Goniometrické funkcie pre figuríny. Trigonometria je jednoduchá a prehľadná. Trigonometrické redukčné vzorce

Už v roku 1905 si ruskí čitatelia mohli prečítať v Psychológii Williama Jamesa jeho úvahy o tom, „prečo je napchávanie sa tak zlým spôsobom učenia?“.

„Vedomosti získané obyčajným prepchávaním sú takmer nevyhnutne zabudnuté úplne bez stopy. Naopak, mentálny materiál, nahromadený pamäťou postupne, deň čo deň, v spojení s rôznymi kontextami, asociačne spojený s inými vonkajšími udalosťami a opakovane podrobovaný diskusii, tvorí takýto systém, vstupuje do takéhoto spojenia s inými aspektmi nášho intelektu. , sa ľahko obnovuje v pamäti množstvom vonkajších dôvodov, ktoré zostávajú dlhodobo pevnou akvizíciou.

Odvtedy uplynulo viac ako 100 rokov a tieto slová sú prekvapivo stále aktuálne. Vidíte to každý deň, keď pracujete so školákmi. Hromadné medzery vo vedomostiach sú také veľké, že možno tvrdiť, že kurz školskej matematiky z didaktického a psychologického hľadiska nie je systémom, ale akýmsi zariadením, ktoré podporuje krátkodobá pamäť a vôbec sa nestarajú o dlhodobú pamäť.

Poznať školský kurz matematiky znamená ovládať látku každej z oblastí matematiky, vedieť si ktorúkoľvek z nich kedykoľvek aktualizovať. Aby ste to dosiahli, musíte sa systematicky venovať každému z nich, čo niekedy nie je vždy možné vzhľadom na veľkú záťaž na lekcii.

Existuje aj iný spôsob dlhodobého zapamätania si faktov a vzorcov – ide o referenčné signály.

Trigonometria je jednou z veľkých sekcií školskej matematiky, ktorá sa študuje v rámci geometrie v 8., 9. ročníku a v kurze algebry v 9. ročníku, algebra a začiatok analýzy v 10. ročníku.

Najväčšie množstvo materiálu študovaného v trigonometrii pripadá na 10. stupeň. Veľa z tohto trigonometrického materiálu sa dá naučiť a zapamätať si trigonometrický kruh(kruh s polomerom jednotky so stredom v počiatku pravouhlý systém súradnice). Aplikácia1.ppt

Ide o nasledujúce pojmy trigonometrie:

definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu uhla;
meranie radián uhlov;
doména definície a rozsah goniometrických funkcií
hodnoty goniometrických funkcií pre niektoré hodnoty numerických a uhlových argumentov;
periodicita goniometrických funkcií;
párne a nepárne goniometrické funkcie;
zvýšenie a zníženie goniometrických funkcií;
redukčné vzorce;
hodnoty inverzných goniometrických funkcií;
riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc;
riešenie najjednoduchších nerovností;
základné vzorce trigonometrie.

Zvážte štúdium týchto pojmov na trigonometrickom kruhu.

1) Definícia sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu.

Po predstavení pojmu trigonometrická kružnica (kruh s jednotkovým polomerom so stredom v počiatku), počiatočný polomer (polomer kruhu v smere osi Ox), uhol rotácie, študenti samostatne dostanú definície pre sínus, kosínus. , dotyčnica a kotangens na trigonometrickej kružnici, s použitím definícií z geometrie kurzu, to znamená s uvažovaním pravouhlého trojuholníka s preponou rovnou 1.

Kosínus uhla je úsečka bodu na kružnici, keď je počiatočný polomer otočený o daný uhol.

Sínus uhla je ordináta bodu na kružnici, keď je počiatočný polomer otočený o daný uhol.

2) Radiánové meranie uhlov na trigonometrickej kružnici.

Po zavedení radiánovej miery uhla (1 radián je stredový uhol, ktorý zodpovedá dĺžke oblúka rovnajúcej sa polomeru kružnice), študenti dospejú k záveru, že meranie radiánskeho uhla je číselná hodnota uhla natočenia na kružnici. , ktorá sa rovná dĺžke zodpovedajúceho oblúka, keď je počiatočný polomer otočený o daný uhol. .

Trigonometrický kruh je rozdelený na 12 rovnakých častí podľa priemerov kruhu. S vedomím, že uhol je radián, je možné určiť mieru radiánu pre uhly, ktoré sú násobkami .

A merania radiánov uhlov, ktoré sú násobkami, sa získajú podobne:

3) Oblasť definície a doména hodnôt goniometrických funkcií.

Bude zhoda uhlov rotácie a súradnicových hodnôt bodu na kruhu funkciou?

Každý uhol otočenia zodpovedá jednému bodu na kruhu, takže táto korešpondencia je funkciou.

Získavanie funkcií

Na trigonometrickom kruhu je vidieť, že doménou definície funkcií je množina všetkých reálnych čísel a doménou hodnôt je .

Predstavme si pojmy priamok dotyčníc a kotangens na trigonometrickej kružnici.

1) Nechajte Zavedieme pomocnú priamku rovnobežnú s osou Oy, na ktorej sú určené dotyčnice pre ľubovoľný číselný argument.

2) Podobne získame priamku kotangens. Nech y=1, potom . To znamená, že hodnoty kotangens sú určené na priamke rovnobežnej s osou Ox.

Na trigonometrickom kruhu je možné ľahko určiť doménu definície a rozsah hodnôt goniometrických funkcií:

pre dotyčnicu -

pre kotangens -

4) Hodnoty goniometrických funkcií na trigonometrickom kruhu.

