U sljedećim ispitnim zadatcima potrebno je pronaći opseg lika prikazanog na slici.

Postoji mnogo načina za pronalaženje opsega oblika. Izvorni oblik možete transformirati na takav način da se opseg novog oblika može lako izračunati (na primjer, promijeniti u pravokutnik).

Drugo rješenje je tražiti opseg figure izravno (kao zbroj duljina svih njezinih stranica). Ali u ovom slučaju ne može se osloniti samo na crtež, već pronaći duljine segmenata na temelju podataka problema.

Želim vas upozoriti: u jednom od zadataka, među predloženim odgovorima, nisam pronašao onaj koji mi se pokazao.

c) .

Pomaknimo stranice malih pravokutnika iz unutarnjeg područja u vanjsko. Kao rezultat, veliki pravokutnik je zatvoren. Formula za određivanje opsega pravokutnika

U ovom slučaju, a=9a, b=3a+a=4a. Dakle, P=2(9a+4a)=26a. Opseg velikog pravokutnika dodamo zbroj duljina četiri segmenta od kojih je svaki jednak 3a. Kao rezultat, P=26a+4∙3a= 38a .

c) .

Nakon prijenosa unutarnjih stranica malih pravokutnika na vanjsku površinu, dobivamo veliki pravokutnik, čiji je opseg P=2(10x+6x)=32x, i četiri segmenta, dva dužine x, dva duljine 2x.

Ukupno, P=32x+2∙2x+2∙x= 38x .

?) .

Pomaknimo se 6 horizontalnih "koraka" iznutra prema van. Opseg dobivenog velikog pravokutnika je P=2(6y+8y)=28y. Preostaje pronaći zbroj duljina odsječaka unutar pravokutnika 4y+6∙y=10y. Dakle, opseg figure je P=28y+10y= 38g .

D) .

Pomaknimo okomite segmente iz unutarnjeg područja figure ulijevo, u vanjsko područje. Da biste dobili veliki pravokutnik, pomaknite jednu od 4x duljine u donji lijevi kut.

Opseg izvorne figure nalazimo kao zbroj opsega ovog velikog pravokutnika i duljina preostala tri segmenta P=2(10x+8x)+6x+4x+2x= 48x .

e) .

Premještanjem unutarnjih strana malih pravokutnika na vanjsko područje, dobivamo veliki kvadrat. Njegov opseg je P=4∙10x=40x. Da biste dobili opseg izvorne figure, morate obodu kvadrata dodati zbroj duljina osam segmenata, svaki 3x dug. Ukupno, P=40x+8∙3x= 64x .

b) .

Premjestimo sve vodoravne "stepenice" i okomite gornje segmente u vanjsko područje. Opseg dobivenog pravokutnika je P=2(7y+4y)=22y. Da biste pronašli opseg izvorne figure, morate opsegu pravokutnika dodati zbroj duljina četiri segmenta, svaki s duljinom y: P=22y+4∙y= 26g .

D) .

Pomaknite sve vodoravne crte iz unutarnjeg područja u vanjsko područje i pomaknite dvije okomite vanjske crte u lijevom i desnom kutu, redom, z ulijevo i udesno. Kao rezultat, dobivamo veliki pravokutnik, čiji je opseg P=2(11z+3z)=28z.

Opseg izvorne figure jednak je zbroju opsega velikog pravokutnika i duljina šest segmenata u z: P=28z+6∙z= 34z .

b) .

Rješenje je potpuno slično rješenju prethodnog primjera. Nakon transformacije figure, nalazimo opseg velikog pravokutnika:

P=2(5z+3z)=16z. Obuhvatu pravokutnika dodamo zbroj duljina preostalih šest segmenata od kojih je svaki jednak z: P=16z+6∙z= 22z .

, isprekidana linija itd.:

Ako pomno pogledate sve ove figure, možete odabrati dvije od njih, koje tvore zatvorene linije (krug i trokut). Ove figure imaju neku vrstu granice koja odvaja ono što je unutra od onoga što je izvana. Odnosno, granica dijeli ravninu na dva dijela: unutarnje i vanjsko područje u odnosu na figuru kojoj pripada:

Perimetar

Perimetar je zatvorena granica ravnog geometrijskog lika koji odvaja njegovo unutarnje područje od vanjskog.

Svaka zatvorena geometrijska figura ima opseg:

Na slici su perimetri označeni crvenom linijom. Imajte na umu da se opseg kruga često naziva duljinom.

Opseg se mjeri u jedinicama za duljinu: mm, cm, dm, m, km.

