Osnovni pojmovi kinematike i kinematičke karakteristike

Kretanje čovjeka je mehaničko, odnosno to je promjena tijela ili njegovih dijelova u odnosu na druga tijela. Relativno kretanje opisuje se kinematikom.

Kinematika – grana mehanike koja proučava mehaničko gibanje, ali ne razmatra uzroke koji uzrokuju to gibanje. Opis kretanja kako ljudskog tijela (njegovih dijelova) u raznim sportovima, tako i raznih sportskih rekvizita sastavni je dio sportske biomehanike, a posebno kinematike.

Koji god materijalni objekt ili pojavu razmotrili, ispada da ništa ne postoji izvan prostora i vremena. Svaki objekt ima prostorne dimenzije i oblik, nalazi se na nekom mjestu u prostoru u odnosu na drugi objekt. Svaki proces u kojem sudjeluju materijalni objekti ima početak i kraj u vremenu, koliko dugo traje u vremenu, može se izvesti ranije ili kasnije od nekog drugog procesa. Zbog toga postaje potrebno mjeriti prostorni i vremenski opseg.

Glavne jedinice mjerenja kinematičkih karakteristika u međunarodnom mjernom sustavu SI.

Prostor. Jedan četrdesetmilijunti dio duljine zemljinog meridijana koji prolazi kroz Pariz nazivao se metar. Dakle, duljina se mjeri u metrima (m) i više mjernih jedinica: kilometrima (km), centimetrima (cm) itd.

Vrijeme je jedan od temeljnih pojmova. Možemo reći da je to ono što razdvaja dva uzastopna događaja. Jedan od načina mjerenja vremena je korištenje bilo kojeg procesa koji se redovito ponavlja. Jedna osamdeset šest tisućinka zemaljskog dana odabrana je kao jedinica vremena i nazvana je sekunda (s) i njene višestruke jedinice (minute, sati itd.).

U sportu se koriste posebne vremenske karakteristike:

Trenutak vremena(t)- to je privremena mjera položaja materijalne točke, karike tijela ili sustava tijela. Trenuci vremena označavaju početak i kraj pokreta ili bilo kojeg njegovog dijela ili faze.

Trajanje kretanja(∆t) – to je njegova vremenska mjera, koja se mjeri razlikom između trenutaka kraja i početka kretanja∆t = tkon. – tini.

Tempo kretanja(N) - to je privremena mjera ponavljanja pokreta koji se ponavljaju u jedinici vremena. N = 1/∆t; (1/c) ili (ciklus/c).

Ritam pokreta – ovo je privremena mjera omjera dijelova (faza) pokreta. Određuje se omjerom trajanja dijelova pokreta.

Položaj tijela u prostoru određuje se u odnosu na neki referentni sustav, koji uključuje referentno tijelo (odnosno, u odnosu na koje se promatra kretanje) i koordinatni sustav potreban za opisivanje položaja tijela u jednom ili drugom dijelu prostora na kvalitativnoj razini.

Referentno tijelo je povezano s početkom i smjerom mjerenja. Na primjer, u brojnim natjecanjima, startna pozicija može biti odabrana kao ishodište koordinata. Iz njega se već izračunavaju različite natjecateljske udaljenosti u svim cikličkim sportovima. Dakle, u odabranom koordinatnom sustavu "start - cilj" odredite udaljenost u prostoru, koju će pomaknuti sportaš prilikom kretanja. Svaki međupoložaj tijela sportaša tijekom kretanja karakterizira trenutna koordinata unutar odabranog intervala udaljenosti.

Za točno određivanje sportskog rezultata, pravila natjecanja propisuju koja se točka (referentna točka) računa: uz vrh klizaljke klizača, uz izbočenu točku prsa sprintera ili uz stražnji rub otiska stopala klizača. doskočni skakač u dužinu.

U nekim slučajevima, da bi se točno opisalo kretanje prema zakonima biomehanike, uvodi se pojam materijalne točke.

Materijalna točka – to je tijelo čije se dimenzije i unutarnja građa u danim uvjetima mogu zanemariti.

Kretanje tijela može biti različito po prirodi i intenzitetu. Kako bi se okarakterizirale te razlike, u kinematici se uvode brojni pojmovi koji su prikazani u nastavku.

Putanja – linija opisana u prostoru pokretnom točkom tijela. U biomehaničkoj analizi pokreta, prije svega, razmatraju se putanje kretanja karakterističnih točaka osobe. U pravilu, te točke su zglobovi tijela. Prema vrsti putanje kretanja dijele se na pravocrtne (pravocrtne) i krivocrtne (bilo koja linija osim ravne).

kreće se – je vektorska razlika između konačnog i početnog položaja tijela. Prema tome, pomak karakterizira konačni rezultat kretanja.

Staza – ovo je duljina dionice putanje koju prijeđe tijelo ili točka tijela za odabrano vremensko razdoblje.

KINEMATIKA TOČKE

Uvod u kinematiku

kinematika naziva odjeljak teorijska mehanika, koji proučava gibanje materijalnih tijela s geometrijskog gledišta, bez obzira na primijenjene sile.

Položaj tijela koje se kreće u prostoru uvijek je određen u odnosu na bilo koje drugo nepromjenjivo tijelo, tzv referentno tijelo. Koordinatni sustav, uvijek povezan s referentnim tijelom, naziva se referentni sustav. U Newtonovoj mehanici, vrijeme se smatra apsolutnim i nije vezano uz pokretnu materiju. Sukladno tome, odvija se na isti način u svim referentnim okvirima, bez obzira na njihovo gibanje. Osnovna jedinica vremena je sekunda (s).

Ako se položaj tijela u odnosu na odabrani referentni sustav ne mijenja tijekom vremena, onda to kažu tijelo s obzirom na dani referentni okvir miruje. Ako tijelo promijeni svoj položaj u odnosu na odabrani referentni okvir, tada se kaže da se ono giba u odnosu na taj okvir. Tijelo može mirovati u odnosu na jedan referentni okvir, ali se gibati (i štoviše, potpuno na razne načine) u odnosu na druge referentne sustave. Na primjer, putnik koji nepomično sjedi na klupi vlaka u pokretu miruje u odnosu na referentni okvir povezan s vagonom, ali se kreće u odnosu na referentni okvir povezan sa Zemljom. Točka koja leži na gaznoj površini kotača kreće se u odnosu na referentni okvir povezan s automobilom po kružnici, au odnosu na referentni okvir povezan sa Zemljom, duž cikloide; ista točka miruje u odnosu na koordinatni sustav povezan s kotačkim sklopom.

Na ovaj način, kretanje ili mirovanje tijela može se razmatrati samo u odnosu na neki odabrani referentni okvir. Postavite kretanje tijela u odnosu na bilo koji referentni okvir -znači dati funkcionalne ovisnosti, uz pomoć kojih je moguće odrediti položaj tijela u bilo kojem trenutku u odnosu na ovaj sustav. Različite točke istog tijela u odnosu na odabrani referentni okvir gibaju se različito. Na primjer, u odnosu na sustav povezan sa Zemljom, točka gazne površine kotača kreće se duž cikloide, a središte kotača - pravocrtno. Stoga proučavanje kinematike počinje s kinematikom točke.

§ 2. Metode zadavanja gibanja točke

Kretanje točke može se odrediti na tri načina:prirodni, vektorski i koordinatni.

Prirodnim putem zadatak gibanja dobiva putanju, tj. liniju po kojoj se točka giba (sl. 2.1). Na ovoj trajektoriji odabrana je određena točka koja se uzima kao ishodište. Odabiru se pozitivni i negativni smjerovi brojanja lučne koordinate koja određuje položaj točke na putanji. Kako se točka pomiče, udaljenost će se mijenjati. Stoga je za određivanje položaja točke u bilo kojem trenutku u vremenu dovoljno odrediti koordinatu luka kao funkciju vremena:

Ova jednakost se zove jednadžba gibanja točke duž zadane putanje .

Dakle, kretanje točke u razmatranom slučaju određeno je ukupnošću sljedećih podataka: putanjom točke, položajem ishodišta lučne koordinate, pozitivnim i negativnim smjerom referencije te funkcijom .

S vektorskom metodom određivanja gibanja točke, položaj točke je određen veličinom i smjerom radijus vektora povučenog od fiksnog središta do zadane točke (slika 2.2). Kada se točka pomiče, njen radijus vektor mijenja veličinu i smjer. Stoga, da bi se odredio položaj točke u bilo kojem trenutku u vremenu, dovoljno je specificirati njen radijus vektor kao funkciju vremena:

Ova jednakost se zove vektorska jednadžba gibanja točke .

Metodom koordinata Zadatak kretanja, položaj točke u odnosu na odabrani referentni sustav određuje se pomoću pravokutnog sustava Kartezijevih koordinata (sl. 2.3). Kada se točka pomiče, njezine se koordinate mijenjaju tijekom vremena. Stoga je za određivanje položaja točke u bilo kojem trenutku dovoljno odrediti koordinate , , kao funkcija vremena:

Te se jednakosti nazivaju jednadžbe gibanja točke u pravokutnim kartezijevim koordinatama . Gibanje točke u ravnini određeno je dvjema jednadžbama sustava (2.3), pravocrtnim gibanjem - jednim.

Između triju opisanih metoda zadavanja gibanja postoji međusobna povezanost koja omogućuje prijelaz s jedne na drugu metodu zadavanja gibanja. To je lako provjeriti, na primjer, kada se razmatra prijelaz s koordinatne metode zadavanja gibanja na vektor.

Pretpostavimo da je gibanje točke zadano u obliku jednadžbi (2.3). Imajući u vidu da

može se napisati

A ovo je jednadžba oblika (2.2).

Zadatak 2.1. Nađite jednadžbu gibanja i putanju središta klipnjače, kao i jednadžbu gibanja klizača koljenasto-kliznog mehanizma (sl. 2.4), ako ; .

Riješenje. Položaj točke određen je dvjema koordinatama i . Od fig. 2.4 to pokazuje

, .

Zatim iz i:

; ; .

Zamjena vrijednosti , i dobivamo jednadžbe gibanja točke:

; .

Da bismo pronašli jednadžbu putanje točke u eksplicitnom obliku, potrebno je isključiti vrijeme iz jednadžbi gibanja. U tu svrhu izvršit ćemo potrebne transformacije u gore dobivenim jednadžbama gibanja:

; .

Kvadriranjem i zbrajanjem lijeve i desne strane ovih jednadžbi dobivamo jednadžbu putanje u obliku

.

Dakle, putanja točke je elipsa.

Klizač se pomiče pravocrtno. Koordinata koja određuje položaj točke može se napisati kao

.

Brzina i ubrzanje

Brzina točke

U prethodnom članku kretanje tijela ili točke definirano je kao promjena položaja u prostoru tijekom vremena. Kako bi se potpunije opisali kvalitativni i kvantitativni aspekti gibanja, uvode se pojmovi brzine i ubrzanja.

Brzina je kinematička mjera kretanja točke, karakterizirajući brzinu promjene njezina položaja u prostoru.
Brzina je vektorska veličina, tj. karakterizirana je ne samo modulom (skalarnom komponentom), već i smjerom u prostoru.

Kao što je poznato iz fizike, kod jednolikog gibanja, brzina se može odrediti duljinom prijeđenog puta u jedinici vremena: v = s/t = konst (pretpostavlja se da se ishodište puta i vrijeme poklapaju).
Kod pravocrtnog gibanja brzina je konstantna i po apsolutnoj vrijednosti i po smjeru, a njezin se vektor poklapa s putanjom.

Jedinica za brzinu u sustavu SI određeno omjerom duljina/vrijeme, tj. m/s .

Očito je da će kod krivuljastog gibanja brzina točke promijeniti smjer.
Da bismo odredili smjer vektora brzine u svakom vremenskom trenutku tijekom krivuljastog gibanja, trajektoriju podijelimo na beskonačno male dijelove staze, koji se (zbog svoje malenosti) mogu smatrati pravocrtnima. Zatim na svakoj dionici uvjetna brzina v str takvo pravocrtno gibanje bit će usmjereno duž tetive, a tetiva, zauzvrat, s beskonačnim smanjenjem duljine luka ( Δs teži nuli) će se podudarati s tangentom na ovaj luk.
Iz ovoga slijedi da se tijekom krivocrtnog gibanja vektor brzine u svakom trenutku podudara s tangentom na putanju (Sl. 1a). Pravocrtno gibanje može se prikazati kao poseban slučaj krivocrtnog gibanja po luku čiji radijus teži beskonačnosti. (putanja se poklapa s tangentom).

Kod neravnomjernog gibanja točke modul njezine brzine se mijenja tijekom vremena.
Zamislimo točku čije je kretanje zadano prirodan način jednadžba s = f(t) .

Ako na kratko vrijeme Δt točka je prešla put Δs , tada je njegova prosječna brzina:

vav = ∆s/∆t.

Prosječna brzina ne daje ideju o stvarnoj brzini u bilo kojem trenutku (stvarna brzina se inače naziva trenutna). Očito je da što manji raspon vrijeme za koje se određuje prosječna brzina, to će njena vrijednost biti bliža trenutnoj brzini.

Prava (trenutna) brzina je granica kojoj prosječna brzina teži kada Δt teži nuli:

v = lim v cf pri t→0 ili v = lim (Δs/Δt) = ds/dt.

Dakle, brojčana vrijednost stvarne brzine je v = ds/dt .
Prava (trenutačna) brzina za bilo koje kretanje točke jednaka je prvoj derivaciji koordinate (tj. udaljenosti od ishodišta kretanja) u odnosu na vrijeme.

Na Δt teži nuli Δs također teži nuli, a kao što smo već saznali, vektor brzine bit će usmjeren tangencijalno (tj. podudarat će se s pravim vektorom brzine v ). Iz ovoga slijedi da granica vektora uvjetne brzine v str , jednaka granici omjera vektora pomaka točke prema infinitezimalnom vremenskom intervalu, jednaka je pravom vektoru brzine točke.

Sl. 1

Razmotrite primjer. Ako disk bez rotacije može kliziti duž fiksne osi u zadanom referentnom okviru (sl. 1, a), tada u zadanom referentnom okviru očito ima samo jedan stupanj slobode - položaj diska jednoznačno je određen, recimo, x-koordinatom njegova središta, mjereno duž osi. Ali ako se disk, osim toga, može i okretati (Sl. 1, b), tada dobiva još jedan stupanj slobode - na koordinatu x dodaje se kut zakreta φ diska oko osi. Ako je os s diskom stegnuta u okviru koji se može okretati oko okomite osi (sl. 1, u), tada broj stupnjeva slobode postaje jednak tri - do x a φ dodaje se kut zakreta okvira ϕ .

Slobodna materijalna točka u prostoru ima tri stupnja slobode: na primjer Kartezijeve koordinate x, y i z. Koordinate točke također se mogu odrediti u cilindričnom ( r, 𝜑, z) i sferni ( r, 𝜑, 𝜙) referentnih sustava, ali je broj parametara koji jednoznačno određuju položaj točke u prostoru uvijek tri.

