Još 1905. godine ruski su čitatelji mogli pročitati u Psihologiji Williama Jamesa njegovo razmišljanje o tome "zašto je natrpavanje tako loš način učenja?"

“Znanje stečeno pukim natrpavanjem gotovo se neizbježno potpuno zaboravlja bez traga. Naprotiv, mentalni materijal, akumuliran pamćenjem postupno, dan za danom, povezan s različitim kontekstima, asocijativno povezan s drugim vanjskim događajima i opetovano podvrgnut raspravi, tvori takav sustav, ulazi u takvu vezu s drugim aspektima našeg intelekta. , lako se obnavlja u sjećanju masom vanjskih razloga koji ostaju dugotrajna čvrsta stečevina.

Od tada je prošlo više od 100 godina, a ove riječi zapanjujuće ostaju aktualne. To vidite svaki dan kada radite sa školarcima. Masovni nedostaci u znanju su toliki da se može tvrditi da školski tečaj matematike u didaktičkom i psihološkom smislu nije sustav, već neka vrsta uređaja koji potiče kratkotrajno pamćenje i uopće ne mare za dugoročno pamćenje.

Poznavati školski tečaj matematike znači savladati gradivo svakog od područja matematike, biti u mogućnosti ažurirati bilo koje od njih u bilo kojem trenutku. Da biste to postigli, morate se sustavno baviti svakim od njih, što ponekad nije uvijek moguće zbog velikog opterećenja u lekciji.

Postoji još jedan način dugoročnog pamćenja činjenica i formula - to su referentni signali.

Trigonometrija je jedan od velikih dijelova školske matematike koji se proučava u predmetu geometrija u 8., 9. razredu i u predmetu algebra u 9. razredu, algebra i početak analize u 10. razredu.

Najveća količina gradiva koja se proučava u trigonometriji pada na 10. razred. Velik dio ovog trigonometrijskog materijala može se naučiti i zapamtiti trigonometrijski krug(krug jediničnog polumjera sa središtem u ishodištu pravokutni sustav koordinate). Aplikacija1.ppt

Ovo su sljedeći koncepti trigonometrije:

• definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa kuta;
• radijansko mjerenje kutova;
• domena definicije i raspon trigonometrijskih funkcija
• vrijednosti trigonometrijskih funkcija za neke vrijednosti numeričkog i kutnog argumenta;
• periodičnost trigonometrijskih funkcija;
• parne i neparne trigonometrijske funkcije;
• porast i pad trigonometrijskih funkcija;
• redukcijske formule;
• vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija;
• rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi;
• rješavanje najjednostavnijih nejednadžbi;
• osnovne formule trigonometrije.

Razmotrite proučavanje ovih koncepata na trigonometrijskom krugu.

1) Definicija sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa.

Nakon uvođenja pojma trigonometrijske kružnice (kružnice jediničnog polumjera sa središtem u ishodištu), početnog polumjera (polumjera kružnice u smjeru osi Ox), zakretnog kuta, učenici samostalno dobivaju definicije za sinus, kosinus. , tangens i kotangens na trigonometrijskoj kružnici, koristeći definicije iz geometrije tečaja, odnosno razmatrajući pravokutni trokut s hipotenuzom jednakom 1.

Kosinus kuta je apscisa točke na kružnici kada se početni radijus zakrene za zadani kut.

Sinus kuta je ordinata točke na kružnici kada se početni radijus zakrene za zadani kut.

2) Radijansko mjerenje kutova na trigonometrijskom krugu.

Nakon uvođenja radijanske mjere kuta (1 radijan je središnji kut koji odgovara duljini luka koja je jednaka polumjeru kruga), učenici zaključuju da je radijanska mjera kuta brojčana vrijednost kuta zakretanja na kružnici. , jednaka duljini odgovarajućeg luka kada se početni radijus zakrene za zadani kut. .

Trigonometrijska kružnica podijeljena je promjerima kružnice na 12 jednakih dijelova. Znajući da je kut radijan, možemo odrediti mjerenje radijana za kutove koji su višekratnici .

Radijanska mjerenja kutova koji su višekratnici dobivaju se na sličan način:

3) Područje definiranja i područje vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Hoće li podudarnost kutova rotacije i vrijednosti koordinata točke na kružnici biti funkcija?

Svaki kut rotacije odgovara jednoj točki na kružnici, tako da je ta korespondencija funkcija.

Dobivanje funkcija

Na trigonometrijskom krugu se vidi da je domena definiranja funkcija skup svih realnih brojeva, a domena vrijednosti .

Uvedimo pojmove pravaca tangenti i kotangenata na trigonometrijskoj kružnici.

1) Neka Uvodimo pomoćnu ravnu liniju paralelnu s osi Oy, na kojoj se određuju tangente za bilo koji numerički argument.

2) Na sličan način dobivamo pravac kotangenata. Neka je y=1, tada . To znači da su vrijednosti kotangensa određene na ravnoj liniji paralelnoj s osi Ox.

Na trigonometrijskoj kružnici lako se može odrediti domena definicije i raspon vrijednosti trigonometrijskih funkcija:

za tangentu -

za kotangens -

4) Vrijednosti trigonometrijskih funkcija na trigonometrijskom krugu.

