11 Základné funkcie komplexnej premennej
Spomeňte si na definíciu komplexného exponentu - . Potom
Rozšírenie série Maclaurin. Polomer konvergencie tohto radu je +∞, čo znamená, že komplexný exponent je analytický v celej komplexnej rovine a
(exp z)"=exp z; exp 0=1. (2)
Prvá rovnosť tu vyplýva napríklad z vety o členení mocninového radu po členoch.
11.1 Goniometrické a hyperbolické funkcie
Sínus komplexnej premennej nazývaná funkcia
Kosínus komplexnej premennej existuje funkcia
Hyperbolický sínus komplexnej premennej je definovaná takto:
Hyperbolický kosínus komplexnej premennej-- je funkcia
Všimli sme si niektoré vlastnosti novozavedených funkcií.
A. Ak x∈ ℝ , potom cos x, sin x, ch x, sh x∈ ℝ .
B. Medzi goniometrickými a hyperbolickými funkciami existuje nasledujúca súvislosť:
cos iz=ch z; sin iz=ish z, ch iz=cos z; shiz=isinz.
B. Základné goniometrické a hyperbolické identity:
cos2z+sin2z=1; ch2z-sh2z=1.
Dôkaz základnej hyperbolickej identity.
Hlavné trigonometrická identita vyplýva z onónskej hyperbolickej identity, keď sa berie do úvahy spojenie medzi trigonometrickými a hyperbolickými funkciami (pozri vlastnosť B)
G Vzorce na sčítanie:
najmä
D. Na výpočet derivácií goniometrických a hyperbolických funkcií by sa mala použiť veta o diferenciácii mocninového radu po členoch. Dostaneme:
(cos z)"=-sin z; (sin z)"=cos z; (ch z)"=shz; (shz)"=chz.
E. Funkcie cos z, ch z sú párne, kým funkcie sin z, sh z sú nepárne.
G. (periodicita) Funkcia e z je periodická s periódou 2π i. Funkcie cos z, sin z sú periodické s periódou 2π a funkcie ch z, sh z sú periodické s periódou 2πi. ďalej
Aplikovaním súčtových vzorcov dostaneme
W. Rozklad na reálne a imaginárne časti:
Ak jednohodnotová analytická funkcia f(z) bijektívne mapuje doménu D na doménu G, potom sa D nazýva doména univalencie.
A. Doména D k =( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .
Dôkaz. Zo vzťahu (5) vyplýva, že zobrazenie exp:D k → ℂ je injektívne. Nech w je ľubovoľné nenulové komplexné číslo. Potom riešenie rovníc e x =|w| a e iy =w/|w| s reálnymi premennými x a y (z polintervalu volíme y); niekedy sa to berie do úvahy ... ... Encyklopedický slovník F.A. Brockhaus a I.A. Efron
Funkcie inverzné k hyperbolickým funkciám (Pozri Hyperbolické funkcie) sh x, ch x, th x; vyjadrujú sa vzorcami (čítaj: hyperbolický arezín, hyperbolický plošný kosínus, aretangens ... ... Veľká sovietska encyklopédia
Funkcie inverzné k hyperbolickým. funkcie; vyjadrené vo vzorcoch... Prírodná veda. encyklopedický slovník
Inverzné hyperbolické funkcie sú definované ako inverzné hodnoty hyperbolických funkcií. Tieto funkcie určujú plochu sektora jednotkovej hyperboly x2 − y2 = 1 rovnakým spôsobom, akým inverzné goniometrické funkcie určujú dĺžku ... ... Wikipedia
knihy
- Hyperbolické funkcie, Yanpolsky A.R. Kniha popisuje vlastnosti hyperbolických a inverzných hyperbolických funkcií a uvádza vzťah medzi nimi a inými elementárnymi funkciami. Aplikácia hyperbolických funkcií na…
Dá sa zapísať v parametrickej forme pomocou hyperbolických funkcií (to vysvetľuje ich názov).
Označme y= b·sht , potom x2 / a2=1+sh2t =ch2t . Odkiaľ x=± a·cht .
Dostávame sa teda k nasledujúcim parametrickým rovniciam hyperboly:
Y= v sht , –< t < . (6)
Ryža. jeden.
Znamienko "+" v hornom vzorci (6) zodpovedá pravej vetve hyperboly a znamienko ""– "" zodpovedá ľavej vetve (pozri obr. 1). Vrcholy hyperboly A(– a; 0) a B(a; 0) zodpovedajú hodnote parametra t=0.
Pre porovnanie môžeme dať parametrické rovnice elipsy pomocou goniometrických funkcií:
X = cena,
Y = v sint , 0 t 2p . (7)
3. Je zrejmé, že funkcia y=chx je párna a nadobúda iba kladné hodnoty. Funkcia y=shx je nepárna, pretože :
Funkcie y=thx a y=cthx sú nepárne ako podiely párnej a nepárnej funkcie. Všimnite si, že na rozdiel od goniometrických funkcií nie sú hyperbolické funkcie periodické.
4.
Pozrime sa na správanie funkcie y= cthx v okolí bodu nespojitosti x=0: 
Os y je teda zvislou asymptotou grafu funkcie y=cthx . Definujme šikmé (horizontálne) asymptoty:
Preto je priamka y=1 pravou horizontálnou asymptotou grafu funkcie y=cthx . Kvôli zvláštnosti tejto funkcie je jej ľavá horizontálna asymptota priamka y= –1. Je ľahké ukázať, že tieto riadky sú súčasne asymptotami pre funkciu y=thx. Funkcie shx a chx nemajú žiadne asymptoty.
