Znakovi paralelnosti dvaju pravaca

Teorem 1. Ako je u sjecištu dviju linija sekante:

dijagonalno ležeći kutovi su jednaki, odn

odgovarajući kutovi su jednaki, odn

zbroj jednostraničkih kutova je 180°, tada

linije su paralelne(Sl. 1).

Dokaz. Ograničavamo se na dokaz slučaja 1.

Pretpostavimo da su u sjecištu pravaca a i b sa sekantom AB preko ležećih kutova jednaki. Na primjer, ∠ 4 = ∠ 6. Dokažimo da je a || b.

Pretpostavimo da pravci a i b nisu paralelni. Tada se oni sijeku u nekoj točki M i, prema tome, jedan od kutova 4 ili 6 bit će vanjski kut trokuta ABM. Neka je, radi određenosti, ∠ 4 vanjski kut trokuta ABM, a ∠ 6 unutarnji. Iz teorema o vanjskom kutu trokuta proizlazi da je ∠ 4 veći od ∠ 6, a to je u suprotnosti s uvjetom, što znači da se pravci a i 6 ne mogu sijeći, dakle paralelni su.

Korolar 1. Dva različita pravca u ravnini okomitoj na isti pravac su paralelna(slika 2).

Komentar. Način na koji smo upravo dokazali slučaj 1 teorema 1 nazivamo metodom dokazivanja kontradikcijom ili svođenjem na apsurd. Ova metoda je dobila svoj prvi naziv jer se na početku obrazloženja postavlja pretpostavka koja je suprotna (suprotna) od onoga što se želi dokazati. Naziva se svođenjem na apsurd zbog činjenice da, raspravljajući na temelju postavljene pretpostavke, dolazimo do apsurdnog zaključka (apsurda). Primanje takvog zaključka prisiljava nas da odbacimo pretpostavku iznesenu na početku i prihvatimo onu koju je trebalo dokazati.

Zadatak 1. Konstruirajte pravac koji prolazi kroz zadanu točku M i paralelan je sa zadanim pravcem a, a ne prolazi kroz točku M.

Riješenje. Kroz točku M povučemo pravac p okomito na pravac a (slika 3).

Zatim kroz točku M povučemo pravac b okomit na pravac p. Pravac b je paralelan s pravcem a prema korolariji iz teorema 1.

Iz razmatranog problema proizlazi važan zaključak:
Kroz točku koja nije na zadanom pravcu uvijek se može povući pravac paralelan sa zadanim pravcem..

Glavno svojstvo paralelnih pravaca je sljedeće.

Aksiom paralelnih pravaca. Kroz zadanu točku koja nije na zadanom pravcu, postoji samo jedan pravac paralelan zadanom pravcu.

Razmotrimo neka svojstva paralelnih pravaca koja slijede iz ovog aksioma.

1) Ako pravac siječe jedan od dva paralelna pravca, onda siječe i drugi (sl. 4).

2) Ako su dva različita pravca paralelna s trećim pravcem, tada su paralelna (sl. 5).

Sljedeći teorem je također istinit.

Teorem 2. Ako dva paralelna pravca siječe sekanta, tada je:

ležeći kutovi su jednaki;

odgovarajući kutovi su jednaki;

zbroj jednostraničkih kutova je 180°.

Posljedica 2. Ako je pravac okomit na jedan od dva paralelna pravca, onda je okomit i na drugi.(vidi sliku 2).

Komentar. Teorem 2 naziva se inverzijom teorema 1. Zaključak teorema 1 je uvjet teorema 2. A uvjet teorema 1 je zaključak teorema 2. Nema svaki teorem inverziju, tj. ako je dati teorem istinit, tada inverzni teorem može biti netočan.

Objasnimo to na primjeru teorema o okomitim kutovima. Ovaj se teorem može formulirati na sljedeći način: ako su dva kuta okomita, onda su jednaka. Obrnuti teorem bi bio sljedeći: ako su dva kuta jednaka, onda su okomita. A to, naravno, nije točno. Dva jednaka kuta uopće ne moraju biti okomita.

