Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.
Zhromažďovanie a používanie osobných údajov
Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.
Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.
Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.
Aké osobné údaje zhromažďujeme:
- Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.
Ako používame vaše osobné údaje:
- Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných udalostiach a Pripravované akcie.
- Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
- Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
- Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.
Sprístupnenie tretím stranám
Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.
Výnimky:
- V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
- V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.
Ochrana osobných údajov
Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.
Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti
Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.
Pojem stredová čiara lichobežníka
Najprv si pripomeňme, aký obrazec sa nazýva lichobežník.
Definícia 1
Lichobežník je štvoruholník, v ktorom sú dve strany rovnobežné a ostatné dve nie sú rovnobežné.
V tomto prípade sa rovnobežné strany nazývajú základne lichobežníka a nie rovnobežné - strany lichobežníka.
Definícia 2
stredná čiara Lichobežník je úsečka, ktorá spája stredy strán lichobežníka.
Trapézový teorém strednej čiary
Teraz zavedieme vetu o strednej čiare lichobežníka a dokážeme ju vektorovou metódou.
Veta 1
Stredová čiara lichobežníka je rovnobežná so základňami a rovná sa polovici ich súčtu.
Dôkaz.
Dajme nám lichobežník $ABCD$ so základňami $AD\ a\ BC$. A nech je $MN$ stredovou čiarou tohto lichobežníka (obr. 1).
Obrázok 1. Stredná čiara lichobežníka
Dokážme, že $MN||AD\ a\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.
Uvažujme vektor $\overrightarrow(MN)$. Ďalej použijeme pravidlo mnohouholníka na sčítanie vektorov. Na jednej strane to chápeme
Na druhej strane
Pridaním posledných dvoch rovnosti dostaneme
Keďže $M$ a $N$ sú stredy strán lichobežníka, máme
Dostaneme:
V dôsledku toho
Z rovnakej rovnosti (keďže $\overrightarrow(BC)$ a $\overrightarrow(AD)$ sú kosmerné, a teda kolineárne), dostaneme $MN||AD$.
Veta bola dokázaná.
Príklady úloh k pojmu stredová čiara lichobežníka
Príklad 1
Strany lichobežníka sú $15\cm$ a $17\cm$. Obvod lichobežníka je $52\cm$. Nájdite dĺžku stredovej čiary lichobežníka.
Riešenie.
Označte stredovú čiaru lichobežníka $n$.
Súčet strán je
Preto, keďže obvod je $52\ cm$, súčet základov je
Podľa vety 1 teda dostaneme
odpoveď: 10 $\cm$.
Príklad 2
Konce priemeru kruhu sú od dotyčnice $9$ cm a $5$ cm. Nájdite priemer tohto kruhu.
Riešenie.
Dostaneme kružnicu so stredom $O$ a priemerom $AB$. Nakreslite dotyčnicu $l$ a zostrojte vzdialenosti $AD=9\ cm$ a $BC=5\ cm$. Nakreslíme si polomer $OH$ (obr. 2).
Obrázok 2
Keďže $AD$ a $BC$ sú vzdialenosti k dotyčnici, potom $AD\bot l$ a $BC\bot l$ a keďže $OH$ je polomer, potom $OH\bot l$, teda $OH | \left|AD\right||BC$. Z toho všetkého dostaneme, že $ABCD$ je lichobežník a $OH$ je jeho stredová čiara. Podľa vety 1 dostaneme
Pojem stredová čiara lichobežníka
Najprv si pripomeňme, aký obrazec sa nazýva lichobežník.
Definícia 1
Lichobežník je štvoruholník, v ktorom sú dve strany rovnobežné a ostatné dve nie sú rovnobežné.
V tomto prípade sa rovnobežné strany nazývajú základne lichobežníka a nie rovnobežné - strany lichobežníka.
Definícia 2
Stredová čiara lichobežníka je úsečka, ktorá spája stredné body strán lichobežníka.
Trapézový teorém strednej čiary
Teraz zavedieme vetu o strednej čiare lichobežníka a dokážeme ju vektorovou metódou.
Veta 1
Stredová čiara lichobežníka je rovnobežná so základňami a rovná sa polovici ich súčtu.
Dôkaz.
Dajme nám lichobežník $ABCD$ so základňami $AD\ a\ BC$. A nech je $MN$ stredovou čiarou tohto lichobežníka (obr. 1).
Obrázok 1. Stredná čiara lichobežníka
Dokážme, že $MN||AD\ a\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.