Materijalna točka na ravnini ima dva stupnja slobode. Odaberemo li koordinatni sustav u ravnini xOy, zatim koordinate x i g odrediti položaj točke na ravnini, akoordinat z identički je jednak nuli.

Slobodna materijalna točka na površini bilo koje vrste ima dva stupnja slobode. Na primjer: položaj točke na površini Zemlje određen je s dva parametra: zemljopisnom širinom i dužinom.

Materijalna točka na krivulji bilo koje vrste ima jedan stupanj slobode. Parametar koji određuje položaj točke na krivulji može biti, na primjer, udaljenost duž krivulje od ishodišta.

Razmotrimo dvije materijalne točke u prostoru povezane krutim štapom duljine l(slika 2). Položaj svake točke određen je s tri parametra, ali su oni povezani.

sl.2

Jednadžba l 2 \u003d (x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2 + (z 2 -z 1) 2 je jednadžba komunikacije. Iz ove jednadžbe bilo koja koordinata može se izraziti u smislu ostalih pet koordinata (pet neovisnih parametara). Dakle, ove dvije točke imaju (2∙3-1=5) pet stupnjeva slobode.

Promotrimo tri materijalne točke u prostoru koje ne leže na istoj pravoj crti i koje su povezane s tri krute šipke. Broj stupnjeva slobode ovih točaka je (3∙3-3=6) šest.

Slobodno kruto tijelo općenito ima 6 stupnjeva slobode. Doista, položaj tijela u prostoru u odnosu na bilo koji referentni sustav određuje se postavljanjem njegovih triju točaka koje ne leže na jednoj ravnoj liniji, a udaljenosti između točaka u čvrstom tijelu ostaju nepromijenjene tijekom bilo kojeg njegovog kretanja. Prema navedenom, broj stupnjeva slobode trebao bi biti jednak šest.

translatorno kretanje

U kinematici ćemo, kao i u statistici, sva kruta tijela smatrati apsolutno krutim.

Apsolutno čvrsto tijelo nazvao materijalno tijelo, geometrijski oblikčije se dimenzije ne mijenjaju ni pod kakvim mehaničkim utjecajima drugih tijela, a udaljenost između bilo koje dvije njegove točke ostaje konstantna.

Kinematika krutog tijela, kao i dinamika krutog tijela, jedan je od najtežih dijelova kolegija teorijske mehanike.

Zadaci kinematike krutog tijela dijele se na dva dijela:

1) postavljanje kretanja i određivanje kinematičkih karakteristika kretanja tijela u cjelini;

2) određivanje kinematičkih karakteristika gibanja pojedinih točaka tijela.

Postoji pet vrsta kretanja krutog tijela:

1) kretanje naprijed;

2) rotacija oko nepomične osi;

3) ravno kretanje;

4) rotacija oko fiksne točke;

5) slobodno kretanje.

Prva dva nazivamo najjednostavnijim gibanjem krutog tijela.

Počnimo s razmatranjem translatornog gibanja krutog tijela.

Prevoditeljski naziva se takvo gibanje krutog tijela u kojem se bilo koja ravna crta povučena u ovom tijelu kreće dok ostaje paralelna sa svojim početnim smjerom.

Translatorno gibanje ne treba brkati s pravocrtnim. Tijekom translatornog gibanja tijela, putanje njegovih točaka mogu biti bilo koje zakrivljene linije. Navedimo primjere.

1. Karoserija automobila na ravnom vodoravnom dijelu ceste kreće se prema naprijed. U tom će slučaju putanje njegovih točaka biti ravne linije.

2. Partner AB(Sl. 3) tijekom rotacije koljena O 1 A i O 2 B također se pomiče prema naprijed (svaka ravna linija koja je u njemu povučena ostaje paralelna sa svojim početnim smjerom). Točke blizanca kreću se po kružnicama.

sl.3

Pedale bicikla pomiču se prema naprijed u odnosu na okvir tijekom kretanja, klipovi u cilindrima motora s unutarnjim izgaranjem u odnosu na cilindre, kabine panoramskog kotača u parkovima (slika 4) u odnosu na Zemlju.

sl.4

Svojstva translatornog gibanja određena su sljedećim teoremom: kod translatornog gibanja sve točke tijela opisuju iste (koincidirajuće kad se preklapaju) putanje i u svakom trenutku imaju iste brzine i akceleracije u veličini i smjeru.

Za dokaz razmotrimo kruto tijelo koje izvodi translatorno gibanje u odnosu na referentni okvir Oxyz. Uzmite dvije proizvoljne točke u tijelu ALI i NA, čije pozicije u trenutku vremena t određeni su radijus-vektorima i (slika 5).

sl.5

Nacrtajmo vektor koji povezuje te točke.

Istovremeno, duljina AB je konstantan, poput udaljenosti između točaka krutog tijela, i smjera AB ostaje nepromijenjen dok se tijelo kreće naprijed. Dakle, vektor AB ostaje konstantan tijekom cijelog gibanja tijela AB= konst). Kao rezultat toga, trajektorija točke B dobiva se iz putanje točke A paralelnim pomakom svih njezinih točaka za konstantni vektor. Prema tome, putanje točaka ALI i NAće doista biti iste (kada se preklapaju) krivulje.

Za pronalaženje brzina točaka ALI i NA Razlikujmo oba dijela jednakosti s obzirom na vrijeme. Dobiti

Ali derivacija konstantnog vektora AB jednaka nuli. Derivacije vektora i po vremenu daju brzine točaka ALI i NA. Kao rezultat toga nalazimo da

oni. da su brzine točaka ALI i NA tijela su u bilo kojem trenutku ista i po modulu i po smjeru. Uzimajući vremenske derivacije iz oba dijela dobivene jednakosti:

Prema tome, ubrzanja točaka ALI i NA tijela u bilo kojem trenutku su također ista po modulu i smjeru.

Budući da bodovi ALI i NA izabrani proizvoljno, iz dobivenih rezultata proizlazi da sve točke tijela imaju svoje putanje, kao i da će brzine i ubrzanja u svakom trenutku biti iste. Dakle, teorem je dokazan.

Iz teorema slijedi da je translatorno gibanje krutog tijela određeno gibanjem bilo koje njegove točke. Posljedično, proučavanje translatornog gibanja tijela svodi se na problem kinematike točke, koji smo već razmatrali.

Kod translatornog gibanja brzina zajednička svim točkama tijela naziva se brzina translatornog gibanja tijela, a ubrzanje akceleracija translatornog gibanja tijela. Vektori i mogu se prikazati kao pričvršćeni na bilo koju točku tijela.

Imajte na umu da koncepti brzine i ubrzanja tijela imaju smisla samo u translatornom gibanju. U svim ostalim slučajevima, točke tijela, kao što ćemo vidjeti, kreću se različitim brzinama i ubrzanjima, a pojmovi<<скорость тела>> ili<<ускорение тела>> jer ti pokreti gube smisao.

sl.6

Za vrijeme ∆t tijelo krećući se od točke A do točke B napravi pomak jednak tetivi AB i prijeđe put jednak duljini luka l.

Radijus vektor zakrene se za kut ∆φ. Kut se izražava u radijanima.

Brzina tijela po putanji (kružnici) usmjerena je tangencijalno na putanju. Zove se linearna brzina. Modul linearne brzine jednak je omjeru duljine kružnog luka l na vremenski interval ∆t tijekom kojeg je ovaj luk prijeđen:

Skalarna fizička veličina, numerički jednaka omjeru kuta rotacije vektora radijusa i vremenskog intervala tijekom kojeg se ta rotacija dogodila, naziva se kutna brzina:

SI jedinica za kutnu brzinu je radijan po sekundi.

Kod jednolikog gibanja po kružnici kutna brzina i linearni modul brzine su konstantne veličine: ω=const; v=konst.

Položaj tijela može se odrediti ako je poznat modul radijus vektora i kut φ koji ono zatvara s osi Ox (kutna koordinata). Ako je u početnom trenutku t 0 =0 kutna koordinata jednaka φ 0 , a u trenutku t jednaka φ, tada je kut zakreta ∆φ radijus vektora tijekom vremena ∆t=t-t 0 jednak ∆φ=φ-φ 0 . Tada se iz posljednje formule može dobiti kinematička jednadžba gibanja materijalne točke po kružnici:

Omogućuje određivanje položaja tijela u bilo kojem trenutku t.

S obzirom na to, dobivamo:

Formula odnosa linearne i kutne brzine.

Period vremena T u kojem tijelo napravi jedan potpuni krug naziva se period rotacije:

Gdje je N broj okretaja koje tijelo napravi za vrijeme Δt.

Za vrijeme ∆t=T tijelo pređe put l=2πR. Posljedično,

Uz ∆t→0, kut je ∆φ→0 i prema tome β→90°. Okomica na tangentu kružnice je polumjer. Stoga je usmjereno duž radijusa prema središtu i stoga se naziva centripetalno ubrzanje:

Modul , smjer se stalno mijenja (slika 8). Stoga to gibanje nije jednoliko ubrzano.

sl.8

Sl.9

Tada će položaj tijela u bilo kojem trenutku vremena biti jednoznačno određen kutom φ između tih poluravnina uzetih s odgovarajućim predznakom, koji ćemo nazvati kutom rotacije tijela. Kut φ smatrat ćemo pozitivnim ako je iscrtan iz fiksne ravnine u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (za promatrača koji gleda s pozitivnog kraja osi Az), a negativnim ako je ucrtan u smjeru kazaljke na satu. Kut φ ćemo uvijek mjeriti u radijanima. Da biste znali položaj tijela u bilo kojem trenutku, morate znati ovisnost kuta φ o vremenu t, tj.

Jednadžba izražava zakon rotacijskog gibanja krutog tijela oko nepomične osi.

Tijekom rotacijskog gibanja apsolutno krutog tijela oko nepomične osi kutovi rotacije radijus-vektora razne točke tijela su ista.

Glavne kinematičke karakteristike rotacijskog gibanja krutog tijela su njegova kutna brzina ω i kutno ubrzanje ε.

Ako za vrijeme ∆t=t 1 -t tijelo napravi zaokret za kut ∆φ=φ 1 -φ, tada će brojčano srednja kutna brzina tijela za to vrijeme biti . U limitu kao ∆t→0 nalazimo da

Dakle, brojčana vrijednost kutne brzine tijela u određenom trenutku vremena jednaka je prvoj derivaciji kuta rotacije u odnosu na vrijeme. Predznak ω određuje smjer rotacije tijela. Lako je vidjeti da kada je rotacija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ω>0, a kada je u smjeru kazaljke na satu, tada je ω<0.

Dimenzija kutne brzine je 1/T (tj. 1/vrijeme); kao mjerna jedinica obično se koristi rad/s ili, što je također, 1/s (s -1), budući da je radijan bezdimenzionalna veličina.

Kutna brzina tijela može se prikazati kao vektor čiji je modul jednak | | a koja je usmjerena duž osi rotacije tijela u smjeru iz kojeg se vidi da se rotacija odvija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (slika 10). Takav vektor odmah određuje i modul kutne brzine, i os rotacije, i smjer rotacije oko ove osi.

Sl.10

Kut rotacije i kutna brzina karakteriziraju kretanje cijelog apsolutno krutog tijela kao cjeline. Linearna brzina bilo koje točke apsolutno krutog tijela proporcionalna je udaljenosti točke od osi rotacije:

Kod jednolike rotacije apsolutno krutog tijela, kutovi rotacije tijela za sve jednake vremenske intervale su isti, nema tangencijalnih ubrzanja na različitim točkama tijela, a normalno ubrzanje točke tijela ovisi o udaljenost do osi rotacije:

Vektor je usmjeren duž polumjera putanje točke na os rotacije.

Kutno ubrzanje karakterizira promjenu kutne brzine tijela tijekom vremena. Ako se tijekom vremena ∆t=t 1 -t kutna brzina tijela promijeni za ∆ω=ω 1 -ω, tada će brojčana vrijednost prosječne kutne akceleracije tijela u tom vremenu biti . U granici kao ∆t→0 nalazimo,

Dakle, brojčana vrijednost kutne akceleracije tijela u određenom trenutku vremena jednaka je prvoj derivaciji kutne brzine ili drugoj derivaciji kuta zakreta tijela u odnosu na vrijeme.

Dimenzija kutnog ubrzanja 1/T 2 (1/vrijeme 2); kao mjerna jedinica obično se koristi rad/s 2 ili, što je isto, 1/s 2 (s-2).

Ako se modul kutne brzine s vremenom povećava, rotacija tijela naziva se ubrzana, a ako opada, usporena. Lako je vidjeti da će rotacija biti ubrzana kada vrijednosti ω i ε imaju isti predznak, a usporena kada su različite.

Kutno ubrzanje tijela (po analogiji s kutnom brzinom) može se prikazati i kao vektor ε usmjeren duž osi rotacije. pri čemu

Smjer ε poklapa se sa smjerom ω kada se tijelo vrti brzo i (slika 10, a), suprotno od ω tijekom spore rotacije (slika 10, b).

Sl.11 12

2. Ubrzanja točaka tijela. Za pronalaženje akceleracije točke M koristiti formule

U našem slučaju je ρ=h. Zamjena vrijednosti v u izraze a τ i a n, dobivamo:

ili na kraju:

Tangencijalna komponenta ubrzanja a τ usmjerena je tangencijalno na putanju (u smjeru gibanja kod ubrzane rotacije tijela i u suprotnom smjeru kod spore rotacije); normalna komponenta a n uvijek je usmjerena duž polumjera MS na os rotacije (slika 12). Puno ubrzanje M bit će

Odstupanje vektora ukupne akceleracije od polumjera opisane točke kružnice određeno je kutom μ koji se izračunava po formuli

Zamjenom ovdje vrijednosti a τ i a n, dobivamo

Budući da ω i ε imaju istu vrijednost u danom trenutku za sve točke tijela, ubrzanja svih točaka rotirajućeg krutog tijela proporcionalna su njihovim udaljenostima od osi rotacije i tvore u danom trenutku isti kut μ s polumjerima kružnica koje opisuju . Polje ubrzanja točaka rotirajućeg krutog tijela ima oblik prikazan na sl.14.

Sl.13 Sl.14

3. Vektori brzine i ubrzanja točaka tijela. Da bismo izravno pronašli izraze za vektore v i a, povlačimo iz proizvoljne točke O sjekire AB točkasti radijus vektor M(slika 13). Tada je h=r∙sinα i po formuli

Dakle mo

Ulaznica 1.

Kinematika. mehaničko kretanje. Materijalna točka i apsolutno kruto tijelo. Kinematika materijalne točke i translatorno gibanje krutog tijela. Putanja, putanja, kretanje, brzina, ubrzanje.

Ulaznica 2.

