Obsah lekcie

Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi

Sčítanie zlomkov je dvoch typov:

1. Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
2. Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Začnime sčítavaním zlomkov s rovnakými menovateľmi. Všetko je tu jednoduché. Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa nezmenený. Sčítajme napríklad zlomky a . Pridáme čitateľov a menovateľa necháme nezmenený:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na štyri časti. Ak k pizzi pridáte pizzu, získate pizzu:

Príklad 2 Pridajte zlomky a .

Odpoveď je nesprávny zlomok. Ak príde koniec úlohy, je zvykom zbaviť sa nesprávnych zlomkov. Zbaviť sa nesprávny zlomok, treba v nej vybrať celú časť. V našom prípade celú časťľahko vynikne - dve delené dvoma sa rovná jednej:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na dve časti. Ak k pizzi pridáte viac pizze, získate jednu celú pizzu:

Príklad 3. Pridajte zlomky a .

Opäť pridajte čitateľov a ponechajte menovateľa nezmenený:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na tri časti. Ak k pizzi pridáte viac pizze, získate pizzu:

Príklad 4 Nájdite hodnotu výrazu

Tento príklad je riešený presne rovnakým spôsobom ako predchádzajúce. Čitatelia sa musia pridať a menovateľ ponechať nezmenený:

Pokúsme sa znázorniť naše riešenie pomocou obrázka. Ak pridáte pizzu na pizzu a pridáte viac pizze, získate 1 celú pizzu a viac pizze.

Ako vidíte, pridávanie zlomkov s rovnakými menovateľmi nie je ťažké. Stačí pochopiť nasledujúce pravidlá:

1. Ak chcete pridať zlomky s rovnakým menovateľom, musíte pridať ich čitateľov a menovateľa ponechať nezmenený;

Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Teraz sa naučíme, ako sčítať zlomky s rôznymi menovateľmi. Pri sčítaní zlomkov musia byť menovatelia týchto zlomkov rovnaké. Ale nie sú vždy rovnaké.

Napríklad zlomky možno sčítať, pretože majú rovnakých menovateľov.

Ale zlomky nemožno sčítať okamžite, pretože tieto zlomky majú rôznych menovateľov. V takýchto prípadoch sa zlomky musia zredukovať na rovnaký (spoločný) menovateľ.

Existuje niekoľko spôsobov, ako znížiť zlomky na rovnakého menovateľa. Dnes zvážime iba jednu z nich, pretože ostatné metódy sa môžu zdať pre začiatočníka komplikované.

Podstata tejto metódy spočíva v tom, že sa hľadá prvý (LCM) z menovateľov oboch zlomkov. Potom sa LCM vydelí menovateľom prvého zlomku a získa sa prvý dodatočný faktor. To isté urobia s druhým zlomkom - NOC sa vydelí menovateľom druhého zlomku a získa sa druhý dodatočný faktor.

Potom sa čitatelia a menovatelia zlomkov vynásobia ich ďalšími faktormi. V dôsledku týchto akcií sa zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, zmenia na zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov. A takéto zlomky už vieme sčítať.

Príklad 1. Pridajte frakcie a

V prvom rade nájdeme najmenší spoločný násobok menovateľov oboch zlomkov. Menovateľom prvého zlomku je číslo 3 a menovateľom druhého zlomku je číslo 2. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 6

LCM (2 a 3) = 6

Teraz späť k zlomkom a . Najprv vydelíme LCM menovateľom prvého zlomku a získame prvý dodatočný faktor. LCM je číslo 6 a menovateľom prvého zlomku je číslo 3. Ak vydelíme 6 3, dostaneme 2.

Výsledné číslo 2 je prvým dodatočným faktorom. Zapisujeme to na prvý zlomok. Za týmto účelom urobíme malú šikmú čiaru nad zlomkom a nad ním zapíšeme nájdený dodatočný faktor:

To isté robíme s druhým zlomkom. LCM vydelíme menovateľom druhého zlomku a dostaneme druhý dodatočný faktor. LCM je číslo 6 a menovateľom druhého zlomku je číslo 2. Ak vydelíme 6 2, dostaneme 3.

Výsledné číslo 3 je druhým dodatočným faktorom. Napíšeme to na druhý zlomok. Opäť urobíme malú šikmú čiaru nad druhým zlomkom a nad ňu napíšeme nájdený ďalší faktor:

Teraz sme všetci pripravení pridať. Zostáva vynásobiť čitateľov a menovateľov zlomkov ich dodatočnými faktormi:

Pozrite sa pozorne, k čomu sme dospeli. Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých menovateľov. A takéto zlomky už vieme sčítať. Dokončite tento príklad až do konca:

Tým sa príklad končí. Ak chcete pridať, ukazuje sa.

Pokúsme sa znázorniť naše riešenie pomocou obrázka. Ak k pizzi pridáte pizzu, získate jednu celú pizzu a ďalšiu šestinu pizze:

Redukciu zlomkov na rovnaký (spoločný) menovateľ možno znázorniť aj pomocou obrázka. Privedením zlomkov a do spoločného menovateľa dostaneme zlomky a . Tieto dve frakcie budú reprezentované rovnakými plátkami pizze. Jediný rozdiel bude v tom, že tentoraz budú rozdelené na rovnaké podiely (redukované na rovnakého menovateľa).

