V kurze základnej geometrie je dokázané, že súčet uhlov konvexného n-uholníka je 180° (n-2). Ukazuje sa, že toto tvrdenie platí aj pre nekonvexné polygóny.

Veta 3. Súčet uhlov ľubovoľného n-uholníka je 180° (n - 2).

Dôkaz. Rozdeľme polygón na trojuholníky nakreslením uhlopriečok (obr. 11). Počet takýchto trojuholníkov je n-2 a v každom trojuholníku je súčet uhlov 180°. Keďže uhly trojuholníkov sú uhlami mnohouholníka, súčet uhlov mnohouholníka je 180° (n - 2).

Uvažujme teraz ľubovoľné uzavreté prerušované čiary, prípadne s vlastnými priesečníkmi A1A2…AnA1 (obr. 12, a). Takéto sebapretínajúce sa prerušované čiary budeme nazývať hviezdicové polygóny (obr. 12, b-d).

Upravme smer počítania uhlov proti smeru hodinových ručičiek. Všimnite si, že uhly tvorené uzavretou lomenou čiarou závisia od smeru, v ktorom sa prechádza. Ak je smer premostenia lomenej čiary obrátený, potom uhly mnohouholníka budú uhly, ktoré dopĺňajú uhly pôvodného mnohouholníka až do 360°.

Ak M je mnohouholník tvorený jednoduchou uzavretou prerušovanou čiarou prechádzajúcou v smere hodinových ručičiek (obr. 13, a), potom sa súčet uhlov tohto mnohouholníka bude rovnať 180 ° (n - 2). Ak prerušovaná čiara prechádza proti smeru hodinových ručičiek (obr. 13, b), potom sa súčet uhlov bude rovnať 180 ° (n + 2).

Touto cestou, všeobecný vzorec súčet uhlov mnohouholníka tvoreného jednoduchou uzavretou čiarou má tvar \u003d 180 ° (n 2), kde je súčet uhlov, n je počet uhlov mnohouholníka, „+“ alebo „- " sa berie v závislosti od smeru obchádzania lomenej čiary.

Našou úlohou je odvodiť vzorec pre súčet uhlov ľubovoľného mnohouholníka tvoreného uzavretou (prípadne samopretínajúcou) lomenou čiarou. Na tento účel zavedieme pojem stupňa mnohouholníka.

Stupeň polygónu je počet otáčok vykonaných bodom počas úplného sekvenčného obídenia jeho strán. Okrem toho sa zákruty proti smeru hodinových ručičiek považujú za znamienko „+“ a zákruty v smere hodinových ručičiek - so znamienkom „-“.

Je zrejmé, že stupeň mnohouholníka tvoreného jednoduchou uzavretou prerušovanou čiarou je +1 alebo -1 v závislosti od smeru prechodu. Stupeň prerušovanej čiary na obrázku 12 a je rovný dvom. Stupeň hviezdnych sedemuholníkov (obr. 12, c, d) sa rovná dvom a trom.

Pojem stupňa je definovaný podobne pre uzavreté krivky v rovine. Napríklad stupeň krivky znázornený na obrázku 14 je dva.

Ak chcete nájsť stupeň mnohouholníka alebo krivky, môžete postupovať nasledovne. Predpokladajme, že pri pohybe pozdĺž krivky (obr. 15, a) sme, vychádzajúc z nejakého miesta A1, úplne otočili a skončili v rovnakom bode A1. Odstránime zodpovedajúcu časť z krivky a pokračujeme v pohybe pozdĺž zostávajúcej krivky (obr. 15b). Ak sme od nejakého miesta A2 opäť urobili úplnú zákrutu a dostali sa do rovnakého bodu, potom vymažeme zodpovedajúcu časť krivky a pokračujeme v pohybe (obr. 15, c). Spočítaním počtu vzdialených úsekov so znamienkami "+" alebo "-" v závislosti od ich smeru obchvatu získame požadovaný stupeň oblúka.

Veta 4. Pre ľubovoľný mnohouholník vzorec

180° (n+2m),

kde je súčet uhlov, n je počet uhlov, m je stupeň mnohouholníka.