Kinematika materijalne točke Brzina, akceleracija Tangencijalna, normalna i puna akceleracija.

Kinematika- grana fizike koja proučava kretanje tijela, ne zanimajući se za razloge koji uzrokuju to kretanje.

Mechaní šahovski pokret́ nie - je promjena položaja tijela u prostoru u odnosu na druga tijela tijekom vremena. (mehaničko gibanje karakteriziraju tri fizikalne veličine: pomak, brzina i akceleracija)

Karakteristike mehaničko kretanje međusobno su povezani glavnim kinematičkim jednadžbama:

Materijalna točka- tijelo čije se dimenzije, u uvjetima ovog problema, mogu zanemariti.

Apsolutno kruto tijelo- tijelo čija se deformacija može zanemariti u uvjetima ovog problema.

Kinematika materijalne točke i translatorno gibanje krutog tijela: ?

kretanje u pravokutnom, krivocrtnom koordinatnom sustavu

kako upisati različitim sustavima koordinate preko radijus vektora

Putanja - neki redak koji opisuje kretanje strunjače. bodova.

Staza - karakteriziranje skalarne vrijednosti duljina putanje tijela.

kreće se - ugodan segment ravne linije povučen od početnog položaja pomične točke do njenog konačnog položaja (vektorska količina)

Ubrzati:

Vektorska veličina koja karakterizira brzinu čestice koja se kreće duž putanje kojom se ta čestica kreće u svakom trenutku vremena.

Vremenska derivacija polumjera vektora čestice.

Derivacija pomaka u odnosu na vrijeme.

Ubrzanje:

Vektorska veličina koja karakterizira brzinu promjene vektora brzine.

Derivacija brzine s obzirom na vrijeme.

Tangencijalno ubrzanje – usmjereno tangencijalno na putanju. To je komponenta vektora ubrzanja a. Karakterizira modulo promjenu brzine.

Centripetalno ili normalno ubrzanje - događa se kada se točka kreće po kružnici. To je komponenta vektora ubrzanja a. Vektor normalne akceleracije uvijek je usmjeren prema središtu kružnice.

Ukupno ubrzanje je kvadratni korijen zbroja kvadrata normalnih i tangencijalnih ubrzanja.

Ulaznica 3

Kinematika rotacijskog gibanja materijalne točke. Kutne vrijednosti. Odnos kutnih i linearnih veličina.

Kinematika rotacijskog gibanja materijalne točke.

Rotacijsko gibanje - gibanje u kojem sve točke tijela opisuju kružnice, čija središta leže na jednoj ravnoj liniji, koja se naziva os rotacije.

Os rotacije prolazi kroz središte tijela, kroz tijelo, a može se nalaziti i izvan njega.

Rotacijsko gibanje materijalne točke je gibanje materijalne točke po kružnici.

Glavne karakteristike kinematike rotacijskog gibanja: kutna brzina, kutno ubrzanje.

Kutni pomak je vektorska veličina koja karakterizira promjenu kutne koordinate u procesu njezina kretanja.

Kutna brzina - omjer kuta rotacije vektora radijusa točke i vremenskog intervala tijekom kojeg se ta rotacija dogodila (Smjer duž osi oko koje se tijelo okreće)

Frekvencija rotacije - fizikalna veličina mjerena brojem potpunih okretaja koje napravi točka u jedinici vremena s jednolikim kretanjem u jednom smjeru (n)

Period rotacije - vremenski period tijekom kojeg vrh napravi potpuni krug,

kretati se (T)

N je broj okretaja koje tijelo napravi u vremenu t.

Kutno ubrzanje je veličina koja karakterizira promjenu vektora kutne brzine s vremenom.

Odnos između kutnih i linearnih veličina:

Odnos linearne i kutne brzine.

Odnos između tangencijalne i kutne akceleracije.

odnos između normalne (centripetalne) akceleracije, kutne brzine i linearne brzine.

Ulaznica 4.

Dinamika materijalne točke. Klasična mehanika, granice njezine primjenjivosti. Newtonovi zakoni. Inercijalni referentni okviri.

Dinamika materijalne točke:

Newtonovi zakoni

Zakoni održanja (količina gibanja, kutna količina gibanja, energija)

Klasična mehanika je grana fizike koja proučava zakone promjene položaja tijela i uzroke koji ih uzrokuju, a temelji se na Newtonovim zakonima i Galilejevom načelu relativnosti.

Klasična mehanika se dalje dijeli na:

statika (koja razmatra ravnotežu tijela)

kinematika (koja proučava geometrijska svojstva gibanja bez razmatranja njegovih uzroka)

dinamika (koja razmatra kretanje tijela).

Granice primjenjivosti klasične mehanike:

Pri brzinama bliskim brzini svjetlosti klasična mehanika prestaje raditi.

Svojstva mikrosvijeta (atoma i subatomskih čestica) ne mogu se razumjeti u okvirima klasične mehanike

Klasična mehanika postaje neučinkovita kada se razmatraju sustavi s vrlo velikim brojem čestica

Prvi Newtonov zakon (zakon inercije):

Postoje takvi referentni sustavi, u odnosu na koje materijalna točka u odsutnosti vanjskih utjecaja miruje ili se kreće ravnomjerno i pravocrtno.

Newtonov drugi zakon:

U inercijalnom referentnom sustavu umnožak mase tijela i njegove akceleracije jednak je sili koja djeluje na tijelo.

Newtonov treći zakon:

Sile kojima međusobno djelujuća tijela djeluju jedno na drugo jednake su veličine i suprotnog smjera.

Referentni sustav - skup tijela koja nisu uzdignuta jedno u odnosu na drugo, u odnosu na koja se razmatraju kretanja (uključuje referentno tijelo, koordinatni sustav, sat)

Inercijalni referentni okvir je referentni okvir u kojem vrijedi zakon tromosti: svako tijelo na koje ne djeluju vanjske sile ili je djelovanje tih sila kompenzirano miruje ili se giba jednoliko pravocrtno.

Inercija je svojstvo svojstveno tijelima () potrebno je vrijeme da se promijeni brzina tijela.

Masa je kvantitativna karakteristika tromosti.

Ulaznica 5.

Središte mase (tromosti) tijela. Moment materijalne točke i krutog tijela. Zakon očuvanja količine gibanja. Kretanje centra mase.

Središte mase sustava materijalnih točaka je točka čiji položaj karakterizira raspodjelu mase sustava u prostoru.

raspodjela masa u koordinatnom sustavu.

Položaj centra mase tijela ovisi o tome kako je njegova masa raspoređena po volumenu tijela.

Kretanje centra mase određeno je samo vanjskim silama koje djeluju na sustav.Unutarnje sile sustava ne utječu na položaj centra mase.

položaj centra mase.

Središte mase zatvorenog sustava giba se pravocrtno i jednoliko ili miruje.

Moment količine gibanja materijalne točke je vektorska veličina jednak umnošku masu točke prema njezinoj brzini.

Količina gibanja tijela jednaka je zbroju impulsa njegovih pojedinih elemenata.

Promjena zamaha mat. točka je proporcionalna primijenjenoj sili i ima isti smjer kao sila.

Impuls sustava mat. točke mogu mijenjati samo vanjske sile, a promjena količine gibanja sustava proporcionalna je zbroju vanjskih sila i podudara se s njim po smjeru.Unutarnje sile, mijenjajući impulse pojedinih tijela sustava, ne mijenjaju se. ukupni impuls sustava.

Zakon očuvanja količine gibanja:

ako je zbroj vanjskih sila koje djeluju na tijelo sustava jednak nuli, tada je količina gibanja sustava očuvana.

Ulaznica 6.

Prisilni rad. energija. Vlast. Kinetička i potencijalna energija.Sile u prirodi.

Rad je fizikalna veličina koja karakterizira rezultat djelovanja sile i brojčano je jednaka skalarnom umnošku vektora sile i vektora pomaka, potpuno pod djelovanjem te sile.

A \u003d F S cosa (a-kut između smjera sile i smjera kretanja)

Posao nije obavljen ako:

Sila djeluje, ali se tijelo ne pomiče

Tijelo se giba, a sila je nula

Kut m/d vektora sile i pomaka je 90 stupnjeva

Snaga je fizikalna veličina koja karakterizira brzinu obavljanja rada i brojčano je jednaka omjeru rada i intervala za koji je rad obavljen.

Prosječna snaga; trenutna snaga.

Snaga pokazuje koliko se rada izvrši u jedinici vremena.

Energija je skalarna fizikalna veličina, koja je jedinstvena mjera raznih oblika gibanja materije i mjera prijelaza gibanja materije iz jednog oblika u drugi.

Mehanička energija je veličina koja karakterizira gibanje i međudjelovanje tijela, a funkcija je brzina i međusobnog položaja tijela. Jednaka je zbroju kinetičke i potencijalne energije.

Fizička veličina jednaka polovici umnoška mase tijela i kvadrata njegove brzine naziva se kinetička energija tijela.

Kinetička energija je energija gibanja.

Fizička veličina jednaka umnošku mase tijela pomnoženog s modulom ubrzanja slobodnog pada i visinom na koju je tijelo podignuto iznad Zemljine površine naziva se potencijalna energija međudjelovanja tijela i Zemlje.

Potencijalna energija-energija interakcije.

A \u003d - (Ep2 - Ep1).

1. Sila trenja.

Trenje je jedna od vrsta međudjelovanja između tijela. Javlja se kada dva tijela dođu u dodir. Nastaju kao rezultat međudjelovanja između atoma i molekula tijela u kontaktu. (Sile suhog trenja su sile koje nastaju kada dva čvrsta tijela dođu u dodir u odsutnosti tekućeg ili plinovitog sloja između njih. Statička sila trenja uvijek je po veličini jednaka vanjskoj sili i usmjerena je u suprotnom smjeru. Ako je vanjska sila veća od (Ftr)max, javlja se trenje klizanja.)

μ se naziva koeficijent trenja klizanja.

2. Sila elastičnosti. Hookeov zakon.

Prilikom deformacije tijela javlja se sila koja nastoji vratiti prijašnje dimenzije i oblik tijela – sila elastičnosti.

(proporcionalna deformaciji tijela i usmjerena u smjeru suprotnom od smjera gibanja čestica tijela pri deformaciji)

Fkontrola = –kx.

Koeficijent k naziva se krutost tijela.

Vlačna deformacija (x > 0) i tlačna deformacija (x< 0).

Hookeov zakon: deformacija ε proporcionalna je naprezanju σ, gdje je E Youngov modul.

3. Podrška reakcijskoj sili.

Elastična sila koja djeluje na tijelo sa strane oslonca (ili ovjesa) naziva se sila reakcije oslonca. Kada tijela dođu u dodir, sila reakcije oslonca usmjerena je okomito na dodirnu površinu.

Težina tijela je sila kojom tijelo, zbog privlačnosti prema Zemlji, djeluje na nosač ili ovjes.

4. Gravitacija. Jedna od manifestacija sile univerzalne gravitacije je sila gravitacije.

5. Sila gravitacije (gravitacijska sila)

Sva se tijela međusobno privlače silom koja je izravno proporcionalna njihovim masama i obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti između njih.

Ulaznica 7.

Konzervativne i disipativne sile. Zakon održanja mehaničke energije. Stanje ravnoteže mehaničkog sustava.

Konzervativne sile (potencijalne sile) - sile čiji rad ne ovisi o obliku putanje (ovisi samo o početnoj i krajnjoj točki djelovanja sila)

Konzervativne sile - takve sile čiji je rad na bilo kojoj zatvorenoj trajektoriji jednak 0.

Rad konzervativnih sila duž proizvoljne zatvorene konture je 0;

Sila koja djeluje na materijalnu točku naziva se konzervativnom ili potencijalnom ako rad koji izvrši ta sila pri pomicanju te točke iz proizvoljnog položaja 1 u drugi 2 ne ovisi o putanji kojom se to kretanje dogodilo:

Okretanje smjera gibanja točke duž putanje uzrokuje promjenu predznaka konzervativne sile, jer veličina mijenja predznak. Stoga je pri pomicanju materijalne točke duž npr. zatvorene putanje rad konzervativne sile jednak nuli.

Primjeri konzervativnih sila su sile univerzalne gravitacije, sile elastičnosti, sile elektrostatskog međudjelovanja nabijenih tijela. Polje čiji je rad sila pri pomicanju materijalne točke po proizvoljnoj zatvorenoj putanji jednak nuli nazivamo potencijalnim.

Disipativne sile su sile pod čijim djelovanjem na pokretni mehanički sustav njegova ukupna mehanička energija opada, prelazeći u druge, nemehaničke oblike energije, na primjer, u toplinu.

primjer disipativnih sila: sila viskoznog ili suhog trenja.

Zakon održanja mehaničke energije:

Zbroj kinetičke i potencijalne energije tijela koja čine zatvoreni sustav i međusobno djeluju silama gravitacije i silama elastičnosti ostaje nepromijenjen.

Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2

Zatvoreni sustav je sustav na koji vanjske sile ne djeluju ili je djelovanje kompenzirano.

Stanje ravnoteže mehaničkog sustava:

Statika je grana mehanike koja proučava uvjete ravnoteže tijela.

Da bi tijelo koje ne rotira bilo u ravnoteži, potrebno je da rezultanta svih sila koje djeluju na tijelo bude jednaka nuli.

Ako se tijelo može okretati oko neke osi, tada za njegovu ravnotežu nije dovoljno da rezultanta svih sila bude jednaka nuli.

Pravilo momenata: tijelo s fiksnom osi rotacije je u ravnoteži ako je algebarski zbroj momenata svih sila koje djeluju na tijelo oko te osi jednak nuli: M1 + M2 + ... = 0.

Duljina okomice povučene s osi rotacije na pravac djelovanja sile naziva se krakom sile.

Umnožak modula sile F i ramena d zove se moment sile M. Pozitivnima se smatraju momenti onih sila koje teže rotaciji tijela u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Ulaznica 8.

Kinematika rotacijskog gibanja krutog tijela. Kutni pomak, kutna brzina, kutno ubrzanje. Odnos linearnih i kutnih karakteristika. Kinetička energija rotacijskog gibanja.

Za kinematički opis rotacije krutog tijela zgodno je koristiti kutne veličine: kutni pomak Δφ, kutnu brzinu ω

U ovim formulama kutovi su izraženi u radijanima. Kada kruto tijelo rotira oko nepomične osi, sve se njegove točke gibaju istim kutnim brzinama i istim kutnim ubrzanjima. Obično se pretpostavlja da je pozitivan smjer vrtnje u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Rotacijsko gibanje krutog tijela:

1) oko osi - kretanje u kojem su sve točke tijela koje leže na osi rotacije nepomične, a preostale točke tijela opisuju krugove sa središtem na osi;

2) oko točke - kretanje tijela, u kojem je jedna od njegovih točaka O nepomična, a sve ostale se kreću po površinama sfera sa središtem u točki O.

Kinetička energija rotacijskog gibanja.