Krak nasuprot kutu na polovici hipotenuze, odnosno drugi krak prema Pitagorinom teoremu:

Prema definiciji sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa, možete odrediti vrijednosti za kutove koji su višekratnici ili radijani. Vrijednosti sinusa određuju se duž osi Oy, vrijednosti kosinusa duž osi Ox, a vrijednosti tangensa i kotangensa mogu se odrediti iz dodatnih osi paralelnih s osi Oy, odnosno Ox.

Tablične vrijednosti sinusa i kosinusa nalaze se na odgovarajućim osima kako slijedi:

Tablične vrijednosti tangensa i kotangensa -

5) Periodičnost trigonometrijskih funkcija.

Na trigonometrijskoj kružnici se vidi da se vrijednosti sinusa, kosinusa ponavljaju svaki radijan, a tangens i kotangens - svaki radijan.

6) Parne i neparne trigonometrijske funkcije.

Ovo se svojstvo može dobiti usporedbom vrijednosti pozitivnih i suprotnih kutova rotacije trigonometrijskih funkcija. Shvaćamo to

Dakle, kosinus je ravnomjerna funkcija, sve ostale funkcije su neparne.

7) Rastuće i padajuće trigonometrijske funkcije.

Trigonometrijska kružnica pokazuje da funkcija sinusa raste i opadajući

Raspravljajući na sličan način, dobivamo intervale porasta i opadanja funkcija kosinus, tangens i kotangens.

8) Formule redukcije.

Za kut uzimamo manju vrijednost kuta na trigonometrijskoj kružnici. Sve formule dobivene su usporedbom vrijednosti trigonometrijskih funkcija na katetama odabranih pravokutnih trokuta.

Algoritam za primjenu redukcijskih formula:

1) Odredite predznak funkcije pri rotaciji za zadani kut.

Prilikom skretanja za ugao funkcija je sačuvana, kod skretanja za kut - cijeli broj, neparan broj, dobiva se kofunkcija (

9) Vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija.

Inverzne funkcije za trigonometrijske funkcije uvodimo pomoću definicije funkcije.

Svaka vrijednost sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa na trigonometrijskoj kružnici odgovara samo jednoj vrijednosti kuta zakreta. Dakle, za funkciju, domena definicije je , domena vrijednosti je - Za funkciju, domena definicije je , domena vrijednosti je . Slično, dobivamo domenu definicije i raspon inverznih funkcija za kosinus i kotangens.

Algoritam za pronalaženje vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija:

1) pronalaženje na odgovarajućoj osi vrijednosti argumenta inverzne trigonometrijske funkcije;

2) pronalaženje kuta rotacije početnog radijusa, uzimajući u obzir raspon vrijednosti inverzne trigonometrijske funkcije.

Na primjer:

10) Rješenje najjednostavnijih jednadžbi na trigonometrijskoj kružnici.

Za rješavanje jednadžbe oblika , nalazimo točke na kružnici čije su ordinate jednake i zapisujemo odgovarajuće kutove, uzimajući u obzir period funkcije.

Za jednadžbu pronađemo točke na kružnici čije su apscise jednake i zapišemo odgovarajuće kutove, vodeći računa o periodi funkcije.

Slično za jednadžbe oblika Vrijednosti se određuju na linijama tangensa i kotangenata i bilježe se odgovarajući kutovi rotacije.

Sve pojmove i formule trigonometrije učenici usvajaju sami pod jasnim vodstvom nastavnika uz pomoć trigonometrijske kružnice. U budućnosti, ovaj "krug" će im služiti kao referentni signal ili vanjski faktor za reprodukciju u memoriji koncepata i formula trigonometrije.

Proučavanje trigonometrije na trigonometrijskom krugu doprinosi:

• odabir stila komunikacije koji je optimalan za ovaj sat, organiziranje obrazovne suradnje;
• ciljevi lekcije postaju osobno značajni za svakog učenika;
• novi materijal na temelju osobno iskustvo postupci, mišljenje, osjećaji učenika;
• lekcija uključuje razne forme rad i metode stjecanja i usvajanja znanja; postoje elementi međusobnog i samoučenja; samokontrola i međusobna kontrola;
• javlja se brza reakcija o nesporazumu i pogrešci (zajednička diskusija, podrška-naputci, međusobne konzultacije).

Natrag naprijed

Pažnja! Pregled slajdova je samo u informativne svrhe i možda ne predstavlja puni opseg prezentacije. Ako si zainteresiran ovaj posao preuzmite punu verziju.

1. Uvod.

Približavajući se školi, čujem glasove momaka iz dvorane, idem dalje - oni pjevaju, crtaju... emocije, osjećaji su posvuda. Moj ured, sat algebre, učenici desetog razreda. Evo našeg udžbenika, u kojem tečaj trigonometrije zauzima polovicu volumena, au njemu su dvije oznake - to su mjesta na kojima sam pronašao riječi koje nisu vezane uz teoriju trigonometrije.

Među rijetkima su učenici koji vole matematiku, osjećaju njenu ljepotu i ne pitaju se zašto je potrebno učiti trigonometriju, gdje se naučeno gradivo primjenjuje? Najviše je onih koji samo izvršavaju zadatke kako ne bi dobili lošu ocjenu. A čvrsto smo uvjereni da je primijenjena vrijednost matematike stjecanje znanja dovoljnog za uspjeh položivši ispit i prijem na sveučilište (ući i zaboraviti).