Noha oproti uhlu v polovici prepony, to znamená druhá noha podľa Pytagorovej vety:

Takže podľa definície sínus, kosínus, tangens, kotangens môžete určiť hodnoty pre uhly, ktoré sú násobky alebo radiány. Sínusové hodnoty sa určujú pozdĺž osi Oy, hodnoty kosínusu pozdĺž osi Ox a hodnoty tangenty a kotangens možno určiť z ďalších osí rovnobežných s osami Oy a Ox.

Tabuľkové hodnoty sínus a kosínus sú umiestnené na príslušných osiach takto:

Tabuľkové hodnoty tangens a kotangens -

5) Periodicita goniometrických funkcií.

Na trigonometrickom kruhu je možné vidieť, že hodnoty sínus, kosínus sa opakujú každý radián a tangens a kotangens - každý radián.

6) Párne a nepárne goniometrické funkcie.

Túto vlastnosť možno získať porovnaním hodnôt kladných a opačných uhlov rotácie goniometrických funkcií. Chápeme to

Takže kosínus je dokonca funkciu, všetky ostatné funkcie sú nepárne.

7) Zvyšovanie a znižovanie goniometrických funkcií.

Trigonometrický kruh ukazuje, že funkcia sínus sa zvyšuje a znižuje sa

Argumentom podobne získame intervaly nárastu a poklesu funkcií kosínus, tangens a kotangens.

8) Redukčné vzorce.

Pre uhol berieme menšiu hodnotu uhla na trigonometrickej kružnici. Všetky vzorce sa získajú porovnaním hodnôt goniometrických funkcií na nohách vybraných pravouhlých trojuholníkov.

Algoritmus na použitie redukčných vzorcov:

1) Určte znamienko funkcie pri otáčaní o daný uhol.

Pri odbočovaní do rohu funkcia sa zachová, pri otočení o uhol sa získa celé číslo, nepárne číslo, kofunkcia (

9) Hodnoty inverzných goniometrických funkcií.

Zavádzame inverzné funkcie pre goniometrické funkcie pomocou definície funkcie.

Každá hodnota sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangens na trigonometrickej kružnici zodpovedá iba jednej hodnote uhla natočenia. Takže pre funkciu je doména definície , doména hodnôt je - Pre funkciu je doména definície , doména hodnôt je . Podobne získame definičný obor a rozsah inverzných funkcií pre kosínus a kotangens.

Algoritmus na nájdenie hodnôt inverzných goniometrických funkcií:

1) nájdenie hodnoty argumentu inverznej goniometrickej funkcie na zodpovedajúcej osi;

2) nájdenie uhla natočenia počiatočného polomeru, berúc do úvahy rozsah hodnôt inverznej goniometrickej funkcie.

Napríklad:

10) Riešenie najjednoduchších rovníc na trigonometrickej kružnici.

Aby sme vyriešili rovnicu tvaru , nájdeme body na kružnici, ktorých súradnice sú rovnaké a zapíšeme zodpovedajúce uhly, berúc do úvahy periódu funkcie.

Pre rovnicu nájdeme body na kružnici, ktorých úsečky sú rovnaké a zapíšeme zodpovedajúce uhly, berúc do úvahy periódu funkcie.

Podobne pre rovnice tvaru Hodnoty sa určujú na čiarach dotyčníc a kotangens a zaznamenávajú sa zodpovedajúce uhly rotácie.

Všetky pojmy a vzorce trigonometrie prijímajú žiaci sami pod jasným vedením učiteľa pomocou trigonometrického kruhu. V budúcnosti bude tento „kruh“ pre nich slúžiť ako referenčný signál alebo externý faktor na reprodukovanie pojmov a vzorcov trigonometrie v pamäti.

Štúdium trigonometrie na trigonometrickom kruhu prispieva k:

výber štýlu komunikácie, ktorý je pre túto hodinu optimálny, organizovanie vzdelávacej spolupráce;
ciele hodiny sa stávajú pre každého študenta osobne významnými;
nový materiál založené na osobná skúsenosťčiny, myslenie, pocity žiaka;
lekcia zahŕňa rôzne formy práca a metódy získavania a asimilácie vedomostí; existujú prvky vzájomného a samoučenia; sebakontrola a vzájomná kontrola;
vyskytuje rýchla reakcia o nedorozumení a omyle (spoločná diskusia, podpora-nápovedy, vzájomné konzultácie).

Späť dopredu

Pozor! Ukážka snímky slúži len na informačné účely a nemusí predstavovať celý rozsah prezentácie. Ak máš záujem táto práca prosím stiahnite si plnú verziu.

1. Úvod.

Keď sa blížim ku škole, počujem hlasy chalanov z telocvične, idem ďalej – spievajú, kreslia... emócie, pocity sú všade. Moja kancelária, hodina algebry, žiaci desiateho ročníka. Tu je naša učebnica, v ktorej je kurz trigonometrie polovičný a sú v nej dve záložky - to sú miesta, kde som našiel slová, ktoré nesúvisia s teóriou trigonometrie.

Medzi nemnohých patria študenti, ktorí milujú matematiku, cítia jej krásu a nepýtajú sa, prečo je potrebné študovať trigonometriu, kde sa uplatňuje študovaná látka? Väčšina sú tí, ktorí jednoducho plnia úlohy, aby nedostali zlú známku. A sme pevne presvedčení, že aplikovanou hodnotou matematiky je získanie vedomostí postačujúcich na úspech absolvovanie skúšky a prijatie na univerzitu (vstúpiť a zabudnúť).