Uvažujme vektor $\overrightarrow(MN)$. Ďalej použijeme pravidlo mnohouholníka na sčítanie vektorov. Na jednej strane to chápeme
Na druhej strane
Pridaním posledných dvoch rovnosti dostaneme
Keďže $M$ a $N$ sú stredy strán lichobežníka, máme
Dostaneme:
V dôsledku toho
Z rovnakej rovnosti (keďže $\overrightarrow(BC)$ a $\overrightarrow(AD)$ sú kosmerné, a teda kolineárne), dostaneme $MN||AD$.
Veta bola dokázaná.
Príklady úloh k pojmu stredová čiara lichobežníka
Príklad 1
Strany lichobežníka sú $15\cm$ a $17\cm$. Obvod lichobežníka je $52\cm$. Nájdite dĺžku stredovej čiary lichobežníka.
Riešenie.
Označte stredovú čiaru lichobežníka $n$.
Súčet strán je
Preto, keďže obvod je $52\ cm$, súčet základov je
Podľa vety 1 teda dostaneme
odpoveď: 10 $\cm$.
Príklad 2
Konce priemeru kruhu sú od dotyčnice $9$ cm a $5$ cm. Nájdite priemer tohto kruhu.
Riešenie.
Dostaneme kružnicu so stredom $O$ a priemerom $AB$. Nakreslite dotyčnicu $l$ a zostrojte vzdialenosti $AD=9\ cm$ a $BC=5\ cm$. Nakreslíme si polomer $OH$ (obr. 2).
Obrázok 2
Keďže $AD$ a $BC$ sú vzdialenosti k dotyčnici, potom $AD\bot l$ a $BC\bot l$ a keďže $OH$ je polomer, potom $OH\bot l$, teda $OH | \left|AD\right||BC$. Z toho všetkého dostaneme, že $ABCD$ je lichobežník a $OH$ je jeho stredová čiara. Podľa vety 1 dostaneme
- Segment spájajúci stredy uhlopriečok lichobežníka sa rovná polovici rozdielu základní
- Trojuholníky tvorené základňami lichobežníka a úsečkami uhlopriečok až po ich priesečník sú podobné
- Trojuholníky tvorené segmentmi uhlopriečok lichobežníka, ktorých strany ležia na stranách lichobežníka - rovnaká plocha (majú rovnakú plochu)
- Ak predĺžime strany lichobežníka smerom k menšej základni, potom sa budú pretínať v jednom bode s priamkou spájajúcou stredy základov
- Segment spájajúci základne lichobežníka a prechádzajúci priesečníkom uhlopriečok lichobežníka je rozdelený týmto bodom v pomere, ktorý sa rovná pomeru dĺžok základov lichobežníka.
- Segment rovnobežný so základňami lichobežníka a pretiahnutý cez priesečník uhlopriečok je rozpolený týmto bodom a jeho dĺžka sa rovná 2ab / (a + b), kde a a b sú základne lichobežníka.
Vlastnosti segmentu spájajúceho stredy uhlopriečok lichobežníka
Pripojte stredy uhlopriečok lichobežníka ABCD, v dôsledku čoho budeme mať segment LM.
Úsečka, ktorá spája stredy uhlopriečok lichobežníka leží na strednej čiare lichobežníka.
Tento segment rovnobežne so základňami lichobežníka.
Dĺžka segmentu spájajúceho stredy uhlopriečok lichobežníka sa rovná polovičnému rozdielu jeho základní.
LM = (AD - BC)/2
alebo
LM = (a-b)/2
Vlastnosti trojuholníkov tvorených uhlopriečkami lichobežníka
Trojuholníky, ktoré sú tvorené základňami lichobežníka a priesečníkom uhlopriečok lichobežníka - sú podobné.
Trojuholníky BOC a AOD sú podobné. Pretože uhly BOC a AOD sú vertikálne, sú rovnaké.
Uhly OCB a OAD sú vnútorné priečne ležiace na rovnobežných priamkach AD a BC (základy lichobežníka sú navzájom rovnobežné) a sečna AC sú teda rovnaké.
Uhly OBC a ODA sú rovnaké z rovnakého dôvodu (vnútorné priečne ležiace).
Pretože všetky tri uhly jedného trojuholníka sa rovnajú zodpovedajúcim uhlom iného trojuholníka, tieto trojuholníky sú podobné.
Čo z toho vyplýva?
Na riešenie problémov v geometrii sa podobnosť trojuholníkov používa nasledovne. Ak poznáme dĺžky dvoch zodpovedajúcich prvkov podobných trojuholníkov, potom nájdeme koeficient podobnosti (jeden delíme druhým). Odkiaľ sú dĺžky všetkých ostatných prvkov vo vzájomnom vzťahu presne rovnakou hodnotou.