Glavna svrha predstavljene lekcije je pokazati primijenjenu vrijednost trigonometrije u razna polja ljudske aktivnosti. Navedeni primjeri pomoći će učenicima da uvide povezanost ovog dijela matematike s drugim predmetima koji se uče u školi. Sadržaj ove lekcije je element stručne pripreme učenika.

Reći nešto novo o naizgled davno poznatoj činjenici. Pokažite logičnu vezu između onoga što već znamo i onoga što tek treba proučiti. Otvorite malo vrata i pogledajte dalje školski plan i program. Neobični zadaci, povezanost sa zbivanjima današnjice - to su tehnike koje koristim za postizanje svojih ciljeva. Uostalom, školska matematika kao predmet ne doprinosi toliko učenju koliko razvoju pojedinca, njegova mišljenja, kulture.

2. Sažetak lekcije o algebri i počecima analize (10. razred).

Vrijeme organiziranja:Šest stolova rasporediti u polukrug (model kutomjera), na stolovima nastavne listiće za učenike (Prilog 1).

Najava teme lekcije: "Trigonometrija je jednostavna i jasna."

Tijekom algebre i početka analize počinjemo proučavati trigonometriju, želio bih govoriti o primijenjenom značaju ovog dijela matematike.

Teza lekcije:

“sjajna knjiga prirodu mogu čitati samo oni koji znaju jezik na kojem je napisana, a taj jezik je matematika.”
(G. Galileo).

Na kraju sata ćemo zajedno razmisliti jesmo li uspjeli zaviriti u ovu knjigu i razumjeti jezik na kojem je napisana.

Trigonometrija oštrog kuta.

Trigonometrija je grčka riječ i znači "mjerenje trokuta". Pojava trigonometrije povezana je s mjerenjima na zemlji, građevinarstvom i astronomijom. A prvo upoznavanje s njom dogodilo se kad ste uzeli u ruke kutomjer. Jeste li obratili pozornost na to kako stoje stolovi? Procijenite u svom umu: ako uzmete jednu tablicu za tetivu, koja je onda mjera stupnja luka koji ona spaja?

Podsjetimo se mjere kutova: 1 ° = 1/360 dio kruga ("stupanj" - od latinskog grada - korak). Znate li zašto je kružnica podijeljena na 360 dijelova, zašto nije podijeljena na 10, 100 ili 1000 dijelova, kao što se događa, na primjer, pri mjerenju duljina? Ispričat ću vam jednu od verzija.

Ranije se vjerovalo da je Zemlja središte svemira i da je nepomična, a Sunce dnevno napravi jednu revoluciju oko Zemlje, geocentrični sustav svijeta, "geo" - Zemlja ( Crtež br. 1). Babilonski svećenici, koji su vršili astronomska promatranja, otkrili su da na dan ekvinocija, od izlaska do zalaska sunca, Sunce opisuje polukrug na nebeskom svodu, u koji se prividni dijametar (promjer) Sunca uklapa točno 180 puta, 1 ° - trag sunca. ( Slika br. 2).

Dugo je vremena trigonometrija bila čisto geometrijske prirode. U nastavku nastavljate upoznavanje s trigonometrijom rješavanjem pravokutnih trokuta. Naučili ste da je sinus oštrog kuta pravokutnog trokuta omjer suprotnog kraka i hipotenuze, kosinus je omjer susjednog kraka i hipotenuze, tangens je omjer suprotnog kraka i susjednog kraka. , a kotangens je omjer susjednog kraka i suprotnog. I zapamtite to u pravokutni trokut, koji ima zadani kut, omjer stranica ne ovisi o veličini trokuta. Upoznati sinusni i kosinusni teorem za rješavanje proizvoljnih trokuta.

Godine 2010. moskovski metro proslavio je 75. godišnjicu postojanja. Svaki dan idemo u podzemnu željeznicu i ne primjećujemo da ...

Zadatak broj 1. Kut nagiba svih pokretnih stepenica u moskovskom metrou je 30 stupnjeva. Znajući ovo, broj svjetiljki na pokretnim stepenicama i približnu udaljenost između svjetiljki, možete izračunati približnu dubinu stanice. Na pokretnim stepenicama stanice Tsvetnoy Bulvar ima 15 lampi, a na stanici Prazhskaya 2 lampe. Izračunajte dubinu ovih stanica ako su udaljenosti između svjetiljki, od ulaza u pokretne stepenice do prve svjetiljke i od zadnje svjetiljke do izlaza iz pokretnih stepenica 6 m ( Crtež br. 3). Odgovor: 48 m i 9 m

Domaća zadaća. Najdublja stanica moskovskog metroa je Park Pobedy. Kolika je njegova dubina? Predlažem da samostalno pronađete podatke koji nedostaju za rješavanje domaće zadaće.

U rukama imam laserski pokazivač, on je ujedno i daljinomjer. Izmjerimo, na primjer, udaljenost do ploče.

Kineski dizajner Huan Qiaokong smislio je spojiti dva laserska daljinomjera, kutomjer u jedan uređaj i dobio alat koji vam omogućuje određivanje udaljenosti između dvije točke na ravnini ( Crtež br. 4). Što mislite, uz pomoć kojeg teorema je riješen ovaj problem? Prisjetite se formulacije kosinusnog teorema. Slažete li se sa mnom da je vaše znanje već dovoljno da napravite takav izum? Rješavajte zadatke iz geometrije i dolazite do malih otkrića svaki dan!

Sferna trigonometrija.

