Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.
Prikupljanje i korištenje osobnih podataka
Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.
Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.
Koje osobne podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.
Kako koristimo vaše osobne podatke:
- Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i Nadolazeći događaji.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
- Također možemo koristiti osobne podatke u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje trećim stranama
Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.
Iznimke:
- U slučaju da je potrebno – sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije – otkriti Vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnost, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.
Zaštita osobnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke
Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.
Pojam središnje crte trapeza
Prvo, sjetimo se koja se figura naziva trapezom.
Definicija 1
Trapez je četverokut kojemu su dvije stranice paralelne, a druge dvije nisu paralelne.
U ovom slučaju, paralelne strane se nazivaju bazama trapeza, a ne paralelne - stranice trapeza.
Definicija 2
središnja linija Trapez je dužina koja spaja središta stranica trapeza.
Teorem o srednjoj crti trapeza
Sada uvodimo teorem o središnjici trapeza i dokazujemo ga vektorskom metodom.
Teorem 1
Srednja linija trapeza paralelna je s osnovicama i jednaka je polovici njihova zbroja.
Dokaz.
Neka nam je dan trapez $ABCD$ s bazama $AD\ i\ BC$. I neka je $MN$ srednja linija ovog trapeza (slika 1).
Slika 1. Srednja linija trapeza
Dokažimo da je $MN||AD\ i\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.
Razmotrimo vektor $\overrightarrow(MN)$. Zatim koristimo pravilo poligona za zbrajanje vektora. S jedne strane, to shvaćamo
S druge strane
Zbrajanjem posljednje dvije jednakosti dobivamo
Kako su $M$ i $N$ polovišta stranica trapeza, imamo
Dobivamo:
Slijedom toga
Iz iste jednakosti (budući da su $\overrightarrow(BC)$ i $\overrightarrow(AD)$ kosmjerni, pa prema tome kolinearni), dobivamo da je $MN||AD$.
Teorem je dokazan.
Primjeri zadataka o pojmu srednje crte trapeza
Primjer 1
Stranice trapeza su $15\cm$ odnosno $17\cm$. Opseg trapeza je $52\cm$. Odredi duljinu središnje crte trapeza.
Riješenje.
Označimo središnjicu trapeza s $n$.
Zbroj stranica je
Stoga, budući da je opseg $52\ cm$, zbroj baza je
Stoga, prema teoremu 1, dobivamo
Odgovor:$10\cm$.
Primjer 2
Krajevi promjera kruga udaljeni su od tangente $9$ cm odnosno $5$ cm. Odredite promjer tog kruga.
Riješenje.
Neka nam je dan krug sa središtem $O$ i promjerom $AB$. Nacrtajte tangentu $l$ i konstruirajte udaljenosti $AD=9\ cm$ i $BC=5\ cm$. Nacrtaj polumjer $OH$ (sl. 2).
Slika 2.
Budući da su $AD$ i $BC$ udaljenosti do tangente, onda su $AD\bot l$ i $BC\bot l$ i budući da je $OH$ polumjer, tada je $OH\bot l$, dakle $OH |\ lijevo|AD\desno||BC$. Iz svega ovoga dobivamo da je $ABCD$ trapez, a $OH$ njegova središnja linija. Prema teoremu 1, dobivamo
Pojam središnje crte trapeza
Prvo, sjetimo se koja se figura naziva trapezom.
Definicija 1
Trapez je četverokut kojemu su dvije stranice paralelne, a druge dvije nisu paralelne.
U ovom slučaju, paralelne strane se nazivaju bazama trapeza, a ne paralelne - stranice trapeza.
Definicija 2
Srednja crta trapeza je dužica koja spaja središta stranica trapeza.
Teorem o srednjoj crti trapeza
Sada uvodimo teorem o središnjici trapeza i dokazujemo ga vektorskom metodom.
Teorem 1
Srednja linija trapeza paralelna je s osnovicama i jednaka je polovici njihova zbroja.
Dokaz.
Neka nam je dan trapez $ABCD$ s bazama $AD\ i\ BC$. I neka je $MN$ srednja linija ovog trapeza (slika 1).
Slika 1. Srednja linija trapeza
Dokažimo da je $MN||AD\ i\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.
