny.

Čo robiť?

Osobitnú pozornosť musíme venovať kroku 2. Diskriminant nám hovorí počet koreňov rovnice.

• Ak, potom rovnica má koreň:
• Ak, potom má rovnica rovnaký koreň, ale v skutočnosti jeden koreň:

  Takéto korene sa nazývajú dvojité korene.

• Ak, potom koreň diskriminantu nie je extrahovaný. To znamená, že rovnica nemá korene.

Prečo existujú rôzne počty koreňov?

Vráťme sa ku geometrickému významu kvadratickej rovnice. Grafom funkcie je parabola:

V konkrétnom prípade, ktorým je kvadratická rovnica, .

A to znamená, že korene kvadratickej rovnice sú priesečníky s osou x (osou).

Parabola nemusí vôbec pretínať os, alebo ju môže pretínať v jednom (keď vrchol paraboly leží na osi) alebo dvoch bodoch.

Okrem toho je koeficient zodpovedný za smer vetiev paraboly. Ak, potom vetvy paraboly smerujú nahor a ak - potom nadol.

4 príklady riešenia kvadratických rovníc

Príklad 18

odpoveď:

Príklad 19

Odpoveď: .

Príklad 20

odpoveď:

Príklad 21

To znamená, že neexistujú žiadne riešenia.

Odpoveď: .

2. Vietova veta

Použitie Vietovej vety je veľmi jednoduché.

Všetko čo potrebuješ je zdvihnúť taká dvojica čísel, ktorej súčin sa rovná voľnému členu rovnice a súčet sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom.

Je dôležité si uvedomiť, že Vietovu vetu je možné aplikovať iba na ňu dané kvadratické rovnice ().

Pozrime sa na niekoľko príkladov:

Príklad 22

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Táto rovnica je vhodná na riešenie pomocou Vietovej vety, pretože . Ostatné koeficienty: ; .

Súčet koreňov rovnice je:

A produkt je:

Vyberme také dvojice čísel, ktorých súčin sa rovná, a skontrolujeme, či sa ich súčet rovná:

• a. Suma je;
• a. Suma je;
• a. Suma je rovnaká.

a sú riešením systému:

Tak, a sú korene našej rovnice.

Odpoveď: ; .

Príklad 23

Riešenie:

Vyberieme také dvojice čísel, ktoré sú v súčine, a potom skontrolujeme, či sa ich súčet rovná:

a: dať celkom.

a: dať celkom. Aby ste to získali, stačí zmeniť znaky údajných koreňov: a koniec koncov aj produkt.

odpoveď:

Príklad 24

Riešenie:

Voľný člen rovnice je záporný, a preto je súčin koreňov záporné číslo. To je možné len vtedy, ak je jeden z koreňov negatívny a druhý pozitívny. Takže súčet koreňov je rozdiely ich modulov.

Vyberáme také dvojice čísel, ktoré dávajú súčin, a ktorých rozdiel sa rovná:

a: ich rozdiel je - nevhodný;

a: - nevhodné;

a: - nevhodné;

a: - vhodné. Zostáva len pamätať na to, že jeden z koreňov je negatívny. Keďže ich súčet sa musí rovnať, potom koreň, ktorý je v absolútnej hodnote menší, musí byť záporný: . Kontrolujeme:

odpoveď:

Príklad 25

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Rovnica je redukovaná, čo znamená:

Voľný termín je záporný, a teda súčin koreňov je záporný. A to je možné len vtedy, keď je jeden koreň rovnice záporný a druhý kladný.

Vyberieme také dvojice čísel, ktorých súčin je rovnaký, a potom určíme, ktoré korene by mali mať záporné znamienko:

Je zrejmé, že iba korene a sú vhodné pre prvý stav:

odpoveď:

Príklad 26

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Rovnica je redukovaná, čo znamená:

Súčet koreňov je záporný, čo znamená, že aspoň jeden z koreňov je záporný. Ale keďže ich produkt je pozitívny, znamená to, že oba korene sú mínusové.

