Teraz zvážime otázku, ako vytvoriť grafy goniometrické funkcie viac uhlov ωx, kde ω je nejaké kladné číslo.

Na vykreslenie funkcie y = hriech ωx Porovnajme túto funkciu s funkciou, ktorú sme už študovali y = sinx. Predpokladajme, že pri x = x 0 funkciu y = hriech x nadobúda hodnotu rovnajúcu sa 0. Potom

y 0 = hriech X 0 .

Transformujme tento pomer takto:

Preto funkcia y = hriech ωx pri X = X 0 / ω nadobúda rovnakú hodnotu pri 0 , čo je funkcia y = hriech x pri x = X 0 . A to znamená, že funkcia y = hriech ωx opakuje svoje hodnoty v ω krát častejšie ako funkcia y = sinx. Takže graf funkcie y = hriech ωx získaná „stlačením“ grafu funkcie y = sinx v ω krát pozdĺž osi x.

Napríklad graf funkcie y \u003d hrešiť 2x získané „stláčaním“ sínusoidy y = sinx dvakrát pozdĺž úsečky.

Graf funkcií y \u003d hriech x / 2 získané „natiahnutím“ sínusoidy y \u003d sin x dvakrát (alebo „stlačením“ v 1 / 2 krát) pozdĺž osi x.

Od funkcie y = hriech ωx opakuje svoje hodnoty v ω krát častejšie ako funkcia
y = sinx, potom jeho obdobie v ω krát menej ako obdobie funkcie y = sinx. Napríklad obdobie funkcie y \u003d hrešiť 2x rovná sa 2π / 2 = π a obdobie funkcie y \u003d hriech x / 2 rovná sa π / X / 2 = 4π .

Je zaujímavé študovať správanie funkcie y \u003d sekera hriechu na príklade animácie, ktorá sa dá v programe veľmi jednoducho vytvoriť javor:

Podobne sú konštruované grafy pre iné goniometrické funkcie viacerých uhlov. Na obrázku je znázornený graf funkcie y = cos 2x, ktorý sa získa „stlačením“ kosínusu y = cos x dvakrát pozdĺž osi x.

Graf funkcií y = cos x / 2 získané „natiahnutím“ kosínusovej vlny y = cos x dvakrát pozdĺž osi x.

Na obrázku vidíte graf funkcie y = tg 2x, získaný „stlačením“ tangentoidu y = tgx dvakrát pozdĺž úsečky.

Graf funkcií y = tg X / 2 , získaný „natiahnutím“ tangentoidu y = tgx dvakrát pozdĺž osi x.

A nakoniec animácia vykonaná programom javor:

Cvičenia

1. Zostavte grafy týchto funkcií a uveďte súradnice priesečníkov týchto grafov so súradnicovými osami. Určte periódy týchto funkcií.

a). y=hriech 4x / 3 G). y=tg 5x / 6 a). y = cos 2x / 3

b). y= cos 5x / 3 e). y=ctg 5x / 3 h). y=ctg X / 3

v). y=tg 4x / 3 e). y = hriech 2x / 3

2. Definujte funkčné obdobia y \u003d sin (πx) a y = tg (πх / 2).

3. Uveďte dva príklady funkcie, ktorá má všetky hodnoty od -1 do +1 (vrátane týchto dvoch čísel) a pravidelne sa mení s bodkou 10.

4 *. Uveďte dva príklady funkcií, ktoré majú všetky hodnoty od 0 do 1 (vrátane týchto dvoch čísel) a pravidelne sa menia s bodkou π / 2.

5. Uveďte dva príklady funkcií, ktoré majú všetky reálne hodnoty a pravidelne sa menia s periódou 1.

6 *. Uveďte dva príklady funkcií, ktoré majú všetky záporné hodnoty a nulu, ale neprijímajú kladné hodnoty a pravidelne sa menia s periódou 5.

V trigonometrii sa mnohé vzorce ľahšie odvodzujú, ako zapamätávajú. Kosínus dvojitého uhla je úžasný vzorec! Umožňuje vám získať vzorce zmenšenia a vzorce polovičného uhla.

Potrebujeme teda kosínus dvojitého uhla a trigonometrickú jednotku:

Sú dokonca podobné: vo vzorci kosínusu dvojitého uhla - rozdiel medzi štvorcami kosínusu a sínusu a v trigonometrickej jednotke - ich súčet. Ak vyjadríme kosínus z trigonometrickej jednotky:

a dosadíme ho do kosínusu dvojitého uhla, dostaneme:

Toto je ďalší vzorec pre kosínus dvojitého uhla:

Tento vzorec je kľúčom k získaniu redukčného vzorca:

Takže vzorec na zníženie stupňa sínusu je:

Ak je uhol alfa v ňom nahradený polovicou uhla alfa na polovicu, a dvojitý uhol dve alfa - pomocou uhla alfa potom dostaneme vzorec polovičného uhla pre sínus:

Teraz z trigonometrickej jednotky vyjadríme sínus:

Dosaďte tento výraz do vzorca pre kosínus dvojitého uhla:

Máme ďalší vzorec pre kosínus dvojitého uhla:

Tento vzorec je kľúčom k nájdeniu vzorca kosínusovej redukcie a vzorca kosínusového polovičného uhla.

Vzorec na zníženie stupňa kosínusu je teda:

Ak v ňom nahradíme α za α/2 a 2α za α, dostaneme vzorec pre polovičný argument pre kosínus:

Keďže dotyčnica je pomer sínusu ku kosínusu, vzorec pre dotyčnicu je:

Kotangens je pomer kosínusu k sínusu. Takže vzorec pre kotangens je:

Samozrejme, v procese zjednodušovania trigonometrické výrazy nemá zmysel odvodzovať vzorce polovičného uhla alebo zakaždým znižovať stupeň. Je oveľa jednoduchšie položiť pred seba hárok vzorcov. A zjednodušenie bude napredovať rýchlejšie a vizuálna pamäť zapnite na zapamätanie.

Ale stále stojí za to odvodiť tieto vzorce niekoľkokrát. Potom si budete úplne istí, že počas skúšky, keď neexistuje žiadny spôsob, ako použiť cheat sheet, môžete ich ľahko získať, ak to bude potrebné.

Vzťahy medzi základnými goniometrickými funkciami − sínus, kosínus, tangens a kotangens- sú dané trigonometrické vzorce. A keďže medzi goniometrickými funkciami je pomerne veľa spojení, vysvetľuje to aj množstvo goniometrických vzorcov. Niektoré vzorce spájajú goniometrické funkcie rovnakého uhla, iné - funkcie viacnásobného uhla, iné - umožňujú znížiť stupeň, štvrtý - vyjadriť všetky funkcie prostredníctvom tangens polovičného uhla atď.

V tomto článku uvádzame v poradí všetky základné trigonometrické vzorce, ktoré stačia na vyriešenie veľkej väčšiny problémov s trigonometriou. Pre ľahšie zapamätanie a používanie ich zoskupíme podľa účelu a zapíšeme do tabuliek.

Navigácia na stránke.

Základné goniometrické identity

Hlavné trigonometrické identity nastavte vzťah medzi sínusom, kosínusom, tangentom a kotangensom jedného uhla. Vyplývajú z definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu, ako aj koncepty jednotkového kruhu. Umožňujú vám vyjadriť jednu goniometrickú funkciu prostredníctvom ktorejkoľvek inej.

Podrobný popis týchto trigonometrických vzorcov, ich odvodenie a príklady použitia nájdete v článku.

Odlievané vzorce

Odlievané vzorce sledovať z vlastnosti sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu, to znamená, že odrážajú vlastnosť periodicity goniometrických funkcií, vlastnosť symetrie, ako aj vlastnosť posunu o daný uhol. Tieto trigonometrické vzorce vám umožňujú prejsť od práce s ľubovoľnými uhlami k práci s uhlami v rozsahu od nuly do 90 stupňov.

Zdôvodnenie týchto vzorcov, mnemotechnické pravidlo na ich zapamätanie a príklady ich použitia si môžete prečítať v článku.

Vzorce na sčítanie

Goniometrické vzorce prílohy ukážte, ako sú goniometrické funkcie súčtu alebo rozdielu dvoch uhlov vyjadrené pomocou goniometrických funkcií týchto uhlov. Tieto vzorce slúžia ako základ pre odvodenie nasledujúcich goniometrických vzorcov.

Vzorce pre dvojité, trojité atď. uhol

Vzorce pre dvojité, trojité atď. uhla (nazývajú sa aj viacuhlové vzorce) ukazujú, ako goniometrické funkcie dvojitého, trojitého atď. uhly () sú vyjadrené ako trigonometrické funkcie jedného uhla. Ich odvodenie je založené na adičných vzorcoch.

Podrobnejšie informácie sú zhromaždené v článku. vzorce pre dvojité, trojité atď. uhol.

Vzorce polovičného uhla

Vzorce polovičného uhla ukazujú, ako sú goniometrické funkcie polovičného uhla vyjadrené ako kosínus celočíselného uhla. Tieto trigonometrické vzorce vyplývajú zo vzorcov dvojitého uhla.

Ich záver a príklady aplikácie nájdete v článku.

Redukčné vzorce

Trigonometrické vzorce na znižovanie stupňov sú navrhnuté tak, aby uľahčili prechod od prirodzených mocnín goniometrických funkcií na sínusy a kosínusy v prvom stupni, ale s viacerými uhlami. Inými slovami, umožňujú znížiť mocniny goniometrických funkcií na prvé.

Vzorce pre súčet a rozdiel goniometrických funkcií

hlavný cieľ súčtové a rozdielové vzorce pre goniometrické funkcie spočíva v prechode na súčin funkcií, čo je veľmi užitočné pri zjednodušovaní goniometrických výrazov. Tieto vzorce sú tiež široko používané pri riešení goniometrických rovníc, pretože umožňujú faktorizáciu súčtu a rozdielu sínusov a kosínusov.

Vzorce na súčin sínusov, kosínusov a sínus po kosínu

Prechod od súčinu goniometrických funkcií k súčtu alebo rozdielu sa uskutočňuje o vzorce pre súčin sínusov, kosínusov a sínus po kosínu.

Univerzálna trigonometrická substitúcia

Prehľad základných vzorcov trigonometrie doplňujeme o vzorce vyjadrujúce goniometrické funkcie z hľadiska tangens polovičného uhla. Táto náhrada je tzv univerzálna trigonometrická substitúcia. Jeho výhoda spočíva v tom, že všetky goniometrické funkcie sú vyjadrené v tangente polovičného uhla racionálne bez koreňov.

Bibliografia.

• Algebra: Proc. pre 9 buniek. priem. škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Osvietenstvo, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bašmakov M.I. Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 buniek. priem. školy - 3. vyd. - M.: Osveta, 1993. - 351 s.: chor. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. vyd.- M.: Osveta, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.

Autorské práva šikovných študentov

Všetky práva vyhradené.
Chránené autorským zákonom. Žiadna časť stránky, vrátane interných materiálov a vonkajšieho dizajnu, sa nesmie reprodukovať v žiadnej forme ani používať bez predchádzajúceho písomného súhlasu držiteľa autorských práv.