Prvý obrázok ukazuje zlomok (štyri kusy zo šiestich) a druhý obrázok zobrazuje zlomok (tri kusy zo šiestich). Zložením týchto kúskov dostaneme (sedem kúskov zo šiestich). Tento zlomok je nesprávny, preto sme v ňom zvýraznili celočíselnú časť. Výsledok bol (jedna celá pizza a ďalšia šiesta pizza).

Všimnite si, že sme tento príklad namaľovali príliš podrobne. AT vzdelávacie inštitúcie nie je zvykom písať tak podrobne. Musíte byť schopní rýchlo nájsť LCM oboch menovateľov a ďalších faktorov k nim, ako aj rýchlo znásobiť dodatočné faktory nájdené vašimi čitateľmi a menovateľmi. V škole by sme tento príklad museli napísať takto:

Je tu však aj druhá strana mince. Ak sa v prvých fázach štúdia matematiky nerobia podrobné poznámky, potom otázky tohto druhu "Odkiaľ pochádza to číslo?", "Prečo sa zlomky zrazu zmenia na úplne iné zlomky? «.

Na uľahčenie pridávania zlomkov s rôznymi menovateľmi môžete použiť nasledujúce podrobné pokyny:

1. Nájdite LCM menovateľov zlomkov;
2. Vydeľte LCM menovateľom každého zlomku a získajte ďalší násobiteľ pre každý zlomok;
3. Vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov ich ďalšími faktormi;
4. Pridajte zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov;
5. Ak sa ukázalo, že odpoveď je nesprávny zlomok, vyberte celú jeho časť;

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu .

Využime vyššie uvedené pokyny.

Krok 1. Nájdite LCM menovateľov zlomkov

Nájdite LCM menovateľov oboch zlomkov. Menovateľmi zlomkov sú čísla 2, 3 a 4

Krok 2. Vydeľte LCM menovateľom každého zlomku a získajte ďalší multiplikátor pre každý zlomok

Vydeľte LCM menovateľom prvého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom prvého zlomku je číslo 2. Vydelíme 12 2, dostaneme 6. Získame prvý dodatočný faktor 6. Napíšeme ho cez prvý zlomok:

Teraz delíme LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom druhého zlomku je číslo 3. Vydelíme 12 3, dostaneme 4. Získame druhý dodatočný faktor 4. Napíšeme ho cez druhý zlomok:

Teraz delíme LCM menovateľom tretieho zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom tretieho zlomku je číslo 4. Vydelíme 12 4, dostaneme 3. Získame tretí dodatočný faktor 3. Napíšeme ho cez tretí zlomok:

Krok 3. Vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov vašimi ďalšími faktormi

Čitateľov a menovateľov vynásobíme našimi ďalšími faktormi:

Krok 4. Pridajte zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré majú rovnakých (spoločných) menovateľov. Zostáva pridať tieto zlomky. Sčítať:

Doplnenie sa nezmestilo na jeden riadok, preto sme zvyšný výraz presunuli na ďalší riadok. V matematike je to dovolené. Keď sa výraz nezmestí na jeden riadok, prenesie sa na ďalší riadok a je potrebné umiestniť znamienko rovnosti (=) na koniec prvého riadku a na začiatok nového riadku. Znamienko rovnosti v druhom riadku znamená, že ide o pokračovanie výrazu, ktorý bol v prvom riadku.

Krok 5. Ak sa odpoveď ukázala ako nesprávny zlomok, vyberte v nej celú časť

Naša odpoveď je nesprávny zlomok. Musíme vyčleniť celú jeho časť. Zdôrazňujeme:

Dostal som odpoveď

Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi

Existujú dva typy odčítania zlomkov:

1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Najprv sa naučme, ako odčítať zlomky s rovnakými menovateľmi. Všetko je tu jednoduché. Ak chcete odčítať ďalší od jedného zlomku, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a menovateľa ponechať rovnaký.

Napríklad nájdime hodnotu výrazu . Na vyriešenie tohto príkladu je potrebné odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a ponechať menovateľa nezmenený. Poďme to spraviť:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na štyri časti. Ak z pizze nakrájate pizzu, získate pizzu:

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu.

Opäť, od čitateľa prvého zlomku, odčítajte čitateľa druhého zlomku a menovateľ ponechajte nezmenený:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na tri časti. Ak z pizze nakrájate pizzu, získate pizzu:

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu

Tento príklad je riešený presne rovnakým spôsobom ako predchádzajúce. Od čitateľa prvého zlomku musíte odpočítať čitateľa zvyšných zlomkov:

Ako vidíte, pri odčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi nie je nič zložité. Stačí pochopiť nasledujúce pravidlá:

1. Ak chcete odčítať ďalší od jedného zlomku, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a menovateľa ponechať nezmenený;
2. Ak sa ukázalo, že odpoveď je nesprávny zlomok, musíte v ňom vybrať celú časť.

Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Napríklad zlomok možno od zlomku odčítať, pretože tieto zlomky majú rovnakých menovateľov. Zlomok však nemožno od zlomku odčítať, pretože tieto zlomky majú rôznych menovateľov. V takýchto prípadoch sa zlomky musia zredukovať na rovnaký (spoločný) menovateľ.

Spoločný menovateľ sa nachádza podľa rovnakého princípu, aký sme použili pri sčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi. Najprv nájdite LCM menovateľov oboch zlomkov. Potom sa LCM vydelí menovateľom prvého zlomku a získa sa prvý dodatočný faktor, ktorý sa prepíše cez prvý zlomok. Podobne sa LCM vydelí menovateľom druhého zlomku a získa sa druhý dodatočný faktor, ktorý sa prepíše cez druhý zlomok.

Zlomky sa potom vynásobia ich dodatočnými faktormi. V dôsledku týchto operácií sa zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, zmenia na zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať.

Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu:

Tieto zlomky majú rôznych menovateľov, takže ich musíte priviesť k rovnakému (spoločnému) menovateľovi.

Najprv nájdeme LCM menovateľov oboch zlomkov. Menovateľom prvého zlomku je číslo 3 a menovateľom druhého zlomku je číslo 4. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 12

LCM (3 a 4) = 12

Teraz späť k zlomkom a

Nájdite ďalší faktor pre prvý zlomok. Aby sme to dosiahli, delíme LCM menovateľom prvého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom prvého zlomku je číslo 3. Ak vydelíme 12 3, dostaneme 4. Štyri zapíšeme nad prvý zlomok:

To isté robíme s druhým zlomkom. LCM delíme menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom druhého zlomku je číslo 4. Vydelíme 12 4, dostaneme 3. Napíšte trojku cez druhý zlomok:

Teraz sme všetci pripravení na odčítanie. Zostáva vynásobiť zlomky ich ďalšími faktormi:

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať. Dokončite tento príklad až do konca:

Dostal som odpoveď

Pokúsme sa znázorniť naše riešenie pomocou obrázka. Ak z pizze nakrájate pizzu, dostanete pizzu.

Toto je podrobná verzia riešenia. Byť v škole, museli by sme tento príklad riešiť kratšie. Takéto riešenie by vyzeralo takto:

Redukciu zlomkov a na spoločného menovateľa možno znázorniť aj pomocou obrázka. Privedením týchto zlomkov do spoločného menovateľa dostaneme zlomky a . Tieto zlomky budú reprezentované rovnakými plátkami pizze, ale tentoraz budú rozdelené na rovnaké zlomky (redukované na rovnakého menovateľa):

Prvý nákres ukazuje zlomok (osem kusov z dvanástich) a druhý obrázok ukazuje zlomok (tri kusy z dvanástich). Odrezaním troch kusov z ôsmich kusov dostaneme päť kusov z dvanástich. Zlomok popisuje týchto päť kusov.

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu

Tieto zlomky majú rôznych menovateľov, takže ich najprv musíte priviesť k rovnakému (spoločnému) menovateľovi.

Nájdite LCM menovateľov týchto zlomkov.

Menovateľmi zlomkov sú čísla 10, 3 a 5. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 30

LCM(10,3,5) = 30

Teraz nájdeme ďalšie faktory pre každý zlomok. Aby sme to dosiahli, delíme LCM menovateľom každého zlomku.

Nájdite ďalší faktor pre prvý zlomok. LCM je číslo 30 a menovateľom prvého zlomku je číslo 10. Vydelením 30 10 dostaneme prvý dodatočný faktor 3. Napíšeme ho cez prvý zlomok:

Teraz nájdeme ďalší faktor pre druhý zlomok. Vydeľte LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 30 a menovateľom druhého zlomku je číslo 3. Vydelením 30 číslom 3 dostaneme druhý dodatočný faktor 10. Napíšeme ho cez druhý zlomok:

Teraz nájdeme ďalší faktor pre tretí zlomok. Vydeľte LCM menovateľom tretieho zlomku. LCM je číslo 30 a menovateľom tretieho zlomku je číslo 5. Vydelením 30 číslom 5 dostaneme tretí dodatočný faktor 6. Napíšeme ho cez tretí zlomok:

Teraz je všetko pripravené na odčítanie. Zostáva vynásobiť zlomky ich ďalšími faktormi:

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré majú rovnakých (spoločných) menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať. Dokončime tento príklad.

Pokračovanie príkladu sa nezmestí na jeden riadok, preto posunieme pokračovanie na ďalší riadok. Nezabudnite na znamienko rovnosti (=) v novom riadku:

Odpoveď sa ukázala ako správny zlomok a zdá sa, že nám všetko vyhovuje, ale je príliš ťažkopádna a škaredá. Mali by sme to uľahčiť. Čo sa dá robiť? Tento zlomok môžete znížiť.

Ak chcete zlomok zmenšiť, musíte vydeliť jeho čitateľa a menovateľa (gcd) číslami 20 a 30.

Nájdeme teda GCD čísel 20 a 30:

Teraz sa vrátime k nášmu príkladu a vydelíme čitateľa a menovateľa zlomku nájdeným GCD, to znamená 10

Dostal som odpoveď

Násobenie zlomku číslom

Ak chcete vynásobiť zlomok číslom, musíte vynásobiť čitateľa daného zlomku týmto číslom a menovateľa ponechať rovnaký.

