Niekto narába so slovom „progresia“ opatrne, ako s veľmi zložitým pojmom zo sekcií vyššej matematiky. Medzitým to najjednoduchšie aritmetická progresia- práca pri prepážke taxíkov (kde stále zostávajú). A pochopiť podstatu (a v matematike nie je nič dôležitejšie ako „pochopiť podstatu“) aritmetickej postupnosti nie je také ťažké, po analýze niekoľkých základných konceptov.
Matematická postupnosť čísel
Je zvykom nazývať číselnú postupnosť radom čísel, z ktorých každé má svoje vlastné číslo.
a 1 je prvý člen sekvencie;
a 2 je druhý člen sekvencie;
a 7 je siedmy člen sekvencie;
a n je n-tý člen sekvencie;
Nás však nezaujíma žiadny ľubovoľný súbor čísel a čísel. Pozornosť zameriame na číselnú postupnosť, v ktorej hodnota n-tého člena súvisí s jeho poradovým číslom pomocou jasne matematicky formulovateľnej závislosti. Inými slovami: číselná hodnota n-tého čísla je nejakou funkciou n.
a - hodnota člena číselnej postupnosti;
n je jeho sériové číslo;
f(n) je funkcia, kde ordinál v číselnej postupnosti n je argument.
Definícia
Aritmetická postupnosť sa zvyčajne nazýva číselná postupnosť, v ktorej je každý nasledujúci člen väčší (menší) ako predchádzajúci o rovnaké číslo. Vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti je nasledujúci:
a n - hodnota aktuálneho člena aritmetickej progresie;
a n+1 - vzorec nasledujúceho čísla;
d - rozdiel (určité číslo).
Je ľahké určiť, že ak je rozdiel kladný (d>0), potom každý nasledujúci člen uvažovaného radu bude väčší ako predchádzajúci a takáto aritmetická progresia sa bude zvyšovať.
V nižšie uvedenom grafe je ľahké pochopiť prečo číselná postupnosť nazývaný "rastúce".
V prípadoch, keď je rozdiel záporný (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Hodnota zadaného člena
Niekedy je potrebné určiť hodnotu nejakého ľubovoľného člena a n aritmetickej progresie. Môžete to urobiť postupným výpočtom hodnôt všetkých členov aritmetického postupu, od prvého po požadovaný. Tento spôsob však nie je vždy prijateľný, ak je napríklad potrebné nájsť hodnotu päťtisícového alebo osemmiliónového členu. Tradičný výpočet bude trvať dlho. Špecifický aritmetický postup však možno skúmať pomocou určitých vzorcov. Existuje aj vzorec pre n-tý člen: hodnotu ľubovoľného člena aritmetickej postupnosti možno určiť ako súčet prvého člena postupnosti s rozdielom postupnosti, vynásobený číslom požadovaného člena mínus jeden. .
Vzorec je univerzálny na zvýšenie a zníženie progresie.
Príklad výpočtu hodnoty daného člena
Vyriešme nasledujúci problém hľadania hodnoty n-tého člena aritmetickej postupnosti.
Podmienka: existuje aritmetická progresia s parametrami:
Prvý člen postupnosti je 3;
Rozdiel v číselnom rade je 1,2.
Úloha: je potrebné nájsť hodnotu 214 výrazov
Riešenie: Na určenie hodnoty daného člena použijeme vzorec:
a(n) = a1 + d(n-1)
Nahradením údajov z problémového príkazu do výrazu máme:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Odpoveď: 214. člen postupnosti sa rovná 258,6.
Výhody tejto metódy výpočtu sú zrejmé - celé riešenie nezaberie viac ako 2 riadky.
Súčet daného počtu členov
Veľmi často je v danej aritmetickej sérii potrebné určiť súčet hodnôt niektorých jej segmentov. Tiež nie je potrebné počítať hodnoty každého výrazu a potom ich sčítať. Táto metóda je použiteľná, ak je počet členov, ktorých súčet treba nájsť, malý. V ostatných prípadoch je vhodnejšie použiť nasledujúci vzorec.
Súčet členov aritmetickej postupnosti od 1 do n sa rovná súčtu prvého a n-tého člena, vynásobený číslom člena n a delený dvoma. Ak je vo vzorci hodnota n-tého člena nahradená výrazom z predchádzajúceho odseku článku, dostaneme:
Príklad výpočtu
Vyriešme napríklad problém s nasledujúcimi podmienkami:
Prvý člen postupnosti je nula;
Rozdiel je 0,5.
V úlohe je potrebné určiť súčet členov radu od 56 do 101.
Riešenie. Na určenie súčtu progresie použijeme vzorec:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Najprv určíme súčet hodnôt 101 členov progresie dosadením daných podmienok nášho problému do vzorca:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
Je zrejmé, že na zistenie súčtu členov postupu od 56. do 101. je potrebné odpočítať S 55 od S 101.
s55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Takže súčet aritmetickej progresie pre tento príklad je:
s 101 - s 55 \u003d 2 525 - 742,5 \u003d 1 782,5
Príklad praktickej aplikácie aritmetickej progresie
Na konci článku sa vráťme k príkladu aritmetickej postupnosti uvedenej v prvom odseku - taxametra (taxi car meter). Zoberme si taký príklad.
Vstup do taxíka (ktorý zahŕňa 3 km) stojí 50 rubľov. Každý nasledujúci kilometer sa platí sadzbou 22 rubľov / km. Dojazd 30 km. Vypočítajte si náklady na cestu.
1. Vyhoďme prvé 3 km, ktorých cena je zahrnutá v nákladoch na pristátie.
30 - 3 = 27 km.
2. Ďalší výpočet nie je nič iné ako analýza aritmetického číselného radu.
Členské číslo je počet prejdených kilometrov (mínus prvé tri).
Hodnota člena je súčet.
Prvý termín v tomto probléme sa bude rovnať 1 = 50 rubľov.
Rozdiel v postupe d = 22 p.
číslo, ktoré nás zaujíma, je hodnota (27 + 1) člena aritmetického postupu - stav merača na konci 27. kilometra je 27,999 ... = 28 km.
a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
Výpočty kalendárnych údajov za ľubovoľne dlhé obdobie sú založené na vzorcoch popisujúcich určité číselné postupnosti. V astronómii je dĺžka obežnej dráhy geometricky závislá od vzdialenosti nebeského telesa od svietidla. Okrem toho sa rôzne číselné rady úspešne používajú v štatistike a iných aplikovaných odvetviach matematiky.
Iný druh číselnej postupnosti je geometrický
Geometrická progresia je charakterizovaná veľkou rýchlosťou zmeny v porovnaní s aritmetickou. Nie je náhoda, že v politike, sociológii, medicíne často, aby ukázali vysokú rýchlosť šírenia určitého javu, napríklad choroby počas epidémie, hovoria, že proces sa vyvíja exponenciálne.
N-tý člen geometrického číselného radu sa líši od predchádzajúceho tým, že je vynásobený nejakým konštantným číslom - menovateľ, napríklad prvý člen je 1, menovateľ je 2, potom:
n = 1: 1 ∙ 2 = 2
n = 2: 2 ∙ 2 = 4
n = 3: 4 ∙ 2 = 8
n = 4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - hodnota aktuálneho člena geometrickej progresie;
b n+1 - vzorec ďalšieho člena geometrickej postupnosti;
q je menovateľ geometrickej postupnosti (konštantné číslo).
Ak je graf aritmetickej progresie priamka, potom geometrický graf nakreslí trochu iný obrázok:
Rovnako ako v prípade aritmetiky, geometrická postupnosť má vzorec pre hodnotu ľubovoľného člena. Akýkoľvek n-tý člen geometrickej postupnosti sa rovná súčinu prvého člena a menovateľa postupnosti k mocnine n zníženému o jednotku:
Príklad. Máme geometrickú postupnosť s prvým členom rovným 3 a menovateľom postupnosti rovným 1,5. Nájdite 5. termín postupu
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875
Súčet daného počtu členov sa tiež vypočíta pomocou špeciálneho vzorca. Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti sa rovná rozdielu medzi súčinom n-tého člena postupnosti a jeho menovateľa a prvého člena postupnosti vydelenému menovateľom zníženým o jednu:
Ak sa b n nahradí pomocou vyššie uvedeného vzorca, hodnota súčtu prvých n členov uvažovaného číselného radu bude mať tvar:
Príklad. Geometrická postupnosť začína prvým členom rovným 1. Menovateľ je nastavený na 3. Nájdite súčet prvých ôsmich členov.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Čo je podstatou vzorca?
