Zadatak 16:

Je li moguće zamijeniti 25 rubalja za deset novčanica u apoenima od 1, 3 i 5 rubalja? Riješenje:

Odgovor: Ne

Zadatak 17:

Petya je kupio običnu bilježnicu s volumenom od 96 listova i numerirao sve njezine stranice redom brojevima od 1 do 192. Vasya je istrgnuo 25 listova iz ove bilježnice i zbrojio svih 50 brojeva koji su napisani na njima. Je li mogao napraviti 1990.? Riješenje:

Na svakom listu zbroj brojeva stranica je neparan, a zbroj 25 neparnih brojeva je neparan.

Zadatak 18:

Umnožak 22 cijela broja jednak je 1. Dokažite da njihov zbroj nije jednak nuli. Riješenje:

Među ovim brojevima - Parni broj"minus jedinice", a da bi zbroj bio jednak nuli mora ih biti točno 11.

Zadatak 19:

Je li moguće sastaviti čarobni kvadrat od prvih 36 prostih brojeva? Riješenje:

Među tim brojevima, jedan (2) je paran, a ostali su neparni. Dakle, u retku gdje je dvojka zbroj brojeva je neparan, au ostalima je paran.

Zadatak 20:

U nizu su napisani brojevi od 1 do 10. Je li moguće između njih staviti znakove “+” i “-” tako da vrijednost dobivenog izraza bude jednaka nuli?

Napomena: Imajte na umu da negativni brojevi također su neparni i parni. Riješenje:

Doista, zbroj brojeva od 1 do 10 je 55, a mijenjanjem predznaka u njemu mijenjamo cijeli izraz u paran broj.

Zadatak 21:

Skakavac skače pravocrtno i prvi put je skočio 1 cm u nekom smjeru, drugi put skočio je 2 cm i tako dalje. Dokaži da nakon 1985 skokova ne može biti gdje je krenuo. Riješenje:

Napomena: Zbroj 1 + 2 + … + 1985 je neparan.

Zadatak 22:

Na ploči su ispisani brojevi 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Dopušteno je bilo koja dva broja obrisati s ploče i umjesto njih napisati modul njihove razlike. Na kraju će na ploči ostati samo jedan broj. Može li biti nula? Riješenje:

Provjerite da navedene operacije ne mijenjaju paritet zbroja svih brojeva napisanih na ploči.

Zadatak 23:

Je li moguće pokriti šahovska ploča domine 1 × 2 tako da samo ćelije a1 i h8 ostanu slobodne? Riješenje:

Svaka domina pokriva jedno crno i jedno bijelo polje, a kada se izbace polja a1 i h8, crna polja su 2 manje od bijelih.

Zadatak 24:

Broju od 17 znamenki dodan je broj napisan istim znamenkama, ali obrnutim redoslijedom. Dokažite da je barem jedna znamenka dobivenog zbroja parna. Riješenje:

Analiziraj dva slučaja: zbroj prve i zadnje znamenke broja manji je od 10, a zbroj prve i zadnje znamenke broja nije manji od 10. Ako pretpostavimo da su sve znamenke zbroja neparne , tada u prvom slučaju ne bi trebalo biti niti jednog prijenosa u znamenkama (što, očito, dovodi do kontradikcije), au drugom slučaju, prisutnost prijenosa pri pomicanju s desna na lijevo ili s lijeva na desno izmjenjuje se uz izostanak prijenosa, a kao rezultat dobivamo da je znamenka zbroja u devetoj znamenki nužno parna.

Zadatak 25:

U narodnom odredu ima 100 ljudi, a svake večeri troje ih dežura. Može li nakon nekog vremena ispasti da je svatko sa svakim dežurao točno jednom? Riješenje:

Budući da na svakoj dužnosti u kojoj sudjeluje ova osoba, on je na dužnosti s još dvojicom, onda se svi ostali mogu podijeliti u parove. Međutim, 99 je neparan broj.

