Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i Nadolazeći događaji.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
• Također možemo koristiti osobne podatke u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• U slučaju da je potrebno – sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije – otkriti Vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno zbog sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.

Y \u003d f (x) i ako se u ovoj točki može povući tangenta na graf funkcije koja nije okomita na x-os, tada je nagib tangente f "(a). Ovo smo već koristili nekoliko puta. Na primjer, u § 33 utvrđeno je da graf funkcije y \u003d sin x (sinusoida) u ishodištu tvori kut od 45 ° s osi apscisa (točnije, tangenta na graf na ishodište zaklapa kut od 45° s pozitivnim smjerom osi x), a u primjeru 5 iz § 33 točke pronađene su na zadanom rasporedu funkcije, u kojem je tangenta paralelna s x-osi. U primjeru 2 § 33 sastavljena je jednadžba za tangentu na graf funkcije y \u003d x 2 u točki x \u003d 1 (točnije, u točki (1; 1), ali češće samo naznačena je vrijednost apscise, uz pretpostavku da se, ako je vrijednost apscise poznata, vrijednost ordinate može pronaći iz jednadžbe y = f(x)). U ovom odjeljku ćemo razviti algoritam za sastavljanje jednadžbe tangente na graf bilo koje funkcije.

Neka su zadane funkcija y \u003d f (x) i točka M (a; f (a)), a također je poznato da f "(a) postoji. Sastavimo jednadžbu tangente na graf zadana funkcija u danoj točki. Ova jednadžba je kao jednadžba bilo koje ravne linije, koja nije paralelna s osi y, ima oblik y = kx + m, pa je problem pronaći vrijednosti koeficijenata k i m.

Nema problema s nagibom k: znamo da je k \u003d f "(a). Za izračun vrijednosti m koristimo činjenicu da željena linija prolazi kroz točku M (a; f (a)). To znači da ako koordinatne točke M zamijenimo u jednadžbu ravne linije, dobivamo ispravnu jednakost: f (a) \u003d ka + m, odakle nalazimo da je m \u003d f (a) - ka.
Ostaje zamijeniti pronađene vrijednosti koeficijenata kita jednadžba ravno:

Dobili smo jednadžbu tangente na graf funkcije y \u003d f (x) u točki x \u003d a.
ako, recimo,
Zamjenom u jednadžbi (1) pronađene vrijednosti a \u003d 1, f (a) \u003d 1 f "(a) = 2, dobivamo: y \u003d 1 + 2 (x-f), tj. y = 2x -1.
Usporedite ovaj rezultat s onim dobivenim u 2. primjeru § 33. Naravno, dogodilo se isto.
Sastavimo jednadžbu tangente na graf funkcije y \u003d tg x u ishodištu. Imamo: stoga cos x f "(0) = 1. Zamjenom pronađenih vrijednosti a \u003d 0, f (a) \u003d 0, f "(a) = 1 u jednadžbu (1), dobivamo: y \u003d x .
Zato smo tangentoid u § 15 (vidi sl. 62) povukli kroz ishodište koordinata pod kutom od 45° na apscisnu os.
Dovoljno je riješiti ih jednostavni primjeri, zapravo smo koristili određeni algoritam, koji je ugrađen u formulu (1). Učinimo ovaj algoritam eksplicitnim.

ALGORITAM ZA SASTAVLJANJE JEDNADŽBE FUNKCIJE TANGENTNE NA GRAF y \u003d f (x)

1) Apscisu dodirne točke označite slovom a.
2) Izračunajte 1 (a).
3) Nađite f "(x) i izračunajte f" (a).
4) Pronađene brojeve a, f(a), (a) zamijenite u formulu (1).

Primjer 1 Napišite jednadžbu za tangentu na graf funkcije u točki x = 1.
Upotrijebimo algoritam, s obzirom na to u ovom primjeru

Na sl. 126 prikazuje hiperbolu, izgrađena je ravna linija y \u003d 2x.
Crtež potvrđuje gornje izračune: doista, linija y \u003d 2-x dodiruje hiperbolu u točki (1; 1).