Kinetička energija rotacijskog gibanja je energija tijela povezana s njegovom rotacijom.

Podijelimo rotacijsko tijelo na male elemente Δmi. Udaljenosti do osi rotacije označavamo s ri, a module linearnih brzina s υi. Tada se kinetička energija rotirajućeg tijela može napisati kao:

Fizikalna veličina ovisi o rasporedu masa rotacijskog tijela u odnosu na os rotacije. Naziva se momentom tromosti I tijela oko zadane osi:

U limitu kao Δm → 0, ovaj zbroj postaje integral.

Dakle, kinetička energija krutog tijela koje rotira oko fiksne osi može se predstaviti kao:

Kinetička energija rotacijskog gibanja određena je momentom tromosti tijela oko osi rotacije i njegovom kutnom brzinom.

Ulaznica 9.

Dinamika rotacijskog gibanja. Trenutak moći. Moment inercije. Steinerov teorem.

Moment sile je veličina koja karakterizira rotacijski učinak sile kada ona djeluje na kruto tijelo. Postoji moment sile u odnosu na središte (točku) i u odnosu na os.

1. Moment sile u odnosu na središte O je vektorska veličina. Njegov modul Mo = Fh, gdje je F modul sile, a h rame (duljina okomice spuštene s O na liniju djelovanja sile)

Koristeći vektorski umnožak, moment sile se izražava jednakošću Mo = , gdje je r radijus vektor povučen od O do točke djelovanja sile.

2. Moment sile oko osi je algebarska vrijednost jednaka projekciji na tu os.

Moment sile (torque moment; rotational moment; torque) je vektorska fizikalna veličina jednaka umnošku radijus vektora povučenog od osi rotacije do točke primjene sile s vektorom te sile.

ovaj izraz je drugi Newtonov zakon za rotacijsko gibanje.

Vrijedi samo ako:

a) ako se moment M shvati kao dio momenta vanjske sile pod čijim djelovanjem tijelo rotira oko osi, to je tangencijalna komponenta.

b) normalna komponenta momenta sile ne sudjeluje u rotacijskom gibanju, jer Mn nastoji pomaknuti točku s putanje, a po definiciji je identično jednaka 0, pri čemu je r-const Mn=0, a Mz određuje sila pritiska na ležajeve.

Moment tromosti je skalarna fizikalna veličina, mjera tromosti tijela pri rotacijskom gibanju oko osi, kao što je masa tijela mjera njegove tromosti pri translatornom gibanju.

Moment tromosti ovisi o masi tijela i o položaju čestica tijela u odnosu na os rotacije.

Tanki obruč Koljenica (fiksirana u sredini) Koljenica Gl

Homogeni cilindar Disk kugla.

(desno je slika za točku 2 u Steinerovom t.)

Steinerov teorem.

Moment tromosti određenog tijela u odnosu na bilo koju os ovisi ne samo o masi, obliku i dimenzijama tijela, već io položaju tijela u odnosu na tu os.

Prema Huygens-Steinerovom teoremu, moment tromosti tijela J oko proizvoljne osi jednak je zbroju:

1) moment tromosti ovog tijela Jo, u odnosu na os koja prolazi kroz središte mase ovog tijela, a paralelna je s razmatranom osi,

2) umnožak mase tijela s kvadratom udaljenosti između osi.

Ulaznica 10.

trenutak impulsa. Osnovna jednadžba dinamike rotacijskog gibanja (jednadžba momenata). Zakon održanja kutne količine gibanja.

Kutni moment je fizikalna veličina koja ovisi o tome kolika masa rotira i kako je raspoređena u odnosu na os rotacije te kojom brzinom se rotacija odvija.

Kutni moment oko točke je pseudovektor.

Kutni moment oko osi je skalarna veličina.

Kutni moment L čestice u odnosu na neko ishodište određen je vektorskim umnoškom njenog radijus vektora i momenta: L=

r - radijus-vektor čestice u odnosu na odabranu fiksnu referentnu točku u zadanom referentnom okviru.

P je moment količine gibanja čestice.

L = rp grijeh ALI = str l;

Za sustave koji rotiraju oko jedne od osi simetrije (općenito govoreći, oko tzv. glavne osi tromosti), vrijedi relacija:

kutni moment tijela oko osi rotacije.

Moment količine gibanja krutog tijela oko osi je zbroj momenata količine gibanja pojedinih dijelova.

Jednadžba momenata.

Vremenska derivacija kutne količine gibanja materijalne točke u odnosu na fiksnu os jednaka je momentu sile koja djeluje na točku u odnosu na istu os:

M=JE=J dw/dt=dL/dt

Zakon očuvanja kutne količine gibanja (zakon očuvanja kutne količine gibanja) - vektorski zbroj svih kutnih količina gibanja oko bilo koje osi za zatvoreni sustav ostaje konstantan u slučaju ravnoteže sustava. U skladu s tim, kutni moment zatvorenog sustava u odnosu na bilo koju fiksnu točku ne mijenja se s vremenom.

=> dL/dt=0 tj. L=konst

Rad i kinetička energija pri rotacijskom gibanju. Kinetička energija u ravninskom gibanju.

Vanjska sila primijenjena na točku s masom

Put koji masa prijeđe u vremenu dt

Ali jednak je modulu momenta sile u odnosu na os rotacije.

Slijedom toga

s obzirom na to

postižemo da izraz radi:

Rad rotacijskog gibanja jednak je radu utrošenom na rotaciju cijelog tijela.

Rad tijekom rotacijskog gibanja je na porastu kinetičke energije:

Ravninsko (planparalelno) gibanje je gibanje kod kojeg se sve njegove točke gibaju paralelno s nekom nepokretnom ravninom.

Kinetička energija pri ravnom gibanju jednaka je zbroju kinetičkih energija translatornog i rotacijskog gibanja:

Ulaznica 12.

Harmonijske vibracije. Slobodne neprigušene vibracije. Harmonijski oscilator. Diferencijalna jednadžba harmonijskog oscilatora i njezino rješenje. Karakteristike neprigušenih oscilacija. Brzina i akceleracija u neprigušenim oscilacijama.

Mehaničke vibracije nazivaju pokreti tijela koji se točno (ili približno) ponavljaju u pravilnim vremenskim razmacima. Zakon gibanja tijela koje oscilira zadan je nekom periodičkom funkcijom vremena x = f (t).

Mehaničke vibracije, poput oscilatornih procesa bilo kojeg drugog fizička priroda, mogu biti slobodni i prisilni.

Slobodne vibracije nastaju pod utjecajem unutarnjih sila sustava, nakon što je sustav izbačen iz ravnoteže. Titraji utega na opruzi ili titraji njihala su slobodni titraji. Oscilacije koje se javljaju pod djelovanjem vanjskih povremeno promjenjivih sila nazivaju se prisiljeni.

Harmonijsko titranje je pojava periodične promjene neke veličine, kod koje ovisnost o argumentu ima karakter sinusne ili kosinusne funkcije.

Oscilacije se nazivaju harmonijskim ako su ispunjeni sljedeći uvjeti:

1) oscilacije njihala se nastavljaju neograničeno dugo (budući da nema ireverzibilnih transformacija energije);

2) njegovo najveće odstupanje udesno od ravnotežnog položaja jednako je najvećem odstupanju ulijevo;

3) vrijeme odstupanja udesno jednako je vremenu odstupanja ulijevo;

4) priroda gibanja udesno i ulijevo od ravnotežnog položaja je ista.

X \u003d Xm cos (ωt + φ0).

V= -A w o sin(w o + φ)=A w o cos(w o t+ φ+P/2)

a= -A w o *2 cos(w o t+ φ)= A w o *2 cos(w o t+ φ+P)

x je pomak tijela iz ravnotežnog položaja,

xm je amplituda oscilacija, tj. najveći pomak od ravnotežnog položaja,

ω - ciklička ili kružna frekvencija osciliranja,

t je vrijeme.

φ = ωt + φ0 naziva se faza harmonijskog procesa

φ0 naziva se početna faza.

Minimalni vremenski interval nakon kojeg dolazi do ponavljanja gibanja tijela naziva se periodom titranja T

Frekvencija titranja f pokazuje koliko se titraja napravi u 1 s.

Kontinuirane oscilacije - oscilacije s konstantnom amplitudom.

Prigušene oscilacije su oscilacije čija energija opada s vremenom.

Slobodne neprigušene vibracije:

Razmotrimo najjednostavniji mehanički oscilatorni sustav - njihalo u neviskoznom mediju.

Napišimo jednadžbu gibanja prema drugom Newtonovom zakonu:

Zapišimo ovu jednadžbu u projekcijama na os x. Projekciju ubrzanja na os x predstavimo kao drugu derivaciju koordinate x u odnosu na vrijeme.

Označimo k/m s w2 i damo jednadžbi oblik:

Gdje

Rješenje naše jednadžbe je funkcija oblika:

Harmonijski oscilator je sustav koji, kada se pomakne iz ravnotežnog položaja, doživljava djelovanje povratne sile F proporcionalne pomaku x (prema Hookeovom zakonu):

k je pozitivna konstanta koja opisuje krutost sustava.

1. Ako je F jedina sila koja djeluje na sustav, tada se sustav naziva jednostavnim ili konzervativnim harmonijskim oscilatorom.

2. Ako postoji i sila trenja (prigušenje) proporcionalna brzini gibanja (viskozno trenje), onda se takav sustav naziva prigušeni ili disipativni oscilator.

Diferencijalna jednadžba harmonijskog oscilatora i njezino rješenje:

Kao model konzervativnog harmonijskog oscilatora uzet će se teret mase m, pričvršćen na oprugu krutosti k. Neka je x pomak tereta u odnosu na položaj ravnoteže. Tada će, prema Hookeovom zakonu, na njega djelovati obnavljajuća sila:

Koristeći drugi Newtonov zakon, pišemo:

Označavajući i zamjenjujući ubrzanje drugom derivacijom koordinate u odnosu na vrijeme, pišemo:

Ova diferencijalna jednadžba opisuje ponašanje konzervativnog harmonijskog oscilatora. Koeficijent ω0 naziva se ciklička frekvencija oscilatora.

Rješenje ove jednadžbe tražit ćemo u obliku:

Ovdje - amplituda, - frekvencija osciliranja (još nije nužno jednaka prirodnoj frekvenciji), - početna faza.

Zamjenjujemo u diferencijalnu jednadžbu.

Amplituda je smanjena. To znači da može imati bilo koju vrijednost (uključujući nulu - to znači da teret miruje u ravnotežnom položaju). Sinus se također može smanjiti, budući da jednakost mora vrijediti u bilo kojem trenutku t. I ostaje uvjet za frekvenciju osciliranja:

Negativna frekvencija se može odbaciti, budući da je proizvoljnost u izboru ovog znaka pokrivena proizvoljnošću u izboru početne faze.

Opće rješenje jednadžbe piše se kao:

de amplituda A i početna faza proizvoljne su konstante.

Kinetička energija se piše kao:

a potencijalna energija je

Karakteristike neprigušenih oscilacija:

Amplituda se ne mijenja

Frekvencija ovisi o krutosti i masi (opruga)

Brzina neprigušenih oscilacija:

Ubrzanje neprigušenih oscilacija:

Ulaznica 13.

Slobodne prigušene vibracije. Diferencijalna jednadžba i njezino rješenje. Dekrement, logaritamski dekrement, faktor prigušenja. Vrijeme opuštanja.

Slobodne prigušene vibracije

Ako je moguće zanemariti sile otpora gibanju i trenja, tada će pri izvođenju sustava iz ravnoteže na teret djelovati samo sila elastičnosti opruge.

Napišimo jednadžbu gibanja tereta, sastavljenu prema 2. Newtonovom zakonu:

Projicirajmo jednadžbu gibanja na X os.

transformirati:

jer

ovo je diferencijalna jednadžba slobodnih harmonijskih neprigušenih oscilacija.

Rješenje jednadžbe je:

Diferencijalna jednadžba i njeno rješenje:

U svakom oscilatornom sustavu postoje sile otpora čije djelovanje dovodi do smanjenja energije sustava. Ako se gubitak energije ne nadoknadi radom vanjskih sila, oscilacije će nestati.

Sila otpora proporcionalna je brzini:

r- konstantno, koji se naziva koeficijent otpora. Znak minus je zbog činjenice da sila i brzina imaju suprotne smjerove.

Jednadžba drugog Newtonovog zakona u prisutnosti sila otpora ima oblik:

Koristeći oznaku , , prepisujemo jednadžbu gibanja na sljedeći način:

Ova jednadžba opisuje prigušene oscilacije sustava

Rješenje jednadžbe je:

Koeficijent prigušenja - vrijednost je obrnuto proporcionalna vremenu tijekom kojeg se amplituda smanjila za e puta.

Vrijeme nakon kojeg se amplituda oscilacija smanjuje za faktor e naziva se vrijeme zamiranja

Za to vrijeme sustav oscilira.

Dekrement prigušenja, kvantitativna karakteristika brzine prigušenja oscilacija, prirodni je logaritam omjera dva uzastopna najveća odstupanja oscilirajuće vrijednosti u istom smjeru.

Logaritamski dekrement prigušenja je logaritam omjera amplituda u trenucima uzastopnih prolaza oscilirajuće vrijednosti kroz maksimum ili minimum (prigušenje oscilacija obično se karakterizira logaritamskim dekrementom prigušenja):

Povezan je s brojem vibracija N relacijom:

Vrijeme relaksacije - vrijeme tijekom kojeg se amplituda prigušenog titranja smanjuje za faktor e.

Ulaznica 14.

Prisilne vibracije. Potpuna diferencijalna jednadžba prisilnih oscilacija i njezino rješenje. Period i amplituda prisilnih oscilacija.

Prisilne oscilacije su oscilacije koje nastaju pod utjecajem vanjskih sila koje se mijenjaju tijekom vremena.

Drugi Newtonov zakon za t oscilator (njihalo) može se napisati kao:

Ako a

i zamijenimo ubrzanje drugom derivacijom koordinate u odnosu na vrijeme, dobivamo sljedeću diferencijalnu jednadžbu:

Opće rješenje homogene jednadžbe:

gdje su A,φ proizvoljne konstante

Pronađimo određeno rješenje. U jednadžbu zamijenimo rješenje oblika: i dobijemo vrijednost konstante:

Tada će konačno rješenje biti napisano kao:

Priroda prisilnih oscilacija ovisi o prirodi djelovanja vanjske sile, o njezinoj veličini, smjeru, učestalosti djelovanja i ne ovisi o veličini i svojstvima tijela koje oscilira.

Ovisnost amplitude prisilnih oscilacija o frekvenciji vanjske sile.

Period i amplituda prisilnih oscilacija:

Amplituda ovisi o frekvenciji prisilnih oscilacija, ako je frekvencija jednaka rezonantnoj frekvenciji, tada je amplituda najveća. Također ovisi o koeficijentu prigušenja, ako je jednak 0, tada je amplituda beskonačna.

