Súradnice - sú to veličiny, ktoré určujú polohu ľubovoľného bodu na povrchu alebo v priestore v akceptovanom súradnicovom systéme. Súradnicový systém nastavuje počiatočné (pôvodné) body, čiary alebo roviny pre čítanie požadovaných veličín - počiatok súradníc a jednotky ich výpočtu. V topografii a geodézii získali najväčšie uplatnenie systémy geografických, pravouhlých, polárnych a bipolárnych súradníc.
Na určenie polohy bodov na povrchu Zeme na elipsoide (guli) sa používajú geografické súradnice (obr. 2.8). V tomto súradnicovom systéme sú počiatočná rovina poludníka a rovina rovníka. Poludník je priamka rezu elipsoidom rovinou, ktorá ním prechádza daný bod a os rotácie Zeme.

Rovnobežka je priamka rezu elipsoidom rovinou prechádzajúcou daným bodom a kolmou na zemskú os. Rovnobežka, ktorej rovina prechádza stredom elipsoidu, sa nazýva rovník. Cez každý bod na povrchu glóbus, môžete nakresliť iba jeden poludník a iba jednu rovnobežku.
Zemepisné súradnice sú uhlové veličiny: zemepisná dĺžka l a šírka j.
Zemepisná dĺžka l sa nazýva dihedrálny uhol, uzavretý medzi rovinou daného meridiánu (prechádzajúcou bodom B) a rovinou počiatočného meridiánu. Za počiatočný (nultý) poludník bol braný poludník prechádzajúci stredom hlavnej sály Greenwichského observatória v Londýne. Pre bod B je zemepisná dĺžka určená uhlom l = WCD. Zemepisné dĺžky sa počítajú od nultého poludníka v oboch smeroch – na východ aj na západ. V tomto smere rozlišujeme západnú a východnú zemepisnú dĺžku, ktorá sa mení od 0° do 180°.
Zemepisná šírka j je uhol, ktorý zviera rovina rovníka a olovnica prechádzajúca daným bodom. Ak sa Zem berie ako guľa, tak pre bod B (obr. 2.8) je zemepisná šírka j určená uhlom DCB. Zemepisné šírky merané od rovníka na sever sa nazývajú severné a na juh - juh sa pohybujú od 0 ° na rovníku do 90 ° na póloch.
Geografické súradnice môžu byť odvodené z astronomických pozorovaní alebo geodetických meraní. V prvom prípade sa nazývajú astronomické a v druhom - geodetické (L - zemepisná dĺžka, B - zemepisná šírka). Pri astronomických pozorovaniach sa premietanie bodov na referenčný povrch uskutočňuje olovnicami, pri geodetických meraniach - normálami. Preto sa hodnoty astronomických a geodetických súradníc líšia veľkosťou odchýlky olovnice.
Použitie rôznych referenčných elipsoidov rôznymi stavmi vedie k rozdielom v súradniciach rovnakých bodov vypočítaných vzhľadom na rôzne počiatočné povrchy. V praxi je to vyjadrené všeobecným posunom kartografického obrazu vzhľadom na poludníky a rovnobežky na mapách veľkých a stredných mierok.
Obdĺžnikové súradnice nazývame lineárne veličiny - úsečka a ordináta, ktoré určujú polohu bodu v rovine vzhľadom na pôvodné smery.

(Obr. 2.9)
V geodézii a topografii je akceptovaná správny systém pravouhlé súradnice. To ho odlišuje od ľavého súradnicového systému používaného v matematike. Počiatočné smery sú dve navzájom kolmé čiary s počiatkom v bode ich priesečníka O.
Priamka XX (os x) je zarovnaná so smerom poludníka prechádzajúceho počiatkom alebo so smerom rovnobežným s niektorým poludníkom. Priamka YY (os y) prechádza bodom O kolmým na os x. V takomto systéme je poloha bodu v rovine určená najkratšou vzdialenosťou k nemu od súradnicových osí. Poloha bodu A je určená dĺžkou kolmic Xa a Ya. Úsečka Xa sa nazýva úsečka bodu A a Yа je ordináta tohto bodu. Obdĺžnikové súradnice sú zvyčajne vyjadrené v metroch. Os x a súradnica rozdeľujú terén v bode O na štyri štvrtiny (obr. 2.9). Názov štvrtí je určený akceptovanými označeniami krajín sveta. Štvrtiny sú očíslované v smere hodinových ručičiek: I - SV; II - SE; III - JZ; IV - SZ.
V tabuľke. 2.3 sú uvedené znamienka úsečiek X a súradnice Y pre body nachádzajúce sa v rôznych štvrtiach a sú uvedené ich názvy.

Tabuľka 2.3
Osové osi bodov nahor od počiatku sa považujú za pozitívne a nadol od nich - negatívne, súradnice bodov umiestnených vpravo - pozitívne, vľavo - negatívne. Systém plochých pravouhlých súradníc sa používa v obmedzených oblastiach zemského povrchu, ktorý je možné brať ako plochý.
Súradnice, ktorých počiatkom je ľubovoľný bod v teréne, sa nazývajú polárne. V tomto súradnicovom systéme sa merajú orientačné uhly. Na vodorovnej rovine (obr. 2.10) sa cez ľubovoľne zvolený bod O, nazývaný pól, vedie priamka OX - polárna os.

Potom bude poloha ľubovoľného bodu, napríklad M, určená polomerom - vektorom r1 a smerovým uhlom a1, a bodom N - respektíve r2 a a2. Uhly a1 a a2 sa merajú od polárnej osi v smere hodinových ručičiek k vektoru polomeru. Polárna os môže byť umiestnená ľubovoľne alebo kombinovaná so smerom akéhokoľvek poludníka prechádzajúceho cez pól O.
Bipolárny súradnicový systém (obr. 2.11) predstavuje dva vybrané pevné póly O1 a O2, spojené priamkou - polárnou osou. Tento súradnicový systém umožňuje určiť polohu bodu M vzhľadom na polárnu os v rovine pomocou dvoch uhlov b1 a b2, dvoch vektorov polomeru r1 a r2 alebo ich kombinácií. Ak sú známe pravouhlé súradnice bodov O1 a O2, potom je možné vypočítať polohu bodu M analytickým spôsobom.


Ryža. 2.11

Ryža. 2.12
Výšky bodov na zemskom povrchu. Na určenie polohy bodov fyzického povrchu Zeme nestačí poznať len plánované súradnice X, Y alebo l, j, je potrebná tretia súradnica - výška bodu H. Výška bod H (obr. 2.12) je vzdialenosť v zvislom smere od daného bodu (A´; B´ ´) k akceptovanej hlavnej hladine MN. Číselná hodnota výšky bodu sa nazýva nadmorská výška. Výšky merané od hlavnej roviny MN sa nazývajú absolútne výšky (AA´; BB´´) a výšky určené vzhľadom na ľubovoľne zvolenú rovinu sa nazývajú podmienené výšky (В´В´´). Výškový rozdiel dvoch bodov alebo vzdialenosť vo vertikálnom smere medzi rovnými povrchmi prechádzajúcimi cez ľubovoľné dva body Zeme sa nazýva relatívna výška (В´В´´) alebo prebytok týchto bodov h.
V Bieloruskej republike bol prijatý Baltský systém výšok z roku 1977. Výšky sa počítajú od úrovne hladiny, ktorá sa zhoduje s priemernou hladinou vody vo Fínskom zálive, od nuly úpätia Kronštadtu.

Tu je ďalší

4.1. OBDŽNÍKOVÉ SÚRADNICE

V topografii sa najčastejšie používajú pravouhlé súradnice. Vezmite na rovinu dve navzájom kolmé čiary - OX a OY. Tieto čiary sa nazývajú súradnicové osi a ich priesečník ( O) je počiatok súradníc.

