Pravouhlý súradnicový systém je pár kolmých súradnicových čiar, nazývaných súradnicové osi, ktoré sú umiestnené tak, že sa pretínajú v ich počiatku.
Označenie súradnicových osí písmenami x a y je všeobecne akceptované, ale písmená môžu byť ľubovoľné. Ak sa použijú písmená x a y, potom sa volá rovina xy-rovina. Rôzne aplikácie môžu používať iné písmená ako x a y, a ako je znázornené na obrázkoch nižšie, existujú uv lietadlá a ts-rovina.
Objednaný pár
Usporiadanou dvojicou reálnych čísel rozumieme dve reálne čísla v určitom poradí. Každý bod P in súradnicová rovina možno priradiť k jedinečnému usporiadanému páru reálnych čísel nakreslením dvoch čiar cez bod P, jednu kolmú na os x a druhú kolmú na os y.
Napríklad, ak vezmeme (a,b)=(4,3), tak na páse súradníc
Postaviť bod P(a,b) znamená definovať bod so súradnicami (a,b) v rovine súradníc. Napríklad, rôzne body postavený na obrázku nižšie.
V pravouhlom súradnicovom systéme súradnicové osi rozdeľujú rovinu na štyri oblasti nazývané kvadranty. Sú očíslované proti smeru hodinových ručičiek rímskymi číslicami, ako je znázornené na obrázku.
Definícia grafu
harmonogram rovnica s dvoma premennými x a y sa nazýva množina bodov v rovine xy, ktorých súradnice sú členmi množiny riešení tejto rovnice
Príklad: nakreslite graf y = x 2
Pretože 1/x nie je definované, keď x=0, môžeme vykresliť iba body, pre ktoré x ≠ 0
Príklad: Nájdite všetky priesečníky s osami
(a) 3x + 2y = 6
(b) x = y2-2y
(c) y = 1/x
Nech y = 0, potom 3x = 6 alebo x = 2
je požadovaný priesečník osi x.
Keď zistíme, že x=0, zistíme, že priesečníkom osi y je bod y=3.
Týmto spôsobom môžete vyriešiť rovnicu (b) a riešenia pre (c) sú uvedené nižšie
x-prejazd
Nech y = 0
1/x = 0 => x nemožno určiť, t.j. neexistuje priesečník s osou y
Nech x = 0
y = 1/0 => y tiež nie je definované, => žiadny priesečník s osou y
Na obrázku nižšie body (x,y), (-x,y), (x,-y) a (-x,-y) predstavujú rohy obdĺžnika.
Graf je symetrický okolo osi x, ak pre každý bod (x,y) grafu je bod (x,-y) zároveň bodom na grafe.
Graf je symetrický podľa osi y, ak ku každému bodu grafu (x,y) patrí do grafu aj bod (-x,y).
Graf je symetrický podľa stredu súradníc, ak pre každý bod (x,y) grafu patrí do tohto grafu aj bod (-x,-y).
Definícia:
Rozvrh funkcie na rovine súradníc je definovaný ako graf rovnice y = f(x)
Graf f(x) = x + 2
Príklad 2. Graf f(x) = |x|
Graf sa zhoduje s priamkou y = x pre x > 0 a s čiarou y = -x
pre x< 0 .
graf f(x) = -x
Spojením týchto dvoch grafov dostaneme
graf f(x) = |x|
Príklad 3 Graf
t(x) \u003d (x 2 - 4) / (x - 2) \u003d
= ((x - 2) (x + 2)/(x - 2)) =
= (x + 2) x ≠ 2
Preto môže byť táto funkcia napísaná ako
y = x + 2 x ≠ 2
Graf h(x)= x 2 - 4 Alebo x - 2
graf y = x + 2 x ≠ 2
Príklad 4 Graf
Grafy funkcií s posunom
Predpokladajme, že graf funkcie f(x) je známy
Potom môžeme nájsť grafy
y = f(x) + c - graf funkcie f(x), posunutý
UP o c hodnoty
y = f(x) - c - graf funkcie f(x), posunutý
NADOL o hodnoty c
y = f(x + c) - graf funkcie f(x), posunutý
LEFT x c hodnoty
y = f(x - c) - graf funkcie f(x), posunutý
Priamo pri hodnotách c
Príklad 5. Zostav
graf y = f(x) = |x - 3| + 2
Posuňte graf y = |x| 3 hodnoty VPRAVO na získanie grafu
Posuňte graf y = |x - 3| UP 2 hodnoty do grafu y = |x - 3| + 2
Zápletka
y = x 2 - 4 x + 5
Poďme sa transformovať daná rovnica takto, pridaním 4 k obom častiam:
y + 4 = (x 2 - 4x + 5) + 4 y = (x 2 - 4x + 4) + 5 - 4
y = (x - 2) 2 + 1
Tu vidíme, že tento graf možno získať posunutím grafu y = x 2 na 2 hodnoty doprava, pretože x je 2 a o 1 vyššie, pretože +1.