Period je povezan s frekvencijom, prisilne oscilacije mogu imati bilo koji period.

Ulaznica 15.

Prisilne vibracije. Period i amplituda prisilnih oscilacija. Frekvencija osciliranja. Rezonancija, rezonantna frekvencija. Obitelj rezonantnih krivulja.

Ulaznica 14.

Kada se frekvencija vanjske sile poklopi s frekvencijom vlastitih oscilacija tijela, amplituda prisilnih oscilacija naglo raste. Taj se fenomen naziva mehanička rezonancija.

Rezonancija je pojava naglog povećanja amplitude prisilnih oscilacija.

Porast amplitude samo je posljedica rezonancije, a razlog je podudarnost vanjske frekvencije s unutarnjom frekvencijom oscilatornog sustava.

Rezonantna frekvencija - frekvencija na kojoj je amplituda najveća (malo manja od prirodne frekvencije)

Graf ovisnosti amplitude prisilnih oscilacija o frekvenciji pogonske sile naziva se krivulja rezonancije.

Ovisno o koeficijentu prigušenja, dobivamo familiju rezonantnih krivulja, što je manji koeficijent, to je krivulja veća i viša.

Ulaznica 16.

Dodavanje vibracija u jednom smjeru. Vektorski dijagram. otkucaji.

Dodavanje nekoliko harmonijske vibracije istog smjera i iste frekvencije postaje jasno ako se oscilacije grafički prikažu kao vektori na ravnini. Tako dobivena shema naziva se vektorski dijagram.

Razmotrimo zbrajanje dviju harmonijskih oscilacija istog smjera i iste frekvencije:

Predstavimo obje oscilacije pomoću vektora A1 i A2. Konstruirajmo dobiveni vektor A prema pravilima zbrajanja vektora, projekcija tog vektora na x-os jednaka je zbroju projekcija zbrojenih vektora:

Stoga je vektor A rezultirajuća oscilacija. Ovaj vektor rotira istom kutnom brzinom kao vektori A1 i A2, tako da je zbroj x1 i x2 harmonijska oscilacija s istom frekvencijom, amplitudom i fazom. Korištenjem kosinusnog teorema dobivamo da

Predstavljanje harmonijskih oscilacija vektorima omogućuje zamjenu zbrajanja funkcija zbrajanjem vektora, što je puno jednostavnije.

Otkucaji - oscilacije s povremeno promjenjivom amplitudom, koje proizlaze iz superpozicije dviju harmoničnih oscilacija s malo različitim, ali bliskim frekvencijama.

Ulaznica 17.

Zbrajanje međusobno okomitih vibracija. Odnos kutne brzine rotacijskog gibanja i cikličke frekvencije. Lissajousove figure.

Zbrajanje međusobno okomitih oscilacija:

Oscilacije u dva međusobno okomita smjera događaju se neovisno jedna o drugoj:

Ovdje su vlastite frekvencije harmonijskih oscilacija:

Razmotrite putanju kretanja robe:

tijekom transformacija dobivamo:

Dakle, teret će činiti periodične pokrete duž eliptične putanje. Smjer gibanja po putanji i orijentacija elipse u odnosu na osi ovise o početnoj razlici faza

Ako se frekvencije dviju međusobno okomitih oscilacija ne podudaraju, već su višestruke, tada su putanje gibanja zatvorene krivulje, koje se nazivaju Lissajousove figure. Imajte na umu da je omjer frekvencija titranja jednak omjeru broja dodirnih točaka Lissajousove figure i stranica pravokutnika u koji je ona upisana.

Ulaznica 18.

Vibracija tereta na opruzi. Matematičko i fizikalno njihalo. Karakteristike vibracija.

Da bi se slobodne vibracije odvijale prema harmonijskom zakonu, potrebno je da sila koja teži vraćanju tijela u ravnotežni položaj bude proporcionalna pomaku tijela iz ravnotežnog položaja i usmjerena u smjeru suprotnom od pomaka. .

F (t) = ma (t) = –m ω2 x (t)

Fcontrol = –kx Hookeov zakon.

Kružna frekvencija ω0 slobodnih vibracija tereta na opruzi nalazi se iz drugog Newtonovog zakona:

Frekvenciju ω0 nazivamo vlastitom frekvencijom oscilatornog sustava.

Stoga se drugi Newtonov zakon za opterećenje opruge može napisati kao:

Rješenje ove jednadžbe su harmonijske funkcije oblika:

x = xm cos (ωt + φ0).

Ako bi se, pak, početna brzina dodijelila teretu koji je bio u ravnotežnom položaju uz pomoć oštrog guranja

Matematičko njihalo je oscilator, koji je mehanički sustav koji se sastoji od materijalne točke obješene na bestežinsku nerastezljivu nit ili na bestežinski štap u gravitacijskom polju. Period malih oscilacija matematičkog njihala duljine l u gravitacijskom polju s akceleracijom slobodnog pada g jednak je

a malo ovisi o amplitudi i masi njihala.

Fizičko njihalo je oscilator, koji je kruto tijelo koje oscilira u polju bilo koje sile oko točke koja nije središte mase tog tijela, ili fiksne osi okomite na smjer sila i ne prolazi kroz centar mase ovog tijela

Ulaznica 19.

valni proces. Elastični valovi. Uzdužni i poprečni valovi. Jednadžba ravni val. fazna brzina. Valna jednadžba i njezino rješenje.

Val je pojava širenja poremećaja u prostoru tijekom vremena fizička količina.

Ovisno o fizičkom mediju u kojem se valovi šire, postoje:

Valovi na površini tekućine;

Elastični valovi (zvučni, seizmički valovi);

Tjelesni valovi (koji se šire u debljini medija);

Elektromagnetski valovi (radiovalovi, svjetlost, x-zrake);

Gravitacijski valovi;

Valovi u plazmi.

S obzirom na smjer titranja čestica medija:

Longitudinalni valovi (kompresijski valovi, P-valovi) - čestice medija osciliraju paralelno (duž) smjera širenja valova (kao npr. u slučaju širenja zvuka);

Transverzalni valovi (smični valovi, S-valovi) - čestice medija osciliraju okomito na smjer širenja vala ( Elektromagnetski valovi, valovi na površinama razdvajanja medija);

mješoviti valovi.

Po obliku fronte vala (površine jednakih faza):

Ravni val - fazne su ravnine okomite na smjer širenja vala i međusobno paralelne;

Kuglasti val - površina faza je kugla;

Cilindrični val - površina faza nalikuje cilindru.

Elastični valovi ( zvučni valovi) - valovi koji se šire u tekućim, krutim i plinovitim medijima uslijed djelovanja elastičnih sila.

Transverzalni valovi, valovi koji se šire u smjeru okomitom na ravninu u kojoj su usmjereni pomaci i vibracijske brzine čestica.

Longitudinalni valovi, valovi čiji se smjer širenja podudara sa smjerom pomaka čestica medija.

Ravni val, val u kojem sve točke koje leže u bilo kojoj ravnini okomito na smjer njegova širenja u svakom trenutku odgovaraju istim pomacima i brzinama čestica medija

Jednadžba ravnog vala:

Fazna brzina - brzina gibanja točke s konstantnom fazom oscilatorno gibanje, u prostoru duž zadanog pravca.

Geometrijsko mjesto točaka, do kojih oscilacije dosežu u trenutku t, naziva se valna fronta.

Geografsko mjesto točaka koje osciliraju u istoj fazi naziva se valna površina.

Valna jednadžba i njezino rješenje:

Širenje valova u homogenom izotropnom mediju općenito se opisuje valnom jednadžbom - diferencijalna jednadžba u privatnim izvedenicama.

Gdje

Rješenje jednadžbe je jednadžba bilo kojeg vala, koja ima oblik:

Ulaznica 20.

Prijenos energije putujućim valom. Umov vektor. Dodavanje valova. Načelo superpozicije. stojni val.

Val je promjena stanja medija koja se širi u tom mediju i sa sobom nosi energiju. (val je vremenski promjenjiva prostorna izmjena maksimuma i minimuma bilo koje fizikalne veličine, npr. gustoća tvari, napetost električno polje, temperatura)

Putujući val je valni poremećaj koji se mijenja u vremenu t i prostoru z prema izrazu:

gdje je amplitudna ovojnica vala, K je valni broj, a je faza oscilacija. Fazna brzina ovog vala dana je s

gdje je valna duljina.

Prijenos energije - elastični medij u kojem se širi val, ima i kinetičku energiju oscilatornog gibanja čestica i potencijalnu energiju uslijed deformacije medija.

Putujući val, kada se širi u mediju, prenosi energiju (za razliku od stojnog vala).

Stojni val je titranje u distribuiranim oscilatornim sustavima s karakterističnim rasporedom izmjeničnih maksimuma (antinoda) i minimuma (čvorova) amplitude. U praksi se takav val javlja kod refleksije od prepreka i nehomogenosti kao rezultat superpozicije odbijenog vala na upadni.Pri tome su od izuzetne važnosti frekvencija, faza i koeficijent slabljenja vala na mjestu refleksije. Primjeri stojnog vala mogu biti vibracije žice, vibracije zraka u cijevi orgulja

Umov vektor (Umov-Poynting) - vektor gustoće toka energije fizičko polje; je brojčano jednaka energiji prenesenoj u jedinici vremena kroz jedinicu površine okomito na smjer toka energije u danoj točki.

Princip superpozicije jedan je od naj opći zakoni u mnogim granama fizike.

U svojoj najjednostavnijoj formulaciji, načelo superpozicije kaže da je rezultat djelovanja nekoliko vanjskih sila na česticu jednostavno zbroj rezultata djelovanja svake od sila.

Načelo superpozicije može imati i druge formulacije, koje su, ističemo, potpuno ekvivalentne gore navedenoj:

Interakcija između dviju čestica ne mijenja se kada se uvede treća čestica, koja također stupa u interakciju s prve dvije.

Energija međudjelovanja svih čestica u sustavu s više čestica jednostavno je zbroj energija međudjelovanja parova između svih mogućih parova čestica. U sustavu nema višečestičnih interakcija.

Jednadžbe koje opisuju ponašanje sustava s više čestica linearne su u broju čestica.

Zbrajanje valova je zbrajanje oscilacija u svakoj točki.

Zbrajanje stojnih valova je zbrajanje dva identična vala koji se šire u različitim smjerovima.

Ulaznica 21.

Inercijalni i neinercijalni referentni sustavi. Galilejevo načelo relativnosti.

Inercijalni- takve referentne okvire u kojima tijelo, na koje ne djeluju sile ili su one u ravnoteži, miruje ili se giba jednoliko i pravocrtno

Neinercijalni referentni okvir- proizvoljan referentni sustav koji nije inercijalan. Primjeri neinercijalnih referentnih okvira: okvir koji se kreće pravocrtno s konstantnom akceleracijom, kao i rotirajući okvir

Načelo relativnosti Galileja- temeljno fizikalno načelo, prema kojem se svi fizikalni procesi u inercijalnim referentnim okvirima odvijaju na isti način, bez obzira da li sustav miruje ili se giba jednoliko i pravocrtno.

Iz toga slijedi da su svi zakoni prirode isti u svim inercijskim referentnim okvirima.

Ulaznica 22.

Fizikalne osnove molekularno-kinetičke teorije. Osnovni plinski zakoni. Jednadžba stanja idealnog plina. Osnovna jednadžba molekularne kinetičke teorije.

Molekularno-kinetička teorija (skraćeno MKT) je teorija koja razmatra strukturu materije, uglavnom plinova, sa stajališta tri glavne približno točne odredbe:

sva su tijela sastavljena od čestica čiju veličinu možemo zanemariti: atoma, molekula i iona;

čestice su u kontinuiranom kaotičnom gibanju (termalno);

čestice međusobno djeluju apsolutno elastičnim sudarima.

Razmotreni su glavni dokazi za ove odredbe:

Difuzija

Brownovo gibanje

Promjena agregatnog stanja tvari

Clapeyron - Mendeleev jednadžba - formula koja uspostavlja odnos između tlaka, molarnog volumena i apsolutne temperature idealnog plina.

PV = υRT υ = m/μ

Boyleov zakon - Mariotte kaže:

Pri konstantnoj temperaturi i masi idealnog plina, umnožak njegova tlaka i volumena je konstantan

pV= konst,

gdje str- tlak plina; V- volumen plina

Gay Lussac -V / T= konst

Charles - P / T= konst

Boyle - Mariotte - PV= konst

Avogadrov zakon jedan je od najvažnijih temeljnih principa kemije, koji kaže da "u jednakih volumena različiti plinovi, uzeti pri istoj temperaturi i tlaku, sadrže isti broj molekula.

posljedica Avogadrova zakona: jedan mol bilo kojeg plina pod istim uvjetima zauzima isti volumen.

Konkretno, u normalnim uvjetima, tj. pri 0 ° C (273 K) i 101,3 kPa, volumen 1 mol plina je 22,4 l / mol. Taj se volumen naziva molarni volumen plina V m

Daltonovi zakoni:

Zakon ukupnog tlaka smjese plinova - Tlak smjese kemijski neinteragirajućih idealnih plinova jednak je zbroju parcijalnih tlakova

Ptot = P1 + P2 + … + Pn

Zakon o topljivosti komponenata plinska smjesa - Pri konstantnoj temperaturi, topljivost u određenoj tekućini svake komponente plinske smjese iznad tekućine proporcionalna je njihovom parcijalnom tlaku

Oba Daltonova zakona su strogo ispunjena za idealne plinove. Za stvarne plinove ovi su zakoni primjenjivi pod uvjetom da je njihova topljivost niska i ponašanje blisko idealnom plinu.

Jednadžba stanja idealnog plina - vidi Clapeyron-Mendelejevu jednadžbu PV = υRT υ = m/μ

Osnovna jednadžba molekularno - kinetičke teorije (MKT) -

= (i/2) * kT gdje je k je Boltzmannova konstanta – omjer plinske konstante R na broj Avogadro, i ja- broj stupnjeva slobode molekula.

Osnovna jednadžba molekularno-kinetičke teorije. pritisak plina na zid. Prosječna energija molekula. Zakon ekviparticije. Broj stupnjeva slobode.

Pritisak plina na stijenku - Molekule se tijekom svog kretanja sudaraju jedna s drugom, kao i sa stijenkama posude u kojoj se plin nalazi. U plinu ima mnogo molekula, pa je broj njihovih udara vrlo velik. Iako je sila udara pojedine molekule mala, ali je djelovanje svih molekula na stijenke posude značajno, stvara tlak plina

Prosječna energija molekule je

Prosječna kinetička energija molekula plina (po molekuli) određena je izrazom

Ek= ½ m

Kinetička energija translatornog gibanja atoma i molekula, prosječna za ogroman broj čestica koje se nasumično kreću, mjera je onoga što se naziva temperaturom. Ako temperatura T mjereno u stupnjevima Kelvina (K), zatim njegov odnos s E k dana je omjerom

Zakon ekviparticije je zakon klasične statističke fizike koji kaže da za statistički sustav u stanju termodinamičke ravnoteže, za svaki translacijski i rotacijski stupanj slobode, postoji prosječna kinetička energija kT/2, a za svaki vibracijski stupanj slobode – prosječna energija kT(gdje T - apsolutna temperatura sustava, k - Boltzmannova konstanta).