Za sve poligone nalaženje opsega svodi se na zbrajanje duljina svih stranica, odnosno opseg mnogokuta uvijek je jednak zbroju duljina njegovih stranica. Pri izračunavanju opsega često se označava velikim latiničnim slovom P:

Kvadrat

Površina je dio ravnine koji zauzima zatvorena ravna geometrijska figura.

Svaka ravna zatvorena geometrijska figura ima određeno područje. Na crtežima, područje geometrijskih oblika je unutarnje područje, odnosno onaj dio ravnine koji je unutar perimetra.

mjeriti površinu figure - znači pronaći koliko je puta druga figura smještena u danu figuru, uzetu kao mjernu jedinicu. Obično se kao jedinica za mjerenje površine uzima kvadrat, u kojem je stranica jednaka jedinici za mjerenje duljine: milimetar, centimetar, metar itd.

Slika prikazuje kvadratni centimetar. - kvadrat čija je svaka stranica duga 1 cm:

Površina se mjeri u kvadratnim jedinicama duljine. Površinske jedinice uključuju: mm 2, cm 2, m 2, km 2 itd.

Tablica pretvorbe kvadratnih jedinica

	mm 2	cm 2	dm 2	m 2	ar (tkati)	hektar (ha)	km 2
mm 2	1 mm 2	0,01 cm2	10 -4 dm 2	10 -6 m 2	10 -8 ar	10 -10 ha	10 -12 km 2
cm 2	100 mm 2	1 cm 2	0,01 dm 2	10 -4 m 2	10 -6 su	10 -8 ha	10 -10 km 2
dm 2	10 4 mm 2	100 cm 2	1 dm 2	0,01 m2	10 -4 ar	10 -6 ha	10 -8 km 2
m 2	10 6 mm 2	10 4 cm 2	100 dm 2	1 m 2	0,01 ar	10 -4 ha	10 -6 km 2
ar	10 8 mm 2	10 6 cm 2	10 4 dm 2	100 m2	1 su	0,01 ha	10 -4 km 2
Ha	10 10 mm 2	10 8 cm 2	10 6 dm 2	10 4 m 2	100 su	1 ha	0,01 km2
km 2	10 12 mm 2	10 10 cm 2	10 8 dm 2	10 6 m 2	10 4 ar	100 ha	1 km 2

10 4 = 10 000	10 -4 = 0,000 1
10 6 = 1 000 000	10 -6 = 0,000 001
10 8 = 100 000 000	10 -8 = 0,000 000 01
10 10 = 10 000 000 000	10 -10 = 0,000 000 000 1
10 12 = 1 000 000 000 000	10 -12 = 0,000 000 000 001

Učenici uče kako pronaći opseg u osnovnoj školi. Zatim se te informacije stalno koriste tijekom tečaja matematike i geometrije.

Teorija zajednička svim figurama

Stranke se obično označavaju latiničnim slovima. Štoviše, mogu se označiti kao segmenti. Tada će vam trebati dva slova za svaku stranu i napisana velikim slovima. Ili unesite oznaku s jednim slovom, koje će nužno biti malo.
Slova se uvijek biraju abecednim redom. Za trokut, to će biti prva tri. Šesterokut će ih imati 6 - od a do f. Ovo je korisno za unos formula.

Sada o tome kako pronaći perimetar. To je zbroj duljina svih stranica figure. Broj pojmova ovisi o njegovoj vrsti. Opseg je označen latiničnim slovom P. Mjerne jedinice su iste kao i za stranice.

Formule perimetra za različite oblike

Za trokut: P \u003d a + b + c. Ako je jednakokračan, tada se formula pretvara: P \u003d 2a + c. Kako pronaći opseg trokuta ako je jednakostraničan? Ovo će pomoći: P \u003d 3a.

Za proizvoljni četverokut: P=a+b+c+d. Njegov poseban slučaj je kvadrat, formula perimetra: P=4a. Tu je i pravokutnik, tada je potrebna sljedeća jednakost: P \u003d 2 (a + b).

Što ako ne znate duljinu jedne ili više stranica trokuta?

Upotrijebite teorem o kosinusu ako među podacima postoje dvije strane i kut između njih, koji je označen slovom A. Tada ćete prije pronalaženja opsega morati izračunati treću stranu. Za to je korisna sljedeća formula: c² \u003d a² + b² - 2 av cos (A).

Poseban slučaj ovog teorema je onaj koji je formulirao Pitagora za pravokutni trokut. U njemu vrijednost kosinusa pravog kuta postaje jednaka nuli, što znači da posljednji član jednostavno nestaje.