Hlavným účelom prezentovanej lekcie je ukázať použitú hodnotu trigonometrie v rôznych odborochľudská aktivita. Uvedené príklady pomôžu žiakom pochopiť prepojenie tohto úseku matematiky s inými predmetmi študovanými v škole. Obsah tejto lekcie je prvkom vzdelávania študentov.

Povedz niečo nové o zdanlivo dlho známej skutočnosti. Ukážte logické spojenie medzi tým, čo už vieme, a tým, čo ešte treba študovať. Pootvorte dvere a pozrite sa ďalej školské osnovy. Nezvyčajné úlohy, prepojenie s udalosťami dnešnej doby – to sú techniky, ktorými dosahujem svoje ciele. Veď školská matematika ako predmet neprispieva ani tak k učeniu, ako k rozvoju jednotlivca, jeho myslenia, kultúry.

2. Zhrnutie hodiny algebry a začiatkov analýzy (10. ročník).

Čas na organizáciu: Usporiadajte šesť tabuliek do polkruhu (model uhlomeru), na stoly pracovné listy pre žiakov (Príloha 1).

Oznámenie témy lekcie: "Trigonometria je jednoduchá a jasná."

V priebehu algebry a na začiatku analýzy začíname študovať trigonometriu, rád by som hovoril o aplikovanom význame tohto odvetvia matematiky.

Téza lekcie:

“skvelá kniha Prírodu môžu čítať len tí, ktorí poznajú jazyk, v ktorom je napísaná, a tým jazykom je matematika.“
(G. Galileo).

Na konci hodiny sa spoločne zamyslíme, či sme dokázali nahliadnuť do tejto knihy a porozumieť jazyku, v ktorom je napísaná.

Trigonometria ostrého uhla.

Trigonometria je grécke slovo a znamená „meranie trojuholníkov“. Vznik trigonometrie je spojený s meraniami na zemi, konštrukciou a astronómiou. A prvé zoznámenie s ňou nastalo, keď ste zobrali do ruky uhlomer. Venovali ste pozornosť tomu, ako stoja stoly? Odhadnite vo svojej mysli: ak zoberiete jednu tabuľku ako akord, aký je stupeň oblúka, ktorý spája?

Spomeňte si na mieru uhlov: 1 ° = 1/360časť kruhu („stupeň“ - z latinského grad - krok). Viete, prečo bol kruh rozdelený na 360 dielov, prečo nie rozdelený na 10, 100 alebo 1000 dielov, ako sa to stáva napríklad pri meraní dĺžok? Poviem vám jednu z verzií.

Predtým ľudia verili, že Zem je stredom vesmíru a je nehybná a Slnko robí jednu revolúciu okolo Zeme denne, geocentrický systém sveta, „geo“ - Zem ( Výkres č.1). Babylonskí kňazi, ktorí robili astronomické pozorovania, zistili, že v deň rovnodennosti, od východu do západu Slnka, Slnko opisuje na nebeskej klenbe polkruh, do ktorého zdanlivý priemer (priemer) Slnka zapadá presne 180-krát, 1 ° - stopa slnka. ( Obrázok č. 2).

Po dlhú dobu bola trigonometria čisto geometrická. V oboznamovaní sa s trigonometriou pokračujete riešením pravouhlých trojuholníkov. Dozviete sa, že sínus ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer protiľahlej vetvy k prepone, kosínus je pomer priľahlej vetvy k prepone, dotyčnica je pomer protiľahlej vetvy k prepone. , a kotangens je pomer priľahlej vetvy k opačnej. A pamätajte si to v správny trojuholník, ktorý má daný uhol, pomer strán nezávisí od veľkosti trojuholníka. Zoznámte sa so sínusovou a kosínusovou vetou na riešenie ľubovoľných trojuholníkov.

V roku 2010 oslávilo moskovské metro 75. výročie. Každý deň ideme do metra a nevšimneme si, že ...

Úloha číslo 1. Uhol sklonu všetkých eskalátorov v moskovskom metre je 30 stupňov. Keď to poznáte, počet lámp na eskalátore a približnú vzdialenosť medzi lampami, môžete vypočítať približnú hĺbku stanice. Na eskalátore stanice Tsvetnoy Bulvar je 15 lámp a 2 lampy na stanici Prazhskaya. Vypočítajte hĺbku týchto staníc, ak sú vzdialenosti medzi lampami, od vchodu eskalátora po prvé svietidlo a od posledného svietidla po výstup z eskalátora 6 m ( Výkres č.3). Odpoveď: 48 m a 9 m

Domáca úloha. Najhlbšia stanica moskovského metra je Park Pobedy. Aká je jeho hĺbka? Navrhujem, aby ste nezávisle našli chýbajúce údaje na vyriešenie problému s domácou úlohou.

V rukách mám laserové ukazovátko, je to aj diaľkomer. Zmeriame si napríklad vzdialenosť k doske.

Čínsky dizajnér Huan Qiaokong uhádol spojiť dva laserové diaľkomery, uhlomer do jedného zariadenia a získal nástroj, ktorý vám umožní určiť vzdialenosť medzi dvoma bodmi v rovine ( Výkres č.4). Ako si myslíte, pomocou ktorej vety je tento problém vyriešený? Spomeňte si na formuláciu kosínusovej vety. Súhlasíte so mnou, že vaše znalosti sú už dostatočné na vytvorenie takéhoto vynálezu? Riešte problémy v geometrii a každý deň robte malé objavy!