Razmotrimo vektor $\overrightarrow(MN)$. Zatim koristimo pravilo poligona za zbrajanje vektora. S jedne strane, to shvaćamo
S druge strane
Zbrajanjem posljednje dvije jednakosti dobivamo
Kako su $M$ i $N$ polovišta stranica trapeza, imamo
Dobivamo:
Slijedom toga
Iz iste jednakosti (budući da su $\overrightarrow(BC)$ i $\overrightarrow(AD)$ kosmjerni, pa prema tome kolinearni), dobivamo da je $MN||AD$.
Teorem je dokazan.
Primjeri zadataka o pojmu srednje crte trapeza
Primjer 1
Stranice trapeza su $15\cm$ odnosno $17\cm$. Opseg trapeza je $52\cm$. Odredi duljinu središnje crte trapeza.
Riješenje.
Označimo središnjicu trapeza s $n$.
Zbroj stranica je
Stoga, budući da je opseg $52\ cm$, zbroj baza je
Stoga, prema teoremu 1, dobivamo
Odgovor:$10\cm$.
Primjer 2
Krajevi promjera kruga udaljeni su od tangente $9$ cm odnosno $5$ cm. Odredite promjer tog kruga.
Riješenje.
Neka nam je dan krug sa središtem $O$ i promjerom $AB$. Nacrtajte tangentu $l$ i konstruirajte udaljenosti $AD=9\ cm$ i $BC=5\ cm$. Nacrtaj polumjer $OH$ (sl. 2).
Slika 2.
Budući da su $AD$ i $BC$ udaljenosti do tangente, onda su $AD\bot l$ i $BC\bot l$ i budući da je $OH$ polumjer, tada je $OH\bot l$, dakle $OH |\ lijevo|AD\desno||BC$. Iz svega ovoga dobivamo da je $ABCD$ trapez, a $OH$ njegova središnja linija. Prema teoremu 1, dobivamo
- Isječak koji spaja središta dijagonala trapeza jednak je polovici razlike osnovica
- Trokuti koje čine osnovice trapeza i odsječci dijagonala do točke njihova sjecišta slični su
- Trokuti sastavljeni od odsječaka dijagonala trapeza, čije stranice leže na stranicama trapeza - jednaki su (imaju istu površinu)
- Produžimo li stranice trapeza prema manjoj osnovici, tada će se one u jednoj točki sjeći s pravom linijom koja spaja središta osnovica.
- Segment koji povezuje baze trapeza i prolazi kroz točku sjecišta dijagonala trapeza, podijeljen je ovom točkom u omjeru jednakom omjeru duljina baza trapeza.
- Segment paralelan s bazama trapeza i povučen kroz sjecište dijagonala prepolovljen je ovom točkom, a njegova duljina je 2ab / (a + b), gdje su a i b osnovice trapeza.
Svojstva odsječka koji spaja središta dijagonala trapeza
Spojimo središta dijagonala trapeza ABCD, čime ćemo dobiti segment LM.
Odsječak koji spaja središta dijagonala trapeza leži na središnjoj liniji trapeza.
Ovaj segment paralelno s osnovicama trapeza.
Duljina isječka koji spaja središta dijagonala trapeza jednaka je polurazlici njegovih osnovica.
LM = (AD - BC)/2
ili
LM = (a-b)/2
Svojstva trokuta koje čine dijagonale trapeza
Trokuti koje tvore osnovice trapeza i sjecište dijagonala trapeza - su slični.
Trokuti BOC i AOD su slični. Budući da su kutovi BOC i AOD okomiti, oni su jednaki.
Kutovi OCB i OAD su unutarnji poprečno ležeći na paralelnim pravcima AD i BC (osnovice trapeza su međusobno paralelne) i sekansi AC, dakle, jednaki su.
Kutovi OBC i ODA su jednaki iz istog razloga (unutarnji križni položaj).
Budući da su sva tri kuta jednog trokuta jednaka odgovarajućim kutovima drugog trokuta, ti su trokuti slični.
Što iz ovoga slijedi?
Za rješavanje problema u geometriji, sličnost trokuta se koristi na sljedeći način. Ako znamo duljine dvaju odgovarajućih elemenata sličnih trokuta, tada nalazimo koeficijent sličnosti (dijelimo jedan s drugim). Odakle su duljine svih ostalih elemenata međusobno povezane točno istom vrijednošću.