Ryža. 4.1. Obdĺžnikové súradnice

Polohu ľubovoľného bodu v rovine možno ľahko určiť zadaním najkratších vzdialeností od súradnicových osí k danému bodu. Najkratšie vzdialenosti sú kolmice. Vzdialenosti pozdĺž kolmice od súradnicových osí k danému bodu sa nazývajú pravouhlé súradnice tohto bodu. Segmenty čiary rovnobežné s osou X, sa nazývajú súradnice XALE a rovnobežné osi Y- súradnice priALE .
Štvrtiny pravouhlého súradnicového systému sú očíslované. Ich počet ide v smere hodinových ručičiek od kladného smeru osi x - I, II, III, IV (obr. 4.1).
Vyššie uvedené pravouhlé súradnice sa používajú v rovine. Preto dostali meno ploché pravouhlé súradnice. Tento súradnicový systém sa používa v malých oblastiach terénu, braných ako rovina.

4.2. ZONÁLNY GAUSSIOV OBDŽNÍKOVÝ SÚRADNICOVÝ SYSTÉM

Pri zvažovaní problematiky „Projekcie topografických máp“ bolo zaznamenané, že povrch Zeme sa premieta na povrch valca, ktorý sa dotýka povrchu Zeme pozdĺž osového poludníka. V tomto prípade sa na valec nepremieta celý povrch Zeme, ale len jeho časť, ohraničená 3° zemepisnej dĺžky na západ a 3° na východ od osového poludníka. Keďže každá z Gaussových projekcií prenáša do roviny iba fragment zemského povrchu, ohraničený poludníkmi cez 6° zemepisnej dĺžky, malo by sa na zemský povrch urobiť celkovo 60 projekcií (60 zón). V každej zo 60 projekcií a samostatný systém pravouhlé súradnice.
V každej zóne je os X je stredný (osový) poludník zóny, ktorý sa nachádza 500 km západne od jej skutočnej polohy a os. Y- rovník (obr. 4.2).

Ryža. 4.2. Pravouhlý súradnicový systém
na topografických mapách

Priesečník rozšíreného osového poludníka s rovníkom bude počiatkom súradníc: x = 0, y = 0. Priesečník rovníka a skutočného osového poludníka má súradnice : x = 0, y = 500 km.
Každá zóna má svoj vlastný pôvod. Zóny sa počítajú od greenwichského poludníka na východ. Prvá šesťstupňová zóna sa nachádza medzi Greenwichským poludníkom a poludníkom s východnou dĺžkou 6º (axiálny poludník 3º). Druhá zóna je 6º E. - 12º E (axiálny poludník 9º). Tretia zóna - 12º E - 18º E (axiálny poludník 15º). Štvrtá zóna - 18º E - 24º E (axiálny poludník 21º) atď.
Číslo zóny je uvedené v súradniciach pri prvá číslica. Napríklad vstup pri = 4 525 340 znamená, že špecifikovaný bod je v štvrtej zóne (prvá číslica) vo vzdialenosti 525 340 m od osového poludníka zóny, ktorá sa nachádza západne od 500 km.

Na určenie čísla zóny geografickými súradnicami je potrebné k zemepisnej dĺžke vyjadrenej v celých číslach stupňov pripočítať 6 a výslednú čiastku vydeliť 6. V dôsledku delenia ponecháme len celé číslo.

Príklad. Určte číslo Gaussovej zóny pre bod s východnou dĺžkou 18º10".
Riešenie. K celému počtu stupňov zemepisnej dĺžky 18 pridajte 6 a vydeľte súčet číslom 6
(18 + 6) / 6 = 4.
Naša mapa je v štvrtej zóne.

Ťažkosti pri používaní zonálneho súradnicového systému vznikajú pri topografických a geodetických prácach v prihraničných oblastiach nachádzajúcich sa v dvoch susedných (susedných) zónach. Súradnicové čiary takýchto zón sú umiestnené pod určitým uhlom (obrázok 4.3).

Aby sa eliminovali vzniknuté komplikácie, pásmo prekrývania zón , v ktorom je možné vypočítať súradnice bodov v dvoch susediacich sústavách. Šírka prekrytia 4°, 2° v každej zóne.

Dodatočná mriežka na mape je aplikovaná iba vo forme výstupov jej čiar medzi minútovým a vonkajším rámom. Jeho digitalizácia je pokračovaním digitalizácie mriežkových línií priľahlej zóny. Ďalšie čiary mriežky sú podpísané mimo vonkajšieho rámu listu. Následne sa na mapovom liste umiestnenom vo východnej zóne pri prepojení výstupov doplnkovej siete s rovnakým názvom získa kilometrová sieť západnej zóny. Pomocou tejto mriežky môžete určiť napríklad pravouhlé súradnice bodu AT v systéme pravouhlých súradníc západnej zóny, t.j. pravouhlých súradníc bodov ALE a AT budú získané v rovnakom súradnicovom systéme západnej zóny.

Ryža. 4.3. Ďalšie kilometrové čiary na hranici zón

Na mape s mierkou 1:10 000 je doplnková sieť rozdelená len na tie listy, v ktorých je východný alebo západný poludník vnútorného rámca (lichobežníkový rám) hranicou zóny. Na topografických plánoch sa dodatočná mriežka nepoužíva.

4.3. URČENIE OBDŽNÍKOVÝCH SÚRADNÍC POMOCOU KOMPASU-MERAČA

Dôležitý prvok topografická mapa (plán) je obdĺžniková sieť. Na všetkých listoch tejto 6-stupňovej zóny je mriežka aplikovaná vo forme radov čiar, rovnobežná so stredným poludníkom a rovníkom(obr. 4.2). Vertikálne čiary mriežky sú rovnobežné s osovým poludníkom zóny a horizontálne čiary sú rovnobežné s rovníkom. Vodorovné kilometrové čiary sa počítajú zdola nahor a vertikálne zľava doprava .

Intervaly medzi čiarami na mapách mierok 1:200 000 - 1:50 000 sú 2 cm, 1:25 000 - 4 cm, 1:10 000 - 10 cm, čo zodpovedá celému počtu kilometrov na zemi. Preto sa nazýva aj obdĺžniková mriežka kilometer, a jej riadky sú kilometer.
Kilometrové čiary najbližšie k rohom rámu mapového listu sú označené plným počtom kilometrov, zvyšok - poslednými dvoma číslicami. Nápis 60 65 (pozri obr. 4.4) na jednej z vodorovných čiar znamená, že táto čiara je vzdialená 6065 km od rovníka (na sever): nápis 43 07 pri zvislej čiare znamená, že sa nachádza vo štvrtej zóne a je vzdialená 307 km od začiatku výpočtu súradníc smerom na východ. Ak je trojmiestne číslo napísané malými číslicami blízko vertikálnej kilometrovej čiary, prvé dve označujú číslo zóny.

Príklad. Je potrebné určiť pravouhlé súradnice bodu na mape, napríklad bodu štátnej geodetickej siete (GGS) so značkou 214,3 (obr. 4.4). Najprv napíšte (v kilometroch) úsečku južnej strany štvorca, v ktorej sa tento bod nachádza (t. j. 6065). Potom pomocou meracieho kompasu a lineárnej stupnice určte dĺžku kolmice Δх= 550 m pubescentný z daný bod na tento riadok. Výsledná hodnota (v tento prípad 550 m) sa pridá na úsečku čiary. Číslo 6 065 550 je úsečka X bod GGS.
Súradnica bodu GGS sa rovná súradnici západnej strany toho istého štvorca (4307 km), pripočítaná k dĺžke kolmice Δy= 250 m nameraných na mape. Číslo 4 307 250 je súradnicou toho istého bodu.
Pri absencii meracieho kompasu sa vzdialenosti merajú pravítkom alebo pásikom papiera..