Sférická trigonometria.

Okrem rovinnej geometrie Euklida (planimetrie) môžu existovať aj iné geometrie, v ktorých sa vlastnosti figúrok nezohľadňujú v rovine, ale na iných povrchoch, napríklad na povrchu lopty ( Výkres č.5). Prvým matematikom, ktorý položil základ pre vývoj neeuklidovských geometrií, bol N.I. Lobačevskij - "Kopernik geometrie". Od roku 1827 bol 19 rokov rektorom Kazanskej univerzity.

Sférická trigonometria, ktorá je súčasťou sférickej geometrie, zvažuje vzťahy medzi stranami a uhlami trojuholníkov na guli tvorenej oblúkmi veľkých kružníc na guli ( Výkres č.6).

Historicky sférická trigonometria a geometria vzišli z potrieb astronómie, geodézie, navigácie a kartografie. Zvážte, ktorý z týchto smerov posledné roky zaznamenal taký rýchly vývoj, že jeho výsledok sa už používa v moderných komunikátoroch. ... Modernou aplikáciou navigácie je satelitný navigačný systém, ktorý umožňuje určiť polohu a rýchlosť objektu zo signálu jeho prijímača.

Globálny navigačný systém (GPS). Na určenie zemepisnej šírky a dĺžky prijímača je potrebné prijímať signály aspoň z troch satelitov. Príjem signálu zo štvrtého satelitu tiež umožňuje určiť výšku objektu nad povrchom ( Nákres č.7).

Prijímací počítač rieši štyri rovnice v štyroch neznámych, kým nenájde riešenie, ktoré prekreslí všetky kružnice cez jeden bod ( Výkres č.8).

Poznatky z trigonometrie ostrého uhla sa ukázali ako nedostatočné na riešenie zložitejších praktických problémov. Pri štúdiu rotačných a kruhových pohybov nie je hodnota uhla a kruhového oblúka obmedzená. Bolo potrebné prejsť na trigonometriu zovšeobecneného argumentu.

Trigonometria zovšeobecneného argumentu.

Kruh ( Výkres č.9). Kladné uhly sa vykresľujú proti smeru hodinových ručičiek, záporné uhly sa vykresľujú v smere hodinových ručičiek. Poznáte históriu takejto dohody?

Ako viete, mechanické a slnečné hodiny sú navrhnuté tak, že ich ručičky sa otáčajú „podľa slnka“, t.j. v tom istom smere, v ktorom vidíme zdanlivý pohyb Slnka okolo Zeme. (Pamätajte si na začiatok hodiny – geocentrický systém sveta). Ale s Kopernikovým objavom skutočného (pozitívneho) pohybu Zeme okolo Slnka je zdanlivý (tj zdanlivý) pohyb Slnka okolo Zeme fiktívny (negatívny). Heliocentrický systém sveta (helio - Slnko) ( Výkres č.10).

Zahrejte sa.

Vytiahnuť pravá ruka pred vami, rovnobežne s povrchom stola a vykonajte kruhovú rotáciu o 720 stupňov.
Vytiahnuť ľavá ruka pred vami, rovnobežne s povrchom stola a vykonajte kruhové otočenie o (-1080) stupňov.
Položte si ruky na ramená a vykonajte 4 kruhové pohyby tam a späť. Aký je súčet uhlov rotácie?

V roku 2010 Zima olympijské hry vo Vancouveri zistíme kritériá hodnotenia cviku korčuliarov vyriešením problému.

Úloha číslo 2. Ak korčuliar urobí obrat o 10 800 stupňov pri cvičení skrutky za 12 sekúnd, dostane známku „vynikajúca“. Určte, koľko otáčok korčuliar urobí počas tejto doby a rýchlosť jeho rotácie (otáčky za sekundu). Odpoveď: 2,5 otáčky/sec.

Domáca úloha. V akom uhle sa otáča korčuliar, ktorý dostal hodnotenie „neuspokojivé“, ak pri rovnakom čase otáčania bola jeho rýchlosť 2 otáčky za sekundu.

Najvhodnejšou mierou oblúkov a uhlov spojených s rotačnými pohybmi sa ukázala byť miera radiánu (polomeru), ako väčšia jednotka merania uhla alebo oblúka ( Výkres č.11). Táto miera merania uhla vstúpila do vedy prostredníctvom pozoruhodných prác Leonharda Eulera. Rodom Švajčiar, 30 rokov žil v Rusku, bol členom Petrohradskej akadémie vied. Jemu vďačíme za „analytický“ výklad celej trigonometrie, odvodil vzorce, ktoré teraz študujete, zaviedol jednotné znaky:. hriech X, čos X, tg X.ctg X.

Ak až do 17. storočia bol vývoj náuky o goniometrických funkciách budovaný na geometrickom základe, potom sa počnúc 17. storočím začali goniometrické funkcie využívať na riešenie problémov v mechanike, optike, elektrine, na opis oscilačných procesov, vlnenia. propagácia. Všade tam, kde sa treba vysporiadať s periodickými procesmi a osciláciami, našli uplatnenie goniometrické funkcie. Funkcie vyjadrujúce zákony periodických procesov majú špeciálnu vlastnosť, ktorá je im vlastná: opakujú svoje hodnoty v rovnakom intervale zmeny argumentu. Zmeny ktorejkoľvek funkcie sa najjasnejšie prenášajú na jej grafe ( Výkres č.12).

