Transformácia úplnej kvadratickej rovnice na neúplnú vyzerá takto (pre prípad \(b=0\)):

V prípadoch, keď \(c=0\) alebo keď sa oba koeficienty rovnajú nule, je všetko podobné.

Upozorňujeme, že \(a\) sa nerovná nule, nemôže sa rovnať nule, pretože v tomto prípade sa zmení na:

Riešenie neúplných kvadratických rovníc.

Najprv musíte pochopiť, že neúplná kvadratická rovnica je stále, preto ju možno vyriešiť rovnakým spôsobom ako obvyklú kvadratickú (cez). K tomu jednoducho doplníme chýbajúcu zložku rovnice s nulovým koeficientom.

Príklad : Nájdite korene rovnice \(3x^2-27=0\)
Riešenie :

		Máme neúplnú kvadratickú rovnicu s koeficientom \(b=0\). To znamená, že rovnicu môžeme napísať v nasledujúcom tvare:
\(3x^2+0\cbodka x-27=0\)		V skutočnosti je tu rovnaká rovnica ako na začiatku, ale teraz ju možno vyriešiť ako obyčajný štvorec. Najprv si zapíšeme koeficienty.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Vypočítajte diskriminant pomocou vzorca \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Nájdite korene rovnice pomocou vzorcov \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) a \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Zapíšte si odpoveď

Odpoveď : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Príklad : Nájdite korene rovnice \(-x^2+x=0\)
Riešenie :

		Opäť neúplná kvadratická rovnica, ale teraz sa koeficient \(c\) rovná nule. Rovnicu napíšeme ako úplnú.

Kvadratické rovnice sa často objavujú počas riešenia rôzne úlohy fyzika a matematika. V tomto článku sa zamyslíme nad tým, ako tieto rovnosti riešiť univerzálnym spôsobom „cez diskriminanta“. V článku sú uvedené aj príklady využitia získaných vedomostí.

O akých rovniciach hovoríme?

Obrázok nižšie ukazuje vzorec, v ktorom x je neznáma premenná a latinské znaky a, b, c predstavujú niektoré známe čísla.

Každý z týchto symbolov sa nazýva koeficient. Ako vidíte, číslo "a" je pred druhou mocninou premennej x. Toto je maximálna mocnina reprezentovaného výrazu, preto sa nazýva kvadratická rovnica. Často sa používa iný názov: rovnica druhého rádu. Samotná hodnota a je štvorcový koeficient (kvadratúra premennej), b je lineárny koeficient (je vedľa premennej umocnený na prvú mocninu) a nakoniec číslo c je voľný člen.

Všimnite si, že tvar rovnice znázornený na obrázku vyššie je všeobecný klasický kvadratický výraz. Okrem nej existujú ďalšie rovnice druhého rádu, v ktorých koeficienty b, c môžu byť nulové.

Keď je úloha nastavená na riešenie uvažovanej rovnosti, znamená to, že sa musia nájsť také hodnoty premennej x, ktoré by ju uspokojili. Prvá vec, ktorú si treba zapamätať, je nasledovné: keďže maximálna mocnina x je 2, tento typ výrazu nemôže mať viac ako 2 riešenia. To znamená, že ak sa pri riešení rovnice našli 2 x hodnoty, ktoré ju spĺňajú, môžete si byť istí, že neexistuje žiadne 3. číslo, ktoré by namiesto x platilo aj pre rovnosť. Riešenia rovnice v matematike sa nazývajú jej korene.

Metódy riešenia rovníc druhého rádu

Riešenie rovníc tohto typu si vyžaduje znalosť určitej teórie o nich. V školskom kurze algebry sa zvažujú 4 rôzne spôsoby riešenia. Poďme si ich vymenovať:

• pomocou faktorizácie;
• pomocou vzorca pre dokonalý štvorec;
• použitie grafu zodpovedajúcej kvadratickej funkcie;
• pomocou diskriminačnej rovnice.

Výhodou prvej metódy je jej jednoduchosť, nemožno ju však aplikovať na všetky rovnice. Druhá metóda je univerzálna, ale trochu ťažkopádna. Tretia metóda sa vyznačuje svojou jasnosťou, ale nie je vždy vhodná a použiteľná. A nakoniec, použitie diskriminačnej rovnice je univerzálny a pomerne jednoduchý spôsob, ako nájsť korene absolútne akejkoľvek rovnice druhého rádu. Preto v článku zvážime iba to.

Vzorec na získanie koreňov rovnice

Vráťme sa k všeobecnému tvaru kvadratickej rovnice. Zapíšme si to: a*x²+ b*x + c =0. Pred použitím metódy riešenia „cez diskriminant“ treba rovnosť vždy zredukovať na písomnú formu. To znamená, že musí pozostávať z troch členov (alebo menej, ak b alebo c je 0).

Napríklad, ak existuje výraz: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², najprv by ste mali preniesť všetky jeho členy na jednu stranu rovnosti a pridať do toho isté výrazy obsahujúce premennú x právomoci.

AT tento prípad táto operácia povedie k nasledujúcemu výrazu: -6*x²-4*x+8=0, čo je ekvivalentné rovnici 6*x²+4*x-8=0 (tu sme vynásobili ľavú a pravú stranu rovnica o -1).

Vo vyššie uvedenom príklade a = 6, b = 4, c = -8. Všimnite si, že všetky členy uvažovanej rovnosti sú vždy sčítané medzi sebou, takže ak sa objaví znamienko "-", znamená to, že zodpovedajúci koeficient je záporný, ako v tomto prípade číslo c.