Vlastnosti trojuholníkov ležiacich na bočnej strane a uhlopriečok lichobežníka
Uvažujme dva trojuholníky ležiace po stranách lichobežníka AB a CD. Sú to trojuholníky AOB a COD. Napriek tomu, že veľkosti jednotlivých strán týchto trojuholníkov môžu byť úplne odlišné, ale plochy trojuholníkov tvorené stranami a priesečníkom uhlopriečok lichobežníka sú, to znamená, že trojuholníky sú rovnaké.
Ak sú strany lichobežníka predĺžené smerom k menšej základni, potom bude priesečník strán sa zhodujú s priamkou, ktorá prechádza strednými bodmi základov.
Akýkoľvek lichobežník sa teda môže rozšíriť na trojuholník. kde:
- Trojuholníky tvorené základňami lichobežníka so spoločným vrcholom v priesečníku predĺžených strán sú podobné
- Priamka spájajúca stredy podstav lichobežníka je zároveň stredom zostrojeného trojuholníka.
Vlastnosti segmentu spájajúceho základne lichobežníka
Ak nakreslíte segment, ktorého konce ležia na základniach lichobežníka, ktorý leží v priesečníku uhlopriečok lichobežníka (KN), potom pomer jeho základných segmentov od strany základne k priesečníku uhlopriečky (KO / ON) sa bude rovnať pomeru základov lichobežníka(BC/AD).
KO/ON=BC/AD
Táto nehnuteľnosť vyplýva z podobnosti zodpovedajúcich trojuholníkov (pozri vyššie).
Vlastnosti segmentu rovnobežného so základňami lichobežníka
Ak nakreslíte segment rovnobežný so základňami lichobežníka a prechádzajúci priesečníkom uhlopriečok lichobežníka, bude mať nasledujúce vlastnosti:
- Prednastavená vzdialenosť (KM) rozpolí priesečník uhlopriečok lichobežníka
- Dĺžka rezu prechádzajúci priesečníkom uhlopriečok lichobežníka a rovnobežne so základňami, rovná sa KM = 2ab/(a + b)
Vzorce na nájdenie uhlopriečok lichobežníka
a, b- základy lichobežníka
c, d- strany lichobežníka
d1 d2- uhlopriečky lichobežníka
α β - uhly s väčšou základňou lichobežníka
Vzorce na nájdenie uhlopriečok lichobežníka cez základne, strany a uhly na základni
Prvá skupina vzorcov (1-3) odráža jednu z hlavných vlastností lichobežníkových uhlopriečok:
1. Súčet druhých mocnín uhlopriečok lichobežníka sa rovná súčtu druhých mocnín strán plus dvojnásobku súčinu jeho základní. Túto vlastnosť uhlopriečok lichobežníka možno dokázať ako samostatnú vetu
2 . Tento vzorec sa získa transformáciou predchádzajúceho vzorca. Druhá mocnina druhej uhlopriečky sa prehodí cez znamienko rovnosti a potom sa z ľavej a pravej strany výrazu vyberie druhá odmocnina.
3 . Tento vzorec na zistenie dĺžky uhlopriečky lichobežníka je podobný predchádzajúcemu s tým rozdielom, že na ľavej strane výrazu je ponechaná ďalšia uhlopriečka.
Ďalšia skupina vzorcov (4-5) je významovo podobná a vyjadruje podobný vzťah.
Skupina vzorcov (6-7) vám umožňuje nájsť uhlopriečku lichobežníka, ak poznáte väčšiu základňu lichobežníka, jednu stranu a uhol v základni.
Vzorce na nájdenie uhlopriečok lichobežníka z hľadiska výšky
Úloha.
Uhlopriečky lichobežníka ABCD (AD | | BC) sa pretínajú v bode O. Nájdite dĺžku základne BC lichobežníka, ak základňa AD = 24 cm, dĺžka AO = 9 cm, dĺžka OS = 6 cm.
Riešenie.
Riešenie tejto úlohy je z hľadiska ideológie absolútne totožné s predchádzajúcimi úlohami.
Trojuholníky AOD a BOC sú podobné v troch uhloch - AOD a BOC sú vertikálne a ostatné uhly sú párovo rovnaké, pretože sú tvorené priesečníkom jednej čiary a dvoch rovnobežných čiar.
Keďže trojuholníky sú podobné, potom všetky ich geometrické rozmery sú vo vzájomnom vzťahu, ako sú nám známe geometrické rozmery segmentov AO a OC podľa podmienky úlohy. Teda
AO/OC=AD/BC
9 / 6 = 24 / pred Kr.