y = x 2 - 4 x + 5
Úvahy
(-x, y) je odraz (x, y) okolo osi y
(x, -y) je odraz (x, y) okolo osi x
Grafy y = f(x) a y = f(-x) sú vzájomné odrazy okolo osi y
Grafy y = f(x) a y = -f(x) sú vzájomné odrazy okolo osi x
Graf je možné získať odrazom a prekladom:
nakresliť graf
Nájdite jeho odraz vzhľadom na os y a získajme graf
Posuňte tento graf správny o 2 hodnoty a získajte graf
Tu je požadovaný graf
Ak sa f(x) vynásobí kladnou konštantou c, potom
graf f(x) sa vertikálne zmenšuje, ak je 0< c < 1
graf f(x) sa roztiahne vertikálne, ak c > 1
Krivka nie je grafom y = f(x) pre žiadnu funkciu f
Matematika je pomerne zložitá veda. Pri jej štúdiu musíte nielen riešiť príklady a problémy, ale aj pracovať s rôznymi figúrami a dokonca aj s rovinami. Jedným z najpoužívanejších v matematike je súradnicový systém v rovine. Správne narábať s ním deti učia už viac ako jeden rok. Preto je dôležité vedieť, čo to je a ako s tým správne pracovať.
Poďme zistiť, čo je tento systém, aké akcie s ním môžete vykonávať, a tiež zistiť jeho hlavné charakteristiky a vlastnosti.
Definícia pojmu
Súradnicová rovina je rovina, na ktorej je definovaný konkrétny súradnicový systém. Takáto rovina je definovaná dvoma priamkami, ktoré sa pretínajú v pravom uhle. Priesečník týchto čiar je počiatkom súradníc. Každý bod na súradnicovej rovine je daný dvojicou čísel, ktoré sa nazývajú súradnice.
V školskom matematickom kurze musia študenti pomerne úzko spolupracovať so súradnicovým systémom – stavať na ňom obrazce a body, určovať, do ktorej roviny patrí tá či oná súradnica a tiež určiť súradnice bodu a napísať alebo pomenovať. Preto si povedzme podrobnejšie o všetkých vlastnostiach súradníc. Najprv sa však dotknime histórie stvorenia a potom si povieme, ako pracovať na súradnicovej rovine.
Odkaz na históriu
Myšlienky o vytvorení súradnicového systému boli v časoch Ptolemaia. Už vtedy astronómovia a matematici premýšľali o tom, ako sa naučiť nastaviť polohu bodu v rovine. Bohužiaľ, v tom čase nám nebol známy žiadny súradnicový systém a vedci museli použiť iné systémy.
Spočiatku stanovujú body špecifikovaním zemepisnej šírky a dĺžky. Dlho to bol jeden z najpoužívanejších spôsobov mapovania tej či onej informácie. Ale v roku 1637 vytvoril René Descartes svoj vlastný súradnicový systém, neskôr pomenovaný po "karteziánskom".
Už v koniec XVII v. pojem „rovina súradníc“ sa vo svete matematiky stal široko používaným. Napriek tomu, že od vytvorenia tohto systému uplynulo niekoľko storočí, stále je široko používaný v matematike a dokonca aj v živote.
Príklady súradnicovej roviny
Predtým, ako sa budeme rozprávať o teórii, uvedieme niekoľko názorných príkladov súradnicovej roviny, aby ste si ju vedeli predstaviť. Súradnicový systém sa primárne používa v šachu. Na doske má každý štvorec svoje súradnice - jedno písmeno súradnice, druhé - digitálne. S jeho pomocou môžete určiť pozíciu konkrétnej figúrky na šachovnici.
Druhým najvýraznejším príkladom je obľúbená hra „Battleship“. Pamätajte si, ako pri hraní pomenujete súradnicu, napríklad B3, čím presne určíte, kam mierite. Zároveň pri umiestňovaní lodí nastavujete body na súradnicovej rovine.