Po analýze tohto bodu sa teraz obrátime na samotný vzorec, ktorý umožňuje získať korene kvadratickej rovnice. Vyzerá to ako na fotografii nižšie.

Ako je zrejmé z tohto výrazu, umožňuje vám získať dva korene (mali by ste venovať pozornosť znamienku "±"). Na to stačí dosadiť do nej koeficienty b, c a a.

Pojem diskriminant

V predchádzajúcom odseku bol uvedený vzorec, ktorý vám umožní rýchlo vyriešiť akúkoľvek rovnicu druhého rádu. V ňom sa radikálny výraz nazýva diskriminant, to znamená D \u003d b²-4 * a * c.

Prečo je táto časť vzorca vyčlenená a má vôbec svoj vlastný názov? Faktom je, že diskriminant spája všetky tri koeficienty rovnice do jedného výrazu. Posledná skutočnosť znamená, že úplne nesie informácie o koreňoch, ktoré možno vyjadriť nasledujúcim zoznamom:

1. D>0: rovnosť má 2 rôzne riešenia, pričom obe sú skutočné čísla.
2. D=0: Rovnica má iba jeden koreň a je to reálne číslo.

Úlohou určiť diskriminant

Tu je jednoduchý príklad, ako nájsť diskriminant. Nech je daná nasledujúca rovnosť: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Prenesme to do štandardného tvaru, dostaneme: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, z čoho sa dostaneme k rovnosti : -2*x² +2*x-11 = 0. Tu a=-2, b=2, c=-11.

Teraz môžete použiť pomenovaný vzorec pre diskriminant: D \u003d 2² - 4 * (-2) * (-11) \u003d -84. Výsledné číslo je odpoveďou na úlohu. Keďže diskriminant v príklade je menší ako nula, môžeme povedať, že táto kvadratická rovnica nemá žiadne skutočné korene. Jeho riešením budú iba čísla komplexného typu.

Príklad nerovnosti cez diskriminant

Riešime úlohy trochu iného typu: je daná rovnosť -3*x²-6*x+c = 0. Je potrebné nájsť také hodnoty c, pre ktoré D>0.

V tomto prípade sú známe iba 2 z 3 koeficientov, takže nebude možné vypočítať presnú hodnotu diskriminantu, ale je známe, že je kladná. Pri zostavovaní nerovnosti použijeme posledný fakt: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Riešenie získanej nerovnosti vedie k výsledku: c>-3.

Skontrolujeme výsledné číslo. Aby sme to urobili, vypočítame D pre 2 prípady: c=-2 a c=-4. Číslo -2 vyhovuje výsledku (-2>-3), príslušný diskriminant bude mať hodnotu: D = 12>0. Na druhej strane, číslo -4 nespĺňa nerovnosť (-4 Teda všetky čísla c, ktoré sú väčšie ako -3, podmienku splnia.

Príklad riešenia rovnice

Tu je problém, ktorý nespočíva len v hľadaní diskriminantu, ale aj v riešení rovnice. Je potrebné nájsť korene pre rovnosť -2*x²+7-9*x = 0.

V tomto príklade sa diskriminant rovná nasledujúcej hodnote: D = 81-4*(-2)*7= 137. Potom sa korene rovnice určia takto: x = (9±√137)/(- 4). Toto sú presné hodnoty koreňov, ak vypočítate koreň približne, dostanete čísla: x \u003d -5,176 a x \u003d 0,676.

geometrický problém

Vyriešime problém, ktorý si bude vyžadovať nielen schopnosť vypočítať diskriminant, ale aj využitie zručností abstraktné myslenie a znalosť písania kvadratických rovníc.

Bob mal perinu 5 x 4 metre. Chlapec chcel ušiť súvislý pás krásnej látky po celom obvode. Aký hrubý bude tento pás, ak je známe, že Bob má 10 m² látky.

Nech má pás hrúbku x m, potom plocha látky pozdĺž dlhej strany prikrývky bude (5 + 2 * x) * x, a keďže existujú 2 dlhé strany, máme: 2 * x * (5 + 2 * x). Na krátkej strane bude plocha šitej látky 4*x, keďže sú tieto strany 2, dostaneme hodnotu 8*x. Všimnite si, že na dlhej strane bolo pridané 2*x, pretože dĺžka prikrývky sa o toto číslo zväčšila. Celková plocha látky prišitej k deke je 10 m². Preto dostaneme rovnosť: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

V tomto príklade je diskriminant: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Jeho koreň je 22. Pomocou vzorca nájdeme požadované korene: x = (-18±22)/(2* 4) = (-5; 0,5). Je zrejmé, že z dvoch koreňov je pre stav problému vhodné iba číslo 0,5.

Teda prúžok látky, ktorý Bob prišije na svoju deku, bude široký 50 cm.

Vzorce pre korene kvadratickej rovnice. Zvažujú sa prípady skutočných, viacnásobných a zložitých koreňov. Faktorizácia štvorcový trojčlen. Geometrická interpretácia. Príklady určovania koreňov a faktorizácie.

Základné vzorce

Zvážte kvadratickú rovnicu:
(1) .
Korene kvadratickej rovnice(1) sa určujú podľa vzorcov:
; .
Tieto vzorce je možné kombinovať takto:
.
Keď sú známe korene kvadratickej rovnice, potom môže byť polynóm druhého stupňa reprezentovaný ako súčin faktorov (faktorovaný):
.