Uz ravninsku geometriju Euklida (planimetrija), mogu postojati i druge geometrije u kojima se svojstva figura ne razmatraju na ravnini, već na drugim površinama, na primjer, na površini lopte ( Crtež br. 5). Prvi matematičar koji je postavio temelje za razvoj neeuklidske geometrije bio je N.I. Lobačevski - "Kopernik geometrije". Od 1827. 19 godina bio je rektor Kazanskog sveučilišta.

Sferna trigonometrija, koja je dio sferne geometrije, razmatra odnose između stranica i kutova trokuta na sferi koju tvore lukovi velikih kružnica na sferi ( Crtež br. 6).

Povijesno gledano, sferna trigonometrija i geometrija nastale su iz potreba astronomije, geodezije, navigacije i kartografije. Razmotrite koji od ovih smjerova posljednjih godina dobio je tako brz razvoj da se njegov rezultat već koristi u modernim komunikatorima. ... Moderna primjena navigacije je satelitski navigacijski sustav koji vam omogućuje određivanje lokacije i brzine objekta na temelju signala njegovog prijemnika.

Globalni navigacijski sustav (GPS). Za određivanje geografske širine i dužine prijemnika potrebno je primati signale s najmanje tri satelita. Prijem signala s četvrtog satelita također omogućuje određivanje visine objekta iznad površine ( Crtež br. 7).

Prijemno računalo rješava četiri jednadžbe s četiri nepoznanice dok se ne pronađe rješenje koje povlači sve kružnice kroz jednu točku ( Crtež br. 8).

Pokazalo se da su znanja iz trigonometrije šiljastog kuta nedostatna za rješavanje složenijih praktičnih problema. Pri proučavanju rotacijskih i kružnih gibanja vrijednost kuta i kružnog luka nije ograničena. Postojala je potreba prijelaza na trigonometriju generaliziranog argumenta.

Trigonometrija generaliziranog argumenta.

Krug ( Crtež br. 9). Pozitivni kutovi crtaju se u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a negativni kutovi crtaju se u smjeru kazaljke na satu. Jeste li upoznati s poviješću takvog sporazuma?

Kao što znate, mehanički i sunčani satovi su dizajnirani na način da im se kazaljke okreću “prema suncu”, tj. u istom smjeru u kojem vidimo prividno kretanje Sunca oko Zemlje. (Prisjetite se početka lekcije – geocentrični sustav svijeta). Ali Kopernikovim otkrićem pravog (pozitivnog) kretanja Zemlje oko Sunca, prividno (tj. prividno) kretanje Sunca oko Zemlje je fiktivno (negativno). Heliocentrični sustav svijeta (helio - Sunce) ( Crtež br. 10).

Zagrijati se.

1. Izvući desna ruka ispred sebe, paralelno s površinom stola i izvršite kružnu rotaciju od 720 stupnjeva.
2. Izvući lijeva ruka ispred sebe, paralelno s površinom stola i izvršite kružni okret za (-1080) stupnjeva.
3. Stavite ruke na ramena i napravite 4 kružna pokreta naprijed-natrag. Koliki je zbroj kutova zakreta?

Zima 2010 Olimpijske igre u Vancouveru ćemo rješavanjem problema saznati kriterije za ocjenjivanje vježbe klizača.

Zadatak broj 2. Ako klizač tijekom izvođenja vježbe na vijači napravi okret od 10.800 stupnjeva za 12 sekundi, tada dobiva ocjenu "odličan". Odredite koliko će okretaja klizač napraviti za to vrijeme i brzinu njegove rotacije (okretaja u sekundi). Odgovor: 2,5 okretaja / sek.

Domaća zadaća. Pod kojim kutom se okreće klizač, koji je dobio ocjenu "nezadovoljavajuće", ako je uz isto vrijeme rotacije njegova brzina bila 2 okretaja u sekundi.

Pokazalo se da je najprikladnija mjera za lukove i kutove povezane s rotacijskim kretnjama mjera radijan (radijus), kao veća mjerna jedinica kuta ili luka ( Crtež br. 11). Ova mjera mjerenja kuta ušla je u znanost kroz izvanredna djela Leonharda Eulera. Rođen je Švicarac, živio je u Rusiji 30 godina, bio je član Peterburške akademije znanosti. Njemu dugujemo "analitičku" interpretaciju cijele trigonometrije, on je izveo formule koje sada proučavate, uveo jednoobrazne znakove:. grijeh x, cos x, tg x.ctg x.

Ako se do 17. stoljeća razvoj učenja o trigonometrijskim funkcijama gradio na geometrijskoj osnovi, onda se od 17. stoljeća trigonometrijske funkcije počinju koristiti za rješavanje problema u mehanici, optici, elektricitetu, za opisivanje oscilatornih procesa, valova. razmnožavanje. Gdje god se radi o periodičkim procesima i oscilacijama, trigonometrijske funkcije našle su primjenu. Funkcije koje izražavaju zakone periodičnih procesa imaju posebno svojstvo svojstveno samo njima: ponavljaju svoje vrijednosti kroz isti interval promjene argumenta. Promjene bilo koje funkcije najjasnije se prenose na njezinom grafu ( Crtež br. 12).

Već smo se obratili našem tijelu za pomoć u rješavanju problema rotacije. Osluškujmo otkucaje svoga srca. Srce je samostalan organ. Mozak kontrolira svaki mišić u našem tijelu osim srca. Ona ima svoj kontrolni centar - sinusni čvor. Sa svakom kontrakcijom srca cijelim tijelom – počevši od sinusnog čvora (veličine zrna prosa) – širi se struja. Može se snimiti pomoću elektrokardiografa. Crta elektrokardiogram (sinusoidu) ( Crtež br. 13).