Vyberáme také dvojice čísel, ktorých súčin sa rovná:

Je zrejmé, že korene sú čísla a.

odpoveď:

Súhlasíte, je to veľmi výhodné - vymýšľať korene ústne, namiesto počítania tohto škaredého diskriminátora.

Skúste Vietovu vetu používať čo najčastejšie!

Ale veta Vieta je potrebná, aby sa uľahčilo a urýchlilo hľadanie koreňov.

Aby bolo pre vás jeho používanie rentabilné, musíte akcie automatizovať. A preto vyriešte ďalších päť príkladov.

Ale nepodvádzajte: nemôžete použiť diskriminant! Iba Vietova veta!

5 príkladov Vietovej vety pre samoukov

Príklad 27

Úloha 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Podľa Vietovej vety:

Ako obvykle, výber začíname produktom:

Nevhodné, pretože množstvo;

: množstvo je to, čo potrebujete.

Odpoveď: ; .

Príklad 28

Úloha 2.

A opäť naša obľúbená Vieta veta: súčet by mal vyjsť, ale súčin sa rovná.

Ale keďže by to nemalo byť, ale, meníme znamienka koreňov: a (celkovo).

Odpoveď: ; .

Príklad 29

Úloha 3.

Hmm... Kde to je?

Je potrebné preniesť všetky pojmy do jednej časti:

Súčet koreňov sa rovná súčinu.

Áno, prestaň! Rovnica nie je daná.

Vietova veta je však použiteľná len v daných rovniciach.

Takže najprv musíte priniesť rovnicu.

Ak si to neviete predstaviť, zahoďte túto myšlienku a vyriešte ju iným spôsobom (napríklad cez diskriminant).

Dovoľte mi pripomenúť, že uviesť kvadratickú rovnicu znamená, že vedúci koeficient bude rovný:

Potom sa súčet koreňov rovná a súčin.

Tu je ľahšie vyzdvihnúť: predsa - prvočíslo (prepáčte za tautológiu).

Odpoveď: ; .

Príklad 30

Úloha 4.

Voľný termín je záporný.

Čo je na ňom také zvláštne?

A skutočnosť, že korene budú rôznych znamení.

A teraz, počas výberu, nekontrolujeme súčet koreňov, ale rozdiel medzi ich modulmi: tento rozdiel je rovnaký, ale súčin.

Korene sú teda rovnaké a, ale jeden z nich je s mínusom.

Vietova veta nám hovorí, že súčet koreňov sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom, tzn.

To znamená, že menší koreň bude mať mínus: a od.

Odpoveď: ; .

Príklad 31

Úloha 5.

Čo je potrebné urobiť ako prvé?

Správne, dajte rovnicu:

Opäť: vyberieme faktory čísla a ich rozdiel by sa mal rovnať:

Korene sú rovnaké a, ale jeden z nich je mínus. Ktoré? Ich súčet sa musí rovnať, čo znamená, že s mínusom bude väčší koreň.

Odpoveď: ; .

Zhrnúť

1. Vietova veta je použitá len v daných kvadratických rovniciach.
2. Pomocou Vietovej vety môžete nájsť korene výberom, ústne.
3. Ak rovnica nie je daná alebo sa nenašla vhodná dvojica faktorov voľného člena, potom neexistujú celé korene a musíte to vyriešiť iným spôsobom (napríklad cez diskriminant).

3. Metóda výberu plného štvorca

Ak sú všetky členy obsahujúce neznámu reprezentované ako členy zo vzorcov skráteného násobenia - druhá mocnina súčtu alebo rozdielu - potom po zmene premenných je možné rovnicu znázorniť vo forme neúplnej kvadratickej rovnice typu .

Napríklad:

Príklad 32

Vyriešte rovnicu: .

Riešenie:

odpoveď:

Príklad 33

Vyriešte rovnicu: .

Riešenie:

odpoveď:

Vo všeobecnosti bude transformácia vyzerať takto:

To znamená: .

Nič vám to nepripomína?