BC = 24 * 6/9 = 16
Odpoveď: 16 cm
Úloha .
V lichobežníku ABCD je známe, že AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Nájdite oblasť lichobežníka. 
Riešenie .
Aby sme našli výšku lichobežníka z vrcholov menšej základne B a C, znížime dve výšky na väčšiu základňu. Keďže lichobežník je nerovný, označíme dĺžku AM = a, dĺžku KD = b ( nezamieňať so symbolmi vo vzorci nájdenie oblasti lichobežníka). Keďže základne lichobežníka sú rovnobežné a vynechali sme dve výšky kolmé na väčšiu základňu, potom MBCK je obdĺžnik.
Prostriedky
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
Trojuholníky DBM a ACK sú pravouhlé, takže ich pravé uhly tvoria výšky lichobežníka. Označme výšku lichobežníka ako h. Potom podľa Pytagorovej vety
H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
a
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2
Zvážte, že a \u003d 16 - b, potom v prvej rovnici
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2
Dosaďte hodnotu druhej mocniny výšky do druhej rovnice, získanej Pytagorovou vetou. Dostaneme:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Takže KD = 12
Kde
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5
Nájdite plochu lichobežníka pomocou jeho výšky a polovice súčtu základov
, kde a b - základy lichobežníka, h - výška lichobežníka
S \u003d (24 + 8) * 5 / 2 \u003d 80 cm 2
Odpoveď: plocha lichobežníka je 80 cm2.
Štvoruholník s iba dvoma rovnobežnými stranami sa nazýva trapéz.
Rovnobežné strany lichobežníka sa nazývajú jeho dôvodov, a tie strany, ktoré nie sú rovnobežné, sa nazývajú strany. Ak sú strany rovnaké, potom je takýto lichobežník rovnoramenný. Vzdialenosť medzi základňami sa nazýva výška lichobežníka.
Stredná línia lichobežníka
Stredová čiara je segment spájajúci stredy strán lichobežníka. Stredová čiara lichobežníka je rovnobežná s jeho základňami.
Veta:
Ak je čiara pretínajúca stred jednej strany rovnobežná so základňami lichobežníka, potom pretína druhú stranu lichobežníka.
Veta:
Dĺžka stredovej čiary sa rovná aritmetickému priemeru dĺžok jej základní
MN || AB || DCAM = MD; BN=NC
Stredná čiara MN, AB a CD - bázy, AD a BC - strany
MN = (AB+DC)/2
Veta:
Dĺžka stredovej čiary lichobežníka sa rovná aritmetickému priemeru dĺžok jeho základní.
Hlavná úloha: Dokážte, že stredová čiara lichobežníka pretína segment, ktorého konce ležia v strede základov lichobežníka.
Stredná čiara trojuholníka
Úsečka spájajúca stredy dvoch strán trojuholníka sa nazýva stredná čiara trojuholníka. Je rovnobežná s treťou stranou a jej dĺžka je polovičná ako dĺžka tretej strany.
Veta: Ak je priamka pretínajúca stred jednej strany trojuholníka rovnobežná s druhou stranou daného trojuholníka, potom pretína tretiu stranu.
AM = MC a BN = NC =>
Použitie vlastností trojuholníka a lichobežníka
Rozdelenie segmentu na určitý počet rovnakých častí.
Úloha: Rozdeľte segment AB na 5 rovnakých častí.
Riešenie:
Nech p je náhodný lúč, ktorého počiatok je bod A a ktorý neleží na priamke AB. Postupne odložíme 5 rovnakých segmentov na p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Pripojíme A 5 k B a nakreslíme čiary cez A 4, A 3, A 2 a A 1, ktoré sú rovnobežné s A 5 B. Pretínajú AB v B 4, B 3, B 2 a B 1 v tomto poradí. Tieto body rozdeľujú segment AB na 5 rovnakých častí. Skutočne, z lichobežníka BB 3 A 3 A 5 vidíme, že BB 4 = B 4 B 3 . Rovnakým spôsobom z lichobežníka B 4 B 2 A 2 A 4 dostaneme B 4 B 3 = B 3 B 2
Kým z lichobežníka B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Potom z B 2 AA 2 vyplýva, že B 2 B 1 = B 1 A. Na záver dostaneme:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Je jasné, že na to, aby sme segment AB rozdelili na iný počet rovnakých častí, musíme na lúč p premietnuť rovnaký počet rovnakých segmentov. A potom pokračujte vyššie popísaným spôsobom.