Príklad 1. Vynásobte zlomok číslom 1.

Vynásobte čitateľa zlomku číslom 1

Vstup je možné chápať tak, že zaberie polovičný 1 čas. Napríklad, ak si dáte pizzu 1 krát, dostanete pizzu

Zo zákonov násobenia vieme, že ak dôjde k zámene násobiteľa a násobiteľa, súčin sa nezmení. Ak je výraz napísaný ako , potom sa súčin bude stále rovnať . Opäť platí pravidlo pre násobenie celého čísla a zlomku:

Tento zápis možno chápať ako odber polovice jednotky. Napríklad, ak je 1 celá pizza a vezmeme si polovicu z nej, potom budeme mať pizzu:

Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa zlomku číslom 4

Odpoveď je nesprávny zlomok. Zoberme si z toho celú časť:

Výraz možno chápať ako brať dve štvrtiny 4 krát. Napríklad, ak si vezmete pizzu 4-krát, dostanete dve celé pizze.

A ak miestami zameníme násobilku a násobilku, dostaneme výraz. Bude sa rovnať aj 2. Tento výraz možno chápať ako odoberanie dvoch pizze zo štyroch celých pízz:

Násobenie zlomkov

Ak chcete vynásobiť zlomky, musíte vynásobiť ich čitateľov a menovateľov. Ak je odpoveďou nesprávny zlomok, musíte v nej vybrať celú časť.

Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu.

Dostal som odpoveď. Je žiaduce znížiť túto frakciu. Zlomok môže byť znížený o 2. Potom bude mať konečné riešenie nasledujúcu formu:

Výraz možno chápať tak, že si vezmete pizzu z polovice pizze. Povedzme, že máme polovicu pizze:

Ako odobrať dve tretiny z tejto polovice? Najprv musíte rozdeliť túto polovicu na tri rovnaké časti:

A vezmite si dva z týchto troch kusov:

Dáme si pizzu. Pamätajte si, ako vyzerá pizza rozdelená na tri časti:

Jeden plátok z tejto pizze a dva plátky, ktoré sme odobrali, budú mať rovnaké rozmery:

Inými slovami, hovoríme o rovnakej veľkosti pizze. Preto je hodnota výrazu

Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku:

Odpoveď je nesprávny zlomok. Zoberme si z toho celú časť:

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku:

Odpoveď sa ukázala ako správny zlomok, ale bude dobré, ak sa zníži. Ak chcete tento zlomok zmenšiť, musíte vydeliť čitateľa a menovateľa tohto zlomku najväčším spoločný deliteľ(gcd) čísla 105 a 450.

Takže nájdime GCD čísel 105 a 450:

Teraz vydelíme čitateľa a menovateľa našej odpovede na GCD, ktorú sme teraz našli, teda 15

Predstavuje celé číslo ako zlomok

Akékoľvek celé číslo môže byť vyjadrené ako zlomok. Napríklad číslo 5 môže byť reprezentované ako . Z toho päť nezmení svoj význam, pretože výraz znamená „číslo päť delené jedným“ a toto, ako viete, sa rovná piatim:

Obrátené čísla

Teraz sa zoznámime s zaujímavá téma v matematike. Hovorí sa tomu „obrátené čísla“.

Definícia. Obráťte sa na čísloa je číslo, ktoré po vynásobenía dáva jednotku.

Namiesto premennej dosadíme v tejto definícii ačíslo 5 a skúste si prečítať definíciu:

Obráťte sa na číslo 5 je číslo, ktoré po vynásobení 5 dáva jednotku.

Je možné nájsť číslo, ktoré po vynásobení 5 dáva jednotku? Ukazuje sa, že môžete. Predstavme päť ako zlomok:

Potom tento zlomok vynásobte sám, stačí vymeniť čitateľa a menovateľa. Inými slovami, vynásobme zlomok sám o sebe, len prevrátený:

Aký bude výsledok? Ak budeme pokračovať v riešení tohto príkladu, dostaneme jeden:

To znamená, že inverzná hodnota k číslu 5 je číslo, pretože keď sa 5 vynásobí jednotkou, dostaneme jednotku.

Prevrátenú hodnotu možno nájsť aj pre akékoľvek iné celé číslo.

Môžete tiež nájsť prevrátenú hodnotu pre akýkoľvek iný zlomok. K tomu ho stačí otočiť.

Delenie zlomku číslom

Povedzme, že máme polovicu pizze:

Rozdeľme to rovným dielom medzi dvoch. Koľko pizze dostane každý?

Je vidieť, že po rozdelení polovice pizze sa získali dva rovnaké kusy, z ktorých každý tvorí pizzu. Takže každý dostane pizzu.

Delenie zlomkov sa robí pomocou reciprokých. Recipročné vám umožňujú nahradiť delenie násobením.

Ak chcete rozdeliť zlomok číslom, musíte tento zlomok vynásobiť prevrátenou hodnotou deliteľa.

Pomocou tohto pravidla si zapíšeme rozdelenie našej polovice pizze na dve časti.