Svojstva trokuta koji leže na bočnoj stranici i dijagonale trapeza
Promotrimo dva trokuta koji leže na stranicama trapeza AB i CD. To su trokuti AOB i COD. Unatoč činjenici da veličine pojedinih stranica ovih trokuta mogu biti potpuno različite, ali površine trokuta koje čine stranice i sjecište dijagonala trapeza su, odnosno trokuti su jednaki.
Ako su stranice trapeza produžene prema manjoj osnovici, tada će točka presjeka stranica biti podudaraju s ravnom linijom koja prolazi središtima baza.
Dakle, svaki trapez se može produžiti u trokut. pri čemu:
- Slični su trokuti koje čine osnovice trapeza sa zajedničkim vrhom u sjecištu produženih stranica.
- Pravac koji spaja polovišta osnovica trapeza ujedno je i središnjica konstruiranog trokuta.
Svojstva odsječka koji spaja osnovice trapeza
Ako nacrtate segment čiji krajevi leže na osnovicama trapeza, koji se nalazi u sjecištu dijagonala trapeza (KN), tada je omjer njegovih sastavnih segmenata od bočne stranice baze do sjecišta trapeza. dijagonale (KO / ON) bit će jednak omjeru osnovica trapeza(pr. Kr./AD).
KO/ON=BC/AD
Ova nekretnina slijedi iz sličnosti odgovarajućih trokuta (vidi gore).
Svojstva odsječka paralelnog s osnovicama trapeza
Ako nacrtate segment paralelan s bazama trapeza i prolazi kroz sjecište dijagonala trapeza, tada će imati sljedeća svojstva:
- Unaprijed postavljena udaljenost (KM) raspolavlja točku presjeka dijagonala trapeza
- Duljina rezanja koja prolazi točkom presjeka dijagonala trapeza i paralelno s bazama, jednako je KM = 2ab/(a + b)
Formule za pronalaženje dijagonala trapeza
a, b- osnovice trapeza
c, d- stranice trapeza
d1 d2- dijagonale trapeza
α β - kutovi s većom osnovicom trapeza
Formule za pronalaženje dijagonala trapeza kroz baze, stranice i kutove na bazi
Prva skupina formula (1-3) odražava jedno od glavnih svojstava dijagonala trapeza:
1. Zbroj kvadrata dijagonala trapeza jednak je zbroju kvadrata stranica plus dvostruki umnožak njegovih baza. Ovo svojstvo dijagonala trapeza može se dokazati kao poseban teorem
2 . Ova formula je dobivena transformacijom prethodne formule. Kvadrat druge dijagonale prebacuje se preko znaka jednakosti, nakon čega se izvlači kvadratni korijen s lijeve i desne strane izraza.
3 . Ova formula za određivanje duljine dijagonale trapeza slična je prethodnoj, s tom razlikom što je još jedna dijagonala ostavljena na lijevoj strani izraza
Sljedeća skupina formula (4-5) je sličnog značenja i izražava sličan odnos.
Skupina formula (6-7) omogućuje vam da pronađete dijagonalu trapeza ako znate veću osnovicu trapeza, jednu stranicu i kut pri bazi.
Formule za određivanje dijagonala trapeza u smislu visine
Zadatak.
Dijagonale trapeza ABCD (AD | | BC) sijeku se u točki O. Odredite duljinu osnovice BC trapeza ako je osnovica AD = 24 cm, duljina AO = 9 cm, duljina OS = 6 cm.
Riješenje.
Rješenje ovog zadatka ideološki je potpuno identično prethodnim zadacima.
Trokuti AOD i BOC slični su u tri kuta - AOD i BOC su okomiti, a ostali su kutovi po paru jednaki, jer nastaju sjecištem jednog pravca i dvaju paralelnih pravaca.
Budući da su trokuti slični, onda su sve njihove geometrijske dimenzije međusobno povezane, kao geometrijske dimenzije odsječaka AO i OC koje su nam poznate prema uvjetu zadatka. To je
AO/OC=AD/BC
9 / 6 = 24 / B.C.