Razgovarajmo sada o glazbi. Matematika je glazba, ona je spoj uma i ljepote.
Glazba je matematika po izračunu, algebra po apstrakciji, trigonometrija po ljepoti. harmonijsko titranje(harmonijski) je sinusni val. Grafikon pokazuje kako se mijenja tlak zraka na bubnjiću slušatelja: gore-dolje u luku, periodički. Zrak gura jače, a zatim slabije. Sila udarca je vrlo mala, a oscilacije se događaju vrlo brzo: stotine i tisuće udaraca svake sekunde. Takve periodične vibracije opažamo kao zvuk. Dodavanjem dvaju različitih harmonika dobiva se složeniji valni oblik. Zbroj triju harmonika još je kompliciraniji, a prirodni zvukovi i zvukovi glazbenih instrumenata sastavljeni su od velikog broja harmonika. ( Crtež br.14.)

Svaki harmonik karakteriziraju tri parametra: amplituda, frekvencija i faza. Frekvencija osciliranja pokazuje koliko se udara tlaka zraka dogodi u jednoj sekundi. Visoke frekvencije percipiraju se kao "visoki", "tanki" zvukovi. Iznad 10 kHz - škripa, zvižduk. Male frekvencije percipiraju se kao "niski", "basovi" zvukovi, tutnjava. Amplituda je raspon osciliranja. Što je veći raspon, to je jači učinak na bubnjić i glasniji zvuk koje čujemo Crtež br. 15). Faza je pomak fluktuacija u vremenu. Faza se može mjeriti u stupnjevima ili radijanima. Ovisno o fazi, nulti broj se pomiče na grafikonu. Za određivanje harmonika dovoljno je odrediti fazu od -180 do +180 stupnjeva, budući da se oscilacija ponavlja pri velikim vrijednostima. Dva sinusoidalna signala s istom amplitudom i frekvencijom, ali različitim fazama dodaju se algebarski ( Crtež br. 16).

Sažetak lekcije. Mislite li da smo uspjeli pročitati nekoliko stranica iz Velike knjige prirode? Upoznavši primijenjeno značenje trigonometrije, jeste li razumjeli njezinu ulogu u raznim područjima ljudske djelatnosti, jeste li razumjeli izloženo gradivo? Zatim se prisjetite i nabrojite područja primjene trigonometrije s kojima ste se danas susreli ili znali prije. Nadam se da je svatko od vas pronašao nešto novo i zanimljivo za sebe u današnjoj lekciji. Možda će vam ovaj novi pokazati put odabira buduća profesija, ali bez obzira tko postanete, vaše matematičko obrazovanje pomoći će vam da postanete profesionalac u svom području i intelektualno razvijena osoba.

Domaća zadaća. Pročitajte nacrt lekcije

Jednom u školi, poseban tečaj je dodijeljen za proučavanje trigonometrije. Svjedodžbu su davale ocjene iz tri matematičke discipline: algebre, geometrije i trigonometrije.

Zatim, u sklopu reforme školsko obrazovanje trigonometrija je prestala postojati kao poseban predmet. NA moderna škola prvo upoznavanje s trigonometrijom događa se u tečaju geometrije 8. razreda. Dublje proučavanje predmeta nastavlja se u kolegiju algebre 10. razreda.

Definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa prvi put su dane u geometriji kroz odnos stranica pravokutnog trokuta.

Oštri kut u pravokutnom trokutu je omjer suprotne katete i hipotenuze.

kosinusšiljasti kut u pravokutnom trokutu je omjer susjedne katete i hipotenuze.

tangensšiljasti kut u pravokutnom trokutu je omjer suprotnog kraka i susjednog.

Kotangens Oštri kut u pravokutnom trokutu naziva se omjerom susjedne katete prema suprotnoj.

Ove se definicije odnose samo na oštre kutove (od 0º do 90°).

Na primjer,

u trokutu ABC, gdje je ∠C=90°, BC je krak nasuprot kutu A, AC je krak uz kut A, AB je hipotenuza.

U kolegiju algebre 10. razreda uvode se definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa za bilo koji kut (uključujući i negativne).

Promotrimo krug polumjera R sa središtem u ishodištu, točki O(0;0). Sjecište kružnice s pozitivnim smjerom x-osi označit ćemo s P 0 .

U geometriji se kutom smatra dio ravnine omeđen dvjema zrakama. S ovom definicijom, vrijednost kuta varira od 0° do 180°.

U trigonometriji se kut smatra rezultatom rotacije zrake OP 0 oko početne točke O.

Pritom su se složili da pozitivnim smjerom obilaznice smatraju rotaciju zrake u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a negativnim u smjeru kazaljke na satu (ovaj dogovor je povezan s pravim kretanjem Sunca oko Zemlje).

Na primjer, kada zraka OP 0 rotira oko točke O pod kutom α u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, točka P 0 će ići u točku P α ,

pri okretanju za kut α u smjeru kazaljke na satu - do točke F.

S ovom definicijom, kut može uzeti bilo koju vrijednost.