To je diskriminant! Presne tak bol získaný diskriminačný vzorec.

KVADRATICKÉ ROVNICE. STRUČNE O HLAVNOM

Kvadratická rovnica je rovnica tvaru, kde je neznáma, sú koeficienty kvadratickej rovnice, je voľný člen.

Kompletná kvadratická rovnica- rovnica, v ktorej sa koeficienty nerovnajú nule.

Redukovaná kvadratická rovnica- rovnica, v ktorej je koeficient, teda: .

Neúplná kvadratická rovnica- rovnica, v ktorej sa koeficient alebo voľný člen c rovnajú nule:

• ak koeficient, rovnica má tvar: ,
• ak je voľný člen, rovnica má tvar: ,
• ak a, rovnica má tvar: .

1. Algoritmus riešenia neúplných kvadratických rovníc

1.1. Neúplná kvadratická rovnica tvaru, kde:

1) Vyjadrite neznáme: ,

2) Skontrolujte znamienko výrazu:

• ak, potom rovnica nemá riešenia,
• ak, tak rovnica má dva korene.

1.2. Neúplná kvadratická rovnica tvaru, kde:

1) Vyberme spoločný faktor zo zátvoriek: ,

2) Súčin sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. Preto má rovnica dva korene:

1.3. Neúplná kvadratická rovnica tvaru, kde:

Táto rovnica má vždy len jeden koreň: .

2. Algoritmus na riešenie úplných kvadratických rovníc v tvare kde

2.1. Riešenie pomocou diskriminantu

1) Uveďme rovnicu do štandardného tvaru: ,

2) Vypočítajte diskriminant pomocou vzorca: , ktorý udáva počet koreňov rovnice:

3) Nájdite korene rovnice:

• ak, potom rovnica má koreň, ktorý sa nachádza podľa vzorca:
• ak, potom rovnica má koreň, ktorý sa nachádza podľa vzorca:
• ak, potom rovnica nemá korene.

2.2. Riešenie pomocou Vietovej vety

Súčet koreňov redukovanej kvadratickej rovnice (rovnice tvaru kde) sa rovná a súčin koreňov sa rovná, t.j. , a.

2.3. Úplné štvorcové riešenie

Toto video tutoriál vám ukáže, ako vyriešiť kvadratickú rovnicu. Riešenie kvadratických rovníc sa zvyčajne začína študovať na základnej škole v 8. ročníku. Korene kvadratickej rovnice sa nachádzajú pomocou špeciálneho vzorca. Nech je daná kvadratická rovnica v tvare ax2+bx+c=0, kde x je neznáma, a, b a c sú koeficienty, čo sú reálne čísla. Najprv musíte určiť diskriminant pomocou vzorca D=b2-4ac. Potom zostáva vypočítať korene kvadratickej rovnice pomocou dobre známeho vzorca. Teraz skúsme vyriešiť konkrétny príklad. Zoberme si x2+x-12=0 ako počiatočnú rovnicu, t.j. koeficient a=1, b=1, c=-12. Podľa známeho vzorca môžete určiť diskriminant. Potom pomocou vzorca na nájdenie koreňov rovnice ich vypočítame. V našom prípade bude diskriminant rovný 49. Skutočnosť, že hodnota diskriminantu je kladné číslo, nám hovorí, že táto kvadratická rovnica bude mať dva korene. Po jednoduchých výpočtoch dostaneme, že x1=-4, x2=3. Kvadratickú rovnicu sme teda vyriešili výpočtom jej koreňov Video lekcia „Riešenie kvadratických rovníc (8. ročník). Korene nájdeme podľa vzorca „môžete sledovať online kedykoľvek zadarmo. Veľa šťastia!

Trieda: 8

Zvážte štandardné (študované v kurze školskej matematiky) a neštandardné metódy riešenia kvadratických rovníc.

1. Rozklad ľavej strany kvadratickej rovnice na lineárne faktory.

Zvážte príklady:

3) x 2 + 10 x - 24 = 0.