Postoje situacije kada možete saznati kako pronaći opseg trokuta na jednoj strani. Ali u isto vrijeme poznati su i kutovi figure. Ovdje u pomoć dolazi sinusni teorem, kada su omjeri duljina stranica i sinusa odgovarajućih suprotnih kutova jednaki.

U situaciji kada opseg figure treba pronaći po površini, dobro će doći druge formule. Na primjer, ako je poznat polumjer upisanog kruga, tada je u pitanju kako pronaći opseg trokuta korisna sljedeća formula: S \u003d p * r, ovdje je p poluperimetar. Mora se izvesti iz ove formule i pomnožiti s dva.

Primjeri zadataka

Prvi uvjet. Odredi opseg trokuta čije su stranice 3, 4 i 5 cm.
Riješenje. Morate upotrijebiti gore navedenu jednakost i jednostavno zamijeniti podatke u vrijednosnom zadatku u nju. Računice su jednostavne, dovode do broja 12 cm.
Odgovor. Opseg trokuta je 12 cm.

Drugi uvjet. Jedna stranica trokuta je 10 cm.Poznato je da je druga 2 cm veća od prve, a treća 1,5 puta veća od prve. Potrebno je izračunati njegov opseg.
Riješenje. Da biste saznali, morate izbrojati dvije strane. Drugi je definiran kao zbroj 10 i 2, treći je jednak umnošku 10 i 1,5. Zatim ostaje samo brojati zbroj triju vrijednosti: 10, 12 i 15. Rezultat će biti 37 cm.
Odgovor. Opseg je 37 cm.

Treći uvjet. Postoji pravokutnik i kvadrat. Jedna stranica pravokutnika je 4 cm, a druga je 3 cm duža. Potrebno je izračunati vrijednost stranice kvadrata ako je njegov opseg 6 cm manji od pravokutnika.
Riješenje. Druga stranica pravokutnika je 7. Znajući to, lako je izračunati njegov opseg. Izračun daje 22 cm.
Da biste saznali stranu kvadrata, prvo morate oduzeti 6 od perimetra pravokutnika, a zatim podijeliti dobiveni broj s 4. Kao rezultat, imamo broj 4.
Odgovor. Stranica kvadrata je 4 cm.

Perimetar lik je duljina svih njegovih stranica. Nemaju svi oblici opseg, na primjer, lopta nema opseg. Standardna oznaka perimetar u matematici - slovo P

Opseg kvadrata

Neka je duljina stranice kvadrata a. Kvadrat ima četiri jednake stranice, dakle opseg kvadrata je P = a + a + a + a ili:

Opseg pravokutnika

Neka su duljine stranica pravokutnika a i b.
Duljina svih njegovih stranica je P = a + b + a + b ili:

Opseg paralelograma

Neka su duljine stranica paralelograma a i b
Duljina svih njegovih stranica je P = a + b + a + b, pa je opseg paralelograma:

Kao što vidite, opseg paralelograma jednak je opsegu pravokutnika.

Opseg jednakokračnog trapeza

Neka su duljine paralelnih stranica trapeza a i b, a duljine druge dvije stranice jednake c (Kao što znate, jednakokračni trapez ima dvije jednake stranice).

P = a + b + c + c = a + b + 2c

Opseg jednakostraničnog trokuta

Kao što znate, jednakostranični trokut ima 3 jednake strane. Ako je duljina stranice a, tada je formula za određivanje opsega P = a + a + a

Perimetar kutije

Paralelepiped je prizma čije su sve stranice paralelogrami. (Kvadar je figura čije su stranice pravokutnici.)
Ako stranice baze imaju duljine a i b tada je opseg baze P = 2a + 2b . Svaka kutija ima dvije baze, pa je opseg dviju baza (2a + 2b).2 = 4a + 4b . Kao što znamo, parametar je zbroj svih strana. Dakle, moramo dodati četiri puta c

P = 4a + 4b + 4c

opseg kocke

Kocka je paralelopiped čije su sve stranice kvadrati (sve stranice su jednake).
Zatim, opseg kocke je broj stranica * duljina.
Svaka kocka ima 12 stranica.
Tada je formula za pronalaženje opsega kocke:

Gdje je a duljina njegove stranice.

Kako pronaći opseg različitih geometrijskih oblika

Imate problema s razumijevanjem kako pronaći opseg različitih geometrijskih oblika? Poslovna stranica vam dolazi u pomoć čineći geometriju lakšom nego ikad!Zadovoljstvo Činjenica Perimetar ili opseg Zemlje iznosi 24.901 milju, tj. e. gotovo 40,075 km!U matematici se razmatraju geometrija, oblici, veličine, međusobni položaj, trodimenzionalna orijentacija likova u prostoru. Bavi se trima osnovnim dimenzijama figura: površinom, volumenom i opsegom.