Primjer 1 Dvije paralelne crte sijeku treća. Poznato je da je razlika dva unutarnja jednakostrana kuta 30°. Pronađite te kutove.

Riješenje. Neka slika 6 ispunjava uvjet.

POGLAVLJE III.
PARALELNE LINIJE

§ 35. ZNAKOVI USPOREDNOSTI DVIJE IZRAVNE CRTE.

Teorem da su dvije okomice na jedan pravac paralelne (§ 33) daje znak da su dva pravca paralelna. Moguće je izvesti općenitije znakove paralelnosti dviju pravaca.

1. Prvi znak paralelizma.

Ako su u sjecištu dvaju pravaca s trećim unutarnji kutovi koji leže poprijeko jednaki, tada su ti pravci paralelni.

Neka pravci AB i CD sijeku pravac EF i / 1 = / 2. Uzmite točku O - sredinu segmenta KL sekante EF (slika 189).

Spustimo okomicu OM iz točke O na pravac AB i nastavimo je dok ne presječe pravac CD, AB_|_MN. Dokažimo da je CD_|_MN.
Da biste to učinili, razmotrite dva trokuta: MOE i NOK. Ovi su trokuti međusobno jednaki. Doista: / 1 = / 2 prema uvjetu teorema; OK = OL - po konstrukciji;
/ MOL = / NOK kao okomiti kutovi. Dakle, stranica i dva kuta uz nju jednog trokuta jednaki su stranici i dva kuta uz nju drugog trokuta; Posljedično, /\ MOL = /\ NOK, i stoga
/ LMO = / no ali / LMO je izravan, dakle, i / KNO je također izravan. Dakle, pravci AB i CD okomiti su na isti pravac MN, dakle paralelni su (§ 33), što je trebalo dokazati.

Bilješka. Sjecište pravaca MO i CD može se ustanoviti zakretanjem trokuta MOL oko točke O za 180°.

2. Drugi znak paralelizma.

Pogledajmo jesu li pravci AB i CD paralelni ako su im u sjecištu trećeg pravca EF pripadni kutovi jednaki.

Neka su, na primjer, neki odgovarajući kutovi jednaki / 3 = / 2 (dev. 190);
/ 3 = / 1, jer su kutovi okomiti; sredstva, / 2 će biti jednako / 1. Ali kutovi 2 i 1 su unutarnji poprečni kutovi, a već znamo da ako su u sjecištu dviju ravnih crta s trećom unutarnji poprečno ležeći kutovi jednaki, onda su ti pravci paralelni. Prema tome, AB || CD.

Ako su u sjecištu dvaju pravaca trećeg odgovarajući kutovi jednaki, tada su ta dva pravca paralelna.

Na tom se svojstvu temelji konstrukcija paralelnih pravaca uz pomoć ravnala i crtaćeg trokuta. To se radi na sljedeći način.

Pričvrstimo trokut na ravnalo kao što je prikazano na crtežu 191. Pomaknut ćemo trokut tako da mu jedna stranica klizi po ravnalu i povući nekoliko ravnih linija duž bilo koje druge stranice trokuta. Ove će linije biti paralelne.

3. Treći znak paralelizma.

Znajmo da je u sjecištu dvaju pravaca AB i CD s trećim pravcem zbroj svih unutarnjih jednostraničkih kutova jednak 2. d(ili 180°). Hoće li u tom slučaju pravci AB i CD biti paralelni (slika 192).

Neka / 1 i / 2 unutarnja jednostrana kuta i zbrojite do 2 d.
Ali / 3 + / 2 = 2d kao susjedni uglovi. Posljedično, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Odavde / 1 = / 3, a ovi uglovi iznutra leže poprečno. Prema tome, AB || CD.

Ako je u sjecištu dvaju pravaca s trećim zbroj unutarnjih jednostraničkih kutova jednak 2 d, tada su dvije crte paralelne.

Vježba.

Dokaži da su pravci paralelni:
a) ako su vanjski poprečni kutovi jednaki (slika 193);
b) ako je zbroj vanjskih jednostranih kutova 2 d(vrag 194).