Zadatak 26:

Na pravoj liniji označeno je 45 točaka koje leže izvan dužine AB. Dokažite da zbroj udaljenosti od tih točaka do točke A nije jednak zbroju udaljenosti od tih točaka do točke B. Riješenje:

Za bilo koju točku X koja leži izvan AB vrijedi AX - BX = ± AB. Ako pretpostavimo da su zbrojevi udaljenosti jednaki, tada dobivamo da je izraz ± AB ± AB ± … ± AB, u kojem je uključeno 45 članova, jednak nuli. Ali ovo je nemoguće.

Zadatak 27:

Postoji 9 brojeva raspoređenih u krug - 4 jedinice i 5 nula. Svake sekunde nad brojevima se izvodi sljedeća operacija: nula se stavlja između susjednih brojeva ako su različiti, a jedinica ako su jednaki; nakon toga se stari brojevi brišu. Mogu li nakon nekog vremena svi brojevi postati isti? Riješenje:

Jasno je da se ne može dobiti kombinacija devet jedinica prije devet nula. Ako je bilo devet nula, onda su se na prethodnom potezu trebale izmjenjivati ​​nule i jedinice, što je nemoguće jer ih je samo neparan broj.

Zadatak 28:

Za okruglim stolom sjedi 25 dječaka i 25 djevojčica. Dokažite da jedan od ljudi koji sjede za stolom ima oba susjeda dječaka. Riješenje:

Izvedimo naš dokaz kontradikcijom. Brojimo redom sve one koji sjede za stolom, počevši od nekog mjesta. Ako je uključeno k-to mjesto sjedi dječak, jasno je da su (k - 2)-to i (k + 2)-to mjesto zauzele djevojčice. Ali budući da postoji jednak broj dječaka i djevojčica, tada za svaku djevojčicu koja sjedi na n-tom mjestu, istina je da (n - 2) i (n + 2) mjesta zauzimaju dječaci. Ako sada uzmemo u obzir samo onih 25 ljudi koji sjede na "parnim" mjestima, onda dobivamo da se među njima izmjenjuju dječaci i djevojčice ako idu oko stola u nekom smjeru. Ali 25 je neparan broj.

Zadatak 29:

Puž puže po ravnini konstantnom brzinom, okrećući se pod pravim kutom svakih 15 minuta. Dokažite da se može vratiti na početnu točku tek nakon cijelog broja sati. Riješenje:

Jasno je da je broj a dionica u kojima je puž puzao gore ili dolje jednak broju dionica u kojima je puzao udesno ili ulijevo. Ostaje samo primijetiti da je a paran.

Zadatak 30:

Tri skakavca igraju preskok na ravnoj liniji. Svaki put jedan od njih preskoči drugoga (ali ne preko dvojice odjednom!). Mogu li se vratiti na prvobitne pozicije nakon skoka iz 1991.? Riješenje:

Označimo skakavce A, B i C. Nazovimo rasporede skakavaca ABC, BCA i CAB (s lijeva na desno) točnima, a ACB, BAC i CBA netočnima. Lako je vidjeti da se s bilo kojim skokom tip rasporeda mijenja.

Zadatak 31:

Riječ je o 101 kovanici, od kojih je 50 krivotvorina, koje se u težini od pravih razlikuju za 1 gram. Petya je uzeo jedan novčić i za jedan vaganje na vagi sa strelicom koja pokazuje razliku u težinama na šalicama želi utvrditi je li lažan. Može li on to učiniti? Riješenje:

Morate staviti ovaj novčić sa strane, a zatim podijeliti preostalih 100 novčića u dvije hrpe od po 50 novčića i usporediti težine tih hrpa. Ako se razlikuju za parni broj grama, onda je novčić koji nas zanima pravi. Ako je razlika između težina neparna, onda je novčić krivotvoren.

Zadatak 32:

Je li moguće brojeve od 1 do 9 redom ispisati jedanput tako da između jedan i dva, dva i tri, ..., osam i devet bude neparan broj znamenki? Riješenje:

Inače bi svi brojevi u nizu bili na mjestima istog pariteta.