Površina je mjera opsega dvodimenzionalne figure ili oblika; površina se može opisati kao opseg površine objekta. To je mjera u 3D prostoru u blizini objekta.

Opseg se jednostavno može opisati kao duljina staze koja okružuje dvodimenzionalni oblik. Drugim riječima, to je udaljenost oko oblika. Pogledajmo sada Kako pronaći opseg raznih geometrijskih oblika.

Indeks
Kvadrat
Pravokutnik
Krug
Polukrug

Sektor
Trokut
Trapezoidan
Poligon
Kvadrat
Kvadrat je četverokut koji ima sve četiri stranice i četiri kuta jednake (svi 90°).

Primjer: Da bismo pronašli opseg kvadrata sa stranicom od 5 cm, koristimo se formulom prikazanom na sl.
P = A + A + A + A
P = 5 + 5 + 5 + 5
P = 20 cm
Ista formula se može koristiti za izračunavanje opsega romba.
Povratak na indeks
Pravokutnik
Pravokutnik je četverokut koji ima sva četiri kuta jednaka (svi po 90°). Nasuprotne stranice pravokutnika su jednake (dok susjedne stranice nisu).

Primjer: Za pronalaženje opsega pravokutnika koristimo se formulom prikazanom na sl.
l = 15 cm
b = 25 cm
P = 2 (15 + 25)
P = 2 (40)
R = 80 cm
Istu formulu možete koristiti za pronalaženje opsega paralelograma.
Povratak na indeks
Krug
Krug se može opisati kao skup točaka jednako udaljenih od određene točke (poznate kao središte). Opseg kruga naziva se kružnica, označava se c.

Primjer: pronađite opseg kruga, koristimo formulu prikazanu na sl.
Ako je C = 2πR i πd
C = 2 x 3,14 x 7 ili 3,14 x 14
C = 43,96 cm
Povratak na indeks
POLUKRUG
Polukrug, drugim riječima, pola kruga, njegov opseg će biti polovica ovog kruga.

Primjer: Za pronalaženje opsega polukruga koristimo se formulom prikazanom na sl.
p = 7 cm ili D = 14 cm (d = p + p)
P \u003d πR i πd / 2
R = 2 x 3,14 x 7 ili 3,14 x 14/2
P = 21,98 cm
Povratak na indeks
Sektor
Sektor se može opisati kao dio kruga.

Primjer: Da bismo pronašli opseg sektora, koristimo se formulom prikazanom na sl.

ϴ = 60°
p = 7 cm
P \u003d 60/360 X 2 X 3, 14 x 7
R = 7,33 cm
Povratak na indeks
Trokut
Trokut je mnogokut koji ima tri stranice i tri vrha. Razmotrimo tri slučaja kako bismo odredili njegov opseg.

jedan. Kad se poznaju sve tri strane.

Da bismo pronašli opseg trokuta, koristimo se formulom prikazanom na sl.
a = 14 cm
b = 16 cm
c = 15 cm
P = 14 + 16 + 15
P = 45 cm
b. Za pravokutni trokut ako mu je hipotenuza nepoznata.

Da bismo pronašli opseg pravokutnog trokuta, koristimo se formulom prikazanom na sl.
B = 3 cm
h = 4 cm
P \u003d b + h + √ B2 + h 2
P \u003d 3 + 4 + √ 32 + 4 2
P = 3 + 4 + 5
P = 12 cm

Ako je bilo koja druga strana nepoznata, može se koristiti Pitagorina formula da se najprije pronađe stranica, a zatim izračuna opseg.
S. Za bilo koji drugi trokut, kada su poznate samo dvije strane i kut.

Prije svega moramo pronaći duljinu stranice koristeći zakon kosinusa,
Kada su A, B i C duljine stranica trokuta, a a, b i C imaju suprotne kutove stranica A, B i C, redom, možemo pronaći duljinu nepoznate stranice (recimo, c) po formuli:

C2 \u003d a 2 + B 2 - u 2. b jer (c)

Na primjer
A = 4 cm
B=2 cm
C2 \u003d 4 2 + 2 2 - 2 4. 2 cos (45)
C2 = 16 + 4 - 2 (0,876)
C2 = 20 - 1,752
C2 = 18,284
c = 4. 272 ​​​​cm

P = A + B + C
P = 4 + 2 + 4,272
P = 10,272 cm
Povratak na indeks
TRAPEZOID
Trapez je četverokut s najmanje jednim parom paralelnih pravaca. Paralelne pravce nazivamo osnovicama trapeza, a druga stranica nije poznata kao kraci trapeza. Udaljenost između paralelnih pravaca naziva se visina trapeza.
Pogledajmo tri različita scenarija za pronalaženje perimetra.

jedan. Kad sve strane znaju.