BC = 24 * 6 / 9 = 16
Odgovor: 16 cm
Zadatak .
U trapezu ABCD poznato je da je AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Pronađite površinu trapeza. 
Riješenje .
Da bismo pronašli visinu trapeza iz vrhova manje osnovice B i C, spustimo dvije visine na veću osnovicu. Budući da je trapez nejednak, označavamo dužinu AM = a, dužinu KD = b ( ne smije se brkati sa simbolima u formuli nalaženje površine trapeza). Kako su osnovice trapeza paralelne i izostavili smo dvije visine okomite na veću osnovicu, onda je MBCK pravokutnik.
Sredstva
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
Trokuti DBM i ACK su pravokutni, pa im prave kutove tvore visine trapeza. Označimo visinu trapeza sa h. Zatim po Pitagorinom teoremu
H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
i
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2
Uzmite u obzir da je a \u003d 16 - b, a zatim u prvoj jednadžbi
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2
Zamijenite vrijednost kvadrata visine u drugu jednadžbu, dobivenu Pitagorinim teoremom. Dobivamo:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Dakle, KD = 12
Gdje
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5
Odredite površinu trapeza koristeći njegovu visinu i polovicu zbroja baza
, gdje a b - baze trapeza, h - visina trapeza
S \u003d (24 + 8) * 5 / 2 \u003d 80 cm 2
Odgovor: površina trapeza je 80 cm2.
Četverokut sa samo dvije paralelne stranice naziva se trapez.
Paralelne stranice trapeza nazivaju se njegovim osnove, a one stranice koje nisu paralelne nazivamo strane. Ako su strane jednake, onda je takav trapez jednakokračan. Razmak između osnovica naziva se visina trapeza.
Srednja linija trapeza
Srednja linija je segment koji povezuje središta stranica trapeza. Sredina trapeza paralelna je s njegovim osnovicama.
Teorema:
Ako je ravna crta koja siječe sredinu jedne stranice paralelna s osnovicama trapeza, tada ona raspolavlja drugu stranicu trapeza.
Teorema:
Duljina srednje crte jednaka je aritmetičkoj sredini duljina njezinih baza
MN || AB || DCAM=MD; BN=NC
MN središnja linija, AB i CD - baze, AD i BC - stranice
MN=(AB+DC)/2
Teorema:
Duljina središnje crte trapeza jednaka je aritmetičkoj sredini duljina njegovih osnovica.
Glavni zadatak: Dokažite da središnja linija trapeza raspolavlja odsječak čiji krajevi leže na sredini osnovica trapeza.
Srednja linija trokuta
Isječak koji spaja središnje točke dviju stranica trokuta naziva se središnjicom trokuta. Paralelna je s trećom stranicom, a duljina joj je pola duljine treće stranice.
Teorema: Ako je pravac koji siječe središte jedne stranice trokuta paralelan s drugom stranom danog trokuta, tada on raspolavlja treću stranicu.
AM = MC i BN = NC =>
Primjena svojstava srednje crte trokuta i trapeza
Dijeljenje segmenta na određeni broj jednakih dijelova.
Zadatak: Podijeli dužinu AB na 5 jednakih dijelova.
Riješenje:
Neka je p slučajna zraka čije je ishodište točka A i koja ne leži na pravcu AB. Redom smo odvojili 5 jednakih segmenata na p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Spojimo A 5 s B i povučemo pravce kroz A 4 , A 3 , A 2 i A 1 koji su paralelni s A 5 B. Oni sijeku AB u točkama B 4 , B 3 , B 2 i B 1 redom. Ove točke dijele segment AB na 5 jednakih dijelova. Doista, iz trapeza BB 3 A 3 A 5 vidimo da je BB 4 = B 4 B 3 . Na isti način iz trapeza B 4 B 2 A 2 A 4 dobijemo B 4 B 3 = B 3 B 2
Dok je iz trapeza B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Tada iz B 2 AA 2 slijedi da je B 2 B 1 = B 1 A. Zaključno, dobivamo:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Jasno je da da bismo podijelili dužinu AB na još jedan broj jednakih dijelova, moramo projicirati isti broj jednakih dužina na polupravu p. Zatim nastavite na gore opisani način.
