Analizirat ćemo dvije vrste rješavanja sustava jednadžbi:
1. Rješenje sustava metodom supstitucije.
2. Rješenje sustava počlanim zbrajanjem (oduzimanjem) jednadžbi sustava.
Kako bismo riješili sustav jednadžbi metoda supstitucije morate slijediti jednostavan algoritam:
1. Izražavamo. Iz bilo koje jednadžbe izražavamo jednu varijablu.
2. Zamjena. Zamjenjujemo u drugu jednadžbu umjesto izražene varijable, dobivenu vrijednost.
3. Dobivenu jednadžbu rješavamo s jednom varijablom. Nalazimo rješenje za sustav.
Riješiti sustav počlanim zbrajanjem (oduzimanjem) potreba:
1. Odaberite varijablu za koju ćemo napraviti iste koeficijente.
2. Zbrajamo ili oduzimamo jednadžbe, kao rezultat dobivamo jednadžbu s jednom varijablom.
3. Rješavamo dobivenu linearnu jednadžbu. Nalazimo rješenje za sustav.
Rješenje sustava su sjecišta grafova funkcije.
Razmotrimo detaljno rješenje sustava koristeći primjere.
Primjer #1:
Rješavajmo metodom zamjene
Rješavanje sustava jednadžbi metodom supstitucije2x+5y=1 (1 jednadžba)
x-10y=3 (2. jednadžba)
1. Izraziti
Vidi se da u drugoj jednadžbi postoji varijabla x s koeficijentom 1, stoga ispada da je varijablu x najlakše izraziti iz druge jednadžbe.
x=3+10y
2. Nakon izražavanja, zamijenimo 3 + 10y u prvoj jednadžbi umjesto varijable x.
2(3+10y)+5y=1
3. Dobivenu jednadžbu rješavamo s jednom varijablom.
2(3+10y)+5y=1 (otvorene zagrade)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Rješenje sustava jednadžbi su sjecišne točke grafova, stoga trebamo pronaći x i y, jer se sjecišna točka sastoji od x i y. Nađimo x, u prvom odlomku gdje smo izrazili zamijenimo y tamo.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Uobičajeno je da na prvo mjesto pišemo bodove, pišemo varijablu x, a na drugo mjesto varijablu y.
Odgovor: (1; -0,2)
Primjer #2:
Rješavajmo počlanim zbrajanjem (oduzimanjem).
Rješavanje sustava jednadžbi metodom zbrajanja3x-2y=1 (1 jednadžba)
2x-3y=-10 (2. jednadžba)
1. Odaberite varijablu, recimo da odaberemo x. U prvoj jednadžbi varijabla x ima koeficijent 3, u drugoj - 2. Moramo učiniti koeficijente istima, za to imamo pravo pomnožiti jednadžbe ili podijeliti bilo kojim brojem. Pomnožite prvu jednadžbu s 2, a drugu s 3 da biste dobili ukupni koeficijent 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Od prve jednadžbe oduzmite drugu da biste se riješili varijable x. Riješite linearnu jednadžbu.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3. Pronađite x. Pronađeni y zamijenimo u bilo kojoj od jednadžbi, recimo u prvoj jednadžbi.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Točka presjeka će biti x=4,6; y=6,4
Odgovor: (4,6; 6,4)
Želite li besplatno pripremati ispite? Učitelj online je besplatan. Bez šale.
Besplatni kalkulator koji vam nudimo ima bogat arsenal mogućnosti za matematičke izračune. Omogućuje vam korištenje online kalkulatora u razna polja aktivnosti: obrazovni, profesionalni i komercijalni. Naravno, posebno je popularna upotreba online kalkulatora učenicima i Školska djeca, znatno im olakšava izvođenje raznih izračuna.
Međutim, kalkulator može biti koristan alat u nekim područjima poslovanja i za ljude različitih profesija. Naravno, potreba za korištenjem kalkulatora u poslovanju ili radu određena je prvenstveno vrstom same aktivnosti. Ako su posao i profesija povezani sa stalnim izračunima i izračunima, onda je vrijedno isprobati elektronički kalkulator i procijeniti stupanj njegove korisnosti za određeni posao.