Ďalej predpokladáme, že ide o reálne čísla.
Zvážte diskriminant kvadratickej rovnice:
.
Ak je diskriminant kladný, potom kvadratická rovnica (1) má dva rôzne reálne korene:
; .
Potom má rozklad štvorcového trinomu tvar:
.
Ak je diskriminačný nula, , potom kvadratická rovnica (1) má dva viacnásobné (rovnaké) skutočné korene:
.
Faktorizácia:
.
Ak je diskriminant záporný, potom kvadratická rovnica (1) má dva komplexne konjugované korene:
;
.
Tu je pomyselná jednotka, ;
a sú skutočnými a imaginárnymi časťami koreňov:
; .
Potom

.

Grafická interpretácia

Ak stavať funkčný graf
,
čo je parabola, potom priesečníky grafu s osou budú koreňmi rovnice
.
Keď , graf pretína os x (os) v dvoch bodoch.
Keď sa graf dotkne osi x v jednom bode.
Keď , graf nepretína os x.

Nižšie sú uvedené príklady takýchto grafov.

Užitočné vzorce súvisiace s kvadratickou rovnicou

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice

Vykonávame transformácie a aplikujeme vzorce (f.1) a (f.3):




,
kde
; .

Takže sme dostali vzorec pre polynóm druhého stupňa v tvare:
.
Z toho vidno, že rovnica

vykonaná o
a .
To je a sú koreňmi kvadratickej rovnice
.

Príklady určenia koreňov kvadratickej rovnice

Príklad 1

(1.1) .

Riešenie

.
V porovnaní s našou rovnicou (1.1) nájdeme hodnoty koeficientov:
.
Nájdenie diskriminantu:
.
Keďže diskriminant je kladný, rovnica má dva skutočné korene:
;
;
.

Odtiaľ dostaneme rozklad štvorcového trinomu na faktory:

.

Graf funkcie y = 2 x 2 + 7 x + 3 pretína os x v dvoch bodoch.

Nakreslíme funkciu
.
Graf tejto funkcie je parabola. Pretína os x (os) v dvoch bodoch:
a .
Tieto body sú koreňmi pôvodnej rovnice (1.1).

Odpoveď

;
;
.

Príklad 2

Nájdite korene kvadratickej rovnice:
(2.1) .

Riešenie

Napíšeme kvadratickú rovnicu všeobecný pohľad:
.
V porovnaní s pôvodnou rovnicou (2.1) nájdeme hodnoty koeficientov:
.
Nájdenie diskriminantu:
.
Keďže diskriminant je nula, rovnica má dva viacnásobné (rovnaké) korene:
;
.

Potom má faktorizácia trojčlenky tvar:
.

Graf funkcie y = x 2 - 4 x + 4 sa v jednom bode dotýka osi x.

Nakreslíme funkciu
.
Graf tejto funkcie je parabola. Dotýka sa osi x (osi) v jednom bode:
.
Tento bod je koreňom pôvodnej rovnice (2.1). Keďže tento koreň je počítaný dvakrát:
,
potom sa takýto koreň nazýva násobok. To znamená, že sa domnievajú, že existujú dva rovnaké korene:
.

Odpoveď

;
.

Príklad 3

Nájdite korene kvadratickej rovnice:
(3.1) .

Riešenie

Kvadratickú rovnicu napíšeme vo všeobecnom tvare:
(1) .
Prepíšme pôvodnú rovnicu (3.1):
.
V porovnaní s (1) nájdeme hodnoty koeficientov:
.
Nájdenie diskriminantu:
.
Diskriminant je negatívny, . Preto neexistujú žiadne skutočné korene.

Môžete nájsť zložité korene:
;
;
.

Potom


.

Graf funkcie nepretína os x. Neexistujú žiadne skutočné korene.

Nakreslíme funkciu
.
Graf tejto funkcie je parabola. Nepretína abscisu (os). Preto neexistujú žiadne skutočné korene.

Odpoveď

Neexistujú žiadne skutočné korene. Komplexné korene:
;
;
.

Pomocou tohto matematického programu môžete vyriešiť kvadratickú rovnicu.

Program nielenže dáva odpoveď na problém, ale tiež zobrazuje proces riešenia dvoma spôsobmi:
- pomocou diskriminantu
- pomocou Vietovej vety (ak je to možné).

Okrem toho sa odpoveď zobrazuje presná, nie približná.
Napríklad pre rovnicu \(81x^2-16x-1=0\) sa odpoveď zobrazí v tomto tvare:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ namiesto tohto: \(x_1 = 0,247; \ quad x_2 = -0,05 \)

Tento program môže byť užitočný pre študentov stredných škôl všeobecnovzdelávacie školy v príprave na kontrolná práca a skúškach, pri preverovaní vedomostí pred skúškou rodičia na ovládanie riešenia mnohých úloh z matematiky a algebry. Alebo možno je pre vás príliš drahé najať si tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo to len chcete mať hotové čo najskôr? domáca úloha matematika alebo algebra? V tomto prípade môžete využiť aj naše programy s detailným riešením.

Týmto spôsobom môžete viesť svoje vlastné školenia a/alebo školenia vašich mladších bratov alebo sestier, pričom sa zvýši úroveň vzdelania v oblasti úloh, ktoré je potrebné riešiť.

Ak nie ste oboznámení s pravidlami zadávania štvorcového polynómu, odporúčame vám sa s nimi oboznámiť.

Pravidlá pre zadávanie štvorcového polynómu

Akékoľvek latinské písmeno môže fungovať ako premenná.
Napríklad: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) atď.

Čísla je možné zadávať ako celé čísla alebo zlomky.
navyše zlomkové čísla možno zadať nielen ako desatinné číslo, ale aj ako obyčajný zlomok.