6(x 2 + x - x) = 0 | : 6

x 2 + x - x - \u003d 0;

x(x-) + (x-) = 0;

x(x-) (x+) = 0;

= ; – .

Odpoveď: ; – .

Pre samostatnú prácu:

Riešte kvadratické rovnice metódou rozkladu ľavej strany kvadratickej rovnice na lineárne faktory.

a) x 2 - x \u003d 0; d) x 2 - 81 = 0; g) x 2 + 6 x + 9 = 0;

b) x 2 + 2 x \u003d 0; e) 4x2- = 0; h) x 2 + 4 x + 3 = 0;

c) 3x 2 - 3x = 0; f) x 2 - 4 x + 4 = 0; i) x 2 + 2 x - 3 = 0.

a) 0; jeden

b) -2; 0

c) 0; jeden

2. Spôsob výberu plného štvorca.

Zvážte príklady:

Na samostatnú prácu.

Riešte kvadratické rovnice metódou úplného štvorca.

3. Riešenie kvadratických rovníc podľa vzorca.

ax 2 + in + c \u003d 0, (a | 4a

4a 2 x 2 + 4ab + 4ac = 0;

2ax + 2ax 2v + v 2 - v 2 + 4ac \u003d 0;

2 \u003d v 2 - 4ac; =±;

Zvážte príklady.

Na samostatnú prácu.

Riešte kvadratické rovnice pomocou vzorca x 1,2 =.

4. Riešenie kvadratických rovníc pomocou Vietovej vety (priama a inverzná)

x 2 + px + q = 0 - redukovaná kvadratická rovnica

podľa Vietovej vety.

Ak potom má rovnica dva rovnaké korene v znamienku a závisí to od koeficientu.

Ak p, tak .

Ak p, tak .

Napríklad:

Ak potom rovnica má dva korene s rôznym znamienkom, a väčší koreň bude, ak p a bude ak p.

Napríklad:

Na samostatnú prácu.

Bez riešenia kvadratickej rovnice použite inverznú Vietovu vetu na určenie znamienok jej koreňov:

a, b, j, l - rôzne korene;

c, e, h – zápor;

d, f, g, i, m – kladné;

5. Riešenie kvadratických rovníc metódou „prenosu“.

Na samostatnú prácu.

Riešte kvadratické rovnice metódou „flip“.

6. Riešenie kvadratických rovníc pomocou vlastností jej koeficientov.

I. ax 2 + bx + c = 0, kde a 0

1) Ak a + b + c \u003d 0, potom x 1 \u003d 1; x 2 =

dôkaz:

ax 2 + bx + c = 0 |: a

x 2 + x + = 0.

Podľa Vietovej vety

Podmienkou a + b + c = 0, potom b = -a - c. Ďalej dostaneme

Z toho vyplýva, že x 1 = 1; x 2 = . Q.E.D.

2) Ak a - b + c \u003d 0 (alebo b \u003d a + c), potom x 1 \u003d - 1; x 2 \u003d -

dôkaz:

Podľa Vietovej vety

Podmienkou a - b + c \u003d 0, t.j. b = a + c. Ďalej dostaneme:

Preto x 1 \u003d - 1; x 2 \u003d -.

Zvážte príklady.

1) 345 x 2 – 137 x – 208 = 0.

a + b + c \u003d 345 - 137 - 208 \u003d 0

x 1 = 1; x 2 ==

2) 132 x 2 - 247 x + 115 = 0.

a + b + c = 132-247-115 = 0.

x 1 = 1; x 2 ==

Odpoveď: 1;

Na samostatnú prácu.

Pomocou vlastností koeficientov kvadratickej rovnice riešte rovnice

II. ax 2 + bx + c = 0, kde a 0

x 1,2 = . Nech b = 2k, t.j. dokonca. Potom dostaneme

x 1,2 = = = =

Zvážte príklad:

3x 2 - 14x + 16 = 0.