Tento súradnicový systém je široko používaný nielen v matematike, logické hry, ale aj vo vojenských záležitostiach, astronómii, fyzike a mnohých ďalších vedách.
Súradnicové osi
Ako už bolo uvedené, v súradnicovom systéme sa rozlišujú dve osi. Povedzme si o nich niečo málo, keďže majú značný význam.
Prvá os - úsečka - je vodorovná. Označuje sa ako ( Vôl). Druhá os je ordináta, ktorá prechádza vertikálne cez referenčný bod a je označená ako ( Oj). Sú to tieto dve osi, ktoré tvoria súradnicový systém a rozdeľujú rovinu na štyri štvrtiny. Počiatok sa nachádza v priesečníku týchto dvoch osí a nadobúda hodnotu 0 . Iba ak rovinu tvoria dve osi, ktoré sa kolmo pretínajú a majú vzťažný bod, ide o súradnicovú rovinu.
Všimnite si tiež, že každá z osí má svoj vlastný smer. Zvyčajne je pri konštrukcii súradnicového systému zvykom označovať smer osi vo forme šípky. Okrem toho pri konštrukcii súradnicovej roviny je každá z osí podpísaná.
štvrtí
Teraz si povedzme pár slov o takom koncepte, ako sú štvrtiny súradnicovej roviny. Rovina je rozdelená dvoma osami na štyri štvrtiny. Každá z nich má svoje číslo, pričom číslovanie lietadiel je proti smeru hodinových ručičiek.
Každá zo štvrtí má svoje vlastné charakteristiky. Takže v prvej štvrtine sú úsečka a zvislá osa kladné, v druhej štvrtine je úsečka záporná, zvislá osa kladná, v tretej sú úsečka aj zvislá záporná, vo štvrtej je úsečka záporná. kladná a ordináta je záporná.
Zapamätaním si týchto vlastností môžete ľahko určiť, do ktorej štvrtiny konkrétny bod patrí. Okrem toho môžu byť tieto informácie pre vás užitočné, ak musíte robiť výpočty pomocou karteziánskeho systému.
Práca so súradnicovou rovinou
Keď sme prišli na koncept lietadla a hovorili o jeho štvrtinách, môžeme prejsť k takému problému, ako je práca s týmto systémom, a tiež hovoriť o tom, ako naň umiestniť body, súradnice obrazcov. V súradnicovej rovine to nie je také ťažké, ako by sa na prvý pohľad mohlo zdať.
V prvom rade je vybudovaný samotný systém, na ktorý sa vzťahujú všetky dôležité označenia. Ďalej je tu práca priamo s bodmi či figúrkami. V tomto prípade, dokonca aj pri konštrukcii figúrok, sa body najskôr aplikujú na rovinu a potom sa obrázky už nakreslia.
Pravidlá konštrukcie lietadla
Ak sa rozhodnete začať označovať tvary a body na papieri, budete potrebovať súradnicovú rovinu. Sú na ňom zakreslené súradnice bodov. Na zostavenie súradnicovej roviny potrebujete iba pravítko a pero alebo ceruzku. Najprv sa nakreslí horizontálna úsečka, potom vertikála - ordináta. Je dôležité si uvedomiť, že osi sa pretínajú v pravom uhle.
Ďalšou povinnou položkou je označenie. Jednotky-segmenty sú označené a podpísané na každej z osí v oboch smeroch. Deje sa tak preto, aby ste potom mohli s lietadlom pracovať maximálne pohodlne.
Označenie bodu
Teraz si povedzme, ako vykresliť súradnice bodov v súradnicovej rovine. Toto sú základy, ktoré potrebujete vedieť, aby ste mohli úspešne umiestniť rôzne tvary do roviny a dokonca označiť rovnice.
Pri konštrukcii bodov je potrebné pamätať na to, ako sú ich súradnice správne zaznamenané. Takže, zvyčajne ide o bod, dve čísla sú napísané v zátvorkách. Prvá číslica označuje súradnicu bodu pozdĺž osi x, druhá - pozdĺž osi y.
Bod by mal byť postavený týmto spôsobom. Najprv označte na osi Vôl daný bod, potom označte bod na osi Oj. Ďalej nakreslite imaginárne čiary z týchto označení a nájdite miesto ich priesečníka - to bude daný bod.