Za ovaj rad Petya je kupila uobičajenu bilježnicu s volumenom od 96 listova i sve njegove stranice numerirala brojevima od 1 do 192. Vasya je izvukao (Kontrolni) na temu (AHD i financijska analiza), a izradila ga je naša tvrtka po narudžbi specijaliste i uspješno je položio obranu. Posao - Petya je kupio običnu bilježnicu s volumenom od 96 listova i numerirao sve njezine stranice brojevima od 1 do 192. Vasya se izvukao na temu AHD-a, a financijska analiza odražava njezinu temu i logičnu komponentu njezina otkrivanja, Otkriva se bit problematike koja se proučava, ističu se glavne odredbe i vodeće ideje ove teme.
Rad - Petya je kupio običnu bilježnicu s volumenom od 96 listova i sve njezine stranice numerirao brojevima od 1 do 192. Vasya ju je istrgnuo, sadrži: tablice, crteže, najnovije književne izvore, godinu podnošenja i obrane rad - 2017. U radu je Petya kupila običan volumen bilježnice od 96 listova i numerirala sve njegove stranice redom brojevima od 1 do 192. Vasya je izvukao (AHD i financijska analiza) otkriva se relevantnost teme istraživanja, odražava se stupanj razvijenosti problema na temelju duboke procjene i analize znanstvenih i metodička literatura, u radu na predmetu AHD i financijske analize, sveobuhvatno se razmatra predmet analize i njegova problematika, kako s teorijske tako i s praktične strane, formuliraju se cilj i specifični zadaci teme koja se razmatra, postoji logika prezentacija gradiva i njegov redoslijed.

Odjeljci: Matematika

Dragi sudionici olimpijade!

Školska matematička olimpijada održava se u jednom krugu.
Postoji 5 zadataka različitih razina težine.
Nema posebnih zahtjeva za dizajn rada. Oblik prikaza rješenja problema, kao i metoda rješavanja, može biti bilo koji. Ako imate individualnih razmišljanja o određenom zadatku, ali ne možete dovesti rješenje do kraja, nemojte se ustručavati iznijeti sve svoje misli. Čak i djelomično riješeni zadaci ocjenjuju se odgovarajućim brojem bodova.
Počnite rješavati zadatke koji vam se čine lakši, a onda prijeđite na ostale. Na ovaj način štedite vrijeme.

Želimo vam uspjeh!

školska pozornica Sveruska olimpijadaškolarci iz matematike

5. razred

Vježba 1. U izrazu 1*2*3*4*5 zamijenite "*" znakovima akcije i stavite zagrade ovako. Da biste dobili izraz čija je vrijednost 100.

Zadatak 2. Potrebno je dešifrirati zapis aritmetičke jednakosti, u kojem su brojevi zamijenjeni slovima, a različiti brojevi zamijenjeni su različitim slovima, isti su isti.

PET - TRI \u003d DVA Poznato je da umjesto slov ALI morate staviti broj 2.

Zadatak 3. Kako vagom bez utega podijeliti 80 kg čavala na dva dijela - 15 kg i 65 kg?

Zadatak 4. Izrežite lik prikazan na slici na dva jednaka dijela tako da svaki dio ima jednu zvijezdu. Možete rezati samo duž linija mreže.

Zadatak 5. Šalica i tanjurić zajedno koštaju 25 rubalja, dok 4 šalice i 3 tanjurića koštaju 88 rubalja. Pronađite cijenu šalice i cijenu tanjurića.

6. razred.

Vježba 1. Usporedite razlomke bez dovođenja na zajednički nazivnik.

Zadatak 2. Potrebno je dešifrirati zapis aritmetičke jednakosti, u kojem su brojevi zamijenjeni slovima, a različiti brojevi zamijenjeni su različitim slovima, isti su isti. Pretpostavlja se da je izvorna jednakost istinita i napisana prema uobičajenim aritmetičkim pravilima.

RADITI
+ VOLJA
SREĆA

Zadatak 3. Tri prijatelja došla su u ljetni kamp na odmor: Misha, Volodya i Petya. Poznato je da svaki od njih nosi jedno od sljedećih prezimena: Ivanov, Semenov, Gerasimov. Miša nije Gerasimov. Volodjin otac je inženjer. Volodja ide u 6. razred. Gerasimov ide u 5. razred. Ivanov otac je učitelj. Kako se preziva svaki od tri prijatelja?