1 D \u003d (-7) 2 - 3 16 \u003d 49 - 48 \u003d 1

x 1 = = 2; x 2 =

Odpoveď: 2;

Na samostatnú prácu.

a) 4x 2 - 36x + 77 = 0

b) 15x 2 - 22x - 37 = 0

c) 4x 2 + 20x + 25 = 0

d) 9x 2 - 12x + 4 = 0

Odpovede:

III. x 2 + px + q = 0

x 1,2 = - ± 2 - q

Zvážte príklad:

x 2 - 14 x - 15 = 0

x 1,2 = 7 = 7

x 1 \u003d -1; x 2 = 15.

Odpoveď: -1; 15.

Na samostatnú prácu.

a) x 2 - 8 x - 9 \u003d 0

b) x 2 + 6 x - 40 = 0

c) x 2 + 18 x + 81 = 0

d) x 2 - 56 x + 64 = 0

7. Riešenie kvadratickej rovnice pomocou grafov.

a) x 2 - 3 x - 4 \u003d 0

Odpoveď: -1; štyri

b) x 2 - 2 x + 1 = 0

c) x 2 - 2 x + 5 = 0

Odpoveď: žiadne riešenie

Na samostatnú prácu.

Riešte kvadratické rovnice graficky:

8. Riešenie kvadratických rovníc pomocou kružidla a pravítka.

ax2 + bx + c = 0,

x 2 + x + = 0.

x 1 a x 2 sú korene.

Nech A(0; 1), C(0;

Podľa sekantovej vety:

OV · OD = OA · OS.

Preto máme:

x 1 x 2 = 1 OS;

OS = x 1 x 2

K(; 0), kde = -

F(0; ) = (0; ) = )

1) Zostrojte bod S(-; ) - stred kružnice a bod A(0;1).

2) Nakreslite kružnicu s polomerom R = SA/

3) Úsečky priesečníkov tejto kružnice s osou x sú koreňmi pôvodnej kvadratickej rovnice.

Možné sú 3 prípady:

1) R > SK (alebo R > ).

Kružnica pretína os x v bode B(x 1; 0) a D(x 2; 0), kde x 1 a x 2 sú korene kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c = 0.

2) R = SK (alebo R = ).

Kruh sa dotýka osi x v úzkosti B 1 (x 1; 0), kde x 1 je koreň kvadratickej rovnice

ax2 + bx + c = 0.

3) R< SK (или R < ).

Kružnica nemá spoločné body s osou x, t.j. neexistujú žiadne riešenia.

1) x 2 - 2 x - 3 = 0.

Stred S(-; ), t.j.

x 0 = = - = 1,

y 0 = = = – 1.

(1; – 1) je stred kruhu.

Narysujme kružnicu (S; AS), kde A(0; 1).

9. Riešenie kvadratických rovníc pomocou nomogramu

Na riešenie slúžia štvormiestne matematické tabuľky V.M. Bradys (Tabuľka XXII, s. 83).

Nomogram umožňuje bez riešenia kvadratickej rovnice x 2 + px + q = 0 určiť korene rovnice jej koeficientmi. Napríklad:

5) z2 + 4z + 3 = 0.

Oba korene sú negatívne. Preto urobíme náhradu: z 1 = - t. Dostaneme novú rovnicu:

t2 - 4t + 3 = 0.

t1 \u003d 1; t2 = 3

z 1 \u003d - 1; z 2 \u003d – 3.

Odpoveď: - 3; - jeden

6) Ak sú koeficienty p a q mimo mierky, vykonajte substitúciu z \u003d kt a vyriešte rovnicu pomocou nomogramu: z 2 + pz + q \u003d 0.

k 2 t 2 + p kt + q = 0. |: k 2

k sa berie s očakávaním, že sa vyskytujú nerovnosti:

Na samostatnú prácu.

y2 + 6y - 16 = 0.

y2 + 6y = 16, |+ 9

y2 + 6 y + 9 = 16 + 9

y1 = 2, y2 = -8.

Odpoveď: -8; 2

Na samostatnú prácu.

Riešte geometricky rovnicu y 2 - 6y - 16 = 0.