Dôkaz. Nech polygón M má stupeň m a je konvenčne znázornený na obrázku 16. M1, …, Mk sú jednoduché uzavreté prerušované čiary, cez ktoré sa bod otáča. A1, …, Ak sú zodpovedajúce samopriesečníky lomenej čiary, ktoré nie sú jej vrcholmi. Označme počet vrcholov mnohouholníka M, ktoré sú zahrnuté v mnohouholníkoch M1, …, Mk, n1, …, nk, resp. Keďže okrem vrcholov mnohouholníka M sa k týmto mnohouholníkom pridávajú aj vrcholy A1, …, Ak, počet vrcholov mnohouholníkov M1, …, Mk bude rovný n1+1, …, nk+1, resp. Potom sa súčet ich uhlov bude rovnať 180° (n1+12), …, 180° (nk+12). Plus alebo mínus sa berie v závislosti od smeru obchádzania prerušovaných čiar. Súčet uhlov mnohouholníka M0, zostávajúcich z mnohouholníka M po odstránení mnohouholníkov M1, ..., Mk, sa rovná 180° (n-n1- ...-nk+k2). Súčty uhlov mnohouholníkov M0, M1, …, Mk dávajú súčet uhlov mnohouholníka M a pri každom vrchole A1, …, Ak navyše získame 360°. Preto máme rovnosť

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1-…-nk+k2)=+360°k.

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

kde m je stupeň mnohouholníka M.

Ako príklad zvážte výpočet súčtu uhlov päťčlennej hviezdičky (obr. 17, a). Stupeň zodpovedajúcej uzavretej lomenej čiary je -2. Preto je požadovaný súčet uhlov 180.

Geometrický útvar zložený zo segmentov AB,BC,CD, .., EF, FA tak, že susedné segmenty neležia na jednej priamke a nesusediace segmenty nemajú spoločné body, sa nazýva mnohouholník. Konce týchto segmentov body A,B,C, D, …, E,F sa nazývajú vrcholov polygón a samotné segmenty AB, BC, CD, .., EF, FA - strany mnohouholník.

Mnohouholník sa nazýva konvexný, ak je na jednej strane každej čiary, ktorá prechádza cez dva z jeho susedných vrcholov. Nasledujúci obrázok ukazuje konvexný mnohouholník:

A nasledujúci obrázok znázorňuje nekonvexný mnohouholník:

Uhol konvexného mnohouholníka v danom vrchole je uhol, ktorý zvierajú strany tohto mnohouholníka zbiehajúce sa v danom vrchole. Vonkajší uhol konvexného mnohouholníka v niektorom vrchole je uhol susediaci s vnútorným uhlom mnohouholníka v danom vrchole.

Veta: Súčet uhlov konvexného n-uholníka je 180˚ *(n-2)

Dôkaz: uvažujme konvexný n-uholník. Aby sme našli súčet všetkých vnútorných uhlov, spojíme jeden z vrcholov mnohouholníka s ostatnými vrcholmi.

V dôsledku toho dostaneme (n-2) trojuholníky. Vieme, že súčet uhlov trojuholníka je 180 stupňov. A keďže ich počet v mnohouholníku je (n-2), súčet uhlov mnohouholníka je 180˚ *(n-2). Toto bolo potrebné dokázať.

Úloha:

Nájdite súčet uhlov konvexného a) päťuholníka b) šesťuholníka c) desaťuholníka.

Pomocou vzorca vypočítame súčet uhlov konvexného n-uholníka.

a) S5 = 180˚*(5-2) = 180˚*3 = 540˚.

b) S6 180˚*(6-2) = 180˚*4=720˚.

c) S10 = 180˚*(10-2) = 180˚*8 = 1440˚.

Odpoveď: a) 540˚. b) 720°. c) 1440°.

Vnútorný roh mnohouholníka je uhol, ktorý zvierajú dve susedné strany mnohouholníka. Napríklad ∠ ABC je vnútorný uhol.