Odgovor: y \u003d 2-x.
Primjer 2 Nacrtajte tangentu na graf funkcije tako da bude paralelna s pravom y \u003d 4x - 5.
Pročistimo formulaciju problema. Zahtjev za "crtanje tangente" obično znači "napraviti jednadžbu za tangentu". To je logično, jer ako je osoba bila u stanju sastaviti jednadžbu za tangentu, onda vjerojatno neće imati poteškoća u nadogradnji koordinatna ravnina ravna crta prema njezinoj jednadžbi.
Upotrijebimo algoritam za sastavljanje jednadžbe tangente, s obzirom da u ovom primjeru, Ali, za razliku od prethodnog primjera, ovdje postoji dvosmislenost: apscisa tangentne točke nije eksplicitno naznačena.
Počnimo ovako razgovarati. Željena tangenta mora biti paralelna s ravnom linijom y \u003d 4x-5. Dva pravca su paralelna ako i samo ako su im nagibi jednaki. To znači da nagib tangente mora biti jednak nagibu zadane ravne linije: Dakle, možemo pronaći vrijednost a iz jednadžbe f "(a) \u003d 4.
Imamo:
Iz jednadžbe Dakle, dvije su tangente koje zadovoljavaju uvjete zadatka: jedna u točki s apscisom 2, druga u točki s apscisom -2.
Sada možete djelovati prema algoritmu.

Primjer 3 Iz točke (0; 1) povuci tangentu na graf funkcije
Upotrijebimo algoritam za sastavljanje jednadžbe tangente, s obzirom da u ovom primjeru Primijetite da ovdje, kao u primjeru 2, apscisa tangente nije eksplicitno naznačena. Ipak, postupamo prema algoritmu.

Prema uvjetu, tangenta prolazi točkom (0; 1). Zamjenom u jednadžbu (2) vrijednosti x = 0, y = 1, dobivamo:
Kao što vidite, u ovom primjeru tek smo u četvrtom koraku algoritma uspjeli pronaći apscisu dodirne točke. Zamjenom vrijednosti a \u003d 4 u jednadžbu (2), dobivamo:

Na sl. 127 prikazana je geometrijska ilustracija razmatranog primjera: graf funkcije

U § 32 primijetili smo da za funkciju y = f(x), koja ima derivaciju u fiksnoj točki x, vrijedi približna jednakost:

Radi lakšeg daljnjeg razmišljanja, mijenjamo zapis: umjesto x ćemo pisati a, umjesto toga ćemo pisati x, i sukladno tome umjesto toga ćemo pisati x-a. Tada će gore napisana približna jednakost imati oblik:

Sada pogledajte sl. 128. Na graf funkcije y \u003d f (x) povučena je tangenta u točki M (a; f (a)). Označena točka x na x-osi blizu a. Jasno je da je f(x) ordinata grafa funkcije u navedenoj točki x. A koliko je f (a) + f "(a) (x-a)? Ovo je ordinata tangente koja odgovara istoj točki x - vidi formulu (1). Koje je značenje približne jednakosti (3)? To za izračunati približnu vrijednost funkcije uzima se vrijednost tangente ordinate.

Primjer 4 Odredite približnu vrijednost brojevnog izraza 1,02 7 .
Govorimo o pronalaženju vrijednosti funkcije y \u003d x 7 u točki x \u003d 1,02. Koristimo formulu (3), uzimajući u obzir da u ovom primjeru
Kao rezultat toga dobivamo:

Ako koristimo kalkulator, dobivamo: 1,02 7 = 1,148685667...
Kao što vidite, točnost aproksimacije je sasvim prihvatljiva.
Odgovor: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkovich algebra 10. razred

Kalendarsko-tematsko planiranje iz matematike, video iz matematike online, Matematika u školi download

