Pokračujeme v rozhovore o najpoužívanejších vzorcoch v trigonometrii. Najdôležitejšie z nich sú sčítacie vzorce.

Definícia 1

Sčítacie vzorce umožňujú vyjadriť funkcie rozdielu alebo súčtu dvoch uhlov pomocou goniometrických funkcií týchto uhlov.

Na začiatok predstavíme úplný zoznam sčítacie vzorce, potom ich dokážeme a rozoberieme niekoľko názorných príkladov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Základné sčítacie vzorce v trigonometrii

Existuje osem základných vzorcov: sínus súčtu a sínus rozdielu dvoch uhlov, kosínus súčtu a rozdielu, dotyčnice a kotangens súčtu a rozdielu. Nižšie sú uvedené ich štandardné formulácie a výpočty.

1. Sínus súčtu dvoch uhlov možno získať takto:

Vypočítame súčin sínusu prvého uhla s kosínusom druhého;

Vynásobte kosínus prvého uhla sínusom prvého uhla;

Výsledné hodnoty spočítajte.

Grafický zápis vzorca vyzerá takto: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

2. Sínus rozdielu sa vypočíta takmer rovnako, len výsledné produkty sa nesmú sčítavať, ale navzájom odčítavať. Vypočítame teda súčin sínusu prvého uhla kosínusom druhého a kosínusu prvého uhla sínusom druhého a nájdeme ich rozdiel. Vzorec je napísaný takto: sin (α - β) = sin α cos β + sin α sin β

3. Kosínus súčtu. Pre ňu nájdeme súčin kosínusu prvého uhla kosínusom druhého a sínusu prvého uhla sínusom druhého a zistíme ich rozdiel: cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

4. Kosínusový rozdiel: vypočítame súčin sínusov a kosínusov daných uhlov ako predtým a sčítame ich. Vzorec: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. Tangenta súčtu. Tento vzorec je vyjadrený ako zlomok, v čitateli ktorého je súčet dotyčníc požadovaných uhlov a v menovateli je jednotka, od ktorej sa odpočítava súčin dotyčníc požadovaných uhlov. Z jej grafického zápisu je všetko jasné: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α t g β

6. Tangenta rozdielu. Vypočítame hodnoty rozdielu a súčin dotyčníc týchto uhlov a zaobchádzame s nimi podobným spôsobom. V menovateli pripočítavame k jednotke a nie naopak: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

7. Kotangens súčtu. Na výpočty pomocou tohto vzorca potrebujeme súčin a súčet kotangens týchto uhlov, s ktorými postupujeme nasledovne: c t g (α + β) = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β

8. Kotangens rozdielu . Vzorec je podobný predchádzajúcemu, ale v čitateli a menovateli - mínus, a nie plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β.

Pravdepodobne ste si všimli, že tieto vzorce sú párovo podobné. Pomocou znamienok ± (plus-mínus) a ∓ (mínus-plus) ich môžeme zoskupiť pre ľahšiu notáciu:

sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 g ∓ t g c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

V súlade s tým máme jeden záznamový vzorec pre súčet a rozdiel každej hodnoty, len v jednom prípade venujeme pozornosť hornému znamienku, v druhom - dolnému.

Definícia 2

Môžeme vziať ľubovoľné uhly α a β a sčítacie vzorce pre kosínus a sínus budú pre ne fungovať. Ak dokážeme správne určiť hodnoty dotyčníc a kotangens týchto uhlov, budú pre ne platné aj sčítacie vzorce pre dotyčnicu a kotangens.

Ako väčšina pojmov v algebre, aj sčítacie vzorce sa dajú dokázať. Prvý vzorec, ktorý dokážeme, je rozdiel kosínusového vzorca. Z toho potom ľahko vydedukujete zvyšok dôkazov.

Ujasnime si základné pojmy. Potrebujeme jednotkový kruh. Ukáže sa to, ak vezmeme určitý bod A a otočíme okolo stredu (bod O) uhly α a β. Potom sa uhol medzi vektormi O A 1 → a O A → 2 bude rovnať (α - β) + 2 π z alebo 2 π - (α - β) + 2 π z (z je ľubovoľné celé číslo). Výsledné vektory zvierajú uhol, ktorý sa rovná α - β alebo 2 π - (α - β), alebo sa môže od týchto hodnôt líšiť o celý počet úplných otáčok. Pozrite sa na obrázok:

Použili sme redukčné vzorce a získali sme nasledujúce výsledky:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

Zrátané a podčiarknuté: kosínus uhla medzi vektormi O A 1 → a O A 2 → sa rovná kosínusu uhla α - β, teda cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β) .