Ovo poglavlje je posvećeno proučavanju paralelnih pravaca. Ovo je naziv za dvije ravne crte u ravnini koje se ne sijeku. U okruženju vidimo segmente paralelnih linija - to su dva ruba pravokutnog stola, dva ruba korica knjige, dvije trolejbuske trake itd. Paralelne linije imaju vrlo važnu ulogu u geometriji. U ovom poglavlju naučit ćete što su aksiomi geometrije i od čega se sastoji aksiom paralelnih pravaca - jedan od najpoznatijih aksioma geometrije.

U 1. odjeljku primijetili smo da dva pravca ili imaju jednu zajedničku točku, odnosno da se sijeku, ili nemaju niti jednu zajedničku točku, odnosno da se ne sijeku.

Definicija

Paralelnost pravaca a i b označava se ovako: a || b.

Slika 98 prikazuje pravce a i b okomite na pravac c. U 12. poglavlju smo utvrdili da se takvi pravci a i b ne sijeku, odnosno da su paralelni.

Riža. 98

Uz paralelne pravce često se razmatraju i paralelni segmenti. Dva se segmenta nazivaju paralelno ako leže na paralelnim pravcima. Na slici 99, a dužice AB i CD su paralelne (AB || CD), a dužice MN i CD nisu paralelne. Slično se određuje paralelnost segmenta i pravca (slika 99, b), zraka i pravca, segmenta i zraka, dvije zrake (sl. 99, c).

Riža. 99 Znakovi paralelnosti dvaju pravaca

Izravno sa se zove sječna u odnosu na pravce a i b, ako ih siječe u dvjema točkama (slika 100). U sjecištu pravaca a i b sekanta c tvori osam kutova koji su na slici 100 označeni brojevima. Neki parovi ovih kutova imaju posebna imena:

unakrsni uglovi: 3 i 5, 4 i 6;
jednostrani kutovi: 4 i 5, 3 i 6;
odgovarajući kutovi: 1 i 5, 4 i 8, 2 i 6, 3 i 7.

Riža. 100

Razmotrite tri znaka paralelnosti dviju linija povezanih s tim parovima kutova.

Teorema

Dokaz

Pretpostavimo da su u sjecištu pravaca a i b sa sekantom AB kutovi jednaki: ∠1 = ∠2 (slika 101, a).

Dokažimo da je a || b. Ako su kutovi 1 i 2 pravi (slika 101, b), tada su pravci a i b okomiti na pravac AB i, prema tome, paralelni.

Riža. 101

Razmotrimo slučaj kada kutovi 1 i 2 nisu pravi.

Iz sredine O segmenta AB povucite okomitu OH na ravnu liniju a (slika 101, c). Na liniji b od točke B odvajamo segment VH 1, jednak segmentu AH, kao što je prikazano na slici 101, c, i nacrtamo segment OH 1. Trokuti ONA i OH 1 V jednaki su po dvjema stranicama i kutu između njih (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2), stoga je ∠3 = ∠4 i ∠5 = ∠6. Iz jednakosti ∠3 = ∠4 proizlazi da točka H 1 leži na nastavku poluprave OH, tj. točke H, O i H 1 leže na istoj ravnici, a iz jednakosti ∠5 = ∠6 to je slijedi da je kut 6 pravac (jer je kut 5 pravi kut). Dakle, pravci a i b su okomiti na pravac HH 1, pa su paralelni. Teorem je dokazan.

Teorema

Dokaz

Neka su u sjecištu pravaca a i b sekante s pripadajućim kutovima jednake, na primjer ∠1 = ∠2 (slika 102).

Riža. 102

Kako su kutovi 2 i 3 okomiti, onda je ∠2 = ∠3. Ove dvije jednakosti impliciraju da je ∠1 = ∠3. Ali kutovi 1 i 3 su poprečni, pa su pravci a i b paralelni. Teorem je dokazan.