Preto musíte zlomok vydeliť číslom 2. Dividenda je tu zlomok a deliteľ je 2.

Ak chcete rozdeliť zlomok číslom 2, musíte tento zlomok vynásobiť prevrátenou hodnotou deliteľa 2. Prevrátená hodnota deliteľa 2 je zlomok. Takže musíte násobiť

Čitateľ a to, čím sa delí, je menovateľ.

Ak chcete napísať zlomok, najprv napíšte jeho čitateľa, potom pod toto číslo nakreslite vodorovnú čiaru a pod čiaru napíšte menovateľa. Vodorovná čiara oddeľujúca čitateľa a menovateľa sa nazýva zlomková čiara. Niekedy sa zobrazuje ako šikmé „/“ alebo „∕“. V tomto prípade sa čitateľ píše naľavo od riadku a menovateľ napravo. Takže napríklad zlomok „dve tretiny“ sa zapíše ako 2/3. Kvôli prehľadnosti sa čitateľ zvyčajne píše v hornej časti riadku a menovateľ v dolnej časti, teda namiesto 2/3, nájdete: ⅔.

Ak chcete vypočítať súčin zlomkov, najprv vynásobte čitateľa jednej zlomky do iného čitateľa. Výsledok zapíšte do čitateľa nového zlomky. Potom vynásobte aj menovateľov. Zadajte konečnú hodnotu v novom zlomky. Napríklad 1/3? 1/5 = 1/15 (1 x 1 = 1; 3 x 5 = 15).

Ak chcete rozdeliť jeden zlomok druhým, najprv vynásobte čitateľa prvého zlomku menovateľom druhého. Urobte to isté s druhým zlomkom (deliteľom). Alebo pred vykonaním všetkých krokov najprv „otočte“ deliteľa, ak je to pre vás pohodlnejšie: menovateľ by mal byť namiesto čitateľa. Potom vynásobte menovateľa dividendy novým menovateľom deliteľa a vynásobte čitateľov. Napríklad 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).

Zdroje:

• Základné úlohy pre zlomky

Zlomkové čísla vám umožňujú vyjadriť presnú hodnotu množstva rôznymi spôsobmi. So zlomkami môžete vykonávať rovnaké matematické operácie ako s celými číslami: odčítanie, sčítanie, násobenie a delenie. Aby ste sa naučili, ako sa rozhodnúť zlomky, je potrebné pamätať na niektoré ich vlastnosti. Závisia od typu zlomky, prítomnosť celočíselnej časti, spoločného menovateľa. Niektoré aritmetické operácie po vykonaní vyžadujú zníženie zlomkovej časti výsledku.

Budete potrebovať

• - kalkulačka

Inštrukcia

Pozrite sa pozorne na čísla. Ak sú medzi zlomkami desatinné miesta a nepravidelnosti, niekedy je vhodnejšie najprv vykonať akcie s desatinnými miestami a potom ich previesť do nesprávneho tvaru. Môžete preložiť zlomky v tejto forme na začiatku napíšte hodnotu za desatinnou čiarkou v čitateli a vložte 10 do menovateľa. Ak je to potrebné, zlomok znížte vydelením čísel nad a pod jedným deliteľom. Zlomky, v ktorých vyniká celá časť, vedú k nesprávnemu tvaru vynásobením menovateľom a pridaním čitateľa k výsledku. Táto hodnota sa stane novým čitateľom zlomky. Vytiahnuť celú časť z pôvodne nesprávneho zlomky, vydeľte čitateľa menovateľom. Napíšte celý výsledok z zlomky. A zvyšok delenia sa stáva novým čitateľom, menovateľom zlomky pričom sa nezmení. Pre zlomky s celočíselnou časťou je možné vykonávať akcie samostatne, najprv pre celé číslo a potom pre zlomkové časti. Napríklad je možné vypočítať súčet 1 2/3 a 2 ¾:
- Prevod zlomkov do nesprávneho tvaru:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Súčet oddelených celých a zlomkových častí pojmov:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Prepíšte ich cez oddeľovač ":" a pokračujte v obvyklom delení.

Ak chcete získať konečný výsledok, znížte výsledný zlomok vydelením čitateľa a menovateľa jedným celým číslom, v tomto prípade najväčším. V tomto prípade musia byť nad a pod čiarou celé čísla.

Poznámka

Nerobte aritmetiku so zlomkami, ktoré majú rôznych menovateľov. Vyberte číslo také, že keď sa ním vynásobí čitateľ a menovateľ každého zlomku, v dôsledku toho sa menovatelia oboch zlomkov rovnajú.

Užitočné rady

Pri nahrávaní zlomkové čísla dividenda sa píše nad čiarou. Toto množstvo sa označuje ako čitateľ zlomku. Pod čiarou sa píše deliteľ alebo menovateľ zlomku. Napríklad jeden a pol kilogramu ryže vo forme zlomku bude napísané takto: 1 ½ kg ryže. Ak je menovateľ zlomku 10, nazýva sa desatinný zlomok. V tomto prípade sa čitateľ (dividenda) píše napravo od celej časti oddelenej čiarkou: 1,5 kg ryže. Pre pohodlie výpočtov môže byť takýto zlomok vždy napísaný v nesprávnom tvare: 1 2/10 kg zemiakov. Pre zjednodušenie môžete znížiť hodnoty čitateľa a menovateľa tak, že ich vydelíte jedným celým číslom. V tomto príklade je možné delenie číslom 2. Výsledkom je 1 1/5 kg zemiakov. Uistite sa, že čísla, s ktorými budete robiť aritmetiku, sú v rovnakom tvare.