Stačí si ho označiť a podpísať. Ako vidíte, všetko je celkom jednoduché a nevyžaduje špeciálne zručnosti.
Umiestnenie tvaru
Teraz prejdime k takej otázke, ako je konštrukcia obrazcov v súradnicovej rovine. Aby ste mohli postaviť akúkoľvek postavu na rovine súradníc, mali by ste vedieť, ako na ňu umiestniť body. Ak viete, ako to urobiť, umiestnenie figúrky do lietadla nie je také ťažké.
Najprv budete potrebovať súradnice bodov obrázku. Práve na nich aplikujeme tie, ktoré ste si vybrali do nášho súradnicového systému.Uvažujme nakreslenie obdĺžnika, trojuholníka a kruhu.
Začnime s obdĺžnikom. Nanášanie je celkom jednoduché. Najprv sa na rovinu aplikujú štyri body označujúce rohy obdĺžnika. Potom sú všetky body postupne navzájom spojené.
Kreslenie trojuholníka nie je iné. Jediná vec je, že má tri rohy, čo znamená, že na rovinu sú aplikované tri body, ktoré označujú jej vrcholy.
Čo sa týka kruhu, tu by ste mali poznať súradnice dvoch bodov. Prvý bod je stred kružnice, druhý bod označujúci jej polomer. Tieto dva body sú vynesené do roviny. Potom sa vezme kompas, zmeria sa vzdialenosť medzi dvoma bodmi. Bod kompasu je umiestnený v bode označujúcom stred a je opísaný kruh.
Ako vidíte, nie je tu nič zložité, hlavná vec je, že je vždy po ruke pravítko a kružidlo.
Teraz viete, ako vykresliť súradnice tvaru. V súradnicovej rovine to nie je také ťažké, ako by sa na prvý pohľad mohlo zdať.
závery
Zvažovali sme teda s vami jeden z najzaujímavejších a najzákladnejších pojmov pre matematiku, s ktorým sa musí vyrovnať každý študent.
Zistili sme, že súradnicová rovina je rovina tvorená priesečníkom dvoch osí. S jeho pomocou môžete nastaviť súradnice bodov, umiestniť naň tvary. Lietadlo je rozdelené na štvrtiny, z ktorých každá má svoje vlastné charakteristiky.
Hlavnou zručnosťou, ktorá by sa mala rozvíjať pri práci s rovinou súradníc, je schopnosť správne aplikovať dané body. Aby ste to dosiahli, mali by ste poznať správne umiestnenie osí, vlastnosti štvrtí, ako aj pravidlá, podľa ktorých sú súradnice bodov nastavené.
Dúfame, že informácie, ktoré sme poskytli, boli dostupné a zrozumiteľné a boli užitočné aj pre vás a pomohli lepšie porozumieť tejto téme.
Body sú „registrované“ – „obyvatelia“, každý bod má svoje „číslo domu“ – svoju súradnicu. Ak je bod zachytený v rovine, potom je pre jeho „registráciu“ potrebné uviesť nielen „číslo domu“, ale aj „číslo bytu“. Pripomeňme si, ako sa to robí.
Narysujme si dve na seba kolmé súradnicové priamky a za začiatočný bod na oboch priamkach uvažujme bod ich priesečníka bod O. Na rovine je teda nastavený pravouhlý súradnicový systém (obr. 20), ktorý transformuje obvyklú lietadlo koordinovať. Bod O sa nazýva počiatok súradníc, súradnicové čiary (os x a os y) sa nazývajú súradnicové osi a pravé uhly vytvorené súradnicovými osami sa nazývajú súradnicové uhly. Koordinovať pravouhlé rohy očíslované podľa obrázku 20.
A teraz sa obráťme na obrázok 21, ktorý znázorňuje pravouhlý súradnicový systém a označil bod M. Narysujme ním priamku rovnobežnú s osou y. Priamka v nejakom bode pretína os x, tento bod má súradnicu - na osi x. Pre bod zobrazený na obrázku 21 je táto súradnica -1,5, nazýva sa úsečka bodu M. Ďalej nakreslíme priamku cez bod M rovnobežnú s osou x. Priamka v nejakom bode pretína os y, tento bod má súradnicu - na osi y.
Pre bod M zobrazený na obrázku 21 je táto súradnica 2, nazýva sa ordináta bodu M. Stručne napísané takto: M (-1,5; 2). Na prvom mieste sa píše úsečka, na druhom ordináta. V prípade potreby používajú inú formu zápisu: x = -1,5; y = 2.