Vonkajší roh mnohouholníka je uhol tvorený jednou stranou mnohouholníka a predĺžením druhej strany. Napríklad ∠ LBC je vonkajší roh.

Počet rohov mnohouholníka sa vždy rovná počtu jeho strán. To platí pre vnútorné aj vonkajšie rohy. Hoci je možné zostrojiť dva rovnaké vonkajšie rohy pre každý vrchol polygónu, vždy sa berie do úvahy len jeden z nich. Preto, aby sme našli počet rohov akéhokoľvek polygónu, musíme spočítať počet jeho strán.

súčet vnútorných uhlov

Súčet vnútorných uhlov konvexného mnohouholníka sa rovná súčinu 180° a počtu strán bez dvoch.

s = 2d(n - 2)

kde s je súčet uhlov, 2 d- dva pravé uhly (t.j. 2 90 = 180°), a n- počet strán.

Ak potiahneme zhora A mnohouholník A B C D E F všetky možné uhlopriečky, potom to rozdelíme na trojuholníky, ktorých počet bude o dva menší ako strany mnohouholníka:

Preto sa súčet uhlov mnohouholníka bude rovnať súčtu uhlov všetkých výsledných trojuholníkov. Keďže súčet uhlov každého trojuholníka je 180° (2 d), potom sa súčet uhlov všetkých trojuholníkov bude rovnať súčinu 2 d pre ich počet:

s = 2d(n- 2) = 1804 = 720°

Z tohto vzorca vyplýva, že súčet vnútorných uhlov je konštantná hodnota a závisí od počtu strán mnohouholníka.

Súčet vonkajších uhlov

Súčet vonkajších uhlov konvexného mnohouholníka je 360° (alebo 4 d).

s = 4d

kde s je súčet vonkajších uhlov, 4 d- štyri pravé uhly (t.j. 4 90 = 360°).

Súčet vonkajších a vnútorných uhlov v každom vrchole mnohouholníka je 180° (2 d), keďže ide o susedné uhly. Napríklad ∠ 1 a ∠ 2 :

Ak teda polygón má n strany (a n vrcholy), potom súčet vonkajších a vnútorných uhlov pre všetky n vrcholy sa budú rovnať 2 dn. Takže z tejto sumy 2 dn aby sme dostali iba súčet vonkajších uhlov, je potrebné od neho odčítať súčet vnútorných uhlov, teda 2 d(n - 2):

s = 2dn - 2d(n - 2) = 2dn - 2dn + 4d = 4d

Dôkaz

Pre prípad konvexného n-uholníka

Nechaj A 1 A 2 . . . A n (\displaystyle A_(1)A_(2)...A_(n)) je daný konvexný mnohouholník a n> 3. Potom nakreslite z jedného vrcholu do opačných vrcholov ( n− 3) uhlopriečky: A 1 A 3 , A 1 A 4 , A 1 A 5 . . . A 1 A n − 1 (\displaystyle A_(1)A_(3),A_(1)A_(4),A_(1)A_(5)...A_(1)A_(n-1)). Keďže je mnohouholník konvexný, tieto uhlopriečky ho delia na ( n− 2) trojuholníky: Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4,. . . , Δ A 1 A n − 1 A n (\displaystyle \Delta A_(1)A_(2)A_(3),\Delta A_(1)A_(3)A_(4),...,\Delta A_ (1)A_(n-1)A_(n)). Súčet uhlov mnohouholníka je rovnaký ako súčet uhlov všetkých týchto trojuholníkov. Súčet uhlov v každom trojuholníku je 180° a počet týchto trojuholníkov je n− 2 . Preto súčet uhlov n-gon je 180°( n − 2) . Veta bola dokázaná.