X = 6065550, pri= 4307250
Ryža. 4.4. Určenie pravouhlých súradníc pomocou lineárnej mierky

4.4. URČENIE OBdĺžnikových SÚRADNÍC POMOCOU KOORDINATOMERU

koordinátor - malý štvorec s dvoma na seba kolmými stranami. Pozdĺž vnútorných okrajov pravítok sú vyznačené mierky, ktorých dĺžky sa rovnajú dĺžke strany buniek súradníc mapy danej mierky. Delenia na súradnicovom metre sa prenášajú z lineárnej mierky mapy.
Horizontálna mierka je zarovnaná so spodnou čiarou štvorca (v ktorom sa bod nachádza) a vertikálna mierka musí prechádzať týmto bodom. Váhy určujú vzdialenosť od bodu po kilometrové čiary.

x A = 6135 350 y A = 5577 710
Ryža. 4.5. Určenie karteziánskych súradníc pomocou súradnicového prístroja

4.5. APLIKÁCIA BODOV NA MAPE PODĽA DANÝCH PRAVOUHOLNÍKOVÝCH SÚRADNÍC

Pre zakreslenie bodu do mapy na daných pravouhlých súradniciach postupujte nasledovne: v súradnicovom zázname sa nájdu dvojciferné čísla, ktoré skracovali čiary pravouhlej siete. Podľa prvého čísla sa na mape nachádza vodorovná čiara siete, podľa druhého - vertikálna. Ich priesečník tvorí juhozápadný roh námestia, v ktorom leží požadovaný bod. Na východnej a západnej strane štvorca sú z jeho južnej strany odsadené dva rovnaké segmenty, ktoré v mierke mapy zodpovedajú počtu metrov na osi x. X . Konce segmentov sú spojené priamkou a na nej zo západnej strany štvorca je v mierke mapy položený segment zodpovedajúci počtu metrov na osi; koniec tohto segmentu je požadovaný bod.

4.6. VÝPOČET PLOCHÝCH PRAVOUHLÝCH GAUUSOVÝCH SÚRADNÍC Z GEOGRAFICKÝCH SÚRADNÍC

Rovinné gaussovské karteziánske súradnice X a pri veľmi ťažké priradiť geografické súradnice φ (zemepisná šírka) a λ (zemepisnej dĺžky) bodov na zemskom povrchu. Predpokladajme, že nejaký bod ALE má geografické súradnice φ a λ . Keďže rozdiel v zemepisných dĺžkach hraničných poludníkov zóny je 6°, potom pre každú z zón je možné získať zemepisné dĺžky krajných poludníkov: 1. zóna (0° - 6°), 2. zóna (6° - 12°), 3. zóna (12° - 18°) atď. Teda podľa zemepisnej dĺžky bodov ALE môžete určiť číslo zóny, v ktorej sa tento bod nachádza. Zatiaľ čo zemepisná dĺžka λ os axiálneho meridiánu zóny je určený vzorcom
λ os = (6°n - 3°),
kde n- číslo zóny.

Na definovanie rovinných pravouhlých súradníc X a pri podľa zemepisných súradníc φ a λ použijeme vzorce odvodené pre Krasovského referenčný elipsoid (referenčný elipsoid je obrazec, ktorý je čo najbližšie k obrazcu Zeme v tej jej časti, na ktorej sa nachádza daný stav alebo skupina štátov):

X = 6367558,4969 (φ rád ) − (a 0 −l 2 N)sinφ cosφ (4.1)
pri(l) = lNcosφ (4.2)

Vzorce (4.1) a (4.2) používajú tento zápis:
y(l) - vzdialenosť od bodu k axiálnemu poludníku zóny;
l= (λ - λ os ) - rozdiel medzi zemepisnými dĺžkami určeného bodu a osovým poludníkom zóny);
φ rád - zemepisná šírka bodu vyjadrená v radiáne;
N = 6399698,902 - pretože 2φ;
a 0 = 32140,404 - cos 2 φ;
a 3 = (0,3333333 + 0,001123 cos 2 φ) pretože 2φ - 0,1666667;
a 4 = (0,25 + 0,00252 pretože 2φ) pretože 2φ - 0,04166;
a 5 = 0,0083 - pretože 2φ;
a 6 \u003d (0,166 cos 2 φ – 0,084) cos 2 φ.
y" - vzdialenosť od osového poludníka na západ od 500 km.

Podľa vzorca (4.1) hodnota súradnice y(l) sa získajú vzhľadom na axiálny poludník zóny, t.j. možno ho získať so znamienkami plus pre východnú časť zóny alebo mínus pre západnú časť zóny. Na zaznamenanie súradníc r v zónovom súradnicovom systéme je potrebné vypočítať vzdialenosť k bodu od osového poludníka zóny, 500 km na záp. (at"v tabulke ) a pred získanú hodnotu priraďte číslo zóny. Napríklad vzhľadom na hodnotu
y(l)= -303678,774 m v zóne 47.
Potom
pri= 47 (500000,000 - 303678,774) = 47196321,226 m.
Na výpočty používame tabuľky. MicrosoftXL .

Príklad. Vypočítajte pravouhlé súradnice bodu, ktorý má geografické súradnice:
φ \u003d 47º02 "15,0543" N; λ = 65º01"38,2456"E

Na stôl MicrosoftXL zadajte počiatočné údaje a vzorce (tab. 4.1).

Tabuľka 4.1.

				D	E	F
		Parameter	Výpočtový	krupobitie
		φ (stupeň)	D2+E2/60+F2/3600
		φ (rad)	RADIANS(C3)
		Cos 2 φ
		číslo zóny	INTEGER((D8+6)/6)
		λos (stupeň)
		l (stupeň)	D11+E11/60+F11/3600
		l (rad)	RADIANS(C12)
			6399698,902-((21562,267- (108,973-0,612*C6^2)*C6^2))*C6^2
		a 0	32140,404-((135,3302- (0,7092-0,004*C6^2)*C6^2))*C6^2
		a 4	=(0,25+0,00252*C6^2)*C6^2-0,04166
		a 6	=(0,166*C6^2-0,084)*C6^2
		a 3	=(0,3333333+0,001123*C6^2)*C6^2-0,1666667
		a 5	0,0083-((0,1667-(0,1968+0,004*C6^2)*C6^2))*C6^2
			6367558,4969*C4-(((C15-(((0,5+(C16+C17*C20)*C20)) *C20*C14)))*C5*C6)
			=((1+(C18+C19*C20)*C20))*C13*C14*C6
			ROUND((500000+C23);3)
			CONCATENATE(C9;C24)

Pohľad na tabuľku po výpočtoch (tab. 4.2).

Tabuľka 4.2.

		Parameter	Výpočtový	krupobitie
		φ (stupeň, min, sek)
		φ (stupne)
		φ (radiány)
		Cos 2 φ
		λ (stupeň, min, sek.)
		Číslo zóny
		λos (stupeň)
		l (min, sek.)
		l (stupne)
		l (radiány)
		a 0
		a 4
		a 6
		a 3
		a 5

4.7. VÝPOČET GEOGRAFICKÝCH SÚRADNÍC Z PLOCHÝCH PRAVÚHOLNÍKOVÝCH GAUUSOVÝCH SÚRADNÍC

Na vyriešenie tohto problému sa používajú aj vzorce prepočítania získané pre Krasovského referenčný elipsoid.
Predpokladajme, že potrebujeme vypočítať geografické súradnice φ a λ bodov ALE svojimi plochými pravouhlými súradnicami X a pri daný v zónovom súradnicovom systéme. V tomto prípade hodnota súradnice pri zaznamenané s uvedením čísla zóny a s prihliadnutím na posun osového poludníka zóny na západ o 500 km.
Pre podľa hodnoty pri nájdite číslo zóny, v ktorej sa určovaný bod nachádza, určte zemepisnú dĺžku podľa čísla zóny λ o osový poludník a vzdialenosť od bodu k západnému osovému poludníku nájdite vzdialenosť y(l) od bodu k axiálnemu poludníku zóny (ten môže byť so znamienkom plus alebo mínus).
Hodnoty geografických súradníc φ a λ v rovinných pravouhlých súradniciach X a pri sa nachádzajú podľa vzorcov:
φ = φ X - z 2 b 2 p″ (4.3)
λ = λ 0 + l (4,4)
l = zρ″ (4,5)

Vo vzorcoch (4.3) a (4.5):
φ x ″= β″ +(50221746 + cos2p)10-10sinβcosβ ρ″;
β″ = (X / 6367558,4969) ρ″; ρ″ = 206264,8062″ – počet sekúnd v jednom radiáne
z = Y(L) / (Nx cos φx);
N x \u003d 6399698,902 - cos 2 φ x;
b 2 \u003d (0,5 + 0,003369 cos 2 φ x) sin φ x cos φ x;
b 3 \u003d 0,333333 - (0,166667 - 0,001123 cos2 φ x) cos2 φ x;
b 4 \u003d 0,25 + (0,16161 + 0,00562 cos 2 φ x) cos 2 φ x;
b 5 \u003d 0,2 - (0,1667 - 0,0088 cos 2 φ x) cos 2 φ x.