Ovaj online kalkulator može
- Ispravno izvršavanje standardnih matematičkih funkcija napisanih u jednom retku kao što je - 12*3-(7/2) i može obraditi brojeve veće od onih koje brojimo ogromne brojeve u online kalkulatoru. Ne znamo čak ni kako pravilno nazvati takav broj ( ima 34 znaka i to uopće nije ograničenje).
- Osim tangens, kosinus, sinus i druge standardne funkcije - kalkulator podržava računske operacije arc tangenta, arc tangenta i drugi.
- Dostupno u arsenalu logaritmi, faktorijeli i druge cool značajke
- Ovaj online kalkulator može napraviti grafikone!!!
Za iscrtavanje grafova usluga koristi poseban gumb (iscrtava se sivi graf) ili doslovni prikaz ove funkcije (Plot). Da biste izgradili grafikon u online kalkulatoru, samo napišite funkciju: plot(tan(x)),x=-360..360.
Uzeli smo najjednostavniji dijagram za tangentu, a nakon decimalne točke naveli smo raspon X varijable od -360 do 360.
Možete izgraditi apsolutno bilo koju funkciju, s bilo kojim brojem varijabli, na primjer: dijagram (cos(x)/3z, x=-180..360,z=4) Ili čak složenije nego što možete zamisliti. Obraćamo pozornost na ponašanje varijable X - interval od i do označen je s dvije točke.
Jedini negativ (iako ga je teško nazvati negativnim) ovoga online kalkulator to je da on ne zna graditi kugle i druge trodimenzionalne figure - samo ravninu.
Kako raditi s matematičkim kalkulatorom
1. Zaslon (zaslon kalkulatora) prikazuje uneseni izraz i rezultat njegovog izračuna običnim znakovima, onako kako pišemo na papiru. Ovo polje služi jednostavno za pregled trenutne operacije. Unos se prikazuje na zaslonu dok upisujete matematički izraz u redak za unos.
2. Polje za unos izraza je namijenjeno za pisanje izraza koji se izračunava. Ovdje treba napomenuti da matematički simboli koji se koriste u računalnim programima ne odgovaraju uvijek onima koje obično koristimo na papiru. U pregledu svake funkcije kalkulatora pronaći ćete ispravnu oznaku za pojedinu operaciju i primjere izračuna u kalkulatoru. Na ovoj stranici ispod nalazi se popis svih mogućih operacija u kalkulatoru, uz naznaku njihovog ispravnog pisanja.
3. Alatna traka - ovo su gumbi kalkulatora koji zamjenjuju ručni unos matematičkih simbola koji označavaju odgovarajuću operaciju. Neki gumbi kalkulatora (dodatne funkcije, pretvarač jedinica, rješavanje matrica i jednadžbi, grafikoni) nadopunjuju programsku traku novim poljima u koja se unose podaci za određeni izračun. Polje "Povijest" sadrži primjere pisanja matematičkih izraza, kao i vaših zadnjih šest unosa.
Imajte na umu da kada pritisnete gumbe za pozivanje dodatnih funkcija, pretvarač vrijednosti, rješavanje matrica i jednadžbi, crtanje grafikona, cijela ploča kalkulatora se pomiče prema gore, pokrivajući dio zaslona. Ispunite potrebna polja i pritisnite tipku "I" (označeno crvenom bojom na slici) kako biste vidjeli prikaz u punoj veličini.
4. Numerička tipkovnica sadrži brojeve i aritmetičke znakove. Gumb "C" briše cijeli unos u polju za unos izraza. Za brisanje znakova jedan po jedan, morate koristiti strelicu desno od retka za unos.
Pokušajte uvijek zatvoriti zagrade na kraju izraza. Za većinu operacija to nije kritično, online kalkulator će sve ispravno izračunati. Međutim, u nekim slučajevima moguće su pogreške. Na primjer, kada se podiže na razlomačku potenciju, nezatvorene zagrade će uzrokovati da nazivnik razlomka u eksponentu ide u nazivnik baze. Na zaslonu je zatvorena zagrada označena blijedo sivom bojom, mora se zatvoriti kada se snimanje završi.
| Ključ | Simbol | Operacija |
|---|---|---|
| pi | pi | konstanta pi |
| e | e | Eulerov broj |
| % | % | postotak |
| () | () | Otvaranje/zatvaranje zagrada |
| , | , | Zarez |
| grijeh | grijeh(?) | Sinus kuta |
| cos | jer (?) | Kosinus |
| preplanuli ten | tan(y) | Tangens |
| sinh | sinh() | Hiperbolički sinus |
| unovčiti | cosh() | Hiperbolički kosinus |
| tanh | tanh() | Hiperbolička tangensa |
| grijeh-1 | asin() | Inverzni sinus |
| cos-1 | akos() | inverzni kosinus |
| tan-1 | atan() | inverzna tangensa |
| sinh-1 | asinh() | Inverzni hiperbolički sinus |
| cosh-1 | acosh() | Inverzni hiperbolički kosinus |
| tanh-1 | atanh() | Inverzni hiperbolični tangens |
| x2 | ^2 | Kvadratura |
| x 3 | ^3 | Kocka |
| x y | ^ | Potenciranje |
| 10 x | 10^() | Potenciranje u bazi 10 |
| e x | exp() | Potenciranje Eulerovog broja |
| vx | sqrt(x) | Korijen |
| 3vx | sqrt3(x) | Korijen 3. stupnja |
| yvx | kvadrat(x,y) | vađenje korijena |
| trupac 2 x | log2(x) | binarni logaritam |
| log | log(x) | Decimalni logaritam |
| ul | log(x) | prirodni logaritam |
| log y x | log(x,y) | Logaritam |
| I / II | Minimiziraj/pozovi dodatne funkcije | |
| jedinica | Pretvarač jedinica | |
| matrica | matrice | |
| riješiti | Jednadžbe i sustavi jednadžbi | |
| Plotanje | ||
| Dodatne funkcije (poziv tipkom II) | ||
| mod | mod | Dijeljenje s ostatkom |
| ! | ! | Faktorijel |
| i J | i J | imaginarna jedinica |
| Ponovno | Ponovno() | Odabir cijelog realnog dijela |
| im | ja() | Isključenje stvarnog dijela |
| |x| | trbušnjaci () | Apsolutna vrijednost broja |
| Arg | arg() | Argument funkcije |
| nCr | ncr() | Binomni koeficijent |
| gcd | gcd() | GCD |
| lcm | lcm() | NOC |
| iznos | iznos() | Vrijednost zbroja svih rješenja |
| fak | razložiti na činioce() | Rastavljanje na proste faktore |
| dif | diff() | Diferencijacija |
| stupanj | stupnjeva | |
| rad | radijani | |
I. sjekira 2 \u003d 0 – nepotpun kvadratna jednadžba (b=0, c=0 ). Rješenje: x=0. Odgovor: 0.
Riješite jednadžbe.
2x·(x+3)=6x-x 2 .
Riješenje. Proširite zagrade množenjem 2x za svaki izraz u zagradi:
2x2 +6x=6x-x2 ; pomicanje pojmova s desne na lijevu stranu:
2x2 +6x-6x+x2=0; Evo sličnih pojmova:
3x 2 =0, dakle x=0.
Odgovor: 0.
II. ax2+bx=0 –nepotpun kvadratna jednadžba (s=0 ). Rješenje: x (ax+b)=0 → x 1 =0 ili ax+b=0 → x 2 =-b/a. Odgovor: 0; -b/a.
5x2 -26x=0.
Riješenje. Izbacite zajednički faktor x za zagrade:
x(5x-26)=0; svaki faktor može biti nula:
x=0 ili 5x-26=0→ 5x=26, obje strane jednakosti podijelite s 5 i dobivamo: x \u003d 5.2.
Odgovor: 0; 5,2.
Primjer 3 64x+4x2=0.
Riješenje. Izbacite zajednički faktor 4x za zagrade:
4x(16+x)=0. Imamo tri faktora, 4≠0, dakle, ili x=0 ili 16+x=0. Iz posljednje jednakosti dobivamo x=-16.
Odgovor: -16; 0.
Primjer 4(x-3) 2 +5x=9.
Riješenje. Primjenom formule za kvadrat razlike dvaju izraza otvorite zagrade:
x 2 -6x+9+5x=9; transformirati u oblik: x 2 -6x+9+5x-9=0; Evo sličnih pojmova:
x2-x=0; izdržati x izvan zagrada, dobivamo: x (x-1)=0. Odavde ili x=0 ili x-1=0→ x=1.
Odgovor: 0; 1.
III. ax2+c=0 –nepotpun kvadratna jednadžba (b=0 ); Rješenje: ax 2 \u003d -c → x 2 \u003d -c / a.
Ako a (-c/a)<0 , onda nema pravih korijena. Ako a (-s/a)>0
Primjer 5 x 2 -49=0.
Riješenje.
x 2 \u003d 49, odavde x=±7. Odgovor:-7; 7.
Primjer 6 9x2-4=0.
Riješenje.
Često trebate pronaći zbroj kvadrata (x 1 2 + x 2 2) ili zbroj kocki (x 1 3 + x 2 3) korijena kvadratne jednadžbe, rjeđe - zbroj recipročnih vrijednosti kvadrata korijena ili zbroja aritmetike kvadratni korijeni iz korijena kvadratne jednadžbe:
Vietin teorem može pomoći u ovome:
x 2 +px+q=0
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
Izraziti kroz str i q:
1) zbroj kvadrata korijena jednadžbe x2+px+q=0;
2) zbroj kubova korijena jednadžbe x2+px+q=0.
Riješenje.
1) Izraz x 1 2 + x 2 2 dobiven kvadriranjem obje strane jednadžbe x 1 + x 2 \u003d-p;
(x 1 +x 2) 2 \u003d (-p) 2; otvorite zagrade: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2; izražavamo željeni iznos: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2x 1 x 2 \u003d p 2 -2q. Imamo korisnu jednadžbu: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.
2) Izraz x 1 3 + x 2 3 predstaviti formulom zbroja kubova u obliku:
(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p (p 2 -2q-q)=-p (p 2 -3q ).
Još jedna korisna jednadžba: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q).
Primjeri.
3) x 2 -3x-4=0. Bez rješavanja jednadžbe izračunajte vrijednost izraza x 1 2 + x 2 2.
Riješenje.
x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 3, i djelo x 1 ∙x 2 \u003d q \u003du primjeru 1) jednakost:
x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q. Imamo -str=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Zatim x 1 2 + x 2 2 =9-2 (-4)=9+8=17.
Odgovor: x 1 2 + x 2 2 =17.
4) x 2 -2x-4=0. Izračunaj: x 1 3 +x 2 3 .
Riješenje.
Prema Vietinom teoremu, zbroj korijena ove reducirane kvadratne jednadžbe x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 2, i djelo x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d- četiri. Primjenimo dobiveno ( u primjeru 2) jednakost: x 1 3 +x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q) \u003d 2 (2 2 -3 (-4))=2 (4+12)=2 16=32.
Odgovor: x 1 3 + x 2 3 =32.
Pitanje: što ako nam je dana nereducirana kvadratna jednadžba? Odgovor: uvijek se može “smanjiti” tako da se član po član dijeli s prvim koeficijentom.
5) 2x2 -5x-7=0. Bez rješavanja izračunajte: x 1 2 + x 2 2.
Riješenje. Dana nam je potpuna kvadratna jednadžba. Podijelimo obje strane jednadžbe s 2 (prvi koeficijent) i dobijemo sljedeću kvadratnu jednadžbu: x 2 -2,5x-3,5 \u003d 0.
Prema Vietinom teoremu, zbroj korijena je 2,5 ; produkt korijena je -3,5 .
Rješavamo na isti način kao primjer 3) koristeći jednakost: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.
x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
Odgovor: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.
6) x2 -5x-2=0. Pronaći:
Transformirajmo ovu jednakost i, zamjenom zbroja korijena u smislu Vieta teorema, -str, i produkt korijena kroz q, dobivamo još jednu korisnu formulu. Prilikom izvođenja formule koristili smo jednakost 1): x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.
U našem primjeru x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 5; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-2. Zamijenite ove vrijednosti u dobivenu formulu:
7) x 2 -13x+36=0. Pronaći:
Transformirajmo ovaj zbroj i dobijmo formulu po kojoj će biti moguće pronaći zbroj aritmetičkih kvadratnih korijena iz korijena kvadratne jednadžbe.