Poznámka 1 . V praxi sa na nájdenie súradníc bodu M, zvyčajne namiesto priamok rovnobežných so súradnicovými osami a prechádzajúcich bodom M, zostavujú segmenty týchto priamok z bodu M do súradnicových osí (obr. 22).
Poznámka 2. V predchádzajúcej časti sme zaviedli odlišné označenie pre číselné medzery. Konkrétne, ako sme sa dohodli, zápis (3, 5) znamená, že na súradnicovej priamke sa uvažuje interval s koncami v bodoch 3 a 5. V tejto časti považujeme za súradnice bodu dvojicu čísel; napríklad (3; 5) je bod na súradnicová rovina s osou 3 a osou 5. Ako je správne určiť zo symbolického zápisu, o čo ide: o interval alebo o súradnice bodu? Väčšinou je to jasné z textu. Čo ak to nie je jasné? Pozor na jeden detail: v označení intervalu sme použili čiarku a v označení súradníc bodkočiarku. To, samozrejme, nie je veľmi významné, ale stále je to rozdiel; budeme to aplikovať.
Vzhľadom na zavedené pojmy a notáciu sa horizontálna súradnicová čiara nazýva úsečka alebo os x a vertikálna súradnicová čiara sa nazýva os y alebo os y. Označenia x, y sa zvyčajne používajú pri špecifikácii pravouhlého súradnicového systému v rovine (pozri obr. 20) a často hovoria toto: je daný súradnicový systém xOy. Existujú však aj iné označenia: napríklad na obrázku 23 je uvedený súradnicový systém tOs.
Algoritmus na nájdenie súradníc bodu M daného v pravouhlom súradnicovom systéme хОу
Presne tak sme konali, keď sme našli súradnice bodu M na obrázku 21. Ak bod M 1 (x; y) patrí do prvého súradnicového uhla, potom x\u003e 0, y\u003e 0; ak bod M 2 (x; y) patrí do druhého súradnicového uhla, potom x< 0, у >0; ak bod M 3 (x; y) patrí do tretieho súradnicového uhla, potom x< О, у < 0; если точка М 4 (х; у) принадлежит четвертому координатному углу, то х >OU< 0 (рис. 24).
Čo sa však stane, ak bod, ktorého súradnice treba nájsť, leží na jednej zo súradnicových osí? Nech bod A leží na osi x a bod B na osi y (obr. 25). Nemá zmysel kresliť priamku rovnobežnú s osou y cez bod A a nájsť priesečník tejto priamky s osou x, pretože taký priesečník už existuje - toto je bod A, jeho súradnica ( abscisa) je 3. Rovnakým spôsobom nemusíte kresliť cez bod A priamku rovnobežnú s osou x - táto priamka je samotná os x, ktorá pretína os y v bode O so súradnicou ( súradnica) 0. V dôsledku toho pre bod A dostaneme A (3; 0). Podobne pre bod B dostaneme B(0; - 1,5). A pre bod O máme O(0; 0).
Vo všeobecnosti má každý bod na osi x súradnice (x; 0) a každý bod na osi y má súradnice (0; y)
Takže sme diskutovali o tom, ako nájsť súradnice bodu v súradnicovej rovine. Ale ako vyriešiť inverzný problém, t. j. ako po zadaní súradníc zostrojiť zodpovedajúci bod? Na vývoj algoritmu vykonáme dva pomocné, ale zároveň dôležité argumenty.
Prvá diskusia. Nech som nakreslený v súradnicovom systéme xOy, rovnobežný s osou y a pretínajúci os x v bode so súradnicou (abscisa) 4
(obr. 26). Akýkoľvek bod ležiaci na tejto priamke má úsečku 4. Takže pre body M 1, M 2, M 3 máme M 1 (4; 3), M 2 (4; 6), M 3 (4; - 2). Inými slovami, úsečka ľubovoľného bodu M priamky spĺňa podmienku x \u003d 4. Hovorí sa, že x \u003d 4 - rovnica riadok l alebo ten riadok I spĺňa rovnicu x = 4.