Sadržaj lekcije sažetak lekcije okvir za podršku lekcija prezentacija akcelerativne metode interaktivne tehnologije Praksa zadaci i vježbe samoprovjera radionice, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća pitanja za raspravu retorička pitanja od studenata Ilustracije audio, video isječci i multimedija fotografije, slikovne grafike, tablice, sheme humor, anegdote, vicevi, stripovi parabole, izreke, križaljke, citati Dodaci sažetakačlanci čipovi za radoznale varalice udžbenici osnovni i dodatni rječnik pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i nastaveispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje fragmenta u udžbeniku elementi inovacije u lekciji zamjena zastarjelih znanja novima Samo za učitelje savršene lekcije kalendarski plan za godinu smjernice programi rasprava Integrirane lekcije

Vrsta posla: 7

Stanje

Pravac y=3x+2 tangenta je na graf funkcije y=-12x^2+bx-10. Nađite b s obzirom da je apscisa dodirne točke manja od nule.

Prikaži rješenje

Riješenje

Neka je x_0 apscisa točke na grafu funkcije y=-12x^2+bx-10 kroz koju prolazi tangenta na ovaj graf.

Vrijednost derivacije u točki x_0 jednaka je nagibu tangente, tj. y"(x_0)=-24x_0+b=3. S druge strane, tangentna točka pripada i grafu funkcije i tangenta, tj. -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Dobivamo sustav jednadžbi \početak(slučajevi) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \kraj(slučajevi)

Rješavajući ovaj sustav, dobivamo x_0^2=1, što znači ili x_0=-1 ili x_0=1. Prema stanju apscise, dodirne točke su manje od nule, dakle x_0=-1, zatim b=3+24x_0=-21.

Odgovor

Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje derivacije. Tangenta na graf funkcije

Stanje

Pravac y=-3x+4 paralelan je s tangentom na graf funkcije y=-x^2+5x-7. Pronađite apscisu dodirne točke.

Prikaži rješenje

Riješenje

Nagib linije prema grafu funkcije y=-x^2+5x-7 u proizvoljnoj točki x_0 je y"(x_0). Ali y"=-2x+5, pa je y"(x_0)=- 2x_0 + 5. Kutni koeficijent pravca y=-3x+4 naveden u uvjetu je -3. Paralelni pravci imaju iste koeficijente nagiba. Prema tome, nalazimo takvu vrijednost x_0 da je =-2x_0 +5=-3.

Dobivamo: x_0 = 4.

Odgovor

Izvor: „Matematika. Pripreme za ispit-2017. Razina profila". ur. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje derivacije. Tangenta na graf funkcije

Stanje

Prikaži rješenje

Riješenje

Sa slike utvrđujemo da tangenta prolazi kroz točke A(-6; 2) i B(-1; 1). Označimo sa C(-6; 1) sjecište pravaca x=-6 i y=1, a sa \alpha kut ABC (na slici se vidi da je šiljasti). Tada pravac AB tvori tupi kut \pi -\alpha s pozitivnim smjerom osi Ox.

Kao što znate, tg(\pi -\alpha) bit će vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x_0. primijeti da tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Odavde, formulama redukcije, dobivamo: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Odgovor

Izvor: „Matematika. Pripreme za ispit-2017. razini profila. ur. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje derivacije. Tangenta na graf funkcije

Stanje

Pravac y=-2x-4 tangenta je na graf funkcije y=16x^2+bx+12. Nađite b s obzirom da je apscisa dodirne točke veća od nule.

Prikaži rješenje

Riješenje

Neka je x_0 apscisa točke na grafu funkcije y=16x^2+bx+12 kroz koju

je tangenta na ovaj graf.

Vrijednost derivacije u točki x_0 jednaka je nagibu tangente, tj. y "(x_0)=32x_0+b=-2. S druge strane, tangentna točka pripada i grafu funkcije i tangenta, tj. 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Dobivamo sustav jednadžbi \početak(slučajevi) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \kraj(slučajevi)

Rješavanjem sustava dobivamo x_0^2=1, što znači ili x_0=-1 ili x_0=1. Prema stanju apscise, dodirne točke su veće od nule, dakle x_0=1, zatim b=-2-32x_0=-34.