Inštrukcia

Je zvykom oddeľovať obyčajné a desatinné zlomky, zoznámenie s ktorým sa začína v stredná škola. V súčasnosti neexistuje taká oblasť poznania, kde by sa to neuplatňovalo. Aj v r hovoríme o prvom 17. storočí a to všetko naraz, čiže 1600-1625. Často sa tiež musíte zaoberať základnými operáciami na , ako aj ich transformáciou z jednej formy do druhej.

Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa je možno najdôležitejšou operáciou. Je základom všetkých výpočtov. Povedzme teda, že sú dve zlomky a/b a c/d. Potom, aby ste ich priviedli k spoločnému menovateľovi, musíte nájsť najmenší spoločný násobok (M) čísel b a d a potom vynásobiť čitateľa prvého zlomky na (M/b) a druhý čitateľ na (M/d).

Porovnávanie zlomkov je ďalšou dôležitou úlohou. Ak to chcete urobiť, dajte daný jednoduchý zlomky k spoločnému menovateľovi a potom porovnajte čitateľov, ktorých čitateľ je väčší, ten zlomok je väčší.

Ak chcete vykonať sčítanie alebo odčítanie bežných zlomkov, musíte ich priviesť k spoločnému menovateľovi a potom z týchto zlomkov vykonať potrebné matematické operácie. Menovateľ zostáva nezmenený. Predpokladajme, že potrebujete odpočítať c/d od a/b. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť najmenší spoločný násobok M čísel b a d a potom odpočítať druhý od jedného čitateľa bez zmeny menovateľa: (a*(M/b)-(c*(M/d) )/M

Stačí vynásobiť jeden zlomok druhým, na to stačí vynásobiť ich čitateľov a menovateľov:
(a / b) * (c / d) \u003d (a * c) / (b * d) Ak chcete rozdeliť jeden zlomok druhým, musíte vynásobiť zlomok dividendy prevrátenou hodnotou deliteľa. (a/b)/(c/d)=(a*d)/(b*c)
Je potrebné pripomenúť, že ak chcete získať recipročné, musíte vymeniť čitateľa a menovateľa.

V matematike odlišné typyčísla boli študované od jeho počiatku. Existuje veľké množstvo množín a podmnožín čísel. Medzi nimi sú celé čísla, racionálne, iracionálne, prirodzené, párne, nepárne, komplexné a zlomkové. Dnes budeme analyzovať informácie o poslednej množine - zlomkové čísla.

Definícia zlomkov

Zlomky sú čísla pozostávajúce z celej časti a zlomkov jednotky. Rovnako ako celé čísla, medzi dvoma celými číslami je nekonečný počet zlomkových čísel. V matematike sa vykonávajú operácie so zlomkami, keďže s celými číslami a prirodzené čísla. Je to celkom jednoduché a dá sa to naučiť za pár lekcií.

Článok predstavuje dva typy

Bežné zlomky

Obyčajné zlomky sú celá časť a a dve čísla zapísané cez zlomkovú čiaru b/c. Bežné zlomky môžu byť veľmi užitočné, ak zlomkovú časť nemožno zaznamenať v racionálnej desatinnej forme. Okrem toho je pohodlnejšie vykonávať aritmetické operácie cez zlomkovú čiaru. Horná časť sa nazýva čitateľ, spodná časť je menovateľ.

Akcie s obyčajnými zlomkami: príklady

Základná vlastnosť zlomku. O ak vynásobíte čitateľa a menovateľa rovnakým číslom, ktoré nie je nula, výsledkom je číslo, ktoré sa rovná danému. Táto vlastnosť zlomku pomáha získať menovateľa na sčítanie (o tom sa bude diskutovať nižšie) alebo zmenšiť zlomok, čím sa stáva vhodnejším na počítanie. a/b = a*c/b*c. Napríklad 36/24 = 6/4 alebo 9/13 = 18/26

Redukcia na spoločného menovateľa. Ak chcete uviesť menovateľa zlomku, musíte menovateľa reprezentovať vo forme faktorov a potom ho vynásobiť chýbajúcimi číslami. Napríklad 7/15 a 12/30; 7/5*3 a 12/5*3*2. Vidíme, že menovatelia sa líšia dvoma, preto čitateľa a menovateľa prvého zlomku vynásobíme 2. Dostaneme: 14/30 a 12/30.

Zložené frakcie- obyčajné zlomky so zvýraznenou celočíselnou časťou. (A b/c) Ak chcete reprezentovať zložený zlomok ako spoločný zlomok, vynásobte číslo pred zlomkom menovateľom a potom ho pridajte do čitateľa: (A*c + b)/c.

Aritmetické operácie so zlomkami

Nebude zbytočné brať do úvahy známe aritmetické operácie iba pri práci s zlomkovými číslami.