Teorema

Dokaz

Neka u sjecištu pravaca a i b sekanta sa zbrojem jednostraničkih kutova bude 180°, na primjer ∠1 + ∠4 = 180° (vidi sliku 102).

Kako su kutovi 3 i 4 susjedni, tada je ∠3 + ∠4 = 180°. Iz ovih dviju jednakosti slijedi da su poprečni kutovi 1 i 3 jednaki, pa su pravci a i b paralelni. Teorem je dokazan.

Praktični načini crtanja paralelnih linija

Znakovi paralelnih pravaca temelj su načina konstruiranja paralelnih pravaca uz pomoć raznih alata koji se koriste u praksi. Razmotrimo, na primjer, metodu za konstruiranje paralelnih linija pomoću kvadrata za crtanje i ravnala. Da bismo izgradili pravac koji prolazi kroz točku M i paralelan je sa zadanim pravcem a, na pravac a nanesemo kvadrat za crtanje, a na njega ravnalo kao što je prikazano na slici 103. Zatim, pomičući kvadrat po ravnalu, osigurat će da je točka M na stranici kvadrata i nacrtati liniju b. Pravci a i b su paralelni jer su im pripadni kutovi, koji su na slici 103 označeni slovima α i β, jednaki.

Riža. 103 Slika 104 prikazuje metodu konstruiranja paralelnih pravaca pomoću T-kvadrata. Ova metoda se koristi u praksi crtanja.

Riža. 104 Sličan način se koristi i kod izvođenja tesarskih radova, gdje se kosinom označavaju paralelne linije (dvije drvene daske pričvršćene šarkom, sl. 105).

Riža. 105

Zadaci

186. Na slici 106 prave a i b siječe pravac c. Dokažite da je || b ako:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, a kut 7 je tri puta veći od kuta 3.

Riža. 106

187. Prema slici 107 dokažite da je AB || D.E.

Riža. 107

188. Dužci AB i CD sijeku se u zajedničkoj sredini. Dokažite da su pravci AC i BD paralelni.

189. Pomoću podataka sa slike 108 dokažite da je BC || OGLAS.

Riža. 108

190. Na slici 109 AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Dokažite da je DE || KAO.

Riža. 109

191. Isječak VK je simetrala trokuta ABC. Kroz točku K povučena je pravac koja siječe stranicu BC u točki M tako da je BM = MK. Dokažite da su pravci KM i AB paralelni.

192. U trokutu ABC kut A iznosi 40°, a kut ALL uz kut ACB 80°. Dokažite da je simetrala kuta ALL paralelna s pravcem AB.

193. U trokutu ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Kroz vrh B povučen je pravac BD tako da je poluprava BC simetrala kuta ABD. Dokažite da su pravci AC i BD paralelni.

194. Nacrtaj trokut. Kroz svaki vrh tog trokuta, pomoću crtaćeg kvadrata i ravnala, povucite ravnu crtu paralelnu sa suprotnom stranicom.

195. Nacrtaj trokut ABC i na stranici AC označi točku D. Kroz točku D pomoću crtaćeg kutnika i ravnala povucite ravne crte paralelne s druge dvije stranice trokuta.

Ovo poglavlje je posvećeno proučavanju paralelnih pravaca. Ovo je naziv za dvije ravne crte u ravnini koje se ne sijeku. U okruženju vidimo segmente paralelnih linija - to su dva ruba pravokutnog stola, dva ruba korica knjige, dvije trolejbuske trake itd. Paralelne linije imaju vrlo važnu ulogu u geometriji. U ovom poglavlju naučit ćete što su aksiomi geometrije i od čega se sastoji aksiom paralelnih pravaca - jedan od najpoznatijih aksioma geometrije.

U 1. odjeljku primijetili smo da dva pravca ili imaju jednu zajedničku točku, odnosno da se sijeku, ili nemaju niti jednu zajedničku točku, odnosno da se ne sijeku.

Definicija

Paralelnost pravaca a i b označava se ovako: a || b.

Slika 98 prikazuje pravce a i b okomite na pravac c. U 12. poglavlju smo utvrdili da se takvi pravci a i b ne sijeku, odnosno da su paralelni.