Na výpočty používame tabuľky. MicrosoftXL .
Príklad. Vypočítajte geografické súradnice bodu z obdĺžnika:
x = 5213504,619; y = 11654079,966.

Na stôl MicrosoftXL zadajte počiatočné údaje a vzorce (tab. 4.3).

Tabuľka 4.3.

1 Parameter kalkulácia Grad. Min. Sek. 2 1 X 5213504,619 2 pri 11654079,966 4 3 №*zóny IF(C3<1000000; C3/100000; C3/1000000) 5 4 číslo zóny CELÝ(C4) 6 5 λoos C5*6-3 7 6 v" C3-C5*1000000 8 7 y(l) C7-500000 9 8 ρ″ 206264,8062 10 9 β" C2/6367558,4969*C9 11 10 β rad RADIANS(C10/3600) 12 11 β CELÝ (C10/3600) CELÝ ((C10-D12*3600)/60) C10-D12* 3600-E12*60 13 12 Hriech β SIN(C11) 14 13 Cosp COS(C11) 15 14 Cos 2 β C14^2 16 15 φ X " C10+(((50221746+((293622+ (2350+22*C14^2)*C14^2))*C14^2))) *10^-10*C13*C14*C9 17 16 φ X rád RADIANS(C16/3600) 18 17 φ X CELÝ (C16/3600) CELÝ ((C16-D18*3600)/60) C16-D18* 3600-E18*60 19 18 Sin phi. SIN(C17) 20 19 Cos φ X COS(C17) 21 20 Cos 2 φ X C20^2 22 21 N X 6399698,902-((21562,267- (108,973-0,612*C21)*C21))*C21 23 22 Ν X Cosφ X C22*C20 24 23 z C8/(C22*C20) 25 24 z 2 C24^2 26 25 b 4 0,25+(0,16161+0,00562*C21)*C21 27 26 b 2 =(0,5+0,003369*C21)*C19*C20 28 27 b 3 0,333333-(0,166667-0,001123*C21)*C21 29 28 b 5 0,2-(0,1667-0,0088*C21)*C21 30 29 C16-((1-(C26-0,12 *C25)*C25))*C25*C27*C9 31 30 φ =INTEGER (C30/3600) =INTEGER ((C30-D31*3600)/60) =C30-D31* 3600-E31*60 32 31 l" =((1-(C28-C29*C25)*C25))*C24*C9 33 32 l 0 =INTEGER (C32/3600) =INTEGER ((C32-D33*3600)/60) =C32-D33* 3600-E33*60 34 33 λ C6+D33

Pohľad na tabuľku po výpočtoch (tab. 4.4).

Tabuľka 4.4.

		Parameter	kalkulácia	Grad.
		Číslo zóny*
		Číslo zóny
		λoos (stupeň)
		v"
		β rad
		Cos 2 β
		φ X "
		φ X rád
		φ X
		Cos φ X
		Cos 2 φ X
		N X
		Ν X Cos φ X
		z 2
		b 4
		b 2
		b 3
		b 5
		φ
		l 0
		λ

Ak sú výpočty vykonané správne, skopírujte obe tabuľky na jeden hárok, skryte riadky medzivýpočtov a stĺpec č. p / p a ponechajte len riadky na zadanie počiatočných údajov a výsledkov výpočtu. Tabuľku naformátujeme a názvy stĺpcov a stĺpcov upravíme podľa želania.

Pracovné listy môžu vyzerať takto

Tabuľka 4.5.

Poznámky.
1. V závislosti od požadovanej presnosti môžete zvýšiť alebo znížiť bitovú hĺbku.
2. Počet riadkov v tabuľke je možné znížiť kombináciou výpočtov. Radiány uhla napríklad nepočítajte samostatne, ale rovno ho zapíšte do vzorca =SIN(RADIANS(C3)).
3. Zaokrúhľovanie v odseku 23 tabuľky. 4.1. vyrábame pre "spojku". Počet číslic do zaokrúhlenia 3.
4. Ak nezmeníte formát buniek v stĺpcoch "Grad" a "Min", potom pred číslami nebudú žiadne nuly. Zmena formátu je tu vykonaná len pre vizuálne vnímanie (podľa rozhodnutia autora) a nemá vplyv na výsledky výpočtov.
5. Aby nedošlo k náhodnému poškodeniu vzorcov, mali by ste chrániť tabuľku: Nástroje / Ochranný list. Pred ochranou vyberte bunky na zadanie počiatočných údajov a potom: Formát buniek / Ochrana / Chránená bunka - zrušte začiarknutie.

4.8. VZŤAH ROVINNÝCH PRAVOUHOLNÍKOVÝCH A POLÁRNYCH SÚRADNICOVÝCH SYSTÉMOV

Jednoduchosť systému polárnych súradníc a možnosť jeho konštrukcie vzhľadom na akýkoľvek bod v teréne, braný ako pól, viedli k jeho širokému použitiu v topografii. Na prepojenie polárnych systémov jednotlivých bodov terénu je potrebné prejsť k určovaniu ich polohy v pravouhlom súradnicovom systéme, ktorý je možné rozšíriť na oveľa väčšiu plochu. Spojenie medzi týmito dvoma systémami sa vytvára riešením priamych a inverzných geodetických úloh.
Priamy geodetický problém spočíva v určení súradníc koncového bodu AT (Obr. 4.4) linky AB po jej dĺžke G horizontálned , smerα a súradnice východiskového bodu XALE , priALE .

Ryža. 4.6. Riešenie priamych a inverzných geodetických úloh

Takže, ak vezmeme pointu ALE(obr. 4.4) pre pól polárneho súradnicového systému a priamku AB- pre polárnu os rovnobežnú s osou OH, potom polárne súradnice bodu AT bude d a α . Je potrebné vypočítať pravouhlé súradnice tohto bodu v systéme AKO.

Z obr. 3.4 to ukazuje XAT sa líši od XALE podľa hodnoty ( XAT - XALE ) = Δ XAB , a priAT sa líši od priALE podľa hodnoty ( priAT - priALE ) = Δ priAB . Rozdiely v súradniciach finále AT a primárne ALEčiarové bodky AB Δ X a A pri volal súradnicové prírastky . Prírastky súradníc sú ortogonálne projekcie čiary AB na súradnicovej osi. Súradnice XAT a priAT možno vypočítať pomocou vzorcov:

XAT = XALE + Δ XAB (4.1)
priAT = priALE + Δ priAB (4.2)

Hodnoty prírastku sa určujú z pravouhlého trojuholníka ASV podľa daného d a α, pretože prírastky Δ X a A pri sú nohy tohto pravouhlého trojuholníka:

Δ XAB =dcos α (4.3)
Δ priAB = dhriech α (4.4)

Znamienko prírastkov súradníc závisí od uhla polohy.

Tabuľka 4.1.

Nahradením hodnoty prírastkov Δ XAB a A priAB do vzorcov (3.1 a 3.2) získame vzorce na riešenie priamej geodetickej úlohy:

XAT = XALE + dcos α (4.5)
priAT = priALE + dhriech α (4.6)

Inverzný geodetický problém je určiť dĺžku vodorovného rozpätiada smer α priamky AB podľa zadaných súradníc jej počiatočného bodu A (xA, yA) a koncového bodu B (xB, yB). Smerový uhol sa vypočíta z ramien pravouhlého trojuholníka:

tgα = (4.7)

Horizontálne rozostupy d, určené podľa vzorca:

d = (4.8)

Na riešenie priamych a inverzných geodetických problémov môžete použiť tabuľky Microsoft excel .

Príklad.
Bod daný ALE so súradnicami: XALE = 6068318,25; priALE = 4313450,37. Horizontálne rozostupy (d) medzi bodom ALE a bodka AT rovná 5248,36 m. Uhol medzi severným smerom osi OH a smer k veci AT(uhol polohy - α ) sa rovná 30º.