Pravidlá pre zadávanie desatinných zlomkov.
V desatinných zlomkoch možno zlomkovú časť od celého čísla oddeliť buď bodkou alebo čiarkou.
Môžete napríklad zadať desatinné miesta takže: 2,5x - 3,5x^2

Pravidlá pre zadávanie obyčajných zlomkov.
Len celé číslo môže fungovať ako čitateľ, menovateľ a celá časť zlomku.

Menovateľ nemôže byť záporný.

Pri zadávaní číselného zlomku sa čitateľ oddelí od menovateľa deliacim znamienkom: /
celú časť oddelené od zlomku ampersandom: &
Vstup: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Výsledok: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Pri zadávaní výrazu môžete použiť zátvorky. V tomto prípade sa pri riešení kvadratickej rovnice najskôr zjednoduší zavedený výraz.
Napríklad: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Rozhodnite sa

Zistilo sa, že niektoré skripty potrebné na vyriešenie tejto úlohy sa nenačítali a program nemusí fungovať.
Možno máte povolený AdBlock.
V takom prípade ho vypnite a obnovte stránku.

V prehliadači máte vypnutý JavaScript.
Aby sa riešenie zobrazilo, musí byť povolený JavaScript.
Tu je návod, ako povoliť JavaScript vo vašom prehliadači.

Pretože Existuje veľa ľudí, ktorí chcú problém vyriešiť, vaša požiadavka je v rade.
Po niekoľkých sekundách sa riešenie zobrazí nižšie.
Počkaj, prosím sek...

Ak ty si všimol chybu v riešení, potom o tom môžete napísať do Formulára spätnej väzby .
Nezabudni uveďte akú úlohu ty sa rozhodneš čo zadajte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teórie.

Kvadratická rovnica a jej korene. Neúplné kvadratické rovnice

Každá z rovníc
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
má formu
\(ax^2+bx+c=0, \)
kde x je premenná, a, b a c sú čísla.
V prvej rovnici a = -1, b = 6 a c = 1,4, v druhej a = 8, b = -7 a c = 0, v tretej a = 1, b = 0 a c = 4/9. Takéto rovnice sa nazývajú kvadratické rovnice.

Definícia.
kvadratická rovnica nazývame rovnicu v tvare ax 2 +bx+c=0, kde x je premenná, a, b a c sú nejaké čísla a \(a \neq 0 \).

Čísla a, b a c sú koeficienty kvadratickej rovnice. Číslo a sa nazýva prvý koeficient, číslo b je druhý koeficient a číslo c je priesečník.

V každej z rovníc tvaru ax 2 +bx+c=0, kde \(a \neq 0 \), je najväčšia mocnina premennej x druhá mocnina. Odtiaľ názov: kvadratická rovnica.

Všimnite si, že kvadratická rovnica sa tiež nazýva rovnica druhého stupňa, pretože jej ľavá strana je polynómom druhého stupňa.

Nazýva sa kvadratická rovnica, v ktorej koeficient v x 2 je 1 redukovaná kvadratická rovnica. Napríklad dané kvadratické rovnice sú rovnice
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Ak sa v kvadratickej rovnici ax 2 +bx+c=0 aspoň jeden z koeficientov b alebo c rovná nule, potom sa takáto rovnica nazýva neúplná kvadratická rovnica. Takže rovnice -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sú neúplné kvadratické rovnice. V prvom z nich b=0, v druhom c=0, v treťom b=0 a c=0.

Neúplné kvadratické rovnice sú troch typov:
1) ax 2 +c=0, kde \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kde \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Zvážte riešenie rovníc každého z týchto typov.

Na vyriešenie neúplnej kvadratickej rovnice tvaru ax 2 +c=0 pre \(c \neq 0 \) sa jej voľný člen prenesie do pravá strana a vydeľte obe strany rovnice a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Šípka doprava x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Pretože \(c \neq 0 \), potom \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Ak \(-\frac(c)(a)>0 \), potom má rovnica dva korene.

Ak \(-\frac(c)(a) Na vyriešenie neúplnej kvadratickej rovnice v tvare ax 2 +bx=0 pre \(b \neq 0 \) rozkladajte jej ľavú stranu na faktor a získajte rovnicu
\(x(ax+b)=0 \šípka doprava \vľavo\( \začiatok(pole)(l) x=0 \\ ax+b=0 \koniec(pole) \vpravo. \šípka doprava \vľavo\( \začiatok (pole)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(pole) \vpravo. \)

Neúplná kvadratická rovnica tvaru ax 2 +bx=0 pre \(b \neq 0 \) má teda vždy dva korene.

Neúplná kvadratická rovnica tvaru ax 2 \u003d 0 je ekvivalentná rovnici x 2 \u003d 0, a preto má jeden koreň 0.

Vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Uvažujme teraz, ako sa riešia kvadratické rovnice, v ktorých sú koeficienty neznámych aj voľný člen nenulové.

Kvadratickú rovnicu riešime vo všeobecnom tvare a výsledkom je vzorec koreňov. Potom sa tento vzorec môže použiť na riešenie akejkoľvek kvadratickej rovnice.