Riža. 98

Uz paralelne pravce često se razmatraju i paralelni segmenti. Dva se segmenta nazivaju paralelno ako leže na paralelnim pravcima. Na slici 99, a dužice AB i CD su paralelne (AB || CD), a dužice MN i CD nisu paralelne. Slično se određuje paralelnost segmenta i pravca (slika 99, b), zraka i pravca, segmenta i zraka, dvije zrake (sl. 99, c).

Riža. 99 Znakovi paralelnosti dvaju pravaca

Izravno sa se zove sječna u odnosu na pravce a i b, ako ih siječe u dvjema točkama (slika 100). U sjecištu pravaca a i b sekanta c tvori osam kutova koji su na slici 100 označeni brojevima. Neki parovi ovih kutova imaju posebna imena:

unakrsni uglovi: 3 i 5, 4 i 6;
jednostrani kutovi: 4 i 5, 3 i 6;
odgovarajući kutovi: 1 i 5, 4 i 8, 2 i 6, 3 i 7.

Riža. 100

Razmotrite tri znaka paralelnosti dviju linija povezanih s tim parovima kutova.

Teorema

Dokaz

Pretpostavimo da su u sjecištu pravaca a i b sa sekantom AB kutovi jednaki: ∠1 = ∠2 (slika 101, a).

Dokažimo da je a || b. Ako su kutovi 1 i 2 pravi (slika 101, b), tada su pravci a i b okomiti na pravac AB i, prema tome, paralelni.

Riža. 101

Razmotrimo slučaj kada kutovi 1 i 2 nisu pravi.

Iz sredine O segmenta AB povucite okomitu OH na ravnu liniju a (slika 101, c). Na liniji b od točke B odvajamo segment VH 1, jednak segmentu AH, kao što je prikazano na slici 101, c, i nacrtamo segment OH 1. Trokuti ONA i OH 1 V jednaki su po dvjema stranicama i kutu između njih (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2), stoga je ∠3 = ∠4 i ∠5 = ∠6. Iz jednakosti ∠3 = ∠4 proizlazi da točka H 1 leži na nastavku poluprave OH, tj. točke H, O i H 1 leže na istoj ravnici, a iz jednakosti ∠5 = ∠6 to je slijedi da je kut 6 pravac (jer je kut 5 pravi kut). Dakle, pravci a i b su okomiti na pravac HH 1, pa su paralelni. Teorem je dokazan.

Teorema

Dokaz

Neka su u sjecištu pravaca a i b sekante s pripadajućim kutovima jednake, na primjer ∠1 = ∠2 (slika 102).

Riža. 102

Kako su kutovi 2 i 3 okomiti, onda je ∠2 = ∠3. Ove dvije jednakosti impliciraju da je ∠1 = ∠3. Ali kutovi 1 i 3 su poprečni, pa su pravci a i b paralelni. Teorem je dokazan.

Teorema

Dokaz

Neka u sjecištu pravaca a i b sekanta sa zbrojem jednostraničkih kutova bude 180°, na primjer ∠1 + ∠4 = 180° (vidi sliku 102).

Kako su kutovi 3 i 4 susjedni, tada je ∠3 + ∠4 = 180°. Iz ovih dviju jednakosti slijedi da su poprečni kutovi 1 i 3 jednaki, pa su pravci a i b paralelni. Teorem je dokazan.

Praktični načini crtanja paralelnih linija

Znakovi paralelnih pravaca temelj su načina konstruiranja paralelnih pravaca uz pomoć raznih alata koji se koriste u praksi. Razmotrimo, na primjer, metodu za konstruiranje paralelnih linija pomoću kvadrata za crtanje i ravnala. Da bismo izgradili pravac koji prolazi kroz točku M i paralelan je sa zadanim pravcem a, na pravac a nanesemo kvadrat za crtanje, a na njega ravnalo kao što je prikazano na slici 103. Zatim, pomičući kvadrat po ravnalu, osigurat će da je točka M na stranici kvadrata i nacrtati liniju b. Pravci a i b su paralelni jer su im pripadni kutovi, koji su na slici 103 označeni slovima α i β, jednaki.