Vypočítajte pravouhlé súradnice bodu B(xAT ,priAT ).

Zadávanie nespracovaných údajov a vzorcov do tabuliek Microsoft Excel (tab. 4.2).

Tabuľka 4.2.

	Počiatočné údaje
	XALE
	priALE
	Výpočtový
	Δ XAB =d cos α	B4*COS(RADIANS(B5))
	Δ priAB = d hriech α	B4*SIN(RADIANS(B5))
	XAT
	priAT

Tabuľkový pohľad po výpočtoch (tab. 4.3).

Tabuľka 4.3.

	Počiatočné údaje
	XALE
	priALE
	Výpočtový
	Δ XAB =d cos α
	Δ priAB = d hriech α
	XAT
	priAT

Príklad.
Body sa dávajú ALE a AT so súradnicami:
XALE = 6068318,25; priALE = 4313450,37;
XAT = 6072863,46; priAT = 4313450,37.
Vypočítajte vodorovnú vzdialenosť d medzi bodom ALE a bodka AT, a tiež uhol α medzi severnou osou OH a smer k veci AT.
Zadávanie nespracovaných údajov a vzorcov do tabuliek Microsoft Excel (tab. 4.4).

Tabuľka 4.4.

	Počiatočné údaje
	XALE
	priALE
	XAT
	priAT
	Výpočtový
	ΔхAB
	ΔyAB
		ROOT(B7^2+B8^2)
	Tangenta
	Arktangens
	stupňa	DEGREES (B11)
	Voľba	IF(B12<0;B12+180;B12)
	Uhol polohy (stupeň)	IF(B8<0;B13+180;B13)

Pohľad na tabuľku po výpočtoch (tab. 4.5).

Tabuľka 4.5.

	Počiatočné údaje
	XALE
	priALE
	XAT
	priAT
	Výpočtový
	ΔхAB
	ΔyAB
	Tangenta
	Arktangens
	stupňa
	Voľba
	Uhol polohy (stupeň)

Ak sa vaše výpočty zhodujú s výpočtami v návode, skryte prechodné výpočty, formátujte a chráňte tabuľku.

Video
Obdĺžnikové súradnice

Otázky a úlohy na sebaovládanie

1. Aké veličiny sa nazývajú pravouhlé súradnice?
2. Na akom povrchu sa používajú pravouhlé súradnice?
3. Čo je podstatou zonálneho systému pravouhlých súradníc?
4. Aké je číslo šesťstupňovej zóny, v ktorej sa nachádza mesto Lugansk so súradnicami: 48°35′ N.L. 39°20′ vd
5. Vypočítajte zemepisnú dĺžku osového poludníka šesťstupňovej zóny, v ktorej sa nachádza mesto Lugansk.
6. Ako sa počítajú súradnice x a y v Gaussovom pravouhlom súradnicovom systéme?
7. Vysvetlite postup určenia pravouhlých súradníc na topografickej mape pomocou meracieho kompasu.
8. Vysvetlite postup určenia pravouhlých súradníc na topografickej mape pomocou súradnicového metra.
9. Čo je podstatou priameho geodetického problému?
10. Čo je podstatou inverzného geodetického problému?
11. Aký je prírastok súradníc?
12. Definujte sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla.
13. Ako možno použiť Pytagorovu vetu o vzťahu medzi stranami pravouhlého trojuholníka v topografii?

1.10. OBDŽNÍKOVÉ SÚRADNICE NA MAPE

Obdĺžnikové súradnice (ploché) - lineárne veličiny: úsečka X a ordinovaťY ,určenie polohy bodov v rovine (na mape) vzhľadom na dve navzájom kolmé osi X aY(obr. 14). Abscisa X a ordinovaťYbodov ALE- vzdialenosti od počiatku súradníc k základniam kolmic vypustených z bodu ALE na zodpovedajúcich osiach s uvedením znamienka.

Ryža. štrnásť.Obdĺžnikové súradnice

V topografii a geodézii, ako aj na topografických mapách, sa orientácia vykonáva pozdĺž severu, počítaním uhlov v smere hodinových ručičiek, preto, aby sa zachovali znaky trigonometrických funkcií, poloha súradnicových osí prijatá v matematike sa otáča. o 90°.

Obdĺžnikové súradnice na topografických mapách ZSSR aplikované na súradnicové zóny. Súradnicové zóny - časti zemského povrchu ohraničené poludníkmi s dĺžkou, ktorá je násobkom 6°. Prvá zóna je ohraničená poludníkmi 0° a 6°, druhá - b "a 12°, tretia - 12° a 18° atď.

Zóny sa počítajú od greenwichského poludníka zo západu na východ. Územie ZSSR sa nachádza v 29 zónach: od 4. do 32. vrátane. Dĺžka každej zóny od severu k juhu je asi 20 000 km.Šírka zóny na rovníku je asi 670 km, na zemepisnej šírke 40°- 510 km, t zemepisnej šírky 50°-430 km, na zemepisnej šírke 60°-340 km.

Všetky topografické mapy v rámci danej zóny majú spoločný systém pravouhlých súradníc. Počiatok súradníc v každej zóne je priesečník stredného (osového) poludníka zóny s rovníkom (obr. 15), stredný poludník zóny zodpovedá

Ryža. pätnásť.Systém pravouhlých súradníc na topografických mapách: a-jedna zóna; b-časti zóny

osi x a rovník - ordináta osí. Pri takomto usporiadaní súradnicových osí budú mať úsečky bodov na juh od rovníka a osi bodov na západ od stredného poludníka záporné hodnoty. Pre uľahčenie používania súradníc na topografických mapách sa používa podmienený účet súradníc s výnimkou záporných hodnôt súradníc. Dosahuje sa to tým, že súradnice sa nepočítajú od nuly, ale od hodnoty 500 km, To znamená, že začiatok súradníc v každej zóne je posunutý o 500 km doľava pozdĺž osiY .Okrem toho na jednoznačné určenie polohy bodu v pravouhlých súradniciach na zemeguli k hodnote súradnícYčíslo zóny je priradené vľavo (jednomiestne alebo dvojmiestne číslo).

Vzťah medzi podmienenými súradnicami a ich skutočnými hodnotami je vyjadrený vzorcami:

X" = X-, Y= U-500 000,

kde X" a Y"-skutočné hodnoty ordinátov;X , Y -podmienené hodnoty súradníc. Napríklad, ak má bod súradnice

X = 5 650 450: Y= 3 620 840,

potom to znamená, že bod sa nachádza v tretej zóne vo vzdialenosti 120 km 840 m od stredného poludníka zóny (620840-500000) a severne od rovníka vo vzdialenosti 5650 km 450 m.

Úplné súradnice - pravouhlé súradnice zapísané (vymenované) v úplnom znení, bez akýchkoľvek skratiek. Vo vyššie uvedenom príklade sú uvedené úplné súradnice objektu:

X = 5 650 450; Y= 3620 840.

Skrátené súradnice sa používajú na urýchlenie označenia cieľa na topografickej mape, v tomto prípade sa uvádzajú len desiatky a jednotky kilometrov a metrov. Napríklad skrátené súradnice daného objektu by boli:

X = 50 450; Y = 20 840.

Skrátené súradnice nemožno použiť pri zameriavaní na križovatke súradnicových zón a ak oblasť pôsobenia pokrýva priestor s dĺžkou väčšou ako 100 km podľa zemepisnej šírky alebo dĺžky.

Súradnicová (kilometrová) mriežka - sieť štvorcov na topografických mapách, tvorená vodorovnými a zvislými čiarami vedenými rovnobežne s osami pravouhlých súradníc v určitých intervaloch (tab. 5). Tieto čiary sa nazývajú kilometre. Súradnicová sieť je určená na určenie súradníc objektov a zakreslenie objektov na mape ich súradnicami, na označenie cieľa, orientáciu mapy, meranie smerových uhlov a na približné určenie vzdialeností a plôch.