Teorem ekviparticije tvrdi da kada toplinska ravnoteža energija je jednako podijeljena između svojih različitih oblika

Broj stupnjeva slobode - najmanji broj neovisne koordinate koje određuju položaj i konfiguraciju molekule u prostoru.

Broj stupnjeva slobode za monoatomsku molekulu - 3 (translacijsko kretanje u smjeru tri koordinatne osi), za dvoatomni - 5 (tri translacijska i dva rotacijska, jer je rotacija oko X osi moguća samo pri vrlo visokim temperaturama), za troatomske - 6 (tri translatorna i tri rotacijska).

Ulaznica 24.

Elementi klasične statistike. funkcije distribucije. Maxwellova distribucija prema apsolutnoj vrijednosti brzina.

Ulaznica 25.

Maxwellova razdioba prema apsolutnoj vrijednosti brzine. Određivanje karakterističnih brzina molekula.

Elementi klasične statistike:

Slučajna varijabla je varijabla koja kao rezultat eksperimenta poprima jednu od mnogih vrijednosti, a pojavu jedne ili druge vrijednosti te veličine nije moguće točno predvidjeti prije njezina mjerenja.

Kontinuirana slučajna varijabla (CSV) je slučajna varijabla koja može poprimiti sve vrijednosti iz nekog konačnog ili beskonačnog intervala. Skup mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je beskonačan i neprebrojiv.

Funkcija raspodjele naziva se funkcija F(x) koja određuje vjerojatnost da slučajna vrijednost X će kao rezultat testa imati vrijednost manju od x.

Funkcija distribucije je gustoća vjerojatnosti distribucije čestica makroskopskog sustava u smislu koordinata, momenta ili kvantnih stanja. Funkcija distribucije glavna je karakteristika najrazličitijih (ne samo fizičkih) sustava koje karakterizira slučajno ponašanje, tj. slučajna promjena stanja sustava i, sukladno tome, njegovih parametara.

Maxwellova distribucija po apsolutnoj vrijednosti brzina:

Molekule plina neprestano se sudaraju dok se kreću. Brzina svake molekule mijenja se pri sudaru. Može rasti i padati. Međutim, RMS brzina ostaje nepromijenjena. To se objašnjava činjenicom da se u plinu na određenoj temperaturi određena stacionarna raspodjela molekula po brzinama ne mijenja s vremenom, što se pokorava određenom statističkom zakonu. Brzina pojedine molekule može se mijenjati tijekom vremena, ali udio molekula s brzinama u određenom rasponu brzina ostaje nepromijenjen.

Graf omjera udjela molekula prema intervalu brzina Δv tj. .

U praksi se graf opisuje funkcijom raspodjele brzina molekula ili Maxwellovim zakonom:

Izvedena formula:

Kad se temperatura plina promijeni, promijenit će se brzine gibanja svih molekula, a time i najvjerojatnija brzina. Stoga će se maksimum krivulje pomaknuti udesno kako temperatura raste, a ulijevo kako temperatura pada.

Visina je maksimalna i mijenja se s temperaturom. Činjenica da krivulja raspodjele počinje u ishodištu znači da u plinu nema nepokretnih molekula. Iz činjenice da se krivulja asimptotski približava x-osi pri beskonačno velikim brzinama, slijedi da postoji nekoliko molekula s vrlo velikim brzinama.

Ulaznica 26.

Boltzmannova distribucija. Maxwell-Boltzmannova distribucija. Boltzmannova barometrijska formula.

Boltzmannova raspodjela je raspodjela energije čestica (atoma, molekula) idealnog plina u uvjetima termodinamičke ravnoteže.

Boltzmannov zakon distribucije:

gdje je n koncentracija molekula na visini h,

n0 je koncentracija molekula na početnoj razini h = 0,

m je masa čestica,

g je ubrzanje slobodnog pada,

k je Boltzmannova konstanta,

T je temperatura.

Maxwell-Boltzmannova distribucija:

ravnotežna raspodjela čestica idealnog plina po energiji (E) u vanjskom polju sila (npr. u gravitacijskom polju); određena je funkcijom distribucije:

gdje je E zbroj kinetičke i potencijalne energije čestice,

T je apsolutna temperatura,

k - Boltzmannova konstanta

Barometarska formula je ovisnost tlaka ili gustoće plina o nadmorskoj visini u gravitacijskom polju. Za idealni plin koji ima stalnu temperaturu T i nalazi se u jednoličnom gravitacijskom polju (u svim točkama njegovog volumena, gravitacijsko ubrzanje g je isto), barometarska formula ima sljedeći oblik:

gdje je p tlak plina u sloju koji se nalazi na visini h,

p0 - tlak na nultoj razini (h = h0),

M- molekulska masa plin,

R je plinska konstanta,

T je apsolutna temperatura.

Iz barometrijske formule proizlazi da koncentracija molekula n (ili gustoća plina) opada s visinom prema istom zakonu:

gdje je m masa molekule plina, k je Boltzmannova konstanta.

Ulaznica 27.

Prvi zakon termodinamike. rad i toplina. Procesi. Rad plina u raznim izoprocesima. Prvi zakon termodinamike u raznim procesima. Formulacije prvog početka.

Ulaznica 28.

Unutarnja energija idealnog plina. Toplinski kapacitet idealnog plina pri stalnom volumenu i stalnom tlaku. Mayerova jednadžba.

Prvi zakon termodinamike - jedan od tri osnovna zakona termodinamike, je zakon održanja energije za termodinamičke sustave

Postoji nekoliko ekvivalentnih formulacija prvog zakona termodinamike:

1) Količina topline koju prima sustav odlazi na promjenu njegove unutarnje energije i obavljanje rada protiv vanjskih sila

2) Promjena unutarnje energije sustava pri njegovom prijelazu iz jednog stanja u drugo jednaka je zbroju rada vanjskih sila i količine topline koja je predana sustavu i ne ovisi o načinu na koji je izvršen taj prijelaz. se provodi

3) Promjena ukupne energije sustava u kvazistatičkom procesu jednaka je količini topline Q prijavljen sustavu, ukupno s promjenom energije povezanom s količinom materije N kod kemijskog potencijala μ, a rad A"koji na sustav vrše vanjske sile i polja, minus rad A koje je počinio sam sustav protiv vanjskih sila

ΔU = Q - A + μΔΝ + A`

Idealni plin je plin kod kojeg se pretpostavlja da se potencijalna energija molekula može zanemariti u usporedbi s njihovom kinetičkom energijom. Između molekula ne djeluju sile privlačenja ili odbijanja, sudari čestica međusobno i sa stijenkama posude su apsolutno elastični, a vrijeme međudjelovanja među molekulama zanemarivo je malo u odnosu na prosječno vrijeme između sudara.

Rad – Pri širenju rad plina je pozitivan. Kada je komprimiran, negativan je. Na ovaj način:

A" \u003d pDV - rad na plinu (A" - rad na ekspanziji plina)

A= - pDV - rad vanjskih sila (A - rad vanjskih sila na kompresiju plina)

Toplinsko-kinetički dio unutarnje energije tvari, određen intenzivnim kaotičnim kretanjem molekula i atoma koji čine tu tvar.

Toplinski kapacitet idealnog plina je omjer topline predane plinu i promjene temperature δT koja se u tom slučaju dogodila.

Unutarnja energija idealnog plina je veličina koja ovisi samo o njegovoj temperaturi i ne ovisi o volumenu.

Mayerova jednadžba pokazuje da je razlika u toplinskim kapacitetima plina jednaka radu koji izvrši jedan mol idealnog plina kada se njegova temperatura promijeni za 1 K, te objašnjava značenje univerzalne plinske konstante R.

Za svaki idealni plin vrijedi Mayerova relacija:

,

Procesi:

Izobarni proces je termodinamički proces koji se odvija u sustavu pri konstantnom tlaku.

Rad koji izvrši plin pri širenju ili sabijanju plina je

Rad koji obavlja plin pri širenju ili sabijanju plina:

Količina topline koju plin prima ili otpušta:

pri konstantnoj temperaturi dU = 0, dakle, sva količina topline dostavljena sustavu troši se na obavljanje rada protiv vanjskih sila.

Toplinski kapacitet:

Ulaznica 29.

adijabatski proces. Jednadžba adijabate. Poissonova jednadžba. Rad u adijabatskom procesu.

Adijabatski proces - termodinamički proces u makroskopskom sustavu, u kojem sustav ne prima i ne odaje toplinsku energiju.

Za adijabatski proces prvi zakon termodinamike zbog nepostojanja izmjene topline između sustava i medija ima oblik:

U adijabatskom procesu ne dolazi do izmjene topline s okolinom, tj. δQ=0. Posljedično, toplinski kapacitet idealnog plina u adijabatskom procesu također je jednak nuli: Sadiab=0.

Rad vrši plin uslijed promjene unutarnje energije Q=0, A=-DU

U adijabatskom procesu, tlak plina i njegov volumen povezani su odnosom:

pV*g=const, gdje je g= Cp/Cv.

U ovom slučaju vrijede sljedeće relacije:

p2/p1=(V1/V2)*g, *g-stupanj

T2/T1=(V1/V2)*(g-1), *(g-1)-stupanj

T2/T1=(p2/p1)*(g-1)/g. *(g-1)/g-stupanj

Gornje relacije nazivaju se Poissonove jednadžbe

jednadžba adijabatskog procesa (Poissonova jednadžba) g - adijabatski eksponent

Ulaznica 30.

Drugi zakon termodinamike. Carnotov ciklus. učinkovitost idealnog toplinskog stroja. Entropija i termodinamička vjerojatnost. Razne formulacije drugog zakona termodinamike.

Drugi zakon termodinamike je fizikalni princip koji nameće ograničenje smjera procesa prijenosa topline između tijela.

Drugi zakon termodinamike kaže da je nemoguć spontani prijenos topline s manje zagrijanog tijela na jače zagrijano.

Drugi zakon termodinamike zabranjuje takozvane perpetuum mobile strojeve druge vrste, pokazujući nemogućnost pretvaranja sve unutarnje energije sustava u koristan rad.

Drugi zakon termodinamike je postulat koji se ne može dokazati u okviru termodinamike. Nastala je na temelju generalizacije eksperimentalnih činjenica i dobila brojne eksperimentalne potvrde.

Clausiusov postulat: “Ne postoji proces čiji bi jedini rezultat bio prijenos topline s hladnijeg tijela na toplije”(ovaj proces se zove Clausiusov proces).

Thomsonov postulat: “Ne postoji kružni proces čiji bi jedini rezultat bila proizvodnja rada hlađenjem spremnika topline”(ovaj proces se zove Thomsonov proces).

Carnotov ciklus je idealan termodinamički ciklus.

Carnotov toplinski stroj koji radi prema ovom ciklusu ima maksimalnu učinkovitost od svih strojeva u kojima se maksimalne i minimalne temperature tekućeg ciklusa podudaraju s maksimalnim i minimalnim temperaturama Carnotovog ciklusa.

Carnotov ciklus se sastoji od četiri faze:

1. Izotermno širenje (na slici - proces A → B). Na početku procesa radni fluid ima temperaturu Tn, odnosno temperaturu grijača. Tada se tijelo dovodi u dodir s grijačem koji mu izotermno (pri stalnoj temperaturi) predaje količinu topline QH. Istodobno se povećava volumen radne tekućine.

2.Adijabatsko (izoentropsko) širenje (na slici - proces B→C). Radna tekućina se odvaja od grijača i nastavlja širiti bez izmjene topline s okolinom. Istovremeno se njegova temperatura smanjuje na temperaturu hladnjaka.

3. Izotermna kompresija (na slici - proces C → D). Radni fluid, koji do tog trenutka ima temperaturu TX, dolazi u kontakt s hladnjakom i počinje se izotermno kontrahirati, dajući hladnjaku količinu topline QX.

4.Adijabatsko (izoentropsko) sabijanje (na slici - proces G→A). Radna tekućina se odvaja od hladnjaka i komprimira bez izmjene topline s okolinom. Istodobno se njegova temperatura povećava do temperature grijača.

Entropija- pokazatelj slučajnosti ili nereda u strukturi fizičkog sustava. U termodinamici, entropija izražava količinu toplinske energije koja je dostupna za obavljanje rada: što je manje energije, to je manja entropija. Na ljestvici svemira entropija raste. Energiju iz sustava moguće je izvući samo prevođenjem u manje uređeno stanje. Prema drugom zakonu termodinamike, entropija u izoliranom sustavu se ili ne povećava ili raste tijekom bilo kojeg procesa.

Vjerojatnost je termodinamička, broj načina na koji se može realizirati stanje fizičkog sustava. U termodinamici, stanje fizičkog sustava karakteriziraju određene vrijednosti gustoće, tlaka, temperature i drugih mjerljivih veličina.

Ulaznica 31.

Mikro i makro države. statistička težina. reverzibilan i ne reverzibilni procesi. Entropija. Zakon povećanja entropije. Nernstov teorem.

Ulaznica 30.

Statistička težina je broj načina na koje dato stanje sustava. Statističke težine svih mogućih stanja sustava određuju njegovu entropiju.

Reverzibilni i ireverzibilni procesi.

Reverzibilni proces (odnosno ravnoteža) je termodinamički proces koji se može odvijati i u smjeru naprijed i unatrag, prolazeći kroz ista međustanja, a sustav se vraća u prvobitno stanje bez utroška energije, a u okoliš nema makroskopskih promjena.

(Reverzibilni proces može se nastaviti u suprotnom smjeru u bilo kojem trenutku mijenjanjem neke nezavisne varijable za beskrajno mali iznos.

Reverzibilni procesi daju najviše posla.

U praksi se reverzibilni proces ne može ostvariti. Teče beskrajno sporo i samo mu se može približiti.)

Ireverzibilni proces je proces koji se ne može odvijati u suprotnom smjeru kroz sva ista međustanja. Svi stvarni procesi su nepovratni.

U adijabatski izoliranom termodinamičkom sustavu entropija se ne može smanjivati: ona je ili očuvana ako se u sustavu odvijaju samo reverzibilni procesi ili raste ako se u sustavu dogodi barem jedan ireverzibilni proces.

Pisana izjava je još jedna formulacija drugog zakona termodinamike.

Nernstov teorem (Treći zakon termodinamike) je fizikalni princip koji određuje ponašanje entropije kako se temperatura približava apsolutnoj nuli. To je jedan od postulata termodinamike, usvojen na temelju generalizacije značajne količine eksperimentalnih podataka.