Tento vzorec vám umožňuje nájsť akýkoľvek PODĽA JEHO ČÍSLA" n" .
Samozrejme, musíte poznať prvý termín 1 a rozdiel v postupe d, no, bez týchto parametrov si nemôžete zapísať konkrétny postup.
Nestačí si zapamätať (alebo podvádzať) tento vzorec. Je potrebné asimilovať jeho podstatu a aplikovať vzorec v rôznych problémoch. Áno, a nezabudnite v pravý čas, áno ...) Ako nezabudnúť- Neviem. ale ako si zapamätať V prípade potreby vám poradím. Pre tých, ktorí zvládnu lekciu až do konca.)
Poďme sa teda zaoberať vzorcom n-tého člena aritmetickej postupnosti.
Čo je vzorec vo všeobecnosti - predstavíme si.) Čo je to aritmetický postup, číslo člena, rozdiel postupu - je jasne uvedené v predchádzajúcej lekcii. Pozri, ak si to nečítal. Všetko je tam jednoduché. Zostáva prísť na to, čo n-tý člen.
Priebeh vo všeobecnosti možno zapísať ako sériu čísel:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
1- označuje prvý člen aritmetického postupu, a 3- tretí člen a 4- štvrtý a tak ďalej. Ak máme záujem o piaty termín, povedzme, že pracujeme s a 5, ak stodvadsiaty - od 120.
Ako definovať vo všeobecnosti akýkoľvekčlen aritmetického postupu, s akýkoľvekčíslo? Veľmi jednoduché! Páči sa ti to:
a n
Tak to je n-tý člen aritmetickej postupnosti. Pod písmenom n sú skryté všetky čísla členov naraz: 1, 2, 3, 4 atď.
A čo nám takýto rekord dáva? Len si predstavte, že namiesto čísla napísali písmeno ...
Tento zápis nám poskytuje výkonný nástroj na prácu s aritmetickými postupnosťami. Použitie notácie a n, môžeme rýchlo nájsť akýkoľvekčlenom akýkoľvek aritmetická progresia. A kopu úloh, ktoré treba postupne riešiť. Ďalej uvidíte.
Vo vzorci n-tého člena aritmetickej postupnosti:
| a n = a1 + (n-1)d |
1- prvý člen aritmetického postupu;
n- členské číslo.
Vzorec spája kľúčové parametre akejkoľvek progresie: a n; a 1; d a n. Okolo týchto parametrov sa postupne točia všetky hádanky.
Vzorec n-tého členu možno použiť aj na napísanie konkrétneho postupu. Napríklad v probléme možno povedať, že progresia je daná podmienkou:
a n = 5 + (n-1) 2.
Takýto problém môže dokonca zmiasť ... Neexistuje žiadna séria, žiadny rozdiel ... Ale pri porovnaní stavu so vzorcom je ľahké zistiť, že v tomto postupe a 1 \u003d 5 a d \u003d 2.
A môže to byť ešte nahnevanejšie!) Ak vezmeme rovnakú podmienku: a n = 5 + (n-1) 2, ano, otvorte zatvorky a dajte podobne? Dostávame nový vzorec:
an = 3 + 2n.
to Iba nie všeobecné, ale pre konkrétny postup. Práve tu sa skrýva úskalia. Niektorí ľudia si myslia, že prvý termín je trojka. Aj keď v skutočnosti je prvým členom päťka ... O niečo nižšie budeme pracovať s takto upraveným vzorcom.
V úlohách na postup je iná notácia - a n+1. Toto je, uhádli ste, „n plus prvý“ člen postupu. Jeho význam je jednoduchý a neškodný.) Ide o člen postupnosti, ktorého počet je väčší ako číslo n o jeden. Napríklad, ak v nejakom probléme berieme za a n teda piate volebné obdobie a n+1 bude šiestym členom. Atď.
Najčastejšie označenie a n+1 vyskytuje sa v rekurzívnych vzorcoch. Nebojte sa tohto hrozného slova!) Toto je len spôsob vyjadrenia termínu aritmetického postupu cez predchádzajúci. Predpokladajme, že dostaneme aritmetickú progresiu v tejto forme pomocou opakujúceho sa vzorca:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11
Štvrtý - cez tretí, piaty - cez štvrtý atď. A ako okamžite počítať, povedzme dvadsiaty termín, 20? Ale v žiadnom prípade!) Zatiaľ čo 19. termín nie je známy, 20. sa nedá započítať. Toto je základný rozdiel medzi rekurzívnym vzorcom a vzorcom n-tého člena. Rekurzívne funguje iba cez predchádzajúcečlen, a vzorec n-tého členu - cez prvý a umožňuje hneď nájsť ľubovoľného člena podľa jeho čísla. Nepočítajúc celý rad čísel v poradí.
Pri aritmetickej progresii možno rekurzívny vzorec ľahko zmeniť na bežný. Spočítajte pár po sebe idúcich výrazov, vypočítajte rozdiel d, v prípade potreby nájdite prvý termín 1, napíšte vzorec v obvyklom tvare a pracujte s ním. V GIA sa takéto úlohy často nachádzajú.
Aplikácia vzorca n-tého člena aritmetickej postupnosti.
Najprv sa pozrime na priamu aplikáciu vzorca. Na konci predchádzajúcej lekcie sa vyskytol problém:
Daná aritmetická progresia (a n). Nájdite 121, ak a 1 = 3 a d = 1/6.
Tento problém možno vyriešiť bez akýchkoľvek vzorcov, jednoducho na základe významu aritmetickej progresie. Pridať, áno pridať ... Hodinu alebo dve.)
A podľa vzorca bude riešenie trvať menej ako minútu. Môžete si to načasovať.) My rozhodujeme.
Podmienky poskytujú všetky údaje na použitie vzorca: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Uvidí sa čo n.Žiaden problém! Musíme nájsť 121. Tu píšeme:
Venujte prosím pozornosť! Namiesto indexu n objavilo sa konkrétne číslo: 121. Čo je celkom logické.) Zaujíma nás člen aritmetickej postupnosti číslo sto dvadsať jeden. Toto bude naše n. Je to tento význam n= 121 dosadíme ďalej do vzorca, v zátvorkách. Dosaďte všetky čísla vo vzorci a vypočítajte:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
To je všetko. Rovnako rýchlo sa dal nájsť päťsto desiaty člen a tisíc a tretí akýkoľvek. Dali sme namiesto toho n požadované číslo v indexe písmena " a" a v zátvorkách a uvažujeme.
Dovoľte mi pripomenúť vám podstatu: tento vzorec vám umožňuje nájsť akýkoľvek termín aritmetického postupu PODĽA JEHO ČÍSLA" n" .
Vyriešme problém múdrejšie. Povedzme, že máme nasledujúci problém:
Nájdite prvý člen aritmetickej progresie (a n), ak a 17 = -2; d = -0,5.
Ak máte nejaké ťažkosti, navrhnem prvý krok. Napíšte vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti!Áno áno. Ručne napíšte priamo do zošita:
| a n = a1 + (n-1)d |
A teraz, keď sa pozrieme na písmená vzorca, chápeme, aké údaje máme a čo nám chýba? Dostupné d=-0,5, je tu sedemnásty člen... Všetko? Ak si myslíte, že je to všetko, potom nemôžete vyriešiť problém, áno ...
Máme aj číslo n! V stave a 17 = -2 skryté dve možnosti. Ide o hodnotu sedemnásteho člena (-2) aj o jeho číslo (17). Tie. n=17. Táto „maličkosť“ často prekĺzne cez hlavu a bez nej (bez „malej veci“, nie hlavy!) sa problém nedá vyriešiť. Aj keď ... a tiež bez hlavy.)
Teraz môžeme len hlúpo nahradiť naše údaje do vzorca:
a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
Ó áno, 17 vieme, že je to -2. Dobre, vložíme to:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
To je v podstate všetko. Zostáva vyjadriť prvý člen aritmetického postupu zo vzorca a vypočítať. Dostanete odpoveď: a 1 = 6.