Odgovor

Izvor: „Matematika. Pripreme za ispit-2017. razini profila. ur. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje derivacije. Tangenta na graf funkcije

Stanje

Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) definirane na intervalu (-2; 8). Odredite broj točaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna s pravcem y=6.

Prikaži rješenje

Riješenje

Pravac y=6 paralelan je s osi Ox. Stoga nalazimo takve točke u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna s osi Ox. Na ovaj grafikon takve točke su točke ekstrema (točke maksimuma ili minimuma). Kao što vidite, postoje 4 ekstremne točke.

Odgovor

Izvor: „Matematika. Pripreme za ispit-2017. razini profila. ur. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje derivacije. Tangenta na graf funkcije

Stanje

Pravac y=4x-6 paralelan je s tangentom na graf funkcije y=x^2-4x+9. Pronađite apscisu dodirne točke.

Prikaži rješenje

Riješenje

Nagib tangente na graf funkcije y \u003d x ^ 2-4x + 9 u proizvoljnoj točki x_0 je y "(x_0). Ali y" \u003d 2x-4, što znači y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. Nagib tangente y \u003d 4x-7 naveden u uvjetu jednak je 4. Paralelne linije imaju iste nagibe. Stoga nalazimo takvu vrijednost x_0 da je 2x_0-4 \u003d 4. Dobivamo : x_0 \u003d 4.

Odgovor

Izvor: „Matematika. Pripreme za ispit-2017. razini profila. ur. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje derivacije. Tangenta na graf funkcije

Stanje

Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i tangenta na nju u točki s apscisom x_0. Pronađite vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x_0.

Prikaži rješenje

Riješenje

Sa slike utvrđujemo da tangenta prolazi točkama A(1; 1) i B(5; 4). Označimo sa C(5; 1) sjecište pravaca x=5 i y=1, a sa \alpha kut BAC (na slici se vidi da je šiljasti). Tada pravac AB tvori kut \alpha s pozitivnim smjerom osi Ox.

Tangens je ravna linija koja prolazi kroz točku krivulje i podudara se s njom u ovoj točki do prvog reda (slika 1).

Druga definicija: ovo je granični položaj sekante na Δ x→0.

Objašnjenje: Uzmite liniju koja siječe krivulju u dvije točke: ALI i b(vidi sliku). Ovo je sekans. Okretat ćemo ga u smjeru kazaljke na satu dok ne bude imao samo jedan zajednička točka s krivuljom. Tako dobivamo tangentu.

Stroga definicija tangente:

Tangenta na graf funkcije f, diferencijabilan u točki xoko, pravac koji prolazi točkom ( xoko; f(xoko)) i imajući nagib f′( xoko).

Nagib ima ravnu liniju y=kx +b. Koeficijent k i je faktor nagiba ovu ravnu liniju.

Kutni koeficijent jednak je tangenti oštar kut koju čini ova ravna linija s osi apscise:

k = tgα

Ovdje je kut α kut između pravaca y=kx +b i pozitivni smjer (tj. suprotno od kazaljke na satu) osi x. To se zove kut nagiba ravni(Sl.1 i 2).

Ako je kut nagiba ravan y=kx +b akut, tada je nagib pozitivan broj. Grafikon se povećava (slika 1).

Ako je kut nagiba ravan y=kx +b tup, onda je nagib negativan broj. Grafikon se smanjuje (slika 2).

Ako je pravac paralelan s x-osi, tada je nagib pravca jednak nula. U ovom slučaju, nagib pravca također je nula (budući da je tangenta nule jednaka nuli). Jednadžba ravne linije izgledat će kao y = b (slika 3).