Ako gredu OP 0 nastavimo rotirati u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, pri okretanju za kut α°+360°, α°+360° 2,…,α°+360° n, gdje je n cijeli broj (n∈Ζ), opet dolazimo do točke P α:

Kutovi se mjere u stupnjevima i radijanima.

1° je kut jednak 1/180 stupnja mjere ravnog kuta.

1 radijan je središnji kut čija je duljina luka jednaka polumjeru kruga:

∠AOB=1 rad.

Oznaka radijana obično se ne piše. Oznaka stupnja u zapisniku ne smije se izostaviti.

Na primjer,

Točka P α , dobivena iz točke P 0 okretanjem grede OP 0 oko točke O za kut α u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ima koordinate P α (x;y).

Spustimo okomicu P α A iz točke P α na os x.

U pravokutnom trokutu OP α A:

P α A je krak nasuprot kutu α,

OA je krak uz kut α,

OP α je hipotenuza.

P α A=y, OA=x, OP α =R.

Po definiciji sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa u pravokutnom trokutu imamo:

Dakle, u slučaju kružnice sa središtem u ishodištu proizvoljnog radijusa sinus kut α je omjer ordinate točke P α i duljine polumjera.

kosinus kut α je omjer apscise točke P α i duljine polumjera.

tangens kut α je omjer ordinate točke P α i njezine apscise.

Kotangens kut α je omjer apscise točke P α i njene ordinate.

Vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa ovise samo o vrijednosti α i ne ovise o duljini polumjera R (ovo proizlazi iz sličnosti krugova).

Stoga je zgodno odabrati R=1.

Kružnica sa središtem u ishodištu i polumjerom R=1 naziva se jedinična kružnica.

Definicije

1) sinus kut α je ordinata točke P α (x; y) jedinične kružnice:

2) kosinus kut α naziva se apscisa točke P α (x; y) jedinične kružnice:

3) tangens kut α je omjer ordinate točke P α (x; y) i njezine apscise, odnosno omjer sin α i cos α (pri čemu je cos α≠ 0):

4) Kotangens kut α je omjer apscise točke P α (x; y) i njene ordinate, odnosno omjer cosα i sinα (gdje je sinα≠0):

Definicije uvedene na ovaj način omogućuju nam da razmotrimo ne samo trigonometrijske funkcije kutova, već i trigonometrijske funkcije numeričkih argumenata (ako sinα, cosα, tgα i ctgα smatramo odgovarajućim trigonometrijskim funkcijama kuta u α radijanima, to je, sinus broja α je sinus kuta u α radijanima, kosinus od α je kosinus kuta u α radijanima, itd.).

Svojstva trigonometrijskih funkcija proučavaju se u kolegiju algebre u 10. ili 11. razredu kao posebna tema. Trigonometrijske funkcije naširoko koristi u fizici.

Rubrika: |

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupiti i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i Nadolazeći događaji.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i komunikaciju.
• Također možemo koristiti osobne podatke u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• U slučaju da je potrebno – sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije – otkriti Vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno zbog sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo prakse privatnosti i sigurnosti te ih strogo provodimo.

U ovoj lekciji ćemo govoriti o tome kako se javlja potreba za uvođenjem trigonometrijskih funkcija i zašto se one proučavaju, što trebate razumjeti u ovoj temi, a gdje samo trebate popuniti ruku (što je tehnika). Imajte na umu da su tehnika i razumijevanje dvije različite stvari. Slažem se, postoji razlika: naučiti voziti bicikl, odnosno razumjeti kako se to radi, ili postati profesionalni biciklist. Razgovarat ćemo o razumijevanju, o tome zašto su nam potrebne trigonometrijske funkcije.

Postoje četiri trigonometrijske funkcije, ali sve se mogu izraziti u jednoj koristeći identitete (jednakosti koje ih povezuju).

Formalne definicije trigonometrijskih funkcija za šiljaste kutove u pravokutnom trokutu (slika 1).

sinus Oštri kut pravokutnog trokuta naziva se omjer suprotne katete i hipotenuze.

kosinus Oštri kut pravokutnog trokuta naziva se omjerom susjedne katete i hipotenuze.

tangens Oštri kut pravokutnog trokuta naziva se omjer suprotnog kraka i susjednog kraka.

Kotangens Oštri kut pravokutnog trokuta naziva se omjerom susjedne i suprotne krake.

Riža. 1. Definicija trigonometrijskih funkcija šiljastog kuta pravokutnog trokuta

Ove definicije su formalne. Ispravnije je reći da postoji samo jedna funkcija, na primjer, sinus. Da nisu toliko potrebni (ne tako često korišteni) u tehnici, ne bi bilo uvedeno toliko različitih trigonometrijskih funkcija.

Na primjer, kosinus kuta jednak je sinusu istog kuta s dodatkom (). Osim toga, kosinus kuta uvijek se može izraziti kroz sinus istog kuta, s točno predznakom, koristeći osnovnu trigonometrijski identitet(). Tangens kuta je omjer sinusa i kosinusa ili obrnutog kotangensa (slika 2). Neki uopće ne koriste kotangens, zamjenjujući ga s . Stoga je važno razumjeti i znati raditi s jednom trigonometrijskom funkcijom.

Riža. 2. Povezanost različitih trigonometrijskih funkcija

Ali zašto su vam uopće potrebne takve funkcije? Za koje se praktične probleme koriste? Pogledajmo nekoliko primjera.