Takáto technika – písanie vzorca a jednoduché nahradenie známych údajov – veľmi pomáha pri jednoduchých úlohách. Samozrejme, musíte vedieť vyjadriť premennú zo vzorca, ale čo robiť!? Bez tejto zručnosti sa matematika nedá vôbec študovať ...
Ďalší populárny problém:
Nájdite rozdiel aritmetickej progresie (a n), ak a 1 = 2; a 15 = 12.
Čo robíme? Budete prekvapení, píšeme vzorec!)
| a n = a1 + (n-1)d |
Zvážte, čo vieme: ai=2; a15=12; a (špeciálne zvýraznenie!) n=15. Neváhajte nahradiť vo vzorci:
12 = 2 + (15-1) d
Poďme na aritmetiku.)
12 = 2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Toto je správna odpoveď.
Takže úlohy a n, a 1 a d rozhodol. Zostáva sa naučiť, ako nájsť číslo:
Číslo 99 je členom aritmetickej postupnosti (a n), kde a 1 = 12; d=3. Nájdite číslo tohto člena.
Známe množstvá dosadíme do vzorca n-tého člena:
a n = 12 + (n-1) 3
Na prvý pohľad sú tu dve neznáme veličiny: a n a n. ale a n je nejaký člen progresie s číslom n... A tento člen postupu poznáme! Je to 99. Nepoznáme jeho číslo. n, tak toto číslo treba tiež nájsť. Dosaďte progresívny člen 99 do vzorca:
99 = 12 + (n-1) 3
Vyjadrujeme zo vzorca n, my si myslíme. Dostávame odpoveď: n=30.
A teraz problém na rovnakú tému, ale kreatívnejší):
Určite, či číslo 117 bude členom aritmetickej postupnosti (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Opäť napíšeme vzorec. Čo, neexistujú žiadne možnosti? Hm... Prečo potrebujeme oči?) Vidíme prvého člena postupu? Vidíme. Toto je -3,6. Pokojne môžete napísať: a 1 \u003d -3,6. Rozdiel d dá sa určiť zo série? Je to jednoduché, ak viete, aký je rozdiel medzi aritmetickou progresiou:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Áno, urobili sme najjednoduchšiu vec. Zostáva sa vysporiadať s neznámym číslom n a nezrozumiteľné číslo 117. V predchádzajúcom probléme sa aspoň vedelo, že bol daný termín postupu. Ale tu ani nevieme, že ... Ako byť!? Nuž, ako byť, ako byť... Zapnite svoje tvorivé schopnosti!)
my predpokladaťže 117 je predsa členom našej progresie. S neznámym číslom n. A rovnako ako v predchádzajúcom probléme, skúsme nájsť toto číslo. Tie. napíšeme vzorec (áno-áno!)) a dosadíme naše čísla:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Opäť vyjadrujeme zo vzorcan, spočítame a dostaneme:
Ojoj! Číslo vyšlo zlomkové! Sto jeden a pol. A zlomkové čísla v postupnosti nemôže byť. Aký záver vyvodíme? Áno! Číslo 117 nie ječlenom našej progresie. Je to niekde medzi 101. a 102. členom. Ak by sa počet ukázal ako prirodzený, t.j. kladné celé číslo, potom by číslo bolo členom postupnosti s nájdeným číslom. A v našom prípade bude odpoveď na problém: č.
Úloha založená na skutočnej verzii GIA:
Aritmetický postup je daný podmienkou:
a n \u003d -4 + 6,8n
Nájdite prvý a desiaty termín postupu.
Tu je postup nastavený nezvyčajným spôsobom. Nejaký vzorec ... Stáva sa to.) Avšak tento vzorec (ako som napísal vyššie) - aj vzorec n-tého člena aritmetickej postupnosti! Tiež povoľuje nájdite ľubovoľného člena postupu podľa jeho čísla.
Hľadáme prvého člena. Ten, kto si myslí. že prvý člen je mínus štyri, sa fatálne mýli!) Pretože vzorec v úlohe je upravený. Prvý člen aritmetického postupu v ňom skryté. Nič, teraz to nájdeme.)
Rovnako ako v predchádzajúcich úlohách suplujeme n=1 do tohto vzorca:
a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8
Tu! Prvý termín je 2,8, nie -4!
Podobne hľadáme desiaty výraz:
a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64
To je všetko.
A teraz, pre tých, ktorí sa dočítali až po tieto riadky, sľúbený bonus.)
Predpokladajme, že v ťažkej bojovej situácii GIA alebo Jednotnej štátnej skúšky ste zabudli na užitočný vzorec n-tého člena aritmetického postupu. Niečo ma napadá, ale akosi neisto... Či n tam, resp n+1, príp n-1... Ako byť!?
Pokojne! Tento vzorec sa dá ľahko odvodiť. Nie veľmi striktné, ale určite dosť na dôveru a správne rozhodnutie!) Na záver si stačí zapamätať si základný význam aritmetického postupu a mať pár minút času. Stačí si nakresliť obrázok. Pre prehľadnosť.
Nakreslíme si číselnú os a označíme na nej prvú. druhý, tretí atď. členov. A všimnite si rozdiel d medzi členmi. Páči sa ti to:
Pozrieme sa na obrázok a pomyslíme si: čomu sa rovná druhý výraz? Po druhé jeden d:
a 2 = a 1 + 1 d
Aký je tretí termín? Po tretie termín sa rovná prvému termínu plus dva d.
a 3 = a 1 + 2 d
Máš to? Niektoré slová nedávam tučným písmom pre nič za nič. Dobre, ešte jeden krok.)
Aký je štvrtý termín? Po štvrté termín sa rovná prvému termínu plus tri d.
a 4 = a 1 + 3 d
Je načase si uvedomiť, že počet medzier, t.j. d, vždy o jeden menej ako je počet člena, ktorého hľadáte n. Teda až do počtu n, počet medzier bude n-1. Takže vzorec bude (žiadne možnosti!):
| a n = a1 + (n-1)d |
Vo všeobecnosti sú vizuálne obrázky veľmi užitočné pri riešení mnohých problémov v matematike. Nezanedbávajte obrázky. Ale ak je ťažké nakresliť obrázok, potom ... iba vzorec!) Okrem toho vzorec n-tého členu umožňuje pripojiť k riešeniu celý silný arzenál matematiky - rovnice, nerovnice, systémy atď. Nemôžeš dať obrázok do rovnice...
Úlohy pre samostatné rozhodovanie.
Na zahriatie:
1. V aritmetickej postupnosti (a n) a 2 = 3; a 5 \u003d 5.1. Nájdite 3.
Pomôcka: podľa obrázku je problém vyriešený za 20 sekúnd ... Podľa vzorca je to ťažšie. Ale pre zvládnutie vzorca je to užitočnejšie.) V § 555 je tento problém riešený obrázkom aj vzorcom. Cítiť rozdiel!)
A toto už nie je zahrievanie.)
2. V aritmetickej postupnosti (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 = 49, 3. Nájdite 3 .
Čo, neochota nakresliť obrázok?) Ešte! Vo vzorci je to lepšie, áno...
3. Aritmetický postup je daný podmienkou:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Nájdite stodvadsiaty piaty termín tohto postupu.
V tejto úlohe je postup uvedený opakujúcim sa spôsobom. Ale rátať do stodvadsiateho piateho termínu... Nie každému sa to podarí.) Ale vzorec n-tého termínu je v moci každého!
4. Daná aritmetická progresia (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Nájdite číslo najmenšieho kladného člena progresie.
5. Podľa podmienky úlohy 4 nájdite súčet najmenších kladných a najväčších záporných členov postupu.
6. Súčin piateho a dvanásteho člena rastúcej aritmetickej progresie je -2,5 a súčet tretieho a jedenásteho člena je nula. Nájdite 14.
Nie je to najjednoduchšia úloha, áno ...) Tu metóda "na prstoch" nebude fungovať. Musíte písať vzorce a riešiť rovnice.
Odpovede (v neporiadku):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Stalo? Je to pekné!)
Nevychádza všetko? To sa stáva. Mimochodom, v poslednej úlohe je jeden jemný bod. Pri čítaní problému bude potrebná pozornosť. A logika.
Riešenie všetkých týchto problémov je podrobne popísané v časti 555. A fantazijný prvok pre štvrtý a jemný moment pre šiesty a všeobecné prístupy k riešeniu akýchkoľvek problémov pre vzorec n-tého termínu - všetko je vymaľované. Odporúčam.
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)
môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.
Poďme si teda sadnúť a začať písať nejaké čísla. Napríklad:
Môžete napísať ľubovoľné čísla a môže ich byť toľko, koľko chcete (v našom prípade ich). Bez ohľadu na to, koľko čísel napíšeme, vždy vieme povedať, ktoré z nich je prvé, ktoré druhé a tak ďalej až do posledného, čiže ich vieme očíslovať. Toto je príklad číselnej postupnosti:
Číselná postupnosť
Napríklad pre našu postupnosť:
Pridelené číslo je špecifické len pre jedno poradové číslo. Inými slovami, v poradí nie sú žiadne tri sekundové čísla. Druhé číslo (ako -té číslo) je vždy rovnaké.
Číslo s číslom sa nazýva -tý člen postupnosti.
Obvykle nazývame celú postupnosť nejaké písmeno (napríklad), a každý člen tejto postupnosti - rovnaké písmeno s indexom rovným číslu tohto člena: .
V našom prípade: 
Povedzme, že máme číselnú postupnosť, v ktorej je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovnaký.
Napríklad: 
atď.
Takáto číselná postupnosť sa nazýva aritmetická progresia.
Pojem „progresia“ zaviedol rímsky autor Boethius už v 6. storočí a v širšom zmysle bol chápaný ako nekonečná číselná postupnosť. Názov „aritmetika“ bol prenesený z teórie spojitých proporcií, ktorou sa zaoberali starí Gréci.
Ide o číselnú postupnosť, ktorej každý člen sa rovná predchádzajúcemu, sčítanému rovnakým číslom. Toto číslo sa nazýva rozdiel aritmetickej progresie a označuje sa.
Pokúste sa určiť, ktoré postupnosti čísel sú aritmetickým postupom a ktoré nie:
a)
b)
c)
d)
Mám to? Porovnajte naše odpovede:
Je aritmetická progresia - b, c.
Nie je aritmetická progresia - a, d.
Vráťme sa k danej postupnosti () a skúsme nájsť hodnotu jej tého člena. Existuje dva spôsob, ako to nájsť.
1. Spôsob
K predchádzajúcej hodnote čísla progresie môžeme pridávať, až kým nedosiahneme tý člen progresie. Je dobré, že nemáme veľa čo zhrnúť - iba tri hodnoty:
Takže -tý člen opísanej aritmetickej progresie sa rovná.
2. Metóda
Čo keby sme potrebovali nájsť hodnotu tého člena progresie? Sčítanie by nám trvalo viac ako hodinu a nie je pravda, že by sme sa pri sčítaní čísel nepomýlili.
Samozrejme, matematici prišli na spôsob, pri ktorom k predchádzajúcej hodnote nemusíte pripočítať rozdiel aritmetickej progresie. Pozrite sa pozorne na nakreslený obrázok ... Určite ste si už všimli určitý vzor, a to:
Pozrime sa napríklad, čo tvorí hodnotu -tého člena tejto aritmetickej postupnosti: 
Inými slovami:
Pokúste sa týmto spôsobom nezávisle nájsť hodnotu člena tohto aritmetického postupu.
Vypočítané? Porovnajte svoje príspevky s odpoveďou:
Dávajte pozor, aby ste dostali presne rovnaké číslo ako v predchádzajúcej metóde, keď sme k predchádzajúcej hodnote postupne pripočítali členy aritmetickej progresie.
Pokúsme sa tento vzorec "odosobniť" - prenesieme ho do všeobecnej podoby a dostaneme:
|
Aritmetická progresívna rovnica. |
Aritmetické progresie sa buď zvyšujú alebo znižujú.
Zvyšovanie- postupnosti, v ktorých každá nasledujúca hodnota členov je väčšia ako predchádzajúca.
Napríklad:
Zostupne- postupnosti, v ktorých každá nasledujúca hodnota členov je menšia ako predchádzajúca.
Napríklad:
Odvodený vzorec sa používa pri výpočte členov v rastúcom aj klesajúcom člene aritmetickej progresie.
Poďme si to overiť v praxi.
Dostali sme aritmetický postup pozostávajúci z nasledujúcich čísel:
Odvtedy:
Boli sme teda presvedčení, že vzorec funguje tak pri znižovaní, ako aj pri zvyšovaní aritmetickej progresie.
Skúste sami nájsť -tý a -tý člen tejto aritmetickej postupnosti.
Porovnajme výsledky:
Vlastnosť aritmetického postupu
Skomplikujme si úlohu – odvodíme vlastnosť aritmetickej progresie.
Predpokladajme, že máme nasledujúcu podmienku:
- aritmetický postup, nájsť hodnotu.
Je to jednoduché, poviete si, a začnete počítať podľa vzorca, ktorý už poznáte:
Dovoľte, a, potom:
Úplnú pravdu. Ukazuje sa, že najprv nájdeme, potom ho pridáme k prvému číslu a dostaneme to, čo hľadáme. Ak je progresia reprezentovaná malými hodnotami, tak na tom nie je nič zložité, ale čo ak dostaneme v podmienke čísla? Súhlasím, existuje možnosť robiť chyby vo výpočtoch.
Teraz sa zamyslite, je možné vyriešiť tento problém v jednom kroku pomocou akéhokoľvek vzorca? Samozrejme, že áno a pokúsime sa to teraz priniesť.
Označme požadovaný člen aritmetickej progresie, pretože poznáme vzorec na jeho nájdenie - je to rovnaký vzorec, ktorý sme odvodili na začiatku:
, potom:
- predchádzajúci člen postupu je:
- ďalší termín postupu je:
Zhrňme predchádzajúcich a nasledujúcich členov postupu:
Ukazuje sa, že súčet predchádzajúcich a nasledujúcich členov progresie je dvojnásobkom hodnoty člena progresie nachádzajúceho sa medzi nimi. Inými slovami, aby sme našli hodnotu progresívneho člena so známymi predchádzajúcimi a nasledujúcimi hodnotami, je potrebné ich sčítať a vydeliť.
Presne tak, máme rovnaké číslo. Opravíme materiál. Hodnotu progresie si vypočítajte sami, pretože to nie je vôbec ťažké.
Výborne! O progresii viete takmer všetko! Zostáva zistiť iba jeden vzorec, ktorý si podľa legendy ľahko odvodil jeden z najväčších matematikov všetkých čias, „kráľ matematikov“ - Karl Gauss ...
Keď mal Carl Gauss 9 rokov, učiteľ, zaneprázdnený kontrolou prác žiakov z iných tried, zadal na hodine nasledujúcu úlohu: „Vypočítajte súčet všetkých prirodzených čísel od až do (podľa iných zdrojov až po) vrátane. " Aké bolo prekvapenie učiteľa, keď jeden z jeho študentov (bol to Karl Gauss) po minúte dal správnu odpoveď na úlohu, zatiaľ čo väčšina spolužiakov odvážlivca po dlhých výpočtoch dostala nesprávny výsledok ...
Mladý Carl Gauss si všimol vzor, ktorý si môžete ľahko všimnúť.
Povedzme, že máme aritmetickú postupnosť pozostávajúcu z členov -ti: Potrebujeme nájsť súčet daných členov aritmetickej postupnosti. Samozrejme, môžeme všetky hodnoty sčítať ručne, ale čo ak potrebujeme v úlohe nájsť súčet jej členov, ako to hľadal Gauss?
Znázornime postup, ktorý nám bol daný. Pozorne si prezrite zvýraznené čísla a skúste s nimi vykonávať rôzne matematické operácie. 
Vyskúšali? čo si si všimol? Správne! Ich sumy sú rovnaké
Teraz odpovedzte, koľko takýchto párov bude v postupe, ktorý nám bol daný? Samozrejme, presne polovica všetkých čísel, tj.
Na základe skutočnosti, že súčet dvoch členov aritmetickej progresie je rovnaký a podobných rovnakých párov, dostaneme, že celkový súčet sa rovná:
.
Vzorec pre súčet prvých členov akejkoľvek aritmetickej progresie teda bude:
V niektorých problémoch nepoznáme tý člen, ale poznáme progresívny rozdiel. Pokúste sa dosadiť do súčtového vzorca vzorec tého člena.
Čo si dostal?
Výborne! Teraz sa vráťme k problému, ktorý dostal Carl Gauss: vypočítajte si sami, aký je súčet čísel začínajúcich od -tého a súčet čísel začínajúcich od -tého.
Koľko ste dostali?
Gauss ukázal, že súčet členov sa rovná a súčet členov sa rovná. Takto ste sa rozhodli?
V skutočnosti vzorec pre súčet členov aritmetického postupu dokázal staroveký grécky vedec Diophantus už v 3. storočí a počas tejto doby vtipní ľudia používali vlastnosti aritmetického postupu s mocou a hlavným.
Predstavte si napríklad Staroveký Egypt a najväčšie stavenisko tej doby – stavbu pyramídy... Obrázok ukazuje jej jednu stranu. 
Kde je tu progres, hovoríš? Pozrite sa pozorne a nájdite vzor v počte pieskových blokov v každom rade steny pyramídy. 
Prečo nie aritmetický postup? Spočítajte, koľko blokov je potrebných na stavbu jednej steny, ak sú blokové tehly umiestnené v základni. Dúfam, že nebudete počítať pohybom prsta po monitore, pamätáte si posledný vzorec a všetko, čo sme povedali o aritmetickom postupe?
V tomto prípade priebeh vyzerá takto:
Rozdiel aritmetického postupu.
Počet členov aritmetickej postupnosti.
Dosadíme naše údaje do posledných vzorcov (počet blokov počítame 2 spôsobmi).
Metóda 1.
Metóda 2.
A teraz môžete počítať aj na monitore: porovnajte získané hodnoty s počtom blokov, ktoré sú v našej pyramíde. Súhlasilo to? Výborne, zvládli ste súčet členov aritmetického postupu.
Samozrejme, nemôžete postaviť pyramídu z blokov na základni, ale z? Skúste si vypočítať, koľko pieskových tehál je potrebných na stavbu steny s týmto stavom.
Zvládli ste to?
Správna odpoveď je bloky:
Posilovať
Úlohy:
- Máša sa na leto dostáva do formy. Každý deň zvyšuje počet drepov. Koľkokrát bude Masha drepovať za týždne, ak urobila drepy na prvom tréningu.
- Aký je súčet všetkých nepárnych čísel obsiahnutých v.
- Drevorubači ich pri ukladaní guľatiny ukladajú tak, aby každá vrchná vrstva obsahovala o jednu guľatinu menej ako predchádzajúca. Koľko guľatiny je v jednom murive, ak základom muriva sú guľatiny.
Odpovede:
- Definujme parametre aritmetickej progresie. V tomto prípade
(týždne = dni).odpoveď: Za dva týždne by mala Masha raz denne drepovať.
- Prvé nepárne číslo, posledné číslo.
Rozdiel aritmetického postupu.
Počet nepárnych čísel na polovicu si však overte pomocou vzorca na nájdenie -tého člena aritmetickej postupnosti:Čísla obsahujú nepárne čísla.
Dostupné údaje dosadíme do vzorca:odpoveď: Súčet všetkých nepárnych čísel obsiahnutých v sa rovná.
- Spomeňte si na problém o pyramídach. V našom prípade a , keďže každá vrchná vrstva je zmenšená o jeden log, existuje len veľa vrstiev, to jest.
Nahraďte údaje vo vzorci:odpoveď: V murive sú guľatiny.
Zhrnutie
- - číselná postupnosť, v ktorej je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovný. Zvyšuje sa a klesá.
- Hľadanie vzorcačlen aritmetickej postupnosti je zapísaný vzorcom - , kde je počet čísel v postupnosti.
- Vlastnosť členov aritmetického postupu- - kde - počet čísel v postupnosti.
- Súčet členov aritmetickej postupnosti možno nájsť dvoma spôsobmi:
, kde je počet hodnôt.
ARITMETICKÝ POSTUP. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ
Číselná postupnosť
Sadneme si a začneme písať nejaké čísla. Napríklad:
Môžete napísať ľubovoľné čísla a môže ich byť toľko, koľko chcete. Ale vždy sa dá povedať, ktorý z nich je prvý, ktorý druhý atď., čiže ich vieme očíslovať. Toto je príklad číselnej postupnosti.
Číselná postupnosť je množina čísel, z ktorých každému možno priradiť jedinečné číslo.
Inými slovami, každé číslo môže byť spojené s určitým prirodzeným číslom, a to iba s jedným. A toto číslo nepriradíme žiadnemu inému číslu z tejto sady.
Číslo s číslom sa nazýva -tý člen postupnosti.
Obvykle nazývame celú postupnosť nejaké písmeno (napríklad), a každý člen tejto postupnosti - rovnaké písmeno s indexom rovným číslu tohto člena: .
Je veľmi vhodné, ak -tý člen postupnosti môže byť daný nejakým vzorcom. Napríklad vzorec
nastaví postupnosť:
A vzorec je nasledujúca postupnosť:
Napríklad aritmetická progresia je postupnosť (prvý člen je tu rovnaký a rozdiel). Alebo (rozdiel).
vzorec n-tého členu
Rekurentný nazývame vzorec, v ktorom na zistenie -tého člena potrebujete poznať predchádzajúci alebo niekoľko predchádzajúcich:
Aby sme našli napríklad tý člen progresie pomocou takéhoto vzorca, musíme vypočítať predchádzajúcich deväť. Napríklad nech. potom:
No, teraz je jasné, aký je vzorec?
V každom riadku sčítame, vynásobíme nejakým číslom. Prečo? Veľmi jednoduché: toto je číslo aktuálneho člena mínus:
Teraz oveľa pohodlnejšie, však? Kontrolujeme:
Rozhodnite sa sami:
V aritmetickej postupnosti nájdite vzorec pre n-tý člen a nájdite stý člen.
Riešenie:
Prvý člen je rovný. A aký je v tom rozdiel? A tu je čo:
(napokon sa to nazýva rozdiel, pretože sa rovná rozdielu po sebe nasledujúcich členov postupu).
Takže vzorec je:
Potom stý termín je:
Aký je súčet všetkých prirodzených čísel od do?
Podľa legendy veľký matematik Carl Gauss ako 9-ročný chlapec vypočítal túto sumu za pár minút. Všimol si, že súčet prvého a posledného čísla je rovnaký, súčet druhého a predposledného je rovnaký, súčet tretieho a 3. od konca rovnaký atď. Koľko je takýchto párov? Presne tak, presne polovičný počet všetkých čísel. takže,
Všeobecný vzorec pre súčet prvých členov akejkoľvek aritmetickej progresie bude:
Príklad:
Nájdite súčet všetkých dvojciferných násobkov.
Riešenie:
Prvé takéto číslo je toto. Každý ďalší sa získa pridaním čísla k predchádzajúcemu. Čísla, ktoré nás zaujímajú, teda tvoria aritmetický postup s prvým členom a rozdielom.
Vzorec pre th term pre túto postupnosť je:
Koľko výrazov je v postupe, ak musia byť všetky dvojciferné?
Veľmi ľahké: .
Posledný termín postupu bude rovnaký. Potom suma:
Odpoveď: .
Teraz sa rozhodnite sami:
- Každý deň zabehne športovec o 1 m viac ako predchádzajúci deň. Koľko kilometrov zabehne za týždne, ak prvý deň zabehol km m?
- Cyklista najazdí každý deň viac kilometrov ako ten predchádzajúci. Prvý deň precestoval km. Koľko dní musí jazdiť, aby prešiel kilometer? Koľko kilometrov prejde v posledný deň cesty?
- Cena chladničky v predajni sa každoročne znižuje o rovnakú sumu. Zistite, o koľko sa cena chladničky každý rok znížila, ak bola ponúknutá na predaj za ruble, o šesť rokov neskôr bola predaná za ruble.
Odpovede:
- Tu je najdôležitejšie rozpoznať aritmetickú progresiu a určiť jej parametre. V tomto prípade (týždne = dni). Musíte určiť súčet prvých podmienok tohto postupu:
.
odpoveď: - Tu je dané:, treba nájsť.
Je zrejmé, že musíte použiť rovnaký sumárny vzorec ako v predchádzajúcom probléme:
.
Nahraďte hodnoty:Koreň evidentne nesedí, takže odpoveď.
Vypočítajme vzdialenosť prejdenú za posledný deň pomocou vzorca -tého člena:
(km).
odpoveď: - Dané: . Nájsť: .
Ľahšie to už nejde:
(drhnúť).
odpoveď:
ARITMETICKÝ POSTUP. STRUČNE O HLAVNOM
Toto je číselná postupnosť, v ktorej je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovnaký.
Aritmetický postup sa zvyšuje () a klesá ().
Napríklad:
Vzorec na nájdenie n-tého člena aritmetickej postupnosti
sa zapisuje ako vzorec, kde je počet čísel v postupnosti.
Vlastnosť členov aritmetického postupu
Uľahčuje to nájsť člena progresie, ak sú známi jeho susední členovia - kde je počet čísel v progresii.
Súčet členov aritmetickej postupnosti
Súčet možno nájsť dvoma spôsobmi:
Kde je počet hodnôt.
Kde je počet hodnôt.
OSTATNÉ 2/3 ČLÁNKOV SÚ K DISPOZÍCII LEN PRE MLADŠÍCH ŠTUDENTOV!
Staňte sa študentom YouClever,
Pripravte sa na OGE alebo USE v matematike za cenu „šálky kávy za mesiac“,
A tiež získate neobmedzený prístup k učebnici „YouClever“, školiacemu programu „100gia“ (kniha riešení), neobmedzené skúšobné USE a OGE, 6000 úloh s analýzou riešení a ďalšie služby YouClever a 100gia.
Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)
Aritmetická postupnosť je séria čísel, v ktorých je každé číslo väčšie (alebo menšie) ako predchádzajúce o rovnakú hodnotu.
Táto téma je často ťažká a nepochopiteľná. Písmenové indexy, n-tý člen progresie, rozdiel progresie - to všetko je nejako mätúce, áno ... Poďme zistiť význam aritmetického postupu a všetko bude fungovať hneď.)
Pojem aritmetická progresia.
Aritmetický postup je veľmi jednoduchý a jasný koncept. Pochybnosti? Márne.) Presvedčte sa sami.
Napíšem nedokončenú sériu čísel:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Môžete predĺžiť tento riadok? Aké čísla budú nasledovať po päťke? Každý ... ehm ..., skrátka každý príde na to, že ďalej pôjdu čísla 6, 7, 8, 9 atď.
Skomplikujme si úlohu. Dávam nedokončenú sériu čísel:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Môžete zachytiť vzor, predĺžiť sériu a pomenovať siedmyčíslo riadku?
Ak ste zistili, že toto číslo je 20 - blahoželám vám! Nielenže ste cítili kľúčové body aritmetického postupu, ale úspešne ich využíval aj v podnikaní! Ak nerozumiete, čítajte ďalej.
Teraz preložme kľúčové body zo vnemov do matematiky.)
Prvý kľúčový bod.
Aritmetická postupnosť sa zaoberá radom čísel. Toto je spočiatku mätúce. Sme zvyknutí riešiť rovnice, zostavovať grafy a to všetko ... A potom predĺžiť sériu, nájsť číslo radu ...
Je to v poriadku. Ide len o to, že progresie sú prvým zoznámením sa s novým odvetvím matematiky. Sekcia sa nazýva "Series" a pracuje s radmi čísel a výrazov. Zvyknúť si na to.)
Druhý kľúčový bod.
V aritmetickej postupnosti sa akékoľvek číslo líši od predchádzajúceho o rovnakú sumu.
V prvom príklade je tento rozdiel jeden. Nech si vezmete akékoľvek číslo, je o jedno viac ako to predchádzajúce. V druhej - tri. Akékoľvek číslo je trikrát väčšie ako predchádzajúce. V skutočnosti je to tento moment, ktorý nám dáva príležitosť zachytiť vzor a vypočítať nasledujúce čísla.
Tretí kľúčový bod.
Tento moment nie je nápadný, áno... Ale veľmi, veľmi dôležitý. Tu je: každé číslo postupu je na svojom mieste. Je tu prvé číslo, je siedme, je štyridsiate piate atď. Ak si ich náhodne popletiete, vzor zmizne. Aritmetický postup tiež zmizne. Je to len séria čísel.
To je celá podstata.
V novej téme sa samozrejme objavujú nové pojmy a zápisy. Potrebujú vedieť. Inak nepochopíte úlohu. Napríklad, musíte sa rozhodnúť niečo ako:
Napíšte prvých šesť členov aritmetickej progresie (a n), ak a 2 = 5, d = -2,5.
Inšpiruje?) Listy, nejaké indexy... A tá úloha, mimochodom, nemôže byť jednoduchšia. Musíte len pochopiť význam pojmov a zápisu. Teraz túto záležitosť zvládneme a vrátime sa k úlohe.
Termíny a označenia.
Aritmetický postup je rad čísel, v ktorých je každé číslo iné ako predchádzajúce o rovnakú sumu.
Táto hodnota sa nazýva . Poďme sa tomuto konceptu venovať podrobnejšie.
Rozdiel aritmetického postupu.
Rozdiel aritmetického postupu je čiastka, o ktorú akékoľvek progresívne číslo viac ten predchádzajúci.
Jeden dôležitý bod. Venujte prosím pozornosť slovu „viac“. Matematicky to znamená, že sa získa každé číslo postupu pridávanie rozdiel aritmetického postupu k predchádzajúcemu číslu.
Na výpočet, povedzme druhýčísla riadku, je potrebné najprvčíslo pridať práve tento rozdiel aritmetického postupu. Pre výpočet piaty- rozdiel je nutný pridať do štvrtý dobre, atď.
Rozdiel aritmetického postupu možno pozitívne potom sa každé číslo série ukáže ako skutočné viac ako predchádzajúca. Táto progresia sa nazýva zvyšujúci sa. Napríklad:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Tu je každé číslo pridávanie kladné číslo, +5 k predchádzajúcemu.
Rozdiel môže byť negatívne potom bude každé číslo v rade menej ako predchádzajúca. Tento postup sa nazýva (neuveríte!) klesajúci.
Napríklad:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Aj tu sa získa každé číslo pridávanie na predchádzajúce, ale už záporné číslo, -5.
Mimochodom, pri práci s progresiou je veľmi užitočné okamžite určiť jej povahu - či sa zvyšuje alebo znižuje. Veľmi pomáha zorientovať sa v rozhodovaní, odhaliť svoje chyby a opraviť ich skôr, než bude neskoro.
Rozdiel aritmetického postupu zvyčajne sa označuje písmenom d.
Ako nájsť d? Veľmi jednoduché. Je potrebné odpočítať od ľubovoľného čísla série predchádzajúcečíslo. Odčítať. Mimochodom, výsledok odčítania sa nazýva "rozdiel".)
Definujme si napr. d pre rastúci aritmetický postup:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Zoberieme ľubovoľné číslo riadku, ktoré chceme, napríklad 11. Odčítame z neho predchádzajúce číslo tie. osem:
Toto je správna odpoveď. Pre tento aritmetický postup je rozdiel tri.
Môžete len vziať ľubovoľný počet progresií, pretože pre konkrétny postup d-vždy to isté. Aspoň niekde na začiatku radu, aspoň v strede, aspoň kdekoľvek. Nemôžete vziať len prvé číslo. Už len kvôli prvému číslu žiadne predchádzajúce.)
Mimochodom, vedieť to d=3, nájdenie siedmeho čísla tohto postupu je veľmi jednoduché. K piatemu číslu pridáme 3 - dostaneme šieste, bude to 17. K šiestemu číslu pridáme tri, dostaneme siedme číslo - dvadsať.
Poďme definovať d pre klesajúci aritmetický postup:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Pripomínam, že bez ohľadu na znamenia určiť d potrebné z akéhokoľvek čísla odobrať predchádzajúce. Zvolíme ľubovoľný počet progresie, napríklad -7. Jeho predchádzajúce číslo je -2. potom:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Rozdiel v aritmetickej progresii môže byť ľubovoľné číslo: celé číslo, zlomok, iracionálne, ľubovoľné.
Iné termíny a označenia.
Každé číslo v rade sa volá člen aritmetického postupu.
Každý člen progresu má svoje číslo.Čísla sú prísne v poriadku, bez akýchkoľvek trikov. Prvý, druhý, tretí, štvrtý atď. Napríklad v postupnosti 2, 5, 8, 11, 14, ... dva je prvý člen, päť je druhý, jedenásť je štvrtý, dobre, rozumiete ...) Jasne pochopte - samotné čísla môže byť úplne akýkoľvek, celý, zlomkový, negatívny, akýkoľvek, ale číslovanie- prísne v poriadku!
Ako napísať progresiu vo všeobecnej forme? Žiaden problém! Každé číslo v rade je napísané ako písmeno. Na označenie aritmetického postupu sa spravidla používa písmeno a. Číslo člena je označené indexom vpravo dole. Členovia sa píšu oddelené čiarkami (alebo bodkočiarkami) takto:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
1 je prvé číslo a 3- tretí atď. Nič zložité. Túto sériu môžete stručne napísať takto: (a n).
Existujú progresie konečný a nekonečný.
konečný postup má obmedzený počet členov. Päť, tridsaťosem, čokoľvek. Ale je to konečné číslo.
Nekonečné progresia - má nekonečný počet členov, ako by ste mohli hádať.)
Môžete napísať konečný postup cez sériu, ako je táto, všetci členovia a bodka na konci:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.
Alebo takto, ak je veľa členov:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
V krátkom zázname budete musieť dodatočne uviesť počet členov. Napríklad (pre dvadsať členov) takto:
(a n), n = 20
Nekonečný postup možno rozpoznať podľa elipsy na konci riadku, ako v príkladoch v tejto lekcii.
Teraz už môžete riešiť úlohy. Úlohy sú jednoduché, čisto na pochopenie významu aritmetického postupu.
Príklady úloh na aritmetický postup.
Pozrime sa bližšie na vyššie uvedenú úlohu:
1. Napíšte prvých šesť členov aritmetickej postupnosti (a n), ak a 2 = 5, d = -2,5.
Úlohu preložíme do zrozumiteľného jazyka. Vzhľadom na nekonečný aritmetický postup. Druhé číslo tohto postupu je známe: a 2 = 5. Známy rozdiel v postupe: d = -2,5. Musíme nájsť prvého, tretieho, štvrtého, piateho a šiesteho člena tohto postupu.
Pre názornosť napíšem sériu podľa stavu problému. Prvých šesť členov, pričom druhý člen je päť:
a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....
a 3 = a 2 + d
Vo výraze dosadíme a 2 = 5 a d = -2,5. Nezabudnite na mínus!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Tretí termín je menší ako druhý. Všetko je logické. Ak je číslo väčšie ako predchádzajúce negatívne hodnotu, takže samotné číslo bude menšie ako predchádzajúce. Progresia sa znižuje. Dobre, zoberme to do úvahy.) Uvažujeme o štvrtom členovi našej série:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Takže termíny od tretieho do šiesteho boli vypočítané. Výsledkom bola séria:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Zostáva nájsť prvý termín 1 podľa známeho druhého. Toto je krok opačným smerom, doľava.) Preto je rozdiel v aritmetickej progresii d by sa nemalo pridávať a 2, a zobrať:
1 = a 2 - d
1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
To je všetko. Odpoveď na úlohu:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Na okraj podotýkam, že sme túto úlohu vyriešili opakujúci spôsobom. Toto hrozné slovo znamená iba hľadanie člena progresie o predchádzajúce (susedné) číslo. O ďalších spôsoboch práce s progresiou sa bude diskutovať neskôr.
Z tejto jednoduchej úlohy možno vyvodiť jeden dôležitý záver.
Pamätajte:
Ak poznáme aspoň jeden člen a rozdiel aritmetickej postupnosti, môžeme nájsť ľubovoľného člena tejto postupnosti.
Pamätáte si? Tento jednoduchý záver nám umožňuje vyriešiť väčšinu problémov školského kurzu na túto tému. Všetky úlohy sa točia okolo troch hlavných parametrov: člen aritmetického postupu, rozdiel postupu, číslo člena postupu. Všetko.
Samozrejme, že všetka predchádzajúca algebra nie je zrušená.) Nerovnice, rovnice a ďalšie veci sú pripojené k postupu. ale podľa progresie- všetko sa točí okolo troch parametrov.
Zvážte napríklad niektoré populárne úlohy na túto tému.
2. Napíšte konečnú aritmetickú postupnosť ako sériu, ak n=5, d=0,4 a a 1=3,6.
Všetko je tu jednoduché. Všetko je už dané. Musíte si pamätať, ako sa počítajú, počítajú a zapisujú členy aritmetického postupu. Je vhodné nepreskakovať slová v podmienke úlohy: „final“ a „ n=5". Aby ste nepočítali, kým nebudete úplne modrý v tvári.) V tomto postupe je len 5 (päť) členov:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Zostáva napísať odpoveď:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Ďalšia úloha:
3. Určte, či číslo 7 bude členom aritmetickej postupnosti (a n), ak a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.
Hmm... Kto vie? Ako niečo definovať?
Ako-ako ... Áno, zapíšte si postup vo forme série a uvidíte, či bude sedmička alebo nie! My veríme:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Teraz je jasne vidieť, že máme len sedem prekĺzol medzi 6,5 a 7,7! Sedmička sa nedostala do nášho číselného radu, a preto sedmička nebude členom daného postupu.
odpoveď: nie.
A tu je úloha založená na skutočnej verzii GIA:
4. Vypíše sa niekoľko po sebe idúcich členov aritmetického postupu:
...; pätnásť; X; 9; 6; ...
Tu je séria bez konca a začiatku. Žiadne čísla členov, žiadny rozdiel d. Je to v poriadku. Na vyriešenie problému stačí pochopiť význam aritmetickej progresie. Pozrime sa a uvidíme, čo môžeme vedieť z tohto riadku? Aké sú parametre troch hlavných?
Čísla členov? Nie je tu ani jedno číslo.
Ale sú tam tri čísla a - pozor! - slovo "po sebe" v stave. To znamená, že čísla sú prísne v poriadku, bez medzier. Sú v tomto rade dvaja? susedný známe čísla? Áno, existuje! Toto je 9 a 6. Takže môžeme vypočítať rozdiel aritmetickej progresie! Odpočítame od šiestich predchádzajúcečíslo, t.j. deväť:
Zostávajú voľné miesta. Aké číslo bude predchádzajúce pre x? Pätnásť. Takže x sa dá ľahko nájsť jednoduchým sčítaním. K 15 pridajte rozdiel aritmetického postupu:
To je všetko. odpoveď: x=12
Nasledujúce problémy riešime sami. Poznámka: tieto hádanky nie sú určené na vzorce. Čisto pre pochopenie významu aritmetického postupu.) Len si zapíšeme sériu čísel-písmen, pozrieme sa a premýšľame.
5. Nájdite prvý kladný člen aritmetickej progresie, ak a 5 = -3; d = 1,1.
6. Je známe, že číslo 5,5 je členom aritmetickej postupnosti (a n), kde a 1 = 1,6; d = 1,3. Určte číslo n tohto člena.
7. Je známe, že v aritmetickej progresii a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Nájdite 3.
8. Vypíše sa niekoľko po sebe idúcich členov aritmetického postupu:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Nájdite člen postupnosti označený písmenom x.
9. Vlak sa dal zo stanice do pohybu, pričom svoju rýchlosť postupne zvyšoval o 30 metrov za minútu. Aká bude rýchlosť vlaku za päť minút? Svoju odpoveď uveďte v km/h.
10. Je známe, že v aritmetickej postupnosti a 2 = 5; a6 = -5. Nájdite 1.
Odpovede (v neporiadku): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; štyri.
Všetko vyšlo? úžasné! V nasledujúcich lekciách sa môžete naučiť aritmetický postup na vyššej úrovni.
Nevyšlo všetko? Žiaden problém. V špeciálnej časti 555 sú všetky tieto hlavolamy rozobraté kúsok po kúsku.) A, samozrejme, je opísaná jednoduchá praktická technika, ktorá okamžite zvýrazní riešenie takýchto úloh jasne, zreteľne, ako na dlani!
Mimochodom, v hádanke o vlaku sú dva problémy, o ktoré ľudia často narážajú. Jeden - čisto podľa postupu a druhý - spoločný pre všetky úlohy z matematiky a fyziky. Toto je preklad dimenzií z jednej do druhej. Ukazuje, ako by sa tieto problémy mali riešiť.