Ako je kut nagiba pravca 90º (π/2), odnosno okomit je na x-os, tada je pravac dan jednakošću x=c, gdje c- neki realni broj (slika 4).

Jednadžba tangente na graf funkcijeg = f(x) u točki xoko:

Primjer : Nađimo jednadžbu tangente na graf funkcije f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 u točki s apscisom 2.

Riješenje .

Slijedimo algoritam.

1) Dodirna točka xoko jednak 2. Izračunaj f(xoko):

f(xoko) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Pronađite f′( x). Da bismo to učinili, koristimo formule diferencijacije navedene u prethodnom odjeljku. Prema ovim formulama, x 2 = 2x, a x 3 = 3x 2. Sredstva:

f′( x) = 3x 2 – 2 ∙ 2x = 3x 2 – 4x.

Sada, koristeći dobivenu vrijednost f′( x), izračunajte f′( xoko):

f′( xoko) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Dakle, imamo sve potrebne podatke: xoko = 2, f(xoko) = 1, f ′( xoko) = 4. Te brojeve zamijenimo u jednadžbu tangente i nađemo konačno rješenje:

y= f(xoko) + f′( xoko) (x – x o) \u003d 1 + 4 ∙ (x - 2) \u003d 1 + 4x - 8 \u003d -7 + 4x \u003d 4x - 7.

Odgovor: y \u003d 4x - 7.

Jednadžba tangente na graf funkcije

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Čeljabinska regija

Jednadžba tangente na graf funkcije

Članak je objavljen uz potporu Hotelskog kompleksa ITAKA+. Boravak u gradu brodograditelja Severodvinsk, nećete se suočiti s problemom pronalaska privremenog smještaja. , na web stranici hotelskog kompleksa "ITAKA +" http://itakaplus.ru, možete jednostavno i brzo iznajmiti stan u gradu, na bilo koji period, uz dnevno plaćanje.

Na sadašnja faza razvoj obrazovanja kao jedna od njegovih glavnih zadaća je formiranje kreativno misleće ličnosti. Sposobnost za stvaralaštvo kod učenika se može razvijati samo ako se oni sustavno bave osnovama istraživačke djelatnosti. Temelj za korištenje kreativnih snaga, sposobnosti i nadarenosti učenika jesu formirana cjelovita znanja i vještine. U tom smislu, problem formiranja sustava temeljnih znanja i vještina za svaku temu školskog tečaja matematike nije od male važnosti. U isto vrijeme, punopravne vještine trebale bi biti didaktički cilj ne pojedinačnih zadataka, već njihovog pažljivo promišljenog sustava. U najširem smislu, sustav se shvaća kao skup međusobno povezanih elemenata koji imaju cjelovitost i stabilnu strukturu.

Razmotrite metodologiju za podučavanje učenika kako sastaviti jednadžbu tangente na graf funkcije. U biti, svi zadaci za pronalaženje tangentne jednadžbe svode se na potrebu da se iz skupa (snopa, obitelji) linija izaberu one od njih koje zadovoljavaju određeni zahtjev - one su tangente na graf određene funkcije. U ovom slučaju, skup linija iz kojih se vrši odabir može se odrediti na dva načina:

a) točka koja leži na ravnini xOy (središnja olovka pravaca);
b) kutni koeficijent (paralelni snop pravaca).

U tom smislu, proučavajući temu "Tangenta na graf funkcije" kako bismo izolirali elemente sustava, identificirali smo dvije vrste zadataka:

1) zadaci o tangenti zadanoj točkom kroz koju ona prolazi;
2) zadaci na tangentu zadanu njezinim nagibom.

Učenje rješavanja problema na tangenti provedeno je pomoću algoritma koji je predložio A.G. Mordkovich. Njegova temeljna razlika od već poznatih je u tome što je apscisa tangentne točke označena slovom a (umjesto x0), u vezi s čime jednadžba tangente ima oblik

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(usporedite s y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Ova metodološka tehnika, po našem mišljenju, omogućuje učenicima da brzo i jednostavno shvate gdje su zapisane koordinate trenutne točke u općoj jednadžbi tangente, a gdje su dodirne točke.