Dvoje ljudi ( ALI i NA) gurnite auto iz lokve (slika 3). ljudski NA može gurnuti auto bočno, a malo je vjerojatno da će pomoći ALI. S druge strane, smjer njegovih nastojanja može se postupno mijenjati (slika 4).

Riža. 3. NA gura auto u stranu

Riža. četiri. NA počinje mijenjati smjer

Jasno je da će njihov trud biti najučinkovitiji kada automobil guraju u jednom smjeru (slika 5).

Riža. 5. Najučinkovitiji zajednički smjer napora

Koliko NA pomaže pri guranju stroja, sve dok je smjer njegove sile blizak smjeru sile kojom djeluje ALI, funkcija je kuta i izražava se preko njegovog kosinusa (slika 6).

Riža. 6. Kosinus kao karakteristika učinkovitosti napora NA

Ako pomnožimo veličinu sile kojom NA, na kosinus kuta, dobivamo projekciju njegove sile na smjer sile kojom djeluje ALI. Što je kut između smjerova sila bliži , rezultat će biti učinkovitiji. zajedničko djelovanje ALI i NA(slika 7). Guraju li automobil istom silom u suprotnim smjerovima, automobil će ostati na mjestu (slika 8).

Riža. 7. Učinkovitost zajedničkih napora ALI i NA

Riža. 8. Suprotan smjer sila ALI i NA

Važno je razumjeti zašto kut (njegov doprinos konačnom rezultatu) možemo zamijeniti kosinusom (ili drugom trigonometrijskom funkcijom kuta). Zapravo, to slijedi iz takvog svojstva sličnih trokuta. Budući da zapravo govorimo sljedeće: kut se može zamijeniti omjerom dva broja (kateta-hipotenuza ili kateta-kateta). To bi bilo nemoguće kada bi npr. za isti kut različitih pravokutnih trokuta ti omjeri bili različiti (slika 9).

Riža. 9. Jednaki omjeri stranica u sličnim trokutima

Na primjer, da su omjer i omjer različiti, tada ne bismo mogli uvesti funkciju tangensa, jer bi za isti kut u različitim pravokutnim trokutima tangens bio različit. Ali zbog činjenice da su omjeri duljina kraka sličnih pravokutnih trokuta isti, vrijednost funkcije neće ovisiti o trokutu, što znači da su oštri kut i vrijednosti njegove trigonometrije funkcije su jedan na jedan.

Pretpostavimo da znamo visinu nekog stabla (slika 10). Kako izmjeriti visinu obližnje zgrade?

Riža. 10. Ilustracija stanja primjera 2

Pronalazimo takvu točku da linija povučena kroz tu točku i vrh kuće prolazi kroz vrh stabla (slika 11).

Riža. 11. Ilustracija rješenja zadatka primjera 2

Možemo izmjeriti udaljenost od ove točke do stabla, udaljenost od nje do kuće i znamo visinu stabla. Iz omjera možete pronaći visinu kuće:.

Proporcija je omjer dvaju brojeva. NA ovaj slučaj jednakost omjera duljina kateta sličnih pravokutnih trokuta. Štoviše, ti su omjeri jednaki nekoj mjeri kuta, koja se izražava kroz trigonometrijsku funkciju (po definiciji, to je tangenta). Dobivamo da je za svaki šiljasti kut vrijednost njegove trigonometrijske funkcije jedinstvena. To jest, sinus, kosinus, tangens, kotangens su stvarno funkcije, budući da svaki oštri kut odgovara točno jednoj vrijednosti svake od njih. Stoga se mogu dalje istraživati ​​i koristiti njihova svojstva. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za sve kutove već su izračunate, mogu se koristiti (mogu se pronaći iz Bradisovih tablica ili pomoću bilo kojeg inženjerski kalkulator). Ali riješiti inverzni problem (na primjer, pomoću vrijednosti sinusa da vratimo mjeru kuta koji mu odgovara), ne možemo uvijek.

Neka je sinus nekog kuta jednak ili približno (slika 12). Koji će kut odgovarati ovoj vrijednosti sinusa? Naravno, opet možemo koristiti Bradisovu tablicu i pronaći neku vrijednost, ali pokazalo se da neće biti jedina (slika 13).

Riža. 12. Pronalaženje kuta prema vrijednosti njegovog sinusa

Riža. 13. Polivalentnost inverznih trigonometrijskih funkcija

Stoga kod vraćanja vrijednosti trigonometrijske funkcije kuta postoji polisemija inverznih trigonometrijskih funkcija. Možda se čini komplicirano, ali zapravo se sa sličnim situacijama susrećemo svaki dan.

Ako zastrjete prozore i ne znate je li vani svijetlo ili mračno, ili se nađete u špilji, tada je nakon buđenja teško reći je li sada sat dana, noći ili sljedeći dan (slika 14). Zapravo, ako nas pitate "Koliko je sati?", trebali bismo iskreno odgovoriti: "Sat plus pomnožimo s time"

Riža. 14. Prikaz polisemije na primjeru sata

Možemo zaključiti da - to je razdoblje (interval nakon kojeg će sat pokazivati ​​isto vrijeme kao sada). Trigonometrijske funkcije također imaju periode: sinus, kosinus itd. To jest, njihove se vrijednosti ponavljaju nakon neke promjene u argumentu.