Už sme sa obrátili na naše telo o pomoc pri riešení problémov s rotáciou. Počúvajme tlkot nášho srdca. Srdce je nezávislý orgán. Mozog ovláda každý sval v našom tele okrem srdca. Má vlastné riadiace centrum – sínusový uzol. S každou kontrakciou srdca po celom tele - počnúc sínusovým uzlom (veľkosť zrna prosa) - sa šíri elektriny. Dá sa zaznamenať pomocou elektrokardiografu. Nakreslí elektrokardiogram (sínusoida) ( Výkres č.13).

Teraz sa bavme o hudbe. Matematika je hudba, je to spojenie mysle a krásy.
Hudba je matematika výpočtom, algebra abstrakciou, trigonometria krásou. harmonické kmitanie(harmonický) je sínusoida. Graf ukazuje, ako sa mení tlak vzduchu na bubienku poslucháča: periodicky hore a dole v oblúku. Vzduch tlačí silnejšie, potom slabšie. Nárazová sila je pomerne malá a oscilácie sa vyskytujú veľmi rýchlo: stovky a tisíce nárazov každú sekundu. Takéto periodické vibrácie vnímame ako zvuk. Pridaním dvoch rôznych harmonických sa vytvorí zložitejší tvar vlny. Súčet troch harmonických je ešte komplikovanejší a prírodné zvuky a zvuky hudobných nástrojov sú tvorené veľkým počtom harmonických. ( Výkres č.14.)

Každá harmonická je charakterizovaná tromi parametrami: amplitúda, frekvencia a fáza. Frekvencia oscilácií udáva, koľko rázov tlaku vzduchu nastane za jednu sekundu. Veľké frekvencie sú vnímané ako „vysoké“, „tenké“ zvuky. Nad 10 kHz - pískanie, pískanie. Malé frekvencie sú vnímané ako „nízke“, „basové“ zvuky, dunenie. Amplitúda je rozsah oscilácie. Čím väčšie je rozpätie, tým silnejší je dopad na bubienok a hlasnejší zvuk ktoré počujeme Výkres č.15). Fáza je posun oscilácií v čase. Fáza môže byť meraná v stupňoch alebo radiánoch. V závislosti od fázy sa nulový počet na grafe posunie. Na určenie harmonickej stačí zadať fázu od -180 do +180 stupňov, pretože oscilácia sa opakuje pri veľkých hodnotách. Dva sínusové signály s rovnakou amplitúdou a frekvenciou, ale rôznymi fázami sa pridávajú algebraicky ( Výkres č.16).

Zhrnutie lekcie. Myslíte si, že sme dokázali prečítať pár strán z Veľkej knihy prírody? Po oboznámení sa s aplikovaným významom trigonometrie, pochopili ste jej úlohu v rôznych oblastiach ľudskej činnosti, porozumeli ste prezentovanému materiálu? Potom si zapamätajte a uveďte oblasti použitia trigonometrie, s ktorými ste sa dnes stretli alebo poznali predtým. Dúfam, že každý z vás si v dnešnej lekcii našiel niečo nové a zaujímavé. Možno vám táto novinka ukáže cestu, ako si vybrať budúce povolanie, ale bez ohľadu na to, kým sa stanete, vaše matematické vzdelanie vám pomôže stať sa profesionálom vo svojom odbore a intelektuálne rozvinutým človekom.

Domáca úloha. Prečítajte si osnovu lekcie

Raz v škole bol na štúdium trigonometrie vyčlenený samostatný kurz. Certifikát bol hodnotený v troch matematických disciplínach: algebra, geometria a trigonometria.

Potom v rámci reformy školské vzdelanie trigonometria ako samostatný predmet prestala existovať. AT moderná škola prvé oboznámenie sa s trigonometriou nastáva v kurze geometrie 8. ročníka. Hlbšie štúdium predmetu pokračuje v kurze algebry 10. ročníka.

Definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu sú najskôr uvedené v geometrii prostredníctvom vzťahu strán pravouhlého trojuholníka.

Ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer opačnej nohy k prepone.

kosínus ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlej nohy k prepone.

dotyčnica ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej nohy k susednej.

Kotangens ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku sa nazýva pomer susednej nohy k opačnej.

Tieto definície platia len pre ostré uhly (od 0° do 90°).

Napríklad,

v trojuholníku ABC, kde ∠C=90°, BC je rameno protiľahlé k uhlu A, AC je rameno susediace s uhlom A, AB je prepona.

V kurze algebry 10. ročníka sú zavedené definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu pre ľubovoľný uhol (vrátane záporných).

Uvažujme kružnicu s polomerom R so stredom v počiatku, v bode O(0;0). Priesečník kružnice s kladným smerom osi x budeme označovať P 0 .

V geometrii sa uhol považuje za časť roviny ohraničenú dvoma lúčmi. S touto definíciou sa hodnota uhla mení od 0° do 180°.

V trigonometrii sa uhol považuje za výsledok rotácie lúča OP 0 okolo počiatočného bodu O.

Zároveň sa dohodli, že rotáciu lúča proti smeru hodinových ručičiek budú považovať za pozitívny smer obchvatu a v smere hodinových ručičiek za negatívny (táto zhoda súvisí so skutočným pohybom Slnka okolo Zeme).

Napríklad, keď sa lúč OP 0 otáča okolo bodu O pod uhlom α proti smeru hodinových ručičiek, bod P 0 pôjde do bodu P α ,

pri otáčaní cez uhol α v smere hodinových ručičiek - do bodu F.

S touto definíciou môže mať uhol akúkoľvek hodnotu.

Ak pokračujeme v otáčaní lúča OP 0 proti smeru hodinových ručičiek, pri otáčaní o uhol α°+360°, α°+360° 2,…,α°+360° n, kde n je celé číslo (n∈Ζ), opäť dostávame sa do bodu P α:

Uhly sa merajú v stupňoch a radiánoch.

1° je uhol rovný 1/180 miery priameho uhla.

1 radián je stredový uhol, ktorého dĺžka oblúka sa rovná polomeru kružnice:

∠AOB=1 rad.

Radiánová notácia sa zvyčajne nepíše. Označenie stupňa v zázname sa nesmie vynechať.

Napríklad,

Bod P α získaný z bodu P 0 otočením lúča OP 0 okolo bodu O pod uhlom α proti smeru hodinových ručičiek má súradnice P α (x;y).

Pustime kolmicu P α A z bodu P α na os x.

V pravouhlom trojuholníku OP α A:

P α A je rameno oproti uhlu α,

OA je noha susediaca s uhlom α,

OP α je prepona.

PaA=y, OA=x, OPa=R.

Podľa definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu v pravouhlom trojuholníku máme:

Teda v prípade kružnice so stredom v počiatku ľubovoľného polomeru sínus uhol α je pomer ordináty bodu P α k dĺžke polomeru.

kosínus uhol α je pomer úsečky bodu P α k dĺžke polomeru.

dotyčnica uhol α je pomer ordináty bodu P α k jeho osi x.

Kotangens uhol α je pomer úsečky bodu P α k jeho ordinate.

Hodnoty sínus, kosínus, tangens a kotangens závisia iba od hodnoty α a nezávisia od dĺžky polomeru R (vyplýva to z podobnosti kružníc).

Preto je vhodné zvoliť R=1.

Kružnica so stredom v počiatku a polomerom R=1 sa nazýva jednotková kružnica.

Definície

1) sínus uhol α je ordinátou bodu P α (x; y) jednotkovej kružnice:

2) kosínus uhol α sa nazýva úsečka bodu P α (x; y) jednotkovej kružnice:

3) dotyčnica uhol α je pomer ordináty bodu P α (x; y) k jeho os, teda pomer sin α k cos α (kde cos α≠ 0):

4) Kotangens uhol α je pomer úsečky bodu P α (x; y) k jeho ordináte, teda pomer cosα k sinα (kde sinα≠0):

Takto zavedené definície nám umožňujú uvažovať nielen goniometrické funkcie uhlov, ale aj goniometrické funkcie numerických argumentov (ak za zodpovedajúce goniometrické funkcie uhla v α radiánoch považujeme sinα, cosα, tgα a ctgα, že je, sínus čísla α je sínus uhla v α radiánoch, kosínus α je kosínus uhla v α radiánoch atď.).

Vlastnosti goniometrických funkcií sa študujú v rámci algebry v 10. alebo 11. ročníku ako samostatná téma. Goniometrické funkcieširoko používaný vo fyzike.

Rubrika: |

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných udalostiach a Pripravované akcie.
Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

V tejto lekcii budeme hovoriť o tom, ako vzniká potreba zavedenia goniometrických funkcií a prečo sa študujú, čo musíte v tejto téme pochopiť a kde stačí vyplniť ruku (čo je technika). Všimnite si, že technika a pochopenie sú dve rôzne veci. Súhlasíte, je tu rozdiel: naučiť sa jazdiť na bicykli, to znamená pochopiť, ako to urobiť, alebo sa stať profesionálnym cyklistom. Budeme hovoriť o porozumení, o tom, prečo potrebujeme goniometrické funkcie.

Existujú štyri goniometrické funkcie, ale všetky môžu byť vyjadrené jednou pomocou identít (rovností, ktoré ich spájajú).

Formálne definície goniometrických funkcií pre ostré uhly v pravouhlých trojuholníkoch (obr. 1).

sínus Ostrý uhol pravouhlého trojuholníka sa nazýva pomer opačnej nohy k prepone.

kosínus Ostrý uhol pravouhlého trojuholníka sa nazýva pomer priľahlej nohy k prepone.

dotyčnica Ostrý uhol pravouhlého trojuholníka sa nazýva pomer protiľahlej nohy k susednej vetve.

Kotangens Ostrý uhol pravouhlého trojuholníka sa nazýva pomer priľahlej nohy k opačnej vetve.

Ryža. 1. Definícia goniometrických funkcií ostrého uhla pravouhlého trojuholníka

Tieto definície sú formálne. Je správnejšie povedať, že existuje iba jedna funkcia, napríklad sínus. Ak by neboli v technike také potrebné (nie tak často používané), nezaviedlo by sa toľko rôznych goniometrických funkcií.

Napríklad kosínus uhla sa rovná sínusu rovnakého uhla s pridaním (). Navyše, kosínus uhla môže byť vždy vyjadrený ako sínus toho istého uhla, až po znamienko, pomocou zákl. trigonometrická identita(). Tangenta uhla je pomer sínusu ku kosínu alebo prevrátenému kotangensu (obr. 2). Niektorí nepoužívajú kotangens vôbec a nahradia ho . Preto je dôležité porozumieť jednej goniometrickej funkcii a vedieť s ňou pracovať.

Ryža. 2. Spojenie rôznych goniometrických funkcií

Prečo však takéto funkcie vôbec potrebujete? Na aké praktické problémy sa používajú? Pozrime sa na niekoľko príkladov.