2) (chx)"=shx (zobrazené podobne).
4) 
Existuje aj určitá analógia s goniometrickými funkciami. Úplná tabuľka derivácií všetkých hyperbolických funkcií je uvedená v časti IV.
Tangenta, kotangensa
Definície hyperbolických funkcií, ich oblasti definícií a hodnôt
sh x- hyperbolický sínus, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x- hyperbolický kosínus
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ r< +∞ .
Vďaka- hyperbolická dotyčnica
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x- hyperbolický kotangens
, x ≠ 0; r< -1 или y > +1 .
Grafy hyperbolických funkcií
Graf hyperbolického sínusu y = sh x
Graf hyperbolického kosínusu y = ch x
Graf hyperbolickej dotyčnice y= Vďaka
Graf hyperbolického kotangens y= cth x
Vzorce s hyperbolickými funkciami
Vzťah s goniometrickými funkciami
sin iz = i sh z; cos iz = ch z
sh iz = i sin z ; ch iz = cos z
tgiz = i th z; ctg iz = - i cth z
th iz = i tg z; cth iz = - i ctg z
Tu je i imaginárna jednotka, i 2 = - 1
.
Aplikovaním týchto vzorcov na goniometrické funkcie získame vzorce týkajúce sa hyperbolických funkcií.
Parita
sh(-x) = - sh x;
ch(-x) = ch x.
th(-x) = -th x;
cth(-x) = - cth x.
Funkcia ch(x)- dokonca. Funkcie sh(x), Vďaka), cth(x)- zvláštny.
Rozdiel štvorcov
ch 2 x - sh 2 x = 1.
Vzorce pre súčet a rozdiel argumentov
sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,
sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 kanály 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.
Vzorce pre produkty hyperbolického sínusu a kosínusu
,
,
,
,
,
.
Vzorce pre súčet a rozdiel hyperbolických funkcií
,
,
,
,
.
Vzťah hyperbolického sínusu a kosínusu s dotyčnicou a kotangensom
,
,
,
.
Deriváty
,
Integrály sh x, ch x, th x, cth x
,
,
.
Rozšírenia do sérií
Inverzné funkcie
Areasine
Pri - ∞< x < ∞
и - ∞ < y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Areakozín
O 1 ≤ x< ∞
a 0 ≤ r< ∞
existujú vzorce:
,
.
Druhá vetva areacosine sa nachádza na 1 ≤ x< ∞
a - ∞< y ≤ 0
:
.
Areatangent
o - 1
< x < 1
a - ∞< y < ∞
имеют место формулы:
,
Spolu so spojením medzi goniometrickými a exponenciálnymi funkciami, ktoré sme objavili v komplexnej doméne (Eulerove vzorce)
v komplexnej oblasti existuje veľmi jednoduché spojenie medzi goniometrickými a hyperbolickými funkciami.
Pripomeňme, že podľa definície:
Ak v identite (3) nahradíme za, potom na pravej strane dostaneme rovnaký výraz, ktorý je na pravej strane identity, z čoho vyplýva rovnosť ľavých strán. To isté platí pre identity (4) a (2).
Rozdelením oboch častí identity (6) na zodpovedajúce časti identity (5) a naopak (5) pomocou (6) dostaneme:
Podobné nahradenie v identitách (1) a (2) a porovnanie s identitami (3) a (4) dáva:
Nakoniec z identít (9) a (10) nájdeme:
Ak dosadíme identity (5) - (12), kde x je reálne číslo, t. j. argument považujeme za čisto imaginárny, dostaneme ďalších osem identít medzi trigonometrickými funkciami čisto imaginárneho argumentu a zodpovedajúcimi hyperbolickými funkciami reálneho argumentu. argument, ako aj medzi hyperbolickými funkciami čisto imaginárneho argumentu a zodpovedajúcimi trigonometrickými funkciami skutočného argumentu:
Získané vzťahy umožňujú prejsť od goniometrických funkcií k hyperbolickým a od
hyperbolické funkcie na trigonometrické s nahradením imaginárneho argumentu skutočným. Môžu byť formulované podľa nasledujúceho pravidla:
Ak chcete prejsť od goniometrických funkcií imaginárneho argumentu k hyperbolickým, alebo naopak, od hyperbolických funkcií imaginárneho argumentu k goniometrickým, je potrebné vyňať imaginárnu jednotku zo znamienka funkcie pre sínus a tangens a úplne ju zahodiť. pre kosínus.
Vzniknuté spojenie je pozoruhodné najmä v tom, že umožňuje získať všetky vzťahy medzi hyperbolickými funkciami zo známych vzťahov medzi goniometrickými funkciami tak, že sa trigonometrické funkcie nahradia hyperbolickými funkciami.
Poďme si ukázať, ako to je. sa robí.
Vezmime si napríklad základnú trigonometrickú identitu
a vložte tam, kde x je reálne číslo; dostaneme:
Ak v tejto identite nahradíme sínus a kosínus hyperbolickým sínusom a kosínusom podľa vzorcov, tak dostaneme alebo a to je základná identita medzi predtým odvodenými iným spôsobom.
Podobne môžete odvodiť všetky ostatné vzorce, vrátane vzorcov pre hyperbolické funkcie súčtu a rozdielu argumentov, dvojitých a polovičných argumentov atď., takže z bežnej trigonometrie dostanete „hyperbolickú trigonometriu“.