A = 4 cm
b = 16 cm
c = 5 cm
d = 8 cm
P = 4 + 16 + 5 + 8
P = 33 cm
b. Kada su njegove strane (noge) nepoznate.

Za određivanje opsega trapeza koristimo formulu prikazanu na sl.
b = 16 cm
h = 3 cm
d = 8 cm
P = b + d + h
1
+
1
Grijeh(S)
Grijeh(A)

P = 16 + 8 + 3
1
+
1
Grijeh (53)
Grijeh (45)

P = 16 + 8 + 33,3
P = 57,3 cm
S. Kada su jedna od baze i visine nepoznate.

Zamislimo da trapez presječemo s dvije stranice na način da su duljine osnovica jednake, a kada spojimo izrezani dio dobijemo trokut kao što je prikazano na slici.

Kada su ∠ i ∠c jednaki; sva tri kuta su 60°. Ovaj trokut je jednakostraničan trokut, pa kad se duljina stranice doda osnovici, dobivamo duljinu veće baze.
Kad su kutovi jednaki; zbroju kutova oduzetom za 180°.

Površina ovog trokuta može se izračunati pomoću formule
A \u003d ½ X X X sin (B)
Nađi opseg trapeza,
A = 4 cm
c = 6 cm
d = 11 cm
∠ a = 53°
∠ c = 65°
∠ B = 78°
Površina = ½ x 4 x 6 x sin 78
Površina = 6,12 cm2
Baza trokuta=
Kvadrat
½ x x grijeh(i)

Baza =
6. 12
½ x 4 x grijeh (65)

Baza =
6. 12
2 x 0,826

Baza = 3,70 cm
Osnovica trapeza = 11 + 3,70 = 14,70 cm

Sada imamo stranice i osnovicu trapeza, možemo pronaći opseg.
P = 14. 7 + 4 + 6 + 11
P = 35,7 cm
Povratak na indeks
Poligon
Bilo koja zatvorena figura, gdje se segmenti ne sijeku jedan s drugim, vodi do poligona. Zbroj unutarnjih kutova mnogokuta uvijek je 360°, a nazive dobivaju prema broju stranica koje imaju.

jedan. Pravilan mnogokut ima sve jednake stranice, pa kada je poznat broj stranica i duljina svake stranice, opseg mnogokuta može se izračunati pomoću formule prikazane na slici.

Primjer: Ako šesterokut ima stranice duge 5 cm, njegov opseg se može izračunati kao što je prikazano u nastavku.
n = 6 (šestokut ima šest stranica)
c = 5 cm
P = 6 x 5
R = 30 cm
b. Kada duljina stranice poligona nije poznata, tada se njegov opseg može izračunati pomoću donje formule.

X = 2 x x Tan (180/p)
Evo apoteme.
Apotem je segment od središta poligona do sredine stranice.

S = 2 x R x Tan (180/p)
R-radijus.
Udaljenost od središta pravilnog mnogokuta do bilo kojeg vrha.

Primjer: na apotemskom šesterokutu od 4 cm njegova se stranica može izračunati kao što je prikazano u nastavku.
c = 2 x 4 x Tan (180/6)
x = 8 x Tan (30)
s = 8 x 0,58
s = 4,62 cm

P = 6 x 4,62 = 27,71 cm

Za šesterokut polumjera 4 cm, njegova se stranica može izračunati kao što je prikazano u nastavku.
x = 2 x 4 x grijeh (180/6)
s = 8 x sin (30)
s = 8 x 0,5
s = 4,00 cm

P = 6 x 4. 00 = 24 cm
S. Za nepravilan mnogokut, ako su mu sve stranice jednake, možemo izračunati njegov opseg jednostavnim zbrajanjem duljina svih njegovih stranica.

Primjer: nepravilan mnogokut sa šest stranica
C1 = 8 cm
C2 = 6 cm
C3 = 4 cm
C4=7cm
C5 = 5 cm
C6 = 4 cm

P \u003d C1 + C2 + C3 + C4 + C5 + C6
P \u003d 8 + 6 + 4 + 7 + 5 + 4
P = 36 cm
Povratak na indeks
Znamo da geometrija može biti malo nezgodna u početku (vjerujte nam, znamo), ali nastavite vježbati i sigurno ćete biti sve bolji sa svakim pokušajem.