Imamo x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 13; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d 36. Zamijenite ove vrijednosti u izvedenu formulu:
Savjet : uvijek provjerite mogućnost pronalaženja korijena kvadratne jednadžbe pomoću prikladan način, nakon svega 4 pregledan korisne formule omogućuju brzo dovršavanje zadatka, prije svega, u slučajevima kada je diskriminant "nezgodan" broj. U svim jednostavnim slučajevima pronađite korijene i operirajte ih. Na primjer, u posljednjem primjeru odabiremo korijene pomoću Vieta teorema: zbroj korijena trebao bi biti jednak 13 , i produkt korijena 36 . Koje su ovo brojke? Naravno, 4 i 9. Sada izračunajte zbroj kvadratnih korijena ovih brojeva: 2+3=5. To je to!
I. Vietin teorem za reduciranu kvadratnu jednadžbu.
Zbroj korijena reducirane kvadratne jednadžbe x 2 +px+q=0 jednak je drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu:
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
Nađite korijene zadane kvadratne jednadžbe pomoću Vietinog teorema.
Primjer 1) x 2 -x-30=0. Ovo je reducirana kvadratna jednadžba ( x 2 +px+q=0), drugi koeficijent p=-1, i slobodni termin q=-30. Prvo provjerite ima li data jednadžba korijene i hoće li korijeni (ako postoje) biti izraženi kao cijeli brojevi. Za to je dovoljno da diskriminant bude puni kvadrat cijeli broj.
Pronalaženje diskriminante D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
Sada, prema Vieta teoremu, zbroj korijena mora biti jednak drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom, tj. ( -str), a umnožak je jednak slobodnom članu, tj. ( q). Zatim:
x 1 + x 2 =1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30. Trebamo odabrati takva dva broja da njihov umnožak bude jednak -30 , a zbroj je jedinica. Ovo su brojke -5 i 6 . Odgovor: -5; 6.
Primjer 2) x 2 +6x+8=0. Imamo reduciranu kvadratnu jednadžbu s drugim koeficijentom p=6 i besplatan član q=8. Uvjerite se da postoje cijeli brojevi. Pronađimo diskriminantu D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Diskriminant D 1 je potpuni kvadrat broja 1 , pa su korijeni ove jednadžbe cijeli brojevi. Korijene biramo prema Vieta teoremu: zbroj korijena jednak je –p=-6, a umnožak korijena je q=8. Ovo su brojke -4 i -2 .
Zapravo: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Odgovor: -4; -2.
Primjer 3) x 2 +2x-4=0. U ovoj smanjenoj kvadratnoj jednadžbi, drugi koeficijent p=2, i slobodni termin q=-4. Pronađimo diskriminantu D1, jer je drugi koeficijent paran broj. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskriminant nije potpuni kvadrat broja, pa mi to činimo zaključak: korijeni ove jednadžbe nisu cijeli brojevi i ne mogu se pronaći korištenjem Vietinog teorema. Dakle, rješavamo ovu jednadžbu, kao i obično, prema formulama (u ovaj slučaj formule). Dobivamo:
Primjer 4). Napišite kvadratnu jednadžbu koristeći njezine korijene if x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.
Riješenje. Tražena jednadžba bit će zapisana u obliku: x 2 +px+q=0, štoviše, na temelju Vieta teorema –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Tada će jednadžba poprimiti oblik: x2 +3x-28=0.
Primjer 5). Napišite kvadratnu jednadžbu koristeći njezine korijene ako:
II. Vietin teorem za potpunu kvadratnu jednadžbu ax2+bx+c=0.
Zbroj korijena je minus b podjeljeno sa a, umnožak korijena je S podjeljeno sa a:
x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.
Primjer 6). Nađi zbroj korijena kvadratne jednadžbe 2x2 -7x-11=0.
Riješenje.
Uvjereni smo da će ova jednadžba imati korijene. Da biste to učinili, dovoljno je napisati izraz za diskriminant, i bez izračunavanja samo provjeriti da je diskriminant veći od nule. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . A sada koristimo teorema Vieta za potpune kvadratne jednadžbe.
x 1 + x 2 = -b:a=- (-7):2=3,5.
Primjer 7). Pronađite umnožak korijena kvadratne jednadžbe 3x2 +8x-21=0.
Riješenje.
Pronađimo diskriminantu D1, budući da je drugi koeficijent ( 8 ) je paran broj. D1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Kvadratna jednadžba ima 2 korijen, prema Vieta teoremu, proizvod korijena x 1 ∙ x 2 \u003d c: a=-21:3=-7.