Algoritam za sastavljanje jednadžbe tangente na graf funkcije y = f(x)

1. Označite slovom a apscisu točke dodira.
2. Nađi f(a).
3. Pronađite f "(x) i f "(a).
4. Zamijenite pronađene brojeve a, f (a), f "(a) u opća jednadžba tangenta y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a).

Ovaj se algoritam može sastaviti na temelju samostalnog odabira operacija i redoslijeda njihovog izvođenja od strane učenika.

Praksa je pokazala da dosljedno rješavanje svakog od ključnih zadataka pomoću algoritma omogućuje formiranje sposobnosti pisanja jednadžbe tangente na graf funkcije u fazama, a koraci algoritma služe kao uporišta za radnje . Ovaj pristup odgovara teoriji postupnog formiranja mentalnih radnji koju je razvio P.Ya. Galperin i N.F. Talyzina.

U prvoj vrsti zadataka identificirana su dva ključna zadatka:

• tangenta prolazi točkom koja leži na krivulji (problem 1);
• tangenta prolazi točkom koja ne leži na krivulji (zadatak 2).

Zadatak 1. Izjednačiti tangentu na graf funkcije u točki M(3; – 2).

Riješenje. Točka M(3; – 2) je dodirna točka, jer

1. a = 3 - apscisa dodirne točke.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 je jednadžba tangente.

Zadatak 2. Napišite jednadžbe svih tangenti na graf funkcije y = - x 2 - 4x + 2 koje prolaze kroz točku M(- 3; 6).

Riješenje. Točka M(– 3; 6) nije tangentna točka jer je f(– 3) 6 (slika 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - jednadžba tangente.

Tangenta prolazi kroz točku M(– 3; 6), stoga njezine koordinate zadovoljavaju jednadžbu tangente.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Ako je a = – 4, tada je jednadžba tangente y = 4x + 18.

Ako je a \u003d - 2, tada jednadžba tangente ima oblik y \u003d 6.

U drugoj vrsti ključni zadaci bit će sljedeći:

• tangenta je paralelna s nekom ravnom (zadatak 3);
• tangenta prelazi pod nekim kutom na zadani pravac (zadatak 4).

Zadatak 3. Napišite jednadžbe svih tangenti na graf funkcije y \u003d x 3 - 3x 2 + 3, paralelne s pravcem y \u003d 9x + 1.

Riješenje.

1. a - apscisa dodirne točke.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.

Ali, s druge strane, f "(a) \u003d 9 (uvjet paralelizma). Dakle, moramo riješiti jednadžbu 3a 2 - 6a \u003d 9. Njezini korijeni a \u003d - 1, a \u003d 3 (Sl. 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 je jednadžba tangente;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x – 24 je jednadžba tangente.

Zadatak 4. Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije y = 0,5x 2 - 3x + 1, koja prolazi pod kutom od 45 ° na ravnu liniju y = 0 (slika 4).

Riješenje. Iz uvjeta f "(a) \u003d tg 45 ° nalazimo a: a - 3 \u003d 1^a=4.

1. a = 4 - apscisa dodirne točke.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - jednadžba tangente.

Lako je pokazati da se rješenje svakog drugog problema svodi na rješenje jednog ili više ključnih problema. Razmotrite sljedeća dva problema kao primjer.

1. Napišite jednadžbe tangenti na parabolu y = 2x 2 - 5x - 2, ako se tangente sijeku pod pravim kutom i jedna od njih dodiruje parabolu u točki s apscisom 3 (slika 5).

Riješenje. Budući da je apscisa dodirne točke zadana, prvi dio rješenja svodi se na ključni problem 1.

1. a \u003d 3 - apscisa točke kontakta jedne od strana pravog kuta.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - jednadžba prve tangente.

Neka a je kut nagiba prve tangente. Budući da su tangente okomite, to je kut nagiba druge tangente. Iz jednadžbe y = 7x – 20 prve tangente imamo tg a = 7. Nađi

To znači da je nagib druge tangente .

Daljnje rješenje se svodi na ključni zadatak 3.

Neka je tada B(c; f(c)) tangenta drugog pravca

1. - apscisa druge dodirne točke.
2.
3.
4.
je jednadžba druge tangente.

Bilješka. Kutni koeficijent tangente može se lakše pronaći ako učenici znaju omjer koeficijenata okomitih pravaca k 1 k 2 = - 1.

2. Napišite jednadžbe svih zajedničkih tangenti na grafove funkcija

Riješenje. Zadatak se svodi na pronalaženje apscisa dodirnih točaka zajedničkih tangenti, odnosno na rješavanje ključnog problema 1 u općem obliku, sastavljanje sustava jednadžbi i njegovo rješavanje (slika 6).

1. Neka je a apscisa dodirne točke koja leži na grafu funkcije y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Neka je c apscisa tangente koja leži na grafu funkcije
2.
3. f "(c) = c.
4.

Budući da su tangente zajedničke, dakle

Dakle, y = x + 1 i y = - 3x - 3 su zajedničke tangente.

Glavni cilj razmatranih zadataka je pripremiti učenike za samostalno prepoznavanje vrste ključnog zadatka pri rješavanju složenijih zadataka koji zahtijevaju određene istraživačke vještine (sposobnost analize, usporedbe, generalizacije, postavljanja hipoteza i sl.). Takvi zadaci uključuju bilo koji zadatak u kojem je ključni zadatak uključen kao komponenta. Razmotrimo kao primjer problem (inverzan problemu 1) pronalaženja funkcije iz obitelji njezinih tangenti.

3. Za koliko b i c su pravci y \u003d x i y \u003d - 2x tangentni na graf funkcije y \u003d x 2 + bx + c?

Riješenje.

Neka je t apscisa dodirne točke pravca y = x s parabolom y = x 2 + bx + c; p je apscisa dodirne točke pravca y = - 2x s parabolom y = x 2 + bx + c. Tada će jednadžba tangente y = x imati oblik y = (2t + b)x + c - t 2 , a jednadžba tangente y = - 2x oblik y = (2p + b)x + c - p 2 .

Sastaviti i riješiti sustav jednadžbi

Odgovor:

Zadaci za samostalno rješavanje

1. Napišite jednadžbe tangenti povučenih na graf funkcije y = 2x 2 - 4x + 3 u sjecištima grafa s pravcem y = x + 3.

Odgovor: y \u003d - 4x + 3, y \u003d 6x - 9,5.

2. Za koje vrijednosti a tangenta nacrtana na graf funkcije y \u003d x 2 - ax u točki grafa s apscisom x 0 \u003d 1 prolazi kroz točku M (2; 3) ?

Odgovor: a = 0,5.

3. Za koje vrijednosti p pravac y = px - 5 dodiruje krivulju y = 3x 2 - 4x - 2?

Odgovor: p 1 \u003d - 10, p 2 \u003d 2.

4. Odredite sve zajedničke točke grafa funkcije y = 3x - x 3 i tangente povučene na taj graf kroz točku P(0; 16).

Odgovor: A(2; - 2), B(- 4; 52).

5. Nađite najkraću udaljenost između parabole y = x 2 + 6x + 10 i pravca

Odgovor:

6. Na krivulji y \u003d x 2 - x + 1 pronađite točku u kojoj je tangenta na graf paralelna s linijom y - 3x + 1 \u003d 0.

Odgovor: M(2; 3).

7. Napiši jednadžbu tangente na graf funkcije y = x 2 + 2x - | 4x | koji ga dodiruje u dvije točke. Napravite crtež.

Odgovor: y = 2x - 4.

8. Dokažite da pravac y = 2x – 1 ne siječe krivulju y = x 4 + 3x 2 + 2x. Pronađite udaljenost između njihovih najbližih točaka.