Sposobnost određivanja opsega pravokutnika vrlo je važna za rješavanje mnogih geometrijskih problema. Ispod je kako pronaći opseg različitih pravokutnika.

Kako pronaći opseg pravilnog pravokutnika

Pravilni pravokutnik je četverokut čije su paralelne stranice jednake i svi kutovi = 90º. Postoje 2 načina da se pronađe njegov opseg:

Zbrojite sve strane.

Izračunaj opseg pravokutnika ako mu je širina 3 cm, a duljina 6 cm.

Rješenje (redoslijed radnji i obrazloženja):

• Budući da znamo širinu i duljinu pravokutnika, nije teško pronaći njegov opseg. Širina je paralelna širini, a duljina je duljina. Dakle, u pravilnom pravokutniku postoje 2 širine i 2 duljine.
• Zbrojite sve strane (3 + 3 + 6 + 6) = 18 cm.

Odgovor: P = 18 cm.

Drugi način je sljedeći:

Trebate dodati širinu i duljinu i pomnožiti s 2. Formula za ovu metodu je sljedeća: 2 × (a + b), gdje je a širina, b je duljina.

U sklopu ovog zadatka dobivamo sljedeće rješenje:

2x(3 + 6) = 2x9 = 18.

Odgovor: P = 18.

Kako pronaći opseg pravokutnika - kvadrata

Kvadrat je pravilan četverokut. Ispravan jer su mu sve stranice i kutovi jednaki. Postoje dva načina da se pronađe njegov opseg:

• Zbrojite sve njegove strane.
• Pomnožite njegovu stranu s 4.

Primjer: Odredi opseg kvadrata ako je njegova stranica = 5 cm.

Učenici uče kako pronaći opseg u osnovnoj školi. Zatim se te informacije stalno koriste tijekom tečaja matematike i geometrije.

Teorija zajednička svim figurama

Stranke se obično označavaju latiničnim slovima. Štoviše, mogu se označiti kao segmenti. Tada će vam trebati dva slova za svaku stranu i napisana velikim slovima. Ili unesite oznaku s jednim slovom, koje će nužno biti malo.
Slova se uvijek biraju abecednim redom. Za trokut, to će biti prva tri. Šesterokut će ih imati 6 - od a do f. Ovo je korisno za unos formula.

Sada o tome kako pronaći perimetar. To je zbroj duljina svih stranica figure. Broj pojmova ovisi o njegovoj vrsti. Opseg je označen latiničnim slovom P. Mjerne jedinice su iste kao i za stranice.

Formule perimetra za različite oblike

Za trokut: P \u003d a + b + c. Ako je jednakokračan, tada se formula pretvara: P \u003d 2a + c. Kako pronaći opseg trokuta ako je jednakostraničan? Ovo će pomoći: P \u003d 3a.

Za proizvoljni četverokut: P=a+b+c+d. Njegov poseban slučaj je kvadrat, formula perimetra: P=4a. Tu je i pravokutnik, tada je potrebna sljedeća jednakost: P \u003d 2 (a + b).

Što ako ne znate duljinu jedne ili više stranica trokuta?

Upotrijebite teorem o kosinusu ako među podacima postoje dvije strane i kut između njih, koji je označen slovom A. Tada ćete prije pronalaženja opsega morati izračunati treću stranu. Za to je korisna sljedeća formula: c² \u003d a² + b² - 2 av cos (A).

Poseban slučaj ovog teorema je onaj koji je formulirao Pitagora za pravokutni trokut. U njemu vrijednost kosinusa pravog kuta postaje jednaka nuli, što znači da posljednji član jednostavno nestaje.

Postoje situacije kada možete saznati kako pronaći opseg trokuta na jednoj strani. Ali u isto vrijeme poznati su i kutovi figure. Ovdje u pomoć dolazi sinusni teorem, kada su omjeri duljina stranica i sinusa odgovarajućih suprotnih kutova jednaki.

U situaciji kada opseg figure treba pronaći po površini, dobro će doći druge formule. Na primjer, ako je poznat polumjer upisanog kruga, tada je u pitanju kako pronaći opseg trokuta korisna sljedeća formula: S \u003d p * r, ovdje je p poluperimetar. Mora se izvesti iz ove formule i pomnožiti s dva.

Primjeri zadataka

Prvi uvjet. Odredi opseg trokuta čije su stranice 3, 4 i 5 cm.
Riješenje. Morate upotrijebiti gore navedenu jednakost i jednostavno zamijeniti podatke u vrijednosnom zadatku u nju. Računice su jednostavne, dovode do broja 12 cm.
Odgovor. Opseg trokuta je 12 cm.