Obrázok 27 ukazuje čiary, ktoré spĺňajú rovnice x = - 4 (čiara I 1), x = - 1
(priamka I 2) x = 3,5 (priamka I 3). A ktorá čiara spĺňa rovnicu x = 0? Uhádli ste? os y
Druhá diskusia. Nech je nakreslená priamka I v súradnicovom systéme xOy, rovnobežná s osou x a pretínajúca os y v bode so súradnicou (ordinátou) 3 (obr. 28). Akýkoľvek bod ležiaci na tejto priamke má ordinát 3. Takže pre body M 1, M 2, M 3 máme: M 1 (0; 3), M 2 (4; 3), M 3 (- 2; 3 ). Inými slovami, ordináta ktoréhokoľvek bodu M priamky I spĺňa podmienku y \u003d 3. Hovorí sa, že y \u003d 3 je rovnica priamky I alebo priamka I spĺňa rovnicu y \u003d 3.
Obrázok 29 zobrazuje čiary, ktoré spĺňajú rovnice y \u003d - 4 (riadok l 1), y \u003d - 1 (riadok I 2), y \u003d 3,5 (riadok I 3) - A, ktorý riadok spĺňa rovnicu y \u003d 01 Hádaj? os x.
Všimnite si, že matematici, ktorí sa snažia o stručnosť reči, hovoria „priama čiara x \u003d 4“ a nie „priama čiara, ktorá spĺňa rovnicu x \u003d 4“. Podobne hovoria "riadok y = 3", nie "riadok spĺňajúci y = 3". Urobíme presne to isté. Vráťme sa teraz k obrázku 21. Všimnite si, prosím, že bod M (- 1,5; 2), ktorý je tam zobrazený, je priesečníkom priamky x = -1,5 a priamky y = 2. Teraz, zdá sa, algoritmus pre konštrukciu bodu bude jasné podľa jeho daných súradníc.
Algoritmus na konštrukciu bodu M (a; b) v pravouhlom súradnicovom systéme хОу
PRÍKLAD V súradnicovom systéme xOy zostrojte body: A (1; 3), B (- 2; 1), C (4; 0), D (0; - 3).
Riešenie. Bod A je priesečníkom priamok x = 1 a y = 3 (pozri obr. 30).
Bod B je priesečníkom priamok x = - 2 a y = 1 (obr. 30). Bod C patrí na os x a bod D patrí na os y (pozri obr. 30).
Na záver časti poznamenávame, že po prvýkrát sa pravouhlý súradnicový systém v rovine začal aktívne používať na nahradenie algebraických modelov geometrický francúzsky filozof René Descartes (1596-1650). Preto niekedy hovoria "karteziánsky súradnicový systém", "karteziánske súradnice".
Kompletný zoznam tém podľa triedy, kalendárny plán podľa školské osnovy matematika online, zábery z matematiky pre 7. ročník na stiahnutie
A. V. Pogorelov, Geometria pre ročníky 7-11, Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie
Obsah lekcie zhrnutie lekcie podpora rámcová lekcia prezentácia akceleračné metódy interaktívne technológie Prax úlohy a cvičenia samovyšetrenie workshopy, školenia, prípady, questy domáce úlohy diskusia otázky rétorické otázky od študentov Ilustrácie audio, videoklipy a multimédiá fotografie, obrázky, grafika, tabuľky, schémy humor, anekdoty, vtipy, komiksy, podobenstvá, výroky, krížovky, citáty Doplnky abstraktyčlánky čipsy pre zvedavé jasličky učebnice základný a doplnkový slovník pojmov iné Zdokonaľovanie učebníc a vyučovacích hodínoprava chýb v učebnici aktualizácia fragmentu v učebnici prvky inovácie v lekcii nahradenie zastaraných vedomostí novými Len pre učiteľov perfektné lekcie kalendárny plán na rok usmernenia diskusné programy Integrované lekciePravouhlý súradnicový systém v rovine tvoria dve vzájomne kolmé súradnicové osi X'X a Y'Y. Súradnicové osi sa pretínajú v bode O, ktorý sa nazýva počiatok súradníc, na každej osi sa volí kladný smer Kladný smer osí (v pravotočivom súradnicovom systéme) sa volí tak, že keď os X'X je otočený proti smeru hodinových ručičiek o 90°, jeho kladný smer sa zhoduje s kladným smerom osi Y'Y. Štyri uhly (I, II, III, IV) tvorené súradnicovými osami X'X a Y'Y sa nazývajú súradnicové uhly (pozri obr. 1).