Komentujte

Pre nekonvexný n-uholník je súčet uhlov tiež 180°( n− 2) . Dôkaz môže byť podobný, pričom sa navyše použije lemma, že ľubovoľný mnohouholník môže byť rozrezaný pomocou uhlopriečok na trojuholníky, pričom sa nespolieha na skutočnosť, že uhlopriečky sú nevyhnutne nakreslené z jedného vrcholu (vyrezanie nekonvexného mnohouholníka obmedzeného takouto podmienkou je nie vždy možné v tom zmysle, že nekonvexný mnohouholník nemusí mať nevyhnutne aspoň jeden vrchol, ktorého všetky uhlopriečky ležia vo vnútri mnohouholníka, rovnako ako trojuholníky, ktoré tvoria).

Tieto geometrické tvary nás obklopujú všade. Konvexné polygóny sú prirodzené, ako sú plásty, alebo umelé (vyrobené človekom). Tieto figúrky sa používajú pri výrobe rôzne druhy nátery, v maliarstve, architektúre, dekorácii atď. Konvexné mnohouholníky majú tú vlastnosť, že všetky ich body sú na tej istej strane priamky, ktorá prechádza dvojicou susedných vrcholov tejto priamky. geometrický obrazec. Existujú aj iné definície. Mnohouholník sa nazýva konvexný, ak je umiestnený v jednej polrovine vzhľadom na akúkoľvek priamku obsahujúcu jednu z jeho strán.

Pri elementárnej geometrii sa vždy berú do úvahy iba jednoduché polygóny. Aby sme pochopili všetky vlastnosti takýchto, je potrebné pochopiť ich povahu. Na začiatok by sa malo chápať, že každá čiara sa nazýva uzavretá, ktorej konce sa zhodujú. Okrem toho môže mať postava, ktorú tvorí, rôzne konfigurácie. Mnohouholník je jednoduchá uzavretá prerušovaná čiara, v ktorej susedné väzby nie sú umiestnené na rovnakej priamke. Jeho spojnice a vrcholy sú strany a vrcholy tohto geometrického útvaru. Jednoduchá lomená čiara nesmie mať vlastné priesečníky.

Vrcholy mnohouholníka sa nazývajú susedné, ak predstavujú konce jednej z jeho strán. Geometrický obrazec, ktorý má n-té číslo vrcholy, a teda n-té množstvo strany sa nazývajú n-uholník. Samotná prerušovaná čiara sa nazýva hranica alebo obrys tohto geometrického útvaru. Polygonálna rovina alebo plochý mnohouholník sa nazýva koncová časť akejkoľvek roviny, ktorá je ňou ohraničená. Priľahlé strany tohto geometrického útvaru sa nazývajú segmenty prerušovanej čiary vychádzajúcej z jedného vrcholu. Nebudú susediť, ak pochádzajú z rôznych vrcholov mnohouholníka.

Iné definície konvexných polygónov

V elementárnej geometrii existuje niekoľko ekvivalentných definícií, ktoré označujú, ktorý polygón sa nazýva konvexný. Všetky tieto tvrdenia sú rovnako pravdivé. Konvexný mnohouholník je taký, ktorý má:

Každá úsečka, ktorá spája akékoľvek dva body v nej leží úplne v nej;

Všetky jeho uhlopriečky ležia v ňom;

Žiadny vnútorný uhol nepresahuje 180°.

Mnohouholník vždy rozdeľuje rovinu na 2 časti. Jeden z nich je obmedzený (môže byť uzavretý v kruhu) a druhý je neobmedzený. Prvý sa nazýva vnútorný región a druhý - vonkajšia oblasť tento geometrický útvar. Tento mnohouholník je priesečníkom (inými slovami, spoločným komponentom) niekoľkých polrovín. Navyše každý segment, ktorý končí v bodoch, ktoré patria do polygónu, k nemu úplne patrí.