Sčítanie a odčítanie. Sčítanie a odčítanie zlomkov je rovnako jednoduché ako celé čísla, s výnimkou jednej obtiažnosti – prítomnosti zlomkovej čiary. Pri sčítavaní zlomkov s rovnakým menovateľom je potrebné sčítať len čitateľov oboch zlomkov, menovatele zostávajú nezmenené. Napríklad: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

Ak sú menovateľmi dvoch zlomkov rôzne čísla, najprv ich musíte priviesť k spoločnému (ako je uvedené vyššie). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Odčítanie prebieha presne podľa toho istého princípu: 8/9 - 2/3 \u003d 8/9 - 6/9 \u003d 2/9.

Násobenie a delenie. Akcie so zlomkami násobením sa vyskytujú podľa nasledujúceho princípu: čitatelia a menovatelia sa násobia oddelene. AT všeobecný pohľad vzorec na násobenie vyzerá takto: a/b *c/d = a*c/b*d. Okrem toho pri násobení môžete zlomok zmenšiť odstránením rovnakých faktorov z čitateľa a menovateľa. V inom jazyku sú čitateľ a menovateľ deliteľné rovnakým číslom: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.

Ak chcete rozdeliť jeden obyčajný zlomok druhým, musíte zmeniť čitateľa a menovateľa deliteľa a vykonať násobenie dvoch zlomkov podľa princípu diskutovaného vyššie: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/11*25 = 1/5

Desatinné čísla

Desatinné čísla sú populárnejšou a bežne používanou verziou zlomkových čísel. Ľahšie sa zapisujú do riadku alebo prezentujú na počítači. Štruktúra desatinného zlomku je nasledovná: najprv sa zapíše celé číslo a potom za desatinnou čiarkou sa zapíše zlomková časť. Desatinné zlomky sú vo svojej podstate zložené zlomky, ale ich zlomkovú časť predstavuje číslo delené násobkom 10. Odtiaľ pochádza ich názov. Operácie s desatinnými zlomkami sú podobné operáciám s celými číslami, pretože sú tiež zapísané v desiatkovej číselnej sústave. Na rozdiel od bežných zlomkov môžu byť desatinné čísla iracionálne. To znamená, že môžu byť nekonečné. Sú napísané ako 7, (3). Znie tento zápis: sedem celých, tri desatiny v období.

Základné operácie s desatinnými číslami

Sčítanie a odčítanie desatinných zlomkov. Vykonávanie akcií so zlomkami nie je o nič ťažšie ako s celými prirodzenými číslami. Pravidlá sú úplne rovnaké ako pri sčítaní alebo odčítaní prirodzených čísel. Rovnakým spôsobom ich možno považovať aj za stĺpec, v prípade potreby však chýbajúce miesta nahraďte nulami. Napríklad: 5,5697 – 1,12. Ak chcete vykonať odčítanie stĺpcov, musíte vyrovnať počet čísel za desatinnou čiarkou: (5,5697 - 1,1200). Číselná hodnota sa teda nezmení a môže sa počítať v stĺpci.

Akcie s desatinné miesta nemožno vyrobiť, ak jeden z nich má iracionálnu formu. Aby ste to dosiahli, musíte obe čísla previesť na bežné zlomky a potom použiť techniky opísané vyššie.

Násobenie a delenie. Násobenie desatinných miest je podobné ako násobenie prirodzených čísel. Môžu byť tiež vynásobené stĺpcom, jednoducho ignorujúc čiarku, a potom oddelené čiarkou v konečnej hodnote rovnaký počet číslic, ako bol súčet za desatinnou čiarkou v dvoch desatinných zlomkoch. Napríklad 1,5 * 2,23 = 3,345. Všetko je veľmi jednoduché a nemalo by spôsobovať ťažkosti, ak ste už zvládli násobenie prirodzených čísel.

Delenie sa tiež zhoduje s delením prirodzených čísel, ale s miernou degresiou. Rozdeliť sa na desiatkové číslo musíte zahodiť čiarku v deliteľovi a vynásobiť deliteľa počtom číslic za desatinnou čiarkou v deliteľovi. Potom vykonajte delenie ako pri prirodzených číslach. Pri neúplnom delení môžete k dividende napravo pridať nuly a za desatinnú čiarku pridať aj nulu.

Príklady akcií s desatinnými zlomkami. Desatinné čísla sú veľmi užitočným nástrojom na aritmetické počítanie. Spájajú pohodlie prirodzených, celých čísel a presnosť bežných zlomkov. Okrem toho je celkom jednoduché previesť jeden zlomok na druhý. Operácie so zlomkami sa nelíšia od operácií s prirodzenými číslami.

1. Sčítanie: 1,5 + 2,7 = 4,2
2. Odčítanie: 3,1 - 1,6 = 1,5
3. Násobenie: 1,7 * 2,3 = 3,91
4. Delenie: 3,6: 0,6 = 6

Okrem toho sú desatinné miesta vhodné na vyjadrenie percent. Takže 100 % = 1; 60 % = 0,6; a naopak: 0,659 = 65,9 %.