Zadatak 4. Podijelite lik duž linija mreže na četiri identična dijela tako da svaki dio ima jednu točku.

Zadatak 5. Vilin konjic je spavao pola vremena svakog dana crvenog ljeta, plesao trećinu vremena svakog dana, a pjevao šesti dio. Ostatak vremena odlučila je posvetiti pripremanju zimnice. Koliko sati dnevno se Dragonfly pripremao za zimu?

7. razred.

Vježba 1. Riješi rebus ako znaš da je najveća znamenka u broju JAKO 5:

ODLUČITI
AKO
JAKO

Zadatak 2. Riješite jednadžbu│7 - x│ = 9.3

Zadatak 3. Nakon sedam pranja dužina, širina i debljina sapuna su se prepolovili. Koliko će istih pranja trajati preostali sapun?

Zadatak 4 . Podijelite pravokutnik od 4 × 9 ćelija duž stranica ćelija na dva jednaka dijela tako da od njih možete napraviti kvadrat.

Zadatak 5. Drvena kocka je obojana bijelom bojom sa svih strana, a zatim je ispiljena u 64 jednake kocke. Koliko je kockica obojeno na tri strane? S dvije strane?
Jedna strana? Koliko kocki nije obojeno?

8. razred.

Vježba 1. Koje dvije znamenke završavaju broj 13!

Zadatak 2. Smanjite razlomak:

Zadatak 3. Školski dramski krug, pripremajući se za produkciju odlomka iz bajke A.S. Puškina o caru Saltanu, odlučio raspodijeliti uloge među sudionicima.
- Ja ću biti Černomor - rekao je Jura.
- Ne, ja ću biti Černomor - rekao je Kolja.
- U redu - priznao mu je Yura - mogu igrati Gvidona.
- Pa, mogu postati Saltan - Kolja je također pokazao popustljivost.
- Pristajem biti samo Guidon! rekao je Misha.
Želje dječaka su bile zadovoljene. Kako su bile raspoređene uloge?

Zadatak 4. Srednja AD ucrtana je u jednakokračni trokut ABC s osnovicom AB = 8m. Opseg trokuta ACD veći je od opsega trokuta ABD za 2m. Pronađite AS.

Zadatak 5. Nikolaj je kupio običnu bilježnicu od 96 listova i numerirao stranice od 1 do 192. Njegov nećak Arthur je iz te bilježnice istrgnuo 35 listova i zbrojio svih 70 brojeva koji su bili napisani na njima. Može li dobiti 2010.

9. razred

Vježba 1. Pronađite zadnju znamenku 1989 1989 .

Zadatak 2. Zbroj korijena nekih kvadratna jednadžba je 1, a zbroj njihovih kvadrata je 2. Koliki je zbroj njihovih kubova?

Zadatak 3. Pomoću tri središnje strane m a , m b i m c ∆ ABC odredite duljinu stranice AC = b.

Zadatak 4. Smanjite razlomak .

Zadatak 5. Na koliko načina možete odabrati samoglasnik i suglasnik u riječi "kamzol"?

10. razred.

Vježba 1. Trenutno postoje kovanice od 1, 2, 5, 10 rubalja. Navedite sve novčane iznose koji se mogu platiti i parnim i neparnim brojem kovanica.

Zadatak 2. Dokažite da je 5 + 5 2 + 5 3 + … + 5 2010 djeljivo sa 6.

Zadatak 3. U četverokutu ABCD dijagonale se sijeku u točki M. Poznato je da AM = 1,
VM = 2, CM = 4. U kojim vrijednostima DMčetverokut ABCD je trapez?

Zadatak 4. Riješite sustav jednadžbi

Zadatak 5. Rukovalo se tridesetak školaraca - desetaša i jedanaestaša. Pritom se pokazalo da se svaki desetaš rukovao s osam jedanaestaša, a svaki jedanaestaš sa sedam desetaša. Koliko je desetaša, a koliko jedanaestaša?