Odrody konvexných polygónov

Definícia konvexného mnohouholníka nenaznačuje, že existuje veľa druhov. A každý z nich má určité kritériá. Takže konvexné polygóny, ktoré majú vnútorný uhol 180°, sa nazývajú slabo konvexné. Konvexný geometrický útvar, ktorý má tri vrcholy, sa nazýva trojuholník, štyri - štvoruholník, päť - päťuholník atď. Každý z konvexných n-uholníkov spĺňa nasledujúcu základnú požiadavku: n musí byť rovné alebo väčšie ako 3. trojuholníky sú konvexné. Geometrický útvar tohto typu, v ktorom sú všetky vrcholy umiestnené na rovnakom kruhu, sa nazýva vpísaný do kruhu. Konvexný mnohouholník sa nazýva opísaný, ak sa ho dotýkajú všetky jeho strany v blízkosti kruhu. O dvoch polygónoch sa hovorí, že sú rovnaké iba vtedy, ak sa dajú superponovať superpozíciou. Plochý mnohouholník je mnohouholníková rovina (časť roviny), ktorá je ohraničená týmto geometrickým obrazcom.

Pravidelné konvexné mnohouholníky

Pravidelné mnohouholníky sú geometrické tvary s rovnaké uhly a večierky. V ich vnútri sa nachádza bod 0, ktorý je v rovnakej vzdialenosti od každého z jeho vrcholov. Nazýva sa stredom tohto geometrického útvaru. Segmenty spájajúce stred s vrcholmi tohto geometrického útvaru sa nazývajú apotémy a tie, ktoré spájajú bod 0 so stranami, sa nazývajú polomery.

Pravidelný štvoruholník je štvorec. správny trojuholník nazývaný rovnostranný. Pre takéto obrázky platí nasledujúce pravidlo: každý uhol konvexného mnohouholníka je 180° * (n-2)/n,

kde n je počet vrcholov tohto konvexného geometrického útvaru.

Oblasť akéhokoľvek pravidelného mnohouholníka je určená vzorcom:

kde p sa rovná polovici súčtu všetkých strán daného mnohouholníka a h sa rovná dĺžke apotému.

Vlastnosti konvexných polygónov

Konvexné polygóny majú určité vlastnosti. Segment, ktorý spája akékoľvek 2 body takéhoto geometrického útvaru, sa teda nevyhnutne nachádza v ňom. dôkaz:

Predpokladajme, že P je daný konvexný mnohouholník. Vezmeme 2 ľubovoľné body, napríklad A, B, ktoré patria do P. Podľa existujúcej definície konvexného mnohouholníka sa tieto body nachádzajú na tej istej strane priamky, ktorá obsahuje ľubovoľnú stranu P. Preto AB má tiež túto vlastnosť a je obsiahnutá v P. Konvexný mnohouholník je vždy možné rozdeliť na niekoľko trojuholníkov úplne všetkými uhlopriečkami, ktoré sú nakreslené z jedného z jeho vrcholov.

Uhly konvexných geometrických tvarov

Rohy konvexného mnohouholníka sú rohy, ktoré tvoria jeho strany. Vnútorné rohy sa nachádzajú vo vnútornej oblasti daného geometrického útvaru. Uhol, ktorý tvoria jeho strany, ktoré sa zbiehajú v jednom vrchole, sa nazýva uhol konvexného mnohouholníka. s vnútornými uhlami daného geometrického útvaru sa nazývajú vonkajšie. Každý roh konvexného mnohouholníka, ktorý sa v ňom nachádza, sa rovná:

kde x je hodnota vonkajšieho uhla. Toto jednoduchý vzorec platí pre akékoľvek geometrické tvary tohto typu.

Vo všeobecnosti pre vonkajšie uhly platí nasledovné pravidlo: každý uhol konvexného mnohouholníka sa rovná rozdielu medzi 180° a hodnotou vnútorného uhla. Môže mať hodnoty od -180° do 180°. Preto, keď je vnútorný uhol 120°, vonkajší uhol bude 60°.

Súčet uhlov konvexných mnohouholníkov

Súčet vnútorných uhlov konvexného mnohouholníka je určený vzorcom:

kde n je počet vrcholov n-uholníka.

Súčet uhlov konvexného mnohouholníka sa dá pomerne ľahko vypočítať. Zvážte akýkoľvek takýto geometrický útvar. Na určenie súčtu uhlov vo vnútri konvexného mnohouholníka musí byť jeden z jeho vrcholov spojený s ostatnými vrcholmi. V dôsledku tejto akcie sa získajú (n-2) trojuholníky. Vieme, že súčet uhlov akéhokoľvek trojuholníka je vždy 180°. Keďže ich počet v ľubovoľnom mnohouholníku je (n-2), súčet vnútorných uhlov takéhoto obrazca je 180° x (n-2).