V tejto lekcii sme skúmali elementárny význam aritmetickej progresie a jej hlavné parametre. To stačí na vyriešenie takmer všetkých problémov na túto tému. Pridať d k číslam napíšte sériu, všetko sa rozhodne.
Riešenie prstov funguje dobre pre veľmi krátke kúsky série, ako v príkladoch v tejto lekcii. Ak je séria dlhšia, výpočty sú komplikovanejšie. Napríklad, ak máte problém 9 v otázke, nahraďte ho "päť minút" na "tridsaťpäť minút" problém bude oveľa horší.)
A existujú aj úlohy, ktoré sú v podstate jednoduché, ale z hľadiska výpočtov úplne absurdné, napríklad:
Daná aritmetická progresia (a n). Nájdite 121, ak a 1 = 3 a d = 1/6.
A čo, pridáme 1/6 veľa, veľa krát?! Je možné sa zabiť!?
Môžete.) Ak nepoznáte jednoduchý vzorec, podľa ktorého takéto úlohy vyriešite za minútu. Tento vzorec bude v ďalšej lekcii. A tam je tento problém vyriešený. O minútu.)
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)
môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.
Matematika má svoju krásu, rovnako ako maľba a poézia.
Ruský vedec, mechanik N.E. Žukovského
Veľmi časté úlohy v prijímacích testoch z matematiky sú úlohy súvisiace s pojmom aritmetický postup. Na úspešné vyriešenie takýchto problémov je potrebné dobre poznať vlastnosti aritmetickej progresie a mať určité zručnosti v ich aplikácii.
Najprv si pripomeňme hlavné vlastnosti aritmetickej progresie a predstavme najdôležitejšie vzorce, spojené s týmto konceptom.
Definícia. Číselná postupnosť, v ktorom sa každý nasledujúci výraz líši od predchádzajúceho rovnakým číslom, nazývaná aritmetická progresia. Zároveň aj číslosa nazýva progresívny rozdiel.
Pre aritmetickú postupnosť platia vzorce
, (1)
kde . Vzorec (1) sa nazýva vzorec spoločného člena aritmetickej postupnosti a vzorec (2) je hlavnou vlastnosťou aritmetickej postupnosti: každý člen postupnosti sa zhoduje s aritmetickým priemerom susedných členov a .
Všimnite si, že práve kvôli tejto vlastnosti sa uvažovaná progresia nazýva „aritmetická“.
Vyššie uvedené vzorce (1) a (2) sú zhrnuté takto:
(3)
Na výpočet sumy najprv členov aritmetického postupuzvyčajne sa používa vzorec
(5) kde a .
Ak vezmeme do úvahy vzorec (1), potom vzorec (5) znamená
Ak určíme
kde . Pretože vzorce (7) a (8) sú zovšeobecnením zodpovedajúcich vzorcov (5) a (6).
najmä zo vzorca (5) vyplýva, čo
Medzi málo známe pre väčšinu študentov patrí vlastnosť aritmetickej progresie, formulovaná pomocou nasledujúcej vety.
Veta. Ak potom
Dôkaz. Ak potom
Veta bola dokázaná.
Napríklad , pomocou vety, dá sa to ukázať
Prejdime k úvahe o typických príkladoch riešenia úloh na tému „Aritmetický postup“.
Príklad 1 Nechajte a . Nájsť .
Riešenie. Použitím vzorca (6) dostaneme . Od a , potom alebo .
Príklad 2 Nechajte trikrát viac a pri delení v kvociente vyjde 2 a zvyšok je 8. Určte a.
Riešenie. Systém rovníc vyplýva z podmienky príkladu
Keďže , , a , potom zo sústavy rovníc (10) dostaneme
Riešením tejto sústavy rovníc sú a .
Príklad 3 Zistite, či a .
Riešenie. Podľa vzorca (5) máme alebo . Avšak pomocou vlastnosti (9) získame .
Od a , potom z rovnosti nasleduje rovnica alebo .
Príklad 4 Nájdite, ak .
Riešenie.Podľa vzorca (5) máme
Pomocou vety sa však dá písať
Odtiaľ a zo vzorca (11) získame .
Príklad 5. Dané: . Nájsť .
Riešenie. Odvtedy . Avšak , preto .
Príklad 6 Nechajte , a . Nájsť .
Riešenie. Pomocou vzorca (9) dostaneme . Preto ak , tak alebo .
Od a potom tu máme systém rovníc
Vyriešením ktorého dostaneme a .
Prirodzený koreň rovnice je .
Príklad 7 Zistite, či a .
Riešenie. Keďže podľa vzorca (3) máme to , potom sústava rovníc vyplýva z podmienky úlohy
Ak dosadíme výrazdo druhej rovnice systému, potom dostaneme alebo .
Korene kvadratickej rovnice sú a .
Zoberme si dva prípady.
1. Nechajte , potom . Odvtedy a potom.
V tomto prípade podľa vzorca (6) máme
2. Ak , potom , a
Odpoveď: a.
Príklad 8 Je známe, že a Nájsť .
Riešenie. Berúc do úvahy vzorec (5) a podmienku príkladu, píšeme a .
To znamená systém rovníc
Ak vynásobíme prvú rovnicu sústavy 2 a potom ju pripočítame k druhej rovnici, dostaneme
Podľa vzorca (9) máme. V tejto súvislosti z (12) vyplýva alebo .
Odvtedy a potom.
Odpoveď: .
Príklad 9 Zistite, či a .
Riešenie. Od , a podľa podmienky , potom alebo .
Zo vzorca (5) je to známe, čo . Odvtedy .
v dôsledku toho tu máme systém lineárnych rovníc
Odtiaľto dostávame a . Berúc do úvahy vzorec (8), píšeme .
Príklad 10 Vyriešte rovnicu.
Riešenie. Z uvedenej rovnice vyplýva, že . Predpokladajme, že , , a . V tomto prípade .
Podľa vzorca (1) môžeme napísať alebo .
Pretože rovnica (13) má jedinečný vhodný koreň .
Príklad 11. Nájdite maximálnu hodnotu za predpokladu, že a .
Riešenie. Od , potom uvažovaná aritmetická progresia klesá. V tomto ohľade výraz nadobúda maximálnu hodnotu, keď je číslom minimálneho kladného člena progresie.
Používame vzorec (1) a skutočnosť, ktorý a . Potom dostaneme, že alebo .
Pretože , potom alebo . Avšak v tejto nerovnostinajväčšie prirodzené číslo, preto .
Ak sú hodnoty a dosadené do vzorca (6), dostaneme .
Odpoveď: .
Príklad 12. Nájdite súčet všetkých dvojciferných prirodzených čísel, ktoré po delení 6 majú zvyšok 5.
Riešenie. Označme množinou všetkých dvojhodnotových prirodzených čísel, t.j. . Ďalej zostrojíme podmnožinu pozostávajúcu z tých prvkov (čísel) množiny, ktoré po delení číslom 6 dávajú zvyšok 5.
Jednoduchá inštalácia, čo . samozrejme , že prvky zostavytvoria aritmetický postup, v ktorom a .
Na určenie mohutnosti (počet prvkov) množiny predpokladáme, že . Pretože a , potom vzorec (1) znamená alebo . Ak vezmeme do úvahy vzorec (5), dostaneme .
Vyššie uvedené príklady riešenia problémov si v žiadnom prípade nemôžu tvrdiť, že sú vyčerpávajúce. Tento článok je napísaný na základe analýzy moderných metód riešenia typických problémov na danú tému. Pre hlbšie štúdium metód riešenia problémov súvisiacich s aritmetickou progresiou je vhodné pozrieť si zoznam odporúčanej literatúry.
1. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov na technické univerzity / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Svet a vzdelávanie, 2013. - 608 s.
2. Suprun V.P. Matematika pre stredoškolákov: doplnkové časti školského vzdelávacieho programu. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 s.
3. Medýnsky M.M. Kompletný kurz elementárnej matematiky v úlohách a cvičeniach. Kniha 2: Číselné postupnosti a postupnosti. – M.: Editus, 2015. - 208 s.
Máte nejaké otázky?
Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.
stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.