Poloha bodu A v rovine je určená dvomi súradnicami x a y. Súradnica x sa rovná dĺžke segmentu OB, súradnica y je dĺžka segmentu OC vo vybraných jednotkách. Segmenty OB a OC sú definované čiarami nakreslenými z bodu A rovnobežnými s osami Y'Y a X'X. Súradnica x sa nazýva úsečka bodu A, súradnica y sa nazýva súradnica bodu A. Zapíšu to takto: A (x, y).
Ak bod A leží v súradnicovom uhle I, potom bod A má kladnú úsečku a ordinátu. Ak bod A leží v súradnicovom uhle II, potom má bod A zápornú úsečku a kladnú os. Ak bod A leží v súradnicovom uhle III, potom má bod A zápornú úsečku a ordinátu. Ak bod A leží v súradnicovom uhle IV, potom má bod A kladnú os a zápornú osi.
Pravouhlý súradnicový systém v priestore je tvorený tromi navzájom kolmými súradnicovými osami OX, OY a OZ. Súradnicové osi sa pretínajú v bode O, ktorý sa nazýva počiatok súradníc, na každej osi je zvolený kladný smer označený šípkami a jednotka merania segmentov na osiach. Jednotky merania sú rovnaké pre všetky osi. OX - os úsečka, OY - zvislá os, OZ - aplikovaná os. Kladný smer osí je zvolený tak, že pri otáčaní osi OX proti smeru hodinových ručičiek o 90° sa jej kladný smer zhoduje s kladným smerom osi OY, ak je táto rotácia pozorovaná z kladného smeru osi OZ. Takýto súradnicový systém sa nazýva pravý. Ak palec pravá ruka vezmite pre smer X, index pre smer Y a stred pre smer Z, potom sa vytvorí pravotočivý súradnicový systém. Podobné prsty ľavej ruky tvoria ľavý súradnicový systém. Pravý a ľavý súradnicový systém nemožno kombinovať tak, aby sa zodpovedajúce osi zhodovali (pozri obr. 2).
Poloha bodu A v priestore je určená tromi súradnicami x, y a z. Súradnica x sa rovná dĺžke úseku OB, súradnica y sa rovná dĺžke úseku OC, súradnica z je dĺžka úseku OD vo vybraných jednotkách. Segmenty OB, OC a OD sú definované rovinami vedenými z bodu A rovnobežnými s rovinami YOZ, XOZ a XOY. Súradnica x sa nazýva úsečka bodu A, súradnica y sa nazýva súradnica bodu A, súradnica z sa nazýva aplikácia bodu A. Zapíšu to takto: A (a, b, c).
Horts
Obdĺžnikový súradnicový systém (akéhokoľvek rozmeru) je tiež opísaný množinou ortov, ktoré sú orientované spolu so súradnicovými osami. Počet ortov sa rovná rozmeru súradnicového systému a všetky sú na seba kolmé.
V trojrozmernom prípade sa takéto vektory zvyčajne označujú i j k alebo e X e r e z . Medzitým v prípade správny systém súradnice, platia nasledujúce vzorce s krížovým súčinom vektorov:
- [i j]=k ;
- [j k]=i ;
- [k i]=j .
Príbeh
René Descartes ako prvý zaviedol pravouhlý súradnicový systém vo svojej Rozprave o metóde v roku 1637. Preto sa pravouhlý súradnicový systém nazýva aj - karteziánsky systém súradnice. Súradnicová metóda na opis geometrických objektov položila základy analytickej geometrie. Pierre Fermat tiež prispel k rozvoju súradnicovej metódy, ale jeho práca bola prvýkrát publikovaná až po jeho smrti. Descartes a Fermat použili súradnicovú metódu iba v rovine.
Súradnicovú metódu pre trojrozmerný priestor prvýkrát použil Leonhard Euler už v 18. storočí.
pozri tiež
Odkazy
Nadácia Wikimedia. 2010.