Súčet uhlov konvexného mnohouholníka, konkrétne dvoch vnútorných a susedných vonkajších uhlov, pre daný konvexný geometrický útvar bude vždy 180°. Na základe toho môžete určiť súčet všetkých jeho uhlov:

Súčet vnútorných uhlov je 180° * (n-2). Na základe toho je súčet všetkých vonkajších uhlov daného útvaru určený vzorcom:

180°* n-180°-(n-2)= 360°.

Súčet vonkajších uhlov akéhokoľvek konvexného mnohouholníka bude vždy 360° (bez ohľadu na počet strán).

Vonkajší uhol konvexného mnohouholníka je vo všeobecnosti reprezentovaný rozdielom medzi 180° a vnútorným uhlom.

Ďalšie vlastnosti konvexného mnohouholníka

Okrem základných vlastností týchto geometrických útvarov majú aj ďalšie, ktoré vznikajú pri manipulácii s nimi. Takže ktorýkoľvek z polygónov môže byť rozdelený na niekoľko konvexných n-uholníkov. Aby ste to dosiahli, je potrebné pokračovať v každej z jej strán a vyrezať túto geometrickú postavu pozdĺž týchto priamych línií. Je tiež možné rozdeliť ľubovoľný mnohouholník na niekoľko konvexných častí tak, aby sa vrcholy každého z dielov zhodovali so všetkými jeho vrcholmi. Z takéhoto geometrického útvaru sa dajú veľmi jednoducho vyrobiť trojuholníky nakreslením všetkých uhlopriečok z jedného vrcholu. Akýkoľvek mnohouholník teda môže byť v konečnom dôsledku rozdelený na určitý počet trojuholníkov, čo sa ukazuje ako veľmi užitočné pri riešení rôznych problémov spojených s takýmito geometrickými tvarmi.

Obvod konvexného mnohouholníka

Segmenty prerušovanej čiary, nazývané strany mnohouholníka, sú najčastejšie označené týmito písmenami: ab, bc, cd, de, ea. Sú to strany geometrického útvaru s vrcholmi a, b, c, d, e. Súčet dĺžok všetkých strán tohto konvexného mnohouholníka sa nazýva jeho obvod.

Mnohouholníkový kruh

Konvexné mnohouholníky možno vpísať a opísať. Kruh, ktorý sa dotýka všetkých strán tohto geometrického útvaru, sa nazýva vpísaný do neho. Takýto mnohouholník sa nazýva opísaný. Stred kruhu, ktorý je vpísaný do mnohouholníka, je priesečníkom priesečníkov všetkých uhlov v rámci daného geometrického útvaru. Plocha takéhoto mnohouholníka je:

kde r je polomer vpísanej kružnice a p je polobvod daného mnohouholníka.

Kruh obsahujúci vrcholy mnohouholníka sa nazýva opísaný okolo neho. Okrem toho sa tento konvexný geometrický útvar nazýva vpísaný. Stred kružnice, ktorá je opísaná okolo takého mnohouholníka, je priesečníkom takzvaných odvesníc všetkých strán.

Uhlopriečky konvexných geometrických tvarov

Diagonály konvexného mnohouholníka sú úsečky, ktoré spájajú nesusediace vrcholy. Každý z nich leží vo vnútri tohto geometrického útvaru. Počet uhlopriečok takéhoto n-uholníka je určený vzorcom:

N = n (n - 3)/2.

Počet uhlopriečok konvexného mnohouholníka hrá dôležitú úlohu v elementárnej geometrii. Počet trojuholníkov (K), na ktoré možno rozdeliť každý konvexný mnohouholník, sa vypočíta podľa nasledujúceho vzorca:

Počet uhlopriečok konvexného mnohouholníka vždy závisí od počtu jeho vrcholov.