Treći zakon termodinamike može se izraziti na sljedeći način:

"Povećanje entropije na apsolutna nula temperatura teži konačnoj granici, neovisno o ravnotežnom stanju sustava.

Gdje je x bilo koji termodinamički parametar.

(Treći zakon termodinamike vrijedi samo za ravnotežna stanja.

Budući da se na temelju drugog zakona termodinamike entropija može odrediti samo do proizvoljne aditivne konstante (odnosno, ne određuje se sama entropija, već samo njezina promjena):

Treći zakon termodinamike može se koristiti za točno određivanje entropije. U tom slučaju smatra se da je entropija ravnotežnog sustava pri temperaturi apsolutnoj nuli jednaka nuli.

Prema trećem zakonu termodinamike, na .)

Ulaznica 32.

pravi plinovi. Van de Waalsova jednadžba. Unutarnja energija je zapravo plin.

Realni plin je plin koji nije opisan Clapeyron-Mendelejevom jednadžbom stanja za idealni plin.

Molekule u stvarnom plinu međusobno djeluju jedna na drugu i zauzimaju određeni volumen.

U praksi se često opisuje generaliziranom Mendeleev-Clapeyronovom jednadžbom:

Van der Waalsova plinska jednadžba stanja je jednadžba koja povezuje glavne termodinamičke veličine u van der Waalsovom plinskom modelu.

(Za točniji opis ponašanja stvarnih plinova pri niskim temperaturama, napravljen je van der Waalsov plinski model koji uzima u obzir sile međumolekularnog međudjelovanja. U ovom modelu unutarnja energija U postaje funkcija ne samo temperature, već ali i volumena.)

Toplinska jednadžba stanja (ili, često, jednostavno jednadžba stanja) je odnos između tlaka, volumena i temperature.

Za n mola van der Waalsovog plina, jednadžba stanja izgleda ovako:

p - pritisak,

• T je apsolutna temperatura,

  R je univerzalna plinska konstanta.

Unutarnja energija pravog plina zbroj je kinetičke energije toplinsko gibanje molekule i potencijalna energija međumolekularnog međudjelovanja

Ulaznica 33.

Fizička kinetika. Fenomen transporta u plinovima. Broj sudara i srednji slobodni put molekula.

Fizikalna kinetika je mikroskopska teorija procesa u neravnotežnim medijima. U kinetici se metodama kvantne ili klasične statističke fizike proučavaju procesi prijenosa energije, količine gibanja, naboja i materije u različitim fizikalnim sustavima (plinovi, plazma, tekućine, čvrste tvari) i utjecaj vanjskih polja na njih.

Pojave transporta u plinovima promatraju se samo ako je sustav u neravnotežnom stanju.

Difuzija je proces prijenosa tvari ili energije iz područja visoke koncentracije u područje niske koncentracije.

Toplinska vodljivost - prijenos unutarnje energije s jednog dijela tijela na drugi ili s jednog tijela na drugo u njihovom neposrednom dodiru.

Broj (učestalost) sudara i srednji slobodni put molekula.

krećući se sa Prosječna brzina u prosjeku, za vrijeme τ, čestica prijeđe udaljenost jednaku srednjem slobodnom putu< l >:

< l > = τ

τ je vrijeme koje se molekula kreće između dva uzastopna sudara (slično periodu)

Tada je prosječan broj sudara po jedinici vremena (prosječna učestalost sudara) recipročna vrijednost perioda:

v= 1 / τ = / = σn

Dužina puta< l>, kod koje vjerojatnost sudara s česticama - metama postaje jednaka jedinici, naziva se srednji slobodni put.

= 1 / σn

Ulaznica 34.

Difuzija u plinovima. koeficijent difuzije. Viskoznost plinova. Koeficijent viskoznosti. Toplinska vodljivost. Koeficijent toplinske vodljivosti.

Difuzija je proces prijenosa tvari ili energije iz područja visoke koncentracije u područje niske koncentracije.

Difuzija u plinovima odvija se mnogo brže nego u drugim agregatna stanja, što je zbog prirode toplinskog gibanja čestica u tim medijima.

Koeficijent difuzije - količina tvari koja prolazi u jedinici vremena kroz dio jedinice površine s koncentracijskim gradijentom jednakim jedan.

Koeficijent difuzije odražava brzinu difuzije i određen je svojstvima medija i vrstom čestica koje difuziraju.

Viskoznost (unutarnje trenje) je jedna od pojava prijenosa, svojstvo fluidnih tijela (tekućina i plinova) da se opiru gibanju jednog svog dijela u odnosu na drugi.

Kada govorimo o viskoznosti, broj koji se obično uzima u obzir je koeficijent viskoznosti. Postoji nekoliko različitih koeficijenata viskoznosti ovisno o silama koje djeluju i prirodi tekućine:

Dinamička viskoznost (ili apsolutna viskoznost) određuje ponašanje nestlačive Newtonove tekućine.

Kinematička viskoznost je dinamička viskoznost podijeljena s gustoćom za Newtonove tekućine.

Masivna viskoznost određuje ponašanje kompresibilne Newtonove tekućine.

Smična viskoznost (Shear Viscosity) - koeficijent smične viskoznosti (za ne-Newtonove tekućine)

Masivna viskoznost - koeficijent kompresijske viskoznosti (za ne-Newtonove tekućine)

Toplinska kondukcija je proces prijenosa topline, koji dovodi do izjednačavanja temperature u cijelom volumenu sustava.

Koeficijent toplinske vodljivosti - numerička karakteristika toplinske vodljivosti materijala, jednaka količini topline koja prolazi kroz materijal debljine 1 m i površine 1 sq. M po satu pri temperaturnoj razlici od 1 stupnja C na dvije suprotne površine.

Osnovna razina

opcija 1

A1. Putanja pokretne materijalne točke u konačnom vremenu je

segment linije

dio aviona

konačan skup točaka

među odgovorima 1,2,3 nema točnog

A2. Stolac se pomaknuo najprije za 6 m, a zatim još 8 m. Koliki je ukupni modul pomaka?

1) 2 m 2) 6 m 3) 10 m 4) ne može se odrediti

A3. Plivač pliva protiv struje rijeke. Brzina toka rijeke je 0,5 m/s, brzina plivača u odnosu na vodu je 1,5 m/s. Modul brzine plivača u odnosu na obalu je

1) 2 m/s 2) 1,5 m/s 3) 1 m/s 4) 0,5 m/s

A4. Krećući se pravocrtno, jedno tijelo svake sekunde prijeđe put od 5 m. Drugo tijelo, gibajući se pravocrtno u jednom smjeru, prijeđe put od 10 m u sekundi. Kretanja tih tijela

A5. Na grafu je prikazana ovisnost koordinate X tijela koje se giba po osi OX o vremenu. Koja je početna koordinata tijela?

3) -1 m 4) - 2 m

A6. Koja funkcija v(t) opisuje ovisnost modula brzine o vremenu za jednoliko pravocrtno gibanje? (duljina je u metrima, vrijeme je u sekundama)

1) v= 5t2)v= 5/t3)v= 5 4)v= -5

A7. Modul brzine tijela za neko se vrijeme povećao 2 puta. Koja bi izjava bila točna?

ubrzanje tijela povećano za 2 puta

ubrzanje se smanjilo za 2 puta

ubrzanje se nije promijenilo

tijelo se kreće ubrzano

A8. Tijelo koje se giba pravocrtno i jednoliko ubrzano povećalo je svoju brzinu od 2 na 8 m/s u 6 s. Kolika je akceleracija tijela?

1) 1 m/s2 2) 1,2 m/s2 3) 2,0 m/s2 4) 2,4 m/s2

A9. Sa slobodnim padom tijela, njegova brzina (uzeti g \u003d 10m / s 2)

za prvu sekundu povećava se za 5m/s, za drugu - za 10m/s;

za prvu sekundu povećava se za 10m/s, za drugu - za 20m/s;

za prvu sekundu povećava se za 10m/s, za drugu - za 10m/s;

u prvoj sekundi poraste za 10m/s, a u drugoj za 0m/s.

A10. Brzina kruženja tijela po obodu povećala se 2 puta. centripetalno ubrzanje tijela

1) udvostručen 2) učetverostručen

3) smanjio se 2 puta 4) smanjio se 4 puta

opcija 2

A1. Rješavaju se dva zadatka:

a. izračunava se manevar pristajanja dviju letjelica;

b. izračunava se period ophoda svemirske letjelice oko Zemlje.

U kojem slučaju svemirski brodovi mogu smatrati materijalnim točkama?

samo u prvom slučaju

samo u drugom slučaju

u oba slučaja

ni u prvom ni u drugom slučaju

A2. Automobil je dva puta putovao oko Moskve duž obilaznice, čija je duljina 109 km. Prijeđeni put automobila je

1) 0 km 2) 109 km 3) 218 ​​​​km 4) 436 km

A3. Kada kažu da se promjena dana i noći na Zemlji objašnjava izlaskom i zalaskom Sunca, misle na referentni okvir povezan

1) sa Suncem 2) sa Zemljom

3) sa središtem galaksije 4) sa bilo kojim tijelom

A4. Prilikom mjerenja karakteristika pravocrtnih gibanja dviju materijalnih točaka, vrijednosti koordinata prve točke i brzine druge točke zabilježene su u vremenskim točkama navedenim u tablicama 1 i 2:

Što se može reći o prirodi tih kretanja, pod pretpostavkom da je nije promijenio u vremenskim intervalima između mjerenja?

1) oba jednolična

2) prva je nejednaka, druga je jednolika

3) prvi je ujednačen, drugi je neujednačen

4) oba neravna

A5. Iz grafikona ovisnosti prijeđenog puta o vremenu odredite brzinu biciklista u trenutku t = 2 s. 1) 2 m/s 2) 3 m/s

3) 6 m/s4) 18 m/s

A6. Slika prikazuje grafove prijeđenog puta u jednom smjeru u odnosu na vrijeme za tri tijela. Koje se tijelo gibalo većom brzinom? 1) 1 2) 2 3) 34) brzine svih tijela su iste

A7. Brzina tijela koje se giba pravocrtno i jednoliko ubrzano mijenjala se pri kretanju iz točke 1 u točku 2 kao što je prikazano na slici. Koji je smjer vektora ubrzanja u ovom odsječku?

A8. Prema grafu ovisnosti modula brzine o vremenu, prikazanom na slici, odredite akceleraciju tijela koje se pravocrtno giba u trenutku t=2s.

1) 2 m/s 2 2) 3 m/s 2 3) 9 m/s 2 4) 27 m/s 2

A9. U cijev iz koje se odvodi zrak istovremeno se s iste visine ispuštaju sačma, čep i ptičje pero. Koje će tijelo brže doći do dna cijevi?

1) kuglica 2) pluto 3) ptičje pero 4) sva tri tijela istovremeno.

A10. Automobil se u zavoju giba po kružnoj stazi polumjera 50 m konstantnom modulo brzinom 10 m/s. Kolika je akceleracija automobila?

1) 1 m/s 2 2) 2 m/s 2 3) 5 m/s 2 4) 0 m/s 2

Odgovori.

Broj posla

Opis putanje

Uobičajeno je da se putanja materijalne točke opisuje pomoću radijus vektora, čiji smjer, duljina i početna točka ovise o vremenu. U ovom slučaju, krivulja opisana krajem radijus vektora u prostoru može se prikazati kao konjugirani lukovi različite zakrivljenosti, smješteni u općem slučaju u ravninama koje se sijeku. U ovom slučaju, zakrivljenost svakog luka određena je njegovim polumjerom zakrivljenosti usmjerenim na luk iz trenutnog središta rotacije, koji je u istoj ravnini kao i sam luk. Štoviše, ravna crta se smatra graničnim slučajem krivulje, čiji se radijus zakrivljenosti može smatrati jednakim beskonačnosti. Stoga se putanja u općem slučaju može prikazati kao skup konjugiranih lukova.

Bitno je da oblik putanje ovisi o referentnom sustavu odabranom za opisivanje gibanja materijalne točke. Tako pravocrtno gibanje u inercijalnom sustavu općenito će biti paraboličan u jednoliko ubrzavajućem referentnom sustavu.

Odnos s brzinom i normalnim ubrzanjem

Brzina materijalne točke uvijek je usmjerena tangencijalno na luk koji se koristi za opisivanje putanje točke. Postoji odnos između brzine v, normalno ubrzanje a n i polumjer zakrivljenosti putanje ρ u danoj točki:

Povezanost s jednadžbama dinamike

Predstavljanje putanje kao traga kretanja materijal točaka, povezuje čisto kinematičku koncepciju putanje, kao geometrijski problem, s dinamikom gibanja materijalne točke, odnosno problemom utvrđivanja uzroka njezina gibanja. U stvari, rješenje Newtonovih jednadžbi (uz prisutnost kompletnog skupa početnih podataka) daje putanju materijalne točke. I obrnuto, znajući putanju materijalne točke u inercijalnom referentnom okviru i njegove brzine u svakom trenutku vremena, moguće je odrediti sile koje na njega djeluju.

Putanja slobodne materijalne točke

Prema prvom Newtonovom zakonu, koji se ponekad naziva i zakon tromosti, mora postojati sustav u kojem slobodno tijelo zadržava (kao vektor) svoju brzinu. Takav referentni okvir naziva se inercijalni. Putanja takvog kretanja je ravna linija, a samo kretanje se naziva ravnomjerno i pravocrtno.

Gibanje pod djelovanjem vanjskih sila u inercijalnom referentnom sustavu

Ako je u poznatom inercijalnom sustavu brzina tijela s masom m mijenja smjer, čak ostaje isti po veličini, odnosno tijelo se okreće i kreće duž luka s polumjerom zakrivljenosti R, tada objekt doživljava normalno ubrzanje a n. Uzrok koji uzrokuje ovo ubrzanje je sila koja je izravno proporcionalna ovom ubrzanju. Ovo je bit drugog Newtonovog zakona:

(1)

Gdje je vektorski zbroj sila koje djeluju na tijelo, njegovo ubrzanje i m- inercijalna masa.

U općem slučaju, tijelo nije slobodno u svom kretanju, te se postavljaju ograničenja na njegov položaj, au nekim slučajevima i na brzinu, - veze. Ako veze nameću ograničenja samo na koordinate tijela, tada se takve veze nazivaju geometrijskim. Ako se također šire brzinama, onda se nazivaju kinematičkim. Ako se jednadžba ograničenja može integrirati tijekom vremena, tada se takvo ograničenje naziva holonomskim.

Djelovanje veza na sustav tijela koja se gibaju opisuje se silama koje se nazivaju reakcije veza. U ovom slučaju, sila uključena u lijevu stranu jednadžbe (1) je vektorski zbroj aktivnih (vanjskih) sila i reakcije veza.