Riža. 103 Slika 104 prikazuje metodu konstruiranja paralelnih pravaca pomoću T-kvadrata. Ova metoda se koristi u praksi crtanja.

Riža. 104 Sličan način se koristi i kod izvođenja tesarskih radova, gdje se kosinom označavaju paralelne linije (dvije drvene daske pričvršćene šarkom, sl. 105).

Riža. 105

Zadaci

186. Na slici 106 prave a i b siječe pravac c. Dokažite da je || b ako:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, a kut 7 je tri puta veći od kuta 3.

Riža. 106

187. Prema slici 107 dokažite da je AB || D.E.

Riža. 107

188. Dužci AB i CD sijeku se u zajedničkoj sredini. Dokažite da su pravci AC i BD paralelni.

189. Pomoću podataka sa slike 108 dokažite da je BC || OGLAS.

Riža. 108

190. Na slici 109 AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Dokažite da je DE || KAO.

Riža. 109

191. Isječak VK je simetrala trokuta ABC. Kroz točku K povučena je pravac koja siječe stranicu BC u točki M tako da je BM = MK. Dokažite da su pravci KM i AB paralelni.

192. U trokutu ABC kut A iznosi 40°, a kut ALL uz kut ACB 80°. Dokažite da je simetrala kuta ALL paralelna s pravcem AB.

193. U trokutu ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Kroz vrh B povučen je pravac BD tako da je poluprava BC simetrala kuta ABD. Dokažite da su pravci AC i BD paralelni.

194. Nacrtaj trokut. Kroz svaki vrh tog trokuta, pomoću crtaćeg kvadrata i ravnala, povucite ravnu crtu paralelnu sa suprotnom stranicom.

195. Nacrtaj trokut ABC i na stranici AC označi točku D. Kroz točku D pomoću crtaćeg kutnika i ravnala povucite ravne crte paralelne s druge dvije stranice trokuta.

AB i IZD prekrižena trećom crtom MN, tada formirani kutovi u ovom slučaju dobivaju sljedeće nazive u parovima:

odgovarajući kutovi: 1 i 5, 4 i 8, 2 i 6, 3 i 7;

unutarnji poprečni kutovi: 3 i 5, 4 i 6;

vanjski poprečni uglovi: 1 i 7, 2 i 8;

unutarnji jednostrani kutovi: 3 i 6, 4 i 5;

vanjski jednostrani kutovi: 1 i 8, 2 i 7.

Dakle, ∠ 2 = ∠ 4 i ∠ 8 = ∠ 6, ali po dokazanom ∠ 4 = ∠ 6.

Stoga je ∠ 2 = ∠ 8.

3. Odgovarajući kutovi 2 i 6 su isti, jer je ∠ 2 = ∠ 4, a ∠ 4 = ∠ 6. Pazimo i da su ostali odgovarajući kutovi jednaki.

4. Iznos unutarnji jednostrani kutovi 3 i 6 će biti 2d jer zbroj susjedni uglovi 3 i 4 jednako je 2d = 180 0 , a ∠ 4 se može zamijeniti identičnim ∠ 6. Također provjerite da zbroj uglova 4 i 5 jednako je 2d.

5. Iznos vanjski jednostrani kutovi bit će 2d jer su ti kutovi jednaki unutarnji jednostrani kutovi poput kutova vertikalna.

Iz gore dokazanog opravdanja dobivamo inverzni teoremi.

Kada u sjecištu dviju linija proizvoljne treće linije dobijemo da je:

1. Unutarnji križni kutovi su isti;

ili 2. Vanjski poprečni kutovi su isti;

ili 3. Odgovarajući kutovi su isti;

ili 4. Zbroj unutarnjih jednostraničkih kutova jednak je 2d = 180 0 ;

ili 5. Zbroj vanjske jednostranosti je 2d = 180 0 ,

onda su prve dvije linije paralelne.