Vyriešte kvadratickú rovnicu ax 2 +bx+c=0

Vydelením oboch jej častí a získame ekvivalentnú redukovanú kvadratickú rovnicu
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Túto rovnicu transformujeme zvýraznením štvorca dvojčlenu:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \šípka doprava \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \šípka doprava \) \(\vľavo(x+\frac(b)(2a)\vpravo)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \šípka doprava \left(x+\frac(b)(2a)\vpravo)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \šípka doprava \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Šípka doprava x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \šípka doprava \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Koreňový výraz je tzv diskriminant kvadratickej rovnice ax 2 +bx+c=0 („diskriminačný“ v latinčine - rozlišovač). Označuje sa písmenom D, t.j.
\(D = b^2-4ac\)

Teraz pomocou zápisu diskriminantu prepíšeme vzorec pre korene kvadratickej rovnice:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kde \(D= b^2-4ac \)

Je zrejmé, že:
1) Ak D>0, potom má kvadratická rovnica dva korene.
2) Ak D=0, potom má kvadratická rovnica jeden koreň \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ak D Teda v závislosti od hodnoty diskriminantu môže mať kvadratická rovnica dva korene (pre D > 0), jeden koreň (pre D = 0) alebo žiadne korene (pre D Pri riešení kvadratickej rovnice pomocou tohto vzorca , je vhodné postupovať nasledovne:
1) vypočítajte diskriminant a porovnajte ho s nulou;
2) ak je diskriminant kladný alebo rovný nule, potom použite koreňový vzorec, ak je diskriminant záporný, napíšte, že neexistujú žiadne korene.

Vietov teorém

Daná kvadratická rovnica ax 2 -7x+10=0 má korene 2 a 5. Súčet koreňov je 7 a súčin je 10. Vidíme, že súčet koreňov sa rovná druhému koeficientu získanému pomocou opačné znamienko a súčin koreňov sa rovná voľnému členu. Túto vlastnosť má každá redukovaná kvadratická rovnica, ktorá má korene.

Súčet koreňov danej kvadratickej rovnice sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu.

Tie. Vietova veta hovorí, že korene x 1 a x 2 redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +px+q=0 majú vlastnosť:
\(\vľavo\( \začiatok(pole)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \koniec(pole) \vpravo. \)

Prvá úroveň

Kvadratické rovnice. Komplexný sprievodca (2019)

V termíne "kvadratická rovnica" je kľúčové slovo "kvadratická". To znamená, že rovnica musí nevyhnutne obsahovať premennú (rovnaké X) v štvorci a zároveň by nemali byť X v treťom (alebo väčšom) stupni.

Riešenie mnohých rovníc sa redukuje na riešenie kvadratických rovníc.

Naučme sa určiť, že máme kvadratickú rovnicu a nie nejakú inú.

Príklad 1

Zbavte sa menovateľa a vynásobte každý člen rovnice

Presuňme všetko na ľavú stranu a usporiadajme členy v zostupnom poradí podľa mocniny x

Teraz môžeme s istotou povedať, že táto rovnica je kvadratická!

Príklad 2

Vynásobte ľavú a pravú stranu:

Táto rovnica, hoci v nej pôvodne bola, nie je štvorec!

Príklad 3

Všetko vynásobme:

desivé? Štvrtý a druhý stupeň ... Ak však urobíme náhradu, uvidíme, že máme jednoduchú kvadratickú rovnicu:

Príklad 4

Zdá sa, že áno, ale pozrime sa na to bližšie. Presuňme všetko na ľavú stranu:

Vidíte, zmenšil sa - a teraz je to jednoduchá lineárna rovnica!

Teraz skúste sami určiť, ktoré z nasledujúcich rovníc sú kvadratické a ktoré nie:

Príklady:

Odpovede:

1. námestie;
2. námestie;
3. nie štvorcový;
4. nie štvorcový;
5. nie štvorcový;
6. námestie;
7. nie štvorcový;
8. námestie.

Matematici podmienečne rozdeľujú všetky kvadratické rovnice do nasledujúcich typov:

• Kompletné kvadratické rovnice- rovnice, v ktorých koeficienty a aj voľný člen c sa nerovnajú nule (ako v príklade). Okrem toho medzi úplnými kvadratickými rovnicami sú daný sú rovnice, v ktorých koeficient (rovnica z príkladu 1 je nielen úplná, ale aj redukovaná!)

• Neúplné kvadratické rovnice- rovnice, v ktorých sa koeficient alebo voľný člen c rovnajú nule:

  Sú neúplné, pretože v nich chýba nejaký prvok. Ale rovnica musí vždy obsahovať x na druhú !!! Inak to už nebude kvadratická, ale nejaká iná rovnica.

Prečo prišli s takýmto rozdelením? Zdalo by sa, že existuje X na druhú a v poriadku. Takéto rozdelenie je spôsobené metódami riešenia. Zvážme každú z nich podrobnejšie.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc

Najprv sa zamerajme na riešenie neúplných kvadratických rovníc – sú oveľa jednoduchšie!

Neúplné kvadratické rovnice sú typov:

1. , v tejto rovnici je koeficient rovný.
2. , v tejto rovnici sa voľný člen rovná.
3. , v tejto rovnici sa koeficient a voľný člen rovnajú.

1. i. Keďže vieme, ako extrahovať Odmocnina, potom vyjadrime z tejto rovnice

Výraz môže byť negatívny alebo pozitívny. Druhé číslo nemôže byť záporné, pretože pri vynásobení dvoch záporných alebo dvoch kladných čísel bude výsledok vždy rovnaký kladné číslo, takže: ak, potom rovnica nemá riešenia.

A ak, potom dostaneme dva korene. Tieto vzorce sa netreba učiť naspamäť. Hlavná vec je, že by ste mali vždy vedieť a pamätať si, že to nemôže byť menej.

Skúsme vyriešiť niekoľko príkladov.

Príklad 5:

Vyriešte rovnicu

Teraz zostáva extrahovať koreň z ľavej a pravej časti. Koniec koncov, pamätáte si, ako extrahovať korene?

odpoveď:

Nikdy nezabudnite na korene so záporným znamienkom!!!