Dvaja ľudia ( ALE a AT) vytlačte auto z kaluže (obr. 3). Ľudské AT môže tlačiť auto nabok, pričom je nepravdepodobné, že to pomôže ALE. Na druhej strane sa smer jeho úsilia môže postupne posúvať (obr. 4).

Ryža. 3. AT tlačí auto do strany

Ryža. štyri. AT začne meniť smer

Je jasné, že ich úsilie bude najefektívnejšie, keď budú auto tlačiť jedným smerom (obr. 5).

Ryža. 5. Najúčinnejší spoločný smer úsilia

Koľko AT pomáha tlačiť stroj, pokiaľ je smer jeho sily blízky smeru sily, ktorou pôsobí ALE, je funkciou uhla a vyjadruje sa pomocou jeho kosínusu (obr. 6).

Ryža. 6. Kosínus ako charakteristika účinnosti úsilia AT

Ak vynásobíme veľkosť sily, ktorou AT, na kosínus uhla dostaneme priemet jeho sily na smer sily, ktorou pôsobí ALE. Čím je uhol medzi smermi síl bližšie k , tým efektívnejší bude výsledok. spoločná akcia ALE a AT(obr. 7). Ak tlačia auto rovnakou silou v opačných smeroch, auto zostane na mieste (obr. 8).

Ryža. 7. Efektívnosť spoločného úsilia ALE a AT

Ryža. 8. Opačný smer síl ALE a AT

Je dôležité pochopiť, prečo môžeme nahradiť uhol (jeho príspevok ku konečnému výsledku) kosínusom (alebo inou trigonometrickou funkciou uhla). V skutočnosti to vyplýva z takejto vlastnosti podobných trojuholníkov. Pretože v skutočnosti hovoríme nasledovné: uhol môže byť nahradený pomerom dvoch čísel (noha-hypotenza alebo noha-noha). To by bolo nemožné, ak by napríklad pre rovnaký uhol rôznych pravouhlých trojuholníkov boli tieto pomery rôzne (obr. 9).

Ryža. 9. Rovnaké pomery strán v podobných trojuholníkoch

Napríklad, ak by pomer a pomer boli odlišné, potom by sme nemohli zaviesť funkciu dotyčnice, pretože pre rovnaký uhol v rôznych pravouhlých trojuholníkoch by bola dotyčnica odlišná. Ale vzhľadom na skutočnosť, že pomery dĺžok nôh podobných pravouhlých trojuholníkov sú rovnaké, hodnota funkcie nebude závisieť od trojuholníka, čo znamená, že ostrý uhol a hodnoty jeho trigonometrie funkcie sú individuálne.

Predpokladajme, že poznáme výšku určitého stromu (obr. 10). Ako zmerať výšku blízkej budovy?

Ryža. 10. Ilustrácia stavu z príkladu 2

Nájdeme taký bod, že čiara vedená cez tento bod a vrch domu bude prechádzať cez vrchol stromu (obr. 11).

Ryža. 11. Ilustrácia riešenia úlohy z príkladu 2

Vieme zmerať vzdialenosť od tohto bodu k stromu, vzdialenosť od neho k domu a poznáme výšku stromu. Z pomeru zistíte výšku domu:.

Proporcia je pomer dvoch čísel. AT tento prípad rovnosť pomeru dĺžok nôh podobných pravouhlých trojuholníkov. Okrem toho sa tieto pomery rovnajú určitej miere uhla, ktorá je vyjadrená pomocou goniometrickej funkcie (podľa definície ide o tangens). Dostaneme, že pre každý ostrý uhol je hodnota jeho goniometrickej funkcie jedinečná. To znamená, že sínus, kosínus, tangens, kotangens sú skutočne funkcie, pretože každý ostrý uhol zodpovedá presne jednej hodnote každého z nich. Preto ich možno ďalej skúmať a využiť ich vlastnosti. Hodnoty goniometrických funkcií pre všetky uhly sú už vypočítané, možno ich použiť (nájdu ich v Bradisových tabuľkách alebo pomocou ľubovoľného inžinierska kalkulačka). Ale vyriešiť inverzný problém (napríklad hodnotou sínusu obnoviť mieru uhla, ktorý mu zodpovedá), nemôžeme vždy.

Nech je sínus nejakého uhla rovný alebo približne (obr. 12). Aký uhol bude zodpovedať tejto hodnote sínusu? Samozrejme môžeme opäť použiť Bradysovu tabuľku a nájsť nejakú hodnotu, no ukazuje sa, že nebude jediná (obr. 13).

Ryža. 12. Nájdenie uhla podľa hodnoty jeho sínusu

Ryža. 13. Polyvalencia inverzných goniometrických funkcií

Preto pri obnove hodnoty goniometrickej funkcie uhla dochádza k polysémii inverzných goniometrických funkcií. Môže sa to zdať komplikované, no v skutočnosti sa s podobnými situáciami stretávame každý deň.

Ak zakryjete okná a neviete, či je vonku svetlo alebo tma, alebo sa ocitnete v jaskyni, potom po prebudení ťažko povedať, či je práve hodina dňa, noci alebo nasledujúci deň (obr. 14). V skutočnosti, ak sa nás spýtate „Koľko je hodín?“, mali by sme úprimne odpovedať: „Hodina plus vynásobte kde“

Ryža. 14. Ilustrácia polysémie na príklade hodín

Môžeme konštatovať, že - toto je obdobie (interval, po ktorom budú hodiny ukazovať rovnaký čas ako teraz). Goniometrické funkcie majú aj periódy: sínus, kosínus atď. To znamená, že ich hodnoty sa po nejakej zmene v argumente opakujú.