Tabuľka 5 Súradnicové siete na mapách

Mierky mapy	Veľkosti strán štvorcov		plocha štvorcov, sq km
	na mape, cm	na zemi, km
1:25 000		1
1:50 000
1:100 000
1:200 000

Na mape s mierkou 1:500 000 nie je súradnicová sieť zobrazená úplne; po stranách rámu sú aplikované iba výjazdy kilometrových čiar (po 2 cm). V prípade potreby je možné pomocou týchto výstupov nakresliť súradnicovú sieť na mape.

Kilometrové čiary na mapách sú vyznačené na ich výjazdoch mimo hranice a na niekoľkých priesečníkoch vo vnútri listu (obr. 16). Kilometrové čiary, ktoré sú na mapovom liste extrémne, sú podpísané celé, ostatné sú skrátené, dvojčíslicové (to znamená, že sú uvedené len desiatky a jednotky kilometrov). Znaky v blízkosti vodorovných čiar zodpovedajú vzdialenostiam od osi y (rovníka) v kilometroch. Napríklad nadpis 6082 v pravom hornom rohu ukazuje, že táto čiara je 6082 od rovníka km.

Vertikálne popisy označujú číslo zóny (jedna alebo dve prvé číslice) a vzdialenosť v kilometroch (vždy tri číslice) od začiatku súradníc, podmienečne posunuté na západ od stredného poludníka o 500 km. Napríklad podpis 4308 v ľavom dolnom rohu znamená: 4 - číslo zóny, 308 - vzdialenosť od podmieneného pôvodu v kilometroch.

Dodatočnú súradnicovú (kilometrovú) sieť je možné vykresliť na topografických mapách v mierke 1:25 000, 1:50 000, 1:100 000 a 1:200 000 na výstupoch kilometrových tratí v priľahlej západnej alebo východnej zóne. Výstupy kilometrových čiar vo forme pomlčiek so zodpovedajúcimi podpismi sú uvedené na mapách umiestnených vo vzdialenosti 2 ° na východ a západ od hraničných poludníkov zóny.

ryža. 16.Súradnicová (kilometrová) sieť na mapovom liste

Dodatočná súradnicová sieť je určená na prevod súradníc jednej zóny na súradnicový systém inej susednej zóny.

Na obr. 17 čiarok na vonkajšej strane západného rámu so signatúrami 81.6082 a na severnej strane rámu so signatúrami 3693, 94, 95 atď. označujú východy kilometrových čiar v súradnicovom systéme priľahlej (tretej) zóny. V prípade potreby sa na mapový list nakreslí dodatočná súradnicová sieť spojením rovnomenných pomlčiek na opačných stranách rámu. Novovybudovaná sieť je pokračovaním kilometrovej siete mapového listu priľahlej zóny a pri lepení mapy sa s ňou musí úplne zhodovať (splývať).

Súradnicová sieť západnej (3.) zóny

Ryža. 17. Dodatočná súradnicová mriežka

Kapitola I. Vektory v rovine a vo vesmíre

§ 13. Prechod z jedného pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému do druhého

Ponúkame vám, aby ste túto tému zvážili v dvoch verziách.

1) Na základe učebnice I.I. Privalova "Analytická geometria" (učebnica pre vysoké školy technického vzdelávania, 1966)

I.I. Privalov "Analytická geometria"

§ 1. Problém transformácie súradníc.

Poloha bodu v rovine je určená dvoma súradnicami vzhľadom na nejaký súradnicový systém. Súradnice bodu sa zmenia, ak zvolíme iný súradnicový systém.

Úlohou transformácie súradníc je poznať súradnice bodu v jednom súradnicovom systéme, nájsť jeho súradnice v inom systéme.

Tento problém sa vyrieši, ak zavedieme vzorce, ktoré súvisia so súradnicami ľubovoľného bodu v dvoch systémoch, a koeficienty týchto vzorcov budú zahŕňať konštantné hodnoty, ktoré určujú vzájomnú polohu systémov.

Nech sú dané dva karteziánske súradnicové systémy ahoj a XO 1Y(obr. 68).

Pozícia nového systému XO 1Y v porovnaní so starým systémom ahoj sa určí, ak sú súradnice známe a a b nový začiatok O 1 podľa starého systému a uhla α medzi nápravami Oh a Asi 1 X. Označiť podľa X a pri súradnice ľubovoľného bodu M vzhľadom k starému systému cez X a Y súradnice toho istého bodu vzhľadom na nový systém. Našou úlohou je vytvoriť staré súradnice X a pri vyjadrené pomocou nových X a Y. Výsledné transformačné vzorce musia samozrejme obsahovať konštanty a, b a α .

Riešenie tohto všeobecného problému získame zvážením dvoch špeciálnych prípadov.

1. Počiatok súradníc sa mení, zatiaľ čo smery osí zostávajú nezmenené ( α = 0).

2. Smery osí sa menia, pričom počiatok súradníc zostáva nezmenený ( a = b = 0).

§ 2. Prevod pôvodu.

Nech sú uvedené dva systémy karteziánskych súradníc s rôznymi počiatkami O a O 1 a rovnaké smery osí (obr. 69).

Označiť podľa a a b súradnice nového začiatku O 1 v starom systéme a cez x, y a X, Y-súradnice ľubovoľného bodu M v starom a novom systéme. Premietací bod M na osi Asi 1 X a Oh, ako aj bod O 1 na nápravu Oh, dostaneme sa na os Oh tri bodky Oh, a a R. Hodnoty segmentov OA, AR a ALEBO súvisia nasledujúcim vzťahom:

| OA| + | AR | = | ALEBO |. (1)

Všímajúc si, že | | OA| = a , | ALEBO | = X , | AR | = | O 1 R 1 | = X, prepíšeme rovnosť (1) v tvare:

a + X = X alebo X = X + a . (2)

Podobne premietanie M a O 1 na osi y dostaneme:

r = Y + b (3)

takže, stará súradnica sa rovná novej plus súradnica nového pôvodu podľa starého systému.

Zo vzorcov (2) a (3) môžu byť nové súradnice vyjadrené ako staré:

X = x - a , (2")

Y = y-b . (3")

§ 3. Rotácia súradnicových osí.

Nech sú dané dva karteziánske súradnicové systémy s rovnakým počiatkom O a rôzne smery osí (obr. 70).

Nechaj α je uhol medzi osami Oh a OH. Označiť podľa x, y a X, Y súradnice ľubovoľného bodu M v starom a novom systéme:

X = | ALEBO | , pri = | POPOLUDNIE | ,

X= | ALEBO 1 |, Y= | R 1 M |.

Zvážte prerušovanú čiaru ALEBO 1 MP a vziať jeho projekciu na os Oh. Keď si všimneme, že priemet prerušovanej čiary sa rovná priemetu uzatváracieho segmentu (kapitola I, § 8), máme:

ALEBO 1 MP = | ALEBO |. (4)

Na druhej strane priemet prerušovanej čiary sa rovná súčtu priemetov jej článkov (hlava I, § 8); preto rovnosť (4) bude napísaná takto:

atď ALEBO 1+ pr R 1 M+ pr MP= | ALEBO | (4")

Keďže priemet smerovaného segmentu sa rovná jeho hodnote vynásobenej kosínusom uhla medzi osou premietania a osou, na ktorej segment leží (kapitola I, § 8), potom

atď ALEBO 1 = X cos α

atď R 1 M = Y cos (90° + α ) = - Y hriech α ,

pr MP= 0.

Rovnosť (4") nám teda dáva:

X = X cos α - Y hriech α . (5)

Podobne premietanie rovnakej prerušovanej čiary na os OU, dostaneme výraz pre pri. V skutočnosti máme:

atď ALEBO 1+ pr R 1 M+ pr MP= pr ALEBO = 0.

Všímajúc si to

atď ALEBO 1 = X cos ( α - 90°) = X hriech α ,

atď R 1 M = Y cos α ,

pr MP = - r ,

bude mať:

X hriech α + Y cos α - r = 0,

r = X hriech α + Y cos α . (6)

Zo vzorcov (5) a (6) získame nové súradnice X a Y vyjadrené cez staré X a pri , ak riešime rovnice (5) a (6) vzhľadom na X a Y.