Príklad 6:

Vyriešte rovnicu

odpoveď:

Príklad 7:

Vyriešte rovnicu

Ou! Druhá mocnina čísla nemôže byť záporná, čo znamená, že rovnica

žiadne korene!

Pre takéto rovnice, v ktorých nie sú žiadne korene, matematici prišli so špeciálnou ikonou - (prázdna množina). A odpoveď môže byť napísaná takto:

odpoveď:

Táto kvadratická rovnica má teda dva korene. Neexistujú žiadne obmedzenia, pretože sme nevyťažili koreň.
Príklad 8:

Vyriešte rovnicu

Vyberme spoločný faktor zo zátvoriek:

Touto cestou,

Táto rovnica má dva korene.

odpoveď:

Najjednoduchší typ neúplných kvadratických rovníc (hoci sú všetky jednoduché, však?). Je zrejmé, že táto rovnica má vždy iba jeden koreň:

Tu sa zaobídeme bez príkladov.

Riešenie úplných kvadratických rovníc

Pripomíname, že úplná kvadratická rovnica je rovnica tvaru rovnice kde

Riešenie úplných kvadratických rovníc je o niečo zložitejšie (iba o trochu) ako tie, ktoré sú uvedené.

zapamätaj si, pomocou diskriminantu je možné vyriešiť akúkoľvek kvadratickú rovnicu! Dokonca neúplné.

Ostatné metódy vám to pomôžu rýchlejšie, ale ak máte problémy s kvadratickými rovnicami, najprv si osvojte riešenie pomocou diskriminantu.

1. Riešenie kvadratických rovníc pomocou diskriminantu.

Riešenie kvadratických rovníc týmto spôsobom je veľmi jednoduché, hlavnou vecou je zapamätať si postupnosť akcií a niekoľko vzorcov.

Ak, potom má rovnica koreň. Osobitná pozornosť by sa mala venovať kroku. Diskriminant () nám udáva počet koreňov rovnice.

• Ak, potom sa vzorec v kroku zredukuje na. Rovnica teda bude mať iba koreň.
• Ak, potom nebudeme môcť extrahovať koreň diskriminantu v kroku. To znamená, že rovnica nemá korene.

Vráťme sa k našim rovniciam a pozrime sa na niekoľko príkladov.

Príklad 9:

Vyriešte rovnicu

Krok 1 preskočiť.

Krok 2

Nájdenie diskriminantu:

Takže rovnica má dva korene.

Krok 3

odpoveď:

Príklad 10:

Vyriešte rovnicu

Rovnica je v štandardnom tvare, takže Krok 1 preskočiť.

Krok 2

Nájdenie diskriminantu:

Takže rovnica má jeden koreň.

odpoveď:

Príklad 11:

Vyriešte rovnicu

Rovnica je v štandardnom tvare, takže Krok 1 preskočiť.

Krok 2

Nájdenie diskriminantu:

To znamená, že nebudeme môcť extrahovať koreň z diskriminantu. Neexistujú žiadne korene rovnice.

Teraz už vieme, ako si takéto odpovede správne zapísať.

odpoveď:žiadne korene

2. Riešenie kvadratických rovníc pomocou Vietovej vety.

Ak si pamätáte, potom existuje taký typ rovníc, ktoré sa nazývajú redukované (keď sa koeficient a rovná):

Takéto rovnice sa dajú veľmi ľahko vyriešiť pomocou Vietovej vety:

Súčet koreňov daný kvadratická rovnica sa rovná a súčin koreňov sa rovná.

Príklad 12:

Vyriešte rovnicu

Táto rovnica je vhodná na riešenie pomocou Vietovej vety, pretože .

Súčet koreňov rovnice je, t.j. dostaneme prvú rovnicu:

A produkt je:

Poďme vytvoriť a vyriešiť systém:

• a. Súčet je;
• a. Súčet je;
• a. Suma je rovnaká.

a sú riešením systému:

odpoveď: ; .

Príklad 13:

Vyriešte rovnicu

odpoveď:

Príklad 14:

Vyriešte rovnicu

Rovnica je redukovaná, čo znamená:

odpoveď:

KVADRATICKÉ ROVNICE. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

Čo je to kvadratická rovnica?

Inými slovami, kvadratická rovnica je rovnica tvaru, kde navyše - neznáme, - nejaké čísla.

Číslo sa nazýva najvyššie resp prvý koeficient kvadratická rovnica, - druhý koeficient, a - voľný člen.

prečo? Pretože ak, rovnica sa okamžite stane lineárnou, pretože zmizne.

V tomto prípade a môže byť rovný nule. V tejto stolici sa rovnica nazýva neúplná. Ak sú všetky pojmy na mieste, to znamená, že rovnica je úplná.

Riešenie rôznych typov kvadratických rovníc

Metódy riešenia neúplných kvadratických rovníc:

Na začiatok si rozoberieme metódy riešenia neúplných kvadratických rovníc - sú jednoduchšie.

Je možné rozlíšiť nasledujúce typy rovníc:

I. , v tejto rovnici sa koeficient a voľný člen rovnajú.

II. , v tejto rovnici je koeficient rovný.

III. , v tejto rovnici sa voľný člen rovná.

Teraz zvážte riešenie každého z týchto podtypov.

Je zrejmé, že táto rovnica má vždy iba jeden koreň:

Druhá mocnina nemôže byť záporná, pretože pri vynásobení dvoch záporných alebo dvoch kladných čísel bude výsledkom vždy kladné číslo. Preto:

ak, potom rovnica nemá riešenia;

ak máme dva korene

Tieto vzorce sa netreba učiť naspamäť. Hlavná vec na zapamätanie je, že to nemôže byť menej.

Príklady:

Riešenia:

odpoveď:

Nikdy nezabudnite na korene so záporným znamienkom!

Druhá mocnina čísla nemôže byť záporná, čo znamená, že rovnica

žiadne korene.

Aby sme stručne napísali, že problém nemá riešenia, použijeme ikonu prázdnej sady.

odpoveď:

Takže táto rovnica má dva korene: a.

odpoveď:

Vyberme spoločný faktor zo zátvoriek:

Súčin sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. To znamená, že rovnica má riešenie, keď:

Takže táto kvadratická rovnica má dva korene: a.

Príklad:

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Rozdelíme ľavú stranu rovnice na faktor a nájdeme korene:

odpoveď:

Metódy riešenia úplných kvadratických rovníc:

1. Diskriminačný

Riešenie kvadratických rovníc týmto spôsobom je jednoduché, hlavnou vecou je zapamätať si postupnosť akcií a niekoľko vzorcov. Pamätajte, že každá kvadratická rovnica môže byť vyriešená pomocou diskriminantu! Dokonca neúplné.

Všimli ste si koreň diskriminantu v koreňovom vzorci? Ale diskriminant môže byť negatívny. Čo robiť? Osobitnú pozornosť musíme venovať kroku 2. Diskriminant nám hovorí počet koreňov rovnice.

• Ak, potom rovnica má koreň:
• Ak, potom má rovnica rovnaký koreň, ale v skutočnosti jeden koreň:

  Takéto korene sa nazývajú dvojité korene.

• Ak, potom koreň diskriminantu nie je extrahovaný. To znamená, že rovnica nemá korene.

Prečo je to možné iná suma korene? Obráťme sa na geometrický zmysel kvadratická rovnica. Grafom funkcie je parabola:

V konkrétnom prípade, ktorým je kvadratická rovnica, . A to znamená, že korene kvadratickej rovnice sú priesečníky s osou x (osou). Parabola nemusí vôbec pretínať os, alebo ju môže pretínať v jednom (keď vrchol paraboly leží na osi) alebo dvoch bodoch.

Okrem toho je koeficient zodpovedný za smer vetiev paraboly. Ak, potom vetvy paraboly smerujú nahor a ak - potom nadol.

Príklady:

Riešenia:

odpoveď:

Odpoveď: .

odpoveď:

To znamená, že neexistujú žiadne riešenia.

Odpoveď: .

2. Vietova veta

Použitie Vietovej vety je veľmi jednoduché: stačí si vybrať pár čísel, ktorých súčin sa rovná voľnému členu rovnice a súčet sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom.

Je dôležité si uvedomiť, že Vietovu vetu je možné aplikovať iba na ňu dané kvadratické rovnice ().

Pozrime sa na niekoľko príkladov:

Príklad č. 1:

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Táto rovnica je vhodná na riešenie pomocou Vietovej vety, pretože . Ostatné koeficienty: ; .

Súčet koreňov rovnice je:

A produkt je:

Vyberme také dvojice čísel, ktorých súčin sa rovná, a skontrolujeme, či sa ich súčet rovná:

• a. Súčet je;
• a. Súčet je;
• a. Suma je rovnaká.

a sú riešením systému:

Tak, a sú korene našej rovnice.

Odpoveď: ; .

Príklad č. 2:

Riešenie:

Vyberieme také dvojice čísel, ktoré sú v súčine, a potom skontrolujeme, či sa ich súčet rovná:

a: dať celkom.

a: dať celkom. Aby ste to získali, stačí zmeniť znaky údajných koreňov: a koniec koncov aj produkt.

odpoveď:

Príklad č. 3:

Riešenie:

Voľný člen rovnice je záporný, a teda súčin koreňov - záporné číslo. To je možné len vtedy, ak je jeden z koreňov negatívny a druhý pozitívny. Takže súčet koreňov je rozdiely ich modulov.

Vyberáme také dvojice čísel, ktoré dávajú súčin, a ktorých rozdiel sa rovná:

a: ich rozdiel je - nevhodný;

a: - nevhodné;

a: - nevhodné;

a: - vhodné. Zostáva len pamätať na to, že jeden z koreňov je negatívny. Keďže ich súčet sa musí rovnať, potom koreň, ktorý je v absolútnej hodnote menší, musí byť záporný: . Kontrolujeme:

odpoveď:

Príklad č. 4:

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Rovnica je redukovaná, čo znamená:

Voľný termín je záporný, a teda súčin koreňov je záporný. A to je možné len vtedy, keď je jeden koreň rovnice záporný a druhý kladný.

Vyberieme také dvojice čísel, ktorých súčin je rovnaký, a potom určíme, ktoré korene by mali mať záporné znamienko:

Je zrejmé, že iba korene a sú vhodné pre prvý stav:

odpoveď:

Príklad č. 5:

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Rovnica je redukovaná, čo znamená:

Súčet koreňov je záporný, čo znamená, že aspoň jeden z koreňov je záporný. Ale keďže ich produkt je pozitívny, znamená to, že oba korene sú mínusové.

Vyberáme také dvojice čísel, ktorých súčin sa rovná:

Je zrejmé, že korene sú čísla a.

odpoveď:

Súhlasíte, je to veľmi výhodné - vymýšľať korene ústne, namiesto počítania tohto škaredého diskriminátora. Snažte sa používať Vietovu vetu čo najčastejšie.