I. sjekira 2 +bx+c=0 je opća kvadratna jednadžba
Diskriminirajući D=b 2 - 4ac.
Ako a D>0, tada imamo dva prava korijena:
Ako a D=0, tada imamo jedan korijen (ili dva jednaka korijena) x=-b/(2a).
Ako D<0, то действительных корней нет.
Primjer 1) 2x2 +5x-3=0.
Riješenje. a=2; b=5; c=-3.
D=b 2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 prava korijena.
4x2 +21x+5=0.
Riješenje. a=4; b=21; c=5.
D=b 2-4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 prava korijena.
II. ax2+bx+c=0 – specijalna kvadratna jednadžba čak i sekundu
koeficijent b
Primjer 3) 3x2 -10x+3=0.
Riješenje. a=3; b\u003d -10 (parni broj); c=3.
Primjer 4) 5x2-14x-3=0.
Riješenje. a=5; b= -14 (parni broj); c=-3.
Primjer 5) 71x2 +144x+4=0.
Riješenje. a=71; b=144 (parni broj); c=4.
Primjer 6) 9x 2 -30x+25=0.
Riješenje. a=9; b\u003d -30 (parni broj); c=25.
III. ax2+bx+c=0 – kvadratna jednadžba privatni tip, pod uvjetom: a-b+c=0.
Prvi korijen je uvijek minus jedan, a drugi korijen je minus S podjeljeno sa a:
x 1 \u003d -1, x 2 \u003d - c / a.
Primjer 7) 2x2+9x+7=0.
Riješenje. a=2; b=9; c=7. Provjerimo jednakost: a-b+c=0. Dobivamo: 2-9+7=0 .
Zatim x 1 \u003d -1, x 2 = -c / a \u003d -7 / 2 \u003d -3,5. Odgovor: -1; -3,5.
IV. ax2+bx+c=0 – kvadratna jednadžba određenog oblika pod uvjetom : a+b+c=0.
Prvi korijen je uvijek jednak jedan, a drugi korijen je jednak S podjeljeno sa a:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a.
Primjer 8) 2x2 -9x+7=0.
Riješenje. a=2; b=-9; c=7. Provjerimo jednakost: a+b+c=0. Dobivamo: 2-9+7=0 .
Zatim x 1 \u003d 1, x 2 = c / a \u003d 7/2 \u003d 3,5. Odgovor: 1; 3,5.
Stranica 1 od 1 1
Kvadratne jednadžbe proučavaju se u 8. razredu, tako da ovdje nema ništa komplicirano. Sposobnost njihovog rješavanja je neophodna.
Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje su koeficijenti a , b i c proizvoljni brojevi, a a ≠ 0.
Prije proučavanja specifičnih metoda rješenja, napominjemo da se sve kvadratne jednadžbe mogu podijeliti u tri klase:
- Nemaju korijenje;
- Imaju točno jedan korijen;
- Imaju dva različita korijena.
Ovo je važna razlika između kvadratnih i linearnih jednadžbi, gdje korijen uvijek postoji i jedinstven je. Kako odrediti koliko jednadžba ima korijena? Postoji divna stvar za ovo - diskriminirajući.
Diskriminirajući
Neka je dana kvadratna jednadžba ax 2 + bx + c = 0. Tada je diskriminant jednostavno broj D = b 2 − 4ac .
Ova se formula mora znati napamet. Sada nije važno odakle dolazi. Još jedna stvar je važna: prema znaku diskriminante možete odrediti koliko korijena ima kvadratna jednadžba. Naime:
- Ako D< 0, корней нет;
- Ako je D = 0, postoji točno jedan korijen;
- Ako je D > 0, bit će dva korijena.
Imajte na umu: diskriminant označava broj korijena, a ne uopće njihove znakove, kao što iz nekog razloga mnogi misle. Pogledajte primjere i sve će vam biti jasno:
Zadatak. Koliko korijena imaju kvadratne jednadžbe:
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Zapisujemo koeficijente za prvu jednadžbu i nalazimo diskriminant:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Dakle, diskriminant je pozitivan, pa jednadžba ima dva različita korijena. Drugu jednadžbu analiziramo na isti način:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.