Ak by planéta nemala zmenu dňa a noci alebo zmenu ročných období, potom by sme nemohli používať periodický čas. Veď roky číslujeme len vzostupne a deň má hodiny a každý nový deň sa počítanie začína odznova. Situácia je rovnaká s mesiacmi: ak je teraz január, potom v mesiacoch opäť príde január atď. Vonkajšie referenčné body nám pomáhajú využívať periodické počítanie času (hodiny, mesiace), napríklad rotáciu Zeme okolo svojej osi a zmenu polohy Slnka a Mesiaca na oblohe. Ak by Slnko vždy viselo v tej istej polohe, potom na výpočet času by sme počítali počet sekúnd (minút) od výskytu práve tohto výpočtu. Dátum a čas by potom mohli znieť takto: miliarda sekúnd.

Záver: neexistujú žiadne ťažkosti z hľadiska nejednoznačnosti inverzných funkcií. V skutočnosti môžu existovať možnosti, keď pre rovnaký sínus existujú rôzne hodnoty uhla (obr. 15).

Ryža. 15. Obnova uhla o hodnotu jeho sínusu

Väčšinou pri riešení praktických problémov pracujeme vždy v štandardnom rozsahu od do . V tomto rozsahu pre každú hodnotu goniometrickej funkcie existujú iba dve zodpovedajúce hodnoty miery uhla.

Zoberme si pohyblivý pás a kyvadlo vo forme vedra s otvorom, z ktorého vypadáva piesok. Kyvadlo sa kýve, páska sa pohybuje (obr. 16). Výsledkom je, že piesok zanechá stopu vo forme grafu sínusovej (alebo kosínusovej) funkcie, ktorá sa nazýva sínusová vlna.

V skutočnosti sa grafy sínusu a kosínusu od seba líšia iba v referenčnom bode (ak nakreslíte jeden z nich a potom vymažete súradnicové osi, nebudete môcť určiť, ktorý graf bol nakreslený). Preto nemá zmysel nazývať kosínusový graf (prečo vymýšľať samostatný názov pre ten istý graf)?

Ryža. 16. Ilustrácia úlohy v príklade 4

Z grafu funkcie môžete tiež pochopiť, prečo budú mať inverzné funkcie veľa hodnôt. Ak je hodnota sínusu pevná, t.j. nakreslíme priamku rovnobežnú s osou x, potom v priesečníku dostaneme všetky body, v ktorých sa sínus uhla rovná danému. Je jasné, že takýchto bodov bude nekonečne veľa. Rovnako ako v príklade s hodinami, kde sa hodnota času líšila o , len tu sa bude o hodnotu líšiť hodnota uhla (obr. 17).

Ryža. 17. Ilustrácia polysémie pre sínus

Ak vezmeme do úvahy príklad hodín, potom sa bod (koniec hodinovej ručičky) pohybuje po kruhu. Rovnakým spôsobom možno definovať goniometrické funkcie – neuvažujte uhly v pravouhlom trojuholníku, ale uhol medzi polomerom kružnice a kladným smerom osi. Počet kruhov, ktorými bod prejde (dohodli sme sa, že pohyb v smere hodinových ručičiek budeme počítať so znamienkom mínus a v protismere so znamienkom plus), to je bodka (obr. 18).

Ryža. 18. Hodnota sínusu na kruhu

takže, inverzná funkcia je jednoznačne definovaný na nejakom intervale. Pre tento interval môžeme vypočítať jeho hodnoty a zvyšok získať z nájdených hodnôt pripočítaním a odčítaním periódy funkcie.

Zvážte ďalší príklad obdobia. Auto sa pohybuje po ceste. Predstavte si, že jej koleso vošlo do farby alebo do mláky. Na ceste môžete občas vidieť stopy po farbe alebo kaluže (obrázok 19).

Ryža. 19. Dobová ilustrácia

V školskom kurze je veľa goniometrických vzorcov, ale vo všeobecnosti si stačí zapamätať len jeden (obr. 20).

Ryža. dvadsať. Goniometrické vzorce

Vzorec dvojitý uhol je tiež ľahké odvodiť súčty od sínusu dosadením (podobne ako pre kosínus). Môžete tiež odvodiť vzorce produktu.

V skutočnosti si musíte pamätať veľmi málo, pretože pri riešení problémov si tieto vzorce budú pamätať samy. Samozrejme, niekto bude príliš lenivý na to, aby sa veľa rozhodoval, ale potom nebude potrebovať túto techniku, a teda ani samotné vzorce.

A keďže vzorce nie sú potrebné, nie je potrebné sa ich učiť naspamäť. Musíte len pochopiť myšlienku, že goniometrické funkcie sú funkcie, s ktorými sa napríklad počítajú mosty. Bez ich použitia a výpočtu sa nezaobíde takmer žiadny mechanizmus.

1. Často vyvstáva otázka, či môžu byť vodiče absolútne rovnobežné so zemou. Odpoveď: nie, nemôžu, keďže jedna sila pôsobí smerom dole, zatiaľ čo ostatné pôsobia paralelne – nikdy sa nevyrovnajú (obr. 21).

2. Labuť, rak a šťuka ťahajú vozík v rovnakej rovine. Jedným smerom letí labuť, druhým rak a tretím šťuka (obr. 22). Ich sily môžu byť v rovnováhe. Toto vyváženie môžete vypočítať len pomocou goniometrických funkcií.