Pozrite si, čo je „rovina súradníc“ v iných slovníkoch:
rovina rezu- (Pn) Súradnicová rovina dotýkajúca sa reznej hrany v uvažovanom bode a kolmá na základnú rovinu. […
V topografii sieť pomyselných línií obopínajúcich sa Zem v zemepisnej šírke a poludníku, pomocou ktorých môžete presne určiť polohu akéhokoľvek bodu na zemského povrchu. Zemepisné šírky sa merajú od rovníka - veľký kruh, ... ... Geografická encyklopédia
V topografii sieť pomyselných čiar obopínajúcich zemeguľu v zemepisnej šírke a poludníku, pomocou ktorých môžete presne určiť polohu akéhokoľvek bodu na zemskom povrchu. Zemepisné šírky sa merajú od rovníka veľkého kruhu, ... ... Collierova encyklopédia
Tento výraz má iné významy, pozri Fázový diagram. Fázová rovina je súradnicová rovina, v ktorej sú pozdĺž súradnicových osí vynesené ľubovoľné dve premenné (fázové súradnice), ktoré jednoznačne určujú stav systému ... ... Wikipedia
hlavná rovina rezu- (Pτ) Rovina súradníc kolmá na priesečník hlavnej roviny a roviny rezu. [GOST 25762 83] Témy rezania Zovšeobecňujúce pojmy systémy súradnicových rovín a súradnicové roviny … Technická príručka prekladateľa
inštrumentálna hlavná rovina rezu- (Pτi) Súradnicová rovina kolmá na priesečník hlavnej roviny prístroja a roviny rezu. [GOST 25762 83] Témy rezania Zovšeobecňujúce pojmy systémy súradnicových rovín a súradnicové roviny … Technická príručka prekladateľa
nástrojová rezná rovina- (Pni) Súradnicová rovina dotýkajúca sa reznej hrany v príslušnom bode a kolmá na základnú rovinu nástroja. [GOST 25762 83] Témy na rezanie Zovšeobecňujúce pojmy pre systémy súradnicových rovín a ... ... Technická príručka prekladateľa
kinematická hlavná rovina rezu- (Pτк) Súradnicová rovina kolmá na priesečník kinematickej hlavnej roviny a roviny rezu ... Technická príručka prekladateľa
kinematická rovina rezu- (Pnk) Súradnicová rovina dotýkajúca sa reznej hrany v uvažovanom bode a kolmá na kinematickú základnú rovinu ... Technická príručka prekladateľa
hlavná rovina- (Pv) Súradnicová rovina vedená cez uvažovaný bod reznej hrany kolmá na smer rýchlosti hlavného alebo čistého rezného pohybu v tomto bode. Poznámka V inštrumentálnom súradnicovom systéme je smer ... ... Technická príručka prekladateľa
Na označenie relatívnej polohy niektorých skúmaných objektov sa používajú nasledovné:
- súradnicový lúč, keď k ich umiestneniu alebo pohybu dochádza pozdĺž priamky na jednej strane daného objektu, ktorý sa považuje za počiatok;
- súradnicová čiara, keď k ich umiestneniu alebo pohybu dochádza pozdĺž priamky na opačných stranách daného objektu, ktorá sa považuje za referenčný bod;
- súradnicovej rovine, keď k ich umiestneniu alebo pohybu dochádza pozdĺž ľubovoľnej nepriamej čiary.
Prvky súradnicovej roviny
Súradnicová rovina sa líši od obyčajnej roviny tým, že je na ňu aplikovaný súradnicový systém. Príkladom je obraz ľubovoľného kontinentu s rovnobežkami a poludníkmi, ktoré sú na ňom zakreslené, ktoré definujú systém zemepisné súradnice, čo vám umožní nájsť alebo nastaviť polohu akéhokoľvek objektu na mape.
Súradnicový systém pozostáva z dvoch súradnicových čiar, ktoré sa v referenčných bodoch vzájomne pretínajú v pravom uhle. Vodorovnú súradnicovú čiaru je zvyčajné nazývať os úsečky (v latinke je úsečka úsečka). Vertikálna čiara - ordináta (ordináta z latinčiny - zarovnanie v poradí).
Podobne sa súradnicová čiara líši od bežnej čiary tým, že je na nej vybraný nejaký bod ako počiatok; vyberte mierku jedného segmentu v závislosti od toho, aké vzdialenosti majú byť zobrazené; kladný referenčný smer, vyznačený na súradnicovej priamke šípky.
Poloha objektu v takejto rovine je označená bodom s dvoma číslami - súradnicami: úsečka a ordináta.
Pomocou súradnicových rovín
Súradnicové roviny sa široko používajú na riešenie geometrických a fyzikálnych problémov. Navyše vo fyzike sa úsečka často považuje za časovú os. Potom os y nastaví súradnicu telesa na súradnicovej čiare umiestnenej pozdĺž priamočiarej trajektórie telesa.