Pripomeňme si definície sínusu a kosínusu: sínus je funkciou uhla, ktorý sa rovná pomeru ramena opačného uhla k prepone, kosínus je sínus dodatočného uhla. Preto tie body A 1 a A2 majú súradnice (cos α , sin α) a (cos β , sin β) .

Získame nasledovné:

O A 1 → = (cos α , sin α) a O A 2 → = (cos β , sin β)

Ak to nie je jasné, pozrite sa na súradnice bodov umiestnených na začiatku a konci vektorov.

Dĺžky vektorov sú rovné 1, pretože máme jeden kruh.

Analyzujme teraz skalárny súčin vektorov O A 1 → a O A 2 → . V súradniciach to vyzerá takto:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α cos β + sin α sin β

Z toho môžeme odvodiť rovnosť:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Tým je dokázaný vzorec pre kosínus rozdielu.

Teraz dokážeme nasledujúci vzorec - kosínus súčtu. Je to jednoduchšie, pretože môžeme použiť predchádzajúce výpočty. Vezmite reprezentáciu α + β = α - (- β) . Máme:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

Toto je dôkaz vzorca pre kosínus súčtu. Posledný riadok využíva vlastnosť sínusu a kosínusu opačných uhlov.

Vzorec pre sínus súčtu možno odvodiť zo vzorca pre kosínus rozdielu. Zoberme si na to redukčný vzorec:

tvaru sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) . Takže
sin (α + β) \u003d cos (π 2 (α + β)) \u003d cos ((π 2 - α) - β) \u003d \u003d cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

A tu je dôkaz vzorca pre sínus rozdielu:

sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Všimnite si použitie sínusových a kosínusových vlastností opačných uhlov v poslednom výpočte.

Ďalej potrebujeme dôkazy sčítacích vzorcov pre dotyčnicu a kotangens. Pripomeňme si základné definície (tangens je pomer sínusu ku kosínusu a kotangens je naopak) a zoberme si už vopred odvodené vzorce. Dokázali sme to:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

Máme zložitý zlomok. Ďalej musíme rozdeliť jeho čitateľa a menovateľa cos α cos β , keďže cos α ≠ 0 a cos β ≠ 0 , dostaneme:
sin α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β = sin α cos β cos α cos β + cos α sin β cos α cosα cosα cos β cos β - sin α sin β cos α cos β

Teraz zlomky zredukujeme a dostaneme vzorec v nasledujúcom tvare: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α t g β.
Dostali sme t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β . Toto je dôkaz vzorca na sčítanie dotyčníc.

Ďalší vzorec, ktorý dokážeme, je vzorec rozdielovej tangenty. Všetko je jasne znázornené vo výpočtoch:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

Vzorce pre kotangens sú dokázané podobným spôsobom:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α cos β - sin α sin β sin α cos β + cos α sin β = = cos α cos β - sin α sin β sin α sin β sin α cos β + cos α sin β sin α sin β = cos α cos β sin α sin β - 1 sin α cos β sin α sin β + cos α sin β sin α sin β + c = = - α c t g β c t g α + c t g β
ďalej:
c t g (α - β) = c t g   (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g

Sčítacie vzorce sa používajú na vyjadrenie pomocou sínusov a kosínusov uhlov a a b, hodnôt funkcií cos (a + b), cos (a-b), sin (a + b), sin (a-b).

Sčítacie vzorce pre sínusy a kosínusy

Veta: Pre ľubovoľné a a b platí nasledujúca rovnosť cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

Dokážme túto vetu. Zvážte nasledujúci obrázok:

Na ňom sa body Ma, M-b, M(a+b) získajú otáčaním bodu Mo o uhly a, -b a a+b. Z definícií sínusu a kosínusu budú súradnice týchto bodov nasledovné: Ma(cos(a); sin(a)), M-b (cos(-b); sin(-b)), M(a+ b) (cos(a+b);sin(a+b)). Uhol MoOM (a + b) \u003d uhol M-bOM, preto sú trojuholníky MoOM (a + b) a M-bOM rovnaké a sú rovnoramenné. Takže základy MoM (a-b) a M-bMa sú tiež rovnaké. Preto (MoM(a-b))^2 = (M-bMa)^2. Pomocou vzorca pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi dostaneme:

(1 - cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) - cos(a))^2 + (sin(-b) - sin(a) )^2.

sin(-a) = -sin(a) a cos(-a) = cos(a). Transformujme našu rovnosť, berúc do úvahy tieto vzorce a druhú mocninu súčtu a rozdielu, potom:

1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 - 2*cos(b)*cos (a) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.