To je všetko, čo potrebujete vedieť o zlomkoch. Článok zvažoval dva typy zlomkov - obyčajné a desatinné. Obe sa počítajú celkom jednoducho a ak úplne ovládate prirodzené čísla a operácie s nimi, pokojne sa môžete pustiť do učenia zlomkových.

Ak chcete časť vyjadriť ako zlomok celku, musíte časť rozdeliť celkom.

Úloha 1. V triede je 30 žiakov, štyria chýbajú. Aký podiel študentov chýba?

Riešenie:

odpoveď: v triede nie sú žiadni žiaci.

Nájdenie zlomku z čísla

Na riešenie problémov, v ktorých je potrebné nájsť časť celku, platí nasledujúce pravidlo:

Ak je časť celku vyjadrená ako zlomok, potom na nájdenie tejto časti môžete celok vydeliť menovateľom zlomku a výsledok vynásobiť jeho čitateľom.

Úloha 1. Bolo tam 600 rubľov, táto suma bola vynaložená. Koľko peňazí ste minuli?

Riešenie: ak chcete nájsť od 600 rubľov, musíte túto sumu rozdeliť na 4 časti, čím zistíme, koľko peňazí je jedna štvrtina:

600 : 4 = 150 (p.)

odpoveď: strávil 150 rubľov.

Úloha 2. Bolo to 1 000 rubľov, táto suma bola vynaložená. Koľko peňazí sa minulo?

Riešenie: Zo stavu problému vieme, že 1 000 rubľov pozostáva z piatich rovnakých častí. Najprv zistíme, koľko rubľov je jedna pätina z 1 000, a potom zistíme, koľko rubľov sú dve pätiny:

1) 1000: 5 = 200 (p.) - jedna pätina.

2) 200 2 \u003d 400 (str.) - dve pätiny.

Tieto dve akcie možno kombinovať: 1 000 : 5 2 = 400 (p.).

odpoveď: minulo sa 400 rubľov.

Druhý spôsob, ako nájsť časť celku:

Ak chcete nájsť časť celku, môžete celok vynásobiť zlomkom vyjadrujúcim túto časť celku.

Úloha 3. Pre platnosť ohlasovacej schôdze sa podľa stanov družstva musia na nej zúčastniť aspoň členovia organizácie. Družstvo má 120 členov. V akom zložení sa môže uskutočniť spravodajské stretnutie?

Riešenie:

odpoveď: spravodajská schôdza sa môže konať, ak má organizácia 80 členov.

Nájdenie čísla podľa jeho zlomku

Na riešenie problémov, v ktorých je potrebné nájsť celok podľa jeho častí, platí nasledujúce pravidlo:

Ak je časť požadovaného celého čísla vyjadrená ako zlomok, potom na nájdenie tohto celého čísla môžete túto časť vydeliť čitateľom zlomku a výsledok vynásobiť jeho menovateľom.

Úloha 1. Strávili sme 50 rubľov, čo predstavovalo pôvodnú sumu. Nájdite pôvodnú sumu peňazí.

Riešenie: z popisu problému vidíme, že 50 rubľov je 6-krát menej ako počiatočná suma, t. j. počiatočná suma je 6-krát vyššia ako 50 rubľov. Ak chcete zistiť túto sumu, musíte vynásobiť 50 x 6:

50 6 = 300 (r.)

odpoveď: počiatočná suma je 300 rubľov.

Úloha 2. Strávili sme 600 rubľov, čo predstavovalo počiatočnú sumu peňazí. Nájdite pôvodnú sumu.

Riešenie: budeme predpokladať, že požadovaný počet pozostáva z troch tretín. Podľa podmienok sa dve tretiny čísla rovnajú 600 rubľov. Najprv zistíme jednu tretinu pôvodnej sumy a potom, koľko rubľov sú tri tretiny (počiatočná suma):

1) 600 : 2 3 = 900 (p.)

odpoveď: počiatočná suma je 900 rubľov.

Druhý spôsob, ako nájsť celok podľa jeho častí:

Ak chcete nájsť celok podľa hodnoty jeho časti, môžete túto hodnotu vydeliť zlomkom, ktorý túto časť vyjadruje.

Úloha 3.Úsečka AB, rovná 42 cm, je dĺžka segmentu CD. Nájdite dĺžku segmentu CD.

Riešenie:

odpoveď: dĺžka segmentu CD 70 cm

Úloha 4. Do obchodu boli prinesené vodné melóny. Pred obedom obchod predal, po obede priniesol vodné melóny a zostáva predať 80 melónov. Koľko melónov bolo celkovo prinesených do obchodu?

Riešenie: najprv zistíme, aká časť dovezených melónov je číslo 80. Aby sme to urobili, berieme ako jednotku celkový počet dovezených melónov a odpočítame od neho počet melónov, ktoré sa nám podarilo predať (predať):

A tak sme sa dozvedeli, že 80 vodných melónov je z Celkom dovážané vodné melóny. Teraz zistíme, koľko melónov z celkového množstva je, a potom koľko melónov je (počet prinesených melónov):

2) 80:4 15 = 300 (vodové melóny)

odpoveď: celkovo bolo do predajne privezených 300 melónov.