Drugi uvjet. Jedna stranica trokuta je 10 cm.Poznato je da je druga 2 cm veća od prve, a treća 1,5 puta veća od prve. Potrebno je izračunati njegov opseg.
Riješenje. Da biste saznali, morate izbrojati dvije strane. Drugi je definiran kao zbroj 10 i 2, treći je jednak umnošku 10 i 1,5. Zatim ostaje samo brojati zbroj triju vrijednosti: 10, 12 i 15. Rezultat će biti 37 cm.
Odgovor. Opseg je 37 cm.

Treći uvjet. Postoji pravokutnik i kvadrat. Jedna stranica pravokutnika je 4 cm, a druga je 3 cm duža. Potrebno je izračunati vrijednost stranice kvadrata ako je njegov opseg 6 cm manji od pravokutnika.
Riješenje. Druga stranica pravokutnika je 7. Znajući to, lako je izračunati njegov opseg. Izračun daje 22 cm.
Da biste saznali stranu kvadrata, prvo morate oduzeti 6 od perimetra pravokutnika, a zatim podijeliti dobiveni broj s 4. Kao rezultat, imamo broj 4.
Odgovor. Stranica kvadrata je 4 cm.

Određivanje opsega i površine geometrijskih oblika važan je zadatak koji se javlja pri rješavanju mnogih praktičnih ili svakodnevnih problema. Ako trebate zalijepiti pozadinu, postaviti ogradu, izračunati potrošnju boje ili pločica, onda ćete se svakako morati pozabaviti geometrijskim izračunima.

Za rješavanje navedenih svakodnevnih problema morat ćete raditi s različitim geometrijskim oblicima. Predstavljamo vam katalog online kalkulatora koji vam omogućuju izračunavanje parametara najpopularnijih ravninskih figura. Razmotrimo ih.

Krug

Posebni slučajevi

Četverokut s jednakim stranicama. Paralelogram postaje romb ako se njegove dijagonale sijeku pod kutom od 90 stupnjeva i ako su simetrale svojih kutova.

To je paralelogram s pravim kutovima. Osim toga, paralelogram se smatra pravokutnikom ako njegove stranice i dijagonale ispunjavaju uvjete Pitagorinog teorema.

To je paralelogram u kojem su sve stranice jednake i svi kutovi jednaki. Dijagonale kvadrata u potpunosti ponavljaju svojstva dijagonala pravokutnika i romba, što kvadrat čini jedinstvenom figurom koju karakterizira maksimalna simetrija.

Poligon

Pravilni mnogokut je konveksan lik na ravnini koji ima jednake stranice i jednake kutove. Poligoni imaju svoja imena ovisno o broju stranica:

• - peterokut;
• - šesterokut;
• osam - osmerokut;
• dvanaest – dvanaesterokut.

I tako dalje. Geometri se šale da je krug mnogokut s beskonačnim brojem kutova. Naš kalkulator je programiran za određivanje opsega i površina samo pravilnih poligona. Koristi općenite formule za sve pravilne poligone. Za izračun opsega koristi se formula:

gdje je n broj stranica poligona, a je duljina stranice.

Za određivanje površine koristi se izraz:

S = n/4 × a^2 × ctg(pi/n).

Zamjenom odgovarajućeg n možemo pronaći formulu za bilo koji pravilan mnogokut, koji također uključuje jednakostranični trokut i kvadrat.

Poligoni su vrlo česti u stvarnom životu. Dakle, oblik peterokuta je zgrada Ministarstva obrane SAD-a - Pentagon, šesterokut - saće ili kristali snježne pahulje, osmerokut - prometni znakovi. Osim toga, mnoge praživotinje, poput radiolarija, imaju oblik pravilnih poligona.

Primjeri iz stvarnog života

Pogledajmo nekoliko primjera korištenja našeg kalkulatora u izračunima iz stvarnog života.

Bojanje ograde

Bojenje površina i izračun boje neki su od najočitijih svakodnevnih zadataka koji zahtijevaju minimalne matematičke izračune. Ako trebamo obojiti ogradu visoku 1,5 metar i dugu 20 metara, koliko limenki boje nam treba? Da biste to učinili, morate saznati ukupnu površinu ograde i potrošnju boja i lakova po 1 kvadratnom metru. Znamo da je potrošnja emajla 130 grama po metru. Sada odredimo površinu ograde pomoću kalkulatora za izračun površine pravokutnika. Bit će S = 30 četvornih metara. Naravno, ogradu ćemo obojati s obje strane, pa će se površina za bojanje povećati na 60 kvadrata. Zatim nam treba 60 × 0,13 = 7,8 kilograma boje, odnosno tri standardne limenke od 2,8 kilograma.