Teraz použijeme základnú trigonometrickú identitu:

2-2*cos(a+b) = 2 - 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b).

Dáme podobné a znížime o -2:

cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b). Q.E.D.

Platné sú aj nasledujúce vzorce:

• cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b);
• sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b);
• sin(a-b) = sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b).

Tieto vzorce možno získať z vyššie uvedeného vzorca použitím redukčných vzorcov a nahradením b -b. Pre tangens a kotangens existujú aj sčítacie vzorce, ale nebudú platné pre žiadne argumenty.

Vzorce na sčítanie dotyčníc a kotangens

Pre akékoľvek uhly a,b okrem a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n a a+b =pi/2 +pi*m, pre ľubovoľné celé čísla k,n,m bude platiť nasledujúci vzorec:

tg(a+b) = (tg(a) + tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

Pre akékoľvek uhly a,b okrem a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n a a-b =pi/2 +pi*m, pre všetky celé čísla k,n,m bude platiť nasledujúci vzorec :

tg(a-b) = (tg(a)-tg(b))/(1+tg(a)*tg(b)).

Pre všetky uhly a,b okrem a=pi*k, b=pi*n, a+b = pi*m a pre všetky celé čísla k,n,m bude platiť nasledujúci vzorec:

ctg(a+b) = (ctg(a)*ctg(b)-1)/(ctg(b)+ctg(a)).

Pomery medzi hlavnými goniometrickými funkciami - sínus, kosínus, tangens a kotangens - sú uvedené trigonometrické vzorce. A keďže medzi goniometrickými funkciami je pomerne veľa spojení, vysvetľuje to aj množstvo goniometrických vzorcov. Niektoré vzorce spájajú goniometrické funkcie rovnakého uhla, iné - funkcie viacnásobného uhla, iné - umožňujú znížiť stupeň, štvrtý - vyjadriť všetky funkcie prostredníctvom tangens polovičného uhla atď.

V tomto článku uvedieme v poradí všetky hlavné trigonometrické vzorce, ktoré sú dostatočné na vyriešenie veľkej väčšiny problémov s trigonometriou. Pre ľahšie zapamätanie a používanie ich zoskupíme podľa účelu a zapíšeme do tabuliek.

Navigácia na stránke.

Základné goniometrické identity

Hlavné trigonometrické identity nastavte vzťah medzi sínusom, kosínusom, tangentom a kotangensom jedného uhla. Vyplývajú z definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu, ako aj z pojmu jednotkový kruh. Umožňujú vám vyjadriť jednu goniometrickú funkciu prostredníctvom ktorejkoľvek inej.

Podrobný popis týchto trigonometrických vzorcov, ich odvodenie a príklady použitia nájdete v článku.

Odlievané vzorce

Odlievané vzorce vyplývajú z vlastností sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu, teda odrážajú vlastnosť periodicity goniometrických funkcií, vlastnosť symetrie a tiež vlastnosť posunu o daný uhol. Tieto trigonometrické vzorce vám umožňujú prejsť od práce s ľubovoľnými uhlami k práci s uhlami v rozsahu od nuly do 90 stupňov.

Zdôvodnenie týchto vzorcov, mnemotechnické pravidlo na ich zapamätanie a príklady ich použitia si môžete prečítať v článku.

Sčítacie vzorce

Goniometrické sčítacie vzorce ukážte, ako sú goniometrické funkcie súčtu alebo rozdielu dvoch uhlov vyjadrené pomocou goniometrických funkcií týchto uhlov. Tieto vzorce slúžia ako základ pre odvodenie nasledujúcich goniometrických vzorcov.

Vzorce pre dvojité, trojité atď. uhol

Vzorce pre dvojité, trojité atď. uhla (nazývajú sa aj viacuhlové vzorce) ukazujú, ako goniometrické funkcie dvojitého, trojitého atď. uhly () sú vyjadrené ako trigonometrické funkcie jedného uhla. Ich odvodenie je založené na adičných vzorcoch.

Podrobnejšie informácie sú zhromaždené vo vzorcoch článku pre dvojité, trojité atď. uhol .

Vzorce polovičného uhla

Vzorce polovičného uhla ukazujú, ako sú goniometrické funkcie polovičného uhla vyjadrené ako kosínus celočíselného uhla. Tieto trigonometrické vzorce vyplývajú zo vzorcov dvojitý uhol.