Komentujte. Vzorce (5) a (6) je možné získať rôzne.

Z obr. 71 máme:

X = OP = OM cos ( α + φ ) = OM cos α cos φ - ÓM hriech α hriech φ ,

pri = PM = OM sin ( α + φ ) = OM hriech α cos φ + OM čos α hriech φ .

Keďže (K. I, § 11) OM cos φ = XÓM hriech φ =Y, potom

X = X cos α - Y hriech α , (5)

r = X hriech α + Y cos α . (6)

§ 4. Všeobecný prípad.

Nech sú dané dva karteziánske súradnicové systémy s rôznymi počiatkami a rôznymi smermi osí (obr. 72).

Označiť podľa a a b súradnice nového začiatku O, podľa starého systému, cez α - uhol natočenia súradnicových osí a nakoniec cez x, y a X, Y- súradnice ľubovoľného bodu M podľa starého a nového systému.

Vyjadriť X a pri cez X a Y, zavádzame pomocný súradnicový systém X 1 O 1 r 1 , ktorej začiatok kladieme na nový začiatok O 1 a zoberte smery osí tak, aby sa zhodovali so smermi starých osí. Nechaj X 1 a r 1 sú súradnice bodu M vzhľadom k tomuto pomocnému systému. Prechodom zo starého súradnicového systému do pomocného máme (§ 2):

X = X 1 + a , y = y 1 +b .

X 1 = X cos α - Y hriech α , r 1 = X hriech α + Y cos α .

Výmena X 1 a r 1 v predchádzajúcich vzorcoch podľa ich výrazov z posledných vzorcov nakoniec zistíme:

X = X cos α - Y hriech α + a

r = X hriech α + Y cos α + b (ja)

Vzorce (I) obsahujú ako osobitný prípad vzorce §§ 2 a 3. Teda za α = 0 sa vzorce (I) premenia na

X = X + a , r = Y + b ,

a pri a = b = 0 máme:

X = X cos α - Y hriech α , r = X hriech α + Y cos α .

Zo vzorcov (I) získame nové súradnice X a Y vyjadrené cez staré X a pri ak sú rovnice (I) riešiteľné vzhľadom na X a Y.

Zaznamenávame veľmi dôležitú vlastnosť vzorcov (I): sú lineárne vzhľadom na X a Y, teda vo forme:

X = AX+BY+C, r = A 1 X+B 1 Y+C 1 .

Je ľahké skontrolovať, či sú nové súradnice X a Y vyjadrené cez staré X a pri aj formuly prvého stupňa vzhľadom na X a r.

G. N. Jakovlev "Geometria"

§ 13. Prechod z jedného pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému do druhého

Výberom pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému sa vytvorí korešpondencia jedna ku jednej medzi bodmi roviny a usporiadanými pármi reálnych čísel. To znamená, že každý bod roviny zodpovedá jednej dvojici čísel a každá usporiadaná dvojica reálnych čísel zodpovedá jednému bodu.

Výber jedného alebo druhého súradnicového systému nie je ničím obmedzený a v každom konkrétnom prípade je určený iba úvahami o vhodnosti. Často je potrebné brať do úvahy rovnakú množinu v rôznych súradnicových systémoch. Jeden a ten istý bod v rôznych systémoch má samozrejme rôzne súradnice. Množina bodov (najmä kružnica, parabola, priamka) v rôznych súradnicových systémoch je daná rôznymi rovnicami.

Poďme zistiť, ako sa transformujú súradnice bodov roviny pri prechode z jedného súradnicového systému do druhého.

Nech sú v rovine dané dva pravouhlé súradnicové systémy: O, i, j a o", ja",j" (obr. 41).

Prvý systém s počiatkom v bode O a bázovými vektormi i a j súhlasíme s tým, že zavoláme starý, druhý - so začiatkom v bode O" a základné vektory ja" a j" - Nový.

Pozíciu nového systému vzhľadom na starý budeme považovať za známu: nech má bod O" v starom systéme súradnice ( a;b ), vektor ja" formuláre s vektorom i rohu α . Rohový α počítanie v opačnom smere pohybu v smere hodinových ručičiek.

Uvažujme ľubovoľný bod M. Označme jeho súradnice v starom systéme pomocou ( x;y ), v novom - cez ( x"; y" ). Našou úlohou je určiť vzťah medzi starými a novými súradnicami bodu M.

Spojte v pároch body O a O", O" a M, O a M. Podľa trojuholníkového pravidla získame

OM > = OO" > + O"M > . (1)

Rozložme vektory OM> a OO"> podľa bázových vektorov i a j a vektor O"M> podľa bázových vektorov ja" a j" :

OM > = X i+y j , OO" > = a i+b j , O"M > = X" i"+y" j "

Teraz možno rovnosť (1) zapísať takto:

X i+y j = (a i+b j ) + (X" i"+y" j "). (2)

Nové bázové vektory ja" a j" rozšírené cez staré základné vektory i a j nasledujúcim spôsobom:

ja" = cos α i + hriech α j ,

j" = cos( π / 2 + α ) i + hriech ( π / 2 + α ) j = - hriech α i + cos α j .

Nahradením nájdených výrazov za ja" a j" do vzorca (2), získame vektorovú rovnosť

X i+y j = a i+b j + X"(kos α i + hriech α j ) + v"(-hriech α i + cos α j )

ekvivalentné dvom číselné rovnosti:

x = a + X" cos α - v" hriech α , pri = b+ X" hriech α + v" cos α

Vzorce (3) poskytujú požadované výrazy pre staré súradnice X a pri body cez svoje nové súradnice X" a v". Aby sme našli výrazy pre nové súradnice z hľadiska starých, stačí vyriešiť sústavu rovníc (3) vzhľadom na neznáme X" a v".

Takže súradnice bodov pri presúvaní počiatku do bodu ( a; b ) a otočte osi o uhol α sú transformované vzorcami (3).

Ak sa zmení iba začiatok súradníc a smery osí zostanú rovnaké, potom za predpokladu, že vo vzorcoch (3) α = 0, dostaneme

Vzorce (5) sú tzv rotačné vzorce.

Úloha 1. Nech sú súradnice nového začiatku v starom systéme (2; 3) a súradnice bodu A v starom systéme (4; -1). Nájdite súradnice bodu A v nový systém ak smery osí zostanú rovnaké.

Podľa vzorcov (4) máme

Odpoveď. A(2;-4)

Úloha 2. Nech súradnice bodu P v starom systéme (-2; 1) av novom systéme, ktorého smery osí sú rovnaké, súradnice tohto bodu (5; 3). Nájdite súradnice nového začiatku v starom systéme.

A podľa vzorcov (4) získame

- 2= a + 5 1 = b + 3

kde a = - 7, b = - 2.

Odpoveď. (-7; -2).

Úloha 3. Súradnice bodu A v novom systéme (4; 2). Nájdite súradnice tohto bodu v starom systéme, ak pôvod zostáva rovnaký a súradnicové osi starého systému sú otočené o uhol α = 45°.

Podľa vzorcov (5) nájdeme

Úloha 4. Súradnice bodu A v starom systéme (2 √3 ; - √3 ). Nájdite súradnice tohto bodu v novom systéme, ak je počiatok starého systému presunutý do bodu (-1;-2) a osi sú otočené o uhol α = 30°.

Podľa vzorcov (3) máme

Riešenie tejto sústavy rovníc pre X" a v", nájdeme: X" = 4, v" = -2.

Odpoveď. A(4;-2).

Úloha 5. Vzhľadom na rovnicu priamky pri = 2X - 6. Nájdite rovnicu tej istej priamky v novom súradnicovom systéme, ktorá sa získa zo starého systému otočením osí o uhol α = 45°.