Odgovor:

9. Na paraboli y \u003d x 2 uzete su dvije točke s apscisama x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 3. Kroz te točke povučena je sekanta. U kojoj će točki parabole tangenta na nju biti paralelna sa povučenom sekantom? Napiši jednadžbe za sekansu i tangens.

Odgovor: y \u003d 4x - 3 - jednadžba sekante; y = 4x – 4 je jednadžba tangente.

10. Nađi kut q između tangenti na graf funkcije y \u003d x 3 - 4x 2 + 3x + 1, nacrtanih u točkama s apscisama 0 i 1.

Odgovor: q = 45°.

11. U kojim točkama tangenta na graf funkcije s osi Ox zatvara kut od 135°?

Odgovor: A(0; - 1), B(4; 3).

12. U točki A(1; 8) na krivulju povuce se tangenta. Odredite duljinu tangente zatvorene između koordinatnih osi.

Odgovor:

13. Napišite jednadžbu svih zajedničkih tangenti na grafove funkcija y \u003d x 2 - x + 1 i y \u003d 2x 2 - x + 0,5.

Odgovor: y = - 3x i y = x.

14. Odredi udaljenost tangenti na graf funkcije paralelno s x-osi.

Odgovor:

15. Odredite pod kojim kutovima parabola y \u003d x 2 + 2x - 8 siječe os x.

Odgovor: q 1 \u003d arctan 6, q 2 \u003d arctan (- 6).

16. Na grafu funkcije pronađite sve točke od kojih tangenta u svakoj od njih na ovaj graf siječe pozitivne poluosi koordinata, odsijecajući od njih jednake segmente.

Odgovor: A(-3; 11).

17. Pravac y = 2x + 7 i parabola y = x 2 – 1 sijeku se u točkama M i N. Odredite sjecište K pravaca koji tangiraju na parabolu u točkama M i N.

Odgovor: K(1; - 9).

18. Za koje vrijednosti b je pravac y \u003d 9x + b tangenta na graf funkcije y \u003d x 3 - 3x + 15?

Odgovor: - 1; 31.

19. Za koje vrijednosti k pravac y = kx – 10 ima samo jednu zajedničku točku s grafom funkcije y = 2x 2 + 3x – 2? Za pronađene vrijednosti k odredite koordinate točke.

Odgovor: k 1 = - 5, A(- 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. Za koje vrijednosti b tangenta povučena na graf funkcije y = bx 3 – 2x 2 – 4 u točki s apscisom x 0 = 2 prolazi točkom M(1; 8)?

Odgovor: b = - 3.

21. Parabola s vrhom na osi Ox tangenta na pravac koji prolazi točkama A(1; 2) i B(2; 4) u točki B. Nađite jednadžbu parabole.

Odgovor:

22. Pri kojoj vrijednosti koeficijenta k parabola y \u003d x 2 + kx + 1 dodiruje os Ox?

Odgovor: k = q 2.

23. Odredite kutove između pravca y = x + 2 i krivulje y = 2x 2 + 4x - 3.

29. Odredite udaljenost tangenti na graf generatora funkcije s pozitivnim smjerom osi Ox pod kutom od 45°.

Odgovor:

30. Odredite geometrijsko mjesto vrhova svih parabola oblika y = x 2 + ax + b koje dodiruju pravac y = 4x - 1.

Odgovor: pravac y = 4x + 3.

Književnost

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra i počeci analize: 3600 zadataka za školsku djecu i kandidate. - M., Droplja, 1999.
2. Mordkovich A. Četvrti seminar za mlade učitelje. Tema je "Primjene izvedenica". - M., "Matematika", br. 21/94.
3. Formiranje znanja i vještina temeljenih na teoriji postupne asimilacije mentalnih radnji. / Ed. P.Ya. Galperin, N.F. Talyzina. - M., Moskovsko državno sveučilište, 1968.