Rozdelenie konvexného mnohouholníka

V niektorých prípadoch riešiť geometrické problémy je potrebné rozdeliť konvexný mnohouholník na niekoľko trojuholníkov s nepretínajúcimi sa uhlopriečkami. Tento problém možno vyriešiť odvodením určitého vzorca.

Definícia úlohy: nazvime správne rozdelenie konvexného n-uholníka na niekoľko trojuholníkov uhlopriečkami, ktoré sa pretínajú len vo vrcholoch tohto geometrického útvaru.

Riešenie: Predpokladajme, že Р1, Р2, Р3 …, Pn sú vrcholy tohto n-uholníka. Číslo Xn je počet jeho oddielov. Pozorne zvážme výslednú uhlopriečku geometrického útvaru Pi Pn. V ktoromkoľvek z pravidelných oddielov P1 Pn patrí do určitého trojuholníka P1 Pi Pn, ktorý má 1

Nech i = 2 je jedna skupina pravidelných priečok obsahujúcich vždy uhlopriečku Р2 Pn. Počet priečok v ňom zahrnutých sa zhoduje s počtom priečok (n-1)-uholníka Р2 Р3 Р4… Pn. Inými slovami, rovná sa Xn-1.

Ak i = 3, potom táto ďalšia skupina priečok bude vždy obsahovať uhlopriečky P3 P1 a P3 Pn. V tomto prípade sa počet bežných partícií obsiahnutých v tejto skupine bude zhodovať s počtom partícií (n-2)-uholníka Р3 Р4… Pn. Inými slovami, bude sa rovnať Xn-2.

Nech i = 4, potom bude medzi trojuholníkmi pravidelná priečka určite obsahovať trojuholník P1 P4 Pn, ku ktorému bude priliehať štvoruholník P1 P2 P3 P4, (n-3)-uholník P4 P5 ... Pn. Počet pravidelných delení takéhoto štvoruholníka je X4 a počet delení (n-3)-uholníka je Xn-3. Na základe vyššie uvedeného môžeme povedať, že celkový počet správnych partícií obsiahnutých v tejto skupine je Xn-3 X4. Ostatné skupiny, pre ktoré i = 4, 5, 6, 7… budú obsahovať Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … bežné oddiely.

Nech i = n-2, potom počet správnych partícií v tejto skupine bude zodpovedať počtu partícií v skupine, kde i=2 (inými slovami, rovná sa Xn-1).

Pretože X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2…, potom sa počet všetkých častí konvexného mnohouholníka rovná:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Počet pravidelných priečok pretínajúcich jednu uhlopriečku vo vnútri

Pri kontrole špeciálnych prípadov možno dospieť k predpokladu, že počet uhlopriečok konvexných n-uholníkov sa rovná súčinu všetkých delení tohto obrázku (n-3).

Dôkaz tohto predpokladu: predstavte si, že P1n = Xn * (n-3), potom ľubovoľný n-uholník možno rozdeliť na (n-2)-trojuholníky. Navyše z nich môže byť zložený (n-3)-štvoruholník. Spolu s tým bude mať každý štvoruholník uhlopriečku. Keďže do tohto konvexného geometrického útvaru možno nakresliť dve uhlopriečky, znamená to, že ďalšie (n-3) uhlopriečky možno nakresliť v ľubovoľných (n-3)-štvorhranoch. Na základe toho môžeme usúdiť, že v každom pravidelnom oddiele je možné nakresliť (n-3)-uhlopriečky, ktoré spĺňajú podmienky tejto úlohy.

Oblasť konvexných polygónov

Pri riešení rôznych problémov elementárnej geometrie je často potrebné určiť oblasť konvexného mnohouholníka. Predpokladajme, že (Xi. Yi), i = 1,2,3… n je postupnosť súradníc všetkých susedných vrcholov polygónu, ktorý nemá vlastné priesečníky. V tomto prípade sa jeho plocha vypočíta podľa nasledujúceho vzorca:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

kde (X1, Y1) = (Xn+1, Yn + 1).