Rotačné vzorce majú v tomto prípade tvar

Nahradenie priamky v rovnici pri = 2X - 6 starých premenných X a pri nové, dostaneme rovnicu

√ 2 / 2 (x" + y") = 2 √ 2 / 2 (x" - y") - 6 ,

ktorý po zjednodušení nadobúda podobu y" = X" / 3 - 2√2

Na vyriešenie väčšiny problémov v aplikovaných vedách je potrebné poznať polohu objektu alebo bodu, ktorá je určená pomocou jedného z akceptovaných súradnicových systémov. Okrem toho existujú výškové systémy, ktoré tiež určujú výškovú polohu bodu na

Čo sú súradnice

Súradnice sú číselné alebo doslovné hodnoty, ktoré možno použiť na určenie polohy bodu v teréne. V dôsledku toho je súradnicový systém súborom hodnôt rovnakého typu, ktoré majú rovnaký princíp na nájdenie bodu alebo objektu.

Na vyriešenie mnohých praktických problémov je potrebné nájsť polohu bodu. Vo vede, akým je geodézia, je lokalizácia bodu v danom priestore hlavným cieľom na ktorých je založená všetka ďalšia práca.

Väčšina súradnicových systémov spravidla definuje polohu bodu v rovine obmedzenej iba dvoma osami. Na určenie polohy bodu v trojrozmernom priestore sa používa aj systém výšok. S jeho pomocou môžete zistiť presnú polohu požadovaného objektu.

Stručne o súradnicových systémoch používaných v geodézii

Súradnicové systémy určujú polohu bodu na území tak, že mu dávajú tri hodnoty. Princípy ich výpočtu sú pre každý súradnicový systém iné.

Hlavné priestorové súradnicové systémy používané v geodézii:

1. Geodetické.
2. Geografický.
3. Polárny.
4. Obdĺžnikový.
5. Zónové Gauss-Krugerove súradnice.

Všetky systémy majú svoj vlastný východiskový bod, hodnoty pre umiestnenie objektu a rozsah.

Geodetické súradnice

Hlavným obrazcom, ktorý sa používa na čítanie geodetických súradníc, je zemský elipsoid.

Elipsoid je trojrozmerný stlačený obrazec, ktorý najlepšia cesta predstavuje postavu zemegule. Vzhľadom na to, že zemeguľa je matematicky nesprávny obrazec, na určenie geodetických súradníc sa namiesto neho používa elipsoid. To uľahčuje realizáciu mnohých výpočtov na určenie polohy tela na povrchu.

Geodetické súradnice sú definované tromi hodnotami: geodetická zemepisná šírka, zemepisná dĺžka a nadmorská výška.

1. Geodetická šírka je uhol, ktorého začiatok leží v rovine rovníka a koniec leží v kolmici vedenej k požadovanému bodu.
2. Geodetická zemepisná dĺžka je uhol, ktorý sa meria od nultého poludníka k poludníku, na ktorom sa nachádza požadovaný bod.
3. Geodetická výška - hodnota normály vykreslenej k povrchu elipsoidu rotácie Zeme z daného bodu.

Zemepisné súradnice

Na riešenie vysoko presných problémov vyššej geodézie je potrebné rozlišovať medzi geodetickými a geografickými súradnicami. V systéme používanom v inžinierskej geodézii takéto rozdiely vzhľadom na malý priestor pokrytý prácou spravidla nie sú.

Elipsoid sa používa ako referenčná rovina na určenie geodetických súradníc a geoid sa používa na určenie zemepisných súradníc. Geoid je matematicky nesprávny obrazec, ktorý sa približuje skutočnému tvaru Zeme. Za jeho vyrovnaný povrch berú to, čo pokračuje pod hladinou mora v pokojnom stave.

Geografický súradnicový systém používaný v geodézii popisuje polohu bodu v priestore s tromi hodnotami. zemepisná dĺžka sa zhoduje s geodetickou, pretože referenčný bod sa bude nazývať aj Greenwich. Prechádza cez rovnomenné observatórium v ​​meste Londýn. určené z rovníka nakresleného na povrchu geoidu.

Výška v miestnom súradnicovom systéme používanom v geodézii sa meria od hladiny mora v jej pokojnom stave. Na území Ruska a krajín bývalej únie je značkou, z ktorej sa určujú výšky, kronštadtská päta. Nachádza sa na úrovni Baltského mora.

Polárne súradnice

Polárny súradnicový systém používaný v geodézii má iné nuansy súčinu meraní. Používa sa v malých oblastiach terénu na určenie relatívnej polohy bodu. Referenčným bodom môže byť akýkoľvek objekt označený ako zdroj. Pomocou polárnych súradníc teda nie je možné určiť jednoznačnú polohu bodu na území zemegule.

Polárne súradnice sú definované dvoma veličinami: uhlom a vzdialenosťou. Uhol sa meria od severného smeru poludníka k danému bodu a určuje jeho polohu v priestore. Jeden uhol však nebude stačiť, preto sa zavádza polomerový vektor - vzdialenosť od stojaceho bodu k požadovanému objektu. Pomocou týchto dvoch možností môžete určiť umiestnenie bodu v lokálnom systéme.

Zvyčajne sa tento súradnicový systém používa na vykonávanie inžinierske práce držané na malom priestore.

Obdĺžnikové súradnice

Pravouhlý súradnicový systém používaný v geodézii sa používa aj v malých oblastiach terénu. Hlavným prvkom systému je súradnicová os, na ktorú sa odkazuje. Súradnice bodu sa zistia ako dĺžka kolmic nakreslených z osí x a súradníc k požadovanému bodu.

Severný smer osi x a východ osi y sa považujú za kladné a juh a západ sú záporné. V závislosti od znamení a štvrtí sa určuje umiestnenie bodu v priestore.

Gauss-Krugerove súradnice

Gauss-Krugerov súradnicový zonálny systém je podobný pravouhlému. Rozdiel je v tom, že sa dá aplikovať na celé územie zemegule, nielen na malé oblasti.

Obdĺžnikové súradnice Gauss-Krugerových zón sú v skutočnosti projekciou zemegule do roviny. Vznikol z praktických dôvodov na zobrazenie veľkých oblastí Zeme na papieri. Prenášajúce skreslenia sa považujú za nevýznamné.

Podľa tohto systému je zemeguľa rozdelená podľa zemepisnej dĺžky na šesťstupňové zóny s osovým poludníkom v strede. Rovník je v strede pozdĺž vodorovnej čiary. Výsledkom je 60 takýchto zón.

Každá zo šesťdesiatich zón má svoj vlastný systém pravouhlých súradníc, meraných pozdĺž súradnicovej osi od X a pozdĺž abscisy - od oblasti zemského rovníka Y. Na jednoznačné určenie polohy na území celej zemegule, číslo zóny sa umiestni pred hodnoty X a Y.

Hodnoty osi x v Rusku sú zvyčajne kladné, zatiaľ čo hodnoty y môžu byť záporné. Aby sa predišlo znamienku mínus v hodnotách osi x, axiálny poludník každej zóny sa podmienečne posunie o 500 metrov na západ. Potom sa všetky súradnice stanú kladnými.

Súradnicový systém navrhol Gauss ako možný a vypočítal ho matematicky Krüger v polovici dvadsiateho storočia. Odvtedy sa používa v geodézii ako jeden z hlavných.

Výškový systém

Systémy súradníc a výšok používané v geodézii sa používajú na presné určenie polohy bodu na Zemi. Absolútne výšky sa merajú od hladiny mora alebo iného povrchu braného ako originál. Okrem toho existujú relatívne výšky. Tie sa počítajú ako prebytok od požadovaného bodu k akémukoľvek inému. Je vhodné ich použiť na prácu v lokálnom súradnicovom systéme, aby sa zjednodušilo následné spracovanie výsledkov.

Aplikácia súradnicových systémov v geodézii

Okrem vyššie uvedených sa v geodézii používajú aj ďalšie súradnicové systémy. Každý z nich má svoje výhody a nevýhody. Existujú aj ich vlastné oblasti práce, pre ktoré je relevantná táto alebo tá metóda určovania polohy.

Práve účel práce určuje, ktoré súradnicové systémy používané v geodézii sú najvhodnejšie. Pre prácu v malých oblastiach je vhodné použiť pravouhlé a polárne súradnicové systémy a na riešenie rozsiahlych problémov sú potrebné systémy, ktoré umožňujú pokryť celé územie zemského povrchu.