Ich záver a príklady aplikácie nájdete v článku.

Redukčné vzorce

Trigonometrické vzorce na znižovanie stupňov sú navrhnuté tak, aby uľahčili prechod od prirodzených mocnín goniometrických funkcií na sínusy a kosínusy v prvom stupni, ale s viacerými uhlami. Inými slovami, umožňujú znížiť mocniny goniometrických funkcií na prvé.

Vzorce pre súčet a rozdiel goniometrických funkcií

hlavný cieľ súčtové a rozdielové vzorce pre goniometrické funkcie je prejsť na súčin funkcií, čo je veľmi užitočné pri zjednodušovaní trigonometrické výrazy. Tieto vzorce sú tiež široko používané pri riešení goniometrických rovníc, pretože umožňujú faktorizáciu súčtu a rozdielu sínusov a kosínusov.

Vzorce na súčin sínusov, kosínusov a sínus po kosínu

Prechod od súčinu goniometrických funkcií k súčtu alebo rozdielu sa uskutočňuje prostredníctvom vzorcov pre súčin sínusov, kosínusov a sínus po kosínusu.

Univerzálna trigonometrická substitúcia

Prehľad základných vzorcov trigonometrie doplňujeme o vzorce vyjadrujúce goniometrické funkcie z hľadiska tangens polovičného uhla. Táto náhrada je tzv univerzálna trigonometrická substitúcia. Jeho výhoda spočíva v tom, že všetky goniometrické funkcie sú vyjadrené v tangente polovičného uhla racionálne bez koreňov.

Bibliografia.

• Algebra: Proc. pre 9 buniek. priem. škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Osvietenstvo, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bašmakov M.I. Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 buniek. priem. školy - 3. vyd. - M.: Osveta, 1993. - 351 s.: chor. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra a začiatok rozboru: Proc. pre 10-11 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. vyd.- M.: Osveta, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.

Autorské práva šikovných študentov

Všetky práva vyhradené.
Chránené autorským zákonom. Žiadna časť stránky, vrátane interných materiálov a vonkajšieho dizajnu, nesmie byť reprodukovaná v žiadnej forme ani použitá bez predchádzajúceho písomného súhlasu držiteľa autorských práv.

Nebudem vás presviedčať, aby ste nepísali cheaty. Napíšte! Vrátane cheatov na trigonometriu. Neskôr plánujem vysvetliť, prečo sú cheaty potrebné a ako sú cheaty užitočné. A tu - informácie o tom, ako sa neučiť, ale zapamätať si niektoré trigonometrické vzorce. Takže - trigonometria bez cheat sheet! Používame asociácie na zapamätanie.

1. Vzorce na sčítanie:

kosínusy vždy "chodia v pároch": kosínus-kosínus, sínus-sínus. A ešte jedna vec: kosínusy sú „neadekvátne“. Oni „všetko nie je v poriadku“, a tak menia znamienka: „-“ na „+“ a naopak.

Sínusy - "mix": sínus-kosínus, kosínus-sínus.

2. Vzorce súčtu a rozdielu:

kosínusy vždy „chodia vo dvojici“. Po pridaní dvoch kosínusov - "buchty", dostaneme pár kosínusov - "kolobok". A keď odpočítame, určite nedostaneme koloboky. Dostaneme pár sínusov. Stále s mínusom dopredu.

Sínusy - "mix" :

3. Vzorce na prepočet súčinu na súčet a rozdiel.

Kedy získame pár kosínusov? Pri pridávaní kosínusov. Preto

Kedy dostaneme pár sínusov? Pri odčítaní kosínusov. Odtiaľ:

"Zmiešanie" sa dosiahne pridaním a odčítaním sínusov. Čo je zábavnejšie: pridávať alebo uberať? Správne, zložiť. A pre vzorec pridajte:

V prvom a treťom vzorci v zátvorkách - suma. Od preskupenia miest pojmov sa súčet nemení. Poradie je dôležité len pre druhý vzorec. Aby sme sa však nemýlili, pre ľahšie zapamätanie vo všetkých troch vzorcoch v prvých zátvorkách berieme rozdiel

a po druhé, súčet

Obliečky do postieľky vo vrecku poskytujú pokoj: ak zabudnete vzorec, môžete si ho odpísať. A dávajú dôveru: ak sa vám nepodarí použiť cheat sheet, vzorce sa dajú ľahko zapamätať.