Bitno je da u slučaju holonomskih ograničenja postaje moguće opisati gibanje mehaničkih sustava u generaliziranim koordinatama, uključenim u Lagrangeove jednadžbe. Broj ovih jednadžbi ovisi samo o broju stupnjeva slobode sustava i ne ovisi o broju tijela uključenih u sustav, čiji se položaj mora odrediti za potpuni opis pokret.

Ako su veze koje djeluju u sustavu idealne, odnosno ne prenose energiju gibanja u druge vrste energije, tada se pri rješavanju Lagrangeovih jednadžbi automatski isključuju sve nepoznate reakcije veza.

Konačno, ako aktivne snage pripadaju klasi potencijala, tada uz odgovarajuću generalizaciju pojmova postaje moguće koristiti Lagrangeove jednadžbe ne samo u mehanici, već iu drugim područjima fizike.

Sile koje djeluju na materijalnu točku u ovom shvaćanju jednoznačno određuju oblik putanje njezina gibanja (pod poznatim početnim uvjetima). Obratna izjava općenito nije točna, budući da se ista putanja može odvijati s različitim kombinacijama aktivnih sila i reakcija sprezanja.

Gibanje pod djelovanjem vanjskih sila u neinercijalnom referentnom sustavu

Ako je referentni okvir neinercijalan (tj. giba se s nekim ubrzanjem u odnosu na inercijalni referentni okvir), tada se izraz (1) također može koristiti u njemu, međutim, s lijeve strane, potrebno je uzeti u obzir takozvane inercijalne sile (uključujući centrifugalnu silu i Coriolisovu silu, povezane s rotacijom neinercijalnog referentnog okvira) .

Ilustracija

Trajektorije istog kretanja u različitim referentnim okvirima. Gore u inercijalnom okviru, propusna kanta boje nosi se u ravnoj liniji iznad okretne pozornice. Dolje u neinerciji (trag boje za promatrača koji stoji na pozornici)

Kao primjer, razmotrite kazališnog djelatnika koji se kreće u rešetkastom prostoru iznad pozornice u odnosu na kazališnu zgradu ravnomjerno i izravna i prenošenje rotacioni scena cureće kante boje. Ostavit će trag na njemu od pada boje u obliku spirala za odmotavanje(ako se kreće iz centar rotacije scene) i kovitlajući se- u suprotnom slučaju. U ovom trenutku, njegov kolega, koji je odgovoran za čistoću rotirajuće pozornice i nalazi se na njoj, stoga će biti prisiljen nositi kantu koja ne curi ispod prve, stalno biti ispod prve. I njegovo kretanje u odnosu na zgradu također će biti uniforma i izravna, iako s obzirom na scenu, koja je neinercijski sustav, njegovo kretanje će biti uvrnut i neravnomjeran. Štoviše, kako bi se suprotstavio zanošenju u smjeru rotacije, on mora svladati djelovanje Coriolisove sile mišićnim naporom, što njegov gornji kolega ne doživljava iznad pozornice, iako putanje oba u inercijski sustav kazališne zgrade predstavljat će ravne linije.

No, može se zamisliti da je zadatak kolega koji se ovdje razmatraju upravo primjena ravno linije uključene rotirajući stupanj. U ovom slučaju, dno mora zahtijevati da se vrh kreće duž krivulje koja je zrcalni odraz tragovi prethodno prolivene boje. Posljedično, pravocrtno gibanje u neinercijski sustav referenca neće za promatrača u inercijalnom sustavu.

Nadalje, uniforma kretanje tijela u jednom sustavu, može se neravnomjeran u drugom. Dakle, dvije kapi boje koje su pale u različite trenutke vremena iz propusne kante, kako u vlastitom referentnom okviru, tako i u okviru donjeg kolege nepomičnog u odnosu na zgradu (na pozornici koja se već prestala okretati), kretat će se pravocrtno (prema središtu zemlja). Razlika će biti u tome što će za promatrača ispod ovo gibanje biti ubrzano, a za svog gornjeg kolegu, ako je posrnuo, past će, krećući se zajedno s bilo kojom od kapi, udaljenost između kapi će se proporcionalno povećati prvi stupanj vremena, odnosno međusobnog gibanja kapi i njihovog promatrača u njegovom ubrzano koordinatni sustav bit će uniforma s brzinom v, određeno kašnjenjem Δ t između trenutaka padajućih kapi:

v = gΔ t .

Gdje g- ubrzanje sile teže.

Dakle, oblik putanje i brzina tijela duž nje, promatrani u određenom referentnom okviru, o kojoj se ništa unaprijed ne zna, ne daje nedvosmislenu ideju o silama koje djeluju na tijelo. Je li ovaj sustav dovoljno inercijalan moguće je odlučiti samo na temelju analize uzroka pojave djelujućih sila.

Dakle, u neinercijalnom sustavu:

• Zakrivljenost putanje i/ili nekonzistentnost brzine nisu dovoljni argumenti u prilog tvrdnji da na tijelo koje se po njoj kreće djeluju vanjske sile, što se u krajnjem slučaju može objasniti gravitacijskim ili elektromagnetskim poljima.
• Ravnost putanje je nedovoljan argument u prilog tvrdnji da na tijelo koje se giba duž nje ne djeluju nikakve sile.

Bilješke

Književnost

• Newton I. Matematički principi prirodne filozofije. Po. i cca. A. N. Krylova. Moskva: Nauka, 1989
• Frish S. A. i Timoreva A. V. Kolegij opće fizike, udžbenik za fizičke, matematičke i fizičko-tehničke fakultete javna sveučilišta, Svezak I. M .: GITTL, 1957

Linkovi

• http://av-physics.narod.ru/mechanics/trajectory.htm [ neautoritativni izvor?] Putanja i vektor pomaka, dio udžbenika fizike

Pojam materijalne točke. Putanja. Put i kretanje. Referentni sustav. Brzina i ubrzanje kod krivuljastog gibanja. Normalna i tangencijalna ubrzanja. Klasifikacija mehaničkih gibanja.

Predmet mehanika . Mehanika je grana fizike posvećena proučavanju zakona najjednostavnijeg oblika gibanja materije – mehaničkog gibanja.

Mehanika sastoji se od tri podcjeline: kinematika, dinamika i statika.

Kinematika proučava gibanje tijela ne uzimajući u obzir uzroke koji ga uzrokuju. Radi s veličinama kao što su pomak, prijeđena udaljenost, vrijeme, brzina i ubrzanje.

Dinamika istražuje zakonitosti i uzroke koji uzrokuju kretanje tijela,tj. proučava gibanje materijalnih tijela pod djelovanjem sila koje na njih djeluju. Kinematičkim veličinama dodaju se veličine – sila i masa.

NAstatički istražiti uvjete ravnoteže za sustav tijela.

Mehaničko kretanje tijelo je promjena njegovog položaja u prostoru u odnosu na druga tijela tijekom vremena.

Materijalna točka - tijelo čija se veličina i oblik mogu zanemariti u danim uvjetima gibanja, s obzirom na masu tijela koncentriranu u danoj točki. Model materijalne točke je najjednostavniji model gibanja tijela u fizici. Tijelo se može smatrati materijalnom točkom kada su njegove dimenzije mnogo manje od karakterističnih udaljenosti u zadatku.

Za opis mehaničkog gibanja potrebno je navesti tijelo u odnosu na koje se kretanje razmatra. Proizvoljno odabrano nepomično tijelo, u odnosu na koje se razmatra gibanje tog tijela, naziva se referentno tijelo .

Referentni sustav - referentno tijelo zajedno s njime povezanim koordinatnim sustavom i satom.

Razmotrimo gibanje materijalne točke M u pravokutnom koordinatnom sustavu, postavljajući ishodište u točku O.

Položaj točke M u odnosu na referentni sustav može se postaviti ne samo uz pomoć tri kartezijeve koordinate, već i uz pomoć jedne vektorske veličine - radijus vektora točke M povučene na ovu točku iz ishodišta koordinatni sustav (slika 1.1). Ako su jedinični vektori (orti) osi pravokutnog Kartezijevog koordinatnog sustava, tada

ili vremenska ovisnost radijus vektora ove točke

Tri skalarne jednadžbe (1.2) ili jedna njima ekvivalentna vektorska jednadžba (1.3) nazivaju se kinematičke jednadžbe gibanja materijalne točke .

putanja Materijalna točka je linija koju ta točka opisuje u prostoru tijekom svog kretanja (lokus krajeva radijus-vektora čestice). Ovisno o obliku putanje, razlikuju se pravocrtno i krivocrtno gibanje točke. Ako svi dijelovi putanje točke leže u istoj ravnini, tada se kretanje točke naziva ravno.

Jednadžbe (1.2) i (1.3) definiraju putanju točke u tzv. parametarskom obliku. Ulogu parametra ima vrijeme t. Rješavajući ove jednadžbe zajedno i isključujući iz njih vrijeme t, nalazimo jednadžbu putanje.

dug put materijalna točka je zbroj duljina svih dionica putanje koje točka prijeđe tijekom razmatranog vremenskog razdoblja.

Vektor pomaka Materijalna točka je vektor koji povezuje početni i krajnji položaj materijalne točke, tj. prirast radijus-vektora točke za razmatrani vremenski interval

S pravocrtnim gibanjem, vektor pomaka podudara se s odgovarajućim dijelom putanje. Iz činjenice da je kretanje vektor proizlazi iskustveno potvrđeni zakon neovisnosti gibanja: ako materijalna točka sudjeluje u više gibanja, tada je rezultirajuće gibanje točke jednako vektorskom zbroju njezinih gibanja koje je ona izvršila za isto vrijeme u svakom od pokreta posebno

Za karakterizaciju kretanja materijalne točke uvodi se vektorska fizikalna veličina - ubrzati , veličina koja određuje i brzinu gibanja i smjer gibanja u određenom trenutku.

Neka se materijalna točka giba po krivuljnoj putanji MN tako da se u trenutku t nalazi u točki M, a u trenutku u točki N. Radijus vektori točaka M i N su jednaki, a duljina luka MN je (Slika 1.3).

Vektor prosječne brzine točaka u vremenskom intervalu od t prije t+Δ t naziva se omjer prirasta radijus-vektora točke tijekom tog vremenskog razdoblja i njegove vrijednosti:

Vektor prosječne brzine usmjeren je na isti način kao i vektor pomaka, tj. duž tetive MN.

Trenutna brzina ili brzina u određenom trenutku . Ako u izrazu (1.5) prijeđemo na granicu, težeći nuli, tada ćemo dobiti izraz za vektor brzine m.t. u trenutku t njegovog prolaska kroz t.M putanju.

U procesu smanjenja vrijednosti, točka N se približava t.M, a tetiva MN, okrećući se oko t.M, u granici se poklapa po smjeru s tangentom na putanju u točki M. Prema tome, vektori brzinavpokretna točka usmjerena tangentnom putanjom u smjeru gibanja. Vektor brzine v materijalne točke može se rastaviti na tri komponente usmjerene duž osi pravokutnog Kartezijevog koordinatnog sustava.

Iz usporedbe izraza (1.7) i (1.8) proizlazi da su projekcije brzine materijalne točke na osi pravokutnog Kartezijevog koordinatnog sustava jednake prvim vremenskim izvodnicama odgovarajućih koordinata točke:

Kretanje pri kojemu se smjer brzine materijalne točke ne mijenja nazivamo pravocrtnim. Ako brojčana vrijednost trenutne brzine točke tijekom gibanja ostaje nepromijenjena, tada se takvo gibanje naziva jednolikim.

Ako točka u proizvoljno jednakim vremenskim intervalima prolazi stazom različite duljine, tada se brojčana vrijednost njezine trenutne brzine mijenja tijekom vremena. Takvo kretanje se naziva neravnomjerno.

U ovom slučaju često se koristi skalarna vrijednost, koja se ne naziva prosječna brzina kretanja jednoliko kretanje na ovom dijelu putanje. Ona je jednaka brojčanoj vrijednosti brzine takvog jednolikog gibanja, pri kojoj se za prolazak staze utroši isto vrijeme kao i kod datog neravnomjernog gibanja:

Jer samo u slučaju pravocrtnog gibanja s konstantnom brzinom u pravcu, tada u općem slučaju:

Vrijednost puta koji točka prijeđe može se grafički prikazati površinom figure ograničene krivulje v = f (t), direktno t = t 1 i t = t 1 a vremenska os na grafu brzine.

Zakon zbrajanja brzina . Ako materijalna točka istovremeno sudjeluje u više gibanja, tada je rezultirajući pomak, u skladu sa zakonom neovisnosti gibanja, jednak vektorskom (geometrijskom) zbroju elementarnih pomaka zbog svakog od tih gibanja zasebno:

Prema definiciji (1.6):

Dakle, brzina rezultirajućeg gibanja jednaka je geometrijskom zbroju brzina svih gibanja u kojima sudjeluje materijalna točka (ova se odredba naziva zakon zbrajanja brzina).

Kada se točka pomiče, trenutna brzina može se promijeniti i po veličini i po smjeru. Ubrzanje karakterizira brzinu promjene modula i smjera vektora brzine, tj. promjena veličine vektora brzine po jedinici vremena.

Vektor srednje akceleracije . Omjer povećanja brzine i vremenskog intervala tijekom kojeg se to povećanje dogodilo izražava prosječno ubrzanje:

Vektor srednje akceleracije podudara se po smjeru s vektorom .

Ubrzanje, odnosno trenutno ubrzanje jednak je granici prosječnog ubrzanja kada vremenski interval teži nuli:

U projekcijama na odgovarajuće koordinate osi:

Kod pravocrtnog gibanja vektori brzine i ubrzanja podudaraju se sa smjerom putanje. Razmotrimo gibanje materijalne točke duž krivocrtne ravninske putanje. Vektor brzine u bilo kojoj točki putanje usmjeren je tangencijalno na nju. Pretpostavimo da je u t.M putanje brzina bila , a u t.M 1 postala . Istodobno, smatramo da je vremenski interval tijekom prijelaza točke na putu od M do M 1 toliko malen da se promjena akceleracije u veličini i smjeru može zanemariti. Da bismo pronašli vektor promjene brzine potrebno je odrediti razliku vektora:

Da bismo to učinili, pomičemo ga paralelno sa samim sobom, poravnavajući njegov početak s točkom M. Razlika dvaju vektora jednaka je vektoru koji povezuje njihove krajeve jednak je strani AC MAC, izgrađenoj na vektorima brzine, kao na strane. Vektor rastavljamo na dvije komponente AB i AD, a obje redom kroz i . Dakle, vektor promjene brzine jednak je vektorskom zbroju dva vektora:

Dakle, ubrzanje materijalne točke može se prikazati kao vektorski zbroj normalnih i tangencijalnih ubrzanja te točke

Po definiciji:

gdje - brzina tla duž putanje, koja se podudara s apsolutnom vrijednošću trenutne brzine u određenom trenutku. Vektor tangencijalne akceleracije usmjeren je tangencijalno na putanju tijela.