Obrub resica

Krojenje je još jedna industrija koja zahtijeva veliko geometrijsko znanje. Pretpostavimo da trebamo obrubiti šal, koji je jednakokračni trapez sa stranicama 150, 100, 75 i 75 cm.Da bismo izračunali utrošak resa, moramo znati opseg trapeza. Ovdje je koristan online kalkulator. Unesite ove podatke u ćeliju i dobijte odgovor:

Dakle, trebamo 4 m resa da završimo šal.

Zaključak

Ravne figure čine stvarni svijet oko sebe. Često smo si u školi postavljali pitanje hoće li nam geometrija koristiti u budućnosti? Navedeni primjeri pokazuju da se matematika stalno koristi u svakodnevnom životu. A ako nam je površina pravokutnika poznata, onda izračunavanje površine dvanaesterokuta može biti težak zadatak. Koristite naš katalog kalkulatora za rješavanje školskih zadaća ili svakodnevnih problema.

Jedan od osnovnih pojmova matematike je opseg pravokutnika. Postoji mnogo problema na ovu temu, čije rješenje ne može bez formule perimetra i vještina za njezino izračunavanje.

Osnovni koncepti

Pravokutnik je četverokut u kojem su svi kutovi pravi, a nasuprotne stranice po parovima jednake i paralelne. U našem životu mnoge figure su u obliku pravokutnika, na primjer, površina stola, bilježnice i tako dalje.

Razmotrite primjer: uz granice zemljišta mora se postaviti ograda. Da biste saznali duljinu svake strane, morate ih izmjeriti.

Riža. 1. Zemljište u obliku pravokutnika.

Parcela ima stranice duljine 2 m, 4 m, 2 m, 4 m. Dakle, da biste saznali ukupnu duljinu ograde, morate zbrojiti duljine svih stranica:

2+2+4+4= 2 2+4 2 =(2+4) 2 =12 m.

To je ta vrijednost koja se općenito naziva perimetar. Dakle, da biste pronašli opseg, morate dodati sve strane figure. Slovo P koristi se za označavanje perimetra.

Da biste izračunali opseg pravokutnog lika, ne morate ga podijeliti na pravokutnike, trebate samo izmjeriti sve strane ovog lika ravnalom (metrom) i pronaći njihov zbroj.

Opseg pravokutnika mjeri se u mm, cm, m, km i tako dalje. Ako je potrebno, podaci u zadatku se pretvaraju u isti mjerni sustav.

Opseg pravokutnika mjeri se u različitim jedinicama: mm, cm, m, km i tako dalje. Ako je potrebno, podaci u zadatku se pretvaraju u jedan mjerni sustav.

Formula perimetra oblika

Ako uzmemo u obzir činjenicu da su suprotne stranice pravokutnika jednake, tada možemo izvesti formulu za opseg pravokutnika:

$P = (a+b) * 2$, gdje su a, b strane figure.

Riža. 2. Pravokutnik, s označenim suprotnim stranicama.

Postoji još jedan način da se pronađe perimetar. Ako je u zadatku dana samo jedna strana i područje figure, možete upotrijebiti za izražavanje druge strane kroz područje. Tada će formula izgledati ovako:

$P = ((2S + 2a2)\over(a))$, gdje je S površina pravokutnika.

Riža. 3. Pravokutnik sa stranicama a, b.

Vježbajte : Izračunaj opseg pravokutnika ako su mu stranice 4 cm i 6 cm.

Riješenje:

Koristimo formulu $P = (a+b)*2$

$P = (4+6)*2=20 cm$

Dakle, opseg figure je $P = 20 cm$.

Budući da je opseg zbroj svih stranica figure, poluopseg je zbroj samo jedne duljine i širine. Pomnožite poluopseg s 2 da biste dobili obim.

Površina i opseg su dva osnovna pojma za mjerenje svake figure. Ne treba ih miješati, iako su u srodstvu. Ako povećate ili smanjite područje, tada će se, sukladno tome, njegov opseg povećati ili smanjiti.

Što smo naučili?

Naučili smo kako pronaći opseg pravokutnika. I također se upoznao s formulom za njegov izračun. Ova se tema može susresti ne samo pri rješavanju matematičkih problema, već iu stvarnom životu.

Tematski kviz

Ocjena članka

Prosječna ocjena: 4.5. Ukupno primljenih ocjena: 363.