Diskriminanta je negativna, nema korijena. Ostaje zadnja jednadžba:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Diskriminirajući nula- korijen će biti jedan.
Imajte na umu da su koeficijenti ispisani za svaku jednadžbu. Da, dugo je, da, zamorno je - ali nećete miješati izglede i nemojte raditi glupe pogreške. Odaberite sami: brzina ili kvaliteta.
Usput, ako "napunite ruku", nakon nekog vremena više nećete morati ispisivati sve koeficijente. Takve ćete operacije izvoditi u svojoj glavi. Većina ljudi ovo počne raditi negdje nakon 50-70 riješenih jednadžbi - općenito, ne toliko.
Korijeni kvadratne jednadžbe
Sada prijeđimo na rješenje. Ako je diskriminant D > 0, korijeni se mogu pronaći pomoću formula:
Osnovna formula za korijene kvadratne jednadžbe
Kada je D = 0, možete koristiti bilo koju od ovih formula - dobit ćete isti broj, što će biti odgovor. Konačno, ako je D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
Prva jednadžba:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ jednadžba ima dva korijena. Pronađimo ih:
Druga jednadžba:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.
D > 0 ⇒ jednadžba opet ima dva korijena. Pronađimo ih
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \lijevo(-1 \desno))=3. \\ \end(align)\]
Konačno, treća jednadžba:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ jednadžba ima jedan korijen. Može se koristiti bilo koja formula. Na primjer, prvi:
Kao što možete vidjeti iz primjera, sve je vrlo jednostavno. Ako znate formule i znate računati, neće biti problema. Najčešće se pogreške javljaju kada se u formulu zamijene negativni koeficijenti. I ovdje će vam pomoći gore opisana tehnika: doslovno promatrajte formulu, slikajte svaki korak - i vrlo brzo se riješite pogrešaka.
Nepotpune kvadratne jednadžbe
Događa se da je kvadratna jednadžba nešto drugačija od onoga što je navedeno u definiciji. Na primjer:
- x2 + 9x = 0;
- x2 − 16 = 0.
Lako je vidjeti da u ovim jednadžbama nedostaje jedan od članova. Takve kvadratne jednadžbe još je lakše riješiti od standardnih: za njih čak nije potrebno izračunati diskriminantu. Dakle, predstavimo novi koncept:
Jednadžba ax 2 + bx + c = 0 zove se nepotpuna kvadratna jednadžba ako je b = 0 ili c = 0, tj. koeficijent varijable x ili slobodnog elementa jednak je nuli.
Naravno, moguć je vrlo težak slučaj kada su oba ova koeficijenta jednaka nuli: b \u003d c \u003d 0. U ovom slučaju, jednadžba ima oblik ax 2 \u003d 0. Očito, takva jednadžba ima jednu korijen: x \u003d 0.
Razmotrimo druge slučajeve. Neka je b \u003d 0, tada dobivamo nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 + c \u003d 0. Lagano je transformirajmo:
Budući da aritmetički kvadratni korijen postoji samo iz nenegativnog broja, posljednja jednakost ima smisla samo kada je (−c / a ) ≥ 0. Zaključak:
- Ako nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 + c = 0 zadovoljava nejednadžbu (−c / a ) ≥ 0, bit će dva korijena. Formula je navedena gore;
- Ako (−c / a )< 0, корней нет.
Kao što vidite, diskriminant nije bio potreban - nepotpun kvadratne jednadžbe uopće nema složenih izračuna. Zapravo, nije ni potrebno prisjećati se nejednakosti (−c / a ) ≥ 0. Dovoljno je izraziti vrijednost x 2 i vidjeti što je s druge strane znaka jednakosti. Ako postoji pozitivan broj bit će dva korijena. Ako je negativan, uopće neće biti korijena.
Sada se pozabavimo jednadžbama oblika ax 2 + bx = 0, u kojima je slobodni element jednak nuli. Ovdje je sve jednostavno: uvijek će biti dva korijena. Dovoljno je faktorizirati polinom:
Izbacivanje zajedničkog faktora iz zagradeUmnožak je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli. Odatle potječu korijeni. U zaključku ćemo analizirati nekoliko od ovih jednadžbi:
Zadatak. Riješite kvadratne jednadžbe:
- x2 − 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nema korijena, jer kvadrat ne može biti jednak negativnom broju.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.