Ale veta Vieta je potrebná, aby sa uľahčilo a urýchlilo hľadanie koreňov. Aby bolo pre vás jeho používanie rentabilné, musíte akcie automatizovať. A preto vyriešte ďalších päť príkladov. Ale nepodvádzajte: nemôžete použiť diskriminant! Iba Vietov teorém:

Riešenia úloh pre samostatnú prácu:

Úloha 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Podľa Vietovej vety:

Ako obvykle začíname výber produktom:

Nevhodné, pretože množstvo;

: množstvo je to, čo potrebujete.

Odpoveď: ; .

Úloha 2.

A opäť naša obľúbená Vieta veta: súčet by mal vyjsť, ale súčin sa rovná.

Ale keďže by to nemalo byť, ale, meníme znamienka koreňov: a (celkovo).

Odpoveď: ; .

Úloha 3.

Hmm... Kde to je?

Je potrebné preniesť všetky pojmy do jednej časti:

Súčet koreňov sa rovná súčinu.

Áno, prestaň! Rovnica nie je daná. Vietova veta je však použiteľná len v daných rovniciach. Takže najprv musíte priniesť rovnicu. Ak si to neviete predstaviť, zahoďte túto myšlienku a vyriešte ju iným spôsobom (napríklad cez diskriminant). Dovoľte mi pripomenúť, že uviesť kvadratickú rovnicu znamená, že vedúci koeficient bude rovný:

Výborne. Potom sa súčet koreňov rovná a súčin.

Tu je ľahšie vyzdvihnúť: predsa - prvočíslo (prepáčte za tautológiu).

Odpoveď: ; .

Úloha 4.

Voľný termín je záporný. Čo je na ňom také zvláštne? A skutočnosť, že korene budú rôznych znamení. A teraz, počas výberu, nekontrolujeme súčet koreňov, ale rozdiel medzi ich modulmi: tento rozdiel je rovnaký, ale súčin.

Korene sú teda rovnaké a, ale jeden z nich je s mínusom. Vietova veta nám hovorí, že súčet koreňov sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom, tzn. To znamená, že menší koreň bude mať mínus: a od.

Odpoveď: ; .

Úloha 5.

Čo je potrebné urobiť ako prvé? Správne, uveďte rovnicu:

Opäť: vyberieme faktory čísla a ich rozdiel by sa mal rovnať:

Korene sú rovnaké a, ale jeden z nich je mínus. Ktoré? Ich súčet sa musí rovnať, čo znamená, že s mínusom bude väčší koreň.

Odpoveď: ; .

Zhrniem:

1. Vietova veta je použitá len v daných kvadratických rovniciach.
2. Pomocou Vietovej vety môžete nájsť korene výberom, ústne.
3. Ak rovnica nie je daná alebo sa nenašla vhodná dvojica faktorov voľného člena, potom neexistujú celé korene a musíte to vyriešiť iným spôsobom (napríklad cez diskriminant).

3. Metóda výberu plného štvorca

Ak sú všetky členy obsahujúce neznámu reprezentované ako členy zo vzorcov skráteného násobenia - druhá mocnina súčtu alebo rozdielu - potom po zmene premenných môže byť rovnica reprezentovaná ako neúplná kvadratická rovnica typu.

Napríklad:

Príklad 1:

Vyriešte rovnicu: .

Riešenie:

odpoveď:

Príklad 2:

Vyriešte rovnicu: .

Riešenie:

odpoveď:

Vo všeobecnosti bude transformácia vyzerať takto:

To znamená: .

Nič vám to nepripomína? To je diskriminant! Presne tak bol získaný diskriminačný vzorec.

KVADRATICKÉ ROVNICE. STRUČNE O HLAVNOM

Kvadratická rovnica je rovnica tvaru, kde je neznáma, sú koeficienty kvadratickej rovnice, je voľný člen.

Kompletná kvadratická rovnica- rovnica, v ktorej sa koeficienty nerovnajú nule.

Redukovaná kvadratická rovnica- rovnica, v ktorej je koeficient, teda: .

Neúplná kvadratická rovnica- rovnica, v ktorej sa koeficient alebo voľný člen c rovnajú nule:

• ak koeficient, rovnica má tvar: ,
• ak je voľný člen, rovnica má tvar: ,
• ak a, rovnica má tvar: .

1. Algoritmus riešenia neúplných kvadratických rovníc

1.1. Neúplná kvadratická rovnica tvaru, kde:

1) Vyjadrite neznáme: ,

2) Skontrolujte znamienko výrazu:

• ak, potom rovnica nemá riešenia,
• ak, tak rovnica má dva korene.

1.2. Neúplná kvadratická rovnica tvaru, kde:

1) Vyberme spoločný faktor zo zátvoriek: ,

2) Súčin sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. Preto má rovnica dva korene:

1.3. Neúplná kvadratická rovnica tvaru, kde:

Táto rovnica má vždy len jeden koreň: .

2. Algoritmus na riešenie úplných kvadratických rovníc v tvare kde

2.1. Riešenie pomocou diskriminantu

1) Uveďme rovnicu do štandardného tvaru: ,

2) Vypočítajte diskriminant pomocou vzorca: , ktorý udáva počet koreňov rovnice:

3) Nájdite korene rovnice:

• ak, potom rovnica má koreň, ktorý sa nachádza podľa vzorca:
• ak, potom rovnica má koreň, ktorý sa nachádza podľa vzorca:
• ak, potom rovnica nemá korene.

2.2. Riešenie pomocou Vietovej vety

Súčet koreňov redukovanej kvadratickej rovnice (rovnice tvaru kde) sa rovná a súčin koreňov sa rovná, t.j. , a.

2.3. Úplné štvorcové riešenie