Da na planetu nema izmjene dana i noći ili promjene godišnjih doba, tada ne bismo mogli koristiti periodično vrijeme. Uostalom, godine brojimo samo uzlazno, a dan ima i sate, a svaki novi dan broji se iznova. Ista je situacija s mjesecima: ako je sada siječanj, onda će za mjesec dana ponovo doći siječanj, i tako dalje. Vanjske referentne točke pomažu nam da koristimo periodično računanje vremena (sati, mjeseci), na primjer, rotacija Zemlje oko svoje osi i promjena položaja Sunca i Mjeseca na nebu. Kada bi Sunce uvijek visilo u istom položaju, tada bismo za izračunavanje vremena računali broj sekundi (minuta) od nastanka samog ovog izračuna. Datum i vrijeme bi tada mogli zvučati ovako: milijarda sekundi.

Zaključak: nema poteškoća u smislu višeznačnosti inverznih funkcija. Doista, mogu postojati opcije kada za isti sinus postoje različite vrijednosti kuta (Sl. 15).

Riža. 15. Obnavljanje kuta po vrijednosti njegovog sinusa

Obično se kod rješavanja praktičnih problema uvijek radi u standardnom rasponu od do . U ovom rasponu, za svaku vrijednost trigonometrijske funkcije, postoje samo dvije odgovarajuće vrijednosti mjere kuta.

Razmotrimo pokretnu traku i njihalo u obliku kante s rupom iz koje ispada pijesak. Visak se njiše, vrpca se pomiče (slika 16). Zbog toga će pijesak ostaviti trag u obliku grafa sinusne (ili kosinusne) funkcije, koji se naziva sinusni val.

Zapravo, grafikoni sinusa i kosinusa razlikuju se jedan od drugog samo u referentnoj točki (ako nacrtate jedan od njih, a zatim izbrišete koordinatne osi, tada nećete moći odrediti koji je grafikon nacrtan). Stoga nema smisla nazivati ​​kosinusni graf (zašto smisliti zasebno ime za isti graf)?

Riža. 16. Ilustracija tvrdnje problema u primjeru 4

Iz grafikona funkcije također možete razumjeti zašto će inverzne funkcije imati mnogo vrijednosti. Ako je vrijednost sinusa fiksna, tj. nacrtamo ravnu crtu paralelnu s x-osi, tada u sjecištu dobijemo sve točke u kojima je sinus kuta jednak zadanom. Jasno je da će takvih točaka biti beskonačno mnogo. Kao u primjeru sa satom, gdje se vrijednost vremena razlikuje za , samo će se ovdje vrijednost kuta razlikovati za iznos (slika 17).

Riža. 17. Prikaz polisemije za sinus

Ako uzmemo u obzir primjer sata, tada se točka (kraj kazaljke na satu) kreće po krugu. Na isti način se mogu definirati trigonometrijske funkcije - ne promatrajte kutove u pravokutnom trokutu, već kut između polumjera kružnice i pozitivnog smjera osi. Broj krugova koje će točka proći (dogovorili smo se da kretanje u smjeru kazaljke na satu računamo sa predznakom minus, a suprotno od kazaljke na satu sa predznakom plus), to je period (slika 18).

Riža. 18. Vrijednost sinusa na kružnici

Tako, inverzna funkcija je jedinstveno definiran na nekom intervalu. Za taj interval možemo izračunati njegove vrijednosti, a sve ostalo dobiti od pronađenih vrijednosti zbrajanjem i oduzimanjem perioda funkcije.

Razmotrimo još jedan primjer razdoblja. Auto se kreće cestom. Zamislite da se njezin kotač zabio u boju ili u lokvu. Na cesti možete vidjeti povremene tragove boje ili lokve (Slika 19).

Riža. 19. Ilustracija razdoblja

U školskom tečaju postoji mnogo trigonometrijskih formula, ali uglavnom je dovoljno zapamtiti samo jednu (slika 20).

Riža. dvadeset. Trigonometrijske formule

Formula dvostruki kut također je lako izvesti zbrojeve iz sinusa zamjenom (slično za kosinus). Također možete izvesti formule proizvoda.

Zapravo, morate zapamtiti vrlo malo, jer će se s rješavanjem problema te formule zapamtiti same od sebe. Naravno, netko će biti previše lijen da puno odluči, ali tada mu neće trebati ova tehnika, a time ni same formule.

A budući da formule nisu potrebne, nema potrebe da ih pamtite. Samo trebate razumjeti ideju da su trigonometrijske funkcije funkcije pomoću kojih se izračunavaju, na primjer, mostovi. Gotovo nijedan mehanizam ne može bez njihove upotrebe i izračuna.

1. Često se postavlja pitanje mogu li žice biti apsolutno paralelne s masom. Odgovor: ne, ne mogu, jer jedna sila djeluje prema dolje, dok ostale djeluju paralelno - one se nikada neće uravnotežiti (slika 21).

2. Labud, rak i štuka vuku kola u istoj ravnini. Labud leti u jednom smjeru, rak vuče u drugom, a štuka u trećem (slika 22). Njihove se moći mogu uravnotežiti. Ovo balansiranje možete izračunati samo uz pomoć trigonometrijskih funkcija.

3. Most sa užadima (slika 23). Trigonometrijske funkcije pomažu izračunati broj pokrova, kako ih treba usmjeriti i zategnuti.

Riža. 23. Most sa užadima

Riža. 24. "String Bridge"

Riža. 25. Veliki Obukhovski most

Linkovi na stranicu ma-te-ri-a-lyInternetUrok

Matematika 6. razred:

Geometrija 8. razred: