V tejto lekcii sa naučíme definície goniometrické funkcie a ich hlavné vlastnosti, naučiť sa pracovať s trigonometrický kruh, zistite, čo je funkčné obdobie a pamätajte na rôzne spôsoby merania uhlov. Okrem toho sa pozrime na používanie redukčné vzorce.
Táto lekcia vám pomôže pripraviť sa na jeden z typov úloh. O 7.
Príprava na skúšku z matematiky
Experimentujte
Lekcia 7Úvod do trigonometrie.
teória
Zhrnutie lekcie
Dnes začíname sekciu, ktorá má pre mnohých desivý názov „Trigonometria“. Hneď zistíme, že nejde o samostatný objekt, podobný názvom geometrii, ako si niektorí myslia. Hoci preložené z Grécke slovo"trigonometria" znamená "meranie trojuholníkov" a priamo súvisí s geometriou. Okrem toho sú trigonometrické výpočty široko používané vo fyzike a technike. Ale začneme s vami presne tým, že zvážime, ako sa v geometrii zavádzajú základné goniometrické funkcie pomocou pravouhlého trojuholníka.
Práve sme použili termín "trigonometrická funkcia" - to znamená, že zavedieme celá trieda určité zákony korešpondencie s jedným premenlivý z iného.
Za týmto účelom zvážte správny trojuholník, ktorý pre pohodlie používa štandardné označenia strán a rohov, ktoré môžete vidieť na obrázku:
Zvážte napríklad uhola zadajte preň nasledujúce akcie:
Pomer opačnej nohy k prepone sa nazýva sínus, t.j.
Pomer susednej vetvy k prepone sa nazýva kosínus, t.j. ;
Pomer protiľahlej vetvy k susednej vetve sa nazýva dotyčnica, t.j. ;
Pomer susednej vetvy k opačnej vetve sa bude nazývať kotangens, t.j. .
Všetky tieto akcie s uhlom sa nazývajú goniometrické funkcie. Samotný uhol sa zároveň zvyčajne nazýva argument goniometrickej funkcie a môže sa označovať napríklad x, ako je zvykom v algebre.
Je dôležité hneď pochopiť, že goniometrické funkcie závisia od uhla v pravouhlom trojuholníku a nie od jeho strán. To sa dá ľahko dokázať, ak uvažujeme trojuholník podobný tomuto, v ktorom budú rôzne dĺžky strán a nezmenia sa všetky uhly a pomery strán, t.j. goniometrické funkcie uhlov tiež zostanú nezmenené.
Po takejto definícii goniometrických funkcií môže vzniknúť otázka: „Je tam napr.? No predsa rohnemôže byť v pravouhlom trojuholníku» . Napodiv, odpoveď na túto otázku je áno a hodnota tohto výrazu je , čo je ešte prekvapivejšie, pretože všetky goniometrické funkcie sú pomerom strán pravouhlého trojuholníka a dĺžky strán sú kladné čísla.
Ale v tomto nie je žiadny paradox. Faktom je, že napríklad vo fyzike pri popise určitých procesov je potrebné použiť goniometrické funkcie uhlov nielen veľkých, ale aj veľkých a rovnomerných. K tomu je potrebné zaviesť všeobecnejšie pravidlo pre výpočet goniometrických funkcií pomocou tzv. "jednotkový trigonometrický kruh".
Je to kružnica s jednotkovým polomerom nakresleným tak, že jej stred je v počiatku karteziánskej roviny.
 |
Na zobrazenie uhlov v tomto kruhu je potrebné dohodnúť sa, kam ich umiestniť. Je akceptované, aby uhlový referenčný lúč zaujal kladný smer osi x, t.j. os x. Smer ukladania rohov sa považuje za smer proti smeru hodinových ručičiek. Na základe týchto dohôd najprv vyčleníme ostrý uhol. Práve pre takéto ostré uhly už vieme, ako vypočítať hodnoty goniometrických funkcií v pravouhlom trojuholníku. Ukazuje sa, že pomocou znázorneného kruhu je možné vypočítať aj goniometrické funkcie, len pohodlnejšie.
Sínusové a kosínusové hodnoty ostrý uhol sú súradnice priesečníka strany tohto uhla s jednotkovou kružnicou:
Dá sa to napísať v tejto forme:
:
Na základe toho, že súradnice na vodorovnej osi ukazujú hodnotu kosínusu a súradnice na zvislej osi ukazujú hodnoty sínusu uhla, je vhodné premenovať názvy osí v súradnicovom systéme na jednotkový kruh, ako vidíte na obrázku:
 |
Os x sa premenuje na kosínusovú os a zvislá os na sínusovú os.
Uvedené pravidlo na určenie sínusu a kosínusu je zovšeobecnené tak na tupé uhly, ako aj na uhly v rozmedzí od do. V tomto prípade môžu sínusy a kosínusy nadobúdať kladné aj záporné hodnoty. Rôzne znaky hodnôt týchto goniometrických funkcií v závislosti od toho, do ktorej štvrtiny uvažovaný uhol spadá, je zvykom zobrazovať ho takto:
Ako vidíte, znamienka goniometrických funkcií sú určené kladným a záporným smerom ich príslušných osí.
Okrem toho stojí za to venovať pozornosť skutočnosti, že keďže najväčšia súradnica bodu na jednotkovej kružnici a pozdĺž úsečky a pozdĺž osi y sa rovná jednej a najmenšia mínus jedna, potom sínusové a kosínusové hodnoty obmedzené na tieto čísla:
Tieto záznamy sú zvyčajne písané v tejto forme:
Aby bolo možné zaviesť funkcie dotyčnice a kotangens na trigonometrickej kružnici, je potrebné znázorniť ďalšie prvky: dotyčnicu ku kružnici v bode A - z nej sa určí hodnota dotyčnice uhla a dotyčnica k v bode A bod B - z neho sa určí hodnota kotangens uhla.
 |
|||
 |
Nebudeme sa však vŕtať v definícii dotyčníc a kotangens pozdĺž trigonometrickej kružnice, pretože. dajú sa ľahko vypočítať, poznajúc hodnoty sínusu a kosínusu daného uhla, čo už vieme urobiť. Ak máte záujem naučiť sa vypočítať tangens a kotangens v trigonometrickom kruhu, zopakujte si program kurzu algebry pre 10. ročník.
Zadajte iba obrázok v kruhu znaky dotyčníc a kotangens v závislosti od uhla:
Všimnite si, že podobne ako pri rozsahoch hodnôt sínus a kosínus môžete určiť rozsahy hodnôt dotyčnice a kotangens. Na základe ich definície na trigonometrickom kruhu, hodnoty týchto funkcií nie sú obmedzené:
Čo sa dá ešte napísať takto:
Okrem uhlov v rozsahu od do umožňuje trigonometrický kruh pracovať s uhlami, ktoré sú väčšie a dokonca aj s negatívnymi uhlami. Takéto hodnoty uhla, hoci sa zdajú pre geometriu nezmyselné, sa používajú na opis niektorých fyzikálnych procesov. Ako by ste napríklad odpovedali na otázku: O aký uhol sa otočí hodinová ručička za deň? Počas tejto doby absolvuje dve úplné otáčky a v jednej otáčke prejde, t.j. za deň sa zmení na . Ako vidíte, takéto hodnoty majú celkom praktický význam. Značky uhla sa používajú na označenie smeru otáčania - jeden zo smerov je dohodnutý na meranie kladnými uhlami a druhý zápornými uhlami. Ako to možno vziať do úvahy v trigonometrickom kruhu?
Na kruhu s takýmito uhlami fungujú takto:
1) Uhly, ktoré sú väčšie ako , sa vykresľujú proti smeru hodinových ručičiek s prechodom referenčného bodu toľkokrát, koľkokrát je potrebné. Napríklad, aby ste vytvorili uhol, musíte prejsť dvoma úplnými otáčkami a viac. Pre konečnú polohu sa vypočítajú všetky goniometrické funkcie. Je ľahké vidieť, že hodnota všetkých goniometrických funkcií pre a pre bude rovnaká.
2) Záporné uhly sa vykresľujú presne podľa rovnakého princípu ako kladné, iba v smere hodinových ručičiek.
Už metódou konštrukcie veľkých uhlov možno dospieť k záveru, že hodnoty sínusov a kosínusov uhlov, ktoré sa líšia, sú rovnaké. Ak analyzujeme hodnoty dotyčníc a kotangens, potom budú rovnaké pre uhly, ktoré sa líšia o .
Takéto minimálne nenulové čísla, po pridaní do argumentu sa hodnota funkcie nemení, sa volá obdobie túto funkciu.
Touto cestou, obdobiesínus a kosínus jea tangens a kotangens. A to znamená, že bez ohľadu na to, ako veľmi pridáte alebo odčítate tieto obdobia od uvažovaných uhlov, hodnoty goniometrických funkcií sa nezmenia.
Napríklad, , atď.
Neskôr sa vrátime k podrobnejšiemu vysvetleniu a aplikácii tejto vlastnosti goniometrických funkcií.
Medzi goniometrickými funkciami toho istého argumentu existujú určité vzťahy, ktoré sa veľmi často používajú a sú tzv základné trigonometrické identity.
Vyzerajú takto:
1)
, takzvaná "trigonometrická jednotka"
3)
4)
5)
Všimnite si, že napríklad zápis znamená, že celá goniometrická funkcia je druhá mocnina. Tie. môže byť zastúpený v tejto forme: 
. Je dôležité pochopiť, že sa to nerovná takému zápisu ako , v tomto prípade je na druhú iba argument a nie celá funkcia, navyše výrazy tohto druhu sú extrémne zriedkavé.
Existujú dva veľmi užitočné dôsledky prvej identity, ktoré môžu byť užitočné pri riešení mnohých typov problémov. Po jednoduchých transformáciách môžete vyjadriť sínus cez kosínus rovnakého uhla a naopak:
Dva možné znaky výrazov sa objavujú, pretože extrakčná aritmetika odmocnina dáva iba nezáporné hodnoty a sínus a kosínus, ako sme už videli, môžu mať záporné hodnoty. Okrem toho sú znaky týchto funkcií najpohodlnejšie presne určené pomocou trigonometrického kruhu v závislosti od toho, aké uhly sú v nich prítomné.
Teraz si pripomeňme, že meranie uhlov možno vykonať dvoma spôsobmi: v stupňoch a v radiánoch. Uveďme definície jedného stupňa a jedného radiánu.
jeden stupeň- toto je uhol tvorený dvoma polomermi, ktoré zvierajú oblúk rovný kruhu.
Jeden radián- je to uhol, ktorý zvierajú dva polomery, ktoré sa stiahnu oblúkom s dĺžkou rovnakou ako polomery.
Tie. sú to len dva rôzne spôsoby merania uhlov, ktoré sú absolútne rovnaké. Pri popise fyzikálnych procesov, ktoré sú charakterizované goniometrickými funkciami, je zvykom používať radiánovú mieru uhlov, takže si na ňu budeme musieť tiež zvyknúť.
Je zvykom merať uhly v radiánoch v zlomkoch čísla "pi", napríklad alebo. V tomto prípade je možné nahradiť hodnotu čísla "pi", ktorá je 3,14, ale zriedka sa to robí.
Previesť mieru stupňov uhlov na radiány využiť skutočnosť, že uhol, z ktorého je ľahké získať všeobecný vzorec preklad:
Napríklad prevedieme na radiány: 
.
Existuje aj opak vzorecprevod z radiánov na stupne:
Prevedieme napríklad na stupne: 
.
Radiánovú mieru uhla budeme v tejto téme používať pomerne často.
Teraz je čas pripomenúť si, aké konkrétne hodnoty môžu poskytnúť trigonometrické funkcie rôznych uhlov. Pre niektoré uhly, ktoré sú násobkami , existuje tabuľka hodnôt goniometrických funkcií. Pre pohodlie sú uhly uvedené v mierach stupňov a radiánov.
S týmito uhlami sa často stretávame pri mnohých problémoch a je žiaduce vedieť sa v tejto tabuľke s istotou orientovať. Hodnoty tangens a kotangens niektorých uhlov nedávajú zmysel, čo je v tabuľke označené ako pomlčky. Sami sa zamyslite, prečo to tak je, alebo si to podrobnejšie prečítajte vo vložke k lekcii.
Posledná vec, ktorú musíme poznať v našej prvej hodine trigonometrie, je transformácia goniometrických funkcií podľa takzvaných redukčných vzorcov.
Ukazuje sa, že pre goniometrické funkcie existuje určitý druh výrazu, ktorý je celkom bežný a pohodlne zjednodušený. Ide napríklad o také výrazy: atď.
Tie. budeme hovoriť o funkciách, ktoré majú ľubovoľný uhol ako argument, zmenený na celú alebo polovičnú časť. Takéto funkcie sú zjednodušené na argument, ktorý sa rovná ľubovoľnému uhlu pridania alebo odčítania častí. Napríklad, 
, a 
. Ako vidíme, opačná funkcia sa môže stať výsledkom a funkcia môže zmeniť znamienko.
Preto možno pravidlá transformácie takýchto funkcií rozdeliť do dvoch etáp. Najprv je potrebné určiť, aká funkcia sa získa po transformácii:
1) Ak sa ľubovoľný argument zmení na celé číslo, funkcia sa nezmení. To platí pre funkcie typu kde akékoľvek celé číslo;
Späť dopredu
Pozor! Ukážka snímky slúži len na informačné účely a nemusí predstavovať celý rozsah prezentácie. Ak máš záujem táto práca prosím stiahnite si plnú verziu.
1. Úvod.
Keď sa blížim ku škole, počujem hlasy chalanov z telocvične, idem ďalej – spievajú, kreslia... emócie, pocity sú všade. Moja kancelária, hodina algebry, žiaci desiateho ročníka. Tu je naša učebnica, v ktorej je kurz trigonometrie polovičný a sú v nej dve záložky - to sú miesta, kde som našiel slová, ktoré nesúvisia s teóriou trigonometrie.
Medzi málokomu patria študenti, ktorí milujú matematiku, cítia jej krásu a nepýtajú sa, prečo je potrebné študovať trigonometriu, kde sa uplatňuje preberaná látka? Väčšina sú tí, ktorí jednoducho plnia úlohy, aby nedostali zlú známku. A sme pevne presvedčení, že aplikovanou hodnotou matematiky je získanie vedomostí postačujúcich na úspech absolvovanie skúšky a prijatie na univerzitu (vstúpiť a zabudnúť).
Hlavným účelom prezentovanej lekcie je ukázať použitú hodnotu trigonometrie v rôznych odborochľudská aktivita. Uvedené príklady pomôžu žiakom pochopiť prepojenie tohto úseku matematiky s inými predmetmi študovanými v škole. Obsah tejto lekcie je prvkom vzdelávania študentov.
Povedz niečo nové o zdanlivo dlho známej skutočnosti. Ukážte logické spojenie medzi tým, čo už vieme, a tým, čo ešte treba študovať. Pootvorte dvere a pozrite sa ďalej školské osnovy. Nezvyčajné úlohy, prepojenie s udalosťami dnešnej doby – to sú techniky, ktorými dosahujem svoje ciele. Veď školská matematika ako predmet neprispieva ani tak k učeniu, ako k rozvoju jednotlivca, jeho myslenia, kultúry.
2. Zhrnutie hodiny algebry a začiatkov analýzy (10. ročník).
Čas na organizáciu: Usporiadajte šesť tabuliek do polkruhu (model uhlomeru), na stoly pracovné listy pre žiakov (Príloha 1).
Oznámenie témy lekcie: "Trigonometria je jednoduchá a jasná."
V priebehu algebry a na začiatku analýzy začíname študovať trigonometriu, rád by som hovoril o aplikovanom význame tohto odvetvia matematiky.
Téza lekcie:
“skvelá kniha Prírodu môžu čítať len tí, ktorí poznajú jazyk, v ktorom je napísaná, a tým jazykom je matematika.“
(G. Galileo).
Na konci hodiny sa spoločne zamyslíme, či sme dokázali nahliadnuť do tejto knihy a porozumieť jazyku, v ktorom je napísaná.
Trigonometria ostrého uhla.
Trigonometria je grécke slovo a znamená „meranie trojuholníkov“. Vznik trigonometrie je spojený s meraniami na zemi, konštrukciou a astronómiou. A prvé zoznámenie s ňou nastalo, keď ste zobrali do ruky uhlomer. Venovali ste pozornosť tomu, ako stoja stoly? Odhadnite vo svojej mysli: ak vezmete jednu tabuľku ako akord, aký je stupeň oblúka, ktorý sa spája?
Spomeňte si na mieru uhlov: 1 ° = 1/360časť kruhu („stupeň“ - z latinského grad - krok). Viete, prečo bol kruh rozdelený na 360 dielov, prečo nie rozdelený na 10, 100 alebo 1000 dielov, ako sa to stáva napríklad pri meraní dĺžok? Poviem vám jednu z verzií.
Predtým ľudia verili, že Zem je stredom vesmíru a je nehybná a Slnko robí jednu revolúciu okolo Zeme denne, geocentrický systém sveta, „geo“ - Zem ( Výkres č.1). Babylonskí kňazi, ktorí robili astronomické pozorovania, zistili, že v deň rovnodennosti, od východu do západu Slnka, Slnko opisuje na nebeskej klenbe polkruh, do ktorého zdanlivý priemer (priemer) Slnka zapadá presne 180-krát, 1 ° - stopa slnka. ( Obrázok č. 2).
Po dlhú dobu bola trigonometria čisto geometrická. V oboznamovaní sa s trigonometriou pokračujete riešením pravouhlých trojuholníkov. Dozviete sa, že sínus ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer protiľahlej vetvy k prepone, kosínus je pomer priľahlej vetvy k prepone, dotyčnica je pomer protiľahlej vetvy k prepone. , a kotangens je pomer priľahlej vetvy k opačnej. A pamätajte, že v pravouhlom trojuholníku s daným uhlom pomer strán nezávisí od veľkosti trojuholníka. Zoznámte sa so sínusovou a kosínusovou vetou na riešenie ľubovoľných trojuholníkov.
V roku 2010 oslávilo moskovské metro 75. výročie. Každý deň ideme do metra a nevšimneme si, že ...
Úloha číslo 1. Uhol sklonu všetkých eskalátorov v moskovskom metre je 30 stupňov. Keď to poznáte, počet svietidiel na eskalátore a približnú vzdialenosť medzi svietidlami, môžete vypočítať približnú hĺbku stanice. Na eskalátore stanice Tsvetnoy Bulvar je 15 lámp a 2 lampy na stanici Prazhskaya. Vypočítajte hĺbku týchto staníc, ak sú vzdialenosti medzi lampami, od vchodu eskalátora po prvé svietidlo a od posledného svietidla po výstup z eskalátora 6 m ( Výkres č.3). Odpoveď: 48 m a 9 m
Domáca úloha. Najhlbšia stanica moskovského metra je Park Pobedy. Aká je jeho hĺbka? Navrhujem, aby ste nezávisle našli chýbajúce údaje na vyriešenie problému s domácou úlohou.
V rukách mám laserové ukazovátko, je to aj diaľkomer. Zmeriame si napríklad vzdialenosť k doske.
Čínsky dizajnér Huan Qiaokong uhádol spojiť dva laserové diaľkomery, uhlomer do jedného zariadenia a získal nástroj, ktorý vám umožní určiť vzdialenosť medzi dvoma bodmi v rovine ( Výkres č.4). Ako si myslíte, pomocou ktorej vety je tento problém vyriešený? Spomeňte si na formuláciu kosínusovej vety. Súhlasíte so mnou, že vaše znalosti sú už dostatočné na vytvorenie takéhoto vynálezu? Riešte problémy v geometrii a každý deň robte malé objavy!
Sférická trigonometria.
Okrem rovinnej geometrie Euklida (planimetrie) môžu existovať aj iné geometrie, v ktorých sa vlastnosti figúrok nezohľadňujú v rovine, ale na iných povrchoch, napríklad na povrchu lopty ( Výkres č.5). Prvým matematikom, ktorý položil základ pre vývoj neeuklidovských geometrií, bol N.I. Lobačevskij - "Kopernik geometrie". Od roku 1827 bol 19 rokov rektorom Kazanskej univerzity.
Sférická trigonometria, ktorá je súčasťou sférickej geometrie, zvažuje vzťahy medzi stranami a uhlami trojuholníkov na guli tvorenej oblúkmi veľkých kružníc na guli ( Výkres č.6).
Historicky sférická trigonometria a geometria vzišli z potrieb astronómie, geodézie, navigácie a kartografie. Zvážte, ktorý z týchto smerov posledné roky zaznamenal taký rýchly vývoj, že jeho výsledok sa už používa v moderných komunikátoroch. ... Modernou aplikáciou navigácie je satelitný navigačný systém, ktorý umožňuje určiť polohu a rýchlosť objektu zo signálu jeho prijímača.
Globálny navigačný systém (GPS). Na určenie zemepisnej šírky a dĺžky prijímača je potrebné prijímať signály aspoň z troch satelitov. Príjem signálu zo štvrtého satelitu tiež umožňuje určiť výšku objektu nad povrchom ( Nákres č.7).
Prijímací počítač rieši štyri rovnice v štyroch neznámych, kým nenájde riešenie, ktoré prekreslí všetky kružnice cez jeden bod ( Výkres č.8).
Poznatky z trigonometrie ostrého uhla sa ukázali ako nedostatočné na riešenie zložitejších praktických problémov. Pri štúdiu rotačných a kruhových pohybov nie je hodnota uhla a kruhového oblúka obmedzená. Bolo potrebné prejsť na trigonometriu zovšeobecneného argumentu.
Trigonometria zovšeobecneného argumentu.
Kruh ( Výkres č.9). Kladné uhly sa vykresľujú proti smeru hodinových ručičiek, záporné uhly sa vykresľujú v smere hodinových ručičiek. Poznáte históriu takejto dohody?
Ako viete, mechanické a slnečné hodiny sú navrhnuté tak, že ich ručičky sa otáčajú „podľa slnka“, t.j. v tom istom smere, v ktorom vidíme zdanlivý pohyb Slnka okolo Zeme. (Pamätajte si na začiatok hodiny – geocentrický systém sveta). Ale s Kopernikovým objavom skutočného (pozitívneho) pohybu Zeme okolo Slnka je zdanlivý (tj zdanlivý) pohyb Slnka okolo Zeme fiktívny (negatívny). Heliocentrický systém sveta (helio - Slnko) ( Výkres č.10).
Zahrejte sa.
- Vytiahnuť pravá ruka pred vami, rovnobežne s povrchom stola a vykonajte kruhovú rotáciu o 720 stupňov.
- Vytiahnuť ľavá ruka pred vami, rovnobežne s povrchom stola a vykonajte kruhové otočenie o (-1080) stupňov.
- Položte si ruky na ramená a vykonajte 4 kruhové pohyby tam a späť. Aký je súčet uhlov rotácie?
V roku 2010 Zima olympijské hry vo Vancouveri zistíme kritériá hodnotenia cviku korčuliarov vyriešením problému.
Úloha číslo 2. Ak korčuliar urobí obrat o 10 800 stupňov pri cvičení skrutky za 12 sekúnd, dostane známku „vynikajúca“. Určte, koľko otáčok korčuliar urobí počas tejto doby a rýchlosť jeho rotácie (otáčky za sekundu). Odpoveď: 2,5 otáčky/sec.
Domáca úloha. Pod akým uhlom sa otáča korčuliar, ktorý dostal hodnotenie „neuspokojivé“, ak pri rovnakom čase otáčania bola jeho rýchlosť 2 otáčky za sekundu.
Najvhodnejšou mierou oblúkov a uhlov spojených s rotačnými pohybmi sa ukázala byť miera radiánu (polomeru), ako väčšia jednotka merania uhla alebo oblúka ( Výkres č.11). Táto miera merania uhla vstúpila do vedy prostredníctvom pozoruhodných prác Leonharda Eulera. Rodom Švajčiar, 30 rokov žil v Rusku, bol členom Petrohradskej akadémie vied. Jemu vďačíme za „analytický“ výklad celej trigonometrie, odvodil vzorce, ktoré teraz študujete, zaviedol jednotné znaky:. hriech X, čos X, tg X.ctg X.
Ak až do 17. storočia bol vývoj náuky o goniometrických funkciách budovaný na geometrickom základe, potom sa počnúc 17. storočím začali goniometrické funkcie využívať na riešenie úloh v mechanike, optike, elektrine, na opis oscilačných procesov, vlnenia. propagácia. Všade tam, kde sa treba vysporiadať s periodickými procesmi a osciláciami, našli uplatnenie goniometrické funkcie. Funkcie vyjadrujúce zákony periodických procesov majú špeciálnu vlastnosť, ktorá je im vlastná: opakujú svoje hodnoty v rovnakom intervale zmeny argumentu. Zmeny ktorejkoľvek funkcie sa najjasnejšie prenášajú na jej grafe ( Výkres č.12).
Už sme sa obrátili na naše telo o pomoc pri riešení problémov s rotáciou. Počúvajme tlkot nášho srdca. Srdce je nezávislý orgán. Mozog ovláda každý sval v našom tele okrem srdca. Má vlastné riadiace centrum – sínusový uzol. S každou kontrakciou srdca po celom tele - počnúc sínusovým uzlom (veľkosť zrna prosa) - sa šíri elektriny. Dá sa zaznamenať pomocou elektrokardiografu. Nakreslí elektrokardiogram (sínusoida) ( Výkres č.13).
Teraz sa bavme o hudbe. Matematika je hudba, je to spojenie mysle a krásy.
Hudba je matematika výpočtom, algebra abstrakciou, trigonometria krásou. harmonické kmitanie(harmonický) je sínusoida. Graf ukazuje, ako sa mení tlak vzduchu na bubienku poslucháča: periodicky hore a dole v oblúku. Vzduch tlačí silnejšie, potom slabšie. Nárazová sila je pomerne malá a oscilácie sa vyskytujú veľmi rýchlo: stovky a tisíce nárazov každú sekundu. Takéto periodické vibrácie vnímame ako zvuk. Pridaním dvoch rôznych harmonických sa vytvorí zložitejší tvar vlny. Súčet troch harmonických je ešte komplikovanejší a prírodné zvuky a zvuky hudobných nástrojov sú tvorené veľkým počtom harmonických. ( Výkres č.14.)
Každá harmonická je charakterizovaná tromi parametrami: amplitúda, frekvencia a fáza. Frekvencia oscilácií udáva, koľko rázov tlaku vzduchu nastane za jednu sekundu. Veľké frekvencie sú vnímané ako „vysoké“, „tenké“ zvuky. Nad 10 kHz - pískanie, pískanie. Malé frekvencie sú vnímané ako „nízke“, „basové“ zvuky, dunenie. Amplitúda je rozsah oscilácie. Čím väčšie je rozpätie, tým silnejší je dopad na bubienok a hlasnejší zvuk ktoré počujeme Výkres č.15). Fáza je posun oscilácií v čase. Fáza môže byť meraná v stupňoch alebo radiánoch. V závislosti od fázy sa nulový počet na grafe posunie. Na určenie harmonickej stačí zadať fázu od -180 do +180 stupňov, pretože oscilácia sa opakuje pri veľkých hodnotách. Dva sínusové signály s rovnakou amplitúdou a frekvenciou, ale rôznymi fázami sa pridávajú algebraicky ( Výkres č.16).
Zhrnutie lekcie. Myslíte si, že sme dokázali prečítať pár strán z Veľkej knihy prírody? Po oboznámení sa s aplikovaným významom trigonometrie, pochopili ste jej úlohu v rôznych oblastiach ľudskej činnosti, porozumeli ste prezentovanému materiálu? Potom si zapamätajte a uveďte oblasti použitia trigonometrie, s ktorými ste sa dnes stretli alebo poznali predtým. Dúfam, že každý z vás si v dnešnej lekcii našiel niečo nové a zaujímavé. Možno vám táto novinka ukáže cestu, ako si vybrať budúce povolanie, ale bez ohľadu na to, kým sa stanete, vaše matematické vzdelanie vám pomôže stať sa profesionálom vo svojom odbore a intelektuálne rozvinutým človekom.
Domáca úloha. Prečítajte si osnovu lekcie
- -
Zvyčajne, keď chcú niekoho vystrašiť STRAŠNOU MATIKOU, uvádzajú sa ako príklad všetky možné sínusy a kosínusy, ako niečo veľmi zložité a odporné. Ale v skutočnosti je to krásna a zaujímavá časť, ktorá sa dá pochopiť a vyriešiť.
Téma sa začína odohrávať v 9. ročníku a nie vždy je všetko jasné na prvýkrát, je tam veľa jemností a trikov. Snažil som sa niečo povedať k téme.
Úvod do sveta trigonometrie:
Predtým, ako sa bezhlavo vrhnete do vzorcov, musíte z geometrie pochopiť, čo je sínus, kosínus atď.
Sínus uhla- pomer protiľahlej (uhlovej) strany k prepone.
Kosínus je pomer priľahlého k prepone.
Tangenta- opačná strana na susednej strane
Kotangens- susediaci s protiľahlým.
Teraz zvážte zapnutý kruh s jednotkovým polomerom súradnicová rovina a vyznačte na ňom nejaký alfa uhol: (na obrázky sa dá kliknúť, aspoň na niektoré)
- 
-
Tenké červené čiary sú kolmicou z priesečníka kružnice a pravého uhla na osiach x a y. Červené x a y sú hodnotami súradníc x a y na osiach (sivé x a y len označujú, že ide o súradnicové osi a nie len čiary).
Treba poznamenať, že uhly sa počítajú od kladného smeru osi x proti smeru hodinových ručičiek.
Nájdeme pre ňu sínus, kosínus atď.
sin a: opačná strana je y, prepona je 1.
sin a = y / 1 = y
Aby bolo úplne jasné, odkiaľ beriem y a 1, pre názornosť usporiadajme písmená a zvážime trojuholníky.
- -
AF = AE = 1 - polomer kruhu.
Preto AB = 1 ako polomer. AB je prepona.
BD = CA = y - ako hodnota pre oh.
AD \u003d CB \u003d x - ako hodnota pre oh.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Ďalší kosínus:
cos a: susedná strana - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x
Tiež dedukujeme dotyčnica a kotangensa.
tg a = y / x = sin a / cos a
ctg a = x / y = cos a / sin a
Už zrazu sme odvodili vzorec tangens a kotangens.
Nuž, poďme sa pozrieť na to, ako je to riešené s konkrétnymi uhlami.
Napríklad a = 45 stupňov.
Dostaneme pravouhlý trojuholník s jedným uhlom 45 stupňov. Niekomu je hneď jasné, že ide o trojuholník s rôznymi stranami, no aj tak sa pod to podpíšem.
Nájdite tretí roh trojuholníka (prvý 90, druhý 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Ak sú dva uhly rovnaké, potom sú strany rovnaké, ako to znelo.
Ukazuje sa teda, že ak pridáme dva takéto trojuholníky na seba, dostaneme štvorec s uhlopriečkou rovnajúcou sa polomeru \u003d 1. Podľa Pytagorovej vety vieme, že uhlopriečka štvorca so stranou a sa rovná koreňom dvoch.
Teraz si myslíme. Ak sa 1 (prepona alias uhlopriečka) rovná strane štvorca vynásobenej odmocninou z dvoch, potom sa strana štvorca musí rovnať 1/sqrt(2), a ak vynásobíme čitateľa a menovateľa tohto zlomku odmocninou dvoch dostaneme sqrt(2)/2 . A keďže trojuholník je rovnoramenný, potom AD = AC => x = y
Nájdenie našich goniometrických funkcií:
sin 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
So zvyškom uhlov musíte pracovať rovnakým spôsobom. Len trojuholníky nebudú rovnoramenné, ale strany sa dajú rovnako ľahko nájsť pomocou Pytagorovej vety.
Týmto spôsobom dostaneme tabuľku hodnôt goniometrických funkcií z rôznych uhlov:
- 
-
Tento stôl je navyše podvodný a veľmi pohodlný.
Ako to urobiť sami bez problémov: nakreslíte si takú tabuľku a do buniek napíšete čísla 1 2 3.
- 
-
Teraz z týchto 1 2 3 vytiahnete koreň a vydelíte 2. Dopadne to takto:
- 
-
Teraz prečiarkneme sínus a napíšeme kosínus. Jeho hodnoty sú zrkadlový sínus:
- 
-
Rovnako ľahké je odvodiť tangens - musíte vydeliť hodnotu sínusovej čiary hodnotou kosínusovej čiary:
- 
-
Hodnota kotangensu je prevrátená hodnota dotyčnice. V dôsledku toho dostaneme niečo takéto:
- 
-
Poznámkaže dotyčnica neexistuje napríklad v P/2. Zamyslite sa prečo. (Nemôžete deliť nulou.)
Čo si zapamätať tu: sínus je hodnota y, kosínus je hodnota x. Tangenta je pomer y ku x a kotangens je naopak. takže na určenie hodnôt sínusov / kosínusov stačí nakresliť dosku, ktorú som opísal vyššie, a kruh so súradnicovými osami (je vhodné pozrieť sa na hodnoty uhly 0, 90, 180, 360).
- 
-
No, dúfam, že to povieš štvrtí:
- 
-
Znamienko jeho sínus, kosínus atď. závisí od toho, v ktorej štvrtine je uhol. Hoci k správnej odpovedi vás privedie absolútne primitívne logické myslenie, ak vezmete do úvahy, že v druhom a treťom štvrťroku je x záporné a y je v treťom a štvrtom záporné. Nič strašné ani desivé.
Myslím, že by nebolo zbytočné spomínať redukčné vzorce ala duchovia, ako kazdy pocuje, co ma zrnko pravdy. Neexistujú žiadne vzorce ako také, pre zbytočnosti. Samotný význam celej tejto akcie: Ľahko nájdeme hodnoty uhlov iba pre prvý štvrťrok (30 stupňov, 45, 60). Goniometrické funkcie sú periodické, takže do prvého kvadrantu môžeme potiahnuť ľubovoľný veľký uhol. Potom hneď nájdeme jeho význam. Ale len ťahanie nestačí - musíte si pamätať na znamenie. Na to slúžia castingové vzorce.
Takže máme veľký uhol, alebo skôr viac ako 90 stupňov: a \u003d 120. A musíte nájsť jeho sínus a kosínus. Aby sme to dosiahli, rozložíme 120 na také uhly, s ktorými môžeme pracovať:
hriech a = hriech 120 = hriech (90 + 30)
Vidíme, že tento uhol leží v druhej štvrtine, tam je sínus kladný, preto je znamienko + pred sínusom zachované.
Aby sme sa zbavili 90 stupňov, zmeníme sínus na kosínus. No, tu je pravidlo, ktoré si treba zapamätať:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
A viete si to predstaviť aj inak:
hriech 120 = hriech (180 - 60)
Aby sme sa zbavili 180 stupňov, funkciu nemeníme.
sin (180 - 60) = sin 60 = sqrt(3) / 2
Máme rovnakú hodnotu, takže všetko je správne. Teraz kosínus:
cos 120 = cos (90 + 30)
Kosínus v druhej štvrtine je záporný, takže dáme znamienko mínus. A zmeníme funkciu na opačnú, pretože potrebujeme odstrániť 90 stupňov.
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1/2
alebo:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1/2
Čo potrebujete vedieť, vedieť a robiť, aby ste preložili rohy v prvom štvrťroku:
-rozložiť uhol na stráviteľné pojmy;
- vezmite do úvahy, v ktorej štvrtine sa uhol nachádza, a uveďte príslušné znamienko, ak je funkcia v tejto štvrtine záporná alebo kladná;
- zbaviť sa prebytku
*ak sa potrebujete zbaviť 90, 270, 450 a zvyšných 90+180n, kde n je ľubovoľné celé číslo, potom je funkcia obrátená (sínus ku kosínusu, tangens ku kotangensu a naopak);
*ak sa potrebujete zbaviť 180 a zvyšných 180+180n, kde n je ľubovoľné celé číslo, funkcia sa nezmení. (Je tu jedna vlastnosť, ale je ťažké ju vysvetliť slovami, dobre, dobre).
To je všetko. Nepovažujem za potrebné učiť sa naspamäť vzorce, keď si viete zapamätať pár pravidiel a ľahko ich použiť. Mimochodom, tieto vzorce sa dajú veľmi ľahko dokázať:
- 
-
A tvoria objemné tabuľky, potom vieme:
- 
-
Základné trigonometrické rovnice: treba ich poznať veľmi, veľmi dobre, naspamäť.
Základná trigonometrická identita(rovnosť):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Ak mi neveríte, presvedčte sa sami a presvedčte sa sami. Nahraďte hodnoty rôznych uhlov.
Tento vzorec je veľmi, veľmi užitočný, vždy si ho pamätajte. s ním môžete vyjadriť sínus cez kosínus a naopak, čo je niekedy veľmi užitočné. Ale ako s každým iným vzorcom, musíte to zvládnuť. Vždy si pamätajte, že znamienko goniometrickej funkcie závisí od štvrtiny, v ktorej sa uhol nachádza. Preto pri extrakcii koreňa potrebujete vedieť štvrtinu.
Tangenta a kotangensa: tieto vzorce sme už odvodili na samom začiatku.
tg a = sin a / cos a
ctg a = cos a / sin a
Súčin tangens a kotangens:
tg a * ctg a = 1
Pretože:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - zlomky rušia.
Ako vidíte, všetky vzorce sú hrou a kombináciou.
Tu sú ďalšie dve, získané delením kosínusovou druhou mocninou a sínusovou druhou mocninou prvého vzorca:
- 
-
Upozorňujeme, že posledné dva vzorce možno použiť s obmedzením na hodnotu uhla a, pretože nemôžete deliť nulou.
Vzorce na sčítanie: sú dokázané pomocou vektorovej algebry.
- 
-
Používajú sa zriedka, ale vhodne. Na skene sú vzorce, ale môžu byť nečitateľné alebo je digitálna forma ľahšie čitateľná:
- -
Vzorce s dvojitým uhlom:
Získavajú sa na základe sčítacích vzorcov, napríklad: kosínus dvojitého uhla je cos 2a = cos (a + a) – pripomína vám to niečo? Len nahradili beta verziou alfa.
- 
-
Nasledujúce dva vzorce sú odvodené od prvej substitúcie sin^2(a) = 1 - cos^2(a) a cos^2(a) = 1 - sin^2(a).
So sínusom dvojitého uhla je to jednoduchšie a používa sa oveľa častejšie:
- 
-
A špeciálni zvrhlíci môžu odvodiť tangens a kotangens dvojitého uhla, ak vezmeme do úvahy, že tg a \u003d sin a / cos a atď.
- 
-
Pre vyššie uvedené osoby Vzorce s trojitým uhlom: odvodia sa sčítaním uhlov 2a a a, keďže už poznáme vzorce pre dvojitý uhol.
- 
-
Vzorce polovičného uhla:
- 
-
Neviem, ako sú odvodené, alebo skôr ako to vysvetliť ... Ak napíšete tieto vzorce a nahradíte základnú goniometrickú identitu a / 2, odpoveď sa bude zbližovať.
Vzorce na sčítanie a odčítanie goniometrických funkcií:
- 
-
Získavajú sa z adičných vzorcov, ale nikoho to nezaujíma. Stretávať sa nie často.
Ako chápete, stále je veľa vzorcov, ktorých vymenovanie je jednoducho zbytočné, pretože o nich nebudem vedieť napísať niečo adekvátne a suché vzorce sa dajú nájsť kdekoľvek a sú to hra s predchádzajúcimi existujúce vzorce. Všetko je strašne logické a presné. Poviem ti to na záver o metóde pomocného uhla:
Prevod výrazu a cosx + b sinx do tvaru Acos(x+) alebo Asin(x+) sa nazýva metóda vloženia pomocného uhla (alebo dodatočného argumentu). Metóda sa používa pri riešení goniometrických rovníc, pri odhadovaní hodnôt funkcií, v extrémnych úlohách a čo je dôležité poznamenať, niektoré úlohy nemožno vyriešiť bez zavedenia pomocného uhla.
Ako vy, nesnažil som sa vysvetliť túto metódu, nič z toho neprišlo, takže to musíte urobiť sami:
- 
-
Je to strašidelné, ale užitočné. Ak riešite problémy, malo by to fungovať.
Odtiaľto, napríklad: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm
Ďalej v kurze sú grafy goniometrických funkcií. Ale stačí jedna lekcia. Vzhľadom na to, že toto sa v škole učí šesť mesiacov.
Napíšte svoje otázky, riešte problémy, požiadajte o skeny niektorých úloh, zistite, vyskúšajte.
Vždy tvoj, Dan Faraday.
Pri vykonávaní trigonometrických transformácií postupujte podľa týchto tipov:
- Nesnažte sa okamžite prísť so schémou riešenia príkladu od začiatku do konca.
- Nepokúšajte sa previesť celý príklad naraz. Pohybujte sa vpred malými krokmi.
- Pamätajte, že okrem goniometrických vzorcov v trigonometrii môžete stále použiť všetky spravodlivé algebraické transformácie (zátvorky, zmenšovanie zlomkov, skrátené vzorce na násobenie atď.).
- Verte, že všetko bude v poriadku.
Základné goniometrické vzorce
Väčšina vzorcov v trigonometrii sa často používa sprava doľava aj zľava doprava, takže sa tieto vzorce musíte naučiť tak dobre, aby ste mohli jednoducho použiť nejaký vzorec v oboch smeroch. Na začiatok si zapíšeme definície goniometrických funkcií. Nech existuje pravouhlý trojuholník:
Potom definícia sínusu je:
Definícia kosínusu:
Definícia dotyčnice:
Definícia kotangens:
Základná trigonometrická identita:
Najjednoduchšie dôsledky základnej trigonometrickej identity:
Vzorce s dvojitým uhlom. Sínus dvojitého uhla:
Kosínus dvojitého uhla:
Dvojitý uhol tangens:
Kotangens s dvojitým uhlom:
Ďalšie trigonometrické vzorce
Goniometrické sčítacie vzorce. Sínus súčtu:
Sínus rozdielu:
Kosínus súčtu:
Kosínus rozdielu:
Tangent súčtu:
Tangenta rozdielu:
Kotangens súčtu:
Rozdiel kotangens:
Goniometrické vzorce na prevod sumy na súčin. Súčet sínusov:
Sínusový rozdiel:
Súčet kosínov:
Kosínový rozdiel:
súčet dotyčníc:
Tangentový rozdiel:
Súčet kotangens:
Rozdiel kotangens:
Goniometrické vzorce na prepočet súčinu na súčet. Súčin sínusov:
Súčin sínusu a kosínusu:
Súčin kosínusov:
Vzorce na zníženie stupňa.
Vzorce polovičného uhla.
Trigonometrické redukčné vzorce
Volá sa funkcia kosínus kofunkcia sínusová funkcia a naopak. Podobne funkcie tangens a kotangens sú kofunkcie. Redukčné vzorce možno formulovať podľa nasledujúceho pravidla:
- Ak sa v redukčnom vzorci uhol odpočíta (sčíta) od 90 stupňov alebo 270 stupňov, potom sa redukovaná funkcia zmení na kofunkciu;
- Ak je v redukčnom vzorci uhol odčítaný (pridaný) od 180 stupňov alebo 360 stupňov, názov redukovanej funkcie sa zachová;
- V tomto prípade pred redukovanou funkciou je znamienko, ktoré má redukovaná (t. j. pôvodná) funkcia v zodpovedajúcej štvrtine, ak odčítaný (sčítaný) uhol považujeme za ostrý.
Odlievané vzorce sú uvedené vo forme tabuľky:
Autor: trigonometrický kruh je ľahké určiť tabuľkové hodnoty goniometrických funkcií:
Goniometrické rovnice
Na vyriešenie určitej goniometrickej rovnice je potrebné ju zredukovať na jednu z najjednoduchších goniometrických rovníc, o ktorej sa bude diskutovať nižšie. Pre to:
- Dá sa aplikovať trigonometrické vzorce vyššie. V tomto prípade sa nemusíte pokúšať konvertovať celý príklad naraz, ale musíte postupovať vpred po malých krokoch.
- Netreba zabúdať ani na možnosť transformácie nejakého výrazu pomocou algebraických metód, t.j. napríklad vyložiť niečo zo zátvorky alebo naopak zátvorky otvoriť, zlomok zmenšiť, použiť skrátený vzorec na násobenie, zlomky zredukovať na spoločného menovateľa atď.
- Pri riešení goniometrických rovníc môžete použiť metóda zoskupovania. Treba mať na pamäti, že na to, aby sa súčin viacerých faktorov rovnal nule, stačí, aby sa ktorýkoľvek z nich rovnal nule a zvyšok existoval.
- Uplatňuje sa variabilná náhradná metóda, ako obvykle, rovnica po zavedení náhrady by sa mala zjednodušiť a nemala by obsahovať pôvodnú premennú. Musíte tiež pamätať na opačnú substitúciu.
- Pamätajte, že homogénne rovnice sa často vyskytujú aj v trigonometrii.
- Pri otváraní modulov alebo riešení iracionálnych rovníc s goniometrickými funkciami si treba pamätať a brať do úvahy všetky jemnosti riešenia zodpovedajúcich rovníc s obyčajnými funkciami.
- Pamätajte na ODZ (v goniometrických rovniciach sa obmedzenia na ODZ v podstate scvrkávajú na skutočnosť, že nemôžete deliť nulou, ale nezabudnite na ďalšie obmedzenia, najmä na kladnosť výrazov v racionálnych mocninách a pod koreňmi párnych stupňov ). Pamätajte tiež, že hodnoty sínus a kosínus môžu ležať iba medzi mínus jedna a plus jedna vrátane.
Hlavná vec je, že ak neviete, čo robiť, urobte aspoň niečo, zatiaľ čo hlavnou vecou je správne používať trigonometrické vzorce. Ak sa to, čo získate, zlepšuje a zlepšuje, pokračujte v riešení, a ak sa to zhorší, vráťte sa na začiatok a skúste použiť iné vzorce, tak to robte, kým nenarazíte na správne riešenie.
Vzorce na riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc. Pre sínus existujú dve ekvivalentné formy zápisu riešenia:
Pre ostatné goniometrické funkcie je zápis jedinečný. Pre kosínus:
Pre dotyčnicu:
Pre kotangens:
Riešenie goniometrických rovníc v niektorých špeciálnych prípadoch:
Úspešná, usilovná a zodpovedná implementácia týchto troch bodov vám umožní ukázať na CT vynikajúci výsledok, maximum toho, čoho ste schopní.
Našli ste chybu?
Ak si myslíte, že ste našli chybu v školiace materiály, potom napíšte, prosím, o tom poštou. Môžete tiež nahlásiť chybu sociálna sieť(). V liste uveďte predmet (fyziku alebo matematiku), názov alebo číslo témy alebo testu, číslo úlohy, prípadne miesto v texte (strane), kde je podľa vás chyba. Popíšte tiež, čo je údajná chyba. Váš list nezostane nepovšimnutý, chyba bude buď opravená, alebo vám bude vysvetlené, prečo nejde o chybu.
Už v roku 1905 si ruskí čitatelia mohli prečítať v Psychológii Williama Jamesa jeho úvahy o tom, "prečo je napchávanie sa tak zlým spôsobom učenia?"
„Vedomosti získané obyčajným prepchávaním sú takmer nevyhnutne zabudnuté úplne bez stopy. Naopak, mentálny materiál, nahromadený pamäťou postupne, deň čo deň, v spojení s rôznymi kontextami, asociačne spojený s inými vonkajšími udalosťami a opakovane podrobovaný diskusii, tvorí takýto systém, vstupuje do takéhoto spojenia s inými aspektmi nášho intelektu. , sa ľahko obnovuje v pamäti množstvom vonkajších dôvodov, ktoré zostávajú dlhodobo pevnou akvizíciou.
Odvtedy uplynulo viac ako 100 rokov a tieto slová sú prekvapivo stále aktuálne. Vidíte to každý deň, keď pracujete so školákmi. Hromadné medzery vo vedomostiach sú také veľké, že možno tvrdiť, že kurz školskej matematiky z didaktického a psychologického hľadiska nie je systémom, ale akýmsi zariadením, ktoré podporuje krátkodobá pamäť a vôbec sa nestarajú o dlhodobú pamäť.
Poznať školský kurz matematiky znamená ovládať látku každej z oblastí matematiky, vedieť si ktorúkoľvek z nich kedykoľvek aktualizovať. Aby ste to dosiahli, musíte sa systematicky venovať každému z nich, čo niekedy nie je vždy možné vzhľadom na veľkú záťaž na lekcii.
Existuje aj iný spôsob dlhodobého zapamätania si faktov a vzorcov – ide o referenčné signály.
Trigonometria je jednou z veľkých sekcií školskej matematiky, ktorá sa študuje v rámci geometrie v 8., 9. ročníku a v kurze algebry v 9. ročníku, algebra a začiatok analýzy v 10. ročníku.
Najväčšie množstvo materiálu študovaného v trigonometrii pripadá na 10. stupeň. Veľa z tohto trigonometrického materiálu sa dá naučiť a zapamätať si trigonometrický kruh(kruh s polomerom jednotky so stredom v počiatku pravouhlý systém súradnice). Aplikácia1.ppt
Ide o nasledujúce pojmy trigonometrie:
- definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu uhla;
- meranie radián uhlov;
- doména definície a rozsah goniometrických funkcií
- hodnoty goniometrických funkcií pre niektoré hodnoty numerických a uhlových argumentov;
- periodicita goniometrických funkcií;
- párne a nepárne goniometrické funkcie;
- zvýšenie a zníženie goniometrických funkcií;
- redukčné vzorce;
- hodnoty inverzných goniometrických funkcií;
- riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc;
- riešenie najjednoduchších nerovností;
- základné vzorce trigonometrie.
Zvážte štúdium týchto pojmov na trigonometrickom kruhu.
1) Definícia sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu.
Po predstavení pojmu trigonometrická kružnica (kruh s jednotkovým polomerom so stredom v počiatku), počiatočný polomer (polomer kruhu v smere osi Ox), uhol rotácie, študenti samostatne dostanú definície pre sínus, kosínus. , dotyčnica a kotangensa na trigonometrickej kružnici, s použitím definícií z geometrie kurzu, to znamená s uvažovaním pravouhlého trojuholníka s preponou rovnou 1.
Kosínus uhla je úsečka bodu na kružnici, keď je počiatočný polomer otočený o daný uhol.
Sínus uhla je ordináta bodu na kružnici, keď je počiatočný polomer otočený o daný uhol.
2) Radiánové meranie uhlov na trigonometrickej kružnici.
Po zavedení radiánovej miery uhla (1 radián je stredový uhol, ktorý zodpovedá dĺžke oblúka rovnajúcej sa polomeru kružnice), študenti dospejú k záveru, že meranie radiánskeho uhla je číselná hodnota uhla natočenia na kružnici. , ktorá sa rovná dĺžke zodpovedajúceho oblúka, keď je počiatočný polomer otočený o daný uhol. .
Trigonometrický kruh je rozdelený na 12 rovnakých častí podľa priemerov kruhu. S vedomím, že uhol je radián, je možné určiť mieru radiánu pre uhly, ktoré sú násobkami .
A merania radiánov uhlov, ktoré sú násobkami, sa získajú podobne:
3) Oblasť definície a doména hodnôt goniometrických funkcií.
Bude zhoda uhlov rotácie a súradnicových hodnôt bodu na kruhu funkciou?
Každý uhol otočenia zodpovedá jednému bodu na kruhu, takže táto korešpondencia je funkciou.
Získavanie funkcií
Na trigonometrickom kruhu je vidieť, že doménou definície funkcií je množina všetkých reálnych čísel a doménou hodnôt je .
Predstavme si pojmy priamok dotyčníc a kotangens na trigonometrickej kružnici.
1) Nechajte 
Zavedieme pomocnú priamku rovnobežnú s osou Oy, na ktorej sú určené dotyčnice pre ľubovoľný číselný argument.
2) Podobne získame priamku kotangens. Nech y=1, potom . To znamená, že hodnoty kotangens sú určené na priamke rovnobežnej s osou Ox.
Na trigonometrickom kruhu je možné ľahko určiť doménu definície a rozsah hodnôt goniometrických funkcií:
pre dotyčnicu -
pre kotangens -
4) Hodnoty goniometrických funkcií na trigonometrickom kruhu.
Noha oproti uhlu v polovici prepony, to znamená druhá noha podľa Pytagorovej vety:
Takže podľa definície sínus, kosínus, tangens, kotangens môžete určiť hodnoty pre uhly, ktoré sú násobky alebo radiány. Sínusové hodnoty sa určujú pozdĺž osi Oy, hodnoty kosínusu pozdĺž osi Ox a hodnoty tangenty a kotangens možno určiť z ďalších osí rovnobežných s osami Oy a Ox.
Tabuľkové hodnoty sínus a kosínus sú umiestnené na príslušných osiach takto: 
Tabuľkové hodnoty tangens a kotangens - 
5) Periodicita goniometrických funkcií.
Na trigonometrickom kruhu je možné vidieť, že hodnoty sínus, kosínus sa opakujú každý radián a tangens a kotangens - každý radián.
6) Párne a nepárne goniometrické funkcie.
Túto vlastnosť možno získať porovnaním hodnôt kladných a opačných uhlov rotácie goniometrických funkcií. Chápeme to
Takže kosínus je dokonca funkciu, všetky ostatné funkcie sú nepárne.
 |
7) Zvyšovanie a znižovanie goniometrických funkcií.
Trigonometrický kruh ukazuje, že funkcia sínus sa zvyšuje 
a znižuje sa 
Argumentom podobne získame intervaly nárastu a poklesu funkcií kosínus, tangens a kotangens.
8) Redukčné vzorce.
Pre uhol berieme menšiu hodnotu uhla na trigonometrickej kružnici. Všetky vzorce sa získajú porovnaním hodnôt goniometrických funkcií na nohách vybraných pravouhlých trojuholníkov.
Algoritmus na použitie redukčných vzorcov:
1) Určte znamienko funkcie pri otáčaní o daný uhol.
Pri odbočovaní do rohu 
funkcia sa zachová, pri otočení o uhol sa získa celé číslo, nepárne číslo, kofunkcia (
9) Hodnoty inverzných goniometrických funkcií.
Zavádzame inverzné funkcie pre goniometrické funkcie pomocou definície funkcie.
Každá hodnota sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangens na trigonometrickej kružnici zodpovedá iba jednej hodnote uhla natočenia. Takže pre funkciu je doména definície , doména hodnôt je - Pre funkciu je doména definície , doména hodnôt je . Podobne získame doménu definície a rozsah hodnôt inverzné funkcie pre kosínus a kotangens.
Algoritmus na nájdenie hodnôt inverzných goniometrických funkcií:
1) nájdenie hodnoty argumentu inverznej goniometrickej funkcie na zodpovedajúcej osi;
2) nájdenie uhla natočenia počiatočného polomeru, berúc do úvahy rozsah hodnôt inverznej goniometrickej funkcie.
Napríklad: 
10) Riešenie najjednoduchších rovníc na trigonometrickej kružnici.
Aby sme vyriešili rovnicu tvaru , nájdeme body na kružnici, ktorých súradnice sú rovnaké a zapíšeme zodpovedajúce uhly, berúc do úvahy periódu funkcie.
Pre rovnicu nájdeme body na kružnici, ktorých úsečky sú rovnaké a zapíšeme zodpovedajúce uhly, berúc do úvahy periódu funkcie.
Podobne pre rovnice tvaru 
Hodnoty sa určujú na čiarach dotyčníc a kotangens a zaznamenávajú sa zodpovedajúce uhly rotácie.
Všetky pojmy a vzorce trigonometrie prijímajú žiaci sami pod jasným vedením učiteľa pomocou trigonometrického kruhu. V budúcnosti bude tento „kruh“ pre nich slúžiť ako referenčný signál alebo externý faktor na reprodukovanie pojmov a vzorcov trigonometrie v pamäti.
Štúdium trigonometrie na trigonometrickom kruhu prispieva k:
- výber štýlu komunikácie, ktorý je optimálny pre túto hodinu, organizovanie vzdelávacej spolupráce;
- ciele hodiny sa stávajú pre každého študenta osobne významnými;
- nový materiál založené na osobná skúsenosťčiny, myslenie, pocity žiaka;
- lekcia zahŕňa rôzne formy práca a metódy získavania a asimilácie vedomostí; existujú prvky vzájomného a samoučenia; sebakontrola a vzájomná kontrola;
- vyskytuje rýchla reakcia o nedorozumení a omyle (spoločná diskusia, podpora-nápovedy